F x 3x 2 Stammfunktion. Stammfunktion von Funktion und allgemeinem Erscheinungsbild

Lektion und Präsentation zum Thema: „Eine Stammfunktion. Graph einer Funktion“

Zusätzliche Materialien
Liebe Benutzer, vergessen Sie nicht, Ihre Kommentare, Bewertungen und Wünsche zu hinterlassen! Alle Materialien wurden von einem Antivirenprogramm überprüft.

Lehrmittel und Simulatoren im Integral Online-Shop für die 11. Klasse
Algebraische Probleme mit Parametern, Klassen 9–11
„Interaktive Aufgaben zum Bauen im Weltraum für die Klassen 10 und 11“

Stammfunktion. Einführung

Leute, ihr wisst, wie man mithilfe verschiedener Formeln und Regeln Ableitungen von Funktionen findet. Heute werden wir die umgekehrte Operation zur Berechnung der Ableitung untersuchen. Der Begriff der Ableitung wird häufig verwendet wahres Leben. Ich möchte Sie daran erinnern: Die Ableitung ist die Änderungsrate einer Funktion an einem bestimmten Punkt. Prozesse, die Bewegung und Geschwindigkeit beinhalten, werden mit diesen Begriffen gut beschrieben.

Schauen wir uns dieses Problem an: „Die Geschwindigkeit eines sich geradlinig bewegenden Objekts wird durch die Formel $V=gt$ beschrieben. Sie ist erforderlich, um das Bewegungsgesetz wiederherzustellen.
Lösung.
Wir kennen die Formel gut: $S"=v(t)$, wobei S das Bewegungsgesetz ist.
Unsere Aufgabe besteht darin, eine Funktion $S=S(t)$ zu finden, deren Ableitung gleich $gt$ ist. Wenn Sie genau hinschauen, können Sie erraten, dass $S(t)=\frac(g*t^2)(2)$ ist.
Überprüfen wir die Richtigkeit der Lösung dieses Problems: $S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"=\frac(g)(2)*2t=g*t$.
Da wir die Ableitung der Funktion kannten, fanden wir die Funktion selbst, das heißt, wir führten die Umkehroperation durch.
Aber es lohnt sich, diesem Punkt Beachtung zu schenken. Die Lösung unseres Problems bedarf einer Klärung; wenn wir der gefundenen Funktion eine beliebige Zahl (Konstante) hinzufügen, ändert sich der Wert der Ableitung nicht: $S(t)=\frac(g*t^2)(2)+ c,c=const$.
$S"(t)=(\frac(g*t^2)(2))"+c"=g*t+0=g*t$.

Leute, aufgepasst: Unser Problem hat unendlich viele Lösungen!
Wenn das Problem keine Anfangs- oder andere Bedingung vorgibt, vergessen Sie nicht, der Lösung eine Konstante hinzuzufügen. Beispielsweise kann unsere Aufgabe die Position unseres Körpers zu Beginn der Bewegung festlegen. Dann ist es nicht schwer, die Konstante zu berechnen; indem wir Null in die resultierende Gleichung einsetzen, erhalten wir den Wert der Konstante.

Wie heißt dieser Vorgang?
Die Umkehroperation der Differentiation nennt man Integration.
Finden einer Funktion aus einer gegebenen Ableitung – Integration.
Die Funktion selbst wird Stammfunktion genannt, also das Bild, aus dem die Ableitung der Funktion gewonnen wurde.
Es ist üblich, die Stammfunktion mit dem Großbuchstaben $y=F"(x)=f(x)$ zu schreiben.

Definition. Die Funktion $y=F(x)$ heißt Stammfunktion der Funktion $у=f(x)$ auf dem Intervall X, wenn für jedes $хϵХ$ die Gleichheit $F'(x)=f(x)$ gilt .

Lassen Sie uns eine Tabelle mit Stammfunktionen für erstellen verschiedene Funktionen. Es sollte zur Erinnerung ausgedruckt und auswendig gelernt werden.

In unserer Tabelle gibt es keine Anfangsbedingungen wurde nicht gefragt. Das bedeutet, dass zu jedem Ausdruck auf der rechten Seite der Tabelle eine Konstante hinzugefügt werden sollte. Wir werden diese Regel später klären.

