Integrale und ihre Eigenschaften. Grundeigenschaften des unbestimmten Integrals

Die Hauptaufgabe der Differentialrechnung findet die Ableitung F '(x) oder Differenzial df =F '(x)dx Funktionen F (x). In der Integralrechnung wird das inverse Problem gelöst. Für eine gegebene Funktion F (x) ist es erforderlich, eine solche Funktion zu finden F (x), was F '(x) =F (x) oder dF (x) =F '(x)dx =F (x)dx.

Auf diese Weise, die Hauptaufgabe der Integralrechnung ist die Wiederherstellung der Funktion F (x) durch die bekannte Ableitung (Differential) dieser Funktion. Integralrechnung hat zahlreiche Anwendungen in Geometrie, Mechanik, Physik und Ingenieurwesen. Es bietet eine allgemeine Methode zum Auffinden von Flächen, Volumen, Schwerpunkten usw.

Definition. FunktionF (x), heißt Stammfunktion für die FunktionF (x) auf der Menge X, wenn sie für alle differenzierbar ist undF '(x) =F (x) oderdF (x) =F (x)dx.

Satz. Jede kontinuierliche auf dem Segment [ein;b] FunktionF (x) hat die Stammfunktion auf diesem SegmentF(x).

Satz. WennF1 (x) undF2 (x) - zwei verschiedene Stammfunktionen der gleichen FunktionF (x) auf der Menge x, dann unterscheiden sie sich durch einen konstanten Term, d.h.F2 (x) =F 1x) +C, wobei C eine Konstante ist.

Unbestimmtes Integral, seine Eigenschaften.

Definition. Das AggregatF (x) +C aller Stammfunktionen einer FunktionF (x) auf der Menge X heißt unbestimmtes Integral und wird bezeichnet durch:

- (1)

In Formel (1) F (x)dx namens der Integrand,F (x) ist der Integrand, x ist die Integrationsvariable, ein С - Integrationskonstante.

Betrachten Sie die Eigenschaften des unbestimmten Integrals, das sich aus seiner Definition ergibt.

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden, das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

und .

2. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstanten:

3. Der konstante Faktor a (a ≠ 0) kann außerhalb des unbestimmten Integralzeichens genommen werden:

4. Das unbestimmte Integral der algebraischen Summe einer endlichen Anzahl von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Integrale dieser Funktionen:

5. WennF (x) ist die Stammfunktion der FunktionF (x), dann:

6 (Invarianz der Integrationsformeln). Jede Integrationsformel behält ihre Form, wenn die Integrationsvariable durch eine differenzierbare Funktion dieser Variablen ersetzt wird:

wou ist eine differenzierbare Funktion.

Tabelle der unbestimmten Integrale.

Lass uns geben Grundregeln für die Integration von Funktionen.

Lass uns geben Tabelle der grundlegenden unbestimmten Integrale.(Beachten Sie, dass hier wie in der Differentialrechnung der Buchstabe du kann als unabhängige Variable bezeichnet werden (du =x) und eine Funktion der unabhängigen Variablen (du =du (x)).)

(n ≠ -1). (a> 0, a 1). (a 0). (a 0). (| u |> | a |).(| u |< |a|).

Integrale 1 - 17 heißen tabellarisch.

Einige der obigen Formeln der Integraltabelle, die kein Analogon in der Ableitungstabelle haben, werden durch Differenzieren ihrer rechten Seiten überprüft.

Variable Änderung und Integration von Teilen in das unbestimmte Integral.

Integration durch Substitution (Variablenersetzung). Es sei erforderlich, das Integral zu berechnen

was nicht tabellarisch ist. Das Wesen der Substitutionsmethode ist, dass im Integral die Variable NS durch Variable ersetzen T nach der Formel x = (T), wo dx = φ ’(T)dt.

Satz. Lassen Sie die Funktionx = (t) ist auf einer Menge T definiert und differenzierbar und sei X die Menge von Werten dieser Funktion, auf der die FunktionF (x). Wenn dann auf der Menge X die FunktionF (

Diese Eigenschaften werden verwendet, um Transformationen des Integrals mit dem Ziel durchzuführen, es auf eines der elementaren Integrale zu reduzieren und weiterzurechnen.

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

2. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

3. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstanten:

4. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen entnommen werden:

Außerdem ist a ≠ 0

5. Das Integral der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale:

6. Die Eigenschaft ist eine Kombination der Eigenschaften 4 und 5:

Außerdem gilt a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Invarianzeigenschaft des unbestimmten Integrals:

Wenn, dann

8. Eigentum:

Wenn, dann

Tatsächlich handelt es sich bei dieser Eigenschaft um einen Sonderfall der Integration unter Verwendung der Variablenänderungsmethode, die im nächsten Abschnitt näher erläutert wird.

