Teilen Sie die Figur in gleiche Teile. Olympiade, logische und unterhaltsame Probleme in der Mathematik

Einleitende Bemerkungen des Lehrers:

Ein kleiner historischer Hintergrund: Viele Wissenschaftler interessieren sich seit der Antike für Schneidprobleme. Lösungen für viele einfache Schneidprobleme wurden von den alten Griechen und Chinesen gefunden, aber die erste systematische Abhandlung zu diesem Thema wurde von Abul-Vef verfasst. Geometer begannen zu Beginn des 20. Jahrhunderts ernsthaft damit, die Aufgabe zu lösen, Figuren in möglichst wenige Teile zu zerlegen und dann eine weitere Figur zu konstruieren. Einer der Gründer dieser Sektion war der berühmte Puzzle-Gründer Henry E. Dudeney.

Heutzutage sind Rätselliebhaber sehr daran interessiert, Schnittprobleme zu lösen, da es keine universelle Methode zur Lösung solcher Probleme gibt und jeder, der sich an die Lösung dieser Probleme heranwagt, seinen Einfallsreichtum, seine Intuition und seine Fähigkeit zum kreativen Denken voll unter Beweis stellen kann. (Während der Lektion werden wir nur eines der möglichen Beispiele für das Schneiden nennen. Es ist davon auszugehen, dass die Schüler am Ende eine andere richtige Kombination finden – davor besteht kein Grund zur Angst.)

Diese Lektion soll in Form einer praktischen Lektion durchgeführt werden. Teilen Sie die Kreisteilnehmer in Gruppen von 2-3 Personen auf. Stellen Sie jeder Gruppe Figuren zur Verfügung, die der Lehrer im Voraus vorbereitet hat. Die Schüler haben ein Lineal (mit Teilung), einen Bleistift und eine Schere. Mit der Schere dürfen nur gerade Schnitte ausgeführt werden. Nachdem Sie eine Figur in Stücke geschnitten haben, müssen Sie aus den gleichen Teilen eine weitere Figur herstellen.

Schneidaufgaben:

1). Versuchen Sie, die in der Abbildung gezeigte Figur in drei gleichförmige Teile zu schneiden:

Hinweis: Die kleinen Formen ähneln stark dem Buchstaben T.

2). Schneiden Sie diese Figur nun in 4 gleichförmige Teile:

Hinweis: Es ist leicht zu erraten, dass kleine Figuren aus drei Zellen bestehen, aber es gibt nicht viele Figuren mit drei Zellen. Es gibt nur zwei Arten: Ecke und Rechteck.

3). Teilen Sie die Figur in zwei gleiche Teile und formen Sie aus den resultierenden Teilen ein Schachbrett.

Hinweis: Schlagen Sie vor, die Aufgabe mit dem zweiten Teil zu beginnen, als ob Sie ein Schachbrett bekommen würden. Denken Sie daran, welche Form ein Schachbrett hat (quadratisch). Zählen Sie die verfügbare Anzahl an Zellen in Länge und Breite. (Denken Sie daran, dass es 8 Zellen geben sollte).

4). Versuchen Sie, den Käse mit drei Messerbewegungen in acht gleich große Stücke zu schneiden.

Tipp: Versuchen Sie, den Käse der Länge nach zu schneiden.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung:

1). Schneiden Sie ein Quadrat aus Papier aus und gehen Sie wie folgt vor:

· In 4 Stücke schneiden, aus denen zwei gleiche kleinere Quadrate entstehen können.

· In fünf Teile schneiden – vier gleichschenklige Dreiecke und ein Quadrat – und diese so falten, dass drei Quadrate entstehen.

„Bereiche der Figurengeometrie“ - c). Was wird die Fläche einer Figur sein, die aus den Figuren A und D besteht? Satz des Pythagoras. Bereiche mit verschiedenen Figuren. Figuren gleicher Fläche. Gleiche Figuren haben gleiche Flächen. Die Figuren sind in Quadrate mit einer Seitenlänge von 1 cm unterteilt. Rechteckige Dreiecke. Figuren mit gleichen Flächen werden als flächengleich bezeichnet. Das Rätsel lösen.

