Gleichung einer Geraden in Segmenten

Gegeben sei die allgemeine Geradengleichung:

Gleichung einer Geraden in Segmenten, wobei die Segmente sind, die von der Geraden auf den entsprechenden Koordinatenachsen abgeschnitten werden.

Konstruieren Sie eine durch die allgemeine Gleichung gegebene Gerade:

Daraus können Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten konstruieren:

Gegenseitige Anordnung von Geraden auf einer Ebene.

Aussage 1.

In der Reihenfolge der Geraden und gegeben durch die Gleichungen:

Gleichzeitig ist es notwendig und ausreichend, dass:

Beweis: und koinzidieren, ihre Richtungsvektoren und sind kollinear, d.h.:

Nehmen Sie Punkt М 0 durch diese Linien, dann:

Durch Multiplikation der ersten Gleichung mit und Addition zur zweiten durch (2) erhalten wir:

Die Formeln (2), (3) und (4) sind also äquivalent. Wenn (2) gilt, dann sind die Gleichungen des Systems (*) äquivalent, die entsprechenden Geraden fallen zusammen.

Aussage 2.

Die Geraden und durch die Gleichungen (*) gegeben sind parallel und stimmen genau dann nicht überein, wenn:

Nachweisen:

Auch wenn sie nicht übereinstimmen:

Inkonsistent, d. h. nach dem Satz von Kronecker-Capelli:

Dies ist nur möglich, wenn:

Das heißt, unter Bedingung (5).

Wenn die erste Gleichheit (5) erfüllt ist, - die Nichterfüllung der zweiten Gleichheit führt zur Inkompatibilität des Systems (*), die Geraden sind parallel und fallen nicht zusammen.

Anmerkung 1.

Polarkoordinatensystem.

Wir fixieren einen Punkt im Flugzeug und nennen ihn einen Pol. Der vom Pol ausgehende Strahl wird als Polarachse bezeichnet.

Lassen Sie uns eine Skala zum Messen der Längen der Segmente wählen und vereinbaren, dass die Drehung um m gegen den Uhrzeigersinn als positiv angesehen wird. Betrachten Sie einen beliebigen Punkt auf einer gegebenen Ebene, bezeichnen Sie ihn durch seinen Abstand zum Pol und nennen Sie ihn den Polarradius. Der Winkel, um den Sie die Polarachse drehen müssen, damit sie zusammenfällt, wird als Polarwinkel bezeichnet.

Definition 3.

Die Polarkoordinaten eines Punktes werden als Polarradius und Polarwinkel bezeichnet:

Bemerkung 2. an der Stange. Der Wert für andere Punkte als einen Punkt wird bis zu einem Summanden bestimmt.

Betrachten Sie ein kartesisches rechtwinkliges Koordinatensystem: Der Pol fällt mit dem Ursprung zusammen und die Polarachse fällt mit der positiven Halbachse zusammen. Hier. Dann:

Welche Beziehung besteht zwischen rechteckigen kartesischen und polaren Koordinatensystemen?

Bernoulli-Lemniskatengleichung. Schreiben Sie es im Polarkoordinatensystem.

Normalgleichung einer Geraden auf einer Ebene. Lassen Sie die Polarachse zusammenfallen mit - der Achse, die durch den Ursprung geht. Lassen:

Lass dann:

Bedingung (**) für einen Punkt:

Gleichung einer Geraden in einem Polarkoordinatensystem.

Hier wird die Länge vom Ursprung zu einer Geraden gezogen, ist der Neigungswinkel der Normalen zur Achse.

Gleichung (7) kann umgeschrieben werden:

Normalgleichung einer Geraden auf einer Ebene.

Gegeben sei ein affines Koordinatensystem OXY.

Satz 2.1. Irgendeine Gerade l Koordinatensystem ОX ist gegeben durch eine lineare Gleichung der Form

EIN x+ B ja+ C = 0, (1)

wobei А, В, С R und А 2 + В 2 0 sind. Umgekehrt definiert jede Gleichung der Form (1) eine Gerade.

Gleichung der Form (1) - allgemeine Geradengleichung .

In Gleichung (1) seien alle Koeffizienten A, B und C von Null verschieden. Dann

Ax-By = -C, und.

Wir bezeichnen -C / A = a, -C / B = b. Wir bekommen

-Liniensegmentgleichung .

Tatsächlich sind die Zahlen |a | und |b | geben die Werte der von der geraden Linie abgeschnittenen Segmente an l auf den Achsen OX bzw. OY.

Lass es gerade sein l ist durch die allgemeine Gleichung (1) in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben und die Punkte M 1 (x 1, y 1) und M 2 (x 2, y 2) gehören zu l... Dann

EIN x 1 + B bei 1 + C = A NS 2 + B bei 2 + C, d. h. A ( x 1 -x 2) + B( bei 1 -bei 2) = 0.

Die letzte Gleichheit bedeutet, dass der Vektor = (A, B) orthogonal zum Vektor = (x 1 -x 2, y 1 -y 2) ist. jene. Der Vektor (A, B) heißt Normalenvektor der Geraden l.

Betrachten Sie einen Vektor = (- B, A). Dann

A (-B) + BA = 0. jene. ^.

Daher ist der Vektor = (- B, A) der Richtungsvektor des würzigen l.

Parametrische und kanonische Gleichungen einer Geraden

Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht

Gegeben sei eine Gerade im affinen Koordinatensystem (0, X, Y) l, sein Richtungsvektor = (m, n) und Punkt M 0 ( x 0 ,ja 0) im Besitz l... Dann für einen beliebigen Punkt M ( x,bei) dieser Zeile haben wir

und so wie .

Wenn wir bezeichnen und

Die Radiusvektoren der Punkte M bzw. M 0 sind dann

- Gleichung einer Geraden in Vektorform.

Da = ( NS,bei), =(NS 0 ,bei 0), dann

x= x 0 + mt,

ja= ja 0 + nicht

- parametrische Gleichung einer Geraden .

Daraus folgt, dass

- kanonische Geradengleichung .

Schließlich, wenn auf einer geraden Linie l zwei Punkte M 1 ( NS 1 ,bei 1) und

M2 ( x 2 ,bei 2), dann Vektor = ( NS 2 -NS 1 ,ja 2 -bei 1) ist Führung Vektor gerade Linie l... Dann

- Gleichung einer Geraden, die durch zwei gegebene Punkte geht.

Die relative Position zweier Geraden.

Lass die geraden Linien l 1 und l 2 sind durch ihre allgemeinen Gleichungen gegeben

l 1: Ein 1 NS+ B 1 bei+ 1 = 0, (1)

l 2: Ein 2 NS+ B2 bei+ C2 = 0.

