함수를 조사하고 그래프를 그리는 방법은 무엇입니까?

전집 55권의 작가이자 세계 프롤레타리아트의 지도자의 충만한 얼굴을 이해하기 시작한 것 같습니다 .... 긴 여정은 함수와 그래프, 이제 힘든 주제에 대한 작업이 자연스러운 결과인 기사로 끝납니다. 전체 기능 연구에 대해. 오랫동안 기다려온 작업은 다음과 같이 공식화됩니다.

미분법으로 함수를 조사하고 연구 결과를 바탕으로 그래프를 작성합니다.

간단히 말해 함수를 검사하고 플로팅합니다.

왜 탐험해야 할까요?간단한 경우에는 기본 기능을 사용하여 얻은 그래프를 그리는 것이 어렵지 않습니다. 기본 기하학적 변환등. 그러나 보다 복잡한 기능의 속성 및 그래픽 표현은 명확하지 않으므로 전체 연구가 필요한 이유입니다.

솔루션의 주요 단계는 참조 자료에 요약되어 있습니다. 기능 연구 계획, 이것은 섹션 가이드입니다. 인형은 주제에 대한 단계별 설명이 필요하고, 일부 독자는 어디서부터 시작해야 하고 연구를 구성하는 방법을 모르며, 고급 학생은 몇 가지 사항에만 관심이 있을 수 있습니다. 그러나 친애하는 방문자 여러분, 다양한 교훈에 대한 포인터와 함께 제안된 요약은 가능한 한 짧은 시간에 관심 있는 방향으로 안내하고 안내할 것입니다. 로봇은 눈물을 흘립니다 =) 매뉴얼은 pdf 파일로 구성되어 페이지에서 정당한 위치를 차지했습니다. 수학 공식 및 표.

나는 함수에 대한 연구를 5-6점으로 나누었습니다.

6) 연구 결과에 따른 추가 포인트 및 그래프.

최종 조치에 관해서는 모든 사람이 모든 것을 이해한다고 생각합니다. 몇 초 안에 취소되고 수정을 위해 작업이 반환되면 매우 실망 할 것입니다. 정확하고 정확한 도면이 솔루션의 주요 결과입니다! 그것은 분석적 실수를 "은폐"할 가능성이 매우 높으며, 부정확하거나 엉성한 일정은 완벽하게 수행된 연구에서도 문제를 일으킬 수 있습니다.

다른 출처에서는 연구 항목의 수, 구현 순서 및 디자인 스타일이 내가 제안한 계획과 크게 다를 수 있지만 대부분의 경우 충분합니다. 문제의 가장 간단한 버전은 2-3단계로 구성되며 다음과 같이 공식화됩니다.

당연히 다른 알고리즘이 교육 매뉴얼에 자세히 분석되어 있거나 선생님이 강의를 엄격하게 준수하도록 요구하는 경우 솔루션을 약간 조정해야 합니다. 포크를 전기톱 스푼으로 교체하는 것만큼 어렵지 않습니다.

짝수 / 홀수에 대한 기능을 확인합시다.

그 다음 템플릿 구독 취소가 이어집니다.
, 따라서 이 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

함수가 에서 연속이므로 수직 점근선이 없습니다.

사선 점근선도 없습니다.

메모 : 높을수록 성장 순서보다 이므로 최종 한계는 정확히 " 플러스무한대."

함수가 무한대에서 어떻게 작동하는지 알아봅시다.

즉, 오른쪽으로 이동하면 그래프가 무한히 위로 이동하고 왼쪽으로 이동하면 무한히 아래로 이동합니다. 예, 단일 항목에는 두 가지 제한이 있습니다. 기호를 해독하는 데 어려움이 있는 경우 에 대한 강의를 방문하십시오. 극소 함수.

그래서 기능 위에서 제한되지 않음그리고 아래에서 제한되지 않음. 중단점이 없다는 점을 고려하면 명확해지고 기능 범위: 또한 임의의 실수입니다.