Regeln zum Finden von Stammfunktionen

Schreiben wir ein paar Regeln auf, die uns bei der Suche nach Stammfunktionen helfen. Sie ähneln alle den Differenzierungsregeln.

Regel 1. Die Stammfunktion einer Summe ist gleich der Summe der Stammfunktionen. $F(x+y)=F(x)+F(y)$.

Beispiel.
Finden Sie die Stammfunktion für die Funktion $y=4x^3+cos(x)$.
Lösung.
Die Stammfunktion der Summe ist gleich der Summe der Stammfunktionen, dann müssen wir die Stammfunktion für jede der vorgestellten Funktionen finden.
$f(x)=4x^3$ => $F(x)=x^4$.
$f(x)=cos(x)$ => $F(x)=sin(x)$.
Dann ist die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion: $y=x^4+sin(x)$ oder eine beliebige Funktion der Form $y=x^4+sin(x)+C$.

Regel 2. Wenn $F(x)$ eine Stammfunktion für $f(x)$ ist, dann ist $k*F(x)$ eine Stammfunktion für die Funktion $k*f(x)$.(Wir können den Koeffizienten leicht als Funktion nehmen).

Beispiel.
Finden Sie Stammfunktionen von Funktionen:
a) $y=8sin(x)$.
b) $y=-\frac(2)(3)cos(x)$.
c) $y=(3x)^2+4x+5$.
Lösung.
a) Die Stammfunktion von $sin(x)$ ist minus $cos(x)$. Dann nimmt die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion die Form an: $y=-8cos(x)$.

B) Die Stammfunktion von $cos(x)$ ist $sin(x)$. Dann nimmt die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion die Form an: $y=-\frac(2)(3)sin(x)$.

C) Die Stammfunktion für $x^2$ ist $\frac(x^3)(3)$. Die Stammfunktion von x ist $\frac(x^2)(2)$. Die Stammfunktion von 1 ist x. Dann nimmt die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion die Form an: $y=3*\frac(x^3)(3)+4*\frac(x^2)(2)+5*x=x^3+2x ^2+5x$ .

Regel 3. Wenn $у=F(x)$ eine Stammfunktion für die Funktion $y=f(x)$ ist, dann ist die Stammfunktion für die Funktion $y=f(kx+m)$ die Funktion $y=\frac(1 )(k)* F(kx+m)$.

Beispiel.
Finden Sie Stammfunktionen der folgenden Funktionen:
a) $y=cos(7x)$.
b) $y=sin(\frac(x)(2))$.
c) $y=(-2x+3)^3$.
d) $y=e^(\frac(2x+1)(5))$.
Lösung.
a) Die Stammfunktion von $cos(x)$ ist $sin(x)$. Dann ist die Stammfunktion für die Funktion $y=cos(7x)$ die Funktion $y=\frac(1)(7)*sin(7x)=\frac(sin(7x))(7)$.

B) Die Stammfunktion von $sin(x)$ ist minus $cos(x)$. Dann ist die Stammfunktion für die Funktion $y=sin(\frac(x)(2))$ die Funktion $y=-\frac(1)(\frac(1)(2))cos(\frac(x). )(2) )=-2cos(\frac(x)(2))$.

C) Die Stammfunktion für $x^3$ ist $\frac(x^4)(4)$, dann ist die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion $y=-\frac(1)(2)*\frac(((- 2x+3) )^4)(4)=-\frac(((-2x+3))^4)(8)$.

D) Vereinfachen Sie den Ausdruck leicht auf die Potenz $\frac(2x+1)(5)=\frac(2)(5)x+\frac(1)(5)$.
Die Stammfunktion der Exponentialfunktion ist sie selbst Exponentialfunktion. Die Stammfunktion der ursprünglichen Funktion ist $y=\frac(1)(\frac(2)(5))e^(\frac(2)(5)x+\frac(1)(5))=\frac (5)( 2)*e^(\frac(2x+1)(5))$.

Satz. Wenn $y=F(x)$ eine Stammfunktion für die Funktion $y=f(x)$ im Intervall X ist, dann hat die Funktion $y=f(x)$ unendlich viele Stammfunktionen, und alle haben die bilden $y=F( x)+С$.

