Was ist die Zahl „Pi“ oder wie schwören Mathematiker? Wer hat die Zahl Pi entdeckt? Geschichte der Berechnungen Was ist die Zahl n?
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Was haben ein Lada Priora-Rad, ein Ehering und die Untertasse Ihrer Katze gemeinsam? Natürlich werden Sie Schönheit und Stil sagen, aber ich wage es, mit Ihnen zu streiten. Pi! Dies ist eine Zahl, die alle Kreise, Kreise und Rundungen vereint, zu denen insbesondere der Ring meiner Mutter, das Rad vom Lieblingsauto meines Vaters und sogar die Untertasse meiner Lieblingskatze Murzik gehören. Ich wette, dass Pi im Ranking der beliebtesten physikalischen und mathematischen Konstanten zweifellos den ersten Platz einnehmen wird. Doch was verbirgt sich dahinter? Vielleicht ein paar schreckliche Schimpfwörter von Mathematikern? Versuchen wir, dieses Problem zu verstehen.
Was ist die Zahl „Pi“ und woher kommt sie?
Moderne Nummernbezeichnung π (Pi) erschien dank des englischen Mathematikers Johnson im Jahr 1706. Dies ist der erste Buchstabe des griechischen Wortes περιφέρεια (Peripherie oder Kreis). Für diejenigen, die sich schon vor langer Zeit mit Mathematik beschäftigt haben und außerdem keineswegs daran denken, dass die Zahl Pi das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser ist. Der Wert ist eine Konstante, also konstant für jeden Kreis, unabhängig von seinem Radius. Schon in der Antike wussten die Menschen davon. So wurde im alten Ägypten angenommen, dass die Zahl Pi dem Verhältnis 256/81 entspricht, und in vedischen Texten wird der Wert mit 339/108 angegeben, während Archimedes das Verhältnis 22/7 vorschlug. Aber weder diese noch viele andere Möglichkeiten, die Zahl Pi auszudrücken, lieferten ein genaues Ergebnis.
Es stellte sich heraus, dass die Zahl Pi transzendental und dementsprechend irrational ist. Das bedeutet, dass er nicht als einfacher Bruch dargestellt werden kann. Wenn wir es in Dezimalzahlen ausdrücken, dann wird die Folge der Nachkommastellen ins Unendliche eilen, und zwar ohne sich periodisch zu wiederholen. Was bedeutet das alles? Sehr einfach. Möchten Sie die Telefonnummer des Mädchens erfahren, das Sie mögen? Es ist wahrscheinlich in der Folge der Nachkommastellen von Pi zu finden.
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Pi-Zahl mit einer Genauigkeit von 10.000 Stellen.
π= 3,
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989..
Nicht gefunden? Dann werfen Sie einen Blick darauf.
Dabei kann es sich im Allgemeinen nicht nur um eine Telefonnummer handeln, sondern um jede mit Zahlen kodierte Information. Wenn Sie sich zum Beispiel alle Werke von Alexander Sergejewitsch Puschkin in digitaler Form vorstellen, dann wurden sie in der Nummer Pi gespeichert, noch bevor er sie schrieb, noch bevor er geboren wurde. Im Prinzip werden sie weiterhin dort gespeichert. Übrigens, die Flüche der Mathematiker in π sind auch anwesend, und zwar nicht nur Mathematiker. Mit einem Wort, die Zahl Pi enthält alles, sogar Gedanken, die Ihren hellen Kopf morgen, übermorgen, in einem Jahr oder vielleicht in zwei Jahren besuchen werden. Das ist sehr schwer zu glauben, aber selbst wenn wir uns vorstellen, dass wir es glauben, wird es noch schwieriger, daraus Informationen zu gewinnen und sie zu entschlüsseln. Anstatt sich also mit diesen Zahlen auseinanderzusetzen, ist es vielleicht einfacher, auf das Mädchen, das du magst, zuzugehen und nach ihrer Nummer zu fragen? Aber für diejenigen, die nicht nach einfachen Wegen suchen oder sich einfach nur für die Zahl Pi interessieren, biete ich mehrere Möglichkeiten an Berechnungen. Betrachten Sie es als gesund.
Was ist Pi gleich? Methoden zur Berechnung:
1. Experimentelle Methode. Wenn die Zahl Pi das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser ist, dann besteht der erste und vielleicht naheliegendste Weg, unsere mysteriöse Konstante zu finden, darin, alle Messungen manuell durchzuführen und die Zahl Pi mithilfe der Formel π=l zu berechnen /D. Dabei ist l der Umfang des Kreises und d sein Durchmesser. Alles ist ganz einfach, Sie müssen sich nur mit einem Faden bewaffnen, um den Umfang zu bestimmen, einem Lineal, um den Durchmesser und tatsächlich die Länge des Fadens selbst zu ermitteln, und einen Taschenrechner, wenn Sie Probleme mit der langen Teilung haben. Die Rolle der zu messenden Probe kann ein Topf oder ein Gurkenglas sein, egal, Hauptsache? so dass an der Basis ein Kreis entsteht.
Die betrachtete Berechnungsmethode ist die einfachste, weist jedoch leider zwei erhebliche Nachteile auf, die sich auf die Genauigkeit der resultierenden Pi-Zahl auswirken. Erstens der Fehler der Messgeräte (in unserem Fall ein Lineal mit Faden) und zweitens gibt es keine Garantie dafür, dass der Kreis, den wir messen, die richtige Form hat. Daher ist es nicht verwunderlich, dass uns die Mathematik viele andere Methoden zur Berechnung von π an die Hand gegeben hat, bei denen keine präzisen Messungen erforderlich sind.
2. Leibniz-Reihe. Es gibt mehrere unendliche Reihen, mit denen Sie Pi auf viele Dezimalstellen genau berechnen können. Eine der einfachsten Reihen ist die Leibniz-Reihe. π = (4/1) – (4/3) + (4/5) – (4/7) + (4/9) – (4/11) + (4/13) – (4/15). ..
Es ist ganz einfach: Wir nehmen Brüche mit 4 im Zähler (das steht oben) und einer Zahl aus der Folge ungerader Zahlen im Nenner (das steht unten), addieren und subtrahieren sie nacheinander und erhalten die Zahl Pi . Je mehr Iterationen oder Wiederholungen unserer einfachen Aktionen, desto genauer ist das Ergebnis. Einfach, aber nicht effektiv; übrigens sind 500.000 Iterationen erforderlich, um den genauen Wert von Pi auf zehn Dezimalstellen genau zu erhalten. Das heißt, wir müssen die unglücklichen Vier bis zu 500.000 Mal dividieren und zusätzlich müssen wir die erhaltenen Ergebnisse 500.000 Mal subtrahieren und addieren. Möchten Sie es versuchen?
3. Nilakanta-Serie. Sie haben keine Zeit, an der Leibniz-Reihe herumzubasteln? Es gibt eine Alternative. Die Nilakanta-Serie ist zwar etwas komplizierter, ermöglicht es uns jedoch, schnell zum gewünschten Ergebnis zu gelangen. π = 3 + 4/(2*3*4) – 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) – 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - (4/(12*13*14) ... Ich denke, wenn man sich das erste Fragment der Serie genau ansieht, wird alles klar und Kommentare sind unnötig. Machen wir damit weiter.
4. Monte-Carlo-Methode Eine recht interessante Methode zur Berechnung von Pi ist die Monte-Carlo-Methode. Einen so extravaganten Namen erhielt es zu Ehren der gleichnamigen Stadt im Königreich Monaco. Und der Grund dafür ist Zufall. Nein, der Name ist kein Zufall, die Methode basiert einfach auf Zufallszahlen, und was könnte zufälliger sein als die Zahlen, die auf den Roulettetischen des Monte-Carlo-Casinos erscheinen? Die Berechnung von Pi ist nicht die einzige Anwendung dieser Methode; in den fünfziger Jahren wurde sie bei Berechnungen der Wasserstoffbombe verwendet. Aber lassen wir uns nicht ablenken.
Nehmen Sie ein Quadrat mit einer Seite gleich 2r, und beschreibe einen Kreis mit Radius R. Wenn Sie nun zufällig Punkte in ein Quadrat setzen, dann ist die Wahrscheinlichkeit P Die Tatsache, dass ein Punkt in einen Kreis fällt, ist das Verhältnis der Flächen des Kreises und des Quadrats. P=S kr /S kv =2πr 2 /(2r) 2 =π/4.
Lassen Sie uns nun die Zahl Pi von hier aus ausdrücken π=4P. Es bleibt nur noch, experimentelle Daten zu erhalten und die Wahrscheinlichkeit P als Verhältnis der Treffer im Kreis zu ermitteln N cr um das Quadrat zu treffen N Quadrat.. Im Allgemeinen sieht die Berechnungsformel so aus: π=4N cr / N Quadrat.
