Nämlich, was Sie im Titel sehen. Im Wesentlichen handelt es sich um ein "räumliches Analogon" das Problem, den Tangens zu finden und normal zum Graphen einer Funktion einer Variablen, und daher sollten keine Schwierigkeiten auftreten.

Beginnen wir mit einigen grundlegenden Fragen: WAS IST eine Tangentialebene und WAS IST eine Normale? Viele kennen diese Konzepte auf der Ebene der Intuition. Das einfachste Modell, das mir in den Sinn kommt, ist eine Kugel, auf der ein dünnes, flaches Stück Pappe ruht. Der Karton befindet sich so nah wie möglich an der Kugel und berührt diese an einer einzigen Stelle. Zusätzlich wird es an der Kontaktstelle durch eine gerade nach oben stechende Nadel fixiert.

Theoretisch gibt es eine ziemlich geniale Definition einer Tangentialebene. Stellen Sie sich einen willkürlichen Oberfläche und der dazugehörige Punkt. Offensichtlich viele räumliche Linien die zu dieser Oberfläche gehören. Wer hat welche Assoziationen? =) ... Ich habe den Oktopus persönlich vorgestellt. Angenommen, jede dieser Zeilen hat räumliche Tangente am Punkt.

Definition 1: Tangentialebene zur Oberfläche an einem Punkt ist Flugzeug enthält Tangenten an alle Kurven, die zu dieser Fläche gehören und durch den Punkt gehen.

Definition 2: normal zur Oberfläche an einem Punkt ist gerade durch diesen Punkt senkrecht zur Tangentialebene.

Einfach und elegant. Übrigens, damit Sie nicht vor Langeweile an der Einfachheit des Materials sterben, verrate ich Ihnen etwas später ein elegantes Geheimnis, mit dem Sie EINMAL UND FÜR IMMER vergessen können, verschiedene Definitionen zu pauken.

Wir lernen die Arbeitsformeln und den Lösungsalgorithmus direkt an einem konkreten Beispiel kennen. Bei der überwiegenden Mehrheit der Probleme ist es erforderlich, sowohl die Gleichung der Tangentialebene als auch die Gleichungen der Normalen aufzustellen:

Beispiel 1

Lösung: wenn die Fläche durch die Gleichung gegeben ist (d. h. implizit), dann kann die Gleichung der Tangentialebene an eine gegebene Fläche an einem Punkt durch die folgende Formel gefunden werden:

Ich achte besonders auf ungewöhnliche partielle Ableitungen - ihre um nicht verwirrt zu sein mit partielle Ableitungen einer implizit definierten Funktion (obwohl die Oberfläche implizit angegeben ist)... Wenn Sie diese Derivate finden, müssen Sie sich an die Regeln der Differentiation einer Funktion von drei Variablen, d. h. bei der Differenzierung nach einer beliebigen Variablen werden die beiden anderen Buchstaben als Konstanten betrachtet:

Ohne die Kasse zu verlassen, finden wir die partielle Ableitung an der Stelle:

Gleichfalls:

Dies war der unangenehmste Moment der Entscheidung, in dem ein Fehler, wenn er nicht erlaubt ist, ständig auftaucht. Trotzdem gibt es hier eine effektive Verifikationstechnik, über die ich in der Lektion gesprochen habe Richtungsableitung und Gradient.

Alle "Zutaten" sind gefunden, und nun geht es an eine ordentliche Substitution mit weiteren Vereinfachungen:

– allgemeine Gleichung die gewünschte Tangentialebene.

Ich empfehle Ihnen dringend, auch diese Phase der Lösung zu überprüfen. Zuerst müssen Sie sicherstellen, dass die Koordinaten des Berührungspunkts die gefundene Gleichung wirklich erfüllen:

- wahre Gleichberechtigung.

Jetzt "entfernen" wir die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung der Ebene und überprüfen sie auf Übereinstimmung oder Proportionalität mit den entsprechenden Werten. In diesem Fall sind sie proportional. Erinnerst du dich von Analytische Geometrie Kurs, - Das normaler Vektor Tangentialebene, und es ist - Richtungsvektor normale gerade Linie. Lass uns komponieren kanonische Gleichungen Normalen nach Punkt- und Richtungsvektor:

Grundsätzlich können die Nenner um „zwei“ gekürzt werden, dies bedarf jedoch keiner besonderen Notwendigkeit

Antworten:

Es ist jedoch nicht verboten, die Gleichungen wieder mit einigen Buchstaben zu bezeichnen - warum? Hier, und so ist es extrem klar, was was ist.

Die nächsten beiden Beispiele dienen der Selbsthilfe. Ein kleiner "mathematischer Zungenbrecher":

Beispiel 2

Finden Sie die Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen an einem Punkt.

Und eine technisch interessante Aufgabe:

Beispiel 3

Schreiben Sie die Gleichungen für die Tangentialebene und die Flächennormale an einem Punkt

Am Punkt.

Es besteht jede Chance, nicht nur verwirrt zu werden, sondern auch Schwierigkeiten bei der Aufnahme zu haben kanonische Gleichungen der Geraden... Und die Gleichungen des Normalen werden, wie Sie wahrscheinlich verstanden haben, normalerweise in dieser Form geschrieben. Aufgrund von Vergesslichkeit oder Unkenntnis einiger Nuancen ist die parametrische Form jedoch mehr als akzeptabel.

Musterbeispiele für Finishing-Lösungen am Ende der Lektion.