„Tolstoi Two Brothers“ – ich bin bereit zu arbeiten. Die Hauptidee des Märchens. Und jetzt gehen Sie auf der Stelle, links – rechts, stehen Sie einmal – zweimal. " Zwei Brüder". Ich will lernen. Wir setzen uns an unsere Schreibtische, gemeinsam machen wir uns wieder an die Arbeit. Meine Aufmerksamkeit wächst. Machen wir uns mit der Arbeit von L.N. vertraut. Tolstoi und das Werk „Zwei Brüder“. Wenn wir umsonst verschwinden, werden wir umsonst verschwinden. Wenn wir mit nichts bleiben, wird uns mit nichts zurückbleiben.

„Zwei Kapitäne Kaverin“ – Sanya lebt mit ihren Eltern und ihrer Schwester Sasha in Ensk. Die Romane „Open Book“ und „Two Captains“ wurden mehrfach verfilmt. Foka“ unter dem Kommando von Georgy Sedov, auf dem Schoner „St. V.A. Kaverin. Die Expedition kehrte nicht zurück. Die erste Erzählung „Chronik der Stadt Leipzig. Nikolai Antonovich, Katyas Cousin, erweist sich als undankbar.

„Menschliche Figur“ – Das aus dem Lateinischen übersetzte Wort Proportion bedeutet „Verhältnis“, „Verhältnismäßigkeit“. Hauptkörper (Bauch, Brust) Kopf, Gesicht, Hände nicht beachtet. Renaissance. Proportionen. Künstler und Architekten des 20. Jahrhunderts. 5. Beispiele verschiedener Bewegungen. Antikes Ägypten. Das Skelett spielt im Aufbau der Figur die Rolle eines Rahmens.

„Ähnlichkeit der Figuren“ – Tiere. Es wurden Internetmaterialien verwendet. Ähnlichkeit in unserem Leben. Geometrie. Wenn Sie alle Abmessungen einer flachen Figur gleich oft ändern (Ähnlichkeitsverhältnis) ändern (vergrößern oder verkleinern), werden die alten und neuen Figuren als ähnlich bezeichnet. Ähnliche Dreiecke. Pflanzen. Ähnlichkeit umgibt uns. Ähnlich wie bei flachen Figuren.

„Interferenz zweier Wellen“ – Interferenz. Wellen aus verschiedenen Quellen sind nicht kohärent. Der Rasierer wird durch die Oberflächenspannung des Ölfilms auf dem Wasser gehalten. Interferenz -. Der Unterschied im Wellenverlauf hängt von der Dicke der Folie ab. Interferenz mechanischer Schallwellen. Nennen Sie ein optisches Phänomen. Ursache? Licht unterschiedlicher Farbe entspricht unterschiedlichen Wellenlängen.

Präsentation für eine Lektion in visueller Geometrie in der 5. Klasse. Konzentriert sich auf das Lehrbuch für Bildungseinrichtungen „Visuelle Geometrie“, Klassen 5-6 / I.F. Shaprygin, L.N. Erganzhieva – Herausgeber: Bustard, 2015

Grundkonzept: Zahlengleichheit. Themenergebnisse: Gleiche Figuren darstellen und ihre Gleichheit begründen; Konstruieren Sie vorgegebene Figuren aus flachen geometrischen Formen. Ein Bild erstellen und manipulieren: zerlegen, drehen, kombinieren, überlagern. Meta-Fach-Ergebnisse: Entwicklung von fantasievollem Denken, Gestaltungsfähigkeiten, Fähigkeit, Ergebnisse zu antizipieren, Bildung von Kommunikationsfähigkeiten.

Persönliche Ergebnisse: Entwicklung kognitiver Aktivität; Lust auf geistige Arbeit wecken. Intrasubjekt- und intersubjektbezogene Verbindungen: Planimetrie (Gleichheit der Figuren, Symmetrie, Fläche, gleiche Größe und gleiche Zusammensetzung), geometrische Kombinatorik, Zeichnung, Technologie.

Diese Lektion ist die erste von zwei zu diesem Thema.

