Die einfachsten Eigenschaften von Integralen. Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals Wir untersuchen das Konzept des "Integrals"

Das Lösen von Integralen ist eine leichte Aufgabe, aber nur für einige wenige. Dieser Artikel ist für diejenigen, die lernen wollen, Integrale zu verstehen, aber nichts oder fast nichts darüber wissen. Integral ... Warum wird es benötigt? Wie berechnet man es? Was sind bestimmte und unbestimmte Integrale?

Wenn die einzige Verwendung eines Integrals, die Sie kennen, darin besteht, an schwer zugänglichen Stellen mit einer Häkelarbeit in Form eines Integralsymbols etwas Nützliches zu häkeln, dann sind Sie herzlich willkommen! Erfahren Sie, wie Sie elementare und andere Integrale lösen und warum Sie in der Mathematik nicht darauf verzichten können.

Das Konzept erkunden « Integral- »

Integration ist seit dem alten Ägypten bekannt. Natürlich nicht in seiner modernen Form, aber trotzdem. Seitdem haben Mathematiker viele Bücher zu diesem Thema geschrieben. Haben sich besonders ausgezeichnet Newton und Leibniz aber das Wesen der Dinge hat sich nicht geändert.

Wie versteht man Integrale von Grund auf? Auf keinen Fall! Um dieses Thema zu verstehen, benötigen Sie noch Grundkenntnisse der Grundlagen der Infinitesimalrechnung. Wir haben bereits Informationen über die zum Verständnis von Integralen notwendigen Informationen in unserem Blog.

Unbestimmtes Integral

Angenommen, wir haben eine Art Funktion f(x) .

Unbestimmtes Integral einer Funktion f(x) eine solche Funktion heißt F(x) deren Ableitung gleich der Funktion . ist f(x) .

Mit anderen Worten, das Integral ist die umgekehrte Ableitung oder Stammfunktion. Wie das geht, lesen Sie übrigens in unserem Artikel.

Die Stammfunktion existiert für alle stetigen Funktionen. Außerdem wird der Stammfunktion oft das Vorzeichen einer Konstanten hinzugefügt, da die Ableitungen von Funktionen, die sich um eine Konstante unterscheiden, zusammenfallen. Das Finden des Integrals wird Integration genannt.

Einfaches Beispiel:

Um die Stammfunktionen elementarer Funktionen nicht ständig zu berechnen, ist es praktisch, sie in eine Tabelle zu bringen und vorgefertigte Werte zu verwenden.

Vollständige Integraltabelle für Schüler

Bestimmtes Integral

Wenn wir uns mit dem Begriff eines Integrals beschäftigen, haben wir es mit infinitesimalen Größen zu tun. Das Integral hilft, die Fläche einer Figur, die Masse eines inhomogenen Körpers, den bei ungleichmäßiger Bewegung zurückgelegten Weg und vieles mehr zu berechnen. Es sollte daran erinnert werden, dass das Integral die Summe einer unendlich großen Anzahl von unendlich kleinen Termen ist.

Stellen wir uns als Beispiel einen Graphen einer Funktion vor.

Wie finde ich die Fläche einer Form, die durch den Graphen einer Funktion begrenzt ist? Mit dem Integral! Wir unterteilen das krummlinige Trapez, das durch die Koordinatenachsen und den Funktionsgraphen begrenzt wird, in unendlich kleine Segmente. Somit wird die Figur in dünne Spalten unterteilt. Die Summe der Flächen der Säulen ist die Fläche des Trapezes. Denken Sie jedoch daran, dass eine solche Berechnung ein ungefähres Ergebnis liefert. Je kleiner und schmaler die Segmente sind, desto genauer wird jedoch die Berechnung. Wenn wir sie so weit reduzieren, dass die Länge gegen Null geht, tendiert die Summe der Flächen der Segmente zur Fläche der Figur. Dies ist ein bestimmtes Integral, das wie folgt geschrieben wird:

Die Punkte a und b werden Integrationsgrenzen genannt.