Betrachten wir ein Beispiel:

Zuerst haben wir Eigenschaft 5 angewendet, dann Eigenschaft 4, dann haben wir die Stammfunktionstabelle verwendet und das Ergebnis erhalten.

Der Algorithmus unseres Online-Integralrechners unterstützt alle oben aufgeführten Eigenschaften und kann leicht eine detaillierte Lösung für Ihr Integral finden.

Diese Eigenschaften werden verwendet, um Transformationen des Integrals mit dem Ziel durchzuführen, es auf eines der elementaren Integrale zu reduzieren und weiterzurechnen.

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

2. Das Differential des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

3. Das unbestimmte Integral des Differentials einer Funktion ist gleich der Summe dieser Funktion und einer beliebigen Konstanten:

4. Der konstante Faktor kann aus dem Integralzeichen entnommen werden:

Außerdem ist a ≠ 0

5. Das Integral der Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale:

6. Die Eigenschaft ist eine Kombination der Eigenschaften 4 und 5:

Außerdem gilt a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Invarianzeigenschaft des unbestimmten Integrals:

Wenn, dann

8. Eigentum:

Wenn, dann

Tatsächlich handelt es sich bei dieser Eigenschaft um einen Sonderfall der Integration unter Verwendung der Variablenänderungsmethode, die im nächsten Abschnitt näher erläutert wird.

Betrachten wir ein Beispiel:

Zuerst haben wir Eigenschaft 5 angewendet, dann Eigenschaft 4, dann haben wir die Stammfunktionstabelle verwendet und das Ergebnis erhalten.

Der Algorithmus unseres Online-Integralrechners unterstützt alle oben aufgeführten Eigenschaften und kann leicht eine detaillierte Lösung für Ihr Integral finden.

Das Lösen von Integralen ist eine leichte Aufgabe, aber nur für einige wenige. Dieser Artikel ist für diejenigen, die lernen wollen, Integrale zu verstehen, aber nichts oder fast nichts darüber wissen. Integral ... Warum wird es benötigt? Wie berechnet man es? Was sind bestimmte und unbestimmte Integrale?

Wenn die einzige Verwendung eines Integrals, die Sie kennen, darin besteht, etwas Nützliches an schwer zugänglichen Stellen mit einer Häkelarbeit in Form eines Integralsymbols zu häkeln, dann sind Sie herzlich willkommen! Erfahren Sie, wie Sie elementare und andere Integrale lösen und warum Sie in der Mathematik nicht darauf verzichten können.

Das Konzept erkunden « Integral- »

Integration ist seit dem alten Ägypten bekannt. Natürlich nicht in seiner modernen Form, aber trotzdem. Seitdem haben Mathematiker viele Bücher zu diesem Thema geschrieben. Haben sich besonders ausgezeichnet Newton und Leibniz aber das Wesen der Dinge hat sich nicht geändert.

Wie versteht man Integrale von Grund auf? Auf keinen Fall! Um dieses Thema zu verstehen, benötigen Sie noch Grundkenntnisse der Grundlagen der Infinitesimalrechnung. Informationen zu, zum Verständnis von Integralen, notwendigen Informationen haben wir bereits in unserem Blog.

Unbestimmtes Integral

Angenommen, wir haben eine Art Funktion f(x) .

Unbestimmtes Integral einer Funktion f(x) eine solche Funktion heißt F(x) deren Ableitung gleich der Funktion . ist f(x) .

Mit anderen Worten, das Integral ist die umgekehrte Ableitung oder Stammfunktion. Wie das geht, lesen Sie übrigens in unserem Artikel.

Die Stammfunktion existiert für alle stetigen Funktionen. Außerdem wird der Stammfunktion oft das Vorzeichen einer Konstanten hinzugefügt, da die Ableitungen von Funktionen, die sich um eine Konstante unterscheiden, zusammenfallen. Das Finden des Integrals wird Integration genannt.

Einfaches Beispiel:

Um die Stammfunktionen elementarer Funktionen nicht ständig zu berechnen, ist es praktisch, sie in eine Tabelle zu bringen und vorgefertigte Werte zu verwenden.

Vollständige Integraltabelle für Schüler

Bestimmtes Integral

Wenn wir uns mit dem Begriff eines Integrals beschäftigen, haben wir es mit infinitesimalen Größen zu tun. Das Integral hilft dabei, die Fläche einer Figur, die Masse eines inhomogenen Körpers, den bei ungleichmäßiger Bewegung zurückgelegten Weg und vieles mehr zu berechnen. Es sei daran erinnert, dass das Integral die Summe einer unendlich großen Anzahl von unendlich kleinen Termen ist.

