Dieser Artikel hat die Informationen gesammelt und strukturiert, die notwendig sind, um fast jedes Beispiel zum Thema Zahlenreihen zu lösen, von der Ermittlung der Summe einer Reihe bis zur Untersuchung auf Konvergenz.

Rezension des Artikels.

Beginnen wir mit den Definitionen einer vorzeichenpositiven Reihe mit Vorzeichenwechsel und dem Konzept der Konvergenz. Als nächstes betrachten wir Standardreihen, wie eine harmonische Reihe, eine verallgemeinerte harmonische Reihe, erinnern uns an die Formel zum Finden der Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression. Danach wenden wir uns den Eigenschaften konvergierender Reihen zu, verweilen bei der notwendigen Bedingung für die Konvergenz der Reihe und ergründen die hinreichenden Kriterien für die Konvergenz der Reihe. Wir verdünnen die Theorie mit der Lösung typischer Beispiele mit ausführlichen Erklärungen.

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Grundlegende Definitionen und Konzepte.

Angenommen, wir haben eine Zahlenfolge, wobei .

Geben wir ein Beispiel für eine Zahlenfolge: .

Zahlenreihen Ist die Summe der Glieder einer Zahlenfolge der Form .

Als Beispiel für eine Zahlenreihe können wir die Summe einer unendlich fallenden geometrischen Folge mit dem Nenner q = -0.5 angeben: .

Werden genannt gemeinsames Mitglied der Zahlenreihe oder das k-te Mitglied der Reihe.

Für das vorherige Beispiel ist der gemeinsame Term der Zahlenreihe.

Teilsumme einer Zahlenreihe Ist eine Summe der Form, wobei n eine natürliche Zahl ist. auch n-te Teilsumme einer Zahlenreihe genannt.

Zum Beispiel die vierte Teilsumme der Reihe Es gibt .

Teilbeträge bilden eine unendliche Folge von Teilsummen einer Zahlenreihe.

Für unsere Reihe ergibt sich die n-te Teilsumme nach der Formel der Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge , das heißt, wir haben die folgende Folge von Teilsummen: .

Die Zahlenreihe heißt zusammenlaufend wenn es einen endlichen Grenzwert der Folge von Teilsummen gibt. Existiert der Grenzwert der Folge von Teilsummen einer Zahlenreihe nicht oder ist er unendlich, so heißt die Reihe abweichend.

Die Summe einer konvergierenden Zahlenreihe heißt der Grenzwert der Folge ihrer Teilsummen, d.h. .

In unserem Beispiel ist also die Reihe konvergiert, und seine Summe beträgt sechzehn Drittel: .

Ein Beispiel für eine divergierende Reihe ist die Summe einer geometrischen Progression mit einem Nenner größer als eins: ... Die n-te Teilsumme wird bestimmt durch den Ausdruck , und der Grenzwert der Teilsummen ist unendlich: .

Ein weiteres Beispiel für eine divergierende Zahlenreihe ist eine Summe der Form ... In diesem Fall kann die n-te Teilsumme als berechnet werden. Der Grenzwert der Partialsummen ist unendlich .

Summe der Form namens harmonische Zahlenreihe.

Summe der Form , wobei s eine reelle Zahl ist, heißt verallgemeinerte harmonische Zahlenreihen.

Die obigen Definitionen reichen aus, um die folgenden sehr häufig verwendeten Aussagen zu belegen, wir empfehlen Ihnen, sich diese zu merken.

DIE HARMONIC-SERIE SPENDET.

Wir beweisen die Divergenz der harmonischen Reihe.

Angenommen, die Reihe konvergiert. Dann gibt es einen endlichen Grenzwert seiner Teilsummen. In diesem Fall können wir und schreiben, was uns zur Gleichheit führt .

Andererseits,


Die folgenden Ungleichungen stehen außer Zweifel. Auf diese Weise, . Die resultierende Ungleichung zeigt uns, dass die Gleichheit nicht erreicht werden, was unserer Annahme über die Konvergenz der harmonischen Reihe widerspricht.

Fazit: Die harmonische Reihe divergiert.

DIE SUMME DER GEOMETRISCHEN FORTSCHRITTE DER ANSICHT MIT DEM NENNER q IST EINE KONVERGIERENDE ZAHLENREIHE, WENN UND TEILUNGSREIHE AT.

Lass es uns beweisen.

Wir wissen, dass die Summe der ersten n Terme einer geometrischen Folge durch die Formel .

Wenn es wahr ist


was die Konvergenz der Zahlenreihe angibt.

Für q = 1 haben wir eine Zahlenreihe ... Seine Partialsummen werden gefunden als, und der Grenzwert der Partialsummen ist unendlich , was in diesem Fall die Divergenz der Reihe anzeigt.

Wenn q = -1, dann hat die Zahlenreihe die Form ... Teilsummen nehmen Werte für ungerade n und gerade n an. Daraus können wir schließen, dass der Grenzwert der Teilsummen nicht existiert und die Reihe divergiert.

Wenn es wahr ist


was die Divergenz der Zahlenreihe angibt.

ALLGEMEIN, DIE HARMONISCHE REIHE KONVERGIERT FÜR s> 1 UND DIVERSIERT FÜR.

Nachweisen.

Für s = 1 erhalten wir eine harmonische Reihe, und oben haben wir ihre Divergenz festgestellt.

Bei s die Ungleichung gilt für alle natürlichen k. Wegen der Divergenz der harmonischen Reihe kann argumentiert werden, dass die Folge ihrer Teilsummen unbeschränkt ist (da es keinen endlichen Grenzwert gibt). Dann ist die Folge der Teilsummen der Zahlenreihe umso unbegrenzter (jeder Term dieser Reihe ist größer als der entsprechende Term der harmonischen Reihe), daher divergiert die verallgemeinerte harmonische Reihe bei s.

Es bleibt die Konvergenz der Reihe für s> 1 zu beweisen.

Schreiben wir den Unterschied:



Na klar dann


Schreiben wir die resultierende Ungleichung für n = 2, 4, 8, 16, ...



Mit diesen Ergebnissen können Sie mit der ursprünglichen Zahlenreihe Folgendes tun:



Ausdruck ist die Summe einer geometrischen Folge, deren Nenner ist. Da wir den Fall für s > 1 betrachten, dann. Deshalb
... Damit ist die Folge der Teilsummen der verallgemeinerten harmonischen Reihe für s > 1 aufsteigend und gleichzeitig nach oben durch den Wert begrenzt, hat also einen Grenzwert, der die Konvergenz der Reihe anzeigt. Der Beweis ist vollständig.

Die Zahlenreihe heißt positiv wenn alle seine Mitglieder positiv sind, d.h. .

Die Zahlenreihe heißt abwechselnd wenn die Vorzeichen seiner Nachbarmitglieder unterschiedlich sind. Eine alternierende Zahlenreihe kann geschrieben werden als oder , wo .

Die Zahlenreihe heißt abwechselnd wenn es eine unendliche Menge von positiven und negativen Termen enthält.

Eine alternierende Zahlenreihe ist ein Spezialfall einer alternierenden Reihe.

