Probleme mit gleichschenkligen Dreiecken. Gleichschenkligen Dreiecks

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Jeder muss sein Schulwissen mal auffrischen, auch wenn die endgültige Formel auf den ersten Blick nicht kompliziert aussieht. Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks lässt sich leicht aus dem Satz des berühmten Mathematikers Pythagoras ableiten oder aus der Formel von Heron extrahieren.

Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks online berechnen

Der einfachste Weg, der keine mentale Anstrengung von Ihnen erfordert, besteht darin, den gewünschten Wert mithilfe von Online-Diensten zu finden. Viele Websites bieten an, die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks zu berechnen. Der Benutzer muss nur die Anfangswerte festlegen - die Längen der Seiten (für ein gleichschenkliges Dreieck die Seite und die Basis). Beispielsweise können Sie diese Seite kostenlos nutzen. Wenn Sie die Berechnungen selbst durchführen möchten, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort.

Formeln für die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks

Nach den Berechnungen aus den in der Einleitung angegebenen Theoremen ist die Formel für die Höhe eines solchen Dreiecks gleich der Wurzel der Differenz der Seiten, die jeweils quadriert und durch 4 geteilt werden. Visuell sieht es so aus ( wobei h die gewünschte Höhe ist, a die Länge der Basis des Dreiecks ist, b die Länge seiner Seite ist):

Wenn Sie noch Fragen haben, hören Sie sich ein ausführliches und verständliches Video an, in dem der Lehrer erklärt, wie man die Höhe eines Dreiecks mit gleichen Seiten ermittelt.

Aufgrund der zwei gleichen Seiten hat das gleichschenklige Dreieck eine Reihe spezifischer Eigenschaften, für die es von den Erstellern von Problemen sehr geschätzt wird. Überlegen Sie, was die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks auszeichnet und wie Sie sie am besten finden.

Definition

Im Allgemeinen ist die Höhe die Senkrechte vom Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite. In einem gleichschenkligen Dreieck bedeutet Höhe normalerweise die Höhe, die zur Basis abgesenkt ist.

Wenn Sie je nach Problemstellung den Wert der Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks finden müssen, ohne anzugeben, welche Höhe Sie finden möchten, dann meinen wir die Höhe, die auf die Basis abgesenkt ist.

Notwendige Theoreme

Um Probleme bei der Bestimmung der Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks zu lösen, müssen Sie den Satz des Pythagoras und die Eigenschaft der Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks kennen.

Satz des Pythagoras: In einem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate.

Eigentum: In einem gleichschenkligen Dreieck ist die zur Basis gezogene Höhe der Median und die Winkelhalbierende.

Reis. 1. Objektdarstellung.

Aus dem Satz und der Eigenschaft folgt die Grundformel für die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks. Betrachten Sie ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Höhe AH und der Basis BC. Dann ist das Dreieck ABN ein rechtwinkliges Dreieck. Wir schreiben den Wert der Höhe durch den Satz des Pythagoras, da im Dreieck ABH die Höhe AH das Bein ist.

$$AH=\sqrt(AB^2-BH^2)=\sqrt(AB^2-((BC\over(2)))^2)$$

$$BH=(1\over2)*BC$$ da AH der Median ist. Dies ist die Formel für die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks.

Reis. 2. Zeichnen für das Problem.

Aufgabe

Lassen Sie uns ein Problem lösen, bei dem es nicht nur um die zur Basis gezogene Höhe geht, sondern um eine andere Höhe. In einem gleichschenkligen Dreieck gibt es wie in jedem anderen drei davon. Das Problem wird auch eine Methode zum Ermitteln der Höhe anwenden, die für jedes Dreieck verwendet werden kann, nicht nur für ein gleichschenkliges.

In das gleichschenklige Dreieck ABC mit der Basis BC sind die Höhen AH und BP eingezeichnet. Der Sinus des Winkels ASV ist 0,6 und die laterale Seite ist 5. Finden Sie die Höhe BP.

Reis. 3. Zeichnen für das Problem.

