Was ist der natürliche Logarithmus 10. Logarithmus

Also, bevor wir uns abziehen. Wenn Sie eine Nummer von der unteren Zeile annehmen, können Sie leicht einen Abschluss finden, in dem die Deuce genommen werden muss, um diese Nummer zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, benötigen Sie zwei, um einen vierten Grad aufzubauen. Und um 64 zu erhalten, benötigen Sie zwei, um im sechsten Grad zu bauen. Dies ist aus dem Tisch ersichtlich.

Und jetzt - eigentlich die Definition von Logarithmus:

Der Logarithmus auf der Basis A vom X-Argument ist der Grad, in dem die Zahl A genommen werden soll, um die Nummer x zu erhalten.

Bezeichnung: log a x \u003d b, wo A die Basis ist, x ist ein Argument, B - eigentlich, was dem Logarithmus gleich ist.

Beispielsweise 2 3 \u003d 8 ⇒ · · · · · · 2 8 \u003d 3 (der Logarithmus für die Basis 2 von der Zahl 8 ist drei, da 2 3 \u003d 8). Mit demselben Erfolgsprotokoll 2 64 \u003d 6, seit 2 6 \u003d 64.

Der Betrieb des Findens des Logarithmus der Zahl für eine bestimmte Basis wird als Logarithming bezeichnet. Ergänzen Sie also unseren Tisch mit einer neuen Zeichenfolge:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

Leider gelten nicht alle Logarithmen so einfach. Versuchen Sie beispielsweise, Protokoll 2 5 zu finden. Zahlen 5 sind nicht in der Tabelle, aber die Logik legt nahe, dass der Logarithmus irgendwo im Segment liegt. Weil 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Solche Zahlen werden irrational bezeichnet: Die Zahlen, nachdem das Komma in unendlich geschrieben werden kann, und sie wiederholen sich nie. Wenn der Logarithmus irrational erhalten wird, ist es besser, es zu verlassen: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es ist wichtig zu verstehen, dass Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen (Base und Argument) ist. Viele zuerst verwirren, wo sich die Basis befindet, und wo ist das Argument. Um ärgerliche Missverständnisse zu vermeiden, schauen Sie sich einfach das Bild an:

Vor uns ist nichts weiter als die Definition von Logarithmus. Merken: logarithmus ist ein AbschlussIn dem die Stiftung genommen werden muss, um ein Argument zu erhalten. Es ist die Grundlage, die in einem Abschluss integriert ist - im Bild, das in Rot hervorgehoben wird. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer im Erdgeschoss ist! Diese wundervolle Regel sage ich meinen Schülern in der ersten Lektion - und keine Verwirrung entsteht.

Wir haben uns mit der Definition befasst - es bleibt, Logarithmen zu berücksichtigen, d. H. Befreien Sie sich das Zeichen "log". Zunächst beachten wir, dass zwei wichtige Fakten aus der Definition folgen:

Das Argument und die Basis sollten immer größer als Null sein. Dies folgt von der Bestimmung des Rational-Indikators, auf den die Definition von Logarithmus reduziert wird.
Die Basis sollte sich von der Einheit unterscheiden, da das Gerät in einem beliebigen Grad immer noch einheitlich bleibt. Aus diesem Grund sollte die Frage "wie viel das Gerät errichtet werden, um eine Deuce" von Bedeutung zu erhalten. Es gibt keinen solchen Grad!

Solche Einschränkungen werden aufgerufen der Bereich der zulässigen Werte (Otz). Es stellt sich heraus, dass ein ungerade Logarithmus so aussieht: log A x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Beachten Sie, dass keine Einschränkungen der Nummer B (der Wert des Logarithmus) nicht überlagert ist. Beispielsweise kann der Logarithmus negativ sein: log 2 0,5 \u003d -1, weil 0,5 \u003d 2 -1.

Jetzt berücksichtigen wir jedoch nur numerische Ausdrücke, in denen der OTZ-Logarithmus nicht erforderlich ist. Alle Einschränkungen werden bereits von den Compilern von Aufgaben berücksichtigt. Wenn jedoch logarithmische Gleichungen und Ungleichungen gehen, werden die Anforderungen von Otz obligatorisch. In der Tat können an der Basis und des Arguments sehr unvernünftige Strukturen stehen, was notwendigerweise den oben genannten Einschränkungen entspricht.

