Derivative Berechnung. - einer der wichtigsten Operationen in Differentialkalculus. Nachfolgend finden Sie eine Tabelle, um Derivate von einfachen Funktionen zu finden. Komplexere Differenzierungsregeln, siehe andere Lektionen:

• Tabelle der Derivate von exponentiellen und logarithmischen Funktionen

Begrenzte Formeln verwenden als Referenzwerte. Sie helfen bei der Lösung von Differentialgleichungen und Aufgaben. Im Bild, in der Tabelle der Derivate von einfachen Funktionen, ein "Cheat-Blatt" der Grundfälle der Ableitung des Derivats in der Formative für den Einsatz, gibt es für jeden Fall Erklärungen.

Derivate von einfachen Funktionen

1. Die Ableitung der Zahl ist Null
c '\u003d 0.
Beispiel:
5 '\u003d 0.

Erläuterung:
Das Derivat zeigt die Geschwindigkeit des Ändern des Werts der Funktion, wenn sich das Argument ändert. Da sich die Zahl nicht unter keinen Umständen ändert, ist die Geschwindigkeit der Änderung immer Null.

2. Ableitung der Variablen gleich der Einheit
x '\u003d 1.

Erläuterung:
Bei jedem Inkrement des Arguments (x) pro Einheit steigt der Wert der Funktion (das Ergebnis der Berechnungen) auf dieselbe Größe. Somit ist die Rate des Änderungswerts der Funktion y \u003d x genau der Rate der Änderung des Werts des Arguments.

3. Die Ableitung der Variablen und der Multiplizierer entspricht diesem Faktor
cx '\u003d S.
Beispiel:
(3x) '\u003d 3
(2x) '\u003d 2
Erläuterung:
In diesem Fall mit jeder Änderung des Funktionsarguments ( h.) Sein Wert (y) wächst in von Zeit. Somit ist die Rate des Änderungswerts der Funktion in Bezug auf die Änderungsrate des Arguments genau gleich von.

Von wo aus es folgt
(Cx + b) "\u003d c
das heißt, das Differential der linearen Funktion y \u003d kx + b ist gleich dem Winkelkoeffizienten der Neigung (k).

4. Modulderivat gleich der privaten Variablen an sein Modul
| x | "\u003d x / | x | vorausgesetzt, x ≠ 0
Erläuterung:
Da das variable Ableitung (siehe Formel 2) gleich der Einheit ist, unterscheidet sich das Derivat des Moduls nur dadurch, dass sich der Wert der Funktion der Funktionsänderungen auf das Gegenteil ändert, wenn der Ursprungsort des Ursprungskreuzes gekreuzt ist (Versuchen Sie, eine Funktion des Y \u003d | x | zu zeichnen, und stellen Sie sicher, dass es selbst selbst ist. Wert und geben Sie den Ausdruck x / | x |. Wenn x< 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - Einheit. Das heißt, mit den negativen Werten der Variablen x Jedes Mal, wenn ein Argumentänderung ändert, wird der Wert der Funktion auf genau denselben Wert reduziert, und mit positivem, destozwang ist es, aber genau die gleiche Bedeutung.

5. Abschlussableitung. gleich dem Produkt der Anzahl dieses Grades und Variablen in den von einem reduzierten Grad
(x c) "\u003d CX C-1, vorausgesetzt, dass x c und cx c-1 definiert sind und c ≠ 0
Beispiel:
(x 2) "\u003d 2x
(x 3) "\u003d 3x 2
Formel auswendig lernen:
Machen Sie den Grad der "Down" -Variable als Multiplikator und reduzieren Sie dann den Grad des Grades pro Einheit. Zum Beispiel erwies sich für X 2 - zwei als vor dem ICA heraus, und er hat uns ein verringerter Grad (2-1 \u003d 1) direkt 2x gegeben. Dasselbe passierte für das X 3 - die ersten drei "Abstieg nach unten", wir reduzieren es pro Einheit und anstelle des Würfels haben wir ein Quadrat, dh 3x 2. Ein wenig "nicht wissenschaftlich", aber sehr leicht zu erinnern.

6. Abgeleitet 1 / X.
(1 / x) "\u003d - 1 / x 2
Beispiel:
Da der Fraktion als Bau eines negativen Grades dargestellt werden kann
(1/x) "\u003d (x -1)", dann können Sie die Formel von der Regel 5 der derivativen Tabelle anwenden
(x -1) "\u003d -1x -2 \u003d - 1 / x 2

7. Abgeleitet mit einem variablen Grad in denominator
(1/x c) "\u003d - c / x c + 1
Beispiel:
(1/x 2) "\u003d - 2 / x 3

8. Das Wurzelderivativ (Variable Derivat unter Platzarztwurzel)
(√x) "\u003d 1 / (2√x) oder 1/2 x -1/2
Beispiel:
(√x) "\u003d (x 1/2)", damit Sie die Formel aus der Regel 5 anwenden können
(x 1/2) "\u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivative Variable im zufälligen Grad
(n √x) "\u003d 1 / (n n √x n-1)

Der Betrieb des Findens eines Derivats wird als Differenzierung bezeichnet.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen, um Derivate aus den einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen zu finden, um das Derivat als Grenzwert der Haltung gegenüber einem Argument zu bestimmen, erschien ein Tisch derivativen und präzise definierter Differenzierungsregeln. Isaac Newton (1643-1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) waren zunächst für das Gebiet der Erkenntnisse von Derivaten.

In unserer Zeit ist es in unserer Zeit, um eine Ableitung einer beliebigen Funktion zu finden, ist es nicht notwendig, die obige Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zu berechnen, um das Argument zu erhöhen, und Sie müssen nur die Tabelle der Derivate und Differenzierungsregeln verwenden . Um das Derivat zu finden, ist der folgende Algorithmus geeignet.

Ein Derivat finden, ist es für den Ausdruck unter dem Anzeichen des Schlaganfalls notwendig demontieren Sie die Komponenten der einfachen Funktionen und bestimmen, welche Aktionen (Arbeit, Betrag, privat) Diese Funktionen sind angeschlossen. Als nächstes befinden sich Derivate von Elementarfunktionen in der Tabelle der Derivate und Formeln von Derivaten, Beträgen und Privatvorschriften - in den Differenzierungsregeln. Tabelle der Derivate und Differenzierungsregeln sind nach den ersten beiden Beispielen angegeben.

Beispiel 1. Finden Sie eine derivative Funktion

Entscheidung. Aus den Regeln der Differenzierung erfahren wir, dass die Ableitung der Funktion der Funktionen die Höhe der Derivate ist, d. H.

Von der Tabelle der Derivate erfahren wir, dass das Derivat der "ICCA" gleich ist, und das Sinusderivat ist Cosinus. Wir ersetzen diese Werte in der Höhe der Derivate und wir finden den erforderlichen Zustand des Aufgabenableitungen:

Beispiel 2. Finden Sie eine derivative Funktion

Entscheidung. Differenzieren als derivative Summe, in der der zweite Begriff mit konstantem Faktor durch ein abgeleiteter Vorzeichen erreicht werden kann:

Wenn es noch Fragen gibt, von wo aus er genommen wird, klärten sie normalerweise nach der Einarbeitung mit den Tischderivaten und den einfachsten Differenzierungsregeln. Wir gehen jetzt zu ihnen.

Tabelle der abgeleiteten einfachen Funktionen

1. Derivative Konstante (Zahlen). Jede Zahl (1, 2, 5, 200 ...), die sich im Ausdruck der Funktion befindet. Immer gleich Null gleich. Es ist sehr wichtig, sich daran zu erinnern, da es sehr oft notwendig ist
2. Die Ableitung einer unabhängigen Variablen. Meistens "iksa". Immer gleich einem. Es ist auch wichtig, sich lange zu erinnern.
3. abgeleitetem Grad. Der Grad bei der Lösung von Aufgaben, die Sie benötigen, um unbestreitete Wurzeln umzuwandeln.
4. Variable Derivat zum Grad -1
5. Quadratwurzelderivat
6. Sinusderivat
7. Cosinus-Derivat.
8. Derivative Tangente.
9. Die Ableitung von Kotanstarren
10. Arkinusderivat
11. Arckosinusderivat
12. Arctangen-Derivate.
13. Arkkotangenableitungen.
14. Derivat des natürlichen Logarithmus
15. Derivative logarithmische Funktion
16. Ausstellung Derivate.
17. Derivative Anzeigefunktion

Differenzierungsregeln.

1. Derivative Betrag oder Unterschied
2. Derivative Arbeit.
2a. Die Ableitung des Ausdrucks multipliziert mit dem konstanten Multiplizierer
3. Privatableitung
4. Derivative Komplexfunktion

Regel 1. Wenn Funktionen

an einem bestimmten Zeitpunkt differenziert, dann differenzieren und differenzieren Sie auf demselben Punkt

und

jene. Die Ableitung der algebraischen Funktionen ist gleich der algebraischen Menge der Derivate dieser Funktionen.

Logische Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen sich dauerhaft unterscheiden, sind ihre Derivate gleich.

Regel 2.Wenn Funktionen

irgendwann differentiell, dann am selben Punkt anders und ihre Arbeit

und

jene. Die Ableitung der beiden Funktionen entspricht dem Betrag der Werke jedes dieser Funktionen auf dem unterschiedlichen Derivat.

Corollars 1. Der dauerhafte Multiplizierer kann für eine derivative Markierung erfolgen:

Corollars 2. Die Ableitung der Arbeit mehrerer differenzierbarer Funktionen entspricht der Menge der Produkte der Ableitung jedes der Faktoren an alle anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3.Wenn Funktionen

differential irgendwann und , dann an diesem Punkt anders und ihr privatu / v und

jene. Die Ableitung der privaten zwei Funktionen ist gleich der Fraktion, deren Zähler der Unterschied in den Produkten des Nenners an der Ableitung des Zählers und des Zählers am Nennerderivat ist, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers .

Wo, worauf Sie auf anderen Seiten suchen können

Bei der Erkennung einer Ableitung der Arbeit und des privaten in echten Aufgaben können immer mehrere Differenzierungsregeln angewendet werden, so mehr Beispiele für diese Derivate - im Artikel"Derivative Arbeit und private Funktionen".

Kommentar.Es sollte nicht durch eine konstante (dh die Nummer) als der Begriff in der Menge und als konstanter Multiplizierer verwirrt werden! Im Falle des Fundaments ist das Derivat Null, und im Falle eines ständigen Multiplizierers wird es für das Anzeichen von Derivaten eingereicht. Dies ist ein typischer Fehler, der sich auf erfüllt erstphase Studie von Derivaten, aber da mehrere Beispiele für einzelne Mengen bereits gelöst werden mittlerer Student Dieser Fehler ist nicht mehr.

