So berechnen Sie die Wurzel einer quadratischen Gleichung. Quadratische Gleichungen lösen, Wurzelformel, Beispiele
Video-Tutorial 2: Quadratische Gleichungen lösen
Vorlesung: Quadratische Gleichungen
Die gleichung
Die gleichung- Dies ist eine Art Gleichheit, in deren Ausdrücken eine Variable vorhanden ist.
Löse die Gleichung- bedeutet, eine solche Zahl anstelle einer Variablen zu finden, die sie in die richtige Gleichheit bringt.
Eine Gleichung kann eine Lösung, mehrere Lösungen oder gar keine Lösung haben.
Um eine Gleichung zu lösen, sollte sie so weit wie möglich auf die Form vereinfacht werden:
Linear: a * x = b;
Quadrat: a * x 2 + b * x + c = 0.
Das heißt, jede Gleichung muss vor dem Lösen in eine Standardform umgewandelt werden.
Jede Gleichung kann auf zwei Arten gelöst werden: analytisch und grafisch.
Auf dem Graphen werden als Lösung der Gleichung die Punkte angesehen, an denen der Graph die OX-Achse schneidet.
Quadratische Gleichungen
Eine Gleichung kann als quadratisch bezeichnet werden, wenn sie vereinfacht die Form annimmt:
a * x 2 + b * x + c = 0.
Dabei a, b, c sind die Koeffizienten der Gleichung, die von Null abweichen. ABER "x"- Wurzel der Gleichung. Es wird angenommen, dass eine quadratische Gleichung zwei Wurzeln hat oder überhaupt keine Lösung hat. Die resultierenden Wurzeln können die gleichen sein.
"aber"- der Koeffizient, der vor der Quadratwurzel steht.
"b"- steht im ersten Grad vor dem Unbekannten.
"von" ist der freie Term der Gleichung.
Wenn wir zum Beispiel eine Gleichung der Form haben:
2x 2 -5x + 3 = 0
Darin ist "2" der Koeffizient am höchsten Term der Gleichung, "-5" ist der zweite Koeffizient und "3" ist der freie Term.
Entscheidung quadratische Gleichung
Es gibt viele Möglichkeiten, eine quadratische Gleichung zu lösen. Im Schulmathematikkurs wird die Lösung jedoch nach dem Vieta-Theorem sowie unter Verwendung der Diskriminante untersucht.
Diskriminierende Lösung:
Beim Lösen mit diese Methode Es ist notwendig, die Diskriminante nach der Formel zu berechnen:
Wenn Sie während der Berechnungen feststellen, dass die Diskriminante kleiner als Null ist, bedeutet dies, dass diese Gleichung keine Lösungen hat.
Wenn die Diskriminante null ist, hat die Gleichung zwei identische Lösungen. In diesem Fall kann das Polynom durch die abgekürzte Multiplikationsformel auf das Quadrat der Summe oder Differenz kollabiert werden. Dann lösen Sie es als lineare Gleichung. Oder verwenden Sie die Formel:
Wenn die Diskriminante größer als Null ist, müssen Sie die folgende Methode verwenden:
Satz von Vietata
Wenn die Gleichung reduziert wird, dh der Koeffizient am führenden Term gleich eins ist, können Sie verwenden Satz von Vietata.
Angenommen, die Gleichung lautet:
Die Wurzeln der Gleichung werden wie folgt gefunden:
Unvollständige quadratische Gleichung
Es gibt mehrere Möglichkeiten, eine unvollständige quadratische Gleichung zu erhalten, deren Form von der Verfügbarkeit von Koeffizienten abhängt.
1. Wenn der zweite und der dritte Koeffizient null sind (b = 0, c = 0), dann lautet die quadratische Gleichung:
Diese Gleichung wird eine eindeutige Lösung haben. Gleichheit ist nur dann wahr, wenn es Null als Lösung der Gleichung gibt.
Formeln für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung. Es werden die Fälle reeller, multipler und komplexer Wurzeln betrachtet. Faktorisieren eines quadratischen Trinoms. Geometrische Interpretation. Beispiele für die Bestimmung von Wurzeln und das Factoring.
Grundformeln
Betrachten Sie eine quadratische Gleichung:
(1)
.
Quadratische Wurzeln(1) werden durch die Formeln bestimmt:
;
.
Diese Formeln können wie folgt kombiniert werden:
.