Stellen wir uns als Beispiel einen Graphen einer Funktion vor.

Wie finde ich die Fläche einer Form, die durch den Graphen einer Funktion begrenzt ist? Mit dem Integral! Wir unterteilen das krummlinige Trapez, das durch die Koordinatenachsen und den Funktionsgraphen begrenzt wird, in unendlich kleine Segmente. Somit wird die Figur in dünne Spalten unterteilt. Die Summe der Flächen der Säulen ist die Fläche des Trapezes. Denken Sie jedoch daran, dass eine solche Berechnung ein ungefähres Ergebnis liefert. Je kleiner und schmaler die Segmente sind, desto genauer wird jedoch die Berechnung. Wenn wir sie so weit reduzieren, dass die Länge gegen Null geht, tendiert die Summe der Flächen der Segmente zur Fläche der Figur. Dies ist ein bestimmtes Integral, das wie folgt geschrieben wird:

Die Punkte a und b werden Integrationsgrenzen genannt.

« Integral »

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Integrale Rechenregeln für Dummies

Unbestimmte ganzzahlige Eigenschaften

Wie löst man ein unbestimmtes Integral? Hier werden wir uns die Eigenschaften des unbestimmten Integrals ansehen, die beim Lösen von Beispielen nützlich sein werden.

• Die Ableitung des Integrals ist gleich dem Integranden:

• Die Konstante kann unter dem Integralzeichen entnommen werden:

• Das Integral der Summe ist gleich der Summe der Integrale. Es gilt auch für den Unterschied:

Eigenschaften des bestimmten Integrals

• Linearität:

• Das Integralzeichen ändert sich, wenn die Integrationsgrenzen umgekehrt werden:

• Bei irgendein Punkte ein, B und mit:

Wir haben bereits herausgefunden, dass das bestimmte Integral der Grenzwert der Summe ist. Aber wie erhält man einen bestimmten Wert beim Lösen eines Beispiels? Dafür gibt es die Newton-Leibniz-Formel:

Integrale Lösungsbeispiele

Im Folgenden betrachten wir ein unbestimmtes Integral und Beispiele mit einer Lösung. Wir bieten Ihnen an, die Feinheiten der Lösung selbstständig herauszufinden, und wenn etwas nicht klar ist, stellen Sie Fragen in den Kommentaren.

Um das Material zu festigen, sehen Sie sich das Video an, wie Integrale in der Praxis gelöst werden. Lassen Sie sich nicht entmutigen, wenn das Integral nicht sofort angegeben wird. Wenden Sie sich an den professionellen Studentenservice und Sie können jedes dreifache oder krummlinige Integral über eine geschlossene Fläche bearbeiten.

Lassen Sie die Funktion ja = F(x) ist auf dem Segment definiert [ ein, B ], ein < B... Lassen Sie uns die folgenden Operationen ausführen:

1) wir teilen [ ein, B] Punkte ein = x 0 < x 1 < ... < x ich- 1 < x ich < ... < x n = B An n Teilliniensegmente [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x ich- 1 , x ich ], ..., [x n- 1 , x n ];

2) in jedem der Teilsegmente [ x ich- 1 , x ich ], ich = 1, 2, ... n, wählen Sie einen beliebigen Punkt und berechnen Sie den Wert der Funktion an dieser Stelle: F(z ich ) ;

3) Werke finden F(z ich ) · Δ x ich , wo ist die Länge des Teilsegments [ x ich- 1 , x ich ], ich = 1, 2, ... n;

4) komponieren Integralsumme Funktionen ja = F(x) auf dem Segment [ ein, B ]:

Aus geometrischer Sicht ist diese Summe σ die Summe der Flächen von Rechtecken, deren Grundflächen Teilsegmente sind [ x 0 , x 1 ], [x 1 , x 2 ], ..., [x ich- 1 , x ich ], ..., [x n- 1 , x n ], und die Höhen sind F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(z n) bzw. (Abb. 1). Bezeichnen wir mit λ Länge des größten Teilsegments:

5) finde den Grenzwert der Integralsumme, wenn λ → 0.

Definition. Wenn es eine endliche Grenze der Integralsumme (1) gibt und diese nicht von der Methode der Partitionierung des Segments abhängt [ ein, B] zu Teilsegmenten, noch aus der Punktauswahl z ich in ihnen heißt diese Grenze bestimmtes Integral von Funktion ja = F(x) auf dem Segment [ ein, B] und wird bezeichnet

Auf diese Weise,

In diesem Fall ist die Funktion F(x) wird genannt integrierbar An [ ein, B]. Zahlen ein und B werden als untere bzw. obere Integrationsgrenze bezeichnet, F(x) Ist der Integrand, F(x ) dx- der Integrand, x- Integrationsvariable; Sektion [ ein, B] heißt Integrationsintervall.