Existiert an irgendeinem Punkt der Oberfläche eine Tangentialebene? Generell natürlich nicht. Das klassische Beispiel ist konische Oberfläche und Punkt - die Tangenten an diesem Punkt bilden direkt eine konische Fläche und liegen natürlich nicht in derselben Ebene. Es ist leicht, sich analytisch von den Schwierigkeiten zu überzeugen:.

Eine weitere Quelle von Problemen ist die Tatsache Nicht-Existenz jede partielle Ableitung an einem Punkt. Dies bedeutet jedoch nicht, dass es an einem bestimmten Punkt keine einzelne Tangentialebene gibt.

Aber es war wahrscheinlicher Populärwissenschaft als praktisch bedeutsame Information, und wir kehren zu unseren täglichen Angelegenheiten zurück:

So schreiben Sie Gleichungen für die Tangentialebene und die Normale an einem Punkt,
wenn die Fläche durch eine explizite Funktion gegeben ist?

Schreiben wir es implizit um:

Und nach den gleichen Prinzipien finden wir die partiellen Ableitungen:

Damit wird die Formel für die Tangentialebene in folgende Gleichung umgewandelt:

Und dementsprechend die kanonischen Normalgleichungen:

Wie Sie vielleicht vermuten, - diese sind schon "echt" partielle Ableitungen einer Funktion zweier Variablen an der Stelle, die wir früher mit dem Buchstaben "z" bezeichneten und 100.500 mal gefunden haben.

Beachten Sie, dass es in diesem Artikel ausreicht, sich die allererste Formel zu merken, aus der sich bei Bedarf alles andere leicht ableiten lässt. (Verständlicherweise mit einer Grundausbildung)... Dies ist der Ansatz, der beim Studium der exakten Wissenschaften verwendet werden sollte, d.h. Aus einem Minimum an Informationen sollte man sich bemühen, ein Maximum an Schlussfolgerungen und Konsequenzen „herauszuziehen“. "Soobrazhalovka" und bereits vorhandenes Wissen helfen! Dieses Prinzip ist auch insofern nützlich, als es Sie wahrscheinlich in einer kritischen Situation retten wird, wenn Sie nur sehr wenig wissen.

Lassen Sie uns die "modifizierten" Formeln anhand einiger Beispiele erarbeiten:

Beispiel 4

Schreiben Sie die Gleichungen für die Tangentialebene und die Flächennormale am Punkt.

Es stellte sich hier eine kleine Überlagerung mit Bezeichnungen heraus - jetzt bezeichnet der Buchstabe einen Punkt auf der Ebene, aber was tun - so ein beliebter Buchstabe….

Lösung: Die Gleichung der gewünschten Tangentialebene wird durch die Formel erstellt:

Berechnen wir den Wert der Funktion an der Stelle:

Lass uns rechnen Partielle Ableitungen 1. Ordnung An diesem Punkt:

Auf diese Weise:

vorsichtig, nicht in Eile:

Wir schreiben die kanonischen Gleichungen der Normalen an einer Stelle auf:

Antworten:

Und ein letztes Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 5

Schreiben Sie die Gleichungen für die Tangentialebene und die Flächennormale an einem Punkt auf.

Das letzte - weil ich tatsächlich alle technischen Punkte erklärt habe und nichts Besonderes hinzuzufügen ist. Auch die Funktionen selbst, die in dieser Aufgabe angeboten werden, sind langweilig und eintönig - in der Praxis ist es fast garantiert, dass Sie auf ein "Polynom" stoßen, und in diesem Sinne sieht Beispiel Nr. 2 mit einem Exponenten wie ein "schwarzes Schaf" aus. Es ist übrigens viel wahrscheinlicher, die durch die Gleichung gegebene Fläche zu treffen, und dies ist ein weiterer Grund, warum die Funktion in den Artikel "zweite Zahl" aufgenommen wurde.

Und zum Schluss das versprochene Geheimnis: Wie kann man Definitionspauken vermeiden? (Ich meine natürlich nicht eine Situation, in der ein Student vor der Prüfung hektisch etwas paukt)

Die Definition eines Begriffs / Phänomens / Objekts gibt zunächst eine Antwort auf die folgende Frage: WAS IST ES? (wer/solcher/solcher/solcher). Bewusst Bei der Beantwortung dieser Frage sollten Sie versuchen, nachzudenken notwendig Zeichen, eindeutig Identifizierung dieses oder jenes Konzepts / Phänomens / Objekts. Ja, das entpuppt sich zunächst als etwas sprachlos, ungenau und überflüssig (der Lehrer wird korrigieren =)), aber mit der Zeit entwickelt sich eine durchaus würdige wissenschaftliche Rede.

Üben Sie zum Beispiel an den abstraktesten Objekten und beantworten Sie die Frage: Wer ist Tscheburaschka? So einfach ist das nicht ;-) Ist das „eine Märchenfigur mit großen Ohren, Augen und braunen Haaren“? Weit und sehr weit von der Definition entfernt - man weiß nie, dass es Charaktere mit solchen Eigenschaften gibt .... Aber das ist schon viel näher an der Definition: "Cheburashka ist eine Figur, die 1966 vom Schriftsteller Eduard Uspensky erfunden wurde, der ... (Aufzählung der wichtigsten Unterscheidungsmerkmale)"... Beachten Sie, wie gut es angefangen hat

1 °

1°. Gleichungen der Tangentialebene und der Normalen bei expliziter Angabe der Fläche.

Betrachten Sie eine der geometrischen Anwendungen partieller Ableitungen einer Funktion zweier Variablen. Lassen Sie die Funktion z = F (x;j) an der Stelle differenzierbar (x 0; bei 0) einige Gegend DÎ R2... Lass uns die Oberfläche schneiden S, Bildgebungsfunktion z, Flugzeuge x = x 0 und y = y 0(Abb. 11).