Wenn die Wurzeln der quadratischen Gleichung bekannt sind, kann das Polynom zweiten Grades als Produkt von Faktoren (faktorisiert) dargestellt werden:
.
Weiterhin nehmen wir an, dass es sich um reelle Zahlen handelt.
Erwägen quadratische Diskriminante:
.
Wenn die Diskriminante positiv ist, hat die quadratische Gleichung (1) zwei verschiedene reelle Wurzeln:
;
.
Dann lautet die Faktorisierung des quadratischen Trinoms:
.
Wenn die Diskriminante null ist, hat die quadratische Gleichung (1) zwei mehrfache (gleiche) reelle Wurzeln:
.
Faktorisierung:
.
Wenn die Diskriminante negativ ist, hat die quadratische Gleichung (1) zwei komplex konjugierte Wurzeln:
;
.
Hier ist eine imaginäre Einheit,;
und - Real- und Imaginärteil der Wurzeln:
;
.
Dann
.
Grafische Interpretation
Wenn du baust Funktionsgraph
,
was eine Parabel ist, dann sind die Schnittpunkte des Graphen mit der Achse die Wurzeln der Gleichung
.
Wenn der Graph die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten schneidet.
Wenn der Graph die Abszissenachse an einem Punkt berührt.
Wenn der Graph die Abszissenachse nicht schneidet.
Nachfolgend finden Sie Beispiele für solche Diagramme.
Nützliche quadratische Gleichungen
(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .
Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Wir führen Transformationen durch und wenden Formeln (f.1) und (f.3) an:
,
Wo
;
.
Wir haben also die Formel für das Polynom zweiten Grades in der Form:
.
Daraus ergibt sich, dass die Gleichung
wird durchgeführt um
und.
Das heißt, sie sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung
.
Beispiele für die Bestimmung der Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Beispiel 1
(1.1)
.
Entscheidung
.
Im Vergleich zu unserer Gleichung (1.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Wurzeln:
;
;
.
Daraus erhalten wir die Faktorisierung des quadratischen Trinoms:
.
Funktionsgraph y = 2 x 2 + 7 x + 3 schneidet die Abszissenachse an zwei Punkten.
Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die Abszissenachse (Achse) an zwei Punkten:
und.
Diese Punkte sind die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung (1.1).
Antworten
;
;
.
Beispiel 2
Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(2.1)
.
Entscheidung
Schreiben wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
.
Im Vergleich mit der ursprünglichen Gleichung (2.1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Da die Diskriminante null ist, hat die Gleichung zwei mehrfache (gleiche) Wurzeln:
;
.
Dann lautet die Faktorisierung des Trinoms:
.
Funktionsgraph y = x 2 - 4 x + 4 die Abszissenachse an einem Punkt berührt.
Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Es berührt die Abszissenachse (Achse) an einem Punkt:
.
Dieser Punkt ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung (2.1). Da diese Wurzel zweimal in die Faktorisierung eingeht:
,
dann wird eine solche Wurzel gewöhnlich als multiple bezeichnet. Das heißt, sie glauben, dass es zwei gleiche Wurzeln gibt:
.
Antworten
;
.
Beispiel 3
Finden Sie die Wurzeln einer quadratischen Gleichung:
(3.1)
.
Entscheidung
Schreiben wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form:
(1)
.
Wir schreiben die ursprüngliche Gleichung (3.1) um:
.
Im Vergleich zu (1) finden wir die Werte der Koeffizienten:
.
Wir finden die Diskriminante:
.
Die Diskriminante ist negativ. Daher gibt es keine gültigen Wurzeln.
Komplexe Wurzeln können gefunden werden:
;
;
.
Dann
.
Der Graph der Funktion schneidet die Abszissenachse nicht. Es gibt keine gültigen Wurzeln.
Zeichnen wir die Funktion
.
Der Graph dieser Funktion ist eine Parabel. Sie schneidet die Abszissenachse (Achse) nicht. Daher gibt es keine gültigen Wurzeln.
Antworten
Es gibt keine gültigen Wurzeln. Komplexe Wurzeln:
;
;
.
Mit diesem Matheprogramm können Sie quadratische Gleichung lösen.
Das Programm gibt nicht nur eine Antwort auf das Problem, sondern zeigt auch den Lösungsprozess auf zwei Arten an:
- mit der Diskriminante
- Verwenden des Satzes von Vieta (wenn möglich).
