Datensätze mit der Bezeichnung "Punktprodukt von Vektoren". Punktprodukt von Vektoren Test 6 Punktprodukt von Vektoren

24. Vereinfachen wir diese Funktion. Nach dem Satz von Vieta finden wir die Wurzeln des quadratischen Trinoms x 2 -x-6(x 1 = -2 , x 2 = 3 ) entwickeln wir den Nenner des Bruches in lineare Faktoren (x-3) (x + 2) und lösche den Bruch um (x-3)... Finden Sie die Stammfunktion H(x) die resultierende Funktion 1 / (x + 2).

25. Also werden 126 Spieler spielen 63 Spiele, von denen sich 63 Teilnehmer als Sieger in der zweiten Runde qualifizieren. Insgesamt werden 63 + 1 = 64 Teilnehmer in der zweiten Runde kämpfen. Sie werden spielen 32 Spiele, daher 32 weitere Gewinner, die spielen werden 16 Spiele. 16 Gewinner werden spielen 8 Spiele, 8 Gewinner werden spielen 4 Spiele. Die vier Gewinner spielen 2 Spiele, und schließlich müssen die beiden Gewinner spielen letztes Spiel... Wir zählen Spiele: 63+32+16+8+4+2+1=126.

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Option 1 Eine Vorlage zum Erstellen von Tests in PowerPoint MCOU "Pogorelskaya Secondary School" wurde verwendet Koshcheev MM

Variante 1 b) stumpf a) spitz c) gerade

Option 1 c) ist gleich null a) größer als null b) kleiner als null

Variante 1 b) -½ ∙ a² c) ½ ∙ a²

Option 1 4. D ABC - Tetraeder, AB = BC = AC = A D = BD = CD. Dann stimmt das nicht….

Option 1 5. Welche Aussage ist richtig?

Option 1 b) a ₁ b + a ₂ b ₂ + a ₃ b ₃ c) a ₁ b b ₃ + b ₁ a ₂ b ₃ + b b ₂ a ₃ a) a а₂а₃ + b ₁ b ₂ b ₃

Variante 1 b) - a ² a) 0 c) a²

Möglichkeit 1 a) a b) aus

Variante 1

Option 1 a) 7 c) -7 b) -9

Option 1 b) -4 a) 4 c) 2

Variante 1 b) 120 ° a) 90 ° c) 60 °

Variante 1 c) 0.7 a) -0.7 b) 1 13. Die Koordinaten der Punkte sind gegeben: A (1; -1; -4), B (-3; -1; 0), C (-1; 2 ; 5), D (2; -3; 1). Dann ist der Kosinus des Winkels zwischen den Linien AB und CD gleich ……

Option 1 c) 4

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Variante 2 Eine Vorlage zum Erstellen von Tests in PowerPoint MCOU "Pogorelskaya Secondary School" wurde verwendet Koshcheev MM

Testergebnis Richtig: 14 Fehler: 0 Note: 5 Zeit: 1 min. 40 Sek. immer noch beheben

Variante 2 a) spitz b) stumpf c) gerade

Option 2 a) ist größer als null c) ist gleich null b) ist kleiner als null

Variante 2 b) -½ ∙ a² a) ½ ∙ a²

Option 2 4. АВСА "ВС" - Prisma,

Option 2 5. Welche Aussage ist richtig?

Option 2 a) m ₁ n ₁ + m ₂ n ₂ + m ₃ n ₃ c) m ₁ m ₂ m ₃ + n ₁ n ₂ n ₃ b) (n ₁- m ₁) ² + (n ₂- m ₂ ) ² + (n ₃- m ₃) ²

Variante 2 c) - a ² a) 0 b) a²

Variante 2 a) o c) a²

Option 2

Option 2 b) 3 c) -3 a) 19

Option 2 a) - 0,5 b) -1 c) 0,5

Variante 2 b) 6 0 ° a) 90 ° c) 12 0 °

Option 2 a) 0.7 c) -0.7 b) 1 13. Die Koordinaten der Punkte sind angegeben: C (3; - 2; 1), D (- 1; 2; 1), M (2; -3; 3 ), N (-1; 1; -2). Dann ist der Kosinus des Winkels zwischen den Geraden CD und MN gleich ……

Option 2 c) 4

Schlüssel zum Test: Vektorpunktprodukt. Option 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Erz. b c b c a b b a c a b b c b Referenzen G.I. Kovaleva, N. I. Mazurova Geometrie 10-11 Noten. Tests zur aktuellen und generalisierten Kontrolle. Verlag "Lehrer", 2009 Option 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Erz. a a b b b a c a c b a b a b

Skalarprodukt ein  b zwei Vektoren ungleich null ein und b ist eine Zahl gleich dem Produkt der Längen dieser Vektoren mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen. Wenn mindestens einer dieser Vektoren gleich Null ist, ist das Skalarprodukt gleich Null. Somit haben wir per Definition

wobei  der Winkel zwischen den Vektoren ist ein und b .