Satz... Lass die geraden Linien l 1 und l 2 sind durch die Gleichungen (1) gegeben. Dann und nur dann:

1) Geraden schneiden sich, wenn es keine Zahl λ gibt, so dass

A 1 = A 2, B 1 = B 2;

2) die Geraden fallen zusammen, wenn es eine Zahl λ gibt, so dass

1 = A 2, B 1 = B 2, 1 = λС 2;

3) die Geraden sind verschieden und parallel, wenn es eine Zahl λ gibt, so dass

1 = λA 2, В 1 = λВ 2, С 1 λС 2.

Bündel gerader Linien

Ein Haufen gerader Linien heißt die Menge aller Geraden in der Ebene, die durch einen Punkt gehen, genannt Center Strahl.

Um die Balkengleichung aufzustellen, genügt es, zwei beliebige Geraden zu kennen l 1 und l 2 durch die Mitte des Strahls.

Lassen Sie im affinen Koordinatensystem die Linien l 1 und l 2 sind gegeben durch die Gleichungen

l 1: Ein 1 x+ B 1 ja+ C1 = 0,

l 2: Ein 2 x+ B2 ja+ C2 = 0.

Die gleichung:

A 1 x+ B 1 ja+ C + λ (A 2 NS+ B2 ja+ C) = 0

- die Gleichung des Geradenbüschels, definiert durch die Gleichungen l 1 und l 2.

Unter einem Koordinatensystem verstehen wir im Folgenden ein rechtwinkliges Koordinatensystem .

Bedingungen für Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Geraden

Lass die geraden Linien l 1 und l 2. ihre allgemeinen Gleichungen; = (A 1, B 1), = (A 2, B 2) - Normalenvektoren dieser Linien; k 1 = tgα 1, k 2 = tgα 2 - Steigungen; = ( m 1 ,n 1), (m 2 ,n 2) - Richtungsvektoren. Dann direkt l 1 und l 2 sind genau dann parallel, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

oder auch k 1 =k 2 bzw.

Lass die geraden Linien jetzt l 1 und l 2 sind senkrecht. Dann ist offensichtlich A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0.

Wenn gerade l 1 und l 2 sind gegeben durch die Gleichungen

l 1: bei=k 1 x+ B 1 ,

l 2: bei=k 2 x+ B 2 ,

dann tgα 2 = tg (90º + α) = .

Daraus folgt, dass

Schließlich, wenn und die Richtungsvektoren von Geraden, dann ^, d. h.

m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0

Die letzteren Beziehungen drücken die notwendige und hinreichende Bedingung für die Rechtwinkligkeit zweier Ebenen aus.

Winkel zwischen zwei Geraden

In einem Winkel φ zwischen zwei Geraden l 1 und l 2 werden wir den kleinsten Winkel verstehen, um den eine Gerade gedreht werden muss, damit sie parallel zu einer anderen Geraden wird oder mit dieser zusammenfällt, also 0 £ φ £

Die Geraden seien durch allgemeine Gleichungen gegeben. Es ist klar, dass

cosφ =

Lass die geraden Linien jetzt l 1 und l 2 ist gegeben durch Gleichungen mit Steigungskoeffizienten k 1 in k 2 bzw. Dann

Es ist offensichtlich, dass ( NS-NS 0) + B ( bei-bei 0) + C ( z-z 0) = 0

Erweitern wir die Klammern und bezeichnen wir D = -A x 0 - B bei 0 - C z 0. Wir bekommen

EIN x+ B ja+ C z+ D = 0 (*)

- allgemeine Gleichung der Ebene oder allgemeine Gleichung der Ebene.

Satz 3.1 Die lineare Gleichung (*) (A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0) ist die Gleichung der Ebene und umgekehrt ist jede Gleichung der Ebene linear.

1) D = 0, dann geht die Ebene durch den Ursprung.

2) A = 0, dann ist die Ebene parallel zur OX-Achse

3) A = 0, B = 0, dann ist die Ebene parallel zur OXY-Ebene.

Alle Koeffizienten in der Gleichung seien von Null verschieden.

- Ebenengleichung in Liniensegmenten... Die Zahlen | a |, | b |, | c | geben die Werte der Liniensegmente an, die von der Ebene auf den Koordinatenachsen abgeschnitten werden.

Und wir werden eine spezielle Form der Geradengleichung im Detail analysieren -. Beginnen wir mit der Form der Gleichung einer Geraden in Segmenten und geben ein Beispiel. Danach konzentrieren wir uns auf die Konstruktion einer Geraden, die durch die Gleichung einer Geraden in Segmenten gegeben ist. Abschließend zeigen wir, wie der Übergang von der vollständigen allgemeinen Geradengleichung zur Geradengleichung in Segmenten erfolgt.

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Geradengleichung in Liniensegmenten - Beschreibung und Beispiel.

Lassen Sie Oxy im Flugzeug fixieren.

Gleichung einer Geraden in Segmenten auf einer Ebene in einem rechtwinkligen Koordinatensystem hat Oxy die Form, wobei a und b einige reelle Zahlen ungleich Null sind.

Es ist kein Zufall, dass die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten einen solchen Namen erhielt - die Absolutwerte der Zahlen a und b entsprechen den Längen der Segmente, die von der geraden Linie auf den Koordinatenachsen abgeschnitten werden Ochse und Oy, gezählt vom Ursprung.

Lassen Sie uns diesen Punkt klären. Wir wissen, dass die Koordinaten eines jeden Punktes auf einer Geraden die Gleichung dieser Geraden erfüllen. Dann ist deutlich zu sehen, dass die durch die Geradengleichung in den Segmenten gegebene Gerade durch die Punkte geht und da und ... Und die Punkte und liegen nur auf den Koordinatenachsen Ox bzw. Oy und sind um a- und b-Einheiten vom Ursprung entfernt. Die Zeichen für die Zahlen a und b geben die Richtung an, in der die Liniensegmente verlegt werden sollen. Das „+“-Zeichen bedeutet, dass das Segment in positiver Richtung der Koordinatenachse angeordnet ist, das „-“-Zeichen bedeutet das Gegenteil.

Lassen Sie uns eine schematische Zeichnung zeichnen, die alle oben genannten Punkte erklärt. Es zeigt die Lage von Geraden relativ zu einem festen rechteckigen Koordinatensystem Oxy, abhängig von den Werten der Zahlen a und b in der Gleichung einer Geraden in Segmenten.

Nun wurde klar, dass die Gleichung einer Geraden in Segmenten es einfach macht, diese Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy zu konstruieren. Um eine Gerade zu bauen, die durch die Geradengleichung in Segmenten der Ansicht gegeben ist, sollten Sie Punkte in einem rechtwinkligen Koordinatensystem auf der Ebene markieren und diese dann mit einem Lineal mit einer Geraden verbinden.

Geben wir ein Beispiel.

Beispiel.

Zeichnen Sie eine gerade Linie, die durch die Gleichung einer geraden Linie in Ansichtssegmenten angegeben wird.

Lösung.