유용한 기술

각 작업 단계는 함수 그래프에 대한 새로운 정보를 제공합니다., 그래서 솔루션 과정에서 일종의 LAYOUT을 사용하는 것이 편리합니다. 드래프트에 데카르트 좌표계를 그려봅시다. 확실히 알려진 것은 무엇입니까? 첫째, 그래프에는 점근선이 없으므로 직선을 그릴 필요가 없습니다. 둘째, 함수가 무한대에서 어떻게 작동하는지 알고 있습니다. 분석에 따르면 첫 번째 근사치를 도출합니다.

사실상 참고 연속성함수가 켜져 있고 그래프가 적어도 한 번은 축을 교차해야 한다는 사실. 아니면 여러 교차점이 있습니까?

3) 함수의 영점과 상수 부호의 간격.

먼저 그래프와 y축의 교차점을 찾습니다. 간단 해. 다음과 같은 경우 함수 값을 계산해야 합니다.

해발 절반.

축과의 교차점 (함수의 0)을 찾으려면 방정식을 풀어야하며 여기서 불쾌한 놀라움이 우리를 기다리고 있습니다.

결국 무료 회원이 숨어있어 작업이 상당히 복잡해집니다.

그러한 방정식은 적어도 하나의 실근을 가지며 대부분의 경우 이 근은 무리수입니다. 최악의 동화 속 아기돼지 삼형제가 우리를 기다리고 있습니다. 방정식은 소위를 사용하여 풀 수 있습니다. 카르다노의 공식, 그러나 종이 손상은 거의 전체 연구와 비슷합니다. 이와 관련하여 적어도 하나를 선택하려고 시도하는 것이 구두로 또는 초안에서 더 현명합니다. 전부의뿌리. 이 숫자가 다음인지 확인하십시오.
- 맞지 않는다;
-있다!

여기는 운이 좋습니다. 실패한 경우에도 테스트할 수 있으며 이 숫자가 맞지 않으면 방정식에 대한 수익성 있는 솔루션을 얻을 가능성이 거의 없습니다. 그런 다음 연구 포인트를 완전히 건너 뛰는 것이 좋습니다. 추가 포인트가 돌파되는 마지막 단계에서 뭔가 더 명확해질 것입니다. 그리고 뿌리 (뿌리)가 분명히 "나쁘다"면 기호의 일관성 간격에 대해 적당히 침묵을 유지하고 그림을 더 정확하게 완성하는 것이 좋습니다.

그러나 우리는 아름다운 근을 가지고 있으므로 다항식을 나눕니다. 나머지 없음:

다항식을 다항식으로 나누는 알고리즘은 수업의 첫 번째 예에서 자세히 설명합니다. 복잡한 한계.

결과적으로 원래 방정식의 왼쪽 제품으로 확장:

이제 건강한 라이프 스타일에 대해 조금. 물론 나는 그것을 이해한다. 이차방정식매일 해결해야 하지만 오늘은 예외를 만들겠습니다. 방정식 두 개의 실제 뿌리가 있습니다.

수직선에 찾은 값을 표시합니다. 그리고 간격 방법함수의 부호를 정의합니다.


og 따라서 간격에 위치한 차트
x축 아래 및 간격으로 - 이 축 위.

결과 결과를 통해 레이아웃을 세분화할 수 있으며 그래프의 두 번째 근사치는 다음과 같습니다.

함수는 간격에 최소 하나의 최대값과 최소 하나의 최소값이 있어야 합니다. 그러나 우리는 일정이 언제, 어디서, 얼마나 "돌아갈지" 모릅니다. 그건 그렇고, 함수는 무한히 많은 것을 가질 수 있습니다 과격한 수단.

4) 함수의 증가, 감소 및 극값.

중요한 포인트를 찾아봅시다:

이 방정식에는 두 개의 실근이 있습니다. 수직선에 놓고 미분의 부호를 결정합시다.


따라서 함수는 다음과 같이 증가합니다. 로 감소합니다.
함수가 최대값에 도달하는 지점에서: .
함수가 최소값에 도달하는 지점에서: .

확립된 사실은 템플릿을 다소 엄격한 프레임워크로 만듭니다.

말할 것도 없이, 미분학은 강력한 것입니다. 마지막으로 그래프의 모양을 다루겠습니다.

5) 볼록, 오목 및 변곡점.

2차 미분의 임계점 찾기:

기호를 정의해 보겠습니다.


함수 그래프는 에서 볼록하고 에서 오목합니다. 변곡점의 세로 좌표를 계산해 봅시다: .