Und wenn mit der Differenzierung der Arbeit oder des privaten Sie einen Begriff auftreten u."v. , indem u. - Eine Zahl, beispielsweise 2 oder 5, d. H. Eine Konstante, das Derivat dieser Zahl ist Null, und daher ist der gesamte Laufzeit nicht null (ein derartiger Fall wird in Beispiel 10 demontiert).

Ein weiterer häufiger Fehler ist eine mechanische Lösung einer derivativen Komplexfunktion als Ableitung einer einfachen Funktion. deshalb derivative Komplexfunktion. Dedizierter separater Artikel. Aber zuerst lernen wir, Ableitungen von einfachen Funktionen zu finden.

Machen Sie im Kurs nicht ohne Umwandlungen von Ausdrücken. Dazu müssen Sie möglicherweise die Vorteile in neuen Fenstern eröffnen. Aktionen mit Grad und Wurzeln und Aktionen mit Fraktionen. .

Wenn Sie nach Lösungen von Derivaten mit Grad und Wurzeln suchen, ist das, wenn die Funktion wie eine Art ist , Folgen Sie dem Beruf "Derivativ von Fraktionen mit Grad und Wurzeln".

Wenn Sie eine Aufgabe haben , dann sind Sie auf den "Derivaten der einfachen trigonometrischen Funktionen".

Schritt-für-Schritt-Beispiele - So finden Sie ein Derivat

Beispiel 3. Finden Sie eine derivative Funktion

Entscheidung. Wir bestimmen den Teil des Ausdrucks der Funktion: Die gesamte Expression stellt die Arbeit dar, und ihre Faktoren sind Summen, in deren der zweite der Begriffe einen dauerhaften Multiplizierer enthält. Wir verwenden eine Ableitung des Produkts: Eine Ableitung der Arbeit zweier Funktionen entspricht der Menge an Werken jeder dieser Funktionen auf dem unterschiedlichen Derivat:

Wenden Sie als nächstes den Betrag der Differenzierungsbetrag an: Die Ableitung der algebraischen Funktionen ist gleich der algebraischen Menge der Derivate dieser Funktionen. In unserem Fall ist jede Summe der zweite Begriff mit einem Minuszeichen. In jeder Summe sehen wir und eine unabhängige Variable, deren derivative, deren Derivat einem ist, und die Konstante (Anzahl), der derivat, deren Derivat Null ist. Also, "x" werden wir in eins und minus 5 - in Null. In dem zweiten Ausdruck wird "x" mit 2 multipliziert, so dass die beiden mit derselben Einheit wie ein Derivat von "IKSA" multipliziert werden. Wir erhalten die folgenden Werte von Derivaten:

Wir ersetzen die gefundenen Derivate in der Menge an Werke und erhalten die erforderliche Bedingung für das Problem der Ableitung der gesamten Funktion:

Beispiel 4. Finden Sie eine derivative Funktion

Entscheidung. Wir müssen ein privates Derivat finden. Unter Verwendung der Formel zur Differenzierung von Privat Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Wir haben bereits eine Ableitung der Faktoren im Numertel in dem Beispiel 2 gefunden. Ich werde nicht einmal vergessen, dass die Arbeit, die das zweite Werk im Zähler im aktuellen Beispiel ist, mit einem Minuszeichen aufgenommen wird:

Wenn Sie nach Lösungen für solche Aufgaben suchen, in denen es notwendig ist, eine derivative Funktion zu finden, wo die festen Rassen der Wurzeln und Grade, wie zum Beispiel, , dann willkommen in der Beruf "Die Ableitung von Fraktionen mit Graden und Wurzeln" .

Wenn Sie mehr über Derivate von Nebenhöhlen, Cosinus, Tangenten und anderen trigonometrischen Funktionen erfahren müssen, ist das, wenn die Funktion anscheinend erscheint Dann bist du auf der Lektion "Derivate von einfachen trigonometrischen Funktionen" .

Beispiel 5 Finden Sie eine derivative Funktion

Entscheidung. In dieser Funktion sehen wir die Arbeit, eines der Faktoren, von denen - quadratwurzel Von einer unabhängigen Variablen, mit der Ableitung, deren wir in der Tabelle der Derivate kennengelernt wurden. Entsprechend der Ableitung des Produkts und des Tabellenwerts des Quadratwurzelderivats erhalten wir:

Beispiel 6. Finden Sie eine derivative Funktion

Entscheidung. In dieser Funktion sehen wir privat, was eine Quadratwurzel von einer unabhängigen Variablen ist. Nach der Regel der Differenzierung des Privates, die wir in Beispiel 4 wiederholten und angewendet haben, erhalten wir den Tabletablerwert des Quadratwurzelderivats:

Um die Fraktion im Zähler in den Zähler loszuwerden, multiplizieren Sie den Zähler und den Nenner an.

Erste Ebene

Abgeleitete Funktion. Erschöpfender Guide (2019)

Stellen Sie sich eine gerade Straße vor, die durch eine hügelige Gegend geht. Das heißt, es geht auf, dann runter, aber richtig oder links dreht sich nicht. Wenn die Achse auf der Straße horizontal entlang der Straße gerichtet ist, und - vertikal, wird die Linie der Straße einem Zeitplan einer kontinuierlichen Funktion sehr ähnlich sein:

Die Achse ist ein bestimmter Höhe der Nullhöhe, wir nutzen das Meeresgrad wie sie.

Wenn wir uns auf einer solchen Straße vorwärts bewegen, bewegen wir uns auch nach oben oder unten. Wir können auch sagen: Wenn das Argument geändert wird (entlang der ABScissa-Achse erweitert), ändert sich der Wert der Funktion (Bewegung entlang der Ordinatenachse). Und nun denken wir darüber nach, wie man die "Steilheit" unserer Straße ermittelt? Was könnte es für die Größe sein? Sehr einfach: Wie viel ändert sich die Höhen, wenn Sie sich für einen bestimmten Abstand vorwärts bewegen. Schließlich, an verschiedenen Teilen der Straße, bewegen wir uns für einen Kilometer nach vorne (entlang der Abszissenachse), steigen wir auf eine andere Anzahl von Meter relativ zum Meeresspiegel (entlang der Ordinatenachse).

Förderung nach vorne, um bezeichnet zu werden (Lesen Sie "Delta X").

Der griechische Brief (DELTA) in der Mathematik wird normalerweise als Präfix verwendet, was bedeutet "Änderung". Das ist - dies ist eine Änderung des Wertes - Änderung; Was ist dann das? Das stimmt, den Wert ändern.

WICHTIG: Expression ist eine einzige Ganzzahl, eine Variable. Sie können den "Delta" niemals von "IKSA" oder einem anderen Brief abreißen! Das ist zum Beispiel.

Also wurden wir horizontal weiter vorangetrieben. Wenn die Linie der Straße die Funktion mit einem Diagramm vergleichen, woher benennen wir den Aufstieg? Sicher, . Das heißt, wenn wir uns weiterentwickeln, steigen wir oben an.

Es ist einfach, den Betrag zu berechnen: Wenn wir am Anfang in der Höhe waren und nach dem Umzug auf der Höhe waren, dann. Wenn sich der Endpunkt als niedriger als die Initiale herausstellt, ist es negativ - das bedeutet, dass wir nicht aufsteigen, sondern auch niederlassen.

Lassen Sie uns auf die "Steilheit" zurückkehren: Dies ist der Wert, der zeigt, wie viel stark (cool) die Höhe erhöht, wenn sie pro Stückentfernung vorwärts bewegt wird:

Angenommen, an einem Ort des Weges, wenn sich der Weg in km der Straße um den Kilometer steigt. Dann ist die Steilheit an diesem Ort gleich. Und wenn die Straße bei der Förderung von M in M \u200b\u200bsank bis km? Dann ist der Steil gleich.

Betrachten Sie nun die Spitze eines Hügels. Wenn Sie den Anfang der Site für einen halben Kilometer nach oben nehmen, und das Ende - nach einem halben Kilometer danach ist ersichtlich, dass die Höhe fast gleich ist.

Das heißt, in unserer Logik stellt sich heraus, dass die Steilheit hier fast gleich Null ist, was eindeutig nicht wahr ist. Nur in der Ferne in km können sich viel verändern. Es ist notwendig, kleinere Abschnitte für eine angemessenere und genaue Beurteilung der Steilheit zu berücksichtigen. Wenn Sie beispielsweise die Änderung der Höhe bei der Bewegung auf einen Meter messen, ist das Ergebnis viel genauer. Diese Genauigkeit kann jedoch nicht genug sein - denn wenn es in der Mitte der Straße eine Säule gibt, können wir sie einfach rutschen. Welche Entfernung wählen Sie dann? Zentimeter? Millimeter? Weniger ist besser!

IM wahres Leben Messen Sie den Abstand mit einer Genauigkeit zum Milimeter - mehr als genug. Aber Mathematiker streben immer nach Exzellenz. Daher wurde das Konzept erfunden unendlich kleinDas heißt, die Größe des Moduls ist weniger als jede Zahl, die nur aufgerufen werden kann. Zum Beispiel sagen Sie: eine Billion! Wo ist weniger? Und Sie haben diese Nummer eingereicht - und es ist noch weniger. Usw. Wenn wir schreiben wollen, dass die Größe unendlich klein ist, schreiben wir wie folgt: (Ich lese "x strebt nach Null an"). Es ist sehr wichtig zu verstehen dass diese Zahl nicht Null ist! Aber sehr nah dran. Dies bedeutet, dass es in sie unterteilt werden kann.

Das gegenüberliegende Konzept ist unendlich klein - unendlich groß (). Sie haben wahrscheinlich schon mit ihm mitgerissen, als ich in Ungleichheiten tätig war: Dies ist die Anzahl des Moduls mehr als jede Zahl, die erfunden werden kann. Wenn Sie mit dem größten der möglichen Zahlen aufgenommen haben, multiplizieren Sie es einfach auf zwei, und es wird noch mehr erweisen. Und unendlich noch mehr als das passiert. In der Tat umkehrte das unendlich große und unendlich kleine Kindern, dh wenn und im Gegenteil: wann.