Die ränge

sind vorzeichenpositiv, vorzeichenwechselnd bzw. vorzeichenwechselnd.

Für eine alternierende Reihe gibt es das Konzept der absoluten und bedingten Konvergenz.

absolut konvergent, wenn eine Reihe von Absolutwerten ihrer Mitglieder konvergiert, dh eine vorzeichenpositive Zahlenreihe konvergiert.

Zum Beispiel Zahlenreihen und absolut konvergieren, da die Reihe , das ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression.

Die alternierende Reihe heißt bedingt konvergierend wenn die Reihe divergiert und die Reihe konvergiert.

Als Beispiel für eine konventionell konvergierende Zahlenreihe können wir die Reihe ... Zahlenreihen , zusammengesetzt aus den absoluten Werten der Mitglieder der Originalreihe, divergierend, da harmonisch. Gleichzeitig ist die ursprüngliche Reihe konvergent, was mit Hilfe leicht festgestellt werden kann. Somit ist die numerische alternierende Reihe bedingt konvergent.

Eigenschaften konvergierender Zahlenreihen.

Beispiel.

Beweisen Sie die Konvergenz einer Zahlenreihe.

Lösung.

Lasst uns die Serie in einer anderen Form schreiben ... Die numerische Reihe konvergiert, da die verallgemeinerte harmonische Reihe für s > 1 konvergent ist, und aufgrund der zweiten Eigenschaft der konvergierenden numerischen Reihe wird auch eine Reihe mit einem numerischen Koeffizienten konvergieren.

Beispiel.

Ob die Zahlenreihe konvergiert.

Lösung.

Lassen Sie uns die ursprüngliche Zeile transformieren: ... Somit erhalten wir die Summe zweier Zahlenreihen und jede von ihnen konvergiert (siehe das vorherige Beispiel). Folglich konvergiert aufgrund der dritten Eigenschaft konvergierender Zahlenreihen auch die ursprüngliche Reihe.

Beispiel.

Beweisen Sie die Konvergenz einer Zahlenreihe und berechne ihre Summe.

Lösung.

Diese Zahlenreihe kann als Differenz zwischen zwei Reihen dargestellt werden:

Jede dieser Reihen ist die Summe einer unendlich abnehmenden geometrischen Progression, daher ist sie konvergent. Die dritte Eigenschaft konvergierender Reihen erlaubt uns zu behaupten, dass die ursprüngliche Zahlenreihe konvergiert. Berechnen wir seine Summe.

Der erste Term der Reihe ist eins und der Nenner der entsprechenden geometrischen Folge ist 0.5, also .

Der erste Term der Reihe ist 3, und der Nenner der entsprechenden unendlich abnehmenden geometrischen Folge ist 1/3, also .

Verwenden wir die erhaltenen Ergebnisse, um die Summe der ursprünglichen numerischen Reihe zu finden:

Eine notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe.

Wenn die Zahlenreihe konvergiert, dann ist der Grenzwert ihres k-ten Termes Null:.

Wenn man eine numerische Reihe auf Konvergenz untersucht, sollte man zunächst prüfen, ob die notwendige Konvergenzbedingung erfüllt ist. Wird diese Bedingung nicht erfüllt, weist dies auf die Divergenz der numerischen Reihe hin, dh wenn die Reihe divergiert.

Auf der anderen Seite müssen Sie verstehen, dass diese Bedingung nicht ausreicht. Das heißt, die Erfüllung der Gleichheit bedeutet nicht die Konvergenz der Zahlenreihe. Beispielsweise ist für eine harmonische Reihe die notwendige Konvergenzbedingung erfüllt und die Reihe divergiert.

Beispiel.

Untersuchen Sie eine Reihe von Zahlen auf Konvergenz.

Lösung.

Prüfen wir die notwendige Bedingung für die Konvergenz einer numerischen Reihe:

Grenze das n-te Mitglied der Zahlenreihe ist ungleich Null, daher divergiert die Reihe.

Ausreichende Konvergenzzeichen einer positiven Reihe.

Wenn Sie genügend Features verwenden, um numerische Reihen auf Konvergenz zu untersuchen, müssen Sie sich ständig damit auseinandersetzen, daher empfehlen wir Ihnen, diesen Abschnitt zu konsultieren, wenn Sie Schwierigkeiten haben.

Notwendige und hinreichende Bedingung für die Konvergenz einer positiven Zahlenreihe.

Für die Konvergenz einer positiven Zahlenreihe es ist notwendig und ausreichend, die Reihenfolge ihrer Teilsummen zu begrenzen.

Beginnen wir mit den Serienvergleichszeichen. Ihr Wesen besteht darin, die untersuchten Zahlenreihen mit einer Reihe zu vergleichen, deren Konvergenz oder Divergenz bekannt ist.

Das erste, zweite und dritte Vergleichszeichen.

Das erste Zeichen für den Vergleich der Zeilen.

Seien u zwei vorzeichenpositive Zahlenreihen und die Ungleichung gilt für alle k = 1, 2, 3, ... Dann impliziert Konvergenz der Reihe Konvergenz, und Divergenz der Reihe impliziert Divergenz.

Das erste Vergleichskriterium wird sehr häufig verwendet und ist ein sehr mächtiges Werkzeug, um numerische Reihen auf Konvergenz zu untersuchen. Das Hauptproblem ist die Auswahl einer geeigneten Reihe zum Vergleich. Die Vergleichsreihe wird normalerweise (aber nicht immer) so gewählt, dass der Exponent ihres k-ten Termes gleich der Differenz zwischen den Exponenten des Zählers und des Nenners des k-ten Termes der untersuchten Zahlenreihe ist. Nehmen wir zum Beispiel an, die Differenz zwischen den Exponenten von Zähler und Nenner sei 2 - 3 = -1, daher wählen wir zum Vergleich eine Reihe mit dem k-ten Term, also eine harmonische Reihe. Schauen wir uns einige Beispiele an.

Beispiel.

Bestimmen Sie die Konvergenz oder Divergenz der Reihe.

Lösung.

Da der Grenzwert des allgemeinen Termes der Reihe Null ist, ist die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe erfüllt.

Es ist leicht zu sehen, dass die Ungleichung für alle natürlichen Zahlen k gilt. Wir wissen, dass die harmonische Reihe divergiert, daher ist nach dem ersten Vergleichszeichen auch die ursprüngliche Reihe divergent.

Beispiel.

Untersuchen Sie die Zahlenreihe auf Konvergenz.

Lösung.

Die notwendige Bedingung für die Konvergenz einer numerischen Reihe ist erfüllt, da ... Offensichtlich ist die Ungleichung für jeden Naturwert k. Die Reihe konvergiert, da die verallgemeinerte harmonische Reihe für s> 1 konvergent ist. Somit erlaubt uns das erste Zeichen des Vergleichs der Reihen, die Konvergenz der ursprünglichen numerischen Reihe anzugeben.

Beispiel.

Bestimmen Sie die Konvergenz oder Divergenz der Zahlenreihe.

Lösung.