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Unbestimmte ganzzahlige Eigenschaften

Wie löst man ein unbestimmtes Integral? Hier werden wir uns die Eigenschaften des unbestimmten Integrals ansehen, die beim Lösen von Beispielen nützlich sein werden.

• Die Ableitung des Integrals ist gleich dem Integranden:

• Die Konstante kann unter dem Integralzeichen entnommen werden:

• Das Integral der Summe ist gleich der Summe der Integrale. Es gilt auch für den Unterschied:

Eigenschaften des bestimmten Integrals

• Linearität:

• Das Integralzeichen ändert sich, wenn die Integrationsgrenzen umgekehrt werden:

• Bei irgendein Punkte ein, B und mit:

Wir haben bereits herausgefunden, dass das bestimmte Integral der Grenzwert der Summe ist. Aber wie erhält man einen bestimmten Wert beim Lösen eines Beispiels? Dafür gibt es die Newton-Leibniz-Formel:

Integrale Lösungsbeispiele

Im Folgenden betrachten wir ein unbestimmtes Integral und Beispiele mit einer Lösung. Wir bieten Ihnen an, die Feinheiten der Lösung selbstständig herauszufinden und wenn etwas nicht klar ist, stellen Sie Fragen in den Kommentaren.

Um das Material zu festigen, sehen Sie sich das Video an, wie Integrale in der Praxis gelöst werden. Lassen Sie sich nicht entmutigen, wenn das Integral nicht sofort angegeben wird. Wenden Sie sich an den professionellen Studentenservice und Sie können jedes dreifache oder krummlinige Integral über eine geschlossene Fläche bearbeiten.

Dieser Artikel beschreibt die grundlegenden Eigenschaften eines bestimmten Integrals. Sie werden mit dem Konzept des Riemann- und Darboux-Integrals bewiesen. Die Berechnung des bestimmten Integrals erfolgt aufgrund von 5 Eigenschaften. Der Rest wird verwendet, um verschiedene Ausdrücke auszuwerten.

Bevor zu den grundlegenden Eigenschaften eines bestimmten Integrals übergegangen wird, muss sichergestellt werden, dass a nicht größer als b ist.

Grundeigenschaften eines bestimmten Integrals

Definition 1

Die Funktion y = f (x), definiert bei x = a, ähnelt der gültigen Gleichheit ∫ a a f (x) d x = 0.

Beweis 1

Daher sehen wir, dass der Wert des Integrals mit übereinstimmenden Grenzwerten gleich Null ist. Dies ist eine Folge des Riemann-Integrals, da jede Integralsumme σ für jede Partition auf dem Intervall [a; a] und jede Auswahl von Punkten ζ i ist gleich Null, weil x i - x i - 1 = 0, i = 1, 2,. ... ... , n, so erhalten wir, dass der Grenzwert der Integralfunktionen null ist.

Definition 2

Für eine Funktion, die auf dem Segment [a; b] ist die Bedingung ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x erfüllt.

Beweis 2

Mit anderen Worten, wenn die obere und untere Integrationsgrenze stellenweise geändert werden, ändert der Wert des Integrals seinen Wert ins Gegenteil. Diese Eigenschaft wird dem Riemann-Integral entnommen. Die Nummerierung der Teilung des Segments kommt jedoch vom Punkt x = b.

Definition 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x wird für integrierbare Funktionen vom Typ y = f (x) und y = g (x) verwendet, die auf dem Intervall [a; B].

Beweis 3

Schreiben Sie die Integralsumme der Funktion y = f (x) ± g (x) zur Unterteilung in Segmente mit der gegebenen Punktwahl ζ i auf: σ = ∑ i = 1 nf ζ i ± g ζ i xi - xi - 1 = = ∑ i = 1 nf (ζ i) xi - xi - 1 ± ∑ i = 1 ng ζ i xi - xi - 1 = σ f ± σ g

wobei σ f und σ g die ganzzahligen Summen der Funktionen y = f (x) und y = g (x) für die Teilung des Segments sind. Nach Erreichen des Grenzwertes bei λ = m a x i = 1, 2,. ... ... , n (xi - x i - 1) → 0 erhalten wir lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g.