Jetzt zurück zu unserer Straße. Die perfekt gezählte Steilheit ist ein Bengeon, berechnet für ein unendlich kleines Segment des Pfads, dh:

Ich beobachte, dass mit einer unendlich kleinen Bewegung die Änderung der Höhe auch unendlich klein sein wird. Aber ich erinnere dich, unendlich klein - bedeutet nicht gleich Null. Wenn Sie unendlich kleine Zahlen teilen, kann es beispielsweise eine ganzheitliche Anzahl sein. Das heißt, ein niedriger Wert kann genau mehr als einmal sein.

Was ist das alles? Die Straße, Steilheit ... Wir werden nicht zur Rallye gehen, und wir lernen Mathematik. Und in Mathematik ist alles genau das gleiche, nur anders als anders.

Das Konzept der Derivat

Die Ableitung der Funktion ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion an das Inkrement des Arguments mit einem unendlich kleinen Inkrement des Arguments.

Zuwachs In der Mathematik-Anrufwechsel. Wie viel das Argument () wechselt (), wenn sich die Achse bewegt hat, wird aufgerufen inkrement von Argumenten und bezglischt, wie viel die Funktion (Höhe) geändert hat, wenn sie entlang der Achse nach vorne bewegt wird, wird aufgerufen inkrement von Funktion. und ist bezeichnet.

Die abgeleitete Funktion ist also ein Haltung, wann. Wir zeigen die Ableitung desselben Buchstabens als Funktion, nur mit dem Schlaganfall auf der rechten Seite: oder einfach. Wir werden also die derivative Formel mit dieser Notation schreiben:

Wie in Analogie mit teuerer hier mit einer Erhöhung der Funktion ist das Derivat positiv, und wenn abnehmend negativ ist.

Passiert das Derivat mit Null? Sicher. Wenn wir beispielsweise entlang einer flachen horizontalen Straße entlang gehen, ist der steile Null. Und die Wahrheit ist, die Höhe ändert sich nicht völlig. Also mit dem Derivat: Die Ableitung der konstanten Funktion (konstant) ist Null:

da das Inkrement einer solchen Funktion an jedem Null ist.

Erinnern wir uns an das Beispiel vom Hügel. Es stellte sich heraus, dass es möglich war, dass Sie die Enden des Segments entlang verschiedener Richtungen von dem Scheitelpunkt positionieren können, dass sich die Höhe an den Enden als dasselbe herausstellt, das heißt, das Segment befindet sich in paralleler Achse:

Große Segmente sind jedoch ein Zeichen der ungenauen Messung. Wir werden unseren Schnitt parallel zu sich selbst erhöhen, dann wird seine Länge abnehmen.

Wenn wir am Ende unendlich nahe an der Oberseite liegen, wird die Länge des Segments unendlich klein. Gleichzeitig blieb es jedoch parallel zur Achse, dh der Höhenunterschied an seinen Enden ist Null (sucht nicht, nämlich gleich). So abgeleitet

Es ist möglich, dies zu verstehen: Wenn wir auf der Oberseite stehen, ist die kleine Verschiebung nach links oder rechts ändert unsere Höhe vernachlässigbar.

Es gibt eine rein algebraische Erklärung: Die linke Oberseite ist die Funktion erhöht, und nach rechts nimmt ab. Wie wir bereits früher herausgefunden haben, ist das Derivat mit einer Erhöhung der Funktion positiv, und wie absteigend ist, ist negativ. Es ändert sich jedoch reibungslos, ohne Sprünge (weil die Straße den Hang nicht nirgendwo ändert). Daher muss zwischen negativen und positiven Werten sein. Er wird dort sein, wo die Funktion weder zunimmt, noch abnimmt - an der Stelle des Scheitelpunkts.

Gleiches gilt für die Depression (der Bereich, in dem die Funktion links abnimmt, und auf der rechten Erhöhung):

Etwas mehr über Inkremente.

Also ändern wir das Argument mit der Größenordnung. Wechseln Sie von welchem \u200b\u200bWert? Was ist er jetzt (Argument)? Wir können jeden Punkt wählen, und jetzt tanzen wir davon.

Betrachten Sie einen Punkt mit der Koordinate. Der Wert der Funktion darin ist gleich. Dann machen Sie etwas Inkrementes: Erhöhen Sie die Koordinate auf. Was ist jetzt das Argument? Sehr leicht: . Und was ist jetzt der Wert der Funktion? Wo das Argument da ist und die Funktion :. Und was ist mit dem Inkrement der Funktion? Nichts Neues: Es ist immer noch die Größe, deren Funktion geändert hat:

Praxis, um Inkremente zu finden:

1. Finden Sie das Inkrement der Funktion an der Stelle, wenn das Argument zunimmt.
2. Das gleiche für die Funktion an der Stelle.

Lösungen:

An verschiedenen Punkten bei einem und demselben Inkrement des Arguments ist das Inkrement der Funktion unterschiedlich. Es bedeutet, dass das Derivat an jedem Punkt selbst ist (wir haben zu Beginn diskutiert - die Steilheit der Straße an verschiedenen Punkten ist anders). Wenn wir also ein Derivat schreiben, müssen Sie an welchem \u200b\u200bPunkt angeben:

Stromfunktion.

Die Stromversorgung wird als Funktion bezeichnet, in der das Argument bis zu einem gewissen Grad ist (logisch, ja?).

Darüber hinaus zu entweder :.

Der einfachste Fall ist, wenn der Grad-Indikator:

Wir finden sein Derivat an der Stelle. Wir erinnern uns an die Definition des Derivats:

Das Argument ändert sich also von zuvor. Was ist das Inkrement der Funktion?

Inkrement ist. Die Funktion an einem beliebigen Punkt ist jedoch gleich seinem Argument. Deshalb:

Das Derivat ist gleich:

Von gleich stammt:

b) Jetzt betrachten quadratische Funktion (): .

Und erinnere mich jetzt daran. Dies bedeutet, dass der Wert des Inkrements vernachlässigt werden kann, da er unendlich klein ist und daher unbedeutend gegen den Hintergrund eines anderen Begriffs unwesentlich ist:

Also wurden wir als nächstes geborene Regel geboren:

c) Wir setzen den logischen Bereich fort :.

Dieser Ausdruck kann auf verschiedene Arten vereinfacht werden: um die erste Halterung durch die Formel der abgekürzten Multiplikation des Würfelsbetrags aufzudecken, oder zersetzt den gesamten Ausdruck auf den Faktoren von der Würfeldifferenzformel. Versuchen Sie, es selbst durch eine der vorgeschlagenen Wege zu tun.

Also habe ich Folgendes:

Und erinnerst du dich nochmal daran. Dies bedeutet, dass Sie durch alle Begriffe vernachlässigen können:

Wir bekommen :.

d) Ähnliche Regeln können für große Abschlüsse erhalten werden:

e) Es stellt sich heraus, dass diese Regel für verallgemeinert werden kann stromfunktion Mit einem beliebigen Indikator, nicht einmal:

(2)

Sie können die Regel mit Wörtern formulieren: "Der Grad wird als Koeffizient ergriffen und dann abnimmt mit".

Lassen Sie uns diese Regel später (fast ganz am Ende) nachweisen. Und betrachten nun ein paar Beispiele. Abgeleitete Funktionen finden:

1. (auf zwei Arten: durch die Formel und die Verwendung der derivativen Bestimmung - In Anbetracht des Inkrements der Funktion);

1. . Sie werden nicht glauben, aber dies ist eine Stromfunktion. Wenn Sie Fragen wie "Wie ist es? Und wo ist der Grad? ", Erinnern Sie sich an das Thema" "!
   Ja, die Wurzel ist auch der Grad, nur fraktionell :.
   So ist unsere Quadratwurzel nur ein Grad mit einem Indikator:
   .
   Wir suchen eine kürzlich gelernte Formel:

   Wenn es an diesem Ort wieder incomprogensible wurde, wiederholen Sie das Thema "" !!! (um den Grad mit einem negativen Indikator)

2. . Nun den Indikator des Grades:

   Und jetzt durch die Definition (ich habe ich noch nicht vergessen?):
   ;
   .
   Nun, wie üblich, vernachlässigen Sie die Begriffe, die Folgendes enthalten:
   .

3. . Kombination von früheren Fällen :.

Trigonometrische Funktionen.

Hier werden wir eine Tatsache der höchsten Mathematik verwenden:

Beim Ausdrücken

Beweis, dass Sie im ersten Jahr des Instituts wissen werden (und da sein, müssen Sie es gut passieren). Jetzt zeigen Sie es einfach grafisch:

Wir sehen, dass, wenn die Funktion nicht vorhanden ist - der Punkt in der Grafik der Bevölkerung. Aber desto näher am Wert, desto näher ist die Funktion der Funktion. Dies ist das am meisten "Streben".

Sie können diese Regel zusätzlich mit dem Taschenrechner überprüfen. Ja, ja, sei nicht schüchtern, nimm einen Taschenrechner, wir sind noch nicht auf der Prüfung.

Also versuche :;

Vergessen Sie nicht, den Rechner auf den Modus "Radier" zu übertragen!

usw. Wir sehen, dass das kleinere, desto näher ist der Wert der Beziehung zu.

a) Betrachten Sie die Funktion. Wie üblich finden wir das Inkrement:

Verwandeln Sie den Unterschied in Sinne in die Arbeit. Dazu verwenden wir die Formel (erinnern Sie sich an das Thema "") :.

Nun das Derivat:

Wir werden ersetzen :. Dann ist es mit unendlich kleinem, auch unendlich klein :. Der Ausdruck für nimmt das Formular an:

Und jetzt erinnern Sie sich das, wenn Sie exprimieren. Und auch wenn der stufenlose Wert in der Menge vernachlässigt werden kann (dh wann).

Also erhalten wir folgende Regel: Sinusderivat gleich Cosinus:

Dies ist grundlegende (tabellarische ") Derivate. Hier sind sie eine Liste:

Später fügen wir ihnen noch ein paar hinzu, aber diese sind am wichtigsten, da sie am häufigsten verwendet werden.

Trainieren:

1. Leitungsfunktion am Punkt finden;
2. Finden Sie abgeleitete Funktion.

Lösungen:

1. Zunächst finden wir das Derivat in allgemeiner Form und ersetzen anstelle des Werts:
   ;
   .
2. Hier haben wir etwas Ähnliches der Stromfunktion. Lass uns versuchen, es zu bringen
   Normalform:
   .
   Ausgezeichnet, jetzt können Sie die Formel verwenden:
   .
   .
3. . Eeeeeee ... Was ist es ????

Okay, Sie haben recht, wir wissen immer noch nicht, wie sie solche Derivate finden können. Hier haben wir eine Kombination aus mehreren Arten von Funktionen. Um mit ihnen zu arbeiten, müssen Sie ein paar weitere Regeln erfahren:

Aussteller und natürlicher Logarithmus.