, damit ist die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Zahlenreihe erfüllt. Welche Zeile zum Vergleich wählen? Die Zahlenreihe liegt nahe, und um s zu bestimmen, untersuchen wir sorgfältig die Zahlenfolge. Die Glieder der Zahlenfolge steigen ins Unendliche. Ab einer Zahl N (nämlich mit N = 1619) sind die Glieder dieser Folge also größer als 2. Ab dieser Zahl N gilt die Ungleichung. Die numerische Reihe konvergiert aufgrund der ersten Eigenschaft der konvergierenden Reihe, da sie aus der konvergierenden Reihe durch Verwerfen der ersten N - 1 Terme erhalten wird. Somit ist die Reihe nach dem ersten Vergleichskriterium konvergent, und aufgrund der ersten Eigenschaft konvergierender Zahlenreihen wird die Reihe auch konvergieren.

Zweites Vergleichszeichen.

Seien und seien positive Zahlenreihen. Wenn, dann folgt die Konvergenz aus der Konvergenz der Reihe. Wenn, dann folgt die Divergenz aus der Divergenz der Zahlenreihe.

Folge.

Wenn und, dann folgt aus der Konvergenz der einen Reihe die Konvergenz der anderen und aus der Divergenz die Divergenz.

Untersuchen wir die Reihe auf Konvergenz mit dem zweiten Vergleichskriterium. Nehmen Sie eine konvergierende Reihe als Reihe. Finden wir den Grenzwert des Verhältnisses der k-ten Terme der Zahlenreihe:

Somit folgt nach dem zweiten Vergleichskriterium die Konvergenz der ursprünglichen Reihe aus der Konvergenz der Zahlenreihe.

Beispiel.

Untersuchen Sie die Konvergenz einer Zahlenreihe.

Lösung.

Prüfen wir die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe ... Die Bedingung ist erfüllt. Um das zweite Vergleichskriterium anzuwenden, nehmen wir eine harmonische Reihe. Finden wir den Grenzwert des Verhältnisses der k-ten Terme:

Folglich folgt aus der Divergenz der harmonischen Reihe die Divergenz der ursprünglichen Reihe nach dem zweiten Vergleichskriterium.

Zur Information geben wir das dritte Zeichen des Vergleichs der Serie.

Das dritte Zeichen des Vergleichs.

Seien und seien positive Zahlenreihen. Wenn die Bedingung ab einer Zahl N erfüllt ist, folgt Konvergenz aus der Konvergenz der Reihe und Divergenz folgt aus der Divergenz der Reihe.

D'Alembert-Zeichen.

Kommentar.

Der d'Alembert-Test ist gültig, wenn der Grenzwert unendlich ist, d. h. wenn , dann konvergiert die Reihe, wenn , dann divergiert die Reihe.

Wenn der d'Alembert-Test keine Informationen über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe liefert, sind zusätzliche Untersuchungen erforderlich.

Beispiel.

Untersuchen Sie die Zahlenreihe auf d'Alembert-Konvergenz.

Lösung.

Prüfen wir, ob die notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Zahlenreihe erfüllt ist, der Grenzwert berechnet sich wie folgt:

Die Bedingung ist erfüllt.

Verwenden wir den d'Alembert-Test:

Somit konvergiert die Reihe.

Cauchys radikales Zeichen.

Sei eine positive Zahlenreihe. Wenn, dann konvergiert die Zahlenreihe, wenn, dann divergiert die Reihe.

Kommentar.

Das Radikalkriterium von Cauchy gilt, wenn der Grenzwert unendlich ist, d. h. wenn , dann konvergiert die Reihe, wenn , dann divergiert die Reihe.

Wenn, dann liefert der radikale Cauchy-Test keine Informationen über die Konvergenz oder Divergenz der Reihe und es sind zusätzliche Untersuchungen erforderlich.

Es ist normalerweise leicht genug, Fälle zu erkennen, in denen es am besten ist, das radikale Cauchy-Kriterium zu verwenden. Ein typischer Fall ist, wenn der gemeinsame Term einer numerischen Reihe ein exponentieller exponentieller Ausdruck ist. Schauen wir uns einige Beispiele an.

Beispiel.

Untersuchen Sie eine positive Zahlenreihe auf Konvergenz mit dem radikalen Cauchy-Test.

Lösung.

... Nach dem Cauchy-Radikalkriterium erhalten wir .

Folglich konvergiert die Reihe.

Beispiel.

Konvergiert die Zahlenreihe? .

Lösung.

Wir verwenden das radikale Cauchy-Kriterium , daher konvergiert die Zahlenreihe.

Integraler Cauchy-Test.

Sei eine positive Zahlenreihe. Lassen Sie uns eine Funktion mit dem stetigen Argument y = f (x) zusammensetzen, ähnlich der Funktion. Die Funktion y = f (x) sei positiv, stetig und im Intervall abnehmend, wobei). Dann ist im Fall der Konvergenz unechtes Integral die zu untersuchende Zahlenreihe konvergiert. Wenn das uneigentliche Integral divergiert, divergiert auch die ursprüngliche Reihe.

Wenn Sie die Abnahme der Funktion y = f (x) auf einem Intervall überprüfen, kann Ihnen die Theorie aus dem Abschnitt nützlich sein.

Beispiel.

Untersuchen Sie eine Reihe von Zahlen mit positiven Termen auf Konvergenz.

Lösung.

Die notwendige Bedingung für die Konvergenz der Reihe ist erfüllt, da ... Betrachten wir eine Funktion. Sie ist positiv, kontinuierlich und nimmt über das Intervall ab. Die Kontinuität und Positivität dieser Funktion steht außer Zweifel, und wir werden noch etwas ausführlicher auf die Abnahme eingehen. Finden Sie die Ableitung:
... Sie ist im Intervall negativ, daher nimmt die Funktion in diesem Intervall ab.

D'Alembert-Konvergenzkriterium Radikales Cauchy-Konvergenzkriterium Integrales Cauchy-Konvergenzkriterium

Eines der üblichen Vergleichszeichen, das in praktischen Beispielen zu finden ist, ist das d'Alembert-Zeichen. Cauchy-Zeichen sind weniger verbreitet, aber auch sehr beliebt. Wie immer werde ich versuchen, das Material einfach, zugänglich und verständlich zu präsentieren. Das Thema ist nicht das schwierigste und alle Aufgaben sind bis zu einem gewissen Grad schablonenfähig.

Jean Leron D'Alembert ist ein berühmter französischer Mathematiker des 18. Jahrhunderts. Im Allgemeinen spezialisierte sich D'Alembert auf Differentialgleichungen und beschäftigte sich aufgrund seiner Forschungen mit Ballistik, damit Seine Majestät bessere Kanonenkugeln fliegen konnte. Dabei habe ich die zahlenmäßigen Reihen nicht vergessen, nicht umsonst konvergierten und divergierten die Reihen der Truppen Napoleons so deutlich.

Bevor Sie das Feature selbst formulieren, sollten Sie sich eine wichtige Frage stellen:
Wann sollte das d'Alembert-Konvergenzkriterium angewendet werden?

Beginnen wir mit der Wiederholung. Erinnern wir uns an die Fälle, in denen Sie die beliebtesten verwenden müssen Grenzwertvergleichskriterium... Das einschränkende Vergleichskriterium wird angewendet, wenn im gemeinsamen Term der Reihe:
1) Der Nenner enthält ein Polynom.
2) Die Polynome stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner.
3) Ein oder beide Polynome können an der Wurzel liegen.