거의 모든 것이 정리되었습니다.

6) 더 정확하게 그래프를 작성하고 자체 테스트를 수행하는 데 도움이 될 추가 포인트를 찾는 것이 남아 있습니다. 이 경우 소수이지만 다음을 무시하지 않습니다.

그림을 실행해 봅시다:

변곡점은 녹색으로 표시되고 추가 지점은 십자 표시로 표시됩니다. 3차 함수의 그래프는 변곡점에 대해 대칭이며 항상 최대값과 최소값 사이의 정확히 중간에 위치합니다.

과제를 진행하는 동안 가상의 중간 도면 세 개를 제공했습니다. 실제로 좌표계를 그리고 찾은 점을 표시하고 연구의 각 점 후에 함수 그래프가 어떻게 생겼는지 정신적으로 파악하는 것으로 충분합니다. 준비 수준이 좋은 학생들이 초안을 사용하지 않고 머릿속으로만 그러한 분석을 수행하는 것은 어렵지 않을 것입니다.

독립 실행형 솔루션의 경우:

예 2

함수를 탐색하고 그래프를 작성하십시오.

여기에서는 모든 것이 더 빠르고 재미있습니다. 수업이 끝날 때 마무리하는 대략적인 예입니다.

분수 합리적 함수 연구를 통해 많은 비밀이 밝혀졌습니다.

실시예 3

미분법을 사용하여 함수를 조사하고 연구 결과에 따라 그래프를 구성합니다.

해결책: 연구의 첫 번째 단계는 정의 영역의 구멍을 제외하고는 현저한 차이가 없습니다.

1) 함수는 점을 제외한 전체 수직선에서 정의되고 연속되며, 도메인: .

, 따라서 이 함수는 짝수도 홀수도 아닙니다.

분명히 함수는 비주기적입니다.

함수의 그래프는 왼쪽과 오른쪽 반평면에 위치한 두 개의 연속 분기로 구성됩니다. 이것은 아마도 첫 번째 단락의 가장 중요한 결론일 것입니다.

2) 점근선, 무한대에서 함수의 동작.

a) 단측 극한의 도움으로 수직 점근선이 명확하게 다음과 같은 의심스러운 지점 근처에서 함수의 동작을 연구합니다.

실제로 기능은 지속됩니다. 끝없는 틈그 시점에
직선(축)은 수직 점근선그래픽 아트 .

b) 사선 점근선이 존재하는지 확인:

예, 라인은 비스듬한 점근선그래픽 경우 .

극한을 분석하는 것은 말이 되지 않습니다. 위에서 제한되지 않음그리고 아래에서 제한되지 않음.

연구의 두 번째 요점은 기능에 대한 많은 중요한 정보를 가져왔습니다. 대략적인 스케치를 해봅시다.

결론 1번은 부호 불변성의 간격에 관한 것입니다. "마이너스 무한대"에서 함수의 그래프는 x축 아래 고유하게 위치하며 "플러스 무한대"에서는 이 축 위에 있습니다. 또한 단측 극한은 점의 왼쪽과 오른쪽 모두에서 함수가 0보다 크다는 것을 알려줍니다. 왼쪽 절반 평면에서 그래프는 x축과 적어도 한 번 교차해야 합니다. 오른쪽 절반 평면에는 함수의 0이 없을 수 있습니다.

결론 2번은 함수가 점의 왼쪽으로 갈수록 증가한다는 것입니다("아래에서 위로" 이동). 이 지점의 오른쪽으로 기능이 감소합니다("위에서 아래로" 이동). 그래프의 오른쪽 가지에는 최소한 하나 이상의 최소값이 있어야 합니다. 왼쪽에서는 극단이 보장되지 않습니다.

결론 3번은 점 부근에서 그래프의 오목함에 대한 신뢰할 수 있는 정보를 제공합니다. 우리는 아직 무한대에서 볼록/오목에 대해 아무 말도 할 수 없는데, 그 이유는 그 선이 위와 아래 모두에서 그 점근선에 대해 눌러질 수 있기 때문입니다. 일반적으로 지금 당장 이것을 알아낼 수 있는 분석적인 방법이 있지만 "아무것도 아닌" 차트의 모양은 나중에 더 명확해질 것입니다.