Es gibt eine solche Funktion in der Mathematik, deren Derivat, dessen Ableitung mit jedem gleichwertigen Wert der Funktion selbst auf dieselbe Weise ist. Es heißt als "Aussteller" und ist eine indikative Funktion

Die Basis dieser Funktion ist konstant - es ist ein unendlicher dezimalDas heißt, die Anzahl ist irrational (wie). Es heißt "die Anzahl der Euler", daher und bezeichnet den Brief.

Also die Regel:

Erinnere mich sehr einfach.

Nun, lass uns nicht weit gehen, betrachten Sie sofort umgekehrte Funktion. Welche Funktion ist das Gegenteil für eine indikative Funktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis die Nummer:

Ein solcher Logarithmus (dh ein Logarithmus mit einer Basis) wird als "natürlich" bezeichnet, und dafür verwenden wir eine spezielle Bezeichnung: anstatt zu schreiben.

Was ist gleich? Natürlich, .

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist auch sehr einfach:

Beispiele:

1. Finden Sie abgeleitete Funktion.
2. Was ist die abgeleitete Funktion gleich?

Antworten: Aussteller I. natürlicher Logarithmus. - Funktionen sind aus der Sicht des Derivats einzigartig einfach. Exchange- und logarithmische Funktionen mit einer anderen Basis werden ein anderes Derivat haben, das wir später mit Ihnen analysieren werden, nachdem Sie die Differenzierungsregeln weitergeben.

Differenzierungsregeln.

Regeln was? Wieder der neue Begriff, wieder?! ...

Unterscheidung - Dies ist der Prozess des Findens eines Derivats.

Nur und alles. Und wie sonst diesen Prozess in einem Wort nennen? Keine Herstellung von ... Das Differential der Mathematik wird als das inkrementierteste der Funktion angenommen. Dieser Begriff erfolgt mit lateinischer Differenz - einem Unterschied. Hier.

Bei der Anzeige all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante besteht aus dem Vorzeichen des Derivats.

Wenn - eine Art von konstanter Anzahl (konstant), dann.

Natürlich arbeitet diese Regel für den Unterschied :.

Wir beweisen. Lass oder einfacher.

Beispiele.

Abgeleitete Funktionen finden:

1. am Punkt;
2. am Punkt;
3. am Punkt;
4. am Punkt.

Lösungen:

1. (Das Derivat ist in allen Punkten derselbe, wie es ist lineare Funktion, merken?);

Abgeleitete Arbeit.

Hier ist alles ähnlich: Wir führen eine neue Funktion ein und finden das Inkrement:

Derivat:

Beispiele:

1. Entwicklung der Funktionen und;
2. Finden Sie die Funktion Derivat an der Stelle.

Lösungen:

Derivative indikative Funktion.

Jetzt reicht Ihr Wissen aus, um zu lernen, wie man eine Ableitung einer indikativen Funktion finden kann, und nicht nur Aussteller (nicht vergessen, was es ist?).

Also, wo ist eine Zahl.

Wir kennen bereits die derivative Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu bringen:

Dazu verwenden wir eine einfache Regel :. Dann:

Nun, es stellte sich heraus. Versuchen Sie jetzt, ein Derivat zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Überprüfen Sie hier selbst:

Die Formel erwies sich als sehr ähnlich der derivativen Ausstellung: Wie er blieb, schien es nur ein Multiplizierer, der nur eine Zahl ist, aber keine Variable.

Beispiele:
Abgeleitete Funktionen finden:

Antworten:

Dies ist nur eine Zahl, die nicht ohne Rechner gezählt werden kann, dh in einem einfacheren Formular nicht aufzunehmen. Daher als Antwort in diese Form und verlassen.

Derivative logarithmische Funktion.

Hier ist ähnlich: Sie kennen das Derivat bereits aus dem natürlichen Logarithmus:

Daher, um einen willkürlichen von Logarithmus mit einem anderen Grund zu finden, zum Beispiel:

Sie müssen diesen Logarithmus an die Basis bringen. Und wie kann man die Basis des Logarithmus ändern? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt, stattdessen werden wir schreiben:

Im Nenner erstellte es nur eine konstante (konstante Zahl, ohne Variable). Das Derivat ist sehr einfach:

Derivate Indikativ I. logarithmische Funktionen Fast nicht in der Prüfung gefunden, aber es wird nicht überflüssig sein, sie kennenzulernen.

Derivative Komplexfunktion.

Was ist eine "komplexe Funktion"? Nein, es ist kein Logarithmus und nicht Arcthafence. Diese Funktionen können komplex sein, um zu verstehen (obwohl der Logarithmus Ihnen schwierig ist, das Thema "Logarithmen" lesen, und alles wird passieren), aber aus der Sicht der Mathematik bedeutet das Wort "komplex" nicht "schwierig".

Stellen Sie sich einen kleinen Förderer vor: Zwei Menschen sitzen und haben einige Aktionen mit einigen Objekten. Zum Beispiel schraubt der erste Schokolade in den Wrapper, und der zweite impliziert ihn mit einem Farbband. Es stellt sich ein solches integrales Objekt heraus: eine Schokolade, eingewickelt und mit einem Farbband ausgekleidet. Um eine Schokolade zu essen, müssen Sie dies tun umgekehrte Aktion in umgekehrter Reihenfolge.

Lassen Sie uns einen ähnlichen mathematischen Förderer erstellen: Zuerst finden wir ein Cosinus der Anzahl und dann die resultierende Anzahl, die auf ein Quadrat errichtet werden soll. Also geben wir eine Zahl (Schokolade), ich finde seinen Cosinus (Wrap), und dann werden Sie von dem, was ich getan habe, auf einem Quadrat (Bindung an das Farbband) errichtet. Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Wenn Sie seine Bedeutungen finden, tun wir die erste Aktion direkt mit der Variablen, und dann eine andere Aktion mit dem, was als Ergebnis des ersten passiert ist.

Wir können die gleichen Aktionen vollständig und in umgekehrter Reihenfolge ausführen: Zuerst werden Sie zu einem Platz errichtet, und dann suche ich nach einem Cosinus der resultierenden Nummer :. Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ist. Wichtige Funktion Komplexe Funktionen: Wenn sich die Prozedur ändern, ändert sich die Funktion.

Mit anderen Worten, eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument ein anderes Feature ist.: .

Für das erste Beispiel ,.

Das zweite Beispiel: (das gleiche). .

Aktion, die wir tun, wird anrufen "Externe" Funktionund die Aktion, die zuerst durchgeführt wurde - jeweils "Interne" Funktion (Dies sind informelle Namen, ich benutze sie nur, um das Material in der einfachen Sprache zu erklären).

Versuchen Sie, mich zu bestimmen, welche Funktion extern ist, und das ist intern:

Antworten:Die Trennung von internen und externen Funktionen ist dem Austausch von Variablen sehr ähnlich: Zum Beispiel in der Funktion

1. Erstens werden wir in welcher Aktion ausführen? Betrachten Sie zunächst Sinus, aber erst dann in den Würfel errichtet. So die interne Funktion und das externe.
   Und die anfängliche Funktion ist ihre Zusammensetzung :.
2. Intern:; Externe:.
   Prüfen :.
3. Intern:; Externe:.
   Prüfen :.
4. Intern:; Externe:.
   Prüfen :.
5. Intern:; Externe:.
   Prüfen :.

wir erstellen einen Ersatz von Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Schokoladenschokolade extrahieren - suche nach einem Derivat. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zunächst suchen wir nach einem externen Funktion Derivat, dann multiplizieren Sie das Ergebnis auf das Derivat der internen Funktion. In Bezug auf das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Also formulieren wir endlich die offizielle Regel:

Der Algorithmus zum Finden einer derivativen Komplexfunktion:

Es scheint einfach zu sein, ja?

Überprüfen Sie die Beispiele:

Lösungen:

1) intern :;

Externe:;

2) intern :;

(Denken Sie nicht jetzt nicht, um einzuschneiden! Von Unter dem Cosinus ist nichts getan, erinnern Sie sich?)

3) intern :;

Externe:;

Es ist unmittelbar zu sehen, dass hier eine dreistufige komplexe Funktion ist: Schließlich ist es bereits eine komplexe Funktion selbst, und es entnimmt immer noch die Wurzel davon, dh wir führen die dritte Aktion (Schokolade im Wrapper und mit ein Band in das Portfolio). Es gibt jedoch keinen Grund, Angst zu haben: Allerdings "entpacken" Diese Funktion ist in derselben Reihenfolge wie üblich: vom Ende.

Das heißt, zum ersten Mal verwenden Sie die Wurzel, dann Cosinus, und nur dann ausdrücklich in Klammern. Und dann alle diese Variablen.

In solchen Fällen ist es bequem auf nummerierte Aktionen. Das ist vorstellen, dass wir bekannt sind. Welche Reihenfolge erfüllen wir, um Aktionen auszuführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Wir werden das Beispiel untersuchen:

Je später die Aktion erfolgt, desto mehr ist das "Externe" die entsprechende Funktion. Ablauf der Aktionen - wie zuvor:

Hier ist das Nist im Allgemeinen 4-Ebene. Lassen Sie uns das Verfahren bestimmen.

1. Zwangsausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat .

5. Wir sammeln alles in einem Bündel:

DERIVAT. Kurz über die Hauptsache

Abgeleitete Funktion. - das Verhältnis des Inkrements der Funktion auf das Inkrement des Arguments mit einem unendlich kleinen Inkrement des Arguments:

Grundderivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante ist für das Zeichen des Derivats hergestellt:

Abgeleiteter Betrag:

Produktionsarbeit:

Private Derivat:

Derivative Komplexfunktion:

Algorithmus zum Finden einer Ableitung der komplexen Funktion:

1. Wir definieren die "interne" Funktion, wir finden das Derivat.
2. Wir definieren die "externe" Funktion, wir finden das Derivat.
3. Multiplizieren Sie die Ergebnisse der ersten und des zweiten Artikels.

Dieses Video, ich beginne eine lange Reihe von Lektionen, die dem Derivat gewidmet sind. Diese Lektion besteht aus mehreren Teilen.

Zunächst werde ich Ihnen sagen, dass dies im Allgemeinen solche Derivate und wie sie sie zählen, aber keine weisliche akademische Sprache, aber als ich selbst verstehe und wie ich meinen Schülern erkläre. Zweitens werden wir die einfachste Regel berücksichtigen, um Probleme zu lösen, in denen wir nach derivativen Summen, derivativen Unterschiede und Derivaten der Leistungsfunktion suchen werden.