Ebene NS = x 0überquert die Oberfläche S entlang einer Linie z 0 (y), deren Gleichung durch Einsetzen der ursprünglichen Funktion in den Ausdruck erhalten wird z ==F (x;j) Anstatt von NS die Zahlen x0. Punkt M 0 (x0;und 0,F (x0;und 0)) gehört zur Kurve z 0 (y). Aufgrund der differenzierbaren Funktion z am Punkt M 0 Funktion z 0 (j) ist an der Stelle auch differenzierbar y = y 0. Daher an diesem Punkt in der Ebene x = x 0 zur Kurve z 0 (j) eine Tangente kann gezogen werden ich 1.

Durchführen einer ähnlichen Argumentation für den Abschnitt bei = bei 0, eine Tangente bauen l 2 zur Kurve z 0 (x) am Punkt NS = x 0 - Direkte 1 1 und 1 2 definiere eine Ebene namens Tangentialebene zu der Oberfläche S am Punkt M 0.

Machen wir ihre Gleichung. Da die Ebene durch den Punkt geht Mo (x0;y 0;z 0), dann kann seine Gleichung in der Form geschrieben werden

A (x - xo) + B (y - yo) + C (z - zo) = 0,

was man so umschreiben kann:

z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(dividiere die Gleichung durch -C und bezeichne ).

Finden A 1 und B1.

Tangentialgleichungen 1 1 und 1 2 habe die form

bzw.

Tangente l 1 liegt in der Ebene a , daher die Koordinaten aller Punkte l 1 Gleichung (1) erfüllen. Diese Tatsache kann als System geschrieben werden

Wenn wir dieses System nach B 1 auflösen, erhalten wir das. Eine ähnliche Argumentation für den Tangens l 3, das lässt sich leicht feststellen.

Ersetzen der Werte A 1 und B 1 in Gleichung (1), erhalten wir die erforderliche Gleichung der Tangentialebene:

Linie durch Punkt M 0 und senkrecht zu der an diesem Punkt der Oberfläche konstruierten Tangentialebene heißt its normal.

Unter Verwendung der Rechtwinkligkeitsbedingung einer Geraden und einer Ebene ist es einfach, die kanonischen Gleichungen der Normalen zu erhalten:

Kommentar. Die Formeln für die Tangentialebene und die Flächennormale erhält man für gewöhnliche, also nicht singuläre Punkte der Fläche. Punkt M 0 Oberfläche heißt Besondere, wenn zu diesem Zeitpunkt alle partiellen Ableitungen gleich Null sind oder mindestens eine davon nicht existiert. Wir berücksichtigen solche Punkte nicht.

Beispiel. Schreiben Sie die Gleichungen der Tangentialebene und der Flächennormalen an ihrem Punkt M (2; -1; 1).

Lösung. Lassen Sie uns die partiellen Ableitungen dieser Funktion und ihre Werte am Punkt M . finden

Wenn wir die Formeln (2) und (3) anwenden, erhalten wir also: z-1 = 2 (x-2) +2 (y + 1) oder 2x + 2y-z-1 = 0- die Gleichung der Tangentialebene und - normale Gleichungen.

2°. Gleichungen der Tangentialebene und der Normalen bei impliziter Flächendefinition.

Wenn die Oberfläche S gegeben durch die Gleichung F (x; j;z)= 0, dann Gleichungen (2) und (3) unter Berücksichtigung der Tatsache, dass partielle Ableitungen als Ableitungen einer impliziten Funktion gefunden werden können.

Gleichung der Normalebene

1.

4.

Tangentialebene und Flächennormale

Sei eine Fläche gegeben, A ist ein fester Punkt der Fläche und B ist ein variabler Punkt der Fläche,

(Abb. 1).

Vektor ungleich null

→

n

namens normaler Vektor zur Oberfläche im Punkt A, wenn

lim B → A j = π 2 .

Ein Punkt der Fläche F (x, y, z) = 0 heißt gewöhnlich, wenn an diesem Punkt

1. partielle Ableitungen F "x, F" y, F "z sind stetig;
2. (F "x) 2 + (F" y) 2 + (F "z) 2 0.

Wird mindestens eine dieser Bedingungen verletzt, heißt ein Punkt auf der Fläche singulärer Punkt der Oberfläche .

Satz 1. Wenn M (x 0, y 0, z 0) ein gewöhnlicher Punkt der Fläche F (x, y, z) = 0 ist, dann ist der Vektor

→ n = Grad F (x 0, y 0, z 0) = F "x (x 0, y 0, z 0) → ich + F "y (x 0, y 0, z 0) → J + F "z (x 0, y 0, z 0) → k

(1)

senkrecht zu dieser Fläche im Punkt M (x 0, y 0, z 0).

Nachweisen im Buch von I.M. Petruschko, L. A. Kuznetsov, V. I. Prochorenko, V. F. Safonova `` Der Kurs der höheren Mathematik: Integralrechnung. Funktionen mehrerer Variablen. Differentialgleichung. Moskau: MPEI-Verlag, 2002 (S. 128).

Normal zur Oberfläche irgendwann wird sie als Gerade bezeichnet, deren Richtungsvektor an diesem Punkt senkrecht zur Oberfläche steht und durch diesen Punkt verläuft.