Ich möchte anmerken, dass es für die Implementierung dieser Methode nicht notwendig ist, in ein Casino zu gehen; es reicht aus, eine mehr oder weniger anständige Programmiersprache zu verwenden. Nun, die Genauigkeit der erzielten Ergebnisse hängt von der Anzahl der platzierten Punkte ab; je mehr, desto genauer. Ich wünsche dir viel Glück 😉
Tau-Zahl (Anstelle einer Schlussfolgerung).
Menschen, die weit von der Mathematik entfernt sind, wissen es wahrscheinlich nicht, aber es kommt vor, dass die Zahl Pi einen Bruder hat, der doppelt so groß ist. Dies ist die Zahl Tau(τ), und wenn Pi das Verhältnis des Umfangs zum Durchmesser ist, dann ist Tau das Verhältnis dieser Länge zum Radius. Und heute gibt es von einigen Mathematikern Vorschläge, die Zahl Pi aufzugeben und durch Tau zu ersetzen, da dies in vielerlei Hinsicht bequemer ist. Aber das sind vorerst nur Vorschläge, und wie Lev Davidovich Landau sagte: „Die neue Theorie beginnt zu dominieren, wenn die Anhänger der alten aussterben.“
Studieren Pi-Zahlen beginnt in der Grundschule, wenn die Schüler etwas über den Kreis, den Umfang und den Wert von Pi lernen. Da der Wert von Pi eine Konstante ist, bedeutet er das Verhältnis der Länge des Kreises selbst zur Länge des Durchmessers eines gegebenen Kreises. Nehmen wir zum Beispiel einen Kreis, dessen Durchmesser gleich eins ist, dann ist seine Länge gleich Pi-Zahl. Dieser Wert von Pi ist in mathematischer Fortsetzung unendlich, es gibt aber auch eine allgemein akzeptierte Bezeichnung. Es kommt von einer vereinfachten Schreibweise des Werts von Pi und sieht aus wie 3,14.
Die historische Geburt von Pi
Die Zahl Pi hat ihre Wurzeln angeblich im alten Ägypten. Schon im alten Ägypten berechneten Wissenschaftler die Fläche eines Kreises anhand des Durchmessers D, der den Wert D - D/92 annahm. Das entsprach 16/92 oder 256/81, was bedeutet, dass Pi 3,160 beträgt.
Indien berührte im sechsten Jahrhundert v. Chr. auch die Zahl Pi. In der Religion des Jainismus wurden Aufzeichnungen gefunden, die besagten, dass die Zahl Pi gleich 10 in der Quadratwurzel ist, was 3,162 bedeutet.
Archimedes‘ Lehren über die Messung des Kreises im dritten Jahrhundert v. Chr. führten ihn zu folgenden Schlussfolgerungen:
Später untermauerte er seine Schlussfolgerungen durch eine Reihe von Berechnungen anhand von Beispielen korrekt eingeschriebener oder beschriebener Polygonformen mit einer Verdoppelung der Seitenzahl dieser Figuren. In präzisen Berechnungen kam Archimedes auf das Verhältnis von Durchmesser und Umfang in Zahlen zwischen 3 * 10/71 und 3 * 1/7, daher beträgt der Wert von Pi 3,1419... Da wir bereits über die unendliche Form dieses Wertes gesprochen haben, es sieht aus wie 3, 1415927... Und das ist nicht die Grenze, denn der Mathematiker Kashi berechnete im fünfzehnten Jahrhundert den Wert von Pi als sechzehnstelligen Wert.
Der englische Mathematiker Johnson W. begann 1706, das Symbol Pi für das Symbol zu verwenden? (aus dem Griechischen ist es der erste Buchstabe im Wortkreis).
Geheimnisvolle Bedeutung.
Der Wert von Pi ist irrational und kann nicht in Bruchform ausgedrückt werden, da Brüche ganze Werte verwenden. Es kann keine Wurzel in der Gleichung sein, weshalb es sich auch als transzendent herausstellt; es wird durch die Betrachtung beliebiger Prozesse gefunden und aufgrund der großen Anzahl betrachteter Schritte eines bestimmten Prozesses verfeinert. Es gab viele Versuche, die größtmögliche Anzahl an Dezimalstellen in Pi zu berechnen, was zu Dutzenden Billionen Stellen eines bestimmten Dezimalwerts führte.
Interessante Tatsache: Seltsamerweise hat der Wert von Pi seinen eigenen Feiertag. Es heißt Internationaler Pi-Tag. Es wird am 14. März gefeiert. Das Datum entstand dank des Wertes Pi 3,14 (mm.jj) und des Physikers Larry Shaw, der diesen Feiertag 1987 als erster feierte.
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Was ist Pi gleich? wir kennen und erinnern uns aus der Schule. Sie ist gleich 3,1415926 und so weiter... Für einen normalen Menschen reicht es aus zu wissen, dass diese Zahl durch Division des Umfangs eines Kreises durch seinen Durchmesser erhalten wird. Aber viele Menschen wissen, dass die Zahl Pi nicht nur in der Mathematik und Geometrie, sondern auch in der Physik in unerwarteten Bereichen vorkommt. Nun, wenn Sie sich mit den Einzelheiten der Natur dieser Zahl befassen, werden Sie in der endlosen Zahlenreihe viele überraschende Dinge bemerken. Ist es möglich, dass Pi die tiefsten Geheimnisse des Universums verbirgt?
Unendliche Nummer
Die Zahl Pi selbst erscheint in unserer Welt als die Länge eines Kreises, dessen Durchmesser gleich eins ist. Aber trotz der Tatsache, dass das Segment gleich Pi ziemlich endlich ist, beginnt die Zahl Pi mit 3,1415926 und geht in Zahlenreihen, die sich nie wiederholen, ins Unendliche. Die erste überraschende Tatsache ist, dass diese in der Geometrie verwendete Zahl nicht als Bruchteil ganzer Zahlen ausgedrückt werden kann. Mit anderen Worten: Sie können es nicht als Verhältnis zweier Zahlen a/b schreiben. Darüber hinaus ist die Zahl Pi transzendent. Das bedeutet, dass es keine Gleichung (Polynom) mit ganzzahligen Koeffizienten gibt, deren Lösung die Zahl Pi wäre.
Dass die Zahl Pi transzendent ist, wurde 1882 vom deutschen Mathematiker von Lindemann bewiesen. Dieser Beweis wurde zur Antwort auf die Frage, ob es möglich ist, mit Zirkel und Lineal ein Quadrat zu zeichnen, dessen Fläche gleich der Fläche eines gegebenen Kreises ist. Dieses Problem ist als Suche nach der Quadratur eines Kreises bekannt und beschäftigt die Menschheit seit der Antike. Es schien, dass dieses Problem eine einfache Lösung hatte und bald gelöst werden würde. Doch gerade die unverständliche Eigenschaft der Zahl Pi zeigte, dass es keine Lösung für das Problem der Quadratur des Kreises gab.
Seit mindestens viereinhalb Jahrtausenden versucht die Menschheit, einen immer genaueren Wert für Pi zu ermitteln. Beispielsweise wird in der Bibel im Dritten Buch der Könige (7:23) die Zahl Pi mit 3 angenommen.
Der Pi-Wert von bemerkenswerter Genauigkeit findet sich bei den Pyramiden von Gizeh: Das Verhältnis von Umfang und Höhe der Pyramiden beträgt 22/7. Dieser Bruch ergibt einen ungefähren Wert von Pi gleich 3,142... Es sei denn natürlich, die Ägypter haben dieses Verhältnis versehentlich festgelegt. Derselbe Wert wurde bereits im Zusammenhang mit der Berechnung der Zahl Pi im 3. Jahrhundert v. Chr. durch den großen Archimedes ermittelt.
Im Papyrus von Ahmes, einem altägyptischen Mathematiklehrbuch aus dem Jahr 1650 v. Chr., wird Pi als 3,160493827 berechnet.
In alten indischen Texten um das 9. Jahrhundert v. Chr. wurde der genaueste Wert durch die Zahl 339/108 ausgedrückt, was 3,1388 entsprach...
Fast zweitausend Jahre lang versuchten die Menschen nach Archimedes, Wege zur Berechnung von Pi zu finden. Unter ihnen waren sowohl berühmte als auch unbekannte Mathematiker. Zum Beispiel der römische Architekt Marcus Vitruv Pollio, der ägyptische Astronom Claudius Ptolemäus, der chinesische Mathematiker Liu Hui, der indische Weise Aryabhata, der mittelalterliche Mathematiker Leonardo von Pisa, bekannt als Fibonacci, der arabische Wissenschaftler Al-Khwarizmi, aus dessen Namen das Wort stammt „Algorithmus“ erschien. Sie alle und viele andere waren auf der Suche nach den genauesten Methoden zur Berechnung von Pi, kamen aber bis zum 15. Jahrhundert aufgrund der Komplexität der Berechnungen nie auf mehr als 10 Dezimalstellen.