Wir werden uns komplexere kombinierte Beispiele ansehen, von denen insbesondere erfahren, dass solche Probleme, die Wurzeln enthalten, und sogar Fraktionen mit der Formel der Ableitung der Leistungsfunktion gelöst werden können. Darüber hinaus gibt es natürlich viele Aufgaben und Beispiele für Lösungen der unterschiedlichsten Komplexität.

Im Allgemeinen würde ich zunächst eine kurze 5-Minuten-Rolle schreiben, aber sehen, was davon passiert ist. Daher sind die Texte ausreichend - Fahren Sie mit dem Geschäft fort.

Was ist ein Derivat?

Beginnen wir also von der Ferne. Vor vielen Jahren, als die Bäume greifern, und das Leben war mehr Spaß, dachte Mathematik darüber nach, was: Betrachten Sie eine einfache Funktion, die von Ihrem Zeitplan festgelegt wird, wir nennen es $ y \u003d f \\ Left (X \\ Right) $. Natürlich existiert der Zeitplan an sich selbst, also müssen Sie die Achse von $ X $ sowie die Achse $ y $ verbringen. Und nun wählen wir jeden Punkt in diesem Diagramm, absolut irgendwelche. Die Abszisse heißt $ ((x) _ (1)) $, Ordinate, da es nicht schwer zu erraten ist, gibt es $ f \\ left (((x) _ (1)) \\ richtig) $.

Betrachten Sie den gleichen Zeitplan, ein anderer Punkt. Es ist egal, was am wichtigsten ist, dass es sich von der ersten unterscheidet. In ihr gibt es wieder eine Abszisse, wir nennen es $ ((x) _ (2)) $, sowie die Ordinate - $ f \\ Left (((x) _ (2)) \\ Right) $.

Also haben wir zwei Punkte erhalten: Sie haben unterschiedliche Abszisse und daher, verschiedene Werte Funktionen, obwohl letzterer optional ist. Aber was ist wirklich wichtig, so dass wir aus dem Lauf der Planimeria wissen, dass Sie direkt in zwei Punkten und nur einem ausgeben können. Hier lassen wir es ausgeben und ausgeben.

Und jetzt werde ich das allererste von ihnen direkte, parallele Achse der Abszisse ausgeben. Erhalten rechtwinkliges Dreieck. Lassen Sie uns $ ABC $ geben, einen direkten Winkel von $ C $. Dieses Dreieck hat ein sehr interessantes Eigentum: Die Tatsache ist, dass der Winkel $ \\ alpha $ tatsächlich gleich der Ecke ist, unter der die direkte $ AB $ mit der Fortsetzung der Abszisse-Achse schneidet. Urteile selbst:

1. richten Sie $ AC $ parallel zur Achse von $ ox $ by construction,
2. direct $ AB $ kreuzt $ AC $ unter $ \\ alpha $
3. infolgedessen kreuzt $ AB $ $ OX $ unter demselben $ \\ alpha $.

Was können wir über $ \\ text () \\! \\! \\ Alpha \\! \\! \\ Text () $? Nichts konkret, mit der Ausnahme, dass in dem $ ABC-Dreieck-Verhältnis des $ BC $ Rattu der $ AC $---------------Grundkategorie dem Tangens dieser sehr Ecke entspricht. Also schreiben Sie:

Natürlich ist $ AC $ in diesem Fall leicht zu berücksichtigen:

Ebenso, $ BC $:

Mit anderen Worten, wir können Folgendes aufzeichnen:

\\ \\ \\ ONTERNAME (TG) \\ text () \\! \\! \\ \\ Alpha \\! \\! \\ Text () \u003d \\ frac (f \\ left ((((((((((((2)) \\ rechts) -f \\ Left ( ((x) _ (1)) \\ Rechts)) ((((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \\]

Nun, da wir alle herausgefunden haben, gehen wir zurück in unseren Zeitplan und betrachten einen neuen Punkt $ B $. Dehnen Sie alte Werte und nehmen Sie sich an und nehmen Sie $ B $ an einem anderen näher an $ ((x) _ (1)) $. Wir bezeichnen es erneut, um sie abzügen, um $ ((x) _ (2)) $, und die Ordinate ist $ F \\ Left (((x) _ (2)) \\ Right) $.

Wir werden unser kleines Dreieck $ ABC $ und $ \\ Text () \\! \\! \\! \\ \\ Alpha \\! \\! \\ Text () $ It. Es ist ziemlich offensichtlich, dass es ein völlig unterschiedlicher Winkel ist, der Tangente ist auch anders, da sich die Längen der Divisionen von $ AC $ und $ BC $ $ erheblich verändert haben, und die Formel für den Tangent des Winkels änderte sich nicht Überhaupt - dies ist immer noch das Verhältnis zwischen der Funktionsänderung und der Änderung des Arguments.

Schließlich bewegen wir uns weiterhin $ B $, um näher an den ursprünglichen Punkt $ A $ zu gelangen, dadurch wird das Dreieck immer noch verringert, und das Direkt, das das Segment $ AB enthält, wird zunehmend wie eine Funktion Tangente sein.

Wenn Sie dadurch die Annäherung der Punkte fortsetzen, dh die Entfernung von Punkten, dh die Entfernung auf Null senken, wird das direkte $ AB $ in der Tat einen Tangenten zu diesem Zeitpunkt, und $ \\ text () \\! \\ ! \\ Alpha \\! \\! \\! \\! \\ Alpha! \\ Text () $ $ wird von dem üblichen Element des Dreiecks in den Winkel zwischen Tangent an die Grafiken und der positiven Richtung der $ Ochse-Achse.

Und hier gehen wir reiflich zur Definition von $ F $, nämlich die derivative Funktion bei $ (((x) _ (1)) $ wird $ \\ alpha $ tangential zwischen der Tangente bis zum Graphen auf $ ((x ) _ ((x) _ (1)) $ und die positive Richtung der Achse von $ ox $:

\\ [(f) "\\ Left ((((x) _ (1)) \\ rechts) \u003d \\ ONTERNNAME (TG) \\ text () \\! \\! \\ alpha \\! \\! \\ text () \\]

Rückkehr zu unserem Zeitplan sollte darauf hingewiesen werden, dass als $ ((x) _ (1)) $, Sie können einen beliebigen Punkt in der Tabelle auswählen. Zum Beispiel könnten wir mit demselben Erfolg den Balken an dem auf dem Bild dargestellten Punkt entfernen.

Der Winkel zwischen der Tangente und der positiven Richtung der Achse nennt $ \\ Beta $. Dementsprechend sind $ F $ pro $ ((x) _ (2)) $ in Höhe der Tangente dieses Winkels von $ \\ Beta $.

\\ [(f) \\ Left (((f) links (((x) _ (2)) \\ rechts) \u003d TG \\ Text () \\! \\! \\ BETA \\! \\! \\ text () \\]

An jedem Punkt der Grafik gibt es seinen eigenen Tangent, und daher ist der Wert der Funktion. In jedem dieser Fälle müssen zusätzlich zu dem Punkt, an dem wir nach einem differentiellen Ableitung oder Betrag suchen, oder eine Ableitung einer Leistungsfunktion, müssen Sie einen weiteren Punkt nehmen, der sich in einiger Entfernung von ihm befindet, und dann diesen Punkt stürzen zum Original und natürlich, um herauszufinden , wie in den Prozess der Tangente Neigungswinkel ändert sich diese Bewegung.

Das Derivat der Leistungsfunktion

Leider passt diese Definition nicht zu uns. All diese Formeln, Bilder, Ecken geben uns nicht die geringste Vorstellung davon, wie man ein echtes Derivat in echten Aufgaben in Betracht ziehen kann. Daher dauern wir etwas aus der formellen Definition und berücksichtigen effizientere Formeln und Techniken, mit denen diese Aufgaben bereits gelöst werden können.

Beginnen wir mit den einfachsten Strukturen, nämlich die Funktionen des Formulars $ y \u003d ((x) ^ (n)) $, d. H. Leistungsfunktionen. In diesem Fall können wir Folgendes schreiben: $ (y) "\u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1)) $. Mit anderen Worten, der Grad, der in der Anzeige stand, ist im Multiplizierer vorne gezeigt und die Anzeige selbst nimmt Einheit . Zum Beispiel:

\\ [\\ beginnen (ausrichten) & y \u003d ((x) ^ (2)) \\\\ & (y) "\u003d 2 \\ cdot ((x) ^ (2-1)) \u003d 2x \\\\\\ ende (ausrichten) \\]

Aber eine andere Option:

\\ \\ \\ \\ beginnend (Align) & y \u003d ((x) ^ (1)) \\\\ & (y) "\u003d ((\\ linke (x \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d 1 \\ cdot ((x ) ^ (0)) \u003d 1 \\ CDOT 1 \u003d 1 \\\\ \\ ((\\ Links (X \\ Right)) ^ (\\ prime)) \u003d 1 \\\\\\ end (ausrichten) \\]

Versuchen Sie mit diesen einfachen Regeln, den Barcode der folgenden Beispiele zu entfernen:

Also bekommen wir:

\\ [(((((\\) ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((\\ Prime)) ^ (\\ prime)) \u003d 6 \\ cdot ((x) ^ (5)) \u003d 6 ((x) ^ (5)) \\]

Jetzt lösen wir den zweiten Ausdruck:

\\ [\\ Begin (Ausrichten) & f \\ links (x \\ right) \u003d ((x) ^ (100)) \\\\ \\ ((\\ links (((x) ^ (100)) \\ Recht)) ^ (\\ Prime)) \u003d 100 \\ Cdot ((x) ^ (99)) \u003d 100 ((x) ^ (99)) \\\\\\ End (ausrichten) \\]

Natürlich war es sehr einfache Aufgaben. aber echte Aufgaben Komplexer und sie sind nicht auf die einzigen Grade der Funktion beschränkt.