Jetzt überlegen allgemeine Schema. Berechnungen von Logarithmen. Es besteht aus drei Schritten:

Senden Sie die Basis A und das Argument X in Form eines Grads mit der minimal möglichen Basis, einer großen Einheit ein. Auf dem Weg ist es besser, Dezimalfraktionen loszuwerden;
Lösen Sie relativ zur variablen B-Gleichung: X \u003d A B;
Die resultierende Nummer B ist die Antwort.

Das ist alles! Wenn der Logarithmus irrational ist, ist es im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis mehr vereint war, ist sehr wichtig: Es reduziert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Ähnlich wie S. dezimalfraktionen.: Wenn Sie sie sofort in gewöhnliche Übertragungen übertragen, werden Fehler zeitweise weniger sein.

Mal sehen, wie dieses Schema auf bestimmten Beispielen arbeitet:

Eine Aufgabe. Logarithm berechnen: Protokoll 5 25

Präsentieren Sie die Basis und das Argument als Grad von fünf: 5 \u003d 5 1; 25 \u003d 5 2;

Lassen Sie uns und lösen Sie die Gleichung:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

Die Antwort erhielt: 2.

Eine Aufgabe. Logarithmus berechnen:

Eine Aufgabe. Logarithm berechnen: log 4 64

Stellen Sie sich die Basis und das Argument als Grad von Twos: 4 \u003d 2 2 vor. 64 \u003d 2 6;
Lassen Sie uns und lösen Sie die Gleichung:
Protokoll 4 64 \u003d B ⇒ (2 2) B \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ B \u003d 3;
Die Antwort erhielt: 3.

Eine Aufgabe. Logarithm berechnen: log 16 1

Stellen Sie sich die Basis und das Argument als ein Grad von zwei: 16 \u003d 2 4 vor. 1 \u003d 2 0;
Lassen Sie uns und lösen Sie die Gleichung:
log 16 1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4B \u003d 0 ⇒ B \u003d 0;
Erhielt die Antwort: 0.

Eine Aufgabe. Logarithmus berechnen: log 7 14

Präsentieren Sie die Basis und das Argument als einen Grad von sieben: 7 \u003d 7 1; 14 In der Form des Grades von sieben scheint es nicht, seit 7 1< 14 < 7 2 ;
Aus dem vorherigen Punkt folgt, dass der Logarithmus nicht berücksichtigt wird.
Die Antwort ist keine Änderung: log 7 14.

Kleine Bemerkung K. letztes Beispiel. So stellen Sie sicher, dass die Nummer nicht das genaue Grad einer anderen Anzahl ist? Sehr einfach - genug, um es auf einfachen Faktoren zu zersetzen. Wenn bei der Zersetzung mindestens zwei unterschiedlichen Faktors vorhanden ist, ist die Zahl kein genauer Grad.

Eine Aufgabe. Finden Sie heraus, ob die genauen Grade der Anzahl: 8; 48; 81; 35; vierzehn

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - Genauer Grad, weil Der Multiplizierer ist nur eins;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - Es ist kein genauer Grad, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - Genauer Grad;
35 \u003d 7 · 5 - wieder ist kein genauer Grad;
14 \u003d 7 · 2 - wieder, nicht exakter Grad;

Wir stellen auch fest, dass die einfachen Zahlen selbst immer genaue Abschlüsse selbst sind.

Dezimaler Logarithmus.

Einige Logarithmen werden so oft angetroffen, dass sie einen speziellen Namen und Bezeichnungen haben.

Der Dezimallogarithmus aus dem X-Argument ist ein Logarithmus, der auf 10, d. H. Der Grad, in dem die Zahl 10 errichtet werden sollte, um die Nummer x zu erhalten. Bezeichnung: LG X.

Beispielsweise lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; LG 1000 \u003d 3 - usw.