Im Jahr 1400 schließlich berechnete der indische Mathematiker Madhava aus Sangamagram Pi mit einer Genauigkeit von 13 Stellen (obwohl er sich bei den letzten beiden Stellen noch irrte).
Anzahl der Zeichen
Im 17. Jahrhundert entdeckten Leibniz und Newton die Analyse unendlich kleiner Größen, die eine progressivere Berechnung von Pi ermöglichte – durch Potenzreihen und Integrale. Newton selbst berechnete 16 Dezimalstellen, erwähnte dies jedoch nicht in seinen Büchern – dies wurde nach seinem Tod bekannt. Newton behauptete, er habe Pi nur aus Langeweile berechnet.
Etwa zur gleichen Zeit meldeten sich auch andere, weniger bekannte Mathematiker und schlugen neue Formeln zur Berechnung der Zahl Pi mithilfe trigonometrischer Funktionen vor.
Dies ist beispielsweise die Formel, die der Astronomielehrer John Machin im Jahr 1706 zur Berechnung von Pi verwendete: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Mit analytischen Methoden leitete Machin aus dieser Formel die Zahl Pi auf hundert Dezimalstellen genau ab.
Übrigens erhielt die Zahl Pi im selben Jahr 1706 eine offizielle Bezeichnung in Form eines griechischen Buchstabens: William Jones verwendete sie in seiner Arbeit über Mathematik und übernahm den ersten Buchstaben des griechischen Wortes „Peripherie“, was „Kreis“ bedeutet .“ Der große Leonhard Euler, geboren 1707, machte diese Bezeichnung populär, die heute jedem Schulkind bekannt ist.
Vor der Ära der Computer konzentrierten sich Mathematiker darauf, möglichst viele Zeichen zu berechnen. In dieser Hinsicht kam es manchmal zu lustigen Dingen. Der Amateurmathematiker W. Shanks berechnete 1875 707 Ziffern von Pi. Diese siebenhundert Zeichen wurden 1937 an der Wand des Palais des Discoverys in Paris verewigt. Neun Jahre später stellten aufmerksame Mathematiker jedoch fest, dass nur die ersten 527 Zeichen korrekt berechnet wurden. Für die Korrektur des Fehlers musste das Museum einen erheblichen Aufwand betreiben – nun sind alle Zahlen korrekt.
Als Computer aufkamen, begann man, die Anzahl der Ziffern von Pi in völlig unvorstellbaren Reihenfolgen zu berechnen.
Einer der ersten elektronischen Computer, ENIAC, wurde 1946 entwickelt. Er war enorm groß und erzeugte so viel Wärme, dass sich der Raum auf 50 Grad Celsius erwärmte und die ersten 2037 Ziffern von Pi berechnete. Für diese Berechnung benötigte die Maschine 70 Stunden.
Als sich die Computer verbesserten, verschwand unser Wissen über Pi immer weiter ins Unendliche. Im Jahr 1958 wurden 10.000 Stellen der Zahl berechnet. 1987 errechneten die Japaner 10.013.395 Zeichen. Im Jahr 2011 überschritt der japanische Forscher Shigeru Hondo die Marke von 10 Billionen Zeichen.
Wo sonst kann man Pi treffen?
Daher bleibt unser Wissen über die Zahl Pi oft auf Schulniveau und wir wissen mit Sicherheit, dass diese Zahl vor allem in der Geometrie unersetzlich ist.
Neben Formeln für Länge und Fläche eines Kreises wird die Zahl Pi in Formeln für Ellipsen, Kugeln, Kegel, Zylinder, Ellipsoide usw. verwendet: An manchen Stellen sind die Formeln einfach und leicht zu merken, aber in anderen enthalten sie sehr komplexe Integrale.
Dann können wir die Zahl Pi in mathematischen Formeln treffen, bei denen auf den ersten Blick die Geometrie nicht sichtbar ist. Beispielsweise ist das unbestimmte Integral von 1/(1-x^2) gleich Pi.
Pi wird häufig in der Reihenanalyse verwendet. Hier ist zum Beispiel eine einfache Reihe, die gegen Pi konvergiert:
1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4
Unter den Reihen erscheint Pi am unerwartetsten in der berühmten Riemannschen Zetafunktion. Es ist unmöglich, es auf den Punkt zu bringen. Sagen wir einfach, dass die Zahl Pi eines Tages dabei helfen wird, eine Formel zur Berechnung von Primzahlen zu finden.
Und absolut überraschend: Pi kommt in zwei der schönsten „königlichen“ Formeln der Mathematik vor – der Stirling-Formel (die dabei hilft, den Näherungswert der Fakultäts- und Gammafunktion zu ermitteln) und der Euler-Formel (die bis zu fünf mathematische Konstanten verbindet).
Die unerwartetste Entdeckung erwartete die Mathematiker jedoch in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Auch die Zahl Pi ist dabei.
Beispielsweise beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Zahlen teilerfremd sind, 6/PI^2.
Pi taucht in Buffons Nadelwurfproblem auf, das im 18. Jahrhundert formuliert wurde: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Nadel, die auf ein liniertes Blatt Papier geworfen wird, eine der Linien kreuzt? Wenn die Länge der Nadel L beträgt und der Abstand zwischen den Linien L beträgt und r > L ist, können wir den Wert von Pi mithilfe der Wahrscheinlichkeitsformel 2L/rPI näherungsweise berechnen. Stellen Sie sich vor: Wir können Pi aus zufälligen Ereignissen gewinnen. Und übrigens ist Pi in der normalen Wahrscheinlichkeitsverteilung vorhanden und erscheint in der Gleichung der berühmten Gaußschen Kurve. Bedeutet das, dass Pi noch grundlegender ist als nur das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser?
Wir können Pi auch in der Physik treffen. Pi erscheint im Coulombschen Gesetz, das die Wechselwirkungskraft zwischen zwei Ladungen beschreibt, im dritten Keplerschen Gesetz, das die Umlaufdauer eines Planeten um die Sonne angibt, und erscheint sogar in der Anordnung der Elektronenorbitale des Wasserstoffatoms. Und was wiederum am unglaublichsten ist, ist, dass die Zahl Pi in der Formel der Heisenbergschen Unschärferelation – dem Grundgesetz der Quantenphysik – verborgen ist.
Geheimnisse von Pi
In Carl Sagans Roman „Contact“, auf dem der gleichnamige Film basiert, erzählen Außerirdische der Heldin, dass sich unter den Zeichen Pi eine geheime Botschaft Gottes befindet. Ab einer bestimmten Position sind die Zahlen in der Zahl nicht mehr zufällig und stellen einen Code dar, in dem alle Geheimnisse des Universums geschrieben sind.
Dieser Roman spiegelte tatsächlich ein Rätsel wider, das Mathematiker auf der ganzen Welt beschäftigt: Ist Pi eine normale Zahl, bei der die Ziffern gleich häufig gestreut sind, oder stimmt etwas mit dieser Zahl nicht? Und obwohl Wissenschaftler zur ersten Option neigen (diese aber nicht beweisen können), sieht die Zahl Pi sehr mysteriös aus. Ein Japaner hat einmal berechnet, wie oft die Zahlen 0 bis 9 in den ersten Billionen Stellen von Pi vorkommen. Und ich sah, dass die Zahlen 2, 4 und 8 häufiger vorkamen als die anderen. Dies könnte einer der Hinweise darauf sein, dass Pi nicht ganz normal ist und die darin enthaltenen Zahlen tatsächlich nicht zufällig sind.
Erinnern wir uns an alles, was wir oben gelesen haben, und fragen wir uns: Welche andere irrationale und transzendente Zahl findet man so oft in der realen Welt?
Und es gibt noch mehr Kuriositäten. Beispielsweise beträgt die Summe der ersten zwanzig Ziffern von Pi 20, und die Summe der ersten 144 Ziffern entspricht der „Zahl des Tieres“ 666.
Die Hauptfigur der amerikanischen Fernsehserie „Suspect“, Professor Finch, erklärte den Schülern, dass aufgrund der Unendlichkeit der Zahl Pi jede beliebige Zahlenkombination darin zu finden sei, von den Zahlen Ihres Geburtsdatums bis hin zu komplexeren Zahlen . Beispielsweise gibt es an Position 762 eine Folge von sechs Neunen. Diese Position wird Feynman-Punkt genannt, nach dem berühmten Physiker, der diese interessante Kombination bemerkte.