Nach Riemanns Definition ist dieser Ausdruck äquivalent.

Definition 4

Ausführen eines konstanten Faktors jenseits des Vorzeichens eines bestimmten Integrals. Eine integrierbare Funktion aus dem Intervall [a; b] mit einem beliebigen Wert von k hat eine gültige Ungleichung der Form ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x.

Beweis 4

Der Beweis der Eigenschaft des bestimmten Integrals ist dem vorherigen ähnlich:

σ = ∑ i = 1 nk f ζ i (xi - xi - 1) = = k ∑ i = 1 nf ζ i (xi - xi - 1) = k σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 ( k σ f) = k lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ abk f (x) dx = k ∫ abf (x) dx

Definition 5

Ist eine Funktion der Form y = f (x) auf einem Intervall x mit a ∈ x, b ∈ x integrierbar, so erhalten wir ∫ abf (x) dx = ∫ acf (x) dx + ∫ cbf (x) d x.

Beweis 5

Die Eigenschaft gilt für c ∈ a als wahr; b, für c ≤ a und c ≥ b. Der Beweis ist ähnlich wie bei den vorherigen Eigenschaften.

Definition 6

Wenn die Funktion die Fähigkeit besitzt, aus dem Segment [a; b], dann ist es für jedes innere Segment c machbar; d ∈ a; B.

Beweis 6

Der Beweis basiert auf der Darboux-Eigenschaft: Wenn wir der bestehenden Partition eines Segments Punkte hinzufügen, wird die untere Darboux-Summe nicht kleiner und die obere nicht größer.

Definition 7

Wenn die Funktion auf [a; b] aus f (x) 0 f (x) ≤ 0 für jeden Wert von x ∈ a; b, dann gilt a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0.

Die Eigenschaft kann mit der Definition des Riemann-Integrals bewiesen werden: Jede ganzzahlige Summe für beliebige Teilungspunkte des Segments und Punkte ζ i mit der Bedingung f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0, erhalten wir nicht- Negativ.

Beweis 7

Sind die Funktionen y = f (x) und y = g (x) auf der Strecke [a; b], dann gelten die folgenden Ungleichungen als wahr:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x, wenn und f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x, wenn und f (x) g (x) ∀ x ∈ a; B

Dank der Erklärung wissen wir, dass Integration zulässig ist. Dieses Korollar wird verwendet, um andere Eigenschaften zu beweisen.

Definition 8

Mit einer integrierbaren Funktion y = f (x) aus dem Segment [a; b] haben wir eine gültige Ungleichung der Form ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Beweis 8

Es gilt - f (x) f (x) f (x). Aus der vorherigen Eigenschaft haben wir erhalten, dass die Ungleichung Term für Term integriert werden kann und einer Ungleichung der Form entspricht - a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x. Diese doppelte Ungleichung kann in anderer Form geschrieben werden: a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x.

Definition 9

Wenn die Funktionen y = f (x) und y = g (x) aus dem Segment [a; b] für g (x) ≥ 0 für beliebige x ∈ a; b erhalten wir eine Ungleichung der Form m ∫ a b g (x) d x ≤ a b f (x) g (x) d x ≤ M ∫ a b g (x) d x, wobei m = m i n x ∈ a; b f (x) und M = m a x x ∈ a; b f (x).

Beweis 9

Der Beweis wird in ähnlicher Weise durchgeführt. M und m gelten als größter und kleinster Wert der Funktion y = f (x), bestimmt aus dem Segment [a; b], dann ist m ≤ f (x) ≤ M. Es ist notwendig, die doppelte Ungleichung mit der Funktion y = g (x) zu multiplizieren, was den Wert der doppelten Ungleichung der Form mg (x) f (x) g (x) M g (x) ergibt. Es ist notwendig, es auf dem Segment [a; b], dann erhalten wir die zu beweisende Aussage.

Logische Folge: Für g (x) = 1 nimmt die Ungleichung die Form m b - a ∫ a b f (x) d x M (b - a) an.