왜 그렇게 많은 단어가 있습니까? 후속 연구 포인트를 제어하고 실수를 피하기 위해! 추가 계산은 도출된 결론과 모순되어서는 안 됩니다.

3) 그래프와 좌표축의 교차점, 함수의 상수 부호 간격.

함수의 그래프는 축을 교차하지 않습니다.

간격 방법을 사용하여 부호를 결정합니다.

, 만약에 ;
, 만약에 .

단락의 결과는 결론 1번과 완전히 일치합니다. 각 단계가 끝날 때마다 초안을 보고, 연구를 정신적으로 참조하고, 함수의 그래프 그리기를 마칩니다.

이 예에서 분자는 분모에 의해 항별로 나뉘며 이는 미분에 매우 유용합니다.

사실 이것은 점근선을 찾을 때 이미 수행되었습니다.

- 크리티컬 포인트.

기호를 정의해 보겠습니다.

증가 감소하고

함수가 최소값에 도달하는 지점에서: .

결론 2 번과도 불일치가 없었으며 대부분 올바른 길을 가고 있습니다.

이것은 함수의 그래프가 전체 정의 영역에서 오목하다는 것을 의미합니다.

훌륭합니다. 아무것도 그릴 필요가 없습니다.

변곡점이 없습니다.

오목함은 결론 3번과 일치하며, 또한 함수의 그래프가 무한대(거기 저기 모두)에 있음을 나타냅니다. ~ 위에그것의 사선 점근선.

6) 성실하게 추가 포인트로 작업을 고정합니다. 여기서 우리는 연구에서 두 가지만 알고 있기 때문에 열심히 노력해야 합니다.

그리고 아마도 많은 사람들이 오랫동안 제시해 온 그림:

과제를 수행하는 과정에서 연구 단계 사이에 모순이 없도록 주의를 기울여야 하지만 때로는 상황이 급박하거나 심지어 절망적으로 막다른 골목에 이르기도 합니다. 여기서 분석은 "수렴되지 않습니다"-그게 다입니다. 이 경우 비상 기술을 권장합니다. 그래프에 속하는 점을 가능한 한 많이 찾고 (인내력이 충분한 정도) 좌표 평면에 표시합니다. 대부분의 경우 발견된 값의 그래픽 분석은 진실이 어디에 있고 거짓이 어디에 있는지 알려줍니다. 또한 예를 들어 동일한 Excel과 같은 일부 프로그램을 사용하여 그래프를 미리 작성할 수 있습니다(기술이 필요함은 분명함).

실시예 4

미분법을 사용하여 함수를 조사하고 그래프를 작성합니다.

이것은 DIY 예제입니다. 그것에서 자제력은 함수의 균등성에 의해 향상됩니다. 그래프는 축에 대해 대칭이며 연구에서이 사실과 모순되는 것이 있으면 오류를 찾으십시오.

짝수 또는 홀수 함수는 에 대해서만 조사할 수 있으며 그래프의 대칭성을 사용할 수 있습니다. 이 솔루션은 최적이지만 제 생각에는 매우 이례적으로 보입니다. 개인적으로 나는 전체 수치 축을 고려하지만 여전히 오른쪽에서만 추가 점을 찾습니다.

실시예 5

함수에 대한 완전한 연구를 수행하고 그래프를 그립니다.

해결책: 열심히 돌진:

1) 함수는 전체 실제 라인에서 정의되고 연속됩니다: .

이것은 이 함수가 홀수이고 그래프가 원점에 대해 대칭임을 의미합니다.

분명히 함수는 비주기적입니다.

2) 점근선, 무한대에서 함수의 동작.

함수가 에서 연속이므로 수직 점근선이 없습니다.

지수를 포함하는 함수의 경우 일반적으로 분리된그러나 "플러스"와 "마이너스 무한대"에 대한 연구는 그래프의 대칭성에 의해서만 우리의 삶이 촉진됩니다. 왼쪽과 오른쪽에 점근선이 있거나 그렇지 않습니다. 따라서 두 무한 한계를 단일 항목 아래에 정렬할 수 있습니다. 솔루션 과정에서 우리는 로피탈의 법칙:

직선(축)은 에서 그래프의 수평 점근선입니다.