Aus der gegebenen Geradengleichung in den Segmenten geht hervor, dass die Gerade durch die Punkte geht ... Wir markieren sie und verbinden sie mit einer geraden Linie.

Reduktion der allgemeinen Geradengleichung auf die Geradengleichung in Segmenten.

Bei der Lösung einiger Probleme im Zusammenhang mit einer Geraden in einer Ebene ist es praktisch, mit der Gleichung einer Geraden in Segmenten zu arbeiten. Es gibt jedoch andere Arten von Gleichungen, die eine gerade Linie auf einer Ebene definieren. Daher ist es erforderlich, den Übergang von einer gegebenen Gleichung einer Geraden zu einer Gleichung dieser Geraden in Segmenten durchzuführen.

In diesem Unterabschnitt zeigen wir, wie man die Gleichung einer Geraden in Segmenten erhält, wenn eine vollständige allgemeine Geradengleichung gegeben ist.

Lassen Sie uns die vollständige allgemeine Gleichung einer Geraden in der Ebene kennen ... Da A, B und C ungleich Null sind, können Sie die Zahl C auf die rechte Seite der Gleichheit übertragen, beide Seiten der resultierenden Gleichheit durch –C teilen und die Koeffizienten für x und y an die Nenner senden:
.

(In der letzten Transition haben wir die Gleichheit ).

Wir sind also aus der allgemeinen Gleichung der Geraden an die Gleichung einer Geraden in Segmenten übergeben, wobei .

Beispiel.

Eine Gerade in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Oxy ist gegeben durch die Gleichung ... Schreiben Sie die Gleichung dieser Geraden in Geradensegmente.

Lösung.

Übertragen wir eine Sekunde auf die rechte Seite der gegebenen Gleichheit: ... Nun teilen wir die resultierende Gleichheit in beide Teile auf: ... Es bleibt die resultierende Gleichheit in die gewünschte Form zu transformieren: ... Wir haben also die erforderliche Gleichung einer Geraden in Segmenten erhalten.

Antworten:

Wenn die Gerade bestimmt ist

Ist in der allgemeinen Geradengleichung Ax + Vy + C = 0 C ¹ 0, dann erhalten wir durch Division durch –C: oder

Die geometrische Bedeutung der Koeffizienten ist, dass der Koeffizient ein die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Ox-Achse ist und B- die Koordinate des Schnittpunkts der Geraden mit der Oy-Achse.

Beispiel. Gegeben ist die allgemeine Gleichung der Geraden x - y + 1 = 0. Finden Sie die Gleichung dieser Geraden in Segmenten.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normalgleichung einer Geraden.

Wenn beide Seiten der Gleichung Ax + Vy + C = 0 durch eine Zahl namens geteilt werden Normalisierungsfaktor, dann bekommen wir

Xcosj + ysinj - p = 0 -

Normalgleichung einer Geraden.

Das ± Vorzeichen des Normierungsfaktors sollte so gewählt werden, dass m × С< 0.

p ist die Länge der Senkrechten, die vom Ursprung zur Geraden fallen gelassen, und j ist der Winkel, den diese Senkrechte mit der positiven Richtung der Ox-Achse bildet.

Beispiel. Gegeben ist eine allgemeine Gleichung der Geraden 12x - 5y - 65 = 0. Es ist erforderlich, verschiedene Arten von Gleichungen dieser Geraden zu schreiben.

die Gleichung dieser Geraden in Segmenten:

Gleichung dieser Geraden mit Steigung: (durch 5 dividieren)

normale Geradengleichung:

; cosj = 12/13; sinj = –5/13; p = 5.

Es ist zu beachten, dass nicht jede Gerade durch eine Gleichung in Segmenten dargestellt werden kann, zum Beispiel Geraden parallel zu den Achsen oder durch den Ursprung.

Beispiel. Die Gerade schneidet gleiche positive Segmente auf den Koordinatenachsen ab. Stellen Sie eine Geradengleichung auf, wenn die Fläche des von diesen Segmenten gebildeten Dreiecks 8 cm 2 beträgt.

Die Geradengleichung hat die Form:, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 stimmt nicht mit der Problemstellung überein.

Summe: oder x + y - 4 = 0.

Beispiel. Stellen Sie die Gleichung der Geraden auf, die durch den Punkt A (-2, -3) und den Ursprung geht.

Die Geradengleichung hat die Form: wobei x 1 = y 1 = 0; x2 = -2; y2 = -3.

Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt geht

Senkrecht zur angegebenen Linie.

Definition. Die Gerade durch den Punkt M 1 (x 1, y 1) und senkrecht zur Geraden y = kx + b wird durch die Gleichung dargestellt:

Der Winkel zwischen geraden Linien in der Ebene.

Definition. Sind zwei Geraden y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 gegeben, so wird der spitze Winkel zwischen diesen Geraden definiert als

Zwei Geraden sind parallel, wenn k 1 = k 2.

Zwei Geraden stehen senkrecht, wenn k 1 = -1 / k 2.

Satz. Geraden Ax + Vy + C = 0 und A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sind parallel, wenn die Proportionalitätskoeffizienten A 1 = lA, B 1 = lB sind. Ist auch С 1 = lС, dann fallen die Linien zusammen.

Als Lösung des Gleichungssystems dieser Geraden werden die Koordinaten des Schnittpunktes zweier Geraden gefunden.

Abstand von Punkt zu Linie.

Satz. Ist ein Punkt M (x 0, y 0) gegeben, so bestimmt sich der Abstand zur Geraden Ax + Vy + C = 0 als

Nachweisen. Punkt M 1 (x 1, y 1) sei die Basis der Senkrechten, die von Punkt M auf eine gegebene Gerade fallen gelassen werden. Dann ist der Abstand zwischen den Punkten M und M 1:

Die Koordinaten x 1 und y 1 können als Lösung des Gleichungssystems gefunden werden:

Die zweite Gleichung des Systems ist die Gleichung einer Geraden, die durch einen gegebenen Punkt M 0 senkrecht zu einer gegebenen Geraden verläuft.

Wenn wir die erste Gleichung des Systems in die Form transformieren:

A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

dann erhalten wir beim Lösen:

Wenn wir diese Ausdrücke in Gleichung (1) einsetzen, finden wir:

Der Satz ist bewiesen.

Beispiel . Bestimmen Sie den Winkel zwischen den Geraden: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 = -3; k 2 = 2 tgj =; j = p / 4.

Beispiel. Zeigen Sie, dass die Geraden 3x - 5y + 7 = 0 und 10x + 6y - 3 = 0 senkrecht sind.

Wir finden: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, also stehen die Geraden senkrecht.

Beispiel. Die Eckpunkte des Dreiecks A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) sind angegeben. Finden Sie die Gleichung für die Höhe vom Scheitelpunkt C.