Von nun an, wenn das Lehrbuch auf den Satz wie "Find LG 0,01" trifft, wissen Sie: Es ist kein Tippfehler. Dies ist ein dezimaler Logarithmus. Wenn Sie jedoch für eine solche Bezeichnung ungewöhnlich sind, kann es immer umgeschrieben werden:
Lg x \u003d log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen trifft, trifft für Dezimalzahlen zu.

Natürlicher Logarithmus.

Es gibt einen anderen Logarithmus, der seine eigene Bezeichnung hat. In gewissem Sinne ist es noch wichtiger als Dezimal. Wir reden Über natürlichem Logarithmus.

Der natürliche Logarithmus aus dem Argument X ist ein Logarithmus basierend auf E, d. H. Der Grad, in dem die Zahl E errichtet werden sollte, um die Nummer x zu erhalten. Bezeichnung: Ln X.

Viele werden fragen: Was sonst noch in der Nummer E? Dies ist eine irrationale Zahl, der genaue Wert, um es unmöglich zu finden und zu schreiben. Ich werde nur seine ersten Zahlen geben:
e \u003d 2.718281828459 ...

Wir werden nicht vertiefen, dass dies die Nummer ist und warum Sie brauchen. Denken Sie daran, dass E die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x \u003d log e x

Somit ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; LN E 16 \u003d 16 - usw. Andererseits ist LN 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen ist der natürliche Logarithmus einer rationalen Zahl irrational. Außerdem natürlich Einheiten: ln 1 \u003d 0.

Für natürliche Logarithmen sind alle Regeln, die für gewöhnliche Logarithmen trugen, gültig.

Natürlicher Logarithmus.

Die Grafik der Funktion des natürlichen Logarithmus. Die Funktion nähert sich langsam der positiven Unendlichkeit, während sie zunimmt x. und nähern sich schnell negative Unendlichkeit, wenn x. sucht nach 0 ("langsam" und "schnell" im Vergleich zu jeder Stromfunktion von x.).

Natürlicher Logarithmus. - Dies ist ein Logarithmus basierend auf wo e. - eine irrationale Konstante, gleich ungefähr 2.718281 828. Natürlicher Logarithmus benennt normalerweise als ln ( x.), Log. e. (x.) oder manchmal nur log ( x.) Wenn die Basis e. Mitglieder.

Natürliche Logarithmus-Nummer. x. (geschrieben als ln (x)) ist ein Indikator für den Grad, in dem die Zahl ausgegeben werden muss e., um zu bekommen x.. Beispielsweise, ln (7.389 ...) gleich 2 weil e. 2 =7,389... . Natürlicher Logarithmus der Anzahl der Zahl e. (ln (e)) gleich 1, weil e. 1 = e.und natürlicher Logarithmus 1 ( ln (1)) gleich 0, da e. 0 = 1.

Der natürliche Logarithmus kann für jede positive reelle Zahl definiert werden. eIN. Als Bereich unter der Kurve y. = 1/x. von 1 bis eIN.. Die Einfachheit dieser Definition, die mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, in der der natürliche Logarithmus angewendet wird, führte zum Erscheinungsbild des Namens "Natürlich". Diese Definition kann auf integrierter Zahlen erweitert werden, da er unten gesagt wird.

Wenn wir den natürlichen Logarithmus als echte Funktion einer gültigen Variablen betrachten, ist es eine umgekehrte Funktion einer exponentiellen Funktion, die zu Identitäten führt:

Wie alle Logarithmen zeigt natürlicher Logarithmus Multiplikation durch Hinzufügen:

Somit ist die logarithmische Funktion ein Isomorphismus einer Gruppe von positiven gültigen Zahlen relativ zur Multiplikation durch eine Gruppe reelle Zahlen durch Zugabe, die als Funktion dargestellt werden kann:

Logarithmus kann für jede positive Fundament als 1 definiert werden, und nicht nur für e.Logarithmen für andere Basen unterscheiden sich jedoch nur durch einen konstanten Faktor von dem natürlichen Logarithmus, und werden in der Regel in Bezug auf den natürlichen Logarithmus ermittelt. Logarithmen sind nützlich, um Gleichungen zu lösen, in denen unbekannte Personen als Indikator für den Grad vorhanden sind. Zum Beispiel werden Logarithmen verwendet, um einen ständigen Zerfall für den bekannten Halbwertszeitraum zu finden oder die Zeit des Zerfalls bei der Lösung von Problemen von Radioaktivität zu finden. Sie spielen in vielen Bereichen der Mathematik- und angewandten Wissenschaften eine wichtige Rolle, gelten im Bereich Finanzen, um viele Aufgaben zu lösen, einschließlich der Suche nach komplexem Interesse.