Die wichtigsten Voraussetzungen für die Nutzung der d'Alembert-Funktion sind wie folgt:

1) Der gebräuchliche Begriff der Reihe ("Füllung" der Reihe) beinhaltet zum Beispiel eine Zahl in der Potenz und so weiter. Außerdem spielt es keine Rolle, wo sich dieses Ding befindet, im Zähler oder im Nenner - wichtig ist, dass es dort vorhanden ist.

2) Die Fakultät ist im allgemeinen Term der Reihe enthalten. Wir haben während des Unterrichts die Schwerter mit Fakultäten gekreuzt Numerische Folge und ihre Grenze... Es schadet jedoch nicht, die selbst zusammengebaute Tischdecke wieder auszubreiten:





…


…

! Bei Verwendung des d'Alembert-Tests müssen wir nur die Fakultät im Detail beschreiben. Wie im vorigen Absatz kann die Fakultät am Anfang oder am Ende des Bruchs stehen.

3) Wenn es im gemeinsamen Begriff der Reihe z. B. eine „Kette von Faktoren“ gibt. Dieser Fall ist selten, aber! Bei der Untersuchung einer solchen Serie werden oft Fehler gemacht - siehe Beispiel 6.

Neben Potenzen und (und) Fakultäten finden sich häufig Polynome in der Füllung der Reihe, dies ändert nichts an der Sache - Sie müssen das d'Alembert-Zeichen verwenden.

Außerdem finden sich im allgemeinen Reihenterm sowohl der Grad als auch die Fakultät gleichzeitig; es kann zwei Fakultäten geben, zwei Grade, es ist wichtig, dass es gibt zumindest etwas von der berücksichtigten Punkte - und das ist nur eine Voraussetzung für die Verwendung des d'Alembert-Zeichens.

D'Alembert-Zeichen: Erwägen positive Zahlenreihe... Wenn die Beziehung des nächsten Mitglieds zum vorherigen begrenzt ist:, dann:
a) Für eine Reihe konvergiert... Insbesondere konvergiert die Reihe für.
b) Für eine Reihe divergiert... Insbesondere divergiert die Reihe bei.
c) Wann das zeichen gibt keine antwort... Es sollte ein anderes Zeichen verwendet werden. Am häufigsten wird die Einheit erhalten, wenn versucht wird, den d'Alembert-Test anzuwenden, wo es notwendig ist, die einschränkende Vergleichsfunktion zu verwenden.

Wer noch Probleme mit Limits oder ein Missverständnis von Limits hat, der lese die Lektion Grenzen. Lösungsbeispiele... Ohne das Verständnis der Grenze und die Fähigkeit, Unsicherheit offenzulegen, kann man leider nicht weiterkommen.

Und nun die lang ersehnten Beispiele.

Beispiel 1

Wir sehen, dass wir den gemeinsamen Begriff der Reihe haben, und dies ist eine richtige Voraussetzung für die Verwendung des d'Alembert-Zeichens. Zuerst eine vollständige Lösung und ein Musterdesign, Kommentare unten.

Wir verwenden das d'Alembert-Zeichen:

konvergiert.

(1) Wir stellen das Verhältnis des nächsten Mitglieds der Reihe zum vorherigen zusammen:. Aus der Bedingung ersehen wir, dass der gemeinsame Begriff der Reihe. Um das nächste Mitglied der Serie zu bekommen, ist es notwendig statt zu ersetzen: .
(2) Den vierstöckigen Bruch loswerden. Mit etwas Erfahrung mit der Lösung kann dieser Schritt übersprungen werden.
(3) Erweitern Sie die Klammern im Zähler. Im Nenner nehmen wir die vier aus dem Abschluss heraus.
(4) Reduzieren um. Die Konstante wird aus dem Grenzwertzeichen herausgenommen. Ähnliche Terme geben wir im Zähler in Klammern an.
(5) Die Unsicherheit wird auf die übliche Weise beseitigt, indem Zähler und Nenner durch "en" in höchster Potenz geteilt werden.
(6) Wir dividieren die Zähler durch die Nenner Term für Term und geben die Terme an, die gegen Null tendieren.
(7) Wir vereinfachen die Antwort und stellen fest, dass die untersuchte Reihe nach dem d'Alembert-Test konvergiert.

Im betrachteten Beispiel sind wir im gemeinsamen Term der Reihe auf ein Polynom 2. Grades gestoßen. Was ist, wenn es ein Polynom 3., 4. oder höheren Grades gibt? Tatsache ist, dass bei einem Polynom höheren Grades Schwierigkeiten beim Öffnen der Klammern auftreten. In diesem Fall können Sie die "Turbo"-Lösung verwenden.

Beispiel 2

Nehmen Sie eine ähnliche Reihe und untersuchen Sie sie auf Konvergenz

Erst die komplette Lösung, dann die Kommentare:

Wir verwenden das d'Alembert-Zeichen:

Somit ist die zu untersuchende Serie konvergiert.

(1) Erstellen der Beziehung.
(2) Den vierstöckigen Bruch loswerden.
(3) Betrachten Sie einen Ausdruck im Zähler und einen Ausdruck im Nenner. Wir sehen, dass Sie im Zähler Klammern öffnen und mit der vierten Potenz erhöhen müssen: was Sie auf keinen Fall tun möchten. Darüber hinaus ist diese Aufgabe für diejenigen, die mit dem Newtonschen Binomial nicht vertraut sind, möglicherweise überhaupt nicht machbar. Analysieren wir die höchsten Grade: Wenn wir die Klammern oben öffnen, erhalten wir den höchsten Grad. Unten haben wir den gleichen Senior-Abschluss:. In Analogie zum vorherigen Beispiel ist es offensichtlich, dass wir beim Dividieren von Zähler und Nenner durch Term durch eins im Grenzwert erhalten. Oder, wie Mathematiker sagen, Polynome und - gleiche Wachstumsreihenfolge... So ist es durchaus möglich, das Verhältnis mit einem einfachen Bleistift einzukreisen und sofort anzuzeigen, dass dieses Ding zu eins tendiert. Ähnlich gehen wir mit dem zweiten Polynompaar um: und sie sind auch gleiche Wachstumsreihenfolge, und ihr Verhältnis tendiert zur Einheit.

Tatsächlich hätte ein solcher "Hack" in Beispiel #1 gemacht werden können, aber für ein Polynom 2. Grades sieht eine solche Lösung immer noch irgendwie würdelos aus. Persönlich mache ich das: wenn es ein Polynom (oder Polynome) ersten oder zweiten Grades gibt, verwende ich den "langen" Weg, um Beispiel 1 zu lösen. Wenn ich auf ein Polynom dritten oder höheren Grades stoße, verwende ich den "Turbo" -Methode ähnlich Beispiel 2.