Wir wissen auch, dass die Zahl Pi die Sequenz 0123456789 enthält, diese befindet sich jedoch an der 17.387.594.880. Stelle.
All dies bedeutet, dass man in der Unendlichkeit der Zahl Pi nicht nur interessante Zahlenkombinationen finden kann, sondern auch den verschlüsselten Text von „Krieg und Frieden“, die Bibel und sogar das Hauptgeheimnis des Universums, falls es ein solches gibt.
Übrigens, über die Bibel. Der berühmte Popularisierer der Mathematik, Martin Gardner, erklärte 1966, dass die millionste Ziffer von Pi (damals noch unbekannt) die Zahl 5 sei. Er erklärte seine Berechnungen damit, dass in der englischen Version der Bibel in der 3 Buch, 14. Kapitel, 16 Vers (3-14-16) Das siebte Wort enthält fünf Buchstaben. Acht Jahre später wurde die millionste Zahl erreicht. Es war die Nummer fünf.
Lohnt es sich danach zu behaupten, dass die Zahl Pi zufällig ist?
Doktor der geologischen und mineralogischen Wissenschaften, Kandidat der physikalischen und mathematischen Wissenschaften B. GOROBETS.
Graphen der Funktionen y = arcsin x, der Umkehrfunktion y = sin x
Graph der Funktion y = arctan x, die Umkehrung der Funktion y = tan x.
Normalverteilungsfunktion (Gaußverteilung). Das Maximum seines Diagramms entspricht dem wahrscheinlichsten Wert einer Zufallsvariablen (z. B. der mit einem Lineal gemessenen Länge eines Objekts), und der Grad der „Ausbreitung“ der Kurve hängt von den Parametern a und Sigma ab.
Die Priester des alten Babylon errechneten, dass die Sonnenscheibe vom Morgengrauen bis zum Sonnenuntergang 180 Mal in den Himmel passt, und führten eine neue Maßeinheit ein – ein Grad, das ihrer Winkelgröße entspricht.
Die Größe natürlicher Formationen – Sanddünen, Hügel und Berge – vergrößert sich mit jedem Schritt um durchschnittlich das 3,14-fache.
Wissenschaft und Leben // Illustrationen
Wissenschaft und Leben // Illustrationen
Das Pendel schwingt ohne Reibung oder Widerstand und behält eine konstante Schwingungsamplitude bei. Das Auftreten von Widerstand führt zu einer exponentiellen Dämpfung der Schwingungen.
In einem sehr viskosen Medium bewegt sich ein ausgelenktes Pendel exponentiell in Richtung seiner Gleichgewichtslage.
Die Schuppen von Tannenzapfen und die Locken der Schalen vieler Weichtiere sind in logarithmischen Spiralen angeordnet.
Wissenschaft und Leben // Illustrationen
Wissenschaft und Leben // Illustrationen
Eine logarithmische Spirale schneidet alle vom Punkt O ausgehenden Strahlen im gleichen Winkel.
Wahrscheinlich wird jeder Bewerber oder Student auf die Frage, was Zahlen und e sind, antworten: - Dies ist eine Zahl, die dem Verhältnis des Umfangs zu seinem Durchmesser entspricht, und e ist die Basis natürlicher Logarithmen. Wenn die Schüler gebeten werden, diese Zahlen genauer zu definieren und zu berechnen, geben sie Formeln an:
e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ... 2,7183…
(Denken Sie daran, dass die Fakultät n! =1 ist X 2X 3X… X N);
3(1+ 1/3X 2 3 + 1X 3/4X 5X 2 5 + .....) 3,14159…
(Newtons Reihe ist die letzte, es gibt noch andere Reihen).
Das alles stimmt, aber wie Sie wissen, sind Zahlen und e in vielen Formeln der Mathematik, Physik, Chemie, Biologie und auch der Wirtschaftswissenschaften enthalten. Das bedeutet, dass sie einige allgemeine Naturgesetze widerspiegeln. Was für? Die Definitionen dieser Zahlen durch Reihen hinterlassen trotz ihrer Richtigkeit und Genauigkeit immer noch ein Gefühl der Unzufriedenheit. Sie sind abstrakt und vermitteln nicht die Verbindung der betreffenden Zahlen mit der Außenwelt durch alltägliche Erfahrungen. Antworten auf die gestellte Frage lassen sich in der Bildungsliteratur nicht finden.
Mittlerweile lässt sich argumentieren, dass die Konstante e in direktem Zusammenhang mit der Homogenität von Raum und Zeit und der Isotropie des Raums steht. Somit spiegeln sie die Erhaltungssätze wider: die Zahl e – Energie und Impuls (Impuls) und die Zahl – Drehmoment (Impuls). Normalerweise sorgen solche unerwarteten Aussagen für Überraschung, obwohl sie aus Sicht der theoretischen Physik im Wesentlichen nichts Neues sind. Die tiefe Bedeutung dieser Weltkonstanten bleibt für Schüler, Studenten und offenbar sogar für die Mehrheit der Lehrer der Mathematik und allgemeinen Physik, ganz zu schweigen von anderen Bereichen der Naturwissenschaften und der Wirtschaftswissenschaften, Terra incognita.
Im ersten Studienjahr können Studenten beispielsweise durch die Frage verwirrt sein: Warum erscheint der Arkustangens bei der Integration von Funktionen vom Typ 1/(x 2 +1) und kreisförmigen trigonometrischen Funktionen vom Typ Arkussinus, die den Betrag ausdrücken? des Kreisbogens? Mit anderen Worten: Wo „kommen“ die Kreise bei der Integration und wo verschwinden sie dann bei der umgekehrten Aktion – der Differenzierung von Arkustangens und Arkussinus? Es ist unwahrscheinlich, dass die Herleitung der entsprechenden Formeln zur Differenzierung und Integration die gestellte Frage allein beantworten wird.
Darüber hinaus taucht die Zahl im zweiten Studienjahr beim Studium der Wahrscheinlichkeitstheorie in der Formel des Gesetzes der Normalverteilung von Zufallsvariablen auf (siehe „Wissenschaft und Leben“ Nr. 2, 1995); Daraus lässt sich beispielsweise die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der eine Münze bei beispielsweise 100 Würfen beliebig oft auf das Wappen fällt. Wo sind hier die Kreise? Spielt die Form der Münze wirklich eine Rolle? Nein, die Wahrscheinlichkeitsformel ist für eine quadratische Münze dieselbe. Tatsächlich sind das keine einfachen Fragen.
Aber die Natur der Zahl e ist für Studenten der Chemie und Materialwissenschaften, Biologen und Wirtschaftswissenschaftler nützlich, um tiefer zu erfahren. Dies wird ihnen helfen, die Kinetik des Zerfalls radioaktiver Elemente, die Sättigung von Lösungen, den Verschleiß und die Zerstörung von Materialien, die Verbreitung von Mikroben, die Auswirkungen von Signalen auf die Sinne, Prozesse der Kapitalakkumulation usw. zu verstehen – eine unendliche Anzahl von Phänomenen in lebende und unbelebte Natur und menschliche Aktivität.
Zahl und Kugelsymmetrie des Raumes
Zunächst formulieren wir die erste Hauptthese und erläutern anschließend deren Bedeutung und Konsequenzen.
1. Die Zahl spiegelt die Isotropie der Eigenschaften des leeren Raums unseres Universums wider, ihre Gleichheit in jede Richtung. Der Drehmomenterhaltungssatz ist mit der Raumisotropie verbunden.
Dies führt zu bekannten Konsequenzen, die in der High School untersucht werden.
Folgerung 1. Die Länge des Kreisbogens, entlang dessen sein Radius verläuft, ist die natürliche Bogen- und Winkeleinheit Bogenmaß.
Diese Einheit ist dimensionslos. Um die Anzahl der Bogenmaße in einem Kreisbogen zu ermitteln, müssen Sie dessen Länge messen und durch die Länge des Radius dieses Kreises dividieren. Wie wir wissen, beträgt sein Radius entlang eines vollständigen Kreises ungefähr das 6,28-fache. Genauer gesagt beträgt die Länge eines vollständigen Kreisbogens 2 Bogenmaß und in beliebigen Zahlensystemen und Längeneinheiten. Als das Rad erfunden wurde, stellte sich heraus, dass es bei den Indianern Amerikas, den Nomaden Asiens und den Schwarzen Afrikas dasselbe war. Lediglich die Maßeinheiten des Lichtbogens waren unterschiedlich und konventionell. So wurden unsere Winkel- und Bogengrade von den babylonischen Priestern eingeführt, die der Ansicht waren, dass die Sonnenscheibe, die sich fast im Zenit befindet, von der Morgendämmerung bis zum Sonnenuntergang 180 Mal in den Himmel passt. 1 Grad ist 0,0175 Rad oder 1 Rad ist 57,3°. Man kann argumentieren, dass hypothetische außerirdische Zivilisationen sich leicht verstehen würden, wenn sie eine Nachricht austauschen würden, in der der Kreis „mit einem Schwanz“ in sechs Teile geteilt wird; Dies würde bedeuten, dass der „Verhandlungspartner“ zumindest die Phase der Neuerfindung des Rades bereits hinter sich hat und weiß, wie hoch die Zahl ist.