Außerdem wird die Antwort exakt und nicht annähernd angezeigt.
Für die Gleichung \ (81x ^ 2-16x-1 = 0 \) wird die Antwort beispielsweise in dieser Form angezeigt:
Dieses Programm kann für Gymnasiasten zur Vorbereitung auf Steuerung funktioniert und Prüfungen, bei der Überprüfung des Wissens vor der Prüfung, die Eltern, um die Lösung vieler Probleme in Mathematik und Algebra zu kontrollieren. Oder ist es Ihnen vielleicht zu teuer, einen Nachhilfelehrer zu engagieren oder neue Lehrbücher zu kaufen? Oder willst du es einfach so schnell wie möglich machen Hausaufgaben in Mathematik oder Algebra? In diesem Fall können Sie auch unsere Programme mit einer Detaillösung nutzen.
Auf diese Weise können Sie Ihren eigenen Unterricht durchführen und / oder Ihre jüngeren Geschwister unterrichten, während das Bildungsniveau im Bereich der zu lösenden Probleme steigt.
Wenn Sie mit den Regeln zur Eingabe eines quadratischen Polynoms nicht vertraut sind, empfehlen wir Ihnen, sich damit vertraut zu machen.
Regeln für die Eingabe eines quadratischen Polynoms
Als Variable kann jeder lateinische Buchstabe verwendet werden.
Zum Beispiel: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) usw.
Zahlen können als ganze oder als Bruchzahlen eingegeben werden.
Darüber hinaus können Bruchzahlen nicht nur als Dezimalzahl, sondern auch als gewöhnlicher Bruch eingegeben werden.
Regeln für die Eingabe von Dezimalbrüchen.
Bei Dezimalbrüchen kann der Bruchteil vom Ganzen entweder durch einen Punkt oder ein Komma getrennt werden.
Sie können beispielsweise eingeben Dezimalstellen also: 2,5x - 3,5x ^ 2
Regeln für die Eingabe von gewöhnlichen Brüchen.
Als Zähler, Nenner und ganzer Teil eines Bruchs kann nur eine ganze Zahl verwendet werden.
Der Nenner darf nicht negativ sein.
Bei der Eingabe eines numerischen Bruchs wird der Zähler durch ein Divisionszeichen vom Nenner getrennt: /
Der gesamte Teil wird durch ein kaufmännisches Und von der Fraktion getrennt: &
Eingabe: 3 & 1/3 - 5 & 6 / 5z + 1 / 7z ^ 2
Ergebnis: \ (3 \ frac (1) (3) - 5 \ frac (6) (5) z + \ frac (1) (7) z ^ 2 \)
Bei der Eingabe eines Ausdrucks Klammern können verwendet werden... In diesem Fall wird beim Lösen einer quadratischen Gleichung zunächst der eingeführte Ausdruck vereinfacht.
Zum Beispiel: 1/2 (y-1) (y + 1) - (5y-10 & 1/2)
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Ein bisschen Theorie.
Quadratische Gleichung und ihre Wurzeln. Unvollständige quadratische Gleichungen
Jede der Gleichungen
\ (- x ^ 2 + 6x + 1,4 = 0, \ quad 8x ^ 2-7x = 0, \ quad x ^ 2- \ frac (4) (9) = 0 \)
hat die form
\ (ax ^ 2 + bx + c = 0, \)
wobei x eine Variable ist, a, b und c Zahlen sind.
In der ersten Gleichung a = -1, b = 6 und c = 1,4, in der zweiten a = 8, b = -7 und c = 0, in der dritten a = 1, b = 0 und c = 4/9. Solche Gleichungen heißen quadratische Gleichungen.
Definition.
Quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und \ (a \ neq 0 \).
Die Zahlen a, b und c sind die Koeffizienten der quadratischen Gleichung. Die Zahl a wird als erster Koeffizient bezeichnet, die Zahl b als zweiter Koeffizient und die Zahl c als freier Term.
In jeder der Gleichungen der Form ax 2 + bx + c = 0, wobei \ (a \ neq 0 \) die größte Potenz der Variablen x das Quadrat ist. Daher der Name: quadratische Gleichung.
Beachten Sie, dass eine quadratische Gleichung auch Gleichung zweiten Grades genannt wird, da ihre linke Seite ein Polynom zweiten Grades ist.