Zuerst müssen Sie den Wert der Höhe ermitteln, die zur Basis und zur Basis gezogen wird. Achten Sie dazu auf das rechtwinklige Dreieck ASN. Lassen Sie uns die Definition von Sinus verwenden.

Der Sinus eines Winkels ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse. Wir kennen den Wert des Sinus, was bedeutet:

$$(AH\over(AC))=0.6$$ - aus diesem Verhältnis drücken wir den Wert von AH aus.

$$AN=0.6*AC=0.6*5=3$$

Durch den Satz des Pythagoras finden wir den Wert von HC:

$$HC=\sqrt(AC^2-AH^2)=\sqrt(25-9)=\sqrt(16)=4$$

Dann ist die Basis:

$$VS=VN+NS=2*NS=2*4=8$$

Finden Sie nun die Fläche des Dreiecks:

$$S=(1\over2)*AH*Sun=(1\over2)*3*8=12$$

Andererseits kann die Fläche auch durch die Höhe BP gefunden werden.

$$S=(1\over2)*BP*AC$$ - da BP die Höhe zur Seite AC ist.

Also stimmt die Aussage:

$$(1\over2) *AH*BC=(1\over2)*VR*AC$$

$$AN*Sonne=VR*AC$$

$$BP=((AN*Sonne)\over(AC))=((3*8)\over5)=(24\over5)=4.8$$

Was haben wir gelernt?

Wir haben die Formel für die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks hergeleitet. Wir haben festgestellt, dass die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck in beliebiger Beziehung zu einem beliebigen Dreieck gefunden werden kann, und haben ein interessantes Problem gelöst, bei dem es darum geht, die Höhe eines Dreiecks zu finden.

Themen-Quiz

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Notiz. Dies ist Teil der Lektion mit Problemen in der Geometrie (Schnitt gleichschenkliges Dreieck). Hier sind die Aufgaben, die Schwierigkeiten bei der Lösung verursachen. Wenn Sie ein Problem in Geometrie lösen müssen, das nicht hier ist, schreiben Sie darüber im Forum. Um die Aktion des Ziehens einer Quadratwurzel beim Lösen von Problemen zu kennzeichnen, wird das Symbol √ oder sqrt () verwendet, und der Wurzelausdruck wird in Klammern angegeben.

Aufgabe

In einem gleichschenkligen Dreieck ABC sind die Seiten AB und AC gleich 13a. Der Tangens des Winkels B ist 3/4. Finden Sie die Höhe AK gezeichnet zur Basis BC dieses gleichschenkligen Dreiecks.

Lösung.
Da wir den Tangens des Winkels B kennen, verhalten sich die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks AKB wie folgt
AK/KB = tg B = 3/4

Bezeichnen wir den Proportionalitätskoeffizienten dieser Seiten mit x.
Dann gilt nach dem Satz des Pythagoras für dieses Dreieck der Ausdruck:

(3x)2 + (4x)2 = (13a)2
9x2 + 16x2 = 169a2
25x2 = 169a2
x 2 \u003d 169 / 25a 2
x = 13/5a

Wo
AK \u003d 3x \u003d 13 / 5a * 3 \u003d 7,8a
KB = 4x = 13/5a*4 = 10,4a

Antworten: 7.8a und 10.4a

Zunächst einmal ist ein Dreieck eine geometrische Figur, die aus drei Punkten besteht, die nicht auf einer geraden Linie liegen, die durch drei Segmente verbunden sind. Um herauszufinden, wie hoch ein Dreieck ist, muss zunächst sein Typ bestimmt werden. Dreiecke unterscheiden sich in der Größe der Winkel und der Anzahl gleicher Winkel. Je nach Größe der Winkel kann das Dreieck spitzwinklig, stumpfwinklig und rechtwinklig sein. Nach der Anzahl gleicher Seiten werden gleichschenklige, gleichseitige und ungleichseitige Dreiecke unterschieden. Die Höhe ist die Senkrechte, die von seinem Scheitelpunkt auf die gegenüberliegende Seite des Dreiecks abgesenkt wird. Wie findet man die Höhe eines Dreiecks?