Folgerung 2. Der Zweck trigonometrischer Funktionen besteht darin, die Beziehung zwischen den Bogen- und Linearabmessungen von Objekten sowie zwischen den räumlichen Parametern von Prozessen auszudrücken, die im sphärisch symmetrischen Raum ablaufen.
Aus dem oben Gesagten wird deutlich, dass die Argumente trigonometrischer Funktionen grundsätzlich dimensionslos sind, ebenso wie die Argumente anderer Funktionstypen, d. h. Dabei handelt es sich um reelle Zahlen – Punkte auf der Zahlenachse, für die keine Gradangabe erforderlich ist.
Die Erfahrung zeigt, dass Schüler, Studenten und Studenten Schwierigkeiten haben, sich an dimensionslose Argumente für Sinus, Tangens usw. zu gewöhnen. Nicht jeder Bewerber wird die Frage ohne Taschenrechner beantworten können, was cos1 (ca. 0,5) oder arctg / 3 ist. Das letzte Beispiel ist besonders verwirrend. Es wird oft gesagt, das sei Unsinn: „ein Bogen, dessen Arkustangens 60° beträgt.“ Wenn wir das genau sagen, liegt der Fehler in der unbefugten Anwendung des Gradmaßes auf das Argument der Funktion. Und die richtige Antwort lautet: arctg(3.14/3) arctg1 /4 3/4. Leider sagen Bewerber und Studierende ziemlich oft, dass = 180 0, woraufhin sie sie korrigieren müssen: im Dezimalzahlensystem = 3,14…. Aber natürlich können wir sagen, dass ein Bogenmaß 180 0 entspricht.
Lassen Sie uns eine weitere nicht triviale Situation untersuchen, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie auftritt. Es handelt sich um die wichtige Formel für die Wahrscheinlichkeit eines Zufallsfehlers (oder das Normalgesetz der Wahrscheinlichkeitsverteilung), zu der auch die Zahl gehört. Mit dieser Formel können Sie beispielsweise die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine Münze bei 100 Würfen 50 Mal auf das Wappen fällt. Woher kommt also die Zahl darin? Immerhin scheinen dort keine Kreise oder Kreise sichtbar zu sein. Der Punkt ist jedoch, dass die Münze zufällig in einen kugelsymmetrischen Raum fällt, in dem zufällige Schwankungen in alle Richtungen gleichermaßen berücksichtigt werden sollten. Mathematiker tun dies, indem sie über einen Kreis integrieren und das sogenannte Poisson-Integral berechnen, das gleich der angegebenen Wahrscheinlichkeitsformel ist und in dieser enthalten ist. Ein anschauliches Beispiel für solche Schwankungen ist das Schießen auf ein Ziel unter konstanten Bedingungen. Die Löcher auf dem Ziel sind in einem Kreis (!) verstreut, wobei die höchste Dichte nahe der Mitte des Ziels liegt, und die Wahrscheinlichkeit eines Treffers kann mit derselben Formel berechnet werden, die die Zahl enthält.
Spielt die Zahl mit natürlichen Strukturen eine Rolle?
Versuchen wir, die Phänomene zu verstehen, deren Ursachen alles andere als klar sind, die aber vielleicht auch nicht zahllos waren.
Der inländische Geograph V. V. Piotrovsky verglich die durchschnittlichen charakteristischen Größen natürlicher Reliefs in der folgenden Reihe: Sandriffel auf Untiefen, Dünen, Hügeln, Gebirgssystemen des Kaukasus, Himalaya usw. Es stellte sich heraus, dass die durchschnittliche Größenzunahme 3,14 beträgt. Ein ähnliches Muster scheint kürzlich in der Topographie von Mond und Mars entdeckt worden zu sein. Piotrovsky schreibt: „Tektonische Strukturformen, die sich in der Erdkruste bilden und sich auf ihrer Oberfläche in Form von Reliefformen ausdrücken, entstehen als Ergebnis einiger allgemeiner Prozesse, die im Erdkörper ablaufen; sie sind proportional zur Größe der Erde.“ .“ Lassen Sie uns klarstellen, dass sie proportional zum Verhältnis seiner linearen und bogenförmigen Abmessungen sind.
Die Grundlage dieser Phänomene könnte das sogenannte Gesetz der Maximaverteilung zufälliger Reihen oder das „Gesetz der Tripel“ sein, das bereits 1927 von E. E. Slutsky formuliert wurde.
Statistisch gesehen entstehen nach dem Dreiergesetz Meeresküstenwellen, die schon die alten Griechen kannten. Jede dritte Welle ist im Schnitt etwas höher als ihre Nachbarn. Und in der Reihe dieser dritten Maxima ist jedes dritte wiederum höher als seine Nachbarn. So entsteht die berühmte neunte Welle. Er ist der Höhepunkt der „Periode zweiten Ranges“. Einige Wissenschaftler vermuten, dass nach dem Triplettgesetz auch Schwankungen der Sonnen-, Kometen- und Meteoritenaktivitäten auftreten. Die Abstände zwischen ihren Maxima betragen neun bis zwölf Jahre, also etwa 3 2 . Laut G. Rosenberg, Doktor der Biowissenschaften, können wir mit der Konstruktion von Zeitabläufen wie folgt fortfahren. Der Zeitraum des dritten Ranges 3 3 entspricht dem Intervall zwischen schweren Dürren, das durchschnittlich 27–36 Jahre beträgt; Periode 3 4 – Zyklus der säkularen Sonnenaktivität (81–108 Jahre); Periode 3 5 - Vereisungszyklen (243-324 Jahre). Die Zufälle werden noch besser, wenn wir vom Gesetz der „reinen“ Drillinge abweichen und zu Zahlenpotenzen übergehen. Sie sind übrigens sehr einfach zu berechnen, da 2 fast gleich 10 ist (einst wurde die Zahl in Indien sogar als Wurzel aus 10 definiert). Sie können die Zyklen geologischer Epochen, Perioden und Zeitalter weiterhin auf ganze Dreierpotenzen (was G. Rosenberg insbesondere in der Sammlung „Eureka-88“, 1988 tut) oder auf die Zahlen 3,14 anpassen. Und Sie können Wunschdenken immer mit unterschiedlicher Genauigkeit berücksichtigen. (Im Zusammenhang mit den Anpassungen fällt mir ein mathematischer Witz ein. Lassen Sie uns beweisen, dass ungerade Zahlen Primzahlen sind. Nehmen Sie: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13 usw. und 9 ist hier ein experimenteller Fehler .) Und doch scheint die Vorstellung von der nicht offensichtlichen Rolle der Zahl p in vielen geologischen und biologischen Phänomenen nicht ganz leer zu sein und wird sich vielleicht in Zukunft manifestieren.
Die Zahl e und die Homogenität von Zeit und Raum
Kommen wir nun zur zweiten großen Weltkonstante – der Zahl e. Die mathematisch einwandfreie Bestimmung der Zahl e anhand der oben angegebenen Reihe klärt im Wesentlichen in keiner Weise ihren Zusammenhang mit physikalischen oder anderen Naturphänomenen. Wie kann man dieses Problem angehen? Die Frage ist nicht einfach. Beginnen wir vielleicht mit dem Standardphänomen der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen im Vakuum. (Darüber hinaus werden wir Vakuum als klassischen leeren Raum verstehen, ohne auf die komplexeste Natur des physikalischen Vakuums einzugehen.)
Jeder weiß, dass eine zeitlich kontinuierliche Welle durch eine Sinuswelle oder die Summe von Sinus- und Kosinuswellen beschrieben werden kann. In der Mathematik, Physik und Elektrotechnik wird eine solche Welle (mit einer Amplitude gleich 1) durch die Exponentialfunktion e iβt =cos βt + isin βt beschrieben, wobei β die Frequenz harmonischer Schwingungen ist. Hier steht eine der berühmtesten mathematischen Formeln – die Eulersche Formel. Zu Ehren des großen Leonhard Euler (1707-1783) wurde die Zahl e nach dem Anfangsbuchstaben seines Nachnamens benannt.