Eine quadratische Gleichung, in der der Koeffizient bei x 2 gleich 1 ist, heißt reduzierte quadratische Gleichung... Die reduzierten quadratischen Gleichungen sind beispielsweise die Gleichungen
\ (x ^ 2-11x + 30 = 0, \ quad x ^ 2-6x = 0, \ quad x ^ 2-8 = 0 \)
Wenn in der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 mindestens einer der Koeffizienten b oder c gleich Null ist, dann heißt eine solche Gleichung unvollständige quadratische Gleichung... Die Gleichungen -2x 2 + 7 = 0, 3x 2 -10x = 0, -4x 2 = 0 sind also unvollständige quadratische Gleichungen. Im ersten ist b = 0, im zweiten c = 0, im dritten b = 0 und c = 0.
Unvollständige quadratische Gleichungen gibt es in drei Typen:
1) ax 2 + c = 0, wobei \ (c \ neq 0 \);
2) ax 2 + bx = 0, wobei \ (b \ neq 0 \);
3) Achse 2 = 0.
Betrachten wir die Lösung von Gleichungen jedes dieser Typen.
Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + c = 0 für \ (c \ neq 0 \) zu lösen, übertrage ihren freien Term auf die rechte Seite und dividiere beide Seiten der Gleichung durch a:
\ (x ^ 2 = - \ frac (c) (a) \ Rightarrow x_ (1,2) = \ pm \ sqrt (- \ frac (c) (a)) \)
Da \ (c \ neq 0 \), dann \ (- \ frac (c) (a) \ neq 0 \)
Wenn \ (- \ frac (c) (a) > 0 \), dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.
Wenn \ (- \ frac (c) (a) Um eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx = 0 mit \ (b \ neq 0 \) zu lösen, zerlege ihre linke Seite in Faktoren und erhalte die Gleichung
\ (x (ax + b) = 0 \ Rightarrow \ left \ (\ begin (array) (l) x = 0 \\ ax + b = 0 \ end (array) \ right. \ Rightarrow \ left \ (\ begin (Array) (l) x = 0 \\ x = - \ frac (b) (a) \ end (Array) \ right. \)
Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 + bx = 0 für \ (b \ neq 0 \) hat also immer zwei Nullstellen.
Eine unvollständige quadratische Gleichung der Form ax 2 = 0 entspricht der Gleichung x 2 = 0 und hat daher eine eindeutige Wurzel 0.
Die Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung
Betrachten wir nun, wie quadratische Gleichungen gelöst werden, bei denen sowohl die Koeffizienten der Unbekannten als auch der freie Term ungleich Null sind.
Lösen wir die quadratische Gleichung in allgemeiner Form und als Ergebnis erhalten wir die Formel für die Wurzeln. Dann kann diese Formel angewendet werden, um jede quadratische Gleichung zu lösen.
Lösen Sie die quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0
Wenn wir beide Teile durch a dividieren, erhalten wir die äquivalente reduzierte quadratische Gleichung
\ (x ^ 2 + \ frac (b) (a) x + \ frac (c) (a) = 0 \)
Wir transformieren diese Gleichung, indem wir das Quadrat des Binomials auswählen:
\ (x ^ 2 + 2x \ cdot \ frac (b) (2a) + \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2- \ left (\ frac (b) (2a) \ right) ^ 2 + \ frac (c) (a) = 0 \ Pfeil rechts \)
Der radikale Ausdruck heißt die Diskriminante der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 (lateinische "Diskriminante" ist ein Diskriminator). Es wird mit dem Buchstaben D bezeichnet, d.h.
\ (D = b ^ 2-4ac \)
Nun schreiben wir mit der Notation der Diskriminante die Formel für die Wurzeln der quadratischen Gleichung um:
\ (x_ (1,2) = \ frac (-b \ pm \ sqrt (D)) (2a) \), wobei \ (D = b ^ 2-4ac \)
Es ist klar, dass:
1) Wenn D> 0, dann hat die quadratische Gleichung zwei Wurzeln.
2) Falls D = 0, dann hat die quadratische Gleichung eine Wurzel \ (x = - \ frac (b) (2a) \).
3) Wenn D Somit kann die quadratische Gleichung je nach Wert der Diskriminante zwei Wurzeln haben (für D> 0), eine Wurzel (für D = 0) oder keine Wurzeln haben (für D Bei der Lösung einer quadratischen Gleichung mit diesem Formel ist es ratsam, wie folgt vorzugehen:
1) Berechne die Diskriminante und vergleiche sie mit Null;
2) Wenn die Diskriminante positiv oder gleich Null ist, dann benutze die Wurzelformel, wenn die Diskriminante negativ ist, dann schreibe auf, dass es keine Wurzeln gibt.