Geschichte

Die erste Erwähnung des natürlichen Logarithmus machte Nicholas Mercator in der Arbeit Logarithmotechnia., veröffentlicht 1668, obwohl der Mathematiklehrer John Spindel 1619 in 1619 ein Tisch mit natürlichen Logarithmen machte. Zuvor wurde es hyperbolischer Logarithmus bezeichnet, da er dem Bereich unter der Hyperbole entspricht. Manchmal wird es als Logarithmus des Glaubens genannt, obwohl die anfängliche Bedeutung dieses Begriffs etwas anders war.

Konvention über Bezeichnungen.

Der natürliche Logarithmus wird durch "LN ( x.) ", Logarithmus für die Basis 10 - durch" LG ( x.) ", Und andere Fundamente werden normalerweise explizit mit dem Symbol" Log "angegeben.

In vielen Werken über diskrete Mathematik, Cybernetics, Informatik verwenden die Autoren das Bezeichnung "Protokoll" ( x.) "Für Logarithmen basierend auf 2, aber diese Vereinbarung wird jedoch nicht generell akzeptiert und erfordert eine Klarstellung oder in der Liste der verwendeten Bezeichnungen oder (in Abwesenheit einer solchen Liste) mit einer Fußnote oder einem Kommentar beim ersten Gebrauch.

Halterungen um das Argument von Logarithmen (wenn es nicht zum fehlerhaften Lesen der Formel der Formel führt) oder wenn der Logarithmus in dem Grad errichtet wird, wird der Indikator direkt auf das Logarithmuszeichen zurückgeführt: LN 2 LN 3 4 x. 5 = [ ln. ( 3 )] 2 .

Anglo-amerikanisches System

Mathematik, Statistiken und Teil der Ingenieure werden üblicherweise zur Bezeichnung eines natürlichen Logarithmus oder "Log (log ( x.) ", Oder" ln ( x.) ", Und zum Bezeichnen von Logarithmus basierend auf der Basis 10 -" log 10 ( x.)».

Einige Ingenieure, Biologen und andere Spezialisten schreiben immer "ln ( x.) "(Oder gelegentlich" log E ( x.) "), Wenn sie natürliches Logarithmus bedeuten, und das Aufnehmen" Protokoll ( x.) "Sie meinen Log 10 ( x.).

log. e. Es ist ein "natürlicher" Logarithmus, da es automatisch entsteht und sehr oft in Mathematik erscheint. Betrachten Sie beispielsweise das Problem des Derivats logarithmische Funktion.:

Wenn der Base b. gleichermaßen e.Das Derivat ist nur 1 / x., und wann x. \u003d 1 Dieses Derivat ist 1. Eine weitere Rationale, für die die Basis e. Logarithmus ist am natürlichsten, dass es ganz einfach in Bezug auf ein einfaches Integral oder eine Reihe von Taylor bestimmt werden kann, die nicht über andere Logarithmen gesagt werden kann.

Eine weitere Begründung der Natürlichkeit bezieht sich nicht auf die Nummer. Beispielsweise gibt es mehrere einfache Reihen mit natürlichen Logarithmen. Pietro Mengoli und Nikolai Mercator nannten sie logarithmus naturulis. Ein paar Jahrzehnte, bis Newton und Labiter einen differenziellen und integrierten Kalkül entwickelt haben.