Beispiel 3

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Komplette Lösung und Musterdesign am Ende der Lektion mit Zahlenfolgen.
(4) Reduzieren von allem, was reduziert werden kann.
(5) Die Konstante wird aus dem Grenzwertzeichen herausgenommen. Erweitern Sie die Klammern im Zähler.
(6) Unsicherheit wird auf übliche Weise beseitigt - indem Zähler und Nenner durch "en" in höchster Potenz geteilt werden.

Beispiel 5

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Komplette Lösung und Musterdesign am Ende der Lektion

Beispiel 6

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Manchmal gibt es Zeilen, die eine "Kette" von Faktoren in ihrer Füllung enthalten; wir haben diesen Zeilentyp noch nicht betrachtet. Wie untersucht man eine Reihe mit einer "Kette" von Faktoren? Verwenden Sie das d'Alembert-Zeichen. Aber um zu verstehen, was passiert, werden wir zuerst die Serie im Detail beschreiben:

Aus der Erweiterung sehen wir, dass für jeden nächsten Term in der Reihe ein zusätzlicher Faktor im Nenner hinzugefügt wird, also wenn der gemeinsame Term in der Reihe ist, dann der nächste Term in der Reihe:
... Hier machen sie oft automatisch einen Fehler, indem sie formal nach dem Algorithmus aufschreiben, der

Ein grobes Lösungsbeispiel könnte so aussehen:

Wir verwenden das d'Alembert-Zeichen:

Somit ist die zu untersuchende Serie konvergiert.

Bevor Sie sich mit diesem Thema beschäftigen, empfehle ich Ihnen, sich den Abschnitt zur Terminologie für Zahlenreihen anzusehen. Es lohnt sich besonders, auf das Konzept eines gemeinsamen Mitglieds einer Serie zu achten. Wenn Sie Zweifel an der Richtigkeit der Wahl des Konvergenzkriteriums haben, empfehle ich Ihnen, sich das Thema "Wahl des Konvergenzkriteriums für numerische Reihen" anzusehen.

Der Alambert-Test (oder d'Alembert-Test) wird verwendet, um die Konvergenz von Reihen zu untersuchen, deren gemeinsamer Term strikt größer als Null ist, also $ u_n> 0 $. Solche Reihen heißen strikt positiv... In Standardbeispielen wird das Alamber-Attribut D in seiner einschränkenden Form verwendet.

Zeichen D "Alamber" (in extremer Form)

Wenn die Reihe $ \ sum \ limit_ (n = 1) ^ (\ infty) u_n $ streng positiv ist und $ $ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = L , $ $ dann für $ L<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (und für $ L = \ infty $) divergiert die Reihe.

Die Formulierung ist recht einfach, aber die Frage bleibt offen: Was passiert, wenn $ L = 1 $ ist? Das Alambertsche Zeichen D kann diese Frage nicht beantworten: Wenn $ L = 1 $ ist, dann kann die Reihe sowohl konvergieren als auch divergieren.

Am häufigsten wird in Standardbeispielen das Zeichen Alamber D verwendet, wenn der Ausdruck für den allgemeinen Term der Reihe ein Polynom von $ n $ (das Polynom kann unter der Wurzel liegen) und einen Grad der Form $ a ^ n $ . enthält oder $ n! $. Zum Beispiel $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ (siehe Beispiel # 1) oder $ u_n = \ frac (\ sqrt ( 4n + 5)) ((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Was bedeutet der Ausdruck „n!“? Anzeigen Ausblenden

Der Eintrag "n!" (sprich "en factorial") bezeichnet das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis n, d.h.

$$ n = 1 \ cdot2 \ cdot 3 \ cdot \ ldots \ cdot n $$

Per Definition wird angenommen, dass $ 0! = 1! = 1 $. Lassen Sie uns zum Beispiel 5 finden!:

$$ 5! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5 = 120. $$

Außerdem wird Alamberts D"-Merkmal häufig verwendet, um die Konvergenz einer Reihe zu bestimmen, deren gemeinsamer Term das Produkt der folgenden Struktur enthält: $ u_n = \ frac (3 \ cdot 5 \ cdot 7 \ cdot \ ldots \ cdot (2n + 1)) (2 \ cdot 5 \ cdot 8 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-1)) $.

Beispiel 1

Untersuchen Sie die Reihe $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $ auf Konvergenz.

Da die untere Grenze der Summation 1 ist, wird der gemeinsame Term der Reihe unter das Summenzeichen geschrieben: $ u_n = \ frac (5 ^ n \ cdot (3n + 7)) (2n ^ 3-1) $. Da für $ n≥ 1 $ $ 3n + 7> 0 $, $ 5 ^ n> 0 $ und $ 2n ^ 3-1> 0 $ gilt, dann ist $ u_n> 0 $. Daher ist unsere Serie streng positiv.

$$ 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac ((3n + 10) \ left (2n ^ 3-1 \ right)) (\ left (2 (n + 1) ^ 3-1 \ right ) (3n + 7)) = \ left | \ frac (\ infty) (\ infty) \ right | = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac ((3n + 10) \ left (2n ^ 3-1 \ rechts)) (n ^ 4)) (\ frac (\ links (2 (n + 1) ^ 3-1 \ rechts) (3n + 7)) (n ^ 4)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ frac (3n + 10) (n) \ cdot \ frac (2n ^ 3-1) (n ^ 3)) (\ frac (\ left (2 ( n + 1) ^ 3-1 \ right)) (n ^ 3) \ cdot \ frac (3n + 7) (n)) = \\ = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ links (\ frac (3n) (n) + \ frac (10) (n) \ rechts) \ cdot \ left (\ frac (2n ^ 3) (n ^ 3) - \ frac (1) (n ^ 3) \ right)) (\ left (2 \ left (\ frac (n) (n) + \ frac (1) (n) \ right) ^ 3- \ frac (1) (n ^ 3) \ right) \ cdot \ left (\ frac (3n) (n) + \ frac (7) (n) \ right)) = 5 \ cdot \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (\ left (3+ \ frac (10) (n) \ right) \ cdot \ left (2- \ frac (1) (n ^ 3) \ right)) (\ left (2 \ left (1+ \ frac (1) (n) \ right) ^ 3 - \ frac (1) (n ^ 3) \ right) \ cdot \ left (3+ \ frac (7) (n) \ right)) = 5 \ cdot \ frac (3 \ cdot 2) (2 \ cdot 3 ) = 5. $$

Da $ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 5> 1 $ ist, divergiert dann gemäß der gegebenen Reihe.

Ehrlich gesagt ist das Alambert D "-Zeichen nicht die einzige Option in dieser Situation. Sie können beispielsweise den radikalen Cauchy-Test verwenden. Die Verwendung des radikalen Cauchy-Tests erfordert jedoch die Kenntnis (oder den Beweis) zusätzlicher Formeln. Daher die Verwendung der Alamber D"-Funktion in dieser Situation ist bequemer.

Antworten: die Reihe divergiert.

Beispiel Nr. 2

Erkunde den Bereich $ \ sum \ limits_ (n = 1) ^ (\ infty) \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ на сходимость.!}

Da die untere Grenze der Summation 1 ist, wird der gemeinsame Term der Reihe unter das Summenzeichen geschrieben: $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Der gemeinsame Term der Reihe enthält das Polynom an der Wurzel, d.h. $ \ sqrt (4n + 5) $ und die Fakultät $ (3n-2)! $. Das Vorhandensein einer Fakultät in einem Standardbeispiel ist eine fast hundertprozentige Garantie für die Verwendung von Alambers Merkmal D.