Satz von Vietata
Die gegebene quadratische Gleichung ax 2 -7x + 10 = 0 hat die Wurzeln 2 und 5. Die Summe der Wurzeln ist 7, und das Produkt ist 10. Wir sehen, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten ist, genommen mit dem Gegenteil Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term. Jede gegebene quadratische Gleichung mit Wurzeln hat diese Eigenschaft.
Die Summe der Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichung ist gleich dem zweiten Koeffizienten mit umgekehrtem Vorzeichen, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem freien Term.
Jene. Der Satz von Vieta besagt, dass die Wurzeln x 1 und x 2 der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0 die Eigenschaft haben:
\ (\ left \ (\ begin (array) (l) x_1 + x_2 = -p \\ x_1 \ cdot x_2 = q \ end (array) \ right. \)
Quadratische Gleichung - einfach zu lösen! * Weiter im Text "KU". Freunde, so scheint es, was könnte in der Mathematik einfacher sein, als eine solche Gleichung zu lösen. Aber etwas sagte mir, dass viele Probleme mit ihm haben. Ich beschloss, zu sehen, wie viele Impressionen pro Monat Yandex. Folgendes ist passiert, schau mal:
Was bedeutet das? Das bedeutet, dass etwa 70.000 Menschen im Monat nach diesen Informationen suchen, was bedeutet das in diesem Sommer und was wird darunter sein? Schuljahr- es wird doppelt so viele Anfragen geben. Dies ist nicht verwunderlich, denn nach diesen Informationen suchen die Jungen und Mädchen, die die Schule vor langer Zeit abgeschlossen haben und sich auf das Einheitliche Staatsexamen vorbereiten, und auch Schüler versuchen, sie in ihrem Gedächtnis aufzufrischen.
Trotz der Tatsache, dass es viele Websites gibt, die Ihnen sagen, wie Sie diese Gleichung lösen können, habe ich mich entschlossen, auch meinen Beitrag zu leisten und das Material zu veröffentlichen. Erstens möchte ich, dass Besucher für diese Anfrage auf meine Website kommen; zweitens werde ich in anderen Artikeln, wenn die "KU"-Rede kommt, einen Link zu diesem Artikel geben; drittens werde ich Ihnen etwas mehr über seine Lösung erzählen, als auf anderen Websites normalerweise angegeben wird. Lass uns anfangen! Der Inhalt des Artikels:
Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form:
wobei die Koeffizienten a,bund mit beliebigen Zahlen, mit a ≠ 0.
Im Schulkurs wird der Stoff in folgender Form gegeben - die Gleichungen sind bedingt in drei Klassen eingeteilt:
1. Sie haben zwei Wurzeln.
2. * Habe nur eine Wurzel.
3. Keine Wurzeln haben. Es ist hier erwähnenswert, dass sie keine gültigen Wurzeln haben.
Wie werden Wurzeln berechnet? Einfach!
Wir berechnen die Diskriminante. Unter diesem "schrecklichen" Wort verbirgt sich eine ganz einfache Formel:
Die Wurzelformeln lauten wie folgt:
* Diese Formeln müssen Sie auswendig kennen.
Sie können sofort aufschreiben und entscheiden:
Beispiel:
1. Wenn D> 0, dann hat die Gleichung zwei Wurzeln.
2. Wenn D = 0, dann hat die Gleichung eine Wurzel.
3. Wenn D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Schauen wir uns die Gleichung an:
Wenn die Diskriminante null ist, heißt es in diesem Zusammenhang im Schulkurs, dass eine Wurzel erhalten wird, hier ist sie gleich neun. Alles ist richtig, es ist, aber ...
Diese Darstellung ist etwas falsch. Tatsächlich gibt es zwei Wurzeln. Ja, ja, wundern Sie sich nicht, es stellt sich heraus, dass es sich um zwei gleiche Wurzeln handelt, und um mathematisch genau zu sein, sollte die Antwort zwei Wurzeln sein:
x 1 = 3 x 2 = 3
Aber das ist so - ein kleiner Exkurs. In der Schule kannst du aufschreiben und sagen, dass es eine Wurzel gibt.