Wenn es in allen oben betrachteten Beispielen notwendig war, die Menge aller Stammfunktionen zu finden, dann sollte überall die Konstante C hinzugefügt werden.
Für die Funktion $y=cos(7x)$ haben alle Stammfunktionen die Form: $y=\frac(sin(7x))(7)+C$.
Für die Funktion $y=(-2x+3)^3$ haben alle Stammfunktionen die Form: $y=-\frac(((-2x+3))^4)(8)+C$.

Beispiel.
Gegeben sei das Gesetz der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers $v=-3sin(4t)$. Finden Sie das Bewegungsgesetz $S=S(t)$, wenn der Körper zum Anfangszeitpunkt eine Koordinate gleich hatte 1,75.
Lösung.
Da $v=S’(t)$ ist, müssen wir die Stammfunktion für eine gegebene Geschwindigkeit finden.
$S=-3*\frac(1)(4)(-cos(4t))+C=\frac(3)(4)cos(4t)+C$.
In diesem Problem ist eine zusätzliche Bedingung gegeben – der Anfangszeitpunkt. Das bedeutet, dass $t=0$.
$S(0)=\frac(3)(4)cos(4*0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)cos(0)+C=\frac(7)(4)$.
$\frac(3)(4)*1+C=\frac(7)(4)$.
$C=1$.
Dann wird das Bewegungsgesetz durch die Formel beschrieben: $S=\frac(3)(4)cos(4t)+1$.

Probleme, die selbstständig gelöst werden müssen

1. Finden Sie Stammfunktionen von Funktionen:
a) $y=-10sin(x)$.
b) $y=\frac(5)(6)cos(x)$.
c) $y=(4x)^5+(3x)^2+5x$.
2. Finden Sie Stammfunktionen der folgenden Funktionen:
a) $y=cos(\frac(3)(4)x)$.
b) $y=sin(8x)$.
c) $y=((7x+4))^4$.
d) $y=e^(\frac(3x+1)(6))$.
3. Finden Sie gemäß dem gegebenen Gesetz der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit eines Körpers $v=4cos(6t)$ das Bewegungsgesetz $S=S(t)$, wenn der Körper zum Anfangszeitpunkt eine hatte Koordinate gleich 2.

Das Lösen von Integralen ist eine einfache Aufgabe, aber nur für einige wenige. Dieser Artikel richtet sich an diejenigen, die Integrale verstehen lernen möchten, aber nichts oder fast nichts über sie wissen. Integral... Warum wird es benötigt? Wie berechnet man es? Was sind bestimmte und unbestimmte Integrale? Wenn die einzige Verwendung, die Sie für ein Integral kennen, darin besteht, mit einer Häkelnadel in Form eines Integralsymbols etwas Nützliches aus schwer zugänglichen Stellen zu holen, dann sind Sie herzlich willkommen! Erfahren Sie, wie man Integrale löst und warum Sie darauf nicht verzichten können.

Wir studieren das Konzept des „Integrals“

Integration war schon damals bekannt Antikes Ägypten. Natürlich nicht drin moderne Form, aber dennoch. Seitdem haben Mathematiker viele Bücher zu diesem Thema geschrieben. Besonders hervorgehoben haben sie sich Newton Und Leibniz , aber das Wesen der Dinge hat sich nicht geändert. Wie kann man Integrale von Grund auf verstehen? Auf keinen Fall! Um dieses Thema zu verstehen, benötigen Sie noch Grundkenntnisse der Grundlagen der mathematischen Analyse. Wir haben bereits Informationen zu , die zum Verständnis von Integralen notwendig sind, auf unserem Blog.

Unbestimmtes Integral

Lassen Sie uns eine Funktion haben f(x) .

Unbestimmte Integralfunktion f(x) Diese Funktion wird aufgerufen F(x) , deren Ableitung gleich der Funktion ist f(x) .

Mit anderen Worten, ein Integral ist eine umgekehrte Ableitung oder eine Stammfunktion. Wie das geht, lesen Sie übrigens in unserem Artikel.

Für alle stetigen Funktionen existiert eine Stammfunktion. Außerdem wird der Stammfunktion oft ein konstantes Vorzeichen hinzugefügt, da die Ableitungen von Funktionen, die sich um eine Konstante unterscheiden, zusammenfallen. Der Vorgang, das Integral zu finden, wird Integration genannt.