So, Regel Nr. 1 - Wenn die Funktion als andere dargestellt ist, ist die Ableitung dieses Betrags gleich der Summe der Derivate:

\\ [((\\ Left (links (f + g \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "+ (g)" \\]

In ähnlicher Weise ist die Ableitung der Differenz von zwei Funktionen gleich der Differenz der Derivate:

\\ [((\\ linke (f-g \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "- (g)" \\]

\\ [(((\\ \\ Left ((((((((((((((((((((((((((((((\\ Prime)) \u003d ((\\ legt ((((((((((((((((((((((((((( Prime)) + ((\\ Left (X \\ Right)) ^ (\\ prime)) \u003d 2x + 1 \\]

Darüber hinaus gibt es eine andere wichtige Regel: Wenn vor einigen $ F $ eine $ C $ -Konstante vorhanden ist, auf die diese Funktion multipliziert wird, gilt $ F $ all dieses Designs als:

\\ [((((links)) ^ (\\ prime)) \u003d C \\ C \\ CDOT (F) "\\]

\\ [(((\\ linke (3 (3 ((3 ((3)) ^ (\\ prime)) \u003d 3 ((\\ Left ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( Prime)) \u003d 3 \\ CDOT 3 (((x) ^ (2)) \u003d 9 ((x) ^ (2)) \\]

Eine weitere sehr wichtige Regel: In Aufgaben wird oft ein separater Begriff gefunden, der nicht $ x $ enthält. Zum Beispiel können wir es in unseren derzeitigen Ausdrücke beobachten. Derivatkonstante, d. H. Die Zahlen, in keiner Weise abhängig von $ x $, ist immer gleich Null, und es ist völlig egal, was die $ C-Konstante gleich ist:

\\ [(((\\ \\ Left (c \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 \\]

Beispiellösung:

\\ [((\\ \\ linke (1001 \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ linke (\\ frac (1) (1000) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 \\]

Wieder einmal weder Punkte:

1. Die Ableitung der beiden Funktionen ist immer gleich der Summe der Derivate: $ ((\\ linke (f + + g \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "+ (g)" $;
2. Aus ähnlichen Gründen ist die Ableitung der Differenz von zwei Funktionen gleich der Differenz von zwei Derivaten: $ ((\\ linke (f-g \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "- (g)" $;
3. Wenn die Funktion einen konstanten Multiplizierer aufweist, kann diese Konstante für ein abgeleiteter Zeichen vorgenommen werden: $ ((\\ linke (c \\ c \\ cdot f \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d c \\ cdot (f) "$;
4. Wenn die gesamte Funktion konstant ist, ist das Derivat immer Null: $ ((\\ linke (c \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 $.

Mal sehen, wie alles auf echten Beispielen funktioniert. So:

Wir schreiben:

\\ [\\ begin (Richtig) & ((\\ Leck (((((((((((((((x) ^ ^ (2)) + 7 \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ Links) ((((x) ^ (5)) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) - (((\\ Left (3 (3 ((3 ((3)) \\ rechts)) ^ (\\ prime) + (7) "\u003d \\\\ \\ \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 3 (((((((((((((((((((((((((((((((((((((\\ Prime)) + 0 \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\\\\\ ende (ausrichten) \\]

In diesem Beispiel sehen wir die derivative Summe und die Differenzderivat. Insgesamt beträgt das Derivat 5 US-Dollar ((x) ^ (4)) - 6x $.

Gehen Sie zur zweiten Funktion:

Wir schreiben die Lösung auf:

\\ \\ \\ beginnen (ausrichten) & ((\\ lin (3 (3 ((3 (((3 (((3)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ PRIME)) \u003d ((\\ linke (3 ((((3) ^ ( 2)) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) - ((\\ Left (2x \\ rechts)) ^ (\\ prime)) + (2) "\u003d \\\\ · 3 (((((((((((((((((((((((((((((((((( ^ (2)) \\ RECHTS)) ^ (\\ prime)) - 2 (x) "+ 0 \u003d 3 \\ CDOT 2x-2 \\ CDOT 1 \u003d 6x-2 \\\\\\ End (Richten) \\]

Also fanden wir die Antwort.

Gehen Sie zur dritten Funktion - es versucht bereits:

\\ [\\ begin (Richtig) & ((\\ Leck (2 (2 ((2) ^ (3)) - 3 (((((((((((((x) ^ (2)) + \\ frac (1) (2) x-5 \\ rechts) ) ^ (\\ Prime)) \u003d ((\\ PRIME)) \u003d ((\\ \\ Left (2 ((((2 ((2)) ^ (\\ prime)) - ((\\ linke (3 ((3 (((x) ^ (2)) \\ Rechts)) ^ (\\ prime)) + ((\\ linke (\\ frac (1) (2) x \\ rechts)) ^ (\\ prime)) - (5) "\u003d \\\\ & \u003d 2 ((links) ((x) ^ (3)) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) - 3 (((((((((((((((((((((((((((\\ Prime)) + \\ frac (1) ) (2) \\ cdot (x) "\u003d 2 \\ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \\ cdot 2x + \\ frac (1) (2) \\ cdot 1 \u003d 6 ((x) ^ (2 )) -6x + \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (richten) \\]

Wir haben die Antwort gefunden.

Gehen Sie zum letzten Ausdruck - der komplexeste und am langen:

Also glauben wir:

\\ [\\ begin (Richtig) & ((\\ \\ Left (6 ((6 (((6 ((((6)) + 4x + 5 \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ \\ Left (links (6 (((6 (((((((6 ((((((6)) ^ (\\ prime)) - ((\\ Left (14 ((14 (((3) ^ (3)) \\ rechts)) ^ (\\ prime) ) + ((\\ linke (4x \\ rechts)) ^ (\\ prime)) + (5) "\u003d \\\\ \\ \u003d 6 \\ cdot 7 \\ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \\ cdot 3 (( x) ^ (2)) + 4 \\ CDOT 1 + 0 \u003d 42 (((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\\\\ end (richten) \\]

Diese Entscheidung endet jedoch nicht, weil wir gebeten werden, den Berührung nicht nur zu entfernen, sondern den Wert an einem bestimmten Punkt zu berechnen, sodass wir den Ausdruck -1 anstelle von $ x $ ersetzen:

\\ [(y) "\\ links (-1 \\ rechts) \u003d 42 \\ cdot 1-42 \\ cdot 1 + 4 \u003d 4 \\]

Wir folgen und gehen noch komplexere und interessante Beispiele. Tatsache ist, dass die Formel zur Lösung eines Energiederivats $ ((\\ Left (((((((((((((((((\\ prime)) \u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1) ) $ Es hat ein noch breiteres Anwendungsbereich als in der Regel üblich. Damit ist es möglich, Beispiele mit Fraktionen, Wurzeln usw. zu lösen. Es ist das, was wir jetzt gehen wollen.

Um mit dem Anfang zu beginnen, notieren Sie sich erneut, was uns dabei hilft, ein Derivat der Stromfunktion zu finden:

Und jetzt Achtung: Bisher haben wir nur als $ n $ betrachtet ganzzahlStören Sie jedoch nicht die Ansicht der Fraktionen und sogar negativen Zahlen. Zum Beispiel können wir Folgendes aufzeichnen:

\\ \\ \\ beginnend (Align) \\ sqrt (x) \u003d ((x) ^ (\\ frac (1) (2))) \\\\ & ((\\ linke (\\ sqrt (x) \\ rechts)) ^ (\\ prime) )) \u003d ((\\ \\ Left ((((((((((((1) ((((2))) \\ rechts)) ^ (\\ Prime)) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot ((x) ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt (x)) \u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (x)) \\ \\\\ ende (richten) \\]

Nichts kompliziert, also schauen wir uns, wie diese Formel uns beim Lösen komplexerer Aufgaben hilft. So beispiel:

Wir schreiben die Lösung auf:

\\ [\\ beginnend (Aligns) \\ Left (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) \\ rechts) \u003d ((\\ linke (\\ sqrt (x) \\ rechts)) ^ (\\ prime) ) + ((\\ linke (\\ sqrt (x) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) + ((\\ linke (\\ sqrt (x) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \\\\ & (( (\\ SQRT (X) \\ RECHTS)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (x)) \\\\ \\ ((\\ linke (\\ sqrt (x) \\ rechts)) ^ (\\ Prime)) \u003d ((\\ \\ Left ((((((((((1) ((((1))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot ((x) ^ (- \\ frac (2) (3))) \u003d frac (1) (3) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt ((((((((x) ^ ^ (2)))) \\\\ & ((\\ links (\\ sqrt (x) \\ RECHTS)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ linke ((((((((((((1) (4))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ Frac (1) (4) ((x) ^ (- \\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (1) (4) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt ((((x) ^ (3)))) \\\\\\ End (Richten) \\]

Rückkehr zu unserem Beispiel und schreibe:

\\ [(y) "\u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (x)) + \\ frac (1) (3 \\ sqrt (((x) ^ (2)))) + \\ frac (1) (4 \\ Sqrt (((x) ^ (3)))) \\]

Hier ist eine schwierige Entscheidung.

Zum zweiten Beispiel gehen, es gibt nur zwei Begriffe hier, aber jeder von ihnen enthält sowohl einen klassischen Grad als auch einen Wurzeln.

Jetzt lernen wir, wie man eine Ableitung einer Leistungsfunktion finden kann, die zusätzlich auch das Wurzel enthält:

\\ [\\ begin (Richtig) & ((\\ Left (((((((((((((((((((((((((((((((x) ^ ^ (2))) + ((x) ^ (7)) \\ sqrt (x ) \\ Rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ linke (((((((((((((3)) \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (2))) \\ rechts) ^ (\\ prime) ) \u003d ((\\ \\ Left ((((((((((x) ^ (3)) \\ CDOT ((x) ^ (\\ frac (2) (3))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d \\\\ & \u003d ( (\\ \\ Left (((((((x) ^ (3+ \\ frac (2) (3))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ linke ((((((((((((((((11)) 3))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d frac (11) (3) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (8) (3))) \u003d \\ frac (11) (3) \\ Cdot ((x) ^ (2 \\ frac (2) (3))) \u003d \\ frac (11) (3) \\ cdot ((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt ((((x) ^ (2))) \\\\ \\ ((\\ Left ((((((((((((((((((((((((((((((((\\ PRIME)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ linke (((((((((((( (7)) \\ CDOT ((x) ^ (\\ frac (1) (3))) \\ rechts) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ Links (((((((((((((1)) (3))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d 7 \\ frac (1) (3) \\ cdot ((x) ^ (6 \\ frac (1) (3)) \u003d \\ frac (22) ( 3) \\ CDOT ((x) ^ (6)) \\ cdot \\ sqrt (x) \\\\\\ ende (richten) \\]

Beide Anschuldigungen werden in Betracht gezogen, es bleibt die endgültige Antwort aufzuschreiben:

\\ [(y) "\u003d \\ frac (11) (3) \\ cdot ((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (2))) + \\ frac (22) (3) \\ Cdot ((x) ^ (6)) \\ cdot \\ sqrt (x) \\]

Wir haben die Antwort gefunden.