Definition

Formal ln ( eIN.) kann als Bereich unter der Kurve der Grafik 1 / definiert werden x. von 1 bis eIN., d. H. Als Integral:

Es ist wirklich ein Logarithmus, weil er die grundlegende Eigenschaft des Logarithmus erfüllt:

Dies kann demonstriert werden, was folgt:

Numerischer Wert

Um den numerischen Wert des natürlichen Logarithmus der Zahl zu berechnen, ist es möglich, seine Zersetzung in einer Reihe von Taylor in Form von:

Um die beste Konvergenzgeschwindigkeit zu erhalten, können Sie folgende Identität verwenden:

unter der Vorraussetzung, dass y. = (x.−1)/(x.+1) I. x. > 0.

Für ln ( x.), wo x. \u003e 1, der nähere Wert x. K 1, desto schneller ist die Geschwindigkeit der Konvergenz. Die mit Logarithm verbundenen Identitäten können verwendet werden, um das Ziel zu erreichen:

Diese Verfahren wurden sogar vor den erscheinenden Bemechtern verwendet, für die numerische Tische verwendet wurden, und Manipulationen wurden ähnlich wie oben beschrieben.

Hohe Genauigkeit

Um einen natürlichen Logarithmus mit einer großen Anzahl von Genauigkeitsnummern zu berechnen, ist eine Reihe von Taylor nicht wirksam, da seine Konvergenz langsam ist. Eine Alternative besteht darin, die Newton-Methode, um in einer exponentiellen Funktion invertieren zu können, von denen eine Anzahl schneller konvergiert.

Eine Alternative für eine sehr hohe Berechnungsgenauigkeit ist die Formel:

wo M. bezeichnet einen arithmetischen geometrischen Durchschnitt von 1 und 4 / s und

m. so gewählt, dass das ist p. Genauigkeitszeichen werden erreicht. (In den meisten Fällen ist der Wert von 8 für m ganz ausreichend.) Wenn dieses Verfahren verwendet wird, kann die Inversion des natürlichen Logarithmus von Newton verwendet werden, um die exponentielle Funktion effektiv zu berechnen. (LN 2- und PI-Konstanten können bis zur gewünschten Genauigkeit mit einer der bekannten schnellen konvergierenden Serie vorberechnet werden.)

Rechenkomplexität

Die rechnerische Komplexität natürlicher Logarithmen (unter Verwendung eines arithmetischen geometrischen Mittelwerts) ist o ( M.(n.) ln. n.). Hier n. - Die Anzahl der Genauigkeitsnummern, für der natürlicher Logarithmus geschätzt werden muss, und M.(n.) - Rechenkomplexität der Multiplikation von zwei n.- Zusammenfassungsnummern.

Kontinuierliche Fraktionen

Obwohl es keine einfachen kontinuierlichen Fraktionen gibt, um Logarithmus darzustellen, können Sie jedoch mehrere verallgemeinerte verwenden kontinuierliche Fraktionen, einschließlich:

Komplexe Logarithmen

Die exponentielle Funktion kann auf eine Funktion erweitert werden, die eine umfassende Anzahl von Arten ergibt. e. x. Für jede beliebige integrierte Anzahl x.Es verwendet eine endlose Reihe mit Komplex x.. Diese exponentialfunktion Es kann mit der Bildung eines integrierten Logarithmus invertiert werden, der die meisten Eigenschaften gewöhnlicher Logarithmen hat. Es gibt jedoch zwei Schwierigkeiten: Nein x.für das e. x. \u003d 0, und es stellt sich heraus e. 2πi. = 1 = e. 0. Da die Multiplikationseigenschaft für eine komplexe exponentielle Funktion gültig ist, e. z. = e. z.+2nπi. Für alle Komplexe z. und ganze Zahlen n..

Der Logarithmus kann nicht auf der gesamten komplexen Ebene ermittelt werden, und sogar gleichzeitig ist es mehrschichtig - jeder komplexe Logarithmus kann durch den "äquivalenten" Logarithmus ersetzt werden, und fügt eine ganze Zahl, mehrere 2 hinzu πi.. Der komplexe Logarithmus kann nur auf einer Scheibe einer komplexen Ebene eindeutig sein. Zum Beispiel ln. iCH. = 1/2 πi. oder 5/2. πi. oder -3/2. πi.usw. und obwohl iCH. 4 \u003d 1, 4 log iCH. kann als 2 definiert werden πi.oder 10. πi. oder -6. πi., usw.