Einfaches Beispiel:

Um nicht ständig Stammfunktionen zu berechnen elementare Funktionen, ist es praktisch, sie in einer Tabelle zusammenzufassen und vorgefertigte Werte zu verwenden.

Vollständige Integraltabelle für Studierende

Bestimmtes Integral

Wenn wir uns mit dem Konzept eines Integrals befassen, haben wir es mit unendlich kleinen Größen zu tun. Das Integral hilft bei der Berechnung der Fläche der Figur, der Masse des inhomogenen Körpers und der zurückgelegten Strecke ungleichmäßige Bewegung Weg und vieles mehr. Man sollte bedenken, dass ein Integral die Summe einer unendlich großen Anzahl unendlich kleiner Terme ist.

Stellen Sie sich als Beispiel einen Graphen einer Funktion vor. Wie finde ich die Fläche einer Figur, die durch den Graphen einer Funktion begrenzt wird?

Verwenden eines Integrals! Teilen wir das krummlinige Trapez, begrenzt durch die Koordinatenachsen und den Funktionsgraphen, in unendlich kleine Segmente. Auf diese Weise wird die Figur in dünne Spalten unterteilt. Die Summe der Flächen der Säulen ergibt die Fläche des Trapezes. Denken Sie jedoch daran, dass eine solche Berechnung ein ungefähres Ergebnis liefert. Je kleiner und schmaler die Segmente sind, desto genauer ist die Berechnung. Wenn wir sie so weit reduzieren, dass die Länge gegen Null tendiert, dann tendiert die Summe der Flächen der Segmente zur Fläche der Figur. Dies ist ein bestimmtes Integral, das wie folgt geschrieben wird:

Die Punkte a und b heißen Integrationsgrenzen.

Bari Alibasov und die Gruppe „Integral“

Übrigens! Für unsere Leser gibt es jetzt 10 % Rabatt auf

Regeln zur Berechnung von Integralen für Dummies

Eigenschaften des unbestimmten Integrals

Wie löst man ein unbestimmtes Integral? Hier betrachten wir die Eigenschaften des unbestimmten Integrals, die beim Lösen von Beispielen nützlich sein werden.

Die Ableitung des Integrals ist gleich dem Integranden:

Die Konstante kann unter dem Integralzeichen entnommen werden:

Das Integral der Summe ist gleich der Summe der Integrale. Dies gilt auch für den Unterschied:

Eigenschaften eines bestimmten Integrals

Linearität:

Das Vorzeichen des Integrals ändert sich, wenn die Integrationsgrenzen vertauscht werden:

Bei beliebig Punkte A, B Und Mit:

Wir haben bereits herausgefunden, dass ein bestimmtes Integral der Grenzwert einer Summe ist. Aber wie erhält man beim Lösen eines Beispiels einen bestimmten Wert? Dafür gibt es die Newton-Leibniz-Formel:

Beispiele für die Lösung von Integralen

Im Folgenden betrachten wir einige Beispiele für die Suche nach unbestimmten Integralen. Wir empfehlen Ihnen, die Feinheiten der Lösung selbst herauszufinden und bei Unklarheiten in den Kommentaren Fragen zu stellen.

Um den Stoff zu vertiefen, sehen Sie sich ein Video darüber an, wie Integrale in der Praxis gelöst werden. Verzweifeln Sie nicht, wenn das Integral nicht sofort angegeben wird. Wenden Sie sich an einen professionellen Service für Studenten, und jedes Dreifach- oder Kurvenintegral über einer geschlossenen Fläche liegt in Ihrer Macht.

Definition von Stammfunktion.

Eine Stammfunktion einer Funktion f(x) im Intervall (a; b) ist eine Funktion F(x), so dass die Gleichheit für jedes x aus dem gegebenen Intervall gilt.

Wenn wir die Tatsache berücksichtigen, dass die Ableitung der Konstante C gleich Null ist, dann ist die Gleichheit wahr . Somit hat die Funktion f(x) eine Menge von Stammfunktionen F(x)+C für eine beliebige Konstante C, und diese Stammfunktionen unterscheiden sich voneinander um einen beliebigen konstanten Wert.