In dieser Lektion werden Probleme beim Schneiden von Formen behandelt. Das Ziel des Lösers besteht darin, die angegebene Figur in zwei oder mehr gleiche Teile zu zerlegen. Um diese Abbildung zu vereinfachen, wird sie häufig in Zellen unterteilt. In diesen Problemen wird implizit das Konzept der Gleichheit der Figuren eingeführt (Figuren, die bei Überlagerung zusammenfallen, werden als gleich bezeichnet). Diese Definition wird auch verwendet, um die Gleichheit der resultierenden Zahlen zu überprüfen.

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„Probleme beim Schneiden und Falten von Formen. Lektion 1"

Schnittprobleme

und Faltfiguren

Ziel: Festigung der Fähigkeit zur Lösung von Schneidproblemen.

Visuelle Geometrie

5. Klasse

Dieses Sprichwort warnt Sie vor Eile bei der Lösung von Problemen.

Die gegebene Figur, die der Einfachheit halber in gleiche Zellen unterteilt ist, muss in zwei oder mehr Teile geschnitten werden.

Wenn diese Teile so übereinander gelegt werden können, dass sie übereinstimmen (und die Figuren umgedreht werden können), ist das Problem richtig gelöst.

Probleme lösen

Lokaler Grundstückshändler

Gelegentlich hat er sich ein Stück ungewöhnliches Land geschnappt

Formen (er hoffte, es in Teilen gewinnbringend verkaufen zu können).

Aber jeder der acht wurde gefunden

Ich bin Käufer, wollte haben

Das Grundstück ist nicht schlechter als das des Nachbarn.

Wo soll der Händler installieren?

Trennzäune,

um es 8 zu machen

identische Bereiche?

Antwort

Probleme lösen

Ein Quadrat besteht aus 16 identischen Zellen,

4 davon sind übermalt. Schneiden Sie das Quadrat ein

4 gleiche Teile, so dass in jedem von ihnen

es gab nur eine farbige Zelle.

Eine Zelle kann in jedem Teil einen beliebigen Platz einnehmen.

Antwort (4)

Probleme lösen

Schneiden Sie das Rechteck in 4 gleiche Teile,

(Verwenden Sie so viele Methoden wie möglich).

1 Weg

Die Präsentation bietet nur 4 Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Vielleicht schlagen Studierende andere Methoden vor – diese sollten auch im Unterricht berücksichtigt werden.

Methode 2

3-Wege

Formen Sie daraus Formen. Wie viele davon hast du bekommen?

Das Ergebnis

die Figuren heißen

TRIMINO .

Nimm vier identische Quadrate. Formen Sie daraus Formen.

• Wie viele davon hast du bekommen?

Habe fünf

TETRAMINO-Figuren.

Bilden Sie fünf Quadrate

alle möglichen Figuren.

Wie viele davon hast du bekommen?

Insgesamt vorhanden 12 Pentomino-Elemente

Für Mathematiklehrer und Lehrer verschiedener Wahlfächer und Vereine wird eine Auswahl unterhaltsamer und lehrreicher geometrischer Schnittaufgaben angeboten. Das Ziel eines Tutors, der solche Probleme in seinem Unterricht anwendet, besteht nicht nur darin, den Schüler für interessante und wirkungsvolle Kombinationen von Zellen und Figuren zu interessieren, sondern auch darin, sein Gespür für Linien, Winkel und Formen zu entwickeln. Der Aufgabenkomplex richtet sich hauptsächlich an Kinder der Klassen 4 bis 6, kann aber auch bei Oberstufenschülern eingesetzt werden. Die Übungen erfordern eine hohe und anhaltende Konzentrationsfähigkeit der Schüler und eignen sich hervorragend zur Entwicklung und Schulung des visuellen Gedächtnisses. Empfohlen für Mathematiklehrer, die Schüler auf Aufnahmeprüfungen an Mathematikschulen und Klassen vorbereiten, die besondere Anforderungen an das Niveau des unabhängigen Denkens und der kreativen Fähigkeiten des Kindes stellen. Das Aufgabenniveau entspricht dem Niveau der Aufnahmeolympiaden des Lyzeums „Zweite Schule“ (zweite mathematische Schule), der kleinen Fakultät für Mechanik und Mathematik der Moskauer Staatlichen Universität, der Kurchatov-Schule usw.