Diese Formel ist den Schülern gut bekannt, aber Schülern nichtmathematischer Schulen muss sie erklärt werden, da komplexe Zahlen heutzutage aus den regulären Lehrplänen der Schulen ausgeschlossen sind. Die komplexe Zahl z = x+iy besteht aus zwei Termen – der reellen Zahl (x) und der imaginären Zahl, die die reelle Zahl y multipliziert mit der imaginären Einheit ist. Reelle Zahlen werden entlang der reellen Achse O x gezählt, und imaginäre Zahlen werden im gleichen Maßstab entlang der imaginären Achse O y gezählt, deren Einheit i ist und die Länge dieses Einheitssegments der Modul | ist ich | =1. Daher entspricht eine komplexe Zahl einem Punkt auf der Ebene mit den Koordinaten (x, y). Die ungewöhnliche Form der Zahl e mit einem Exponenten, der nur imaginäre Einheiten enthält, bedeutet also, dass nur ungedämpfte Schwingungen vorhanden sind, die durch eine Kosinus- und Sinuswelle beschrieben werden.
Es ist klar, dass eine ungedämpfte Welle die Einhaltung des Energieerhaltungssatzes für eine elektromagnetische Welle im Vakuum zeigt. Diese Situation entsteht bei der „elastischen“ Wechselwirkung einer Welle mit einem Medium ohne Energieverlust. Formal kann dies wie folgt ausgedrückt werden: Wenn Sie den Referenzpunkt entlang der Zeitachse verschieben, bleibt die Energie der Welle erhalten, da die harmonische Welle die gleiche Amplitude und Frequenz, also Energieeinheiten, und nur ihre behält Phase, der vom neuen Referenzpunkt entfernte Teil der Periode, wird sich ändern. Aber gerade wegen der Gleichmäßigkeit der Zeit bei der Verschiebung des Referenzpunktes hat die Phase keinen Einfluss auf die Energie. Daher ist die parallele Übertragung des Koordinatensystems (man nennt sie Translation) aufgrund der Homogenität der Zeit t zulässig. Nun ist wohl im Prinzip klar, warum Homogenität in der Zeit zum Energieerhaltungssatz führt.
Stellen wir uns als nächstes eine Welle vor, nicht in der Zeit, sondern im Raum. Ein gutes Beispiel hierfür ist eine stehende Welle (Schwingungen einer an mehreren Knotenpunkten stationären Saite) oder Sandwellen an der Küste. Mathematisch wird diese Welle entlang der O x -Achse als e ix = cos x + isin x geschrieben. Es ist klar, dass in diesem Fall die Translation entlang x weder den Kosinus noch den Sinus verändert, wenn der Raum entlang dieser Achse homogen ist. Auch hier wird sich nur ihre Phase ändern. Aus der theoretischen Physik ist bekannt, dass die Homogenität des Raumes zum Gesetz der Impulserhaltung (Impuls), also der Masse multipliziert mit der Geschwindigkeit, führt. Der Raum sei nun zeitlich homogen (und der Energieerhaltungssatz sei erfüllt), aber in den Koordinaten inhomogen. Dann wäre an verschiedenen Punkten des inhomogenen Raums auch die Geschwindigkeit unterschiedlich, da es pro Einheit homogener Zeit unterschiedliche Werte für die Länge der Segmente gäbe, die ein Teilchen mit einer bestimmten Masse (oder eine Welle mit) pro Sekunde zurücklegt ein gegebener Impuls).
So können wir die zweite Hauptthese formulieren:
2. Die Zahl e als Basis einer Funktion einer komplexen Variablen spiegelt zwei Grundgesetze der Erhaltung wider: Energie – durch die Homogenität der Zeit, Impuls – durch die Homogenität des Raumes.
Und doch, warum wurde genau die Zahl e und nicht eine andere in Eulers Formel aufgenommen und stellte sich als Basis der Wellenfunktion heraus? Im Rahmen des Schulunterrichts in Mathematik und Physik ist die Beantwortung dieser Frage nicht einfach. Der Autor diskutierte dieses Problem mit dem Theoretiker, Doktor der Physikalischen und Mathematischen Wissenschaften V.D. Efros, und wir versuchten, die Situation wie folgt zu erklären.
Die wichtigste Klasse von Prozessen – lineare und linearisierte Prozesse – behält ihre Linearität gerade aufgrund der Homogenität von Raum und Zeit. Mathematisch wird ein linearer Prozess durch eine Funktion beschrieben, die als Lösung einer Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten dient (diese Art von Gleichungen wird im ersten und zweiten Jahr an Universitäten und Hochschulen studiert). Und sein Kern ist die obige Euler-Formel. Die Lösung enthält also eine komplexe Funktion mit der Basis e, genau wie die Wellengleichung. Außerdem ist es e und keine andere Zahl in der Basis des Grades! Denn nur die Funktion ex ändert sich für beliebig viele Differenzierungen und Integrationen nicht. Und deshalb wird nach dem Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung nur die Lösung mit der Basis e eine Identität ergeben, wie es eine korrekte Lösung tun sollte.
Schreiben wir nun die Lösung der Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten auf, die die Ausbreitung einer harmonischen Welle in einem Medium unter Berücksichtigung der inelastischen Wechselwirkung mit ihr beschreibt, die zur Energiedissipation oder zur Energiegewinnung aus externen Quellen führt:
f(t) = e (α+ib)t = e αt (cos βt + isin βt).
Wir sehen, dass Eulers Formel mit einer reellen Variablen e αt multipliziert wird, die die Amplitude der Welle ist, die sich im Laufe der Zeit ändert. Oben haben wir der Einfachheit halber angenommen, dass sie konstant und gleich 1 ist. Dies ist bei ungedämpften harmonischen Schwingungen mit α = 0 möglich. Im allgemeinen Fall jeder Welle hängt das Verhalten der Amplitude vom Vorzeichen ab des Koeffizienten a mit der Variablen t (Zeit): wenn α > 0, nimmt die Amplitude der Schwingungen zu, wenn α< 0, затухает по экспоненте.
Vielleicht ist der letzte Absatz für Absolventen vieler Normalschulen schwierig. Es sollte jedoch für Studenten von Universitäten und Hochschulen verständlich sein, die sich eingehend mit Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschäftigen.
Setzen wir nun β = 0, das heißt, wir zerstören den Oszillationsfaktor mit der Zahl i in der Lösung, die die Eulersche Formel enthält. Von den früheren Schwingungen bleibt nur die „Amplitude“ übrig, die exponentiell abnimmt (oder wächst).
Um beide Fälle zu veranschaulichen, stellen Sie sich ein Pendel vor. Im leeren Raum schwingt es ohne Dämpfung. Im Raum mit einem Widerstandsmedium treten Schwingungen mit exponentiellem Abfall der Amplitude auf. Wenn Sie ein nicht zu massives Pendel in einem ausreichend viskosen Medium auslenken, bewegt es sich sanft in Richtung der Gleichgewichtsposition und wird immer langsamer.
Aus These 2 können wir also die folgende Folgerung ableiten:
Folgerung 1. In Abwesenheit eines imaginären, reinen Schwingungsteils der Funktion f(t) beschreibt der Realteil der Exponentialfunktion bei β = 0 (d. h. bei einer Frequenz von Null) viele natürliche Prozesse, die gemäß dem Grundprinzip ablaufen : Die Wertsteigerung ist proportional zum Wert selbst .
Das formulierte Prinzip sieht mathematisch so aus: ∆I ~ I∆t, wobei, sagen wir, I ein Signal ist und ∆t ein kleines Zeitintervall ist, in dem das Signal ∆I ansteigt. Wenn wir beide Seiten der Gleichheit durch I dividieren und integrieren, erhalten wir lnI ~ kt. Oder: I ~ e kt – das Gesetz der exponentiellen Zunahme oder Abnahme des Signals (abhängig vom Vorzeichen von k). Das Gesetz der Proportionalität der Wertsteigerung zum Wert selbst führt also zu einem natürlichen Logarithmus und damit zur Zahl e. (Und hier wird dies in einer für Gymnasiasten, die die Elemente der Integration kennen, zugänglichen Form dargestellt.)