Kanonisch normale Gleichungen kann dargestellt werden als

x - x 0 F "x (x 0, y 0, z 0) = j - j 0 F "y (x 0, y 0, z 0) = z - z 0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

Tangentialebene zu einer Fläche an einem bestimmten Punkt wird eine Ebene genannt, die durch diesen Punkt senkrecht zur Normalen auf die Fläche an diesem Punkt verläuft.

Aus dieser Definition folgt, dass Tangentenebenengleichung sieht aus wie:

(3)

Wenn ein Punkt auf der Oberfläche singulär ist, existiert an diesem Punkt möglicherweise kein Vektor senkrecht zur Oberfläche, und die Oberfläche hat daher möglicherweise keine Normale und keine Tangentenebene.

Die geometrische Bedeutung des Gesamtdifferentials einer Funktion zweier Variablen

Die Funktion z = f (x, y) sei im Punkt a (x 0, y 0) differenzierbar. Sein Graph ist die Oberfläche

f (x, y) - z = 0.

Wir setzen z 0 = f (x 0, y 0). Dann gehört der Punkt A (x 0, y 0, z 0) zur Fläche.

Die partiellen Ableitungen der Funktion F (x, y, z) = f (x, y) - z sind

F "x = f" x, F "y = f" y, F "z = - 1

und am Punkt A (x 0, y 0, z 0)

1. sie sind kontinuierlich;
2. F "2 x + F" 2 y + F "2 z = f" 2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Daher ist A ein gewöhnlicher Punkt der Fläche F (x, y, z) und an diesem Punkt gibt es eine Tangentenebene an die Fläche. Die Gleichung der Tangentialebene hat nach (3) die Form:

f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0) - (z - z 0) = 0.

Die vertikale Verschiebung eines Punktes auf der Tangentialebene beim Übergang von einem Punkt a (x 0, y 0) zu einem beliebigen Punkt p (x, y) beträgt B Q (Abb. 2). Das entsprechende Inkrement ist

(z - z 0) = f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Hier ist ein Differential auf der rechten Seite D z der Funktion z = f (x, y) im Punkt a (x 0, x 0). Somit,
D f (x 0, y 0). ist das Inkrement der Applikate eines Punktes der Ebene tangential an den Graphen der Funktion f (x, y) im Punkt (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Aus der Definition des Differentials folgt, dass der Abstand zwischen dem Punkt P auf dem Graphen der Funktion und dem Punkt Q auf der Tangentialebene unendlich klein ist von höherer Ordnung als der Abstand von Punkt p zu Punkt a.

Definition. Ein Punkt, der auf einer Fläche zweiter Ordnung liegt, bezogen auf die GDSK durch die allgemeine Gleichung (1), heißt nicht singulär, wenn unter den drei Zahlen: mindestens eine ungleich Null ist.

Ein Punkt, der auf einer Fläche zweiter Ordnung liegt, ist also nicht singulär, wenn er ihr Mittelpunkt ist, andernfalls, wenn die Fläche konisch ist und der Punkt der Scheitelpunkt dieser Fläche ist.

Definition. Eine Tangente an eine Fläche zweiter Ordnung an einem gegebenen nicht singulären Punkt darauf ist eine gerade Linie, die durch diesen Punkt verläuft, die Fläche zweiter Ordnung an einem Doppelpunkt schneidet oder eine geradlinige Erzeugende der Fläche ist.

Satz 3. Die Tangentenlinien an die Oberfläche zweiter Ordnung an einem gegebenen nicht singulären Punkt darauf liegen in einer Ebene, die als Tangentialebene an die Oberfläche an dem betreffenden Punkt bezeichnet wird. Die Tangentialebenengleichung hat

Nachweisen. Seien die parametrischen Gleichungen der Geraden, die durch einen nicht singulären Punkt der Fläche zweiter Ordnung verläuft, gegeben durch Gleichung (1). Einsetzen in Gleichung (1) anstelle von , erhalten wir:

Da der Punkt auf der Fläche (1) liegt, finden wir auch aus Gleichung (3) (dieser Wert entspricht dem Punkt). Damit der Schnittpunkt der Geraden mit der Fläche (1) doppelt ist oder die Gerade ganz auf der Fläche liegt, ist es notwendig und ausreichend, dass die Gleichheit gilt:

Wenn gleichzeitig:

Der Schnittpunkt der Geraden mit der Fläche (1) ist doppelt. Und wenn:

Dann liegt die ganze Linie auf der Oberfläche (1).

Aus den Beziehungen (4) und, folgt, dass die Koordinaten,, von jedem Punkt, der auf einer beliebigen Tangente an die Oberfläche (1) liegt, die Gleichung erfüllen:

Umgekehrt, wenn die Koordinaten eines anderen Punktes als dieser Gleichung genügen, dann erfüllen die Koordinaten, Vektoren die Beziehung (4), was bedeutet, dass die Linie die betrachtete Fläche tangential ist.

Da ein Punkt ein nicht singulärer Punkt der Fläche (1) ist, gibt es unter den Zahlen mindestens einen, der ungleich Null ist; dann ist Gleichung (5) eine Gleichung ersten Grades bezüglich. Dies ist die Gleichung der Tangentenebene an die Oberfläche (1) an einem gegebenen nicht singulären Punkt darauf.

Basierend auf den kanonischen Gleichungen von Oberflächen zweiter Ordnung ist es einfach, die Gleichungen der Tangentialebenen an ein Ellipsoid, Hyperboloid usw. an einem bestimmten Punkt auf ihnen.

1). Tangentialebene zum Ellipsoid:

2). Die Tangentialebene an ein- und zweischichtige Hyperboloide:

3). Tangentialebene zu elliptischen und hyperbolischen Paraboloiden:

§ 161. Schnitt einer Tangentialebene mit einer Fläche zweiter Ordnung.