Nun das nächste Beispiel:
Wie wir wissen, wird die Wurzel einer negativen Zahl nicht gezogen, daher gibt es in diesem Fall keine Lösung.
Das ist der ganze Lösungsprozess.
Quadratische Funktion.
So sieht die Lösung geometrisch aus. Dies ist äußerst wichtig zu verstehen (in Zukunft werden wir in einem der Artikel die Lösung der quadratischen Ungleichung detailliert analysieren).
Dies ist eine Funktion des Formulars:
wobei x und y Variablen sind
a, b, c - gegebene Zahlen, mit a ≠ 0
Der Graph ist eine Parabel:
Das heißt, es stellt sich heraus, dass wir durch Lösen der quadratischen Gleichung mit "y" gleich Null die Schnittpunkte der Parabel mit der Ochsenachse finden. Es kann zwei dieser Punkte geben (die Diskriminante ist positiv), einen (die Diskriminante ist Null) und keinen (die Diskriminante ist negativ). Details zu quadratische Funktion Sie können anzeigen Artikel von Inna Feldmann.
Schauen wir uns einige Beispiele an:
Beispiel 1: Lösen 2x 2 +8 x–192=0
a = 2 b = 8 c = –192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4 ∙ 2 ∙ (–192) = 64 + 1536 = 1600
Antwort: x 1 = 8 x 2 = –12
* Es war möglich, die linke und rechte Seite der Gleichung sofort durch 2 zu teilen, also zu vereinfachen. Die Berechnungen werden einfacher.
Beispiel 2: Entscheiden x 2–22 x + 121 = 0
a = 1 b = –22 c = 121
D = b 2 –4ac = (- 22) 2 –4 ∙ 1 ∙ 121 = 484–484 = 0
Wir haben x 1 = 11 und x 2 = 11
In der Antwort darf x = 11 geschrieben werden.
Antwort: x = 11
Beispiel 3: Entscheiden x 2 –8x + 72 = 0
a = 1 b = –8 c = 72
D = b 2 –4ac = (- 8) 2 –4 ∙ 1 ∙ 72 = 64–288 = –224
Die Diskriminante ist negativ, es gibt keine Lösung in reellen Zahlen.
Antwort: keine Lösung
Die Diskriminante ist negativ. Es gibt eine Lösung!
Hier werden wir über das Lösen der Gleichung für den Fall sprechen, dass eine negative Diskriminante erhalten wird. Kennst du dich mit komplexen Zahlen aus? Ich werde hier nicht näher darauf eingehen, warum und woher sie kamen und was ihre spezifische Rolle und ihr Bedarf in der Mathematik sind, dies ist ein Thema für einen großen separaten Artikel.
Das Konzept einer komplexen Zahl.
Ein bisschen Theorie.
Eine komplexe Zahl z ist eine Zahl der Form
z = a + bi
wobei a und b reelle Zahlen sind, ist i die sogenannte imaginäre Einheit.
a + bi Ist eine EINZELNE ZAHL, keine Addition.
Die imaginäre Einheit ist gleich der Wurzel von minus eins:
Betrachten Sie nun die Gleichung:
Wir haben zwei konjugierte Wurzeln.
Unvollständige quadratische Gleichung.
Betrachten Sie Sonderfälle, wenn der Koeffizient "b" oder "c" gleich Null ist (oder beide gleich Null sind). Sie sind ohne Diskriminanten leicht zu lösen.
Fall 1. Koeffizient b = 0.
Die Gleichung nimmt die Form an:
Lass uns transformieren:
Beispiel:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 = 16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Fall 2. Koeffizient mit = 0.
Die Gleichung nimmt die Form an:
Wir transformieren, faktorisieren:
* Das Produkt ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist.
Beispiel:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x – 5) = 0 => x = 0 oder x – 5 = 0
x 1 = 0 x 2 = 5
Fall 3. Koeffizienten b = 0 und c = 0.
Hier ist klar, dass die Lösung der Gleichung immer x = 0 sein wird.
Nützliche Eigenschaften und Muster von Koeffizienten.
Es gibt Eigenschaften, mit denen Sie Gleichungen mit großen Koeffizienten lösen können.
aberx 2 + bx+ c=0 Gleichheit gilt
ein + b+ c = 0, dann
- wenn für die Koeffizienten der Gleichung aberx 2 + bx+ c=0 Gleichheit gilt
ein+ c =b, dann
Diese Eigenschaften helfen, eine bestimmte Art von Gleichung zu lösen.