Viele Prozesse verlaufen mit einem gültigen Argument ohne zu zögern exponentiell in der Physik, Chemie, Biologie, Ökologie, Ökonomie usw. Wir weisen insbesondere auf das universelle psychophysische Gesetz von Weber-Fechner hin (aus irgendeinem Grund wird es in den Bildungsprogrammen von Schulen und Universitäten ignoriert). . Darin heißt es: „Die Stärke der Empfindung ist proportional zum Logarithmus der Stärke der Stimulation.“
Sehen, Hören, Riechen, Berühren, Schmecken, Emotionen und Gedächtnis unterliegen diesem Gesetz (natürlich bis physiologische Prozesse abrupt in pathologische übergehen, wenn die Rezeptoren verändert oder zerstört wurden). Nach dem Gesetz: 1) entspricht ein kleiner Anstieg des Reizsignals in einem beliebigen Intervall einem linearen Anstieg (mit Plus oder Minus) der Empfindungsstärke; 2) Im Bereich schwacher Reizsignale ist der Anstieg der Empfindungsstärke deutlich steiler als im Bereich starker Signale. Nehmen wir als Beispiel Tee: Ein Glas Tee mit zwei Stück Zucker wird als doppelt so süß empfunden wie Tee mit einem Stück Zucker; Aber Tee mit 20 Stück Zucker dürfte kaum merklich süßer erscheinen als mit 10 Stück. Der dynamische Bereich biologischer Rezeptoren ist enorm: Vom Auge empfangene Signale können in ihrer Stärke um das ~ 10 10-fache und vom Ohr um das ~ 10 12-fache variieren. Die Tierwelt hat sich an solche Bereiche angepasst. Es schützt sich, indem es eingehende Reize logarithmiert (durch biologische Begrenzung), andernfalls würden die Rezeptoren absterben. Die weit verbreitete logarithmische (Dezibel) Schallintensitätsskala basiert auf dem Weber-Fechner-Gesetz, nach dem die Lautstärkeregler von Audiogeräten funktionieren: Ihre Verschiebung ist proportional zur wahrgenommenen Lautstärke, nicht jedoch zur Schallintensität! (Die Empfindung ist proportional zu lg/ 0. Die Hörschwelle wird mit p 0 = 10 -12 J/m 2 s angenommen. An der Schwelle gilt lg1 = 0. Eine Erhöhung der Stärke (Druck) des Schalls um Das 10-fache entspricht ungefähr dem Gefühl eines Flüsterns, das auf einer logarithmischen Skala 1 Bel über der Schwelle liegt. Schallverstärkung eine Million Mal von einem Flüstern bis zu einem Schrei (bis zu 10 -5 J/m 2 s) auf einer logarithmischen Skala ist eine Steigerung um 6 Größenordnungen bzw. 6 Bel.)
Wahrscheinlich ist ein solches Prinzip für die Entwicklung vieler Organismen optimal wirtschaftlich. Dies lässt sich deutlich an der Bildung logarithmischer Spiralen in Muschelschalen, Samenreihen in einem Sonnenblumenkorb und Schuppen in Zapfen beobachten. Der Abstand vom Mittelpunkt nimmt nach dem Gesetz r = ae kj zu. Zu jedem Zeitpunkt ist die Wachstumsrate linear proportional zu diesem Abstand selbst (was leicht zu erkennen ist, wenn wir die Ableitung der geschriebenen Funktion nehmen). Die Profile rotierender Messer und Fräser sind in einer logarithmischen Spirale ausgeführt.
Folgerung 2. Das Vorhandensein nur des Imaginärteils der Funktion bei α = 0, β 0 in der Lösung von Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschreibt eine Vielzahl linearer und linearisierter Prozesse, bei denen ungedämpfte harmonische Schwingungen ablaufen.
Diese Folgerung bringt uns zurück zu dem oben bereits diskutierten Modell.
Folgerung 3. Bei der Implementierung von Korollar 2 erfolgt ein „Abschluss“ in einer einzelnen Formel aus Zahlen und e durch Eulers historische Formel in ihrer ursprünglichen Form e i = -1.
In dieser Form veröffentlichte Euler erstmals seinen Exponenten mit einem imaginären Exponenten. Es ist nicht schwer, es durch den Kosinus und Sinus auf der linken Seite auszudrücken. Dann ist das geometrische Modell dieser Formel eine Kreisbewegung mit einer im Absolutwert konstanten Geschwindigkeit, die die Summe zweier harmonischer Schwingungen ist. Dem physikalischen Wesen nach spiegeln die Formel und ihr Modell alle drei Grundeigenschaften der Raumzeit – ihre Homogenität und Isotropie – und damit alle drei Erhaltungssätze wider.
Abschluss
Die These über den Zusammenhang von Erhaltungssätzen mit der Homogenität von Zeit und Raum ist zweifellos richtig für den euklidischen Raum in der klassischen Physik und für den pseudoeuklidischen Minkowski-Raum in der Allgemeinen Relativitätstheorie (GR, wobei die Zeit die vierte Koordinate ist). Aber im Rahmen der Allgemeinen Relativitätstheorie stellt sich natürlich die Frage: Wie ist die Situation in Regionen mit riesigen Gravitationsfeldern, in der Nähe von Singularitäten, insbesondere in der Nähe von Schwarzen Löchern? Die Meinungen der Physiker gehen hier auseinander: Die meisten glauben, dass diese Grundprinzipien auch unter diesen extremen Bedingungen gelten. Es gibt jedoch auch andere Standpunkte maßgeblicher Forscher. Beide arbeiten an der Entwicklung einer neuen Theorie der Quantengravitation.
Um uns kurz vorzustellen, welche Probleme hier auftreten, zitieren wir die Worte des theoretischen Physikers A. A. Logunov: „Es (Minkowski-Raum. - Auto.) spiegelt Eigenschaften wider, die allen Formen der Materie gemeinsam sind. Dies gewährleistet die Existenz einheitlicher physikalischer Eigenschaften – Energie, Impuls, Drehimpuls, Energieerhaltungssätze, Impuls. Aber Einstein argumentierte, dass dies nur unter einer Bedingung möglich sei – ohne Schwerkraft<...>. Aus dieser Aussage Einsteins folgte, dass die Raumzeit nicht pseudoeuklidisch, sondern in ihrer Geometrie viel komplexer wird – Riemannsche. Letzteres ist nicht mehr homogen. Es ändert sich von Punkt zu Punkt. Es tritt die Eigenschaft der Raumkrümmung auf. Auch die genaue Formulierung von Erhaltungssätzen, wie sie in der klassischen Physik akzeptiert wurden, verschwindet darin.<...>Streng genommen ist es in der Allgemeinen Relativitätstheorie grundsätzlich unmöglich, die Gesetze zur Erhaltung des Energieimpulses einzuführen; sie können nicht formuliert werden“ (siehe „Wissenschaft und Leben“ Nr. 2, 3, 1987).
Die Grundkonstanten unserer Welt, über deren Natur wir gesprochen haben, sind nicht nur Physikern, sondern auch Lyrikern bekannt. So inspirierte die irrationale Zahl gleich 3,14159265358979323846... die herausragende polnische Dichterin des 20. Jahrhunderts, Nobelpreisträgerin von 1996, Wisława Szymborska, zu dem Gedicht „Pi“, mit einem Zitat, mit dem wir diese Notizen beenden:
Eine Zahl, die Bewunderung verdient:
Drei Komma eins vier eins.
Jede Zahl gibt ein Gefühl
Start - fünf neun zwei,
denn du wirst niemals das Ende erreichen.
Man kann nicht alle Zahlen auf einen Blick erfassen –
sechs fünf drei fünf.
Rechenoperationen -
acht neun -
ist nicht mehr genug, und es ist kaum zu glauben -
sieben neun -
dass du damit nicht durchkommst – drei zwei drei
acht -
noch eine Gleichung, die nicht existiert,
Kein scherzhafter Vergleich -
man kann sie nicht zählen.
Machen wir weiter: vier sechs...
(Übersetzung aus dem Polnischen – B. G.)
Mathematikbegeisterte auf der ganzen Welt essen jedes Jahr am 14. März ein Stück Kuchen – schließlich ist es der Tag von Pi, der berühmtesten irrationalen Zahl. Dieses Datum steht in direktem Zusammenhang mit der Zahl, deren erste Ziffer 3,14 ist. Pi ist das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser. Da es irrational ist, ist es unmöglich, es als Bruch zu schreiben. Das ist eine unendlich lange Zahl. Es wurde vor Tausenden von Jahren entdeckt und seitdem ständig untersucht, aber hat Pi noch irgendwelche Geheimnisse? Von den antiken Ursprüngen bis hin zu einer ungewissen Zukunft – hier sind einige der interessantesten Fakten über Pi.