Wir finden die Seitengleichung AB:; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Die erforderliche Höhengleichung lautet: Ax + By + C = 0 oder y = kx + b.

k =. Dann y =. Weil Höhe geht durch Punkt C, dann erfüllen seine Koordinaten diese Gleichung: woraus b = 17. Gesamt:.

Antwort: 3x + 2y - 34 = 0.

Kurven zweiter Ordnung.

Eine Kurve zweiter Ordnung kann durch die Gleichung

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0.

Es gibt ein Koordinatensystem (nicht unbedingt rechtwinklig kartesisch), in dem diese Gleichung in einer der folgenden Formen dargestellt werden kann.

1) - die Ellipsengleichung.

2) - die Gleichung der "imaginären" Ellipse.

3) - die Gleichung der Hyperbel.

4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – die Gleichung zweier sich schneidender Geraden.

5) y 2 = 2px - Parabelgleichung.

6) y 2 - a 2 = 0 ist die Gleichung zweier paralleler Geraden.

7) y 2 + a 2 = 0 ist die Gleichung zweier „imaginärer“ paralleler Geraden.

8) y 2 = 0 ist ein Paar zusammenfallender Geraden.

9) (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 ist die Kreisgleichung.

Kreis.

Im Kreis (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 hat der Mittelpunkt die Koordinaten (a; b).

Beispiel. Finden Sie die Koordinaten des Mittelpunkts und den Radius des Kreises, wenn seine Gleichung in der Form angegeben ist:

2x 2 + 2y 2 - 8x + 5y - 4 = 0.

Um die Koordinaten des Mittelpunkts und des Radius des Kreises zu finden, muss diese Gleichung auf die oben in Abschnitt 9 angegebene Form reduziert werden. Wählen Sie dazu die kompletten Quadrate aus:

x 2 + y 2 - 4x + 2,5y - 2 = 0

x 2 - 4x + 4 –4 + y 2 + 2,5y + 25/16 - 25/16 - 2 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 - 25/16 - 6 = 0

(x - 2) 2 + (y + 5/4) 2 = 121/16

Von hier aus finden wir O (2; -5/4); R = 11/4.

Ellipse.

Definition. Ellipse nennt man die durch die Gleichung gegebene Kurve.

Definition. Schwerpunkte solche zwei Punkte werden genannt, die Summe der Entfernungen, von denen zu jedem Punkt der Ellipse eine Konstante ist.

F 1, F 2 - fokussiert. F 1 = (c; 0); F 2 (-c; 0)

c - halber Abstand zwischen den Brennpunkten;

a - Haupthalbachse;

b - kleine Halbachse.

Satz. Die Brennweite und Halbachsen der Ellipse hängen durch das Verhältnis zusammen:

a2 = b2 + c2.

Nachweisen: Wenn Punkt M im Schnittpunkt der Ellipse mit der vertikalen Achse liegt, r1 + r2= 2 (nach dem Satz des Pythagoras). Wenn Punkt M im Schnittpunkt der Ellipse mit der horizontalen Achse liegt, r 1 + r 2 = a - c + a + c. Weil per Definition die Menge r1 + r2 Ist ein konstanter Wert, dann erhalten wir gleichgesetzt:

a2 = b2 + c2

r1 + r2 = 2a.

Definition. Die Form einer Ellipse wird durch eine Kennlinie bestimmt, die das Verhältnis der Brennweite zur Hauptachse ist und als bezeichnet wird Exzentrizität.

Weil mit< a, то е < 1.

Definition. Die Größe k = b / a heißt Kompressionsrate Ellipse, und die Größe 1 - k = (a - b) / a heißt quetschen Ellipse.

Das Verdichtungsverhältnis und die Exzentrizität hängen mit dem Verhältnis zusammen: k 2 = 1 - e 2.

Ist a = b (c = 0, e = 0, Brennpunkte verschmelzen), dann verwandelt sich die Ellipse in einen Kreis.

Wenn für einen Punkt M (x 1, y 1) die Bedingung erfüllt ist:, dann liegt er innerhalb der Ellipse, und wenn, dann liegt der Punkt außerhalb der Ellipse.

Satz. Für einen beliebigen Punkt M (x, y), der zu einer Ellipse gehört, gelten folgende Beziehungen::

R 1 = a - ex, r 2 = a + ex.

Nachweisen. Oben wurde gezeigt, dass r 1 + r 2 = 2a ist. Außerdem können Sie aus geometrischen Gründen schreiben:

Nach dem Quadrieren und Reduzieren ähnlicher Terme:

Auf ähnliche Weise lässt sich beweisen, dass r 2 = a + ex. Der Satz ist bewiesen.

Mit der Ellipse sind zwei Geraden verbunden, genannt Regisseure... Ihre Gleichungen sind:

X = a/e; x = -a / e.

Satz. Damit ein Punkt auf einer Ellipse liegt, ist es notwendig und ausreichend, dass das Verhältnis der Entfernung zum Fokus zur Entfernung zur entsprechenden Leitlinie gleich der Exzentrizität e ist.

Beispiel. Gleichen Sie die Gerade aus, die durch den linken Fokus und den unteren Scheitelpunkt der Ellipse verläuft, die durch die Gleichung gegeben ist:

1) Koordinaten des unteren Scheitelpunkts: x = 0; y2 = 16; y = -4.

2) Koordinaten des linken Fokus: c 2 = a 2 - b 2 = 25 - 16 = 9; c = 3; F2 (-3; 0).

3) Gleichung einer Geraden, die durch zwei Punkte verläuft:

Beispiel. Stellen Sie die Gleichung einer Ellipse auf, wenn ihre Brennpunkte F 1 (0; 0) sind, F 2 (1; 1), die Hauptachse ist 2.

Die Ellipsengleichung hat die Form:. Entfernung zwischen den Fokussen:

2c =, also a 2 - b 2 = c 2 = ½

nach Bedingung 2a = 2, also a = 1, b =

Hyperbel.

Definition. Hyperbel heißt die Menge der Punkte der Ebene, für die der Modul der Differenz zwischen den Abständen von zwei gegebenen Punkten, genannt Tricks es gibt einen konstanten Wert, der kleiner ist als der Abstand zwischen den Brennpunkten.

Per Definition r 1 - r 2 ï = 2a. F 1, F 2 - Hyperbelherde. F1 F2 = 2c.

Wählen wir einen beliebigen Punkt M (x, y) auf der Hyperbel. Dann:

bezeichnen c 2 - a 2 = b 2 (geometrisch ist dieser Wert die kleine Halbachse)

Erhielt die kanonische Hyperbelgleichung.

Die Hyperbel ist symmetrisch um den Mittelpunkt des die Brennpunkte verbindenden Segments und um die Koordinatenachsen.

Achse 2a wird die reelle Achse der Hyperbel genannt.

Achse 2b wird als imaginäre Achse der Hyperbel bezeichnet.