Um diese Funktion anzuwenden, müssen wir den Grenzwert des Verhältnisses $ \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $ finden. Um $ u_ (n + 1) $ zu schreiben, brauchst du $ u_n = \ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4 (n + 1) +5)) ((3 (n + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Wegen $ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $ kann die Formel für $ u_ (n + 1) $ geschrieben werden als Ein weiterer:

$$ u_ (n + 1) = \ frac (\ sqrt (4n + 9)) ((3n + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Diese Notation ist praktisch für die weitere Lösung, wenn wir den Bruch unter dem Grenzwert streichen müssen. Falls die Gleichheit mit Fakultäten klärungsbedürftig ist, erweitern Sie bitte den Hinweis unten.

Wie haben wir die Gleichheit $ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $ erhalten? Anzeigen Ausblenden

Die Notation $ (3n + 1)!$ bezeichnet das Produkt aller natürlichen Zahlen von 1 bis $ 3n + 1 $. Jene. dieser Ausdruck kann wie folgt geschrieben werden:

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot 2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n + 1). $$

Direkt vor der Zahl $ 3n + 1 $ steht eine Zahl eins weniger, d.h. Zahl $ 3n + 1-1 = 3n $. Und unmittelbar vor der Zahl $ 3n $ steht die Zahl $ 3n-1 $. Nun, unmittelbar vor der Zahl $ 3n-1 $ haben wir die Zahl $ 3n-1-1 = 3n-2 $. Schreiben wir die Formel für $ (3n + 1) um! $:

$$ (3n + 1)! = 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) \ cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

Was ist das Produkt $ 1 \ cdot2 \ cdot \ ldots \ cdot (3n-2) $? Dieses Produkt ist gleich $ (3n-2)! $. Daher kann der Ausdruck für $ (3n + 1)!$ wie folgt umgeschrieben werden:

$$ (3n + 1)! = (3n-2)! \ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1) $$

Diese Notation ist praktisch für die weitere Lösung, wenn wir den Bruch unter dem Grenzwert streichen müssen.

Berechnen wir den Wert von $ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) $:

$$ \ lim_ (n \ bis \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = \ lim_ (n \ bis \ infty) \ frac (\ frac (\ sqrt (4n + 9)) (( 3n-2)!\ Cdot (3n-1) \ cdot 3n \ cdot (3n + 1))) (\ frac (\ sqrt (4n + 5)) ((3n-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Da $ \ lim_ (n \ to \ infty) \ frac (u_ (n + 1)) (u_n) = 0<1$, то согласно

Konvergenzkriterien für Reihen.
D'Alembert-Zeichen. Cauchy-Zeichen

Arbeit, Arbeit - und Verständnis kommt später
J L. D'Alembert

Herzlichen Glückwunsch an alle zum Schuljahresbeginn! Heute ist der 1. September, und zu Ehren des Feiertags habe ich beschlossen, die Leser mit der Tatsache vertraut zu machen, dass Sie sich schon lange darauf gefreut haben und darauf gewartet haben - Konvergenzkriterien für positive Zahlenreihen... Der Feiertag vom 1. September und meine Glückwünsche sind immer relevant, es ist in Ordnung, wenn draußen tatsächlich Sommer ist, Sie wiederholen die Prüfung jetzt zum dritten Mal, wenn Sie auf diese Seite gehen!

Für diejenigen, die gerade erst anfangen, die Serie zu studieren, empfehle ich, dass Sie zuerst den Artikel lesen Zahlenreihen für Dummies... Eigentlich ist dieser Wagen eine Fortsetzung des Banketts. Heute werden wir uns in der Lektion Beispiele und Lösungen zu Themen ansehen:

Eines der üblichen Vergleichszeichen, das in praktischen Beispielen zu finden ist, ist das d'Alembert-Zeichen. Cauchy-Zeichen sind weniger verbreitet, aber auch sehr beliebt. Wie immer werde ich versuchen, das Material einfach, zugänglich und verständlich zu präsentieren. Das Thema ist nicht das schwierigste und alle Aufgaben sind bis zu einem gewissen Grad schablonenfähig.

Der d'Alembert-Konvergenztest

Jean Leron D'Alembert ist ein berühmter französischer Mathematiker des 18. Jahrhunderts. Im Allgemeinen spezialisierte sich D'Alembert auf Differentialgleichungen und beschäftigte sich aufgrund seiner Forschungen mit Ballistik, damit Seine Majestät bessere Kanonenkugeln fliegen konnte. Dabei habe ich die zahlenmäßigen Reihen nicht vergessen, nicht umsonst konvergierten und divergierten die Reihen der Truppen Napoleons so deutlich.

Bevor Sie das Feature selbst formulieren, sollten Sie sich eine wichtige Frage stellen:
Wann sollte das d'Alembert-Konvergenzkriterium angewendet werden?

Beginnen wir mit der Wiederholung. Erinnern wir uns an die Fälle, in denen Sie die beliebtesten verwenden müssen Grenzwertvergleichskriterium... Das einschränkende Vergleichskriterium wird angewendet, wenn im gemeinsamen Term der Reihe:

1) Der Nenner enthält ein Polynom.
2) Die Polynome stehen sowohl im Zähler als auch im Nenner.
3) Ein oder beide Polynome können an der Wurzel liegen.
4) Natürlich kann es mehr Polynome und Nullstellen geben.

Die wichtigsten Voraussetzungen für die Nutzung der d'Alembert-Funktion sind wie folgt:

1) Der gebräuchliche Begriff der Reihe ("Füllung" der Reihe) enthält zum Beispiel eine Zahl in der Potenz und so weiter. Außerdem spielt es keine Rolle, wo sich dieses Ding befindet, im Zähler oder im Nenner - wichtig ist, dass es dort vorhanden ist.

2) Die Fakultät ist im allgemeinen Term der Reihe enthalten. Wir haben in der Lektion Numerische Reihenfolge und ihre Grenze die Schwerter mit Fakultäten gekreuzt. Es schadet jedoch nicht, die selbst zusammengebaute Tischdecke wieder auszubreiten:





…


…

! Bei Verwendung des d'Alembert-Tests müssen wir nur die Fakultät im Detail beschreiben. Wie im vorigen Absatz kann die Fakultät am Anfang oder am Ende des Bruchs stehen.

3) Wenn es im gemeinsamen Begriff der Reihe eine "Faktorenkette" gibt, zum Beispiel, ... Dieser Fall ist selten, aber! Bei der Untersuchung einer solchen Serie werden oft Fehler gemacht - siehe Beispiel 6.

Neben Potenzen und (und) Fakultäten finden sich häufig Polynome in der Füllung der Reihe, dies ändert nichts an der Sache - Sie müssen das d'Alembert-Zeichen verwenden.

Außerdem finden sich im allgemeinen Reihenterm sowohl der Grad als auch die Fakultät gleichzeitig; es kann zwei Fakultäten geben, zwei Grade, es ist wichtig, dass es gibt wenigstens etwas von den betrachteten Punkten - und dies ist nur eine Voraussetzung für die Verwendung des d'Alembert-Zeichens.

