기본 기본 기능, 속성 및 그래프. 멱함수, 속성 및 그래프 멱함수 사용 예
거듭제곱 함수는 형식의 공식으로 제공됩니다.
지수의 값에 따른 거듭제곱함수의 그래프의 종류와 성질을 고찰한다.
정수 지수가 있는 거듭제곱 함수부터 시작하겠습니다. ㅏ. 이 경우 멱함수 그래프의 형태와 함수의 속성은 짝수 또는 홀수 지수와 그 부호에 따라 달라집니다. 따라서 먼저 지수의 홀수 양수 값에 대한 거듭제곱 함수를 고려합니다. ㅏ, then - 짝수 양수, then - 홀수 음수 지수, 마지막으로 음수 ㅏ.
분수 및 비합리적 지수가 있는 지수 함수의 속성(및 이러한 지수 함수의 그래프 유형)은 지수의 값에 따라 달라집니다. ㅏ. 우리는 그것들을 먼저 고려할 것입니다. ㅏ 0에서 1로, 그리고 두 번째로 ㅏ큰 단위, 셋째, ㅏ마이너스 1에서 0으로, 넷째, 언제 ㅏ더 작은 마이너스 1.
이 하위 섹션의 결론에서는 완전성을 위해 지수가 0인 거듭제곱 함수를 설명합니다.
홀수 양의 지수를 갖는 거듭제곱 함수.
홀수 양의 지수, 즉 a=1,3,5,….
아래 그림은 검정색 선, - 파란색 선, - 빨간색 선, - 녹색 선의 전력 함수 그래프를 보여줍니다. ~에 a=1우리는 선형 함수 y=x.
홀수 양의 지수가 있는 거듭제곱 함수의 속성입니다.
지수가 양수인 거듭제곱 함수입니다.
지수가 짝수인 거듭제곱 함수를 고려하십시오. a=2,4,6,….
예를 들어 검정 선, - 파랑 선, - 빨강 선의 전력 함수 그래프를 살펴보겠습니다. ~에 a=2그래프가 다음과 같은 이차 함수가 있습니다. 이차 포물선.
지수가 짝수인 거듭제곱 함수의 속성입니다.
홀수 음의 지수를 갖는 거듭제곱 함수입니다.
지수의 홀수 음수 값, 즉 a=-1,-3,-5,….
전원 기능형식의 함수입니다. y = xp, 여기서 p는 주어진 실수입니다.
거듭제곱 함수 속성
- 표시기가 p = 2n- 짝수의 자연수:
- 정의 영역은 모두 실수, 즉 집합 R입니다.
- 값 세트 - 음수가 아닌 숫자, 즉 y ≥ 0;
- 함수는 짝수입니다.
- 함수는 구간 x ≤ 0에서 감소하고 구간 x ≥ 0에서 증가합니다.
- 표시기가 p = 2n - 1- 홀수 자연수:
- 정의 영역 - 세트 R;
- 값 세트 - 세트 R;
- 기능이 이상합니다.
- 함수는 전체 실제 축에서 증가합니다.
- 표시기가 p=-2n, 어디 N- 자연수:
- 값 세트 - 양수 y > 0;
- 함수는 짝수입니다.
- 함수는 간격 x 0에서 증가합니다.
- 표시기가 p = -(2n - 1), 어디 N- 자연수:
- 정의의 영역은 x = 0을 제외하고 집합 R입니다.
- 값 세트 - y = 0을 제외하고 R을 설정하십시오.
- 기능이 이상합니다.
- 함수는 x 0 간격으로 감소합니다.
- 표시기가 피정수가 아닌 양의 실수:
- 정의 영역 - 음수가 아닌 숫자 x ≥ 0;
- 값 세트 - 음수가 아닌 숫자 y ≥ 0;
- 함수는 x ≥ 0 구간에서 증가합니다.
- 표시기가 피정수가 아닌 음의 실수:
- 정의 영역 - 양수 x > 0;
- 값 세트 - 양수 y > 0;
- 함수는 x > 0 구간에서 감소합니다.
음의 정수 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 속성과 그래프를 상기하십시오.
짝수 n의 경우:
기능 예시:
이러한 함수의 모든 그래프는 (1;1), (-1;1)의 두 고정점을 통과합니다. 이 유형의 함수 기능은 패리티이며 그래프는 op-y 축에 대해 대칭입니다.
쌀. 1. 함수 그래프
홀수 n의 경우:
기능 예시:
이러한 함수의 모든 그래프는 (1;1), (-1;-1)의 두 고정점을 통과합니다. 이 유형의 기능의 특징은 기이함이며 그래프는 원점에 대해 대칭입니다.
쌀. 2. 함수 그래프
주요 정의를 기억합시다.
유리수 양의 지수를 갖는 음수가 아닌 수 a의 차수를 수라고 합니다.
유리수 음의 지수를 갖는 양수 a의 차수를 숫자라고 합니다.
다음과 같은 경우 평등이 유지됩니다.