Die Hyperbel hat zwei Asymptoten, deren Gleichungen sind

Definition. Die Beziehung heißt Exzentrizität Hyperbeln, wobei c der halbe Abstand zwischen den Brennpunkten und die reelle Halbachse ist.

Wenn man bedenkt, dass c 2 - a 2 = b 2:

Ist a = b, e =, dann heißt die Hyperbel gleichschenklig (gleichseitig).

Definition. Zwei Geraden, die senkrecht zur reellen Achse der Hyperbel stehen und symmetrisch um den Mittelpunkt im Abstand a / e davon liegen, heißen Regisseure Hyperbel. Ihre Gleichungen sind:.

Satz. Wenn r der Abstand von einem beliebigen Punkt M der Hyperbel zu einem beliebigen Brennpunkt ist, d der Abstand von demselben Punkt zu der diesem Brennpunkt entsprechenden Leitlinie ist, dann ist das Verhältnis r / d ein konstanter Wert gleich der Exzentrizität.

Nachweisen. Lassen Sie uns eine Hyperbel skizzieren.

Aus den offensichtlichen geometrischen Beziehungen können Sie schreiben:

a / e + d = x, daher d = x - a / e.

(x - c) 2 + y 2 = r 2

Aus der kanonischen Gleichung: unter Berücksichtigung von b 2 = c 2 - a 2:

Dann seit c / a = e, dann r = ex - a.

Für den linken Zweig der Hyperbel ist der Beweis ähnlich. Der Satz ist bewiesen.

Beispiel. Finden Sie die Gleichung einer Hyperbel, deren Eckpunkte und Brennpunkte an den entsprechenden Eckpunkten und Brennpunkten der Ellipse liegen.

Für eine Ellipse: c 2 = a 2 - b 2.

Für Hyperbel: c 2 = a 2 + b 2.

Hyperbelgleichung:.

Beispiel. Schreiben Sie die Gleichung der Hyperbel, wenn ihre Exzentrizität 2 ist und die Brennpunkte mit den Brennpunkten der Ellipse mit der Gleichung des Parabelparameters übereinstimmen. Lassen Sie uns die kanonische Gleichung der Parabel herleiten.

Aus geometrischen Beziehungen: AM = MF; AM = x + p/2;

MF 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

(x + p / 2) 2 = y 2 + (x - p / 2) 2

x 2 + xp + p 2/4 = y 2 + x 2 - xp + p 2/4

Directrix-Gleichung: x = -p / 2.

Beispiel . Finden Sie auf der Parabel y 2 = 8x einen Punkt, dessen Abstand von der Leitlinie 4 beträgt.

Aus der Parabelgleichung finden wir p = 4.

r = x + p/2 = 4; somit:

x = 2; y2 = 16; y = ± 4. Suchpunkte: M 1 (2; 4), M 2 (2; -4).

Beispiel. Die Kurvengleichung im Polarkoordinatensystem lautet:

Finden Sie die Gleichung einer Kurve in einem kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem, bestimmen Sie den Kurventyp, finden Sie Brennpunkte und Exzentrizität. Erstellen Sie schematisch eine Kurve.

Verwenden wir die Verbindung zwischen den kartesischen Rechteck- und Polarkoordinatensystemen:;

Erhielt die kanonische Hyperbelgleichung. Aus der Gleichung ist ersichtlich, dass die Hyperbel entlang der Ox-Achse um 5 nach links verschoben ist, die große Halbachse a ist gleich 4, die kleine Halbachse b ist gleich 3, woraus wir c 2 = a 2 + b . erhalten 2; c = 5; e = c / a = 5/4.

Fokussiert F 1 (-10; 0), F 2 (0; 0).

Zeichnen wir diese Hyperbel.

Gleichung einer Geraden auf einer Ebene.
Der Richtungsvektor ist eine Gerade. Normalvektor

Eine Gerade auf einer Ebene ist eine der einfachsten geometrischen Formen, die Sie seit der Grundschule kennen, und heute lernen wir, mit den Methoden der analytischen Geometrie damit umzugehen. Um das Material zu beherrschen, müssen Sie in der Lage sein, eine gerade Linie zu bauen; wissen, mit welcher Gleichung eine Gerade definiert wird, insbesondere eine Gerade durch den Ursprung und Geraden parallel zu den Koordinatenachsen. Diese Informationen finden Sie im Handbuch Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen, ich habe es für matan erstellt, aber der Abschnitt über die lineare Funktion erwies sich als sehr erfolgreich und detailliert. Deshalb, liebe Teekannen, wärmt euch erstmal dort auf. Darüber hinaus benötigen Sie Grundkenntnisse in Vektoren, sonst ist das Verständnis des Materials unvollständig.

In dieser Lektion werden wir uns Möglichkeiten ansehen, wie Sie die Gleichung einer geraden Linie in eine Ebene schreiben können. Ich empfehle, praktische Beispiele nicht zu vernachlässigen (auch wenn es sehr einfach erscheint), da ich sie mit elementaren und wichtigen Fakten versorgen werde, Techniken, die in Zukunft auch in anderen Bereichen der höheren Mathematik benötigt werden.

• Wie schreibt man die Gleichung einer Geraden mit einer Steigung?
• Wie ?
• Wie finde ich den Richtungsvektor durch die allgemeine Gleichung einer Geraden?
• Wie erstelle ich die Gleichung einer geraden Linie aus einem Punkt und einem Normalenvektor?

und wir starten:

Gleichung einer Geraden mit einer Steigung

Die bekannte "Schulform" der Geradengleichung heißt Gleichung einer Geraden mit Steigung... Wenn beispielsweise eine Gerade durch eine Gleichung gegeben ist, dann ist ihre Steigung:. Betrachten Sie die geometrische Bedeutung dieses Koeffizienten und wie sich sein Wert auf die Position der geraden Linie auswirkt:

Das beweist der Geometriekurs die Steigung der Geraden ist Tangente eines Winkels zwischen der positiven Richtung der Achseund diese Zeile:, und der Winkel wird gegen den Uhrzeigersinn "abgeschraubt".

Um die Zeichnung nicht zu überladen, habe ich nur zwei Linien Ecken gezeichnet. Betrachten Sie die "rote" Linie und ihre Steigung. Wie oben: (Winkel "Alpha" wird durch einen grünen Bogen angezeigt). Für die "blaue" Linie mit der Steigung gilt Gleichheit (der "Beta"-Winkel wird durch den braunen Bogen angezeigt). Und wenn der Tangens des Winkels bekannt ist, ist er gegebenenfalls leicht zu finden und die ecke selbst unter Verwendung der Umkehrfunktion - Arkustangens. Wie sie sagen, eine trigonometrische Tabelle oder ein Mikrorechner in der Hand. Auf diese Weise, die Steigung charakterisiert den Neigungsgrad der Geraden zur Abszissenachse.