Wir nehmen einen nicht singulären Punkt der Oberfläche zweiter Ordnung als Koordinatenursprung der ODSK, der Achse und legen ihn in die Ebene tangential zur Oberfläche an dem Punkt. Dann ist in der allgemeinen Gleichung der Fläche (1) der freie Term gleich Null:, und die Gleichung der Ebene, die die Fläche im Koordinatenursprung berührt, sollte die Form haben:.

Aber die Gleichung der durch den Ursprung gehenden Ebene hat die Form:.

Und da diese Gleichung der Gleichung äquivalent sein muss, dann,,.

Im ausgewählten Koordinatensystem sollte die Oberflächengleichung (1) also die Form haben:

Umgekehrt, wenn, dann ist Gleichung (6) die Gleichung der Fläche, die durch den Ursprung geht, und die Ebene ist die Tangentialebene an diese Fläche in einem Punkt. Die Gleichung der Geraden, entlang derer die Tangentialebene an die Fläche in einem Punkt die Fläche schneidet (6) hat die Form:

Wenn . Dies ist eine Invariante in der Theorie der Invarianten für Geraden zweiter Ordnung. Gleichung (7)

Dies ist die Zeile zweiter Ordnung. Nach der Form dieser Linie ist sie invariant, also:

Wenn, hier sind zwei imaginäre sich schneidende Geraden.

At - zwei echte sich schneidende Geraden.

Ist aber mindestens einer der Koeffizienten ungleich Null, so besteht die Schnittlinie (7) aus zwei übereinstimmenden Geraden.

Schließlich, wenn, dann das Flugzeug

ist ein Teil dieser Fläche, und die Fläche selbst zerfällt daher in ein Paar von Ebenen

§ 162. Elliptische, hyperbolische oder parabolische Punkte einer Fläche zweiter Ordnung.

1. Lassen Sie die Tangentialebene an die Fläche zweiter Ordnung in einem Punkt diese entlang zweier gedachter sich schneidender Geraden schneiden. In diesem Fall wird der Punkt als elliptischer Punkt der Fläche bezeichnet.

2. Lassen Sie die Tangentialebene an die Oberfläche zweiter Ordnung in einem Punkt sie entlang zweier reeller Geraden schneiden, die sich im Tangentialpunkt schneiden. In diesem Fall wird der Punkt hyperbolischer Punkt der Fläche genannt.

3. Lassen Sie die Tangentialebene an die Oberfläche zweiter Ordnung in einem Punkt diese entlang zweier zusammenfallender Geraden schneiden. In diesem Fall wird der Punkt als parabolischer Punkt der Fläche bezeichnet.

Satz 4. Die Fläche zweiter Ordnung in Bezug auf die ODSK sei durch die Gleichung (1) gegeben und die gegebene Gleichung (1) sei die Gleichung der realen nicht abfallenden Fläche zweiter Ordnung. Dann wenn; dann sind alle Punkte der Fläche elliptisch.

Nachweisen. Lassen Sie uns ein neues Koordinatensystem einführen, indem wir als Koordinatenursprung einen beliebigen nicht singulären Punkt der gegebenen Fläche wählen und die Achsen und in der Ebene tangential zur Fläche an diesem Punkt platzieren. Gleichung (1) im neuen Koordinatensystem wird in die Form umgewandelt:

Woher . Berechnen wir die Invariante für diese Gleichung.

Da sich beim Übergang von einem ODSK zu einem anderen ODSK das Vorzeichen nicht ändert, sind die Vorzeichen also umgekehrt, wenn, dann; und, wie aus der Klassifikation (siehe § 161) hervorgeht, schneidet die Tangentialebene an die Oberfläche in einem Punkt die Oberfläche entlang zweier gedachter Schnittlinien, d.h. - elliptischer Punkt.

2) Ein Einblatt-Hyperboloid und ein hyperbolisches Paraboloid bestehen aus hyperbolischen Punkten.

3) Realer Kegel zweiter Ordnung (der Scheitel ist ausgeschlossen), elliptische (reale), hyperbolische und parabolische Zylinder bestehen aus parabolischen Punkten.

Parabolischer Zylinder.

Um die Position des parabolischen Zylinders zu bestimmen, genügt es zu wissen:

1) eine Symmetrieebene parallel zur Mantellinie des Zylinders;

2) die Tangentialebene an den Zylinder, senkrecht zu dieser Symmetrieebene;

3) ein Vektor senkrecht zu dieser Tangentialebene und gerichtet auf die Konkavität des Zylinders.

Wenn die allgemeine Gleichung einen parabolischen Zylinder definiert, kann sie wie folgt umgeschrieben werden:

Wir werden auswählen m damit das flugzeug

wäre senkrecht zueinander:

Mit diesem Wert m Flugzeug

ist die Symmetrieebene parallel zur Mantellinie des Zylinders.

Ebene

ist die Tangentialebene zum Zylinder, senkrecht zur angegebenen Symmetrieebene, und der Vektor

senkrecht zur gefundenen Tangentialebene und auf die Konkavität des Zylinders gerichtet.

Tangentialebenen spielen eine große Rolle in der Geometrie. Die Konstruktion von Tangentialebenen ist in praktischer Hinsicht wichtig, da durch ihr Vorhandensein die Richtung der Flächennormalen im Tangentialpunkt bestimmt werden kann. Dieses Problem ist in der Ingenieurpraxis weit verbreitet. Tangentialebenen werden auch verwendet, um Umrisse geometrischer Formen zu konstruieren, die von geschlossenen Oberflächen begrenzt werden. Theoretisch werden tangentiale Ebenen in der Differentialgeometrie verwendet, um die Eigenschaften einer Oberfläche in der Nähe eines Tangentialpunktes zu untersuchen.