Hinweis für Mathematiklehrer:
In einigen Problemlösungen, die Sie durch Klicken auf den entsprechenden Zeiger anzeigen können, ist nur eines der möglichen Schnittbeispiele angegeben. Ich gebe voll und ganz zu, dass Sie am Ende möglicherweise eine andere richtige Kombination erhalten – davor brauchen Sie keine Angst zu haben. Überprüfen Sie die Lösung Ihres Kindes sorgfältig. Wenn sie die Bedingungen erfüllt, können Sie sich gerne an die nächste Aufgabe machen.

1) Versuchen Sie, die in der Abbildung gezeigte Figur in drei gleichförmige Teile zu schneiden:

: Kleine Formen sind dem Buchstaben T sehr ähnlich

2) Schneiden Sie diese Figur nun in 4 gleichförmige Teile:

Tipp für Mathe-Nachhilfelehrer: Es ist leicht zu erraten, dass kleine Figuren aus drei Zellen bestehen, aber es gibt nicht viele Figuren mit drei Zellen. Es gibt nur zwei Arten davon: eine Ecke und ein 1×3-Rechteck.

3) Schneiden Sie diese Figur in 5 gleichförmige Stücke:

Finden Sie die Anzahl der Zellen, aus denen jede dieser Figuren besteht. Diese Figuren sehen aus wie der Buchstabe G.

4) Jetzt müssen Sie eine Zahl von zehn Zellen in 4 schneiden ungleich Rechteck (oder Quadrat) zueinander.

Anweisungen für Mathe-Nachhilfelehrer: Wählen Sie ein Rechteck aus und versuchen Sie dann, drei weitere in die verbleibenden Zellen einzufügen. Wenn es nicht funktioniert, ändern Sie das erste Rechteck und versuchen Sie es erneut.

5) Die Aufgabe wird komplizierter: Sie müssen die Figur in 4 Teile schneiden unterschiedlich in der Form Figuren (nicht unbedingt Rechtecke).

Tipp für Mathe-Nachhilfelehrer: Zeichnen Sie zunächst alle Arten von Figuren unterschiedlicher Form separat (es werden mehr als vier davon sein) und wiederholen Sie die Methode zum Aufzählen von Optionen wie in der vorherigen Aufgabe.
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6) Schneiden Sie diese Figur aus vier Zellen unterschiedlicher Form in 5 Figuren, sodass in jeder von ihnen nur eine grüne Zelle bemalt ist.

Tipp für Mathe-Nachhilfelehrer: Beginnen Sie mit dem Schneiden am oberen Rand dieser Figur und Sie werden sofort verstehen, wie Sie vorgehen müssen.
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7) Basierend auf der vorherigen Aufgabe. Finden Sie heraus, wie viele Figuren unterschiedlicher Form es gibt, die aus genau vier Zellen bestehen? Die Figuren lassen sich zwar drehen und wenden, den Tisch, auf dem sie liegen, kann man jedoch nicht (von der Oberfläche) anheben. Das heißt, die beiden angegebenen Zahlen werden nicht als gleich angesehen, da sie nicht durch Rotation voneinander erhalten werden können.

Tipp für Mathe-Nachhilfelehrer: Studieren Sie die Lösung des vorherigen Problems und versuchen Sie, sich die verschiedenen Positionen dieser Figuren beim Drehen vorzustellen. Es ist nicht schwer zu erraten, dass die Antwort auf unser Problem die Zahl 5 oder mehr sein wird. (Tatsächlich sogar mehr als sechs). Es werden 7 Arten von Figuren beschrieben.

8) Schneiden Sie ein Quadrat mit 16 Zellen in 4 gleichförmige Stücke, sodass jedes der vier Stücke genau eine grüne Zelle enthält.

Tipp für Mathe-Nachhilfelehrer: Das Aussehen der kleinen Figuren ist kein Quadrat oder Rechteck, noch nicht einmal eine Ecke von vier Zellen. In welche Formen sollten Sie also versuchen zu schneiden?

9) Schneiden Sie die abgebildete Figur in zwei Teile, sodass die resultierenden Teile zu einem Quadrat gefaltet werden können.