내가 사선 점근선을 찾기 위한 전체 알고리즘을 교묘하게 피한 방법에 주의를 기울이십시오. 극한은 매우 합법적이며 무한대에서 함수의 동작을 명확히 하고 수평 점근선은 "마치 동시에" 발견되었습니다.

그것은 연속성과 수평 점근선의 존재로부터 함수가 다음과 같은 것을 따릅니다. 위에서 제한그리고 아래에서 제한.

3) 그래프와 좌표축의 교차점, 일정 간격.

여기에서도 솔루션을 단축합니다.
그래프는 원점을 통과합니다.

좌표축과 다른 교차점이 없습니다. 또한 불변의 간격은 명백하며 축을 그릴 수 없습니다. , 이는 함수의 부호가 "x"에만 의존함을 의미합니다.
, 만약에 ;
, 만약에 .

4) 함수의 증가, 감소, 극한값.


크리티컬 포인트입니다.

포인트는 0을 기준으로 대칭입니다.

도함수의 부호를 정의해 봅시다.


함수는 간격에 따라 증가하고 간격에 따라 감소합니다.

함수가 최대값에 도달하는 지점에서: .

재산으로 인해 (함수의 이상함) 최소값을 생략할 수 있습니다.

함수가 구간에서 감소하기 때문에 분명히 그래프는 "마이너스 무한대"에 위치합니다. 아래에그것의 점근선과 함께. 간격에서 기능도 감소하지만 여기서는 그 반대입니다. 최대 점을 통과 한 후 선이 위에서 축에 접근합니다.

또한 함수의 그래프는 "마이너스 무한대"에서 볼록하고 "플러스 무한대"에서 오목합니다.

이 연구 시점 이후에 함수 값 영역도 그려졌습니다.

어떤 점에 대해 오해가 있다면 공책에 좌표축을 그리고 손에 연필을 들고 과제의 각 결론을 다시 분석할 것을 다시 한 번 촉구합니다.

5) 그래프의 볼록, 오목, 굴곡.

크리티컬 포인트입니다.

점의 대칭이 유지되며 대부분 착각하지 않습니다.

기호를 정의해 보겠습니다.


함수의 그래프는 볼록합니다. 그리고 오목하다 .

극단적인 간격의 볼록/오목이 확인되었습니다.

모든 임계점에서 그래프에 굴곡이 있습니다. 함수의 기이함을 사용하여 다시 계산 수를 줄이면서 변곡점의 세로 좌표를 찾으십시오.

작업은 함수에 대한 완전한 연구를 수행하고 그래프를 작성하는 것입니다.

모든 학생은 비슷한 어려움을 겪었습니다.

다음은 좋은 지식을 가정합니다. 질문이 있는 경우 이 섹션을 참조하는 것이 좋습니다.

함수 연구 알고리즘은 다음 단계로 구성됩니다.

함수의 범위 찾기.

모든 추가 조치가 정의 영역에서 수행되기 때문에 이것은 함수 연구에서 매우 중요한 단계입니다.

이 예에서는 분모의 0을 찾아 실수 영역에서 제외해야 합니다.



(다른 예에서는 근, 로그 등이 있을 수 있습니다. 이러한 경우 도메인은 다음과 같이 검색됩니다.
예를 들어 짝수 근의 경우 - 정의 영역은 부등식에서 찾을 수 있습니다.
로그의 경우 - 정의 영역은 부등식에서 찾을 수 있습니다 ).

수직 점근선을 찾는 정의 영역의 경계에서 함수의 동작을 조사합니다.

정의 영역의 경계에서 함수는 수직 점근선, 이러한 경계 지점에서 무한대인 경우.

이 예에서 정의 영역의 경계 지점은 입니다.

왼쪽과 오른쪽에서 이러한 점에 접근할 때 함수의 동작을 조사하여 단측 극한을 찾습니다.


단측 극한이 무한하기 때문에 선은 그래프의 수직 점근선입니다.

짝수 또는 홀수 패리티에 대한 함수 조사.

기능은 조차, 만약에 . 함수의 패리티는 y축에 대한 그래프의 대칭성을 나타냅니다.

기능은 이상한, 만약에 . 함수의 이상도는 원점에 대한 그래프의 대칭성을 나타냅니다.