Grundbegriffe und Definitionen

Als Grenzlage der Sekantenebene ist die Flächentangente zu betrachten (analog zur Geradentangente an die Kurve, die auch als Grenzlage der Sekantenebene definiert wird).

Die ebene Tangente an die Oberfläche an einem bestimmten Punkt auf der Oberfläche ist die Menge aller geraden Linien - Tangenten, die durch einen bestimmten Punkt an die Oberfläche gezogen werden.

In der Differentialgeometrie wird bewiesen, dass alle Tangenten an eine an einem gewöhnlichen Punkt gezeichnete Fläche koplanar sind (zu derselben Ebene gehören).

Lassen Sie uns herausfinden, wie die Tangente an die Oberfläche gezogen wird. Die Tangente t an die Fläche β an dem auf der Fläche angegebenen Punkt M (Abb. 203) stellt die Grenzlage der Sekante lj dar, die die Fläche in zwei Punkten (MM 1, MM 2, ..., MM n) schneidet, wenn Schnittpunkte fallen zusammen (M ≡ M n, ln ≡ l M). Offensichtlich (M 1, M 2, ..., M n) g, da g ⊂ β. Aus dem oben Gesagten folgt folgende Definition: Tangente an eine Fläche ist eine gerade Tangente an eine beliebige Kurve, die zur Fläche gehört.

Da die Ebene durch zwei sich schneidende Geraden definiert ist, reicht es aus, um an einem bestimmten Punkt eine Ebene tangential zur Oberfläche anzugeben, durch diesen Punkt zwei beliebige Linien zu ziehen, die zur Oberfläche gehören (vorzugsweise einfach in der Form) und zu jedem von ihnen konstruieren Tangenten im Schnittpunkt dieser Linien ... Die konstruierten Tangenten definieren eindeutig die Tangentenebene. Eine visuelle Darstellung der Zeichnung der Ebene α, die die Fläche β an einem gegebenen Punkt M tangiert, ist in Abb. 204. Diese Abbildung zeigt auch die Normale n zur Fläche β.

Die Flächennormale an einem bestimmten Punkt ist eine gerade Linie, die senkrecht zur Tangentialebene verläuft und durch den Tangentialpunkt verläuft.

Die Schnittlinie der Fläche mit einer durch die Normale verlaufenden Ebene wird als Normalenschnitt der Fläche bezeichnet. Je nach Flächentyp kann die Tangentialebene einen oder mehrere Punkte (Linien) mit der Fläche haben. Die Tangente kann gleichzeitig die Schnittlinie der Fläche mit der Ebene sein.

Es sind auch Fälle möglich, in denen es Punkte auf der Oberfläche gibt, an denen es unmöglich ist, eine Tangente an die Oberfläche zu ziehen; solche Punkte werden als speziell bezeichnet. Ein Beispiel für singuläre Punkte sind die Punkte, die zur Kante der Rumpffläche gehören, oder der Schnittpunkt des Meridians der Rotationsfläche mit ihrer Achse, wenn sich Meridian und Achse nicht rechtwinklig schneiden.

Die Tangentenarten hängen von der Art der Krümmung der Oberfläche ab.

Oberflächenkrümmung

Die Fragen der Krümmung einer Fläche wurden von dem französischen Mathematiker F. Dupin (1784-1873) untersucht, der eine visuelle Möglichkeit vorschlug, die Krümmungsänderung von Normalschnitten einer Fläche darzustellen.

Dazu werden in der Tangente an die betrachtete Fläche im Punkt M (Abb. 205, 206) Segmente, die den Quadratwurzeln der Werte der entsprechenden Krümmungsradien dieser Abschnitte entsprechen, auf die Tangenten gelegt normale Abschnitte auf beiden Seiten dieses Punktes. Die Punktmenge - die Enden der Segmente definieren eine Kurve namens Dupin-Indikatrix... Der Algorithmus zur Konstruktion der Dupin-Indikatrix (Abb. 205) kann geschrieben werden:

1. M α, M β ∧ α β;

2. = √ (R l 1), = √ (R l 2), ..., = √ (R l n)

wobei R der Krümmungsradius ist.

(A 1 ∪ А 2 ∪ ... ∪ А n) ist die Dupin-Indikatrix.

Wenn die Dupin-Indikatrix der Fläche eine Ellipse ist, dann heißt der Punkt M elliptisch und die Fläche heißt Fläche mit elliptischen Punkten(Abb. 206). In diesem Fall hat die Tangentialebene nur einen gemeinsamen Punkt mit der Fläche und alle zur Fläche gehörenden Linien, die sich im betrachteten Punkt schneiden, liegen auf einer Seite der Tangentialebene. Beispiele für Oberflächen mit elliptischen Punkten sind: ein Rotationsparaboloid, ein Rotationsellipsoid, eine Kugel (in diesem Fall ist die Dupin-Indikatrix ein Kreis usw.).

Beim Zeichnen einer Tangentialebene an die Rumpfoberfläche berührt die Ebene diese Oberfläche entlang einer geraden Mantellinie. Die Punkte dieser Linie heißen parabolisch, und die Fläche ist eine Fläche mit parabolischen Punkten... Dupins Indikatrix besteht in diesem Fall aus zwei parallelen Geraden (Abb. 207 *).