Fraktionserministerium durch Stromfunktion

Bei dieser Möglichkeit der Formel für die Lösung des Derivats der Leistungsfunktion endet jedoch nicht. Tatsache ist, dass mit seiner Hilfe nicht nur Beispiele mit Wurzeln in Betracht gezogen werden können, sondern auch mit Fraktionen. Dies ist nur eine seltene Möglichkeit, dass die Lösung solcher Beispiele erheblich vereinfacht, aber gleichzeitig wird es oft nicht nur von den Schülern, sondern auch von Lehrern ignoriert.

Also, jetzt werden wir versuchen, zwei Formeln gleichzeitig zu kombinieren. Zum einen das klassische Ableitung der Leistungsfunktion

\\ [((\\ \\ Left (((((((((((((((((((((((((((((((((\\ Prime)) ^ (\\ prime)) \u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1)) \\]

Auf der anderen Seite wissen wir, dass der Ausdruck des Typs $ \\ frac (1) (((x) ^ (n))) $ als $ ((x) ^ (- n)) $ dargestellt wird. Daher,

\\ [\\ links (\\ frac (1) (((x) ^ (n))) \\ rechts) "\u003d ((((((((((((((- n)) \\ rechts)) ^ (\\ prime) ) \u003d - N \\ CDOT ((x) ^ (- n - 1)) \u003d - \\ frac (n) (((x) ^ (n + 1))) \\]

\\ [((\\ linke (\\ frac (1) (x) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ Left (((x) ^ (- 1)) \\ rechts) \u003d - 1 \\ cdot ((x ) ^ (- 2)) \u003d - \\ frac (1) (((x) ^ (2))) \\]

Daher wird derivate von einfachen Fraktionen, in denen in der Numerer konstant ist, und im Nenner - der Grad ist auch der Grad unter Verwendung der klassischen Formel betrachtet. Mal sehen, wie es in der Praxis arbeitet.

Die erste Funktion:

\\ [(((\\ linke (\\ frac (1) (((x) ^ (2))) \\ rechts) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ linke (((((((((((((((((((((((((((((((- 2)) \\ Rechts)) ^ (\\ Prime)) \u003d - 2 \\ CDOT ((X) ^ (- 3)) \u003d - \\ frac (2) ((((((((((((x) ^ (3))) \\]

Das erste Beispiel ist aufgelöst, zum zweiten:

\\ [\\ \\ Beginnend (ausrichten) & ((\\ linke (\\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) - \\ frac (2) (3 ((((((((((x) ^ (3))) + \\ Frac (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 (((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) \\ rechts) ^ (\\ prime)) \u003d \\ \\ & \u003d ((\\ linke (\\ frac (7) (4 (((x) ^ (4))) \\ rechts) ^ (\\ prime)) - ((links (\\ frac (2) (3) (x) ^ (3))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) + ((\\ linke (2 ((2 (((2 ((2)) ^ (\\ prime)) - ((\\ Links) (3 (((x) ^ (4)) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \\\\ \\ ((links (\\ frac (7) (4 ((\\) (\\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \\ rechts)) ^ (\\ Prime)) \u003d \\ frac (7) (4) ((\\ lin (\\ frac (1) (((x) ^ (4))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac ( 7) (4) \\ CDOT ((\\ Left ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( ) \\ CDOT ((x) ^ (- 5)) \u003d \\ frac (-7) (((x) ^ (5))) \\\\ & ((\\ Links (\\ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (2) (3) \\ cdot ((\\ linke (\\ frac (1) (((x) ^ (3))) \\ richtig )) ^ (\\ Prime)) \u003d \\ frac (2) (3) \\ cdot ((\\ linke ((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((( (3) \\ cdot \\ links (-3 \\ rechts) \\ cdot ((x) ^ (- 4)) \u003d \\ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\\\ & ((links) (\\ Frac (5) (2) ((x) ^ (2)) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d frac (5) (2) \\ cdot 2x \u003d 5x \\\\ ≤ (links (2) ((x) ^ (3)) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d 2 \\ cdot 3 ((x) ^ (2)) \u003d 6 ((x) ^ (2)) \\\\ & ((\\ Links (3 ((x) ^ (4)) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d 3 \\ cdot 4 ((x) ^ (3)) \u003d 12 ((x) ^ (3)) \\\\\\ ende (ausrichten) \\] ...

Jetzt sammeln wir alle diese Komponenten in einer einzelnen Formel:

\\ [(y) "\u003d - \\ frac (7) (((x) ^ (5))) + \\ frac (2) (((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \\]

Wir haben die Antwort bekommen.

Bevor ich mich jedoch weiterleiten möchte, möchte ich Ihre Aufmerksamkeit auf die Form von Aufzeichnungen der Originalausdrücke ziehen: Wir haben im ersten Ausdruck $ f \\ linke (X \\ RECHTS) \u003d ... $, in der zweiten: $ aufgenommen y \u003d ... $ viele Studenten verlieren, wenn sie verschiedene Aufnahmeformulare sehen. Was ist der Unterschied zwischen $ F \\ Left (X \\ RECHTS) $ und $ y $? Tatsächlich nichts. Dies sind nur verschiedene Datensätze mit derselben Bedeutung. Wenn wir nur $ F \\ LINKS (X \\ \\ RECHTS) $ $ taten wir redenZunächst über die Funktion, und wenn es um $ y $ geht, ist es meistens einen Funktionszeitplan. Andernfalls ist dies derselbe, das heißt, das Derivat in beiden Fällen wird als dasselbe angesehen.

Schwierige Aufgaben mit Derivaten

Zusammenfassend möchte ich ein Paar komplexe kombinierte Aufgaben in Betracht ziehen, die gleichzeitig verwendet werden, was wir heute in Betracht gezogen haben. Sie warten auf Wurzeln sowie Fraktionen und Beträge. Diese Beispiele werden jedoch nur im Rahmen des heutigen Video-Tutorials komplex sein, da wahrlich komplexe Funktionen von Derivaten auf Sie warten.

Der letzte Teil des heutigen Video-Tutorials besteht also aus zwei kombinierten Aufgaben. Beginnen wir mit dem ersten:

\\ [\\ Begin (Ausrichten) & amp; ((\\ links (((x) ^ (3)) - \\ FRAC (1) (((x) ^ (3))) + \\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ Prime)) \u003d ((\\ linke (((((((((((((((((((((((\\ PRIME)) ^ (\\ Prime)) - ((\\ Lecker) ))) \\ rechts)) ^ (\\ Prime)) + \\ left (\\ sqrt (x) \\ right) \\\\ \\ ((\\ left (((x) ^ (3)) \\ rechts)) ^ (\\ Prime )) \u003d 3 ((x) ^ (2)) \\\\ Δ (\\ left (\\ FRAC (((((x) ^ (3))) \\ Recht)) ^ (\\ Prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (- 3)) \\ Recht)) ^ (\\ Prime)) \u003d - 3 \\ Cdot ((x) ^ (- 4)) \u003d - \\ FRAC (3) (((x) ^ ( 4))) \\\\ \\ ((\\ links (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ Prime)) \u003d ((\\ links (((x) ^ (\\ FRAC (1) (3))) \\ rechts)) ^ (\\ Prime)) \u003d \\ frac (1) (3) \\ CDOT \\ FRAC (1) (((x) ^ (\\ FRAC (2) (3)))) \u003d \\ frac (1) ( 3 \\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\\\\\ ende (richten) \\]

Die derivative Funktion ist:

\\ [(Y) „\u003d 3 ((x) ^ (2)) - \\ FRAC (3) (((x) ^ (4))) + \\ FRAC (1) (3 \\ sqrt (((x) ^ (2))))

Das erste Beispiel ist gelöst. Betrachten Sie die zweite Aufgabe:

Im zweiten Beispiel handeln Sie auf dieselbe Weise:

\\ [((\\ linke (- \\ frac (2) (((x) ^ (4))) + \\ sqrt (x) + \\ frac (4) (x \\ sqrt (((x) ^ (3)) )) \\ Rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ linke (- \\ frac (2) (((x) ^ (4))) \\ richtig)) ^ (\\ prime)) + ((linke) (\\ Sqrt (x) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) + ((\\ linke (\\ frac (4) (x \\ cdot \\ sqrt ((x \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (3)))) \\ rechts) ^ (\\ Prime)) \\]

Berechnen Sie jeden Begriff separat:

\\ \\ \\ beginnend (Richtig) & ((\\ Left (- \\ frac (2) (((x) ^ (4))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d - 2 \\ CDOT (( ((x) ^ (- 4)) \\ Rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d - 2 \\ cdot \\ linke (-4 \\ rechts) \\ cdot ((x) ^ (- 5)) \u003d \\ frac (8 ) (((x) ^ (5))) & \\\\ ((\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ Prime)) \u003d ((\\ links (((x) ^ (\\ FRAC ( 1) (4))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (4) \\ cdot ((x) ^ (- \\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (1 ) (4 \\ CDOT ((x) ^ (\\ frac (3) (4))))) \u003d \\ Frac (1) (4 \\ SQRT ((((((((((((((((((((((((((((((((((\\)))) \\\\ & (\\ Left (\\ FRAC (4) (x \\ CDOT \\ SQRT (((x) ^ (3)))) \\ rechts)) ^ (\\ Prime)) \u003d ((\\ left (\\ FRAC (4) (x \\ CDOT ((x) ^ ^ (\\ frac (3) (4)))) \\ rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ linke (\\ frac (4) (((x) ^ (1 \\ frac (3) ) (4)))) \\ Rechts)) ^ (\\ prime)) \u003d 4 \\ CDOT (((((((((((((((((- 1 \\ frac (3))) \\ rechts) ^ ( \\ Prime)) \u003d & \\\\ \u003d 4 \\ Cdot \\ links (-1 \\ FRAC (3) (4) \\ RIGHT) \\ Cdot ((x) ^ (- 2 \\ FRAC (3) (4)) \u003d 4 \\ cdot \\ links (- \\ FRAC (7) (4) \\ RIGHT) \\ cDOT \\ FRAC (1) (((x) ^ (2 \\ FRAC (3) (4)))) \u003d \\ frac (-7) ( ((x) ^ (2)) \\ cdot ((x) ^ (\\ FRAC (3) (4)))) \u003d - \\ FRAC (7) (((x) ^ (2)) \\ cDOT \\ SQRT ( ((x) ^ (3)))) \\\\\\ End (Richtig) \\]

Alle Bedingungen werden gezählt. Jetzt kehren wir in die erste Formel zurück und falten alle drei Begriffe zusammen. Wir bekommen, dass die endgültige Antwort so sein wird:

\\ [(Y) „\u003d \\ frac (8) (((x) ^ (5))) + \\ FRAC (1) (4 \\ sqrt ((((x) ^ (3)))) - \\ FRAC ( 7) (((x) ^ (2)) \\ CDOT \\ SQRT ((((x) ^ (3)))) \\]

Und das ist alles. Es war unsere erste Lektion. In den folgenden Lektionen werden wir komplexere Designs ansehen und herausfinden, warum die Derivate im Allgemeinen benötigt werden.