D'Alembert-Zeichen: Erwägen positive Zahlenreihe... Wenn die Beziehung des nächsten Mitglieds zum vorherigen begrenzt ist:, dann:
a) Für eine Reihe konvergiert
b) Für eine Reihe divergiert
c) Wann das zeichen gibt keine antwort... Es sollte ein anderes Zeichen verwendet werden. Am häufigsten wird die Einheit erhalten, wenn versucht wird, den d'Alembert-Test anzuwenden, wo es notwendig ist, die einschränkende Vergleichsfunktion zu verwenden.

Wer noch Probleme mit Limits oder ein Missverständnis von Limits hat, der lese die Lektion Grenzen. Lösungsbeispiele... Ohne das Verständnis der Grenze und die Fähigkeit, Unsicherheit offenzulegen, kann man leider nicht weiterkommen.

Und nun die lang ersehnten Beispiele.

Beispiel 1

Wir sehen, dass wir den gemeinsamen Begriff der Reihe haben, und dies ist eine richtige Voraussetzung für die Verwendung des d'Alembert-Zeichens. Zuerst eine vollständige Lösung und ein Musterdesign, Kommentare unten.

Wir verwenden das d'Alembert-Zeichen:


konvergiert.
(1) Wir stellen das Verhältnis des nächsten Mitglieds der Reihe zum vorherigen zusammen:. Aus der Bedingung ersehen wir, dass der gemeinsame Begriff der Reihe. Um das nächste Mitglied der Serie zu bekommen, benötigst du STATTLICH ersetzen: .
(2) Den vierstöckigen Bruch loswerden. Mit etwas Erfahrung mit der Lösung kann dieser Schritt übersprungen werden.
(3) Erweitern Sie die Klammern im Zähler. Im Nenner nehmen wir die vier aus dem Abschluss heraus.
(4) Reduzieren um. Die Konstante wird aus dem Grenzwertzeichen herausgenommen. Ähnliche Terme geben wir im Zähler in Klammern an.
(5) Die Unsicherheit wird auf die übliche Weise beseitigt, indem Zähler und Nenner durch "en" in höchster Potenz geteilt werden.
(6) Wir dividieren die Zähler durch die Nenner Term für Term und geben die Terme an, die gegen Null tendieren.
(7) Wir vereinfachen die Antwort und stellen fest, dass die untersuchte Reihe nach dem d'Alembert-Test konvergiert.

Im betrachteten Beispiel sind wir im gemeinsamen Term der Reihe auf ein Polynom 2. Grades gestoßen. Was ist, wenn es ein Polynom 3., 4. oder höheren Grades gibt? Tatsache ist, dass bei einem Polynom höheren Grades Schwierigkeiten beim Öffnen der Klammern auftreten. In diesem Fall können Sie die "Turbo"-Lösung verwenden.

Beispiel 2

Nehmen Sie eine ähnliche Reihe und untersuchen Sie sie auf Konvergenz

Erst die komplette Lösung, dann die Kommentare:

Wir verwenden das d'Alembert-Zeichen:


Somit ist die zu untersuchende Serie konvergiert.

(1) Erstellen der Beziehung.

(3) Betrachten Sie den Ausdruck im Zähler und Ausdruck im Nenner. Wir sehen, dass Sie im Zähler Klammern öffnen und mit der vierten Potenz erhöhen müssen: was Sie auf keinen Fall tun möchten. Und für diejenigen, die das Newtonsche Binomial nicht kennen, wird diese Aufgabe noch schwieriger. Analysieren wir die höheren Grade: wenn wir die Klammern oben erweitern , dann erhalten wir den höchsten Grad. Unten haben wir den gleichen Senior-Abschluss:. In Analogie zum vorherigen Beispiel ist es offensichtlich, dass wir beim Dividieren von Zähler und Nenner durch Term durch eins im Grenzwert erhalten. Oder, wie Mathematiker sagen, Polynome und - gleiche Wachstumsreihenfolge... Es ist also durchaus möglich, die Relation zu umkreisen mit einem einfachen Bleistift und zeige sofort an, dass dieses Ding zu einem neigt. Ähnlich gehen wir mit dem zweiten Polynompaar um: und sie sind auch gleiche Wachstumsreihenfolge, und ihr Verhältnis tendiert zur Einheit.

Tatsächlich hätte ein solcher "Hack" in Beispiel Nr. 1 gemacht werden können, aber für ein Polynom 2. Grades sieht eine solche Lösung immer noch irgendwie würdelos aus. Persönlich mache ich das: wenn es ein Polynom (oder Polynome) ersten oder zweiten Grades gibt, verwende ich den "langen" Weg, um Beispiel 1 zu lösen. Wenn ich auf ein Polynom dritten Grades oder höher stoße, verwende ich den "Turbo" -Methode ähnlich Beispiel 2.

Beispiel 3

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Betrachten wir typische Beispiele mit Fakultäten:

Beispiel 4

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Der allgemeine Begriff der Reihe umfasst sowohl den Grad als auch die Fakultät. Es ist tageslichtklar, dass hier das d'Alembert-Zeichen verwendet werden sollte. Wir entscheiden.

Somit ist die zu untersuchende Serie divergiert.
(1) Erstellen der Beziehung. Wir wiederholen noch einmal. Bedingung ist der gemeinsame Term der Reihe: ... Um den nächsten Begriff in der Reihe zu erhalten, stattdessen musst du ersetzen, auf diese Weise: .
(2) Den vierstöckigen Bruch loswerden.
(3) Wir klemmen die Sieben vom Grad ab. Wir malen Fakultäten im Detail... Wie das geht - siehe den Beginn der Lektion oder den Artikel über Zahlenfolgen.
(4) Reduzieren von allem, was reduziert werden kann.
(5) Die Konstante wird aus dem Grenzwertzeichen herausgenommen. Erweitern Sie die Klammern im Zähler.
(6) Unsicherheit wird auf übliche Weise beseitigt - indem Zähler und Nenner durch "en" in höchster Potenz geteilt werden.

Beispiel 5

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Komplette Lösung und Musterdesign am Ende der Lektion

Beispiel 6

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Manchmal gibt es Zeilen, die eine "Kette" von Faktoren in ihrer Füllung enthalten; wir haben diesen Zeilentyp noch nicht betrachtet. Wie untersucht man eine Reihe mit einer "Kette" von Faktoren? Verwenden Sie das d'Alembert-Zeichen. Aber um zu verstehen, was passiert, werden wir zuerst die Serie im Detail beschreiben:

Aus der Entwicklung sehen wir, dass für jeden nächsten Term der Reihe ein zusätzlicher Faktor im Nenner hinzugefügt wird, also wenn der gemeinsame Term der Reihe , dann das nächste Mitglied der Reihe:
... Hier machen sie oft automatisch einen Fehler, indem sie formal nach dem Algorithmus aufschreiben, der

Ein grobes Lösungsbeispiel könnte so aussehen:

Wir verwenden das d'Alembert-Zeichen:

Somit ist die zu untersuchende Serie konvergiert.