Punktprodukt von Vektoren ein , b auch durch Symbole gekennzeichnet ab .

Das Vorzeichen des Skalarprodukts wird durch den Wert  bestimmt:

wenn 0    dann ein  b  0,

wenn    , dann ein  b  0.

Das Skalarprodukt ist nur für zwei Vektoren definiert.

Operationen auf Vektoren in Koordinatenform

Geben Sie das Koordinatensystem ein Oh gegebene Vektoren ein = (x 1 ; ja 1) = x 1 ich + ja 1 j und b = (x 2 ; ja 2) = x 2 ich + ja 2 j .

1. Jede Koordinate der Summe von zwei (oder mehr) Vektoren ist gleich der Summe der entsprechenden Koordinaten der Vektorsummanden, d.h. ein + b = = (x 1 + x 2 ; ja 1 + ja 2).

2. Jede Koordinate der Differenz zweier Vektoren ist gleich der Differenz der entsprechenden Koordinaten dieser Vektoren, d.h. ein – b = (x 1 – x 2 ; ja 1 – ja 2).

3. Jede Koordinate des Produkts eines Vektors und einer Zahl  ist gleich dem Produkt der entsprechenden Koordinate dieses Vektors um , also aber = ( x 1 ;  beim 1).

4. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist gleich der Summe der Produkte der entsprechenden Koordinaten dieser Vektoren, dh. ein  b = x 1  x 2 + + ja 1  ja 2 .

Folge. Vektorlänge aber = (x; ja) ist gleich der Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten, d.h.

=
(5)

Beispiel 4. Gegebene Vektoren
b = 3ich – j .

Erforderlich:

1. Finden

2. Finden Sie das Skalarprodukt von Vektoren von , d .

3. Finden Sie die Länge des Vektors von .

Entscheidung

1. Nach Eigenschaft 3 finden wir die Koordinaten der Vektoren 2 aber , –aber , 3b , 2b : 2aber = = 2(–2; 3) = (–4; 6), –aber = –(–2; 3) = (2; –3), 3b = 3(3; –1) = (9; –3), 2b = = 2(3; –1) = = (6; –2).

Durch die Eigenschaften 2, 1 finden wir die Koordinaten der Vektoren von , d : von = 2ein – 3b = = (–4; 6) – (9; –3) = (–13; 9), d = –ein + 2b = (2; –3) + (6; –2) = (8; –5).

2. Nach Eigenschaft 4 CD = –13  8 + 9  (–5) = –104 – 45 = –149.

3. Als Folgerung zu Eigenschaft 4 | von | =
=
.

Test 3 . Vektorkoordinaten ermitteln aber + b , wenn ein aber = (–3; 4), b = = (5; –2):

Prüfung 4. Vektorkoordinaten ermitteln aber – b , wenn ein aber = (2; –1), b = = (3; –4):

Test 5 . Finden Sie die Koordinaten des Vektors 3 aber , wenn ein aber = (2; –1):

Test 6 . Punktprodukt finden ein , b Vektoren aber = (1; –4), b = (–2; 3):

Test 7 . Finden Sie die Länge eines Vektors aber = (–12; 5):

3)
;

Antworten auf Testaufgaben

1.3. Elemente der analytischen Geometrie im Raum

Ein rechtwinkliges Koordinatensystem im Raum besteht aus drei zueinander senkrechten Koordinatenachsen, die sich im selben Punkt (Ursprung 0) schneiden und eine Richtung sowie eine Maßstabseinheit entlang jeder Achse haben (Abbildung 17).

Abbildung 17

Punktposition M auf der Ebene wird durch drei Zahlen eindeutig bestimmt - seine Koordinaten M(x t ; beim t ; z t), wo x t- Abszisse, beim t- Ordinate, z t- bewerben.

Jeder von ihnen gibt eine Entfernung von einem Punkt an M zu einer der Koordinatenebenen mit einem Vorzeichen, das berücksichtigt, auf welcher Seite dieser Ebene sich der Punkt befindet: ob er in Richtung der positiven oder negativen Richtung der dritten Achse betrachtet wird.

Drei Koordinatenebenen unterteilen den Raum in 8 Teile (Oktanten).