siehe auch

John nie - der Erfinder der Logarithmen

Anmerkungen

Mathematik für körperliche Chemie. - 3. 3. - Akademische Presse, 2005. - S. 9. - ISBN 0-125-08347-5 , Extrakt von Seite 9
J J O "Connor und E F R Robertson Die Zahl E. Die Mactutor-Geschichte des Mathematik-Archivs (September 2001). Archiviert
Cajori Florian. Eine Geschichte der Mathematik, 5. ed. - AMS-Buchhandlung, 1991. - S. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin. Abschätzung der Integrale mit Polynomen. Von der Hauptquelle am 12. Februar 2012 archiviert.

Natürlicher Logarithmus. - Dies ist ein Logarithmus basierend auf wo E (\\ displaystyle e) - eine irrationale Konstante in Höhe von ungefähr 2,72. Es ist angedeutet durch Ln \u2061 x (\\ displaystyle \\ ln x), Log e \u2061 x (\\ displaystyle \\ log _ (e) x) Oder manchmal einfach Log \u2061 x (\\ displaystyle \\ log x)Wenn die Grundlage E (\\ displaystyle e) Mitglieder. Mit anderen Worten, natürlicher Logarithmus x. - Dies ist ein Indikator, in dem die Zahl ausgegeben werden muss e., um zu bekommen x.. Diese Definition kann auf komplexe Zahlen erweitert werden.

ln \u2061 e \u003d 1 (\\ displaystyle \\ ln e \u003d 1), weil E 1 \u003d E (\\ displaystyle e ^ (1) \u003d e); Ln \u2061 1 \u003d 0 (\\ displaystyle \\ ln 1 \u003d 0), weil E 0 \u003d 1 (\\ displaystyle e ^ (0) \u003d 1).

Der natürliche Logarithmus kann auch für jede positive reelle Zahl geometrisch definiert werden. eIN. Als Bereich unter der Kurve y \u003d 1 x (\\ displaystyle y \u003d (\\ frac (1) (x))) Im Intervall [ einer ; A] (\\ DisplayStyle). Die Einfachheit dieser Definition, die mit vielen anderen Formeln übereinstimmt, in der dieser Logarithmus angewendet wird, erklärt den Ursprung des Namens "Natürlich".

Wenn wir den natürlichen Logarithmus als echte Funktion einer gültigen Variablen betrachten, ist es eine umgekehrte Funktion einer exponentiellen Funktion, die zu Identitäten führt:

e ln \u2061 a \u003d a (a\u003e 0); (\\ displaystyle e ^ (\\ ln a) \u003d a \\ Quad (A\u003e 0);) Ln \u2061 e a \u003d a (a\u003e 0). (\\ displaystyle \\ ln e ^ (a) \u003d a \\ Quad (A\u003e 0).)

Wie alle Logarithmen zeigt natürlicher Logarithmus Multiplikation durch Hinzufügen:

Ln \u2061 x y \u003d ln \u2061 x + ln \u2061 y. (\\ displaystyle \\ ln xy \u003d \\ ln x + \\ ln y.)

Der Logarithmus der positiven Zahl B für die Basis A (A\u003e 0, A ist nicht gleich 1) sie nennen eine solche Anzahl mit diesem AC \u003d B: log AB \u003d C ⇔ AC \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1) , B\u003e 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Bitte beachten Sie: Der Logarithmus aus einer unzureichenden Zahl ist nicht definiert. Darüber hinaus sollte an der Basis des Logarithmus eine positive Zahl sein, nicht gleich 1, wenn wir beispielsweise in einem Platz errichtet werden, die Nummer 4 erhalten, aber dies bedeutet nicht, dass der Logarithmus auf der Basis ist - 2 von 4 ist 2.

Grundlegende logarithmische Identität

ein Protokoll A B \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1) (2)

Es ist wichtig, dass die Bereiche der Bestimmung der rechten und linken Teile dieser Formel unterschiedlich sind. Der linke Teil ist nur bei B\u003e 0, A\u003e 0 und A ≠ 1 definiert. Die rechte Seite ist an jedem B definiert, und es hängt nicht von einem ab. Somit kann die Verwendung der wichtigsten logarithmischen "Identität" beim Lösen von Gleichungen und Ungleichheiten zu einer Änderung des OTZ führen.