Definition eines unbestimmten Integrals.

Die gesamte Menge der Stammfunktionen der Funktion f(x) wird aufgerufen unbestimmtes Integral diese Funktion wird bezeichnet .

Der Ausdruck heißt Integrand, und f(x) – Integrandenfunktion. Der Integrand stellt das Differential der Funktion f(x) dar.

Die Aktion, eine unbekannte Funktion angesichts ihres Differentials zu finden, wird aufgerufen unsicher Integration, weil das Ergebnis der Integration nicht eine Funktion F(x), sondern eine Menge ihrer Stammfunktionen F(x)+C ist.

Basierend auf den Eigenschaften der Ableitung kann man formulieren und beweisen Eigenschaften des unbestimmten Integrals(Eigenschaften einer Stammfunktion).

Zur Verdeutlichung werden Zwischengleichungen der ersten und zweiten Eigenschaften des unbestimmten Integrals angegeben.

Um die dritte und vierte Eigenschaft zu beweisen, reicht es aus, die Ableitungen der rechten Seiten der Gleichungen zu finden:

Diese Ableitungen sind gleich den Integranden, was aufgrund der ersten Eigenschaft ein Beweis ist. Es wird auch in den letzten Übergängen verwendet.

Somit ist das Integrationsproblem das Gegenteil des Differenzierungsproblems, und zwischen diesen Problemen besteht ein sehr enger Zusammenhang:

Mit der ersten Eigenschaft kann die Integration überprüft werden. Um die Richtigkeit der durchgeführten Integration zu überprüfen, reicht es aus, die Ableitung des erhaltenen Ergebnisses zu berechnen. Wenn sich herausstellt, dass die durch Differenzierung erhaltene Funktion gleich dem Integranden ist, bedeutet dies, dass die Integration korrekt durchgeführt wurde;
Die zweite Eigenschaft des unbestimmten Integrals ermöglicht es, seine Stammfunktion aus einem bekannten Differential einer Funktion zu finden. Die direkte Berechnung unbestimmter Integrale basiert auf dieser Eigenschaft.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel.

Finden Sie die Stammfunktion der Funktion, deren Wert bei x = 1 gleich eins ist.

Lösung.

Das wissen wir aus der Differentialrechnung (Schauen Sie sich einfach die Tabelle der Ableitungen grundlegender Elementarfunktionen an). Auf diese Weise, . Durch die zweite Eigenschaft . Das heißt, wir haben viele Stammfunktionen. Für x = 1 erhalten wir den Wert. Gemäß der Bedingung muss dieser Wert gleich eins sein, daher ist C = 1. Die gewünschte Stammfunktion nimmt die Form an.

Beispiel.

Finden Sie das unbestimmte Integral und überprüfen Sie das Ergebnis durch Differenzierung.

Lösung.

Verwendung der Doppelwinkelsinusformel aus der Trigonometrie , Deshalb

Eine der Operationen der Differenzierung besteht darin, die Ableitung (Differential) zu finden und sie auf das Studium von Funktionen anzuwenden.

Das umgekehrte Problem ist nicht weniger wichtig. Wenn das Verhalten einer Funktion in der Nähe jedes Punkts ihrer Definition bekannt ist, wie kann man dann die Funktion als Ganzes rekonstruieren, d. h. im gesamten Umfang seiner Definition. Dieses Problem ist Gegenstand der Untersuchung der sogenannten Integralrechnung.

Integration ist die umgekehrte Wirkung der Differenzierung. Oder Wiederherstellen der Funktion f(x) aus einer gegebenen Ableitung f`(x). Das lateinische Wort „integro“ bedeutet Wiederherstellung.

Beispiel Nr. 1.

Sei (f(x))’ = 3x 2. Finden wir f(x).

Lösung:

Basierend auf der Differenzierungsregel ist es nicht schwer zu erraten, dass f(x) = x 3, weil

(x 3)’ = 3x 2 Sie können jedoch leicht erkennen, dass f(x) nicht eindeutig gefunden wird. Als f(x) können Sie f(x)= x 3 +1 f(x)= x 3 +2 f(x)= x 3 -3 usw. annehmen.