In Abb. 208 zeigt eine Fläche bestehend aus Punkten, an denen

* Eine Kurve zweiter Ordnung - eine Parabel - kann sich unter bestimmten Bedingungen in zwei reelle parallele Geraden, zwei imaginäre parallele Geraden, zwei zusammenfallende Geraden aufspalten. In Abb. 207 haben wir es mit zwei reellen parallelen Geraden zu tun.

Die Tangentialebene schneidet die Fläche. Eine solche Fläche heißt hyperbolisch, und die dazu gehörenden Punkte - hyperbolische Punkte. Dupins Indikatrix ist in diesem Fall eine Hyperbel.

Eine Fläche, deren alle Punkte hyperbolisch sind, hat die Form eines Sattels (schiefe Ebene, einschichtiges Hyperboloid, konkave Rotationsflächen usw.).

Eine Fläche kann Punkte unterschiedlicher Art haben, zum Beispiel an der Rumpffläche (Abb. 209) ist der Punkt M elliptisch; Punkt N - parabolisch; Punkt K ist hyperbolisch.

Im Zuge der Differentialgeometrie wird bewiesen, dass Normalschnitte, bei denen die Krümmungswerte K j = 1 / R j (wobei R j der Krümmungsradius des betrachteten Abschnitts ist) Extremwerte aufweisen, in zwei liegen zueinander senkrechte Ebenen.

Solche Krümmungen K 1 = 1 / R max. K 2 = 1 / R min werden als Prinzip bezeichnet, und die Werte H = (K 1 + K 2) / 2 und K = K 1 K 2 sind jeweils die mittlere Krümmung der Oberfläche und die Summe (Gaussian) Krümmung der Oberfläche an der betrachteten Stelle. Für elliptische Punkte K> 0, hyperbolische Punkte K

Festlegen einer Ebene tangential zu einer Fläche in einem Monge-Plot

Im Folgenden zeigen wir anhand konkreter Beispiele die Konstruktion einer ebenen Tangente an eine Fläche mit elliptischen (Beispiel 1), parabolischen (Beispiel 2) und hyperbolischen (Beispiel 3) Punkten.

BEISPIEL 1. Konstruieren Sie die Ebene α, tangential zur Rotationsfläche β, mit elliptischen Punkten. Betrachten Sie zwei Möglichkeiten zur Lösung dieses Problems, a) Punkt М ∈ β und b) Punkt М ∉ β

Variante a (Abb. 210).

Die Tangentialebene wird durch zwei Tangenten t 1 und t 2 definiert, die im Punkt M zur Parallele und zum Meridian der Fläche β gezogen werden.

Die Projektionen der Tangente t 1 an die Parallele h der Fläche β sind t "1 ⊥ (S" M ") und t" 1 || die x-Achse. Die horizontale Projektion der Tangente t "2 auf den Meridian d der durch den Punkt M verlaufenden Fläche β fällt mit der horizontalen Projektion des Meridians zusammen. Um die Frontalprojektion der Tangente t" 2 zu finden, muss die Meridianebene γ (γ ∋ М) durch Drehung um die Achse der Fläche wird β in die Position γ 1 parallel zur Ebene π 2 übersetzt. In diesem Fall Punkt M → M 1 (M "1, M" 1). Die Projektion der Tangente t "2 rarr; t" 2 1 ist definiert (M "1 S"). Bringen wir nun die Ebene γ 1 in ihre ursprüngliche Position zurück, so bleibt der Punkt S "(als zur Drehachse gehörend) stehen und M" 1 → M "und die Frontalprojektion der Tangente t" 2 bleibt bestimmt werden (M "S")

Zwei Tangenten t 1 und t 2 , die sich in einem Punkt ∈ β schneiden, definieren die Ebene α tangential zur Oberfläche β.

Variante b (Abb. 211)

Um eine Ebene tangential zu einer Fläche zu konstruieren, die durch einen Punkt geht, der nicht zur Fläche gehört, muss man von folgenden Überlegungen ausgehen: Durch einen Punkt außerhalb der Fläche, bestehend aus elliptischen Punkten, kann eine Menge von Flächen tangential zur Fläche gezogen werden. Die Hülle dieser Oberflächen wird eine konische Oberfläche sein. Wenn also keine zusätzlichen Anweisungen vorhanden sind, hat das Problem viele Lösungen und wird in diesem Fall auf das Zeichnen einer konischen Fläche γ tangential zu dieser Fläche β reduziert.

In Abb. 211 zeigt den Aufbau einer Kegelfläche γ tangential zur Kugel β. Jede Ebene α tangential zur konischen Fläche γ ist tangential zur Fläche β.

Um die Projektionen der Oberfläche γ aus den Punkten M "und M" zu konstruieren, ziehen Sie Tangenten an die Kreise h "und f" - die Projektionen der Kugel. Markieren Sie die Berührungspunkte 1 (1“ und 1“), 2 (2“ und 2“), 3 (3“ und 3“) und 4 (4“ und 4“). Horizontale Projektion des Kreises - die Tangente der Kegelfläche und der Kugel wird in [1 "2"] projiziert Um die Punkte der Ellipse zu finden, in die dieser Kreis auf die Frontalprojektionsebene projiziert wird, verwenden Sie die Parallelen von Die Sphäre.

In Abb. 211 Auf diese Weise werden Frontalprojektionen der Punkte E und F (E "und F") bestimmt. Da wir eine Kegelfläche γ haben, konstruieren wir eine Tangentialebene α dazu. Art und Reihenfolge der Grafik

Die dafür durchzuführenden Konstruktionen sind im folgenden Beispiel dargestellt.