Beispiel 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Die Summe der Quoten beträgt 5001+ ( – 4995)+(– 6) = 0, also
Beispiel 2: 2501 x 2 +2507 x+6=0
Gleichberechtigung ist gegeben ein+ c =b, meint
Regelmäßigkeiten der Koeffizienten.
1. Wenn in der Gleichung ax 2 + bx + c = 0 der Koeffizient "b" gleich (a 2 +1) ist und der Koeffizient "c" numerisch gleich dem Koeffizienten "a" ist, dann sind seine Wurzeln
ax 2 + (a 2 +1) ∙ х + à = 0 => х 1 = –а х 2 = –1 / a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Wenn in der Gleichung ax 2 - bx + c = 0 der Koeffizient "b" gleich (a 2 +1) ist und der Koeffizient "c" numerisch gleich dem Koeffizienten "a" ist, dann sind seine Wurzeln
ax 2 - (a 2 +1) ∙ x + a = 0 => x 1 = a x 2 = 1 / a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Wenn in der Gleichung ax 2 + bx - c = 0 Koeffizient "b" ist gleich (a 2 - 1) und der Koeffizient "c" numerisch gleich dem Koeffizienten "a", dann sind seine Wurzeln gleich
аx 2 + (а 2 –1) х х - à = 0 => х 1 = - а х 2 = 1 / a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 17x 2 + 288x - 17 = 0.
x 1 = - 17 x 2 = 1/17.
4. Wenn in der Gleichung ax 2 - bx - c = 0 der Koeffizient "b" gleich (a 2 - 1) ist und der Koeffizient c numerisch gleich dem Koeffizienten "a" ist, dann sind seine Wurzeln
аx 2 - (а 2 –1) х х - à = 0 => х 1 = а х 2 = - 1 / a.
Beispiel. Betrachten Sie die Gleichung 10x 2 - 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = - 1/10
Satz von Vieta.
Der Satz von Vieta ist nach dem berühmten französischen Mathematiker François Vieta benannt. Mit dem Satz von Vieta können wir die Summe und das Produkt der Wurzeln eines beliebigen KE durch seine Koeffizienten ausdrücken.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Insgesamt ergibt die Zahl 14 nur 5 und 9. Dies sind die Wurzeln. Mit einem gewissen Geschick können Sie mit dem vorgestellten Theorem viele quadratische Gleichungen verbal lösen.
Außerdem der Satz von Vieta. praktisch, dass nach der üblichen Lösung der quadratischen Gleichung (durch die Diskriminante) die erhaltenen Wurzeln überprüft werden können. Ich empfehle dies jederzeit zu tun.
ÜBERTRAGUNGSMETHODE
Bei dieser Methode wird der Koeffizient "a" mit dem freien Term multipliziert, als ob er "hingeworfen" würde, daher heißt er it nach der Methode "Übertragen". Diese Methode wird verwendet, wenn Sie die Wurzeln der Gleichung mit dem Satz von Vieta leicht finden können und vor allem wenn die Diskriminante ein exaktes Quadrat ist.
Wenn ein aber± b + c≠ 0, dann wird die Übertragungstechnik verwendet, zum Beispiel:
2x 2 – 11x + 5 = 0 (1) => x 2 – 11x + 10 = 0 (2)
Mit dem Satz von Vieta in Gleichung (2) ist es leicht zu bestimmen, dass x 1 = 10 x 2 = 1
Die erhaltenen Wurzeln der Gleichung müssen durch 2 geteilt werden (da aus x 2 zwei "geworfen" wurden), erhalten wir
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Was ist die Begründung? Sehen Sie, was los ist.
Die Diskriminanten der Gleichungen (1) und (2) sind gleich:
Schaut man sich die Wurzeln der Gleichungen an, so erhält man nur unterschiedliche Nenner und das Ergebnis hängt genau vom Koeffizienten bei x 2 ab:
Die zweiten (modifizierten) Wurzeln sind 2-mal größer.
Daher dividieren wir das Ergebnis durch 2.
* Wenn wir eine Drei erneut würfeln, teilen wir das Ergebnis durch 3 usw.
Antwort: x 1 = 5 x 2 = 0,5
Quadratmeter ur-ye und Prüfung.