Erste Mittelwertformel

Definition 10

Für y = f (x), integrierbar auf der Strecke [a; b] mit m = m i n x ∈ a; b f (x) und M = m a x x ∈ a; b f (x) es gibt eine Zahl μ m; M, das zu ∫ a b f (x) d x = μ b - a passt.

Logische Folge: Wenn die Funktion y = f (x) vom Segment [a; b], dann gibt es eine Zahl c ∈ a; b, die die Gleichheit ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a erfüllt.

Erste Mittelwertformel in verallgemeinerter Form

Definition 11

Wenn die Funktionen y = f (x) und y = g (x) aus dem Segment [a; b] mit m = m i n x ∈ a; b f (x) und M = m a x x ∈ a; b f (x) und g (x) > 0 für jeden Wert von x ∈ a; B. Also gibt es eine Zahl μ m; M, das die Gleichheit ∫ a b f (x) g (x) d x = μ ∫ a b g (x) d x erfüllt.

Zweite Mittelwertformel

Definition 12

Wenn die Funktion y = f (x) aus dem Segment [a; b] und y = g (x) monoton ist, dann gibt es eine Zahl mit c ∈ a; b, wobei wir eine gültige Gleichheit der Form ∫ a b f (x) g (x) d x = g (a) ∫ a c f (x) d x + g (b) ∫ c b f (x) d x . erhalten

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Diese Eigenschaften werden verwendet, um Transformationen des Integrals mit dem Ziel durchzuführen, es auf eines der elementaren Integrale zu reduzieren und weiterzurechnen.

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

2. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

3. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstanten:

4. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen entnommen werden:

Außerdem ist a ≠ 0

5. Das Integral der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale:

6. Die Eigenschaft ist eine Kombination der Eigenschaften 4 und 5:

Außerdem gilt a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Invarianzeigenschaft des unbestimmten Integrals:

Wenn, dann

8. Eigentum:

Wenn, dann

Tatsächlich handelt es sich bei dieser Eigenschaft um einen Sonderfall der Integration unter Verwendung der Variablenänderungsmethode, die im nächsten Abschnitt näher erläutert wird.

Betrachten wir ein Beispiel:

Zuerst haben wir Eigenschaft 5 angewendet, dann Eigenschaft 4, dann haben wir die Stammfunktionstabelle verwendet und das Ergebnis erhalten.

Der Algorithmus unseres Online-Integralrechners unterstützt alle oben aufgeführten Eigenschaften und kann leicht eine detaillierte Lösung für Ihr Integral finden.

In diesem Artikel werden wir die wichtigsten Eigenschaften des bestimmten Integrals auflisten. Die meisten dieser Eigenschaften werden mit den Konzepten des bestimmten Integrals von Riemann und Darboux bewiesen.

Die Definition eines bestimmten Integrals erfolgt sehr oft anhand der ersten fünf Eigenschaften, daher werden wir bei Bedarf darauf zurückgreifen. Die restlichen Eigenschaften eines bestimmten Integrals werden hauptsächlich verwendet, um verschiedene Ausdrücke auszuwerten.

Bevor es weitergeht die Grundeigenschaften des bestimmten Integrals, stimmen wir zu, dass a b nicht überschreitet.

Für die Funktion y = f (x), definiert bei x = a, gilt Gleichheit.

Das heißt, der Wert eines bestimmten Integrals mit übereinstimmenden Integrationsgrenzen ist null. Diese Eigenschaft ist eine Folge der Definition des Riemann-Integrals, da in diesem Fall jede Integralsumme für jede Partition des Intervalls und jede beliebige Punktwahl gleich Null ist, da also der Grenzwert der Integralsummen Null ist.

Für eine auf einem Segment integrierbare Funktion .

Mit anderen Worten, wenn man die obere und untere Integrationsgrenze stellenweise ändert, ändert sich der Wert des bestimmten Integrals ins Gegenteil. Diese Eigenschaft eines bestimmten Integrals folgt auch aus dem Begriff des Riemann-Integrals, nur die Nummerierung der Teilung eines Segments sollte vom Punkt x = b ausgehen.

für Funktionen y = f (x) und y = g (x) integrierbar auf einem Intervall.