Pi auswendig lernen
Der Rekord im Auswendiglernen von Dezimalzahlen gehört Rajvir Meena aus Indien, der sich 70.000 Ziffern merken konnte – er stellte den Rekord am 21. März 2015 auf. Rekordhalter war zuvor Chao Lu aus China, der sich 67.890 Ziffern merken konnte – dieser Rekord wurde 2005 aufgestellt. Der inoffizielle Rekordhalter ist Akira Haraguchi, der sich 2005 auf Video aufzeichnete, indem er 100.000 Ziffern wiederholte, und kürzlich ein Video veröffentlichte, in dem es ihm gelingt, sich 117.000 Ziffern zu merken. Der Rekord würde nur dann offiziell werden, wenn dieses Video in Anwesenheit eines Vertreters des Guinness-Buchs der Rekorde aufgenommen würde, und ohne Bestätigung bleibt es nur eine beeindruckende Tatsache, gilt aber nicht als Errungenschaft. Mathematikbegeisterte merken sich gerne die Zahl Pi. Viele Menschen verwenden verschiedene Gedächtnistechniken, zum Beispiel Gedichte, bei denen die Anzahl der Buchstaben in jedem Wort mit den Ziffern von Pi übereinstimmt. Jede Sprache hat ihre eigenen Versionen ähnlicher Phrasen, die Ihnen helfen, sich sowohl die ersten paar Zahlen als auch die ganzen Hunderter zu merken.
Es gibt eine Pi-Sprache
Literaturbegeisterte Mathematiker erfanden einen Dialekt, in dem die Anzahl der Buchstaben in allen Wörtern in exakter Reihenfolge den Ziffern von Pi entspricht. Der Autor Mike Keith hat sogar ein Buch geschrieben, Not a Wake, das vollständig in Pi geschrieben ist. Enthusiasten dieser Kreativität schreiben ihre Werke in voller Übereinstimmung mit der Anzahl der Buchstaben und der Bedeutung der Zahlen. Dies hat keine praktische Anwendung, ist aber in Kreisen begeisterter Wissenschaftler ein recht häufiges und bekanntes Phänomen.
Exponentielles Wachstum
Pi ist eine unendliche Zahl, sodass Menschen per Definition nie in der Lage sein werden, die genauen Ziffern dieser Zahl zu ermitteln. Allerdings hat die Anzahl der Dezimalstellen seit der ersten Verwendung von Pi stark zugenommen. Auch die Babylonier nutzten es, aber ihnen reichte ein Bruchteil von drei ganzen und ein Achtel. Die Chinesen und die Schöpfer des Alten Testaments beschränkten sich vollständig auf drei. Im Jahr 1665 hatte Sir Isaac Newton die 16 Ziffern von Pi berechnet. Bis 1719 hatte der französische Mathematiker Tom Fante de Lagny 127 Ziffern berechnet. Das Aufkommen von Computern hat das menschliche Wissen über Pi radikal verbessert. Von 1949 bis 1967 stieg die Zahl der dem Menschen bekannten Ziffern sprunghaft von 2.037 auf 500.000. Vor nicht allzu langer Zeit konnte Peter Trueb, ein Wissenschaftler aus der Schweiz, 2,24 Billionen Ziffern von Pi berechnen! Es dauerte 105 Tage. Natürlich ist dies nicht die Grenze. Es ist wahrscheinlich, dass es mit der Entwicklung der Technologie möglich sein wird, eine noch genauere Zahl zu ermitteln – da Pi unendlich ist, gibt es einfach keine Grenzen für die Genauigkeit, und nur die technischen Merkmale der Computertechnologie können sie einschränken.
Pi von Hand berechnen
Wenn Sie die Zahl selbst ermitteln möchten, können Sie die altmodische Technik anwenden – Sie benötigen ein Lineal, ein Glas und eine Schnur, oder Sie können einen Winkelmesser und einen Bleistift verwenden. Der Nachteil bei der Verwendung einer Dose besteht darin, dass sie rund sein muss und die Genauigkeit davon abhängt, wie gut eine Person das Seil darum wickeln kann. Sie können mit einem Winkelmesser einen Kreis zeichnen, dies erfordert jedoch auch Geschick und Präzision, da ein unebener Kreis Ihre Messungen stark verfälschen kann. Eine genauere Methode ist die Verwendung der Geometrie. Teilen Sie den Kreis in viele Segmente auf, wie eine Pizza in Scheiben, und berechnen Sie dann die Länge einer geraden Linie, die jedes Segment in ein gleichschenkliges Dreieck verwandeln würde. Die Summe der Seiten ergibt die ungefähre Zahl Pi. Je mehr Segmente Sie verwenden, desto genauer ist die Zahl. Natürlich können Sie bei Ihren Berechnungen nicht an die Ergebnisse eines Computers herankommen, aber diese einfachen Experimente ermöglichen es Ihnen, genauer zu verstehen, was die Zahl Pi ist und wie sie in der Mathematik verwendet wird. 
Entdeckung von Pi
Die alten Babylonier wussten bereits vor viertausend Jahren von der Existenz der Zahl Pi. Babylonische Tafeln berechnen Pi mit 3,125, und ein ägyptischer mathematischer Papyrus zeigt die Zahl 3,1605. In der Bibel wird Pi in der veralteten Länge von Ellen angegeben, und der griechische Mathematiker Archimedes verwendete den Satz des Pythagoras, eine geometrische Beziehung zwischen der Länge der Seiten eines Dreiecks und der Fläche der Figuren innerhalb und außerhalb der Kreise. um Pi zu beschreiben. Daher können wir mit Sicherheit sagen, dass Pi eines der ältesten mathematischen Konzepte ist, obwohl der genaue Name dieser Zahl erst vor relativ kurzer Zeit aufgetaucht ist.
Neuer Blick auf Pi
Noch bevor die Zahl Pi mit Kreisen in Beziehung gesetzt wurde, hatten Mathematiker bereits viele Möglichkeiten, diese Zahl überhaupt zu benennen. Beispielsweise findet man in antiken Mathematiklehrbüchern einen lateinischen Ausdruck, der grob übersetzt werden kann als „die Größe, die die Länge angibt, wenn der Durchmesser damit multipliziert wird“. Die irrationale Zahl wurde berühmt, als der Schweizer Wissenschaftler Leonhard Euler sie 1737 in seinen Arbeiten zur Trigonometrie verwendete. Allerdings wurde das griechische Symbol für Pi noch immer nicht verwendet – dies geschah lediglich in einem Buch eines weniger bekannten Mathematikers, William Jones. Er nutzte es bereits im Jahr 1706, doch es blieb lange Zeit unbemerkt. Im Laufe der Zeit haben Wissenschaftler diesen Namen übernommen, und heute ist er die bekannteste Version des Namens, obwohl er früher auch Ludolf-Zahl genannt wurde.
Ist Pi eine normale Zahl?
Pi ist definitiv eine seltsame Zahl, aber inwieweit folgt sie den normalen mathematischen Gesetzen? Wissenschaftler haben bereits viele Fragen im Zusammenhang mit dieser irrationalen Zahl gelöst, aber einige Rätsel bleiben bestehen. Es ist beispielsweise nicht bekannt, wie oft alle Zahlen verwendet werden – die Zahlen 0 bis 9 sollten im gleichen Verhältnis verwendet werden. Allerdings lässt sich die Statistik bereits ab den ersten Billionen Ziffern verfolgen, aber aufgrund der Tatsache, dass die Zahl unendlich ist, ist es unmöglich, etwas sicher zu beweisen. Es gibt noch andere Probleme, die den Wissenschaftlern noch verborgen bleiben. Es ist möglich, dass die weitere Entwicklung der Wissenschaft dazu beitragen wird, Licht ins Dunkel zu bringen, aber im Moment bleibt dies außerhalb des Rahmens der menschlichen Intelligenz.
Pi klingt göttlich
Wissenschaftler können einige Fragen zur Zahl Pi nicht beantworten, aber jedes Jahr verstehen sie ihr Wesen immer besser. Bereits im 18. Jahrhundert wurde die Irrationalität dieser Zahl nachgewiesen. Darüber hinaus hat sich die Zahl als transzendent erwiesen. Das bedeutet, dass es keine spezifische Formel gibt, mit der Sie Pi mithilfe rationaler Zahlen berechnen können. 
Unzufriedenheit mit der Zahl Pi
Viele Mathematiker sind einfach in Pi verliebt, aber es gibt auch diejenigen, die glauben, dass diese Zahlen nicht besonders aussagekräftig sind. Darüber hinaus behaupten sie, dass Tau, das doppelt so groß wie Pi ist, als irrationale Zahl bequemer zu verwenden sei. Tau zeigt die Beziehung zwischen Umfang und Radius, was nach Ansicht einiger eine logischere Berechnungsmethode darstellt. Es ist jedoch unmöglich, in dieser Angelegenheit eindeutig etwas zu sagen, und die eine oder andere Zahl wird immer Befürworter haben, beide Methoden haben das Recht auf Leben, daher ist dies nur eine interessante Tatsache und kein Grund zu der Annahme, dass Sie dies nicht tun sollten Verwenden Sie die Zahl Pi.