In diesem Fall sind folgende Fälle möglich:

1) Wenn die Steigung negativ ist:, dann verläuft die Linie grob gesagt von oben nach unten. Beispiele sind "blaue" und "karmesinrote" Geraden in der Zeichnung.

2) Wenn die Steigung positiv ist: dann verläuft die Linie von unten nach oben. Beispiele sind "schwarze" und "rote" Linien in der Zeichnung.

3) Wenn die Steigung Null ist: dann nimmt die Gleichung die Form an und die entsprechende Gerade verläuft parallel zur Achse. Ein Beispiel ist eine "gelbe" Gerade.

4) Für eine Schar von Geraden parallel zur Achse (in der Zeichnung gibt es kein Beispiel außer der Achse selbst), die Steigung existiert nicht (Tangente 90 Grad nicht definiert).

Je größer die Steigung des Moduls, desto steiler der Verlauf der Geraden.

Betrachten Sie beispielsweise zwei Zeilen. Hier hat die Linie daher eine steilere Steigung. Lassen Sie mich daran erinnern, dass Sie mit dem Modul das Zeichen ignorieren können. Wir sind nur daran interessiert absolute Werte Steigungskoeffizienten.

Eine Gerade ist wiederum steiler als eine Gerade. .

Umgekehrt: Je kleiner die Steigung im Modul, desto flacher die Gerade.

Für direkte die Ungleichung ist wahr, die Gerade ist also flacher. Kinderrutsche, um sich keine Prellungen und Beulen zu verpassen.

Warum wird das benötigt?

Verlängern Sie Ihre Qual Die Kenntnis der oben genannten Fakten ermöglicht es Ihnen, sofort Ihre Fehler zu sehen, insbesondere Fehler in der grafischen Darstellung - wenn sich herausstellt, dass die Zeichnung "eindeutig nicht stimmt". Es ist ratsam, dass Sie sofort Es war klar, dass zum Beispiel eine Gerade sehr steil ist und von unten nach oben verläuft und eine Gerade sehr flach, nahe der Achse und von oben nach unten verläuft.

Bei geometrischen Problemen treten oft mehrere gerade Linien auf, daher ist es praktisch, sie irgendwie zu bezeichnen.

Bezeichnungen: gerade Linien werden durch kleine lateinische Buchstaben gekennzeichnet:. Eine beliebte Option ist die Bezeichnung durch denselben Buchstaben mit natürlichen Indizes. Zum Beispiel können die fünf geraden Geraden, die wir gerade betrachtet haben, bezeichnet werden mit .

Da jede Gerade durch zwei Punkte eindeutig bestimmt ist, kann sie mit diesen Punkten bezeichnet werden: usw. Die Notation impliziert eindeutig, dass die Punkte zu einer Geraden gehören.

Zeit zum Aufwärmen:

Wie schreibt man die Gleichung einer Geraden mit einer Steigung?

Wenn ein zu einer bestimmten Geraden gehörender Punkt und die Steigung dieser Geraden bekannt sind, dann wird die Gleichung dieser Geraden durch die Formel ausgedrückt:

Beispiel 1

Setzen Sie eine Gerade mit einer Steigung gleich, wenn bekannt ist, dass der Punkt zu dieser Geraden gehört.

Lösung: Die Geradengleichung ergibt sich aus der Formel ... In diesem Fall:

Antworten:

Untersuchung wird elementar durchgeführt. Zuerst schauen wir uns die resultierende Gleichung an und stellen sicher, dass unsere Steigung richtig ist. Zweitens müssen die Koordinaten des Punktes diese Gleichung erfüllen. Setzen wir sie in die Gleichung ein:

Die korrekte Gleichheit wird erhalten, was bedeutet, dass der Punkt die resultierende Gleichung erfüllt.

Ausgabe: Gleichung ist richtig.

Ein kniffligeres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 2

Stellen Sie die Gleichung einer Geraden auf, wenn bekannt ist, dass deren Neigungswinkel zur positiven Richtung der Achse liegt und der Punkt zu dieser Geraden gehört.

Wenn Sie Schwierigkeiten haben, lesen Sie das theoretische Material erneut. Genauer gesagt, praktischer vermisse ich viele der Beweise.

Die letzte Glocke läutete, die Abschlussfeier verstummte, und hinter den Toren unserer Heimatschule erwartet uns tatsächlich die analytische Geometrie. Die Witze sind vorbei…. Oder vielleicht fangen sie gerade erst an =)

Wir schwenken nostalgisch einen Stift zum Vertrauten und machen uns mit der allgemeinen Gleichung einer Geraden vertraut. Da dies in der analytischen Geometrie verwendet wird:

Die allgemeine Geradengleichung hat die Form:, wo sind einige Zahlen. Außerdem sind die Koeffizienten gleichzeitig ungleich Null sind, da die Gleichung ihre Bedeutung verliert.

Lassen Sie uns die Steigungsgleichung in Anzug und Krawatte kleiden. Verschieben wir zunächst alle Begriffe auf die linke Seite:

Der Begriff mit "x" muss an erster Stelle stehen:

Im Prinzip hat die Gleichung bereits die Form, aber nach den Regeln der mathematischen Etikette muss der Koeffizient des ersten Termes (in diesem Fall) positiv sein. Wechsel der Schilder:

Denken Sie an dieses technische Feature! Wir machen den ersten Koeffizienten (meistens) positiv!

In der analytischen Geometrie wird die Gleichung einer Geraden fast immer in allgemeiner Form angegeben. Nun, bei Bedarf kann man es leicht in die "Schule"-Ansicht mit der Neigung bringen (außer gerade Linien parallel zur Ordinatenachse).

Fragen wir uns was genug weißt du, wie man eine gerade Linie baut? Zwei Punkte. Aber mehr zu diesem Kindheitsfall später, bleibt jetzt bei der Pfeilregel. Jede Gerade hat eine gut definierte Steigung, an die sie sich leicht "anpassen" lässt Vektor.

Ein zu einer Geraden paralleler Vektor wird als Richtungsvektor dieser Geraden bezeichnet.... Offensichtlich hat jede gerade Linie unendlich viele Richtungsvektoren, und alle sind kollinear (gleichgerichtet oder nicht - es spielt keine Rolle).

Den Richtungsvektor bezeichne ich wie folgt:

Aber ein Vektor reicht nicht aus, um eine gerade Linie zu bauen, der Vektor ist frei und an keinen Punkt auf der Ebene gebunden. Daher ist es zusätzlich notwendig, einen Punkt zu kennen, der zur Geraden gehört.

Wie setzt man eine Gerade aus einem Punkt und einem Richtungsvektor gleich?

Ist ein Punkt einer Geraden bekannt und der Richtungsvektor dieser Geraden , dann lässt sich die Gleichung dieser Geraden nach der Formel:

Es heißt manchmal die kanonische Gleichung der Geraden .