예를 들어: 
; - 음의 유리수 지수가 있는 정도의 정의에 의해 표현이 존재하지 않습니다. 지수가 정수이기 때문에 존재합니다. 
합리적인 음의 지수가 있는 거듭제곱 함수에 대해 살펴보겠습니다.
예를 들어:
이 함수를 그리기 위해 테이블을 만들 수 있습니다. 우리는 그렇지 않을 것입니다. 먼저 분모의 그래프를 만들고 연구할 것입니다. 우리는 그것을 알고 있습니다(그림 3).
쌀. 3. 함수 그래프
분모 함수의 그래프는 고정점(1;1)을 통과합니다. 원래 함수의 그래프를 구성할 때 이 점이 남아 있고 근도 0이 되는 경향이 있을 때 함수는 무한대가 되는 경향이 있습니다. 그리고 반대로 x가 무한대가 되는 경향이 있으므로 함수는 0이 되는 경향이 있습니다(그림 4).
쌀. 4. 함수 그래프
연구 중인 함수군에서 함수를 하나 더 고려하십시오.
정의에 따라
분모에 있는 함수의 그래프를 고려하십시오. , 우리는 이 함수의 그래프를 알고 있으며 정의 영역에서 증가하고 점 (1; 1)을 통과합니다(그림 5).
쌀. 5. 함수 그래프
원래 함수의 그래프를 구성할 때 점 (1; 1)이 남아 있고 루트도 0이 되는 경향이 있으면 함수는 무한대가 되는 경향이 있습니다. 그리고 반대로 x가 무한대가 되는 경향이 있으므로 함수는 0이 되는 경향이 있습니다(그림 6).
쌀. 6. 함수 그래프
고려 된 예는 그래프가 어떻게 진행되고 연구중인 함수의 속성이 무엇인지 이해하는 데 도움이됩니다. 즉, 음의 유리 지수가있는 함수입니다.
이 패밀리의 함수 그래프는 점 (1;1)을 통과하며 함수는 전체 정의 영역에서 감소합니다.
기능 범위: 
함수는 위에서 제한되지 않고 아래에서 제한됩니다. 함수에는 최대값도 최소값도 없습니다.
이 함수는 연속적이며 0에서 무한대까지의 모든 양수 값을 취합니다.
아래로 볼록 함수(그림 15.7)
곡선에서 점 A와 B를 취하고 이를 통해 선분이 그려지고 전체 곡선이 선분 아래에 있으며 이 조건은 곡선의 임의의 두 점에 대해 충족되므로 함수는 아래쪽으로 볼록합니다. 쌀. 7.
쌀. 7. 함수의 볼록성
이 제품군의 기능은 아래에서 0으로 제한되지만 가장 작은 값은 아니라는 점을 이해하는 것이 중요합니다.
예 1 - 구간 \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]에서 함수의 최대값과 최소값 찾기
그래프(그림 2).
그림 2. 함수 $f\left(x\right)=x^(2n)$의 그래프
자연 홀수 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 속성
정의 영역은 모두 실수입니다.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$는 홀수 함수입니다.
$f(x)$는 전체 정의 영역에서 연속적입니다.
범위는 모두 실수입니다.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
기능은 전체 정의 영역에서 증가합니다.
$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$.
$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
이 함수는 $x\in (-\infty ,0)$에 대해 오목하고 $x\in (0,+\infty)$에 대해 볼록합니다.
그래프(그림 3).
그림 3. 함수 $f\left(x\right)=x^(2n-1)$의 그래프
정수 지수가 있는 거듭제곱 함수
우선 정수 지수가 있는 정도의 개념을 소개합니다.
정의 3
정수 지수가 $n$인 실수 $a$의 차수는 다음 공식으로 결정됩니다.
그림 4
이제 정수 지수, 속성 및 그래프가 있는 거듭제곱 함수를 고려하십시오.
정의 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$는 정수 지수를 갖는 거듭제곱 함수라고 합니다.
차수가 0보다 크면 자연 지수가 있는 거듭제곱 함수의 경우가 됩니다. 위에서 이미 고려했습니다. $n=0$의 경우 선형 함수 $y=1$를 얻습니다. 우리는 그 고려를 독자에게 맡깁니다. 음의 정수 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 속성을 고려해야 합니다.
음의 정수 지수를 갖는 거듭제곱 함수의 속성
범위는 $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$입니다.
지수가 짝수이면 짝수 함수이고, 홀수이면 홀수 함수입니다.
$f(x)$는 전체 정의 영역에서 연속적입니다.
가치 범위:
지수가 짝수이면 $(0,+\infty)$이고 홀수이면 $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$입니다.
지수가 홀수이면 함수는 $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$로 감소합니다. 짝수 지수의 경우 함수는 $x\in (0,+\infty)$로 감소합니다. $x\in \left(-\infty ,0\right)$로 증가합니다.
전체 도메인에 대해 $f(x)\ge 0$