Auf dem wir die einfachsten Derivate zerlegen und auch mit den Regeln der Differenzierung und einigen kennenzulernen technische Techniken Derivate finden. Wenn Sie also nicht sehr klar mit Derivaten von Funktionen sind, sind Sie nicht vollständig klar, und lesen Sie zunächst die obige Lektion. Bitte auf ernsthafte Weise einrichten - das Material ist nicht einfach, aber ich versuche es immer noch, einfach einfach und erreichbar zu sein.

In der Praxis muss sich eine Ableitung einer komplexen Funktion sehr oft stellen, ich würde sogar fast immer sagen, wenn Sie Aufgaben, um Derivate zu finden, zu finden.

Wir betrachten den Tisch für eine Regel (Nr. 5) der Differenzierung einer komplexen Funktion:

Wir verstehen. Achten Sie zunächst auf den Datensatz. Hier haben wir zwei Funktionen - und darüber hinaus wird die Funktion, die Funktion, implattiert, in die Funktion investiert. Die Funktion dieses Typs (wenn eine Funktion in einem anderen eingebettet ist) und wird als komplexe Funktion bezeichnet.

Ich werde die Funktion anrufen externe Funktionund Funktion - interne (oder verschachtelte) Funktion.

Schnitte Diese Definitionen sind nicht theoretisch und sollten nicht im Kolben-Design von Aufgaben erscheinen. Ich benutze informelle Ausdrücke "Externe Funktion", "interne" Funktion, nur um es Ihnen einfacher zu machen, das Material zu verstehen.

Um die Situation zu klären, berücksichtigen Sie:

Beispiel 1.

Finden Sie eine derivative Funktion

Unter dem Sinus sind wir nicht nur der Buchstabe "x", sondern ein ganzzahliger Ausdruck, daher ist es nicht möglich, sofort ein Derivat auf dem Tisch zu finden. Wir bemerken auch, dass es nicht möglich ist, die ersten vier Regeln nicht anzuwenden, es scheint, dass es einen Unterschied gibt, aber die Tatsache ist, dass der Sinus nicht "in Teile getrennt" ist:

In diesem Beispiel ist es aus meinen Erklärungen intuitiv, dass die Funktion eine komplexe Funktion ist, und das Polynom ist eine interne Funktion (Anhang) und ist eine externe Funktion.

Erster SchrittWenn Sie eine derivative Komplexfunktion finden, ist dies zu erfüllen herausfinden, welche Funktion intern ist und was ist das externe.

Bei einfachen Beispielen scheint es anscheinend, dass ein Polynom unter Sinus investiert wird. Aber was ist, wenn alles nicht offensichtlich ist? Wie genau zu bestimmen, welche Funktion extern ist und was ist das Innere? Dafür schlagen ich vor, den nächsten Empfang zu verwenden, der geistig oder auf dem Entwurf erfolgen kann.

Stellen Sie sich vor, wir müssen den Wert eines Ausdruckswerts auf dem Taschenrechner berechnen (anstelle einer Einheit kann möglicherweise eine beliebige Zahl sein).

Was berechnen wir zuerst? Als erstes Sie müssen Folgendes ausführen:, daher das Polynom und wird interne Funktion sein:

Zweitens Es ist notwendig zu finden, also Sinus - es ist eine externe Funktion:

Nachdem wir Haben herausgefunden Mit internen und externen Funktionen ist es an der Zeit, die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion anzuwenden .

Wir fangen an zu lösen. Aus der Lektion Wie finde ich ein Derivat? Wir erinnern uns, dass die Dekoration der Lösung von einem Derivat immer so beginnt - wir schließen einen Ausdruck in den Klammern ab und legen Sie das Recht an der Spitze des Barcodes an:

Zuerst Wir finden die externe Funktion Derivate (Sinus), wir betrachten die Tabelle der derivativen Elementarfunktionen und beachten Sie, dass. Alle tabellarischen Formeln sind anwendbar und in dem Fall, wenn "x" durch einen komplexen Ausdruck ersetzt wird, in diesem Fall:

Beachten Sie, dass die interne Funktion änderte sich nicht, wir berühren sie nicht.

Nun, es ist ziemlich offensichtlich, dass

Das Ergebnis der Anwendung der Formel Im Kolbendesign sieht es so aus:

Ein dauerhafter Multiplizierer ertönt normalerweise Ausdrücke:

Wenn ein Missverständnis bleibt, schreibe die Entscheidung über Papier um und lesen Sie die Erklärungen erneut.

Beispiel 2.

Finden Sie eine derivative Funktion

Beispiel 3.

Finden Sie eine derivative Funktion

Wie immer, schreiben Sie:

Wir verstehen, wo wir eine externe Funktion haben, und wo ist das Innere. Versuchen Sie dies zu tun (geistig oder auf einem Entwurf), um den Wert des Ausdrucks bei zu berechnen. Was muss zuerst ausgeführt werden? Zunächst ist es notwendig, das Gleiche der Basis zu zählen:, es bedeutet, dass das Polynom interne Funktion ist:

Und nur dann wird die Übung in dem Umfang durchgeführt, daher ist die Leistungsfunktion eine externe Funktion:

Nach der Formel Zuerst müssen Sie in diesem Fall das Derivat von der externen Funktion finden, in diesem Fall. Wir wollten die notwendige Formel in der Tabelle :. Wir wiederholen wieder: jede tabellarische Formel gilt nicht nur für "X", sondern auch für den komplexen Ausdruck. Somit das Ergebnis der Anwendung des Bereichs der Differenzierung einer komplexen Funktion Folgende:

Ich bete mir noch einmal, dass, wenn wir eine Ableitung einer externen Funktion annehmen, die interne Funktion nicht bei uns ändert:

Nun bleibt es, ein völlig einfaches Derivat von der internen Funktion und einem kleinen "Kämmen" des Ergebnisses zu finden:

Beispiel 4.

Finden Sie eine derivative Funktion

Dies ist ein Beispiel für selbst entscheiden (Antwort am Ende der Lektion).

Um ein Verständnis der derivativen Komplexfunktion zu sichern, werde ich ein Beispiel ohne einen Kommentar geben, versuchen, es selbst herauszufinden, Farbe, Farbe, wobei extern und wo die interne Funktion ist, warum werden die Aufgaben auf diese Weise gelöst?

Beispiel 5

a) Finden Sie eine derivative Funktion

b) Finden Sie eine derivative Funktion

Beispiel 6.

Finden Sie eine derivative Funktion

Hier haben wir eine Wurzel, und um die Wurzel zu indifferentieren, muss er in Form eines Grades dargestellt werden. Somit geben Sie zunächst die Funktion dem richtigen Formular an:

Analysieren der Funktion schließen wir ab, dass die Summe der drei Bedingungen eine interne Funktion ist, und die externe Funktion ist die externe Funktion. Wenden Sie die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion an :

Der Grad darstellt wieder in Form eines Radikals (root), und verwenden Sie für das Derivat der internen Funktion eine einfache Regel der Differenzierungsbetrag:

Bereit. Sie können den Ausdruck auch dazu führen gemeinsamer Nenner Und schreib alles mit einem Bruchteil auf. Natürlich schön, aber wenn sperrige lange Derivate erhalten werden - es ist besser, dies nicht zu tun (es ist leicht, verwirrt zu werden, um einen unnötigen Fehler zu ermöglichen, und der Lehrer wird unbequem prüfen).

Beispiel 7.

Finden Sie eine derivative Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Entscheidung (Antwort am Ende der Lektion).

Es ist interessant zu beachten, dass manchmal anstelle des Verfahrens zur Differenzierung einer komplexen Funktion die Anteilsdifferenzierungsregel nutzen kann Diese Entscheidung sieht jedoch aus wie eine Perversion ungewöhnlich. Hier ist ein charakteristisches Beispiel:

Beispiel 8.

Finden Sie eine derivative Funktion

Hier können Sie die Anteilsdifferenzierungsregel verwenden Es ist jedoch viel profitabler, ein Derivat durch eine Differenzierungsregel einer komplexen Funktion zu finden:

Wir bereiten die Funktion zur Differenzierung vor - wir nehmen einen Minus pro Zeichen des Derivats, und die Cosinus-Anhebung in den Zähler:

Cosinus ist eine interne Funktion, die externe Funktion ist eine externe Funktion.
Wir verwenden unsere Regel :

Wir finden das Derivat der internen Funktion, der Cosinus verleiht sich zurück:

Bereit. Im untersuchten Beispiel ist es wichtig, nicht in Anzeichen verwechselt zu werden. Versuchen Sie übrigens, es mit der Regel zu lösen. Die Antworten müssen übereinstimmen.

Beispiel 9.

Finden Sie eine derivative Funktion

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Entscheidung (Antwort am Ende der Lektion).

Bisher haben wir in Betracht gezogen, Fälle, wenn sich nur eine Investition in unserer komplexen Funktion befand. In den praktischen Aufgaben ist es oft möglich, Derivate zu erfüllen, wobei, wie Matryoshki, eins zu anderen, gleichzeitig eingebettet sind, oder sogar 4-5 Funktionen.

Beispiel 10.

Finden Sie eine derivative Funktion

Wir verstehen in den Investitionen dieser Funktion. Wir versuchen, den Ausdruck mit dem experimentellen Wert zu berechnen. Wie würden wir an den Rechner glauben?

Zuerst müssen Sie finden, es heißt, Arksinus ist die tiefste Investition:

Dann sollten diese Arxinus-Einheiten in den Platz eingebaut werden:

Und schließlich wird die sieben in einem Grad errichtet:

Das heißt, wir haben in diesem Beispiel drei verschiedene Funktionen und zwei Anhänge, während die innere Funktion Arxinus ist, und die externe Funktion selbst ist eine indikative Funktion.

Wir fangen an zu entscheiden

Nach der Regel Zuerst müssen Sie eine Ableitung von der externen Funktion annehmen. Wir betrachten die Tabelle der Derivate und finden eine Ableitung der indikativen Funktion: Der einzige Unterschied ist anstelle von "X". Wir haben einen schwierigen Ausdruck, der die Gültigkeit dieser Formel nicht storniert. Das Ergebnis der Anwendung der Differenzierung einer komplexen Funktion Folgendes.