Weil die Ableitung von jedem von ihnen ist 3x 2. (Die Ableitung einer Konstante ist 0). Alle diese Funktionen unterscheiden sich durch einen konstanten Term voneinander. Deshalb gemeinsame Entscheidung Das Problem kann in der Form f(x)= x 3 +C geschrieben werden, wobei C eine beliebige konstante reelle Zahl ist.

Jede der gefundenen Funktionen f(x) wird aufgerufen Stammfunktion für die Funktion F`(x)= 3x 2

Definition.

Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion für eine Funktion f(x) auf einem gegebenen Intervall J, wenn für alle x aus diesem Intervall F`(x)= f(x) gilt. Die Funktion F(x)=x 3 ist also Stammfunktion für f(x)=3x 2 auf (- ∞ ; ∞). Da für alle x ~R die Gleichheit gilt: F`(x)=(x 3)`=3x 2

Wie wir bereits bemerkt haben, diese Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen.

Beispiel Nr. 2.

Die Funktion ist Stammfunktion für alle im Intervall (0; +∞), weil Für alle h aus diesem Intervall gilt Gleichheit.

Die Aufgabe der Integration besteht darin, alle ihre Stammfunktionen für eine gegebene Funktion zu finden. Bei der Lösung dieses Problems spielt folgende Aussage eine wichtige Rolle:

Ein Zeichen für die Konstanz der Funktion. Wenn F"(x) = 0 in einem Intervall I ist, dann ist die Funktion F in diesem Intervall konstant.

Nachweisen.

Lassen Sie uns ein x 0 aus dem Intervall I festlegen. Dann können wir für jede Zahl x aus einem solchen Intervall aufgrund der Lagrange-Formel eine Zahl c angeben, die zwischen x und x 0 liegt, so dass

F(x) - F(x 0) = F"(c)(x-x 0).

Bedingung: F‘ (c) = 0, da c ∈1, also

F(x) - F(x 0) = 0.

Also für alle x aus dem Intervall I

das heißt, die Funktion F behält einen konstanten Wert bei.

Alle Stammfunktionen f können mit einer Formel geschrieben werden, die aufgerufen wird allgemeine Form der Stammfunktionen für die Funktion F. Der folgende Satz ist wahr ( Haupteigenschaft von Stammfunktionen):

Satz. Jede Stammfunktion für eine Funktion f im Intervall I kann in der Form geschrieben werden

F(x) + C, (1) wobei F (x) eine der Stammfunktionen für die Funktion f (x) im Intervall I ist und C eine beliebige Konstante ist.

Erläutern wir diese Aussage, indem wir zwei Eigenschaften der Stammfunktion kurz formulieren:

Welche Zahl wir auch immer anstelle von C in Ausdruck (1) einsetzen, wir erhalten die Stammfunktion für f im Intervall I;
Unabhängig davon, welche Stammfunktion Ф für f im Intervall I verwendet wird, ist es möglich, eine Zahl C auszuwählen, so dass für alle x aus dem Intervall I die Gleichheit gilt

Nachweisen.

Gemäß der Bedingung ist die Funktion F eine Stammfunktion für f im Intervall I. Daher ist F"(x)= f (x) für jedes x∈1, also (F(x) + C)" = F"(x) + C"= f(x)+0=f(x), d. h. F(x) + C ist die Stammfunktion für die Funktion f.
Sei Ф (x) eine der Stammfunktionen für die Funktion f auf demselben Intervall I, d. h. Ф "(x) = f (х) für alle x∈I.

Dann ist (Ф(x) - F (x))" = Ф"(x)-F' (x) = f(x)-f(x)=0.

Von hier aus folgt c. die Potenz des Konstanzzeichens der Funktion, dass die Differenz Ф(х) - F(х) eine Funktion ist, die im Intervall I einen konstanten Wert C annimmt.

Somit gilt für alle x aus dem Intervall I die Gleichheit Ф(x) - F(x)=С, was bewiesen werden musste. Die Haupteigenschaft der Stammfunktion kann angegeben werden geometrische Bedeutung: Graphen zweier beliebiger Stammfunktionen für die Funktion f werden durch Parallelverschiebung entlang der Oy-Achse voneinander erhalten

Fragen für Notizen

Die Funktion F(x) ist eine Stammfunktion der Funktion f(x). Finden Sie F(1), wenn f(x)=9x2 - 6x + 1 und F(-1) = 2.