Abstand zwischen zwei Punkten EIN(x ABER ; beim ABER ; z ABER) und B(x IM ; beim IM ; z IM) wird nach der Formel berechnet

Gegebene Punkte EIN(x 1 ; beim 1 ; z 1) und B(x 2 ; beim 2 ; z 2). Dann die Koordinaten des Punktes VON(x; beim; z) das Segment teilen
in Bezug auf, werden durch die folgenden Formeln ausgedrückt:

Beispiel 1 . Entfernung finden AB, wenn ein ABER(3; 2; –10) und IM(–1; 4; –5).

Entscheidung

Entfernung AB berechnet nach der Formel

Die Menge aller Punkte, deren Koordinaten die Gleichung mit drei Variablen erfüllen, bildet eine bestimmte Fläche.

Die Menge der Punkte, deren Koordinaten zwei Gleichungen erfüllen, bildet eine bestimmte Linie - die Schnittlinie der entsprechenden zwei Oberflächen.

Jede Gleichung ersten Grades repräsentiert eine Ebene, und umgekehrt kann jede Ebene durch Gleichungen ersten Grades repräsentiert werden.

Parameter EIN, B, C sind die Koordinaten des Normalenvektors senkrecht zur Ebene, d.h. nein = (EIN; B; C).

Gleichung der Ebene in den an den Achsen abgeschnittenen Segmenten: ein- entlang der Achse OCHSE, b- entlang der Achse OY, von- entlang der Achse Z:

Gegeben seien zwei Ebenen EIN 1 x + B 1 ja + C 1 z + D 1 = 0, EIN 2 x + B 2 ja + C 2 z + + D 2 = 0.

Bedingung der Parallelität von Ebenen:
.

Bedingung der Rechtwinkligkeit der Ebenen:

Der Winkel zwischen den Ebenen wird durch die folgende Formel bestimmt:

.

Lass das Flugzeug durch die Punkte gehen M 1 (x 1 ; ja 1 ; z 1), M 2 (x 2 ; ja 2 ; z 2), M 3 (x 3 ; ja 3 ; z 3).

Dann hat seine Gleichung die Form:

Entfernung vom Punkt M 0 (x 0 ; ja 0 ; z 0) zum Flugzeug Axt + Durch + Cz + D= 0 ergibt sich aus der Formel

.

Prüfung 1. Flugzeug
geht durch den punkt:

1) EIN(–1; 6; 3);

2) B(3; –2; –5);

3) C(0; 4; –1);

4) D(2; 0; 5).

Test 2 . Ebenengleichung XY folgendes:

1) z = 0;

2) x = 0;

3) ja = 0.

Beispiel 2 . Schreiben Sie die Gleichung der Ebene parallel zur Ebene XY und Passieren des Punktes (2; –5; 3).

Entscheidung

Da die Ebene parallel zur Ebene ist XY, seine Gleichung hat die Form Cz + D= 0 (Vektor  = (0; 0; VON)  OHJa).

Da die Ebene durch den Punkt (2; –5; 3) geht, dann C  3 + D= 0 oder as D = –3C.

Auf diese Weise, CZ – 3C= 0. Da VON≠ 0, dann z – 3 = 0.

Antworten: z – 3 = 0.

Test 3 . Die Gleichung der Ebene durch den Ursprung und senkrecht zum Vektor (3; –1; –4) hat die Form:

1)

2)

3)

4)

Test 4 . Der Wert der entlang der Achse geschnittenen Linie OY Flugzeug
entspricht:

Beispiel 3 . Schreiben Sie die Gleichung der Ebene:

1. Parallele Ebene
und durch den Punkt gehen EIN(2; 0; –1).

2. Senkrechte Ebene
und durch den Punkt gehen B(0; 2; 0).

Entscheidung

Die Ebenengleichungen sucht man in der Form EIN 1 x + B 1 ja + C 1 z + D 1 = 0.

1. Da die Ebenen parallel sind, dann
Von hier EIN= 3t,B= –t,C= 2t wo tR... Lassen t= 1. Dann EIN = 3, B = –1, C= 2. Daher hat die Gleichung die Form
Punktkoordinaten ABER die zur Ebene gehören, verwandeln die Gleichung in wahre Gleichheit. Daher 32 - 10 + 2 (–1) + D= 0. Woher D= 4.

Antworten:

2. Da die Ebenen senkrecht stehen, ist 3  EIN – 1  B + 2  C = 0.

Da es drei Variablen gibt und die Gleichung eins ist, nehmen die beiden Variablen gleichzeitig willkürliche Werte ungleich Null an. Lassen EIN = 1, B= 3. Dann C= 0. Die Gleichung hat die Form
D= –6.