Was tun, wenn eine der Koordinaten Null ist, werden wir unten praktische Beispiele sehen. Übrigens, beachten Sie - beides gleichzeitig Koordinaten können nicht gleich Null sein, da der Nullvektor keine bestimmte Richtung vorgibt.

Beispiel 3

Gleichen Sie eine Gerade von einem Punkt und einem Richtungsvektor aus

Lösung: Die Gleichung der Geraden wird durch die Formel erstellt. In diesem Fall:

Mit den Proportionseigenschaften entfernen wir Brüche:

Und wir bringen die Gleichung auf eine allgemeine Form:

Antworten:

Das Zeichnen in solchen Beispielen muss in der Regel nicht erfolgen, aber zum Verständnis:

In der Zeichnung sehen wir den Startpunkt, den ursprünglichen Richtungsvektor (er kann von jedem beliebigen Punkt auf der Ebene abgesetzt werden) und die konstruierte Linie. Übrigens ist es in vielen Fällen am bequemsten, eine Gerade mit einer Gleichung mit einer Steigung zu konstruieren. Es ist einfach, unsere Gleichung in die Form umzuwandeln und einfach einen weiteren Punkt auszuwählen, um eine gerade Linie zu bilden.

Wie am Anfang dieses Abschnitts erwähnt, hat eine Gerade unendlich viele Richtungsvektoren, die alle kollinear sind. Ich habe zum Beispiel drei solcher Vektoren gezeichnet: ... Welchen Richtungsvektor wir auch wählen, das Ergebnis ist immer die gleiche Geradengleichung.

Lassen Sie uns die Gleichung einer geraden Linie entlang eines Punkts und eines Richtungsvektors zusammenstellen:

Wir berechnen den Anteil:

Teilen Sie beide Seiten durch –2 und wir erhalten die bekannte Gleichung:

Interessierte können ebenfalls Vektoren testen oder jeder andere kollineare Vektor.

Lassen Sie uns nun das inverse Problem lösen:

Wie finde ich den Richtungsvektor durch die allgemeine Gleichung einer Geraden?

Sehr einfach:

Wenn eine Linie durch eine allgemeine Gleichung gegeben ist, dann ist der Vektor der Richtungsvektor dieser Linie.

Beispiele für das Finden von Richtungsvektoren von Geraden:

Die Behauptung erlaubt es uns, nur einen Richtungsvektor aus einer unendlichen Menge zu finden, aber wir brauchen nicht mehr. In einigen Fällen ist es jedoch ratsam, die Koordinaten der Richtungsvektoren zu reduzieren:

Die Gleichung definiert also eine zur Achse parallele Gerade und die Koordinaten des resultierenden Richtungsvektors werden zweckmäßigerweise durch –2 geteilt, wodurch man genau den Basisvektor als Richtungsvektor erhält. Es ist logisch.

In ähnlicher Weise gibt die Gleichung eine gerade Linie parallel zur Achse an, und wenn wir die Koordinaten des Vektors durch 5 teilen, erhalten wir die ort als Richtungsvektor.

Jetzt lass uns ausführen check Beispiel 3... Das Beispiel ist nach oben gegangen, also erinnere ich Sie daran, dass wir darin die Gleichung einer geraden Linie entlang eines Punkts und eines Richtungsvektors erstellt haben

Erstens, durch die Gleichung der Geraden stellen wir ihren Richtungsvektor wieder her: - alles in Ordnung, wir haben den Originalvektor erhalten (in einigen Fällen kann er kollinear zum Originalvektor sein, was normalerweise an der Proportionalität der entsprechenden Koordinaten leicht zu erkennen ist).

Zweitens, müssen die Koordinaten des Punktes die Gleichung erfüllen. Wir setzen sie in die Gleichung ein:

Die richtige Gleichberechtigung wurde erreicht, worüber wir uns sehr freuen.

Ausgabe: Die Aufgabe wurde korrekt abgeschlossen.

Beispiel 4

Gleichen Sie eine Gerade von einem Punkt und einem Richtungsvektor aus

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung. Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Es ist sehr ratsam, eine Überprüfung nach dem gerade betrachteten Algorithmus durchzuführen. Versuchen Sie immer (wenn möglich), einen Entwurf zu überprüfen. Es ist töricht, Fehler zu machen, die zu 100 % vermeidbar sind.

Für den Fall, dass eine der Koordinaten des Richtungsvektors Null ist, wirken sie sehr einfach:

Beispiel 5

Lösung: Die Formel funktioniert nicht, weil der Nenner der rechten Seite Null ist. Es gibt einen Ausgang! Mit den Proportionseigenschaften schreiben wir die Formel in die Form um, und der Rest rollt in einer tiefen Furche:

Antworten:

Untersuchung:

1) Rekonstruieren Sie den Richtungsvektor der Geraden:
- der resultierende Vektor ist kollinear mit dem ursprünglichen Richtungsvektor.

2) Setze die Koordinaten des Punktes in die Gleichung ein:

Die richtige Gleichheit wird erhalten

Ausgabe: Aufgabe richtig erledigt

Es stellt sich die Frage, warum sich mit der Formel beschäftigen, wenn es eine universelle Version gibt, die trotzdem funktioniert? Es gibt zwei Gründe. Zuerst die Bruchformel viel besser in Erinnerung... Und zweitens fehlt eine universelle Formel: die Verwechslungsgefahr steigt deutlich beim Ersetzen von Koordinaten.

Beispiel 6

Gleichen Sie eine Gerade entlang eines Punkts und eines Richtungsvektors aus.

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung.

Kehren wir zu den allgegenwärtigen zwei Punkten zurück:

Wie erstelle ich die Gleichung einer Geraden aus zwei Punkten?

Sind zwei Punkte bekannt, so lässt sich die Gleichung einer durch diese Punkte verlaufenden Geraden nach folgender Formel aufstellen:

Tatsächlich ist dies eine Art Formel und der Grund dafür: Wenn zwei Punkte bekannt sind, ist der Vektor der Richtungsvektor dieser Linie. Im Unterricht Vektoren für Dummies Wir haben das einfachste Problem betrachtet - wie man die Koordinaten eines Vektors durch zwei Punkte findet. Gemäß diesem Problem sind die Koordinaten des Richtungsvektors:

Notiz : Punkte können "getauscht" und eine Formel verwendet werden. Eine solche Lösung wäre äquivalent.

Beispiel 7

Gleiche eine Gerade aus zwei Punkten .

Lösung: Wir verwenden die Formel:

Wir kämmen die Nenner:

Und mische das Deck:

Es ist jetzt bequem, Bruchzahlen loszuwerden. In diesem Fall müssen Sie beide Teile mit 6 multiplizieren:

Wir öffnen die Klammern und erinnern uns an die Gleichung:

Antworten:

Untersuchung offensichtlich - die Koordinaten der ursprünglichen Punkte müssen der resultierenden Gleichung genügen:

1) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes:

Wahre Gleichberechtigung.