Zwei naheliegende Folgen der Definition von Logarithmus

Log a a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1) (3)
Log A 1 \u003d 0 (A\u003e 0, a ≠ 1) (4)

Wenn in dem ersten Grad die Nummer A errichtet wird, erhalten wir in derselben Anzahl und wenn er in einem Null-Grad errichtet wird.

Logarithm arbeitet und logarithm privat

Protokoll A (B C) \u003d log A B + -Protokoll A C (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, C\u003e 0) (5)

Log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (6)

Ich möchte Schulkinder aus der gedankenlosen Anwendung dieser Formeln warnen, um logarithmische Gleichungen und Ungleichungen zu lösen. Wenn Sie sie verwenden, "von links nach rechts" gibt es ein Verengung von Otz, und im Übergang von der Menge oder den Unterschied von Logarithmen an den Logarithmus der Arbeit oder des Privatvorgangs - der Erweiterung von Otz.

In der Tat ist das Ausdrucksprotokoll A (f (x) g (x)) in zwei Fällen definiert: Wenn beide Funktionen streng positiv sind oder wenn f (x) und g (x) weniger als Null sind.

Konvertieren dieses Ausdrucks in die Menge des Protokolls A F (x) + log A g (x), müssen wir nur durch den Fall, wenn f (x)\u003e 0 und g (x)\u003e 0 gebracht werden, um eingerechnet werden. Es gibt einen Verengungsbereich zulässiger Werte, und dies ist kategorisch inakzeptabel, da er zum Entscheidungsabfall führen kann. Für die Formel (6) existiert ein ähnliches Problem.

Der Grad kann für das Logarithmus-Zeichen vorgenommen werden

Log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) (7)

Und wieder möchte ich die Genauigkeit nennen. Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Log a (f (x) 2 \u003d 2 log a f (x)

Der linke Teil der Gleichheit wird offensichtlich mit allen Werten von f (x) bestimmt, mit Ausnahme von Null. Richtiger Teil - nur bei f (x)\u003e 0! Nachdem wir einen Abschluss aus dem Logarithmus gemacht haben, suven wir den Otz. Der umgekehrte Verfahren führt dazu, dass der Bereich zulässiger Werte erweitert wird. Alle diese Kommentare beziehen sich nicht nur auf den Grad 2, sondern auch auf jeden Grad.

Formel des Übergangs zu einer neuen Basis

Log A b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1) (8)

Der seltene Fall, wenn OTZ beim Konvertieren nicht ändert. Wenn Sie die Basis mit (positiv und nicht gleich 1) wählten, ist die Übergangsformel an eine neue Basis absolut sicher.

Wenn Sie als neuer Basis mit der Wahl der Nummer B wählen, erhalten wir einen wichtigen Sonderfall der Formel (8):

Protokoll A B \u003d 1 log B A (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, B ≠ 1) (9)

Einige einfache Beispiele mit Logarithmen

Beispiel 1. Berechnen: LG2 + LG50.
Entscheidung. LG2 + LG50 \u003d LG100 \u003d 2. Wir haben die Formelsumme der Logarithmen (5) und die Bestimmung des Dezimallogarithmus verwendet.

Beispiel 2. Berechnen: LG125 / LG5.
Entscheidung. LG125 / LG5 \u003d log 5 125 \u003d 3. Wir haben den Übergang zu einer neuen Basis (8) benutzt.

Tabellenformeln im Zusammenhang mit Logarithmen

Ein Protokoll A B \u003d B (A\u003e 0, A ≠ 1)

Log A \u003d 1 (A\u003e 0, A ≠ 1)

Log A 1 \u003d 0 (A\u003e 0, A ≠ 1)

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

Log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

Log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0)

Log A B \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1)

Protokollieren eines B \u003d 1-Protokolls B A (A\u003e 0, A ≠ 1, B\u003e \u200b\u200b0, B ≠ 1)

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