Satz 1. Wenn die Funktion ja = F(x) ist auf dem Segment [ ein, B], dann ist es auf diesem Segment integrierbar.

Ein bestimmtes Integral mit den gleichen Integrationsgrenzen ist gleich Null:

Wenn ein > B, dann setzen wir per Definition

2. Die geometrische Bedeutung eines bestimmten Integrals

Lassen Sie das Segment [ ein, B] eine stetige nichtnegative Funktion ist gegeben ja = F(x ) . Gebogenes Trapez ist die Figur, die von oben durch den Graphen der Funktion begrenzt wird ja = F(x), von unten - durch die Ochsenachse, nach links und rechts - durch gerade Linien x = a und x = b(Abb. 2).

Das bestimmte Integral einer nichtnegativen Funktion ja = F(x) ist aus geometrischer Sicht gleich der Fläche eines krummlinigen Trapezes, das von oben durch den Graphen der Funktion begrenzt wird ja = F(x), nach links und rechts - durch Liniensegmente x = a und x = b, unten - durch ein Segment der Ox-Achse.

3. Grundeigenschaften eines bestimmten Integrals

1. Der Wert des bestimmten Integrals hängt nicht von der Bezeichnung der Integrationsvariablen ab:

2. Aus dem Vorzeichen eines bestimmten Integrals kann ein konstanter Faktor entnommen werden:

3. Ein bestimmtes Integral der algebraischen Summe zweier Funktionen ist gleich der algebraischen Summe bestimmter Integrale dieser Funktionen:

4.Wenn die Funktion ja = F(x) ist integrierbar auf [ ein, B] und ein < B < C, dann

5. (Mittelwertsatz)... Wenn die Funktion ja = F(x) ist auf dem Segment [ ein, B], dann gibt es auf diesem Segment einen Punkt, so dass

4. Newton-Leibniz-Formel

Satz 2. Wenn die Funktion ja = F(x) ist auf dem Segment [ ein, B] und F(x) Befindet sich eines seiner Stammfunktionen auf diesem Segment, dann gilt die folgende Formel:

welches heisst nach der Newton-Leibniz-Formel. Unterschied F(B) - F(ein) ist es üblich, wie folgt zu schreiben:

wobei das Zeichen als doppeltes Platzhalterzeichen bezeichnet wird.

Somit kann Formel (2) geschrieben werden als:

Beispiel 1. Berechnen Sie das Integral

Lösung. Für den Integranden F(x ) = x 2 eine beliebige Stammfunktion hat die Form

Da in der Newton-Leibniz-Formel jede Stammfunktion verwendet werden kann, verwenden wir zur Berechnung des Integrals die Stammfunktion, die die einfachste Form hat:

5. Änderung der Variablen in einem bestimmten Integral

Satz 3. Lassen Sie die Funktion ja = F(x) ist auf dem Segment [ ein, B]. Wenn:

1) Funktion x = φ ( T) und seine Ableitung φ "( T) sind kontinuierlich bei;

2) der Wertesatz der Funktion x = φ ( T) denn ist das Segment [ ein, B ];

3) φ ( ein) = ein, φ ( B) = B, dann die Formel

welches heisst durch die variable Änderungsformel im bestimmten Integral .

Im Gegensatz zum unbestimmten Integral ist in diesem Fall es besteht keine Notwendigkeit Rückkehr zur ursprünglichen Integrationsvariable - es genügt, neue Integrationsgrenzen α und β zu finden (dazu ist es notwendig, nach der Variablen aufzulösen T Gleichungen φ ( T) = ein und ( T) = B).

Statt Ersatz x = φ ( T) können Sie die Substitution verwenden T = g(x). Finden Sie in diesem Fall neue Integrationsgrenzen in Bezug auf die Variable T vereinfacht: α = g(ein) , β = g(B) .

Beispiel 2... Berechnen Sie das Integral

Lösung. Lassen Sie uns eine neue Variable durch die Formel einführen. Wenn wir beide Seiten der Gleichheit quadrieren, erhalten wir 1 + x = T 2 , wo x = T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"dt= 2tdt... Wir finden neue Integrationsgrenzen. Dazu setzen wir die alten Grenzwerte in die Formel ein x = 3 und x = 8. Wir erhalten:, woher T= 2 und α = 2; , wo T= 3 und β = 3. Also,

Beispiel 3. Berechnung

Lösung. Lassen du= ln x, dann , v = x... Nach der Formel (4)