2) Ersetzen Sie die Koordinaten des Punktes:

Wahre Gleichberechtigung.

Ausgabe: Die Geradengleichung ist richtig.

Wenn mindestens ein der Punkte die Gleichung nicht erfüllt, suchen Sie nach dem Fehler.

Es ist erwähnenswert, dass die grafische Überprüfung in diesem Fall schwierig ist, da Sie eine gerade Linie erstellen und sehen können, ob die Punkte dazu gehören. , nicht so einfach.

Ich werde auch einige technische Aspekte der Lösung beachten. Vielleicht ist es bei dieser Aufgabe vorteilhafter, die Spiegelformel zu verwenden und an den gleichen Stellen mach eine gleichung:

Das sind kleinere Fraktionen. Wenn Sie möchten, können Sie die Lösung bis zum Ende verfolgen, und das Ergebnis sollte dieselbe Gleichung sein.

Der zweite Punkt ist, sich die endgültige Antwort anzusehen und herauszufinden, ob sie weiter vereinfacht werden kann. Wenn beispielsweise eine Gleichung erhalten wird, ist es ratsam, sie um zwei zu reduzieren: - Die Gleichung stellt dieselbe Gerade ein. Dies ist jedoch bereits ein Gesprächsthema relative Lage von Geraden.

Nachdem ich die Antwort erhalten habe in Beispiel 7 habe ich für alle Fälle überprüft, ob ALLE Koeffizienten der Gleichung durch 2, 3 oder 7 teilbar sind. Meistens werden solche Reduktionen jedoch sogar während der Lösung durchgeführt.

Beispiel 8

Gleiche eine Gerade durch Punkte .

Dies ist ein Beispiel für eine eigenständige Lösung, mit der Sie die Rechentechnik nur besser verstehen und erarbeiten können.

Ähnlich wie im vorherigen Absatz: wenn in der Formel einer der Nenner (die Koordinate des Richtungsvektors) verschwindet, dann schreiben wir ihn um als. Beachten Sie wieder, wie unbeholfen und verwirrend sie aussieht. Ich sehe wenig Sinn darin, praktische Beispiele zu geben, da wir ein solches Problem bereits tatsächlich gelöst haben (siehe Nr. 5, 6).

Liniennormalenvektor (Normalvektor)

Was ist normal? Einfach ausgedrückt ist eine Normale eine Senkrechte. Das heißt, der Normalenvektor einer Linie steht senkrecht auf dieser Linie. Offensichtlich hat jede gerade Linie unendlich viele davon (sowie Richtungsvektoren), und alle Normalenvektoren der geraden Linie sind kollinear (gleichgerichtet oder nicht - kein Unterschied).

Das Zerlegen mit ihnen wird noch einfacher sein als mit Richtungsvektoren:

Ist eine Gerade durch eine allgemeine Gleichung in einem rechtwinkligen Koordinatensystem gegeben, dann ist der Vektor der Normalenvektor dieser Gerade.

Müssen die Koordinaten des Richtungsvektors vorsichtig aus der Gleichung „herausgezogen“ werden, dann werden die Koordinaten des Normalenvektors einfach „entfernt“.

Der Normalenvektor ist immer orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Lassen Sie uns die Orthogonalität dieser Vektoren mit überprüfen Skalarprodukt:

Ich gebe Beispiele mit den gleichen Gleichungen wie für den Richtungsvektor:

Ist es möglich, die Gleichung einer Geraden zu bilden, wenn man einen Punkt und einen Normalenvektor kennt? Sie können es in Ihrem Bauch spüren. Ist der Normalenvektor bekannt, dann ist die Richtung der Geraden eindeutig bestimmt - es handelt sich um eine "starre Struktur" mit einem Winkel von 90 Grad.

Wie erstelle ich die Gleichung einer geraden Linie aus einem Punkt und einem Normalenvektor?

Wenn ein zu einer Geraden gehörender Punkt und der Normalenvektor dieser Geraden bekannt sind, dann wird die Gleichung dieser Geraden durch die Formel ausgedrückt:

Hier wurde alles ohne Brüche und andere Überraschungen gemacht. Dies ist unser Normalenvektor. Liebe ihn. Und Respekt =)

Beispiel 9

Gleichen Sie eine Gerade entlang eines Punkts mit einem Normalenvektor aus. Finden Sie den Richtungsvektor der Geraden.

Lösung: Wir verwenden die Formel:

Die allgemeine Gleichung der Geraden ergibt sich, prüfen wir:

1) "Entfernen" Sie die Koordinaten des Normalenvektors aus der Gleichung: - Ja, tatsächlich wurde der ursprüngliche Vektor aus der Bedingung erhalten (oder ein kollinearer Vektor sollte erhalten werden).

2) Prüfen Sie, ob der Punkt die Gleichung erfüllt:

Wahre Gleichberechtigung.

Nachdem wir uns vergewissert haben, dass die Gleichung richtig ist, führen wir den zweiten, einfacheren Teil der Aufgabe durch. Wir nehmen den Richtungsvektor der Geraden heraus:

Antworten:

In der Zeichnung sieht die Situation so aus:

Zu Schulungszwecken eine ähnliche Aufgabe für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 10

Gleichen Sie eine Gerade von einem Punkt und einem Normalenvektor aus. Finden Sie den Richtungsvektor der Geraden.

Der letzte Abschnitt der Lektion wird weniger gebräuchlichen, aber auch wichtigen Arten von Gleichungen einer Geraden in einer Ebene gewidmet sein.

Gleichung einer Geraden in Segmenten.
Gleichung einer Geraden in parametrischer Form

Die Gleichung einer geraden Linie in Segmenten hat die Form, wobei Konstanten ungleich Null sind. Einige Arten von Gleichungen können in dieser Form nicht dargestellt werden, zum Beispiel direkte Proportionalität (da der freie Term gleich Null ist und es keine Möglichkeit gibt, eins auf der rechten Seite zu erhalten).

Dies ist im übertragenen Sinne eine "technische" Art von Gleichung. Eine gewöhnliche Aufgabe besteht darin, die allgemeine Geradengleichung in Form einer Geradengleichung in Segmenten darzustellen. Wie ist es bequem? Die Gleichung einer Geraden in Segmenten ermöglicht es Ihnen, die Schnittpunkte einer Geraden mit Koordinatenachsen schnell zu finden, was bei einigen Problemen der höheren Mathematik sehr wichtig ist.

Finden Sie den Schnittpunkt der Linie mit der Achse. Wir setzen das "Spiel" auf Null und die Gleichung nimmt die Form an. Der gewünschte Punkt wird automatisch erreicht:.

Ähnlich mit der Achse - der Punkt, an dem die Gerade die Ordinatenachse schneidet.