Nachweisen.

Wir schreiben die Integralsumme der Funktion für eine gegebene Teilung eines Segments und eine gegebene Auswahl von Punkten:

wobei und die ganzzahligen Summen der Funktionen y = f (x) bzw. y = g (x) für die gegebene Partition des Segments sind.

Überschreitung der Grenze bei wir erhalten, dass es nach der Definition des Riemann-Integrals äquivalent zur Behauptung der zu beweisenden Eigenschaft ist.

Der konstante Faktor kann außerhalb des Vorzeichens eines bestimmten Integrals genommen werden. Das heißt, für eine Funktion y = f (x) integrierbar auf einem Intervall und einer beliebigen Zahl k gilt die Gleichheit .

Der Beweis dieser Eigenschaft eines bestimmten Integrals ist dem vorherigen absolut ähnlich:


Die Funktion y = f (x) sei auf dem Intervall X integrierbar, und und dann .

Diese Eigenschaft gilt für beide und für oder.

Der Beweis kann mit den vorherigen Eigenschaften des bestimmten Integrals durchgeführt werden.

Wenn eine Funktion auf einem Segment integrierbar ist, dann ist sie auch auf jedem inneren Segment integrierbar.

Der Beweis basiert auf der Eigenschaft der Darboux-Summen: Wenn Sie der bestehenden Partition des Segments neue Punkte hinzufügen, wird die untere Darboux-Summe nicht kleiner und die obere nicht erhöht.

Wenn die Funktion y = f (x) auf einem Intervall und für einen beliebigen Wert des Arguments integrierbar ist, dann .

Diese Eigenschaft wird durch die Definition des Riemann-Integrals bewiesen: Jede ganzzahlige Summe für eine beliebige Wahl von Teilungspunkten eines Segments und Punktes bei will nicht negativ (nicht positiv) sein.

Folge.

Für auf einem Intervall integrierbare Funktionen y = f (x) und y = g (x) gelten folgende Ungleichungen:


Diese Aussage bedeutet, dass die Integration von Ungleichungen zulässig ist. Wir verwenden dieses Korollar, um die folgenden Eigenschaften zu beweisen.

Sei die Funktion y = f (x) auf einem Intervall integrierbar, dann ist die Ungleichung .

Nachweisen.

Es ist klar, dass ... In der vorherigen Eigenschaft haben wir herausgefunden, dass die Ungleichung Term für Term integriert werden kann, daher ist es wahr ... Diese doppelte Ungleichung kann geschrieben werden als .

Seien die Funktionen y = f (x) und y = g (x) auf einem Intervall und für jeden beliebigen Wert des Arguments integrierbar, dann , wo und .

Der Beweis ist ähnlich. Da m und M die kleinsten und größten Werte der Funktion y = f (x) auf dem Segment sind, dann ... Die Multiplikation der doppelten Ungleichung mit der nichtnegativen Funktion y = g (x) führt uns zu der folgenden doppelten Ungleichung. Integrieren wir es auf ein Segment, so erhalten wir die bewiesene Behauptung.

Folge.

Nehmen wir g (x) = 1, dann hat die Ungleichung die Form .

Erste Mittelwertformel.

Sei die Funktion y = f (x) auf einem Intervall integrierbar, und dann gibt es eine Zahl, so dass .

Folge.

Ist die Funktion y = f (x) auf einem Intervall stetig, dann gibt es eine Zahl mit .

Die erste Formel für den Mittelwert in verallgemeinerter Form.

Seien die Funktionen y = f (x) und y = g (x) auf einem Intervall integrierbar, und, und g (x) > 0 für jeden Wert des Arguments. Dann gibt es eine Zahl, so dass .

Zweite Formel für den Durchschnitt.

Ist die Funktion y = f (x) auf einem Intervall integrierbar und y = g (x) monoton, dann gibt es eine Zahl mit der Gleichheit .