Ich werde kurz über ihre Bedeutung sagen - SIE MÜSSEN schnell und ohne zu zögern LÖSEN können, die Formeln der Wurzeln und der Diskriminante müssen auswendig bekannt sein. Viele der Aufgaben, die die Prüfungsaufgaben ausmachen, werden auf das Lösen einer quadratischen Gleichung (einschließlich geometrischer) reduziert.
Was ist erwähnenswert!
1. Die Schreibweise der Gleichung kann "implizit" sein. Beispielsweise ist folgende Eingabe möglich:
15+ 9x 2 - 45x = 0 oder 15x + 42 + 9x 2 - 45x = 0 oder 15 -5x + 10x 2 = 0.
Sie müssen es in ein Standardformular bringen (um beim Lösen nicht verwirrt zu werden).
2. Denken Sie daran, dass x eine unbekannte Größe ist und mit jedem anderen Buchstaben bezeichnet werden kann - t, q, p, h und andere.
», Das heißt, Gleichungen ersten Grades. In dieser Lektion analysieren wir was man eine quadratische Gleichung nennt und wie man es löst.
Was nennt man eine quadratische Gleichung
Wichtig!
Der Grad der Gleichung wird durch den größten Grad bestimmt, in dem die Unbekannte steht.
Wenn der maximale Grad, in dem die Unbekannte steht, "2" ist, dann haben Sie eine quadratische Gleichung vor sich.
Beispiele für quadratische Gleichungen
- 5x 2 - 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25x = 0
- x 2 - 8 = 0
Wichtig! Die allgemeine Ansicht der quadratischen Gleichung sieht wie folgt aus:
A x 2 + b x + c = 0
"A", "b" und "c" sind Zahlen.- "A" - der erste oder wichtigste Koeffizient;
- „B“ ist der zweite Koeffizient;
- "C" ist ein kostenloses Mitglied.
Um "a", "b" und "c" zu finden, müssen Sie Ihre Gleichung mit der allgemeinen Form der quadratischen Gleichung "ax 2 + bx + c = 0" vergleichen.
Lassen Sie uns üben, die Koeffizienten "a", "b" und "c" in quadratischen Gleichungen zu definieren.
| Die gleichung | Chancen | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- c =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- c = 0
- a = 1
- b = 0
- c = -8
Wie man quadratische Gleichungen löst
Im Gegensatz zu linearen Gleichungen ist zum Lösen quadratischer Gleichungen ein spezielles Formel zum Finden von Wurzeln.
Merken!
Um eine quadratische Gleichung zu lösen, benötigen Sie:
- reduziere die quadratische Gleichung auf Gesamtansicht"Ax2 + bx + c = 0". Das heißt, nur "0" sollte auf der rechten Seite bleiben;
- Verwenden Sie die Formel für Wurzeln:
Nehmen wir ein Beispiel dafür, wie man eine Formel verwendet, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Lösen wir die quadratische Gleichung.
X 2 - 3x - 4 = 0
Die Gleichung "x 2 - 3x - 4 = 0" wurde bereits auf die allgemeine Form "ax 2 + bx + c = 0" reduziert und bedarf keiner weiteren Vereinfachungen. Um es zu lösen, müssen wir uns nur bewerben die Formel zum Finden der Wurzeln einer quadratischen Gleichung.
Definieren wir die Koeffizienten "a", "b" und "c" für diese Gleichung.
x 1, 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =
Mit seiner Hilfe wird jede quadratische Gleichung gelöst.
In der Formel "x 1; 2 =" wird der radikale Ausdruck oft ersetzt
"B 2 - 4ac" mit dem Buchstaben "D" und wird als Diskriminante bezeichnet. Der Begriff einer Diskriminante wird in der Lektion "Was ist eine Diskriminante" genauer besprochen.
Betrachten Sie ein weiteres Beispiel für eine quadratische Gleichung.
x 2 + 9 + x = 7x
Es ist ziemlich schwierig, die Koeffizienten "a", "b" und "c" in dieser Form zu bestimmen. Bringen wir die Gleichung zunächst in die allgemeine Form "ax 2 + bx + c = 0".
X2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x 2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0
Jetzt können Sie die Wurzelformel verwenden.
X 1; 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =
x 1, 2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Antwort: x = 3
Es gibt Zeiten, in denen quadratische Gleichungen keine Wurzeln haben. Diese Situation tritt ein, wenn unter der Wurzel in der Formel eine negative Zahl gefunden wird.