So finden Sie die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks

Ein gleichschenkliges Dreieck zeichnet sich durch die Gleichheit von Seiten und Winkeln an seiner Basis aus, daher sind die Höhen eines zu den Seiten gezeichneten gleichschenkligen Dreiecks immer gleich. Außerdem ist die Höhe dieses Dreiecks sowohl ein Median als auch eine Winkelhalbierende. Dementsprechend teilt die Höhe die Basis in zwei Hälften. Wir betrachten das resultierende rechtwinklige Dreieck und ermitteln die Seite, also die Höhe des gleichschenkligen Dreiecks, mit Hilfe des Satzes des Pythagoras. Mit der folgenden Formel berechnen wir die Höhe: H \u003d 1/2 * √4 * a 2 - b 2, wobei: a - die Seite dieses gleichschenkligen Dreiecks, b - die Basis dieses gleichschenkligen Dreiecks.

So finden Sie die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks

Ein Dreieck mit gleichen Seiten heißt gleichseitiges Dreieck. Die Höhe eines solchen Dreiecks ergibt sich aus der Formel für die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks. Es stellt sich heraus: H = √3/2*a, wobei a die Seite des gegebenen gleichseitigen Dreiecks ist.

So finden Sie die Höhe eines ungleichmäßigen Dreiecks

Ein ungleichseitiges Dreieck ist ein Dreieck, in dem keine zwei Seiten gleich sind. In einem solchen Dreieck sind alle drei Höhen unterschiedlich. Sie können die Höhenlängen mit der Formel berechnen: H \u003d sin60 * a \u003d a * (sgrt3) / 2, wobei a die Seite des Dreiecks ist, oder zuerst die Fläche eines bestimmten Dreiecks mit berechnen Reiherformel, die so aussieht: S \u003d (p * (p-c) * (p-b)*(p-a)) ^ 1/2, wobei a, b, c Seiten eines ungleichmäßigen Dreiecks sind und p sein halber Umfang ist . Jede Höhe = 2*Fläche/Seite

So finden Sie die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen rechten Winkel. Die Höhe, die auf eines der Beine übergeht, ist gleichzeitig das zweite Bein. Um die auf den Beinen liegenden Höhen zu finden, müssen Sie daher die modifizierte pythagoreische Formel verwenden: a \u003d √ (c 2 - b 2), wobei a, b die Beine sind (a das zu findende Bein ist), c ist die Länge der Hypotenuse. Um die zweite Höhe zu finden, müssen Sie den resultierenden Wert a anstelle von b einsetzen. Um die dritte Höhe zu finden, die innerhalb des Dreiecks liegt, wird die folgende Formel verwendet: h \u003d 2s / a, wobei h die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks ist, s seine Fläche ist, a die Länge der Seite ist, zu der die Höhe wird senkrecht sein.

Ein Dreieck heißt spitz, wenn alle seine Winkel spitz sind. In diesem Fall befinden sich alle drei Höhen innerhalb eines spitzwinkligen Dreiecks. Ein Dreieck heißt stumpf, wenn es einen stumpfen Winkel hat. Zwei Höhen eines stumpfen Dreiecks liegen außerhalb des Dreiecks und fallen auf die Verlängerung der Seiten. Die dritte Seite liegt innerhalb des Dreiecks. Die Höhe wird mit dem gleichen Satz des Pythagoras bestimmt.

Allgemeine Formeln wie die Berechnung der Höhe eines Dreiecks

Die Formel zum Ermitteln der Höhe eines Dreiecks durch die Seiten: H= 2/a √p*(p-c)*(p-b)*(p-b), wobei h die zu ermittelnde Höhe, a, b und c die Seiten sind des gegebenen Dreiecks ist p sein halber Umfang, .
Die Formel zur Bestimmung der Höhe eines Dreiecks in Bezug auf Winkel und Seite: H=b sin y = c sin ß
Die Formel zum Ermitteln der Höhe eines Dreiecks in Bezug auf Fläche und Seite: h = 2S / a, wobei a die Seite des Dreiecks und h die Höhe ist, die zur Seite a gebaut ist.
Die Formel zum Ermitteln der Höhe eines Dreiecks in Bezug auf Radius und Seiten: H = bc / 2R.