Hinweis für den Mathematiklehrer: Insgesamt gibt es 16 Zellen, was bedeutet, dass das Quadrat eine Größe von 4x4 hat. Und irgendwie muss man das Fenster in der Mitte füllen. Wie kann man das machen? Könnte es eine Art Verschiebung geben? Da die Länge des Rechtecks ​​dann einer ungeraden Anzahl von Zellen entspricht, sollte der Schnitt nicht vertikal, sondern entlang einer gestrichelten Linie erfolgen. So dass auf der einen Seite der Mittelzelle der obere Teil und auf der anderen der untere Teil abgeschnitten wird.

10) Schneiden Sie ein 4x9-Rechteck in zwei Teile, damit diese zu einem Quadrat gefaltet werden können.

Tipp für Mathe-Nachhilfelehrer: Das Rechteck enthält insgesamt 36 Zellen. Daher wird das Quadrat 6x6 groß sein. Da die Längsseite aus neun Zellen besteht, müssen drei davon abgeschnitten werden. Wie wird dieser Schnitt ablaufen?

11) Das in der Abbildung gezeigte Kreuz aus fünf Zellen muss in Stücke geschnitten werden (Sie können die Zellen selbst schneiden), aus denen ein Quadrat gefaltet werden könnte.

Tipp für Mathe-Nachhilfelehrer: Es ist klar, dass wir, egal wie wir entlang der Zellenlinien schneiden, kein Quadrat erhalten, da es nur 5 Zellen gibt. Dies ist die einzige Aufgabe, bei der das Schneiden erlaubt ist nicht durch Zellen. Es wäre jedoch immer noch gut, sie als Leitfaden zu belassen. Es ist beispielsweise erwähnenswert, dass wir die Vertiefungen, die wir haben, irgendwie entfernen müssen – nämlich in den inneren Ecken unseres Kreuzes. Wie macht man das? Schneiden Sie zum Beispiel einige überstehende Dreiecke von den äußeren Ecken des Kreuzes ab ...

Aufschlüsselung auf kariertem Papier.

Dies ist eigentlich eine vereinfachte Version des Katamino-Spiels, für die nur kariertes Papier und ein Bleistift erforderlich sind. Solche Probleme finden sich häufig in Lehrbüchern und Olympiadenaufgaben für jüngere Schulkinder. Sie müssen die in den Zellen gezeichnete Figur in eine bestimmte Anzahl identischer Teile teilen.

Diese Aufgaben sind für ein sehr breites Altersspektrum geeignet, beginnend im Alter von drei bis vier Jahren. Aber man sollte sie nicht überbeanspruchen – sie werden irgendwann langweilig. Höchstwahrscheinlich sollten Sie sich auf eine Komplexität von 4–5 Teilen mit jeweils 4–5 Zellen festlegen.

Level 1.

Reis. 1: Entlang der Gitterlinien (durch Zellen) in 2 gleiche Teile teilen.

Reis. 2: Entlang der Gitterlinien in 3 gleiche Teile teilen.

Ihre Kinder benötigen möglicherweise einfachere Aufgaben. Sie sind sehr einfach zu verfassen: Sie müssen nur „von der Antwort ausgehen“, d. h. Nehmen Sie kariertes Papier, wählen Sie aus mehreren Zellen die Form einer Figur („Teil“) aus und zeichnen Sie mehrere solcher Figuren nebeneinander, indem Sie sie „blenden“. (Es wäre schön, die Figuren nicht mit ihren Spiegelbildern zu verwechseln.) Es spielt keine Rolle, ob sich herausstellt, dass das Problem zwei oder mehr Lösungen hat, was bedeutet, dass Sie mindestens eine (oder alle) finden müssen. Zeichnen Sie den Umriss des resultierenden „Monsters“ noch einmal auf ein leeres Blatt kariertes Papier – die Aufgabe ist fertig.

Level 2.

Reis. 3: Teilen Sie die Zellen in zwei gleiche Teile, sodass jede von ihnen eine enthält
Rotes Quadrat. (Eine zusätzliche Bedingung – ein rotes Quadrat – verbietet „zusätzliche“
Lösungen.)

Reis. 4: Entlang der Gitterlinien in 3 gleiche Teile teilen.

Reis. 5: Entlang der Gitterlinien in 4 gleiche Teile teilen.

Stufe 3.

Reis. 6: In 4 gleiche Teile teilen.