Finden Sie alle Stammfunktionen für die Funktion

Finden Sie für die Funktion (x) = cos2 * sin2x die Stammfunktion von F(x), wenn F(0) = 0.

Suchen Sie für eine Funktion eine Stammfunktion, deren Graph durch den Punkt verläuft

Zu jeder mathematischen Aktion gibt es eine umgekehrte Aktion. Für die Differenzierung (Finden von Ableitungen von Funktionen) gibt es auch umgekehrte Aktion- Integration. Durch Integration wird eine Funktion aus ihrer gegebenen Ableitung oder ihrem gegebenen Differential gefunden (rekonstruiert). Die gefundene Funktion wird aufgerufen Stammfunktion.

Definition. Differenzierbare Funktion F(x) heißt Stammfunktion der Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall, wenn überhaupt X Aus diesem Intervall gilt folgende Gleichheit: F′(x)=f (x).

Beispiele. Finden Sie Stammfunktionen für die Funktionen: 1) f (x)=2x; 2) f (x)=3cos3x.

1) Da (x²)′=2x, dann ist die Funktion F (x)=x² per Definition eine Stammfunktion der Funktion f (x)=2x.

2) (sin3x)′=3cos3x. Wenn wir f (x)=3cos3x und F (x)=sin3x bezeichnen, dann gilt per Definition einer Stammfunktion: F′(x)=f (x) und daher ist F (x)=sin3x eine Stammfunktion für f ( x)=3cos3x.

Beachten Sie, dass (sin3x +5 )′= 3cos3x, und (sin3x -8,2 )′= 3cos3x, ... in allgemeiner Form können wir schreiben: (sin3x +C)′= 3cos3x, Wo MIT- ein konstanter Wert. Diese Beispiele verdeutlichen die Mehrdeutigkeit der Integrationswirkung im Gegensatz zur Differenzierungswirkung, wenn jede differenzierbare Funktion eine einzige Ableitung hat.

Definition. Wenn die Funktion F(x) ist eine Stammfunktion der Funktion f(x) in einem bestimmten Intervall hat die Menge aller Stammfunktionen dieser Funktion die Form:

F(x)+C, wobei C eine beliebige reelle Zahl ist.

Die Menge aller Stammfunktionen F (x) + C der Funktion f (x) im betrachteten Intervall wird als unbestimmtes Integral bezeichnet und mit dem Symbol bezeichnet ∫ (Integralzeichen). Aufschreiben: ∫f (x) dx=F (x)+C.

Ausdruck ∫f(x)dx lauten: „Integral ef von x bis de x.“

f(x)dx- Integrandenausdruck,

f(x)— Integrandenfunktion,

X ist die Integrationsvariable.

F(x)- Stammfunktion einer Funktion f(x),

MIT- ein konstanter Wert.

Nun können die betrachteten Beispiele wie folgt geschrieben werden:

1) ∫ 2xdx=x²+C. 2) ∫ 3cos3xdx=sin3x+C.

Was bedeutet das Zeichen d?

D- Differentialzeichen – hat einen doppelten Zweck: Erstens trennt dieses Vorzeichen den Integranden von der Integrationsvariablen; Zweitens wird alles, was nach diesem Vorzeichen kommt, standardmäßig differenziert und mit dem Integranden multipliziert.

Beispiele. Finden Sie die Integrale: 3) ∫ 2pxdx; 4) ∫ 2pxdp.

3) Nach dem Differentialsymbol D Kosten XX, A R

∫ 2хрdx=рх²+С. Vergleichen Sie mit Beispiel 1).

Machen wir einen Check. F′(x)=(px²+C)′=p·(x²)′+C′=p·2x=2px=f (x).

4) Nach dem Differentialsymbol D Kosten R. Dies bedeutet, dass die Integrationsvariable R und der Multiplikator X sollte als ein konstanter Wert betrachtet werden.

∫ 2хрдр=р²х+С. Vergleichen Sie mit Beispielen 1) Und 3).

Machen wir einen Check. F′(p)=(p²x+C)′=x·(p²)′+C′=x·2p=2px=f (p).