Antworten:

Test 5 . Ebene parallel zur Ebene auswählen x – 2ja + 7z – 2 = 0:

1)

4)

Test 6 . Ebene senkrecht zur Ebene auswählen x– 2ja+ + 6z– 2 = 0:

1)

4)

Test 7 . Kosinus des Winkels zwischen Ebenen 3 x + ja – z- 1 = 0 und x – 4ja – – 5z+ 3 = 0 wird durch die Formel bestimmt:

1)

2)

3)

Test 8 . Abstand von Punkt (3; 1; –1) zur Ebene 3 x – ja + 5z+ 1 = 0 wird durch die Formel bestimmt:

1)

2)

Dieser Test kann im Klassenzimmer zur Zwischen-, Generalisierungs- oder Endkontrolle des Schülerwissens verwendet werden. Damit der Test korrekt funktioniert, müssen Sie eine niedrige Sicherheitsstufe einstellen (Service-Macro-Security)

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Folienbeschriftungen:

Option 1 Option 2 Wir haben eine Vorlage zum Erstellen von Tests in PowerPoint verwendet MCOU "Pogorelskaya Secondary School" MM Koscheev

Testergebnis Richtig: 14 Fehler: 0 Note: 5 Zeit: 3 min. 29 Sek. immer noch beheben

Variante 1 b) 360 ° a) 180 ° c) 246 ° d) 274° e) 454 °

Variante 1 c) 22 a) -22 b) 0 d) 8 e) 1

Variante 1 e) 5 d) 0 a) 7

Option 1 b) stumpf e) existieren nicht, da ihre Ursprünge nicht zusammenfallen c) 0° d) spitz a) gerade

Option 1 b) 10,5 e) für nein a) -10,5

Option 1 a) -10,5 b) 10,5 e) unter keinen Umständen

Variante 1 e) 0 b) a) -6 d) 4 c) 6 . nicht bestimmbar

Option 1 b) 28 e) nicht bestimmbar a) 70 d) -45,5 c) 91

Option 1 9. Die beiden Seiten des Dreiecks sind 16 und 5 und der Winkel zwischen ihnen beträgt 120°. Welches der angegebenen Intervalle gehört zur dritten Seitenlänge? d) e) (19; 31] a) (0; 7] b) (7; 11] c) a) (0; 7] b) (7; 11] d)

Möglichkeit 1 13. Der Radius des um das Dreieck ABC umschriebenen Kreises beträgt 0,5. Bestimmen Sie das Verhältnis des Sinus des Winkels B zur Länge der AC-Seite. e) 1 c) 1, 3 a) 0,5 d) 2

Option 1 14. In einem Dreieck ABC sind die Seitenlängen BC und AB 5 bzw. 7 und

Variante 2 c) 360 ° a) 180 ° b) 246 ° d) 274° e) 454 °

Option 2 e) 22 a) -22 b) 0 d) 8 c) 4

Variante 2 a) 10 d) 17 e) 15

Option 2 c) ist gleich 0 ° e) existiert nicht, da ihre Ursprünge nicht zusammenfallen c) stumpf d) spitz a) gerade

Option 2 b) 10,5 e) für nein a) -10,5

Option 2 a) - 10,5 e) für nein c) 10,5

Option 2 d) 0 b) a) -6 nicht bestimmbar e) 4 c) 6

Option 2 a) 70 e) nicht bestimmbar b) 28 d) -45,5 c) 91

Option 2 9. Die beiden Seiten des Dreiecks sind 12 und 7, und der Winkel zwischen ihnen beträgt 60 °. Welches der angegebenen Intervalle gehört zur dritten Seitenlänge? e) (7; 11) d) (19; 31] a) (0; 7] b) c) e) (19; 31] c)

Möglichkeit 2 13. Der Radius des um das Dreieck ABC umschriebenen Kreises ist gleich 2. Bestimmen Sie das Verhältnis des Sinus des Winkels B zur Länge der AC-Seite. a) 0,25 c) 1, 3 e) 1 d) 2

Option 2 14. In einem Dreieck ABC sind die Seitenlängen AC und AB 9 bzw. 7 und

Schlüssel zum Test: „Punktprodukt von Vektoren. Dreieckssätze“. Option 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Erz. b c e b c a e b d a c c e d 2 Option 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Otv. c d a c d b d a d d c a a d Literatur L.I. Zvavich, E, V. Potoskuev Geometrie testet Klasse 9 zum Lehrbuch L.S. Atanasyan ua M.: "Exam" Verlag 2013 - 128 S.