BEISPIEL 2 Konstruieren Sie die Ebene α tangential zur Fläche β mit parabolischen Punkten

Betrachten Sie wie in Beispiel 1 zwei Lösungsmöglichkeiten: a) Punkt N ∈ β; b) Punkt N ∉ β

Option a (Abbildung 212).

Eine Kegelfläche bezieht sich auf Flächen mit parabolischen Punkten (siehe Abb. 207). Eine Ebene, die eine Kegelfläche tangiert, berührt sie entlang einer geradlinigen Mantellinie.

1) Ziehen Sie einen Generator SN (S "N" und S "N") durch diesen Punkt N;

2) markieren Sie den Schnittpunkt der Erzeugenden (SN) mit der Führung d: (SN) ∩ d = A;

3) wickelt die Tangente t an d am Punkt A.

Der Generator (SA) und die ihn schneidende Tangente t definieren die Ebene α tangential zur Kegelfläche β an einem gegebenen Punkt N*.

Die Ebene α zu zeichnen, die tangential zur Kegelfläche β ist und durch den Punkt N geht, gehört nicht dazu

* Da die Fläche β aus parabolischen Punkten besteht (mit Ausnahme des Scheitelpunkts S), hat die dazu tangentiale Ebene α nicht einen Punkt N, sondern eine Gerade (SN) gemeinsam.

auf einer gegebenen Oberfläche ist es notwendig:

1) zeichne eine gerade Linie a (a "und a") durch einen gegebenen Punkt N und einen Scheitel S der konischen Fläche β;

2) Bestimmen Sie die horizontale Spur dieser Geraden H a;

3) durch H a ziehen Tangenten t "1 und t" 2 der Kurve h 0β - die horizontale Spur der konischen Oberfläche;

4) Verbinden Sie die Tangentialpunkte A (A "und A") und B (B "und B") mit der Spitze der konischen Fläche S (S "und S").

Die Schnittlinien t 1, (AS) und t 2, (BS) definieren die gesuchten Tangentialebenen α 1 und α 2

BEISPIEL 3. Konstruieren Sie die Ebene α tangential zur Oberfläche β mit hyperbolischen Punkten.

Punkt K (Abb. 214) liegt auf der Oberfläche des Globoids (Innenfläche des Rings).

Um die Lage der Tangentialebene α zu bestimmen, ist es notwendig:

1) durch den Punkt K a parallel zur Oberfläche β h (h ", h" ziehen);

2) durch den Punkt K "ziehe eine Tangente t" 1 (t "1 ≡ h");

3) Um die Richtungen der Projektionen der Tangente an den Meridianschnitt zu bestimmen, ist es notwendig, die γ-Ebene durch den Punkt K und die Oberflächenachse zu zeichnen, die horizontale Projektion t "2 fällt mit h 0γ zusammen; um die Frontalprojektion zu konstruieren der Tangente t" 2 verschieben wir zunächst die γ-Ebene, indem wir sie um die Achse der Rotationsfläche in die Position γ 1 || . drehen 2. In diesem Fall wird der Meridianschnitt durch die γ-Ebene mit dem linken Umrissbogen der Frontalprojektion - dem Halbkreis g " kombiniert.

Punkt K (K ", K"), der zur Kurve des Meridianschnitts gehört, bewegt sich auf Position K 1 (K "1, K" 1). Durch K "1 zeichnen wir eine Frontalprojektion der Tangente t" 2 1, ausgerichtet auf die Ebene γ 1 || π 2 Position und markieren Sie den Schnittpunkt mit der Frontalprojektion der Drehachse S "1. Bringen Sie die Ebene γ 1 in ihre ursprüngliche Position zurück, Punkt K" 1 → K "(Punkt S" 1 ≡ S "). Die Frontalprojektion der Tangente t" 2 wird durch die Punkte K" und S" bestimmt.

Die Tangenten t 1 und t 2 definieren die gewünschte Tangentenebene α, die die Fläche β entlang der Kurve l schneidet.

BEISPIEL 4. Konstruieren Sie die Ebene α, tangential zur Fläche β im Punkt K. Der Punkt K liegt auf der Fläche eines einschichtigen Rotationshyperboloids (Abb. 215).

Dieses Problem kann gelöst werden, indem man sich an den im vorherigen Beispiel verwendeten Algorithmus hält, wobei jedoch berücksichtigt wird, dass die Oberfläche eines einschichtigen Rotationshyperboloids eine Regelfläche ist, die zwei Familien von geradlinigen Generatoren hat, und jeder der Generatoren von einem Familie schneidet alle Erzeuger der anderen Familie (siehe § 32, Abb. . 138). Durch jeden Punkt dieser Fläche können zwei sich schneidende Geraden gezogen werden - Generatoren, die gleichzeitig die Fläche eines einschichtigen Rotationshyperboloids tangieren.

Diese Tangenten definieren die Tangentialebene, dh die Tangente an die Oberfläche eines einschichtigen Rotationshyperboloids schneidet diese Oberfläche entlang zweier Geraden g 1 und g 2. Um die Projektionen dieser Geraden zu konstruieren, genügt es, die horizontale Projektion des Punktes K zu tragen, um die Tangenten t "1 und t" 2 zum Horizont zu führen.

die lokale Projektion des Kreises d "2 - die Kehle der Oberfläche eines einblattigen Rotationshyperboloids; bestimme die Punkte 1" und 2, an denen t "1 und t" 2 eine der Führungsflächen d 1 schneiden. Für 1" und 2" finden wir 1" und 2", die zusammen mit K" die Frontalprojektionen der gesuchten Geraden bestimmen.