Cauchys radikales Zeichen

Augustin Louis Cauchy ist ein noch bekannterer französischer Mathematiker. Über Cauchys Biografie kann dir jeder Technikstudent erzählen. In den malerischsten Farben. Es ist kein Zufall, dass dieser Name im ersten Stock des Eiffelturms eingemeißelt ist.

Der Konvergenztest von Cauchy für positive Reihen ist dem soeben betrachteten d'Alembert-Test etwas ähnlich.

Cauchys radikales Zeichen: Erwägen positive Zahlenreihe... Wenn es eine Grenze gibt:, dann:
a) Für eine Reihe konvergiert... Insbesondere konvergiert die Reihe für.
b) Für eine Reihe divergiert... Insbesondere divergiert die Reihe bei.
c) Wann das zeichen gibt keine antwort... Es sollte ein anderes Zeichen verwendet werden. Es ist interessant festzustellen, dass, wenn der Cauchy-Test keine Antwort auf die Frage nach der Konvergenz der Reihe liefert, der d'Alembert-Test auch keine Antwort liefert. Aber wenn das d'Alembert-Zeichen keine Antwort gibt, dann kann das Cauchy-Zeichen durchaus „funktionieren“. Das heißt, das Cauchy-Zeichen ist in diesem Sinne ein stärkeres Zeichen.

Wann sollten Sie das radikale Cauchy-Zeichen verwenden? Das Cauchy-Radikalkriterium wird normalerweise in Fällen verwendet, in denen die Wurzel "gut" aus einem gemeinsamen Mitglied der Reihe extrahiert wird. Typischerweise ist dieser Pfeffer im Grad was hängt davon ab... Es gibt auch exotische Fälle, aber wir werden uns nicht damit beschäftigen.

Beispiel 7

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Wir sehen, dass der Bruch in Abhängigkeit von "en" vollständig unter dem Grad liegt, was bedeutet, dass Sie das radikale Cauchy-Kriterium verwenden müssen:


Somit ist die zu untersuchende Serie divergiert.

(1) Wir bilden den gemeinsamen Term der Reihe als Wurzel.

(2) Wir schreiben dasselbe um, nur ohne die Wurzel, indem wir die Eigenschaft power verwenden.
(3) Dividieren Sie im Exponenten den Zähler durch den Nenner Term für Term und geben Sie an, dass
(4) Das Ergebnis ist Unsicherheit. Hier könnte man weit gehen: zu einem Würfel bauen, zu einem Würfel bauen, dann im Würfel Zähler und Nenner durch "en" teilen. Aber in diesem Fall gibt es eine effizientere Lösung: Diese Technik kann direkt unter der Gradkonstante verwendet werden. Um die Unsicherheit zu beseitigen, dividieren Sie Zähler und Nenner durch (den höchsten Grad der Polynome).

(5) Wir führen eine Term-für-Term-Division durch und geben die Terme an, die gegen Null tendieren.
(6) Wir erinnern uns an die Antwort, markieren sie und kommen zu dem Schluss, dass die Reihe divergiert.

Und hier ist ein einfacheres Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 8

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Und noch ein paar typische Beispiele.

Komplette Lösung und Musterdesign am Ende der Lektion

Beispiel 9

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz
Wir verwenden das radikale Cauchy-Zeichen:


Somit ist die zu untersuchende Serie konvergiert.

(1) Wir setzen den gemeinsamen Term der Reihe unter die Wurzel.

(2) Wir schreiben dasselbe um, aber ohne die Wurzel, während wir die Klammern mit der Formel für die abgekürzte Multiplikation erweitern: .
(3) Dividieren Sie im Indikator den Zähler durch den Nenner Begriff für Begriff und geben Sie dies an.
(4) Die Formunsicherheit ergibt sich, und auch hier können Sie direkt unter dem Abschluss eine Teilung vornehmen. Aber mit einer Bedingung: die Koeffizienten bei den höchsten Graden der Polynome müssen unterschiedlich sein. Wir haben sie unterschiedlich (5 und 6), und daher ist es möglich (und notwendig) beide Stockwerke zu unterteilen. Wenn diese Koeffizienten sind gleich, zum Beispiel (1 und 1):, dann funktioniert dieser Trick nicht und Sie müssen verwenden zweite wunderbare grenze... Wenn Sie sich erinnern, wurden diese Feinheiten im letzten Absatz des Artikels berücksichtigt. Limit-Lösungsmethoden.

(5) Tatsächlich führen wir eine Term-für-Term-Division durch und geben an, welche Terme gegen Null tendieren.
(6) Unsicherheit ist beseitigt, wir haben die einfachste Grenze:. Warum in unendlich groß Grad geht gegen Null? Weil die Basis des Grades die Ungleichung erfüllt. Falls jemand Zweifel an der Fairness des Limits hat , dann werde ich nicht faul, ich nehme einen Taschenrechner:
Wenn, dann
Wenn, dann
Wenn, dann
Wenn, dann
Wenn, dann
… usw. ins Unendliche - also im Limit:

Nur das Gleiche unendlich abnehmender geometrischer Verlauf an den Fingern =)
! Verwenden Sie diesen Trick niemals als Beweis! Denn wenn etwas offensichtlich ist, heißt es nicht, dass es richtig ist.

(7) Wir weisen darauf hin, dass wir daraus schließen, dass die Reihe konvergiert.

Beispiel 10

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Dies ist ein Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung.

Manchmal wird ein provokatives Beispiel für eine Lösung angeboten, zum Beispiel:. Hier im Exponenten kein "de", nur eine Konstante. Hier müssen Sie Zähler und Nenner quadrieren (Sie erhalten Polynome) und dann den Algorithmus aus dem Artikel einhalten Reihen für Dummies... In einem solchen Beispiel sollte entweder das notwendige Kriterium für die Konvergenz der Reihe oder das einschränkende Vergleichskriterium funktionieren.

Integraler Cauchy-Test

Oder nur ein integraler Bestandteil. Ich werde diejenigen enttäuschen, die den Stoff des ersten Kurses schlecht beherrschen. Um das Cauchy-Integralkriterium anwenden zu können, ist es notwendig, Ableitungen und Integrale mehr oder weniger sicher zu finden und auch die Fähigkeit zu berechnen unechtes Integral der ersten Art.

In Lehrbüchern über Infinitesimalrechnung integraler Cauchy-Test mathematisch streng gegeben, aber zu verzerrt, so formuliere ich das Kriterium nicht zu streng, aber verständlich:

Erwägen positive Zahlenreihe... Wenn es ein uneigentliches Integral gibt, dann konvergiert oder divergiert die Reihe zusammen mit diesem Integral.

Und gleich Beispiele zur Verdeutlichung:

Beispiel 11

Untersuchen Sie die Reihe auf Konvergenz

Fast ein Klassiker. Natürlicher Logarithmus und eine Art Byaka.

Die Hauptprämisse der Verwendung des integralen Cauchy-Kriteriums ist die Tatsache, dass der gemeinsame Term der Reihe Faktoren enthält, die einer Funktion und ihrer Ableitung ähnlich sind. Aus dem Thema