평등 중 어느 것도 충족되지 않으면 일반 형식의 기능이 있습니다.

이 예에서 평등은 참이므로 함수는 짝수입니다. 그래프를 그릴 때 이것을 고려할 것입니다 - y축에 대해 대칭이 될 것입니다.

증가 및 감소 함수, 극한 지점의 간격 찾기.

증가 및 감소 간격은 각각 불평등의 솔루션입니다.

도함수가 사라지는 점을 호출합니다. 변화 없는.

기능의 중요 포인트함수의 도함수가 0이거나 존재하지 않는 정의 영역의 내부 점을 호출합니다.

논평(증감 구간에 임계점을 포함할지 여부).

함수의 도메인에 속하는 경우 오름차순 및 내림차순 간격에 임계점을 포함합니다.

이런 식으로, 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하기 위해

• 먼저 미분을 찾습니다.
• 둘째, 중요한 점을 찾습니다.
• 셋째, 임계점에 의한 정의 영역을 간격으로 나눕니다.
• 넷째, 각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다. 더하기 기호는 증가 간격에 해당하고 빼기 기호는 감소 간격에 해당합니다.

가다!

우리는 정의 영역에서 파생물을 찾습니다(어려운 경우 섹션 참조).


우리는 다음과 같은 중요한 점을 찾습니다.

이 점들을 수치 축에 놓고 각 결과 간격 내에서 도함수의 부호를 결정합니다. 또는 간격의 임의 지점을 선택하고 해당 지점에서 도함수 값을 계산할 수 있습니다. 값이 양수이면 이 간격에 더하기 기호를 놓고 다음 값으로 이동하고, 음수이면 빼기 등을 넣습니다. 예를 들어, , 따라서 우리는 왼쪽의 첫 번째 간격에 더하기를 넣습니다.


결론:

도식적으로 플러스/마이너스는 도함수가 양수/음수인 구간을 표시합니다. 오름차순/내림차순 화살표는 오름차순/내림차순 방향을 나타냅니다.

함수의 극한점함수가 정의되고 도함수가 부호를 변경하는 지점을 통과합니다.

이 예에서 극한 지점은 x=0입니다. 이때 함수의 값은 . 점 x=0을 지날 때 도함수가 플러스에서 마이너스로 부호가 바뀌므로 (0; 0)이 로컬 최대점입니다. (도함수의 부호가 마이너스에서 플러스로 바뀌면 로컬 최소점이 생깁니다.)

함수의 볼록과 오목의 간격과 변곡점 찾기.

함수의 오목 및 볼록의 간격은 부등식 및 각각을 해결하여 찾습니다.

경우에 따라 오목한 부분을 하향 볼록성이라고 하고 볼록한 부분을 상향 볼록성이라고 합니다.

여기에서도 증가와 감소의 간격에 대한 단락과 유사한 설명이 유효합니다.

이런 식으로, 함수의 오목과 볼록의 범위를 결정하기 위해:

• 먼저 2차 도함수를 찾습니다.
• 둘째, 2차 미분의 분자와 분모의 0을 찾습니다.
• 세 번째로, 얻은 점으로 정의 영역을 간격으로 나눕니다.
• 넷째, 각 구간에서 2차 도함수의 부호를 결정합니다. 더하기 기호는 오목 간격에 해당하고 빼기 기호는 볼록 간격에 해당합니다.

가다!

우리는 정의 영역에서 2차 도함수를 찾습니다.


이 예에서는 분자 0, 분모 0이 없습니다.

이 점들을 실제 축에 놓고 각 결과 간격 내에서 2차 도함수의 부호를 결정합니다.



결론:

포인트라고 합니다 변곡점, 주어진 지점에서 함수의 그래프에 대한 접선이 있고 함수의 2차 도함수가 통과할 때 부호가 변경되는 경우.

즉, 변곡점은 2차 도함수가 부호를 변경하는 지점이 될 수 있으며, 지점 자체가 0이거나 존재하지 않지만 이러한 지점은 함수의 도메인에 포함됩니다.

이 예에서는 변곡점이 없습니다. 2차 도함수가 점을 통과할 때 부호가 변경되고 함수의 영역에 포함되지 않기 때문입니다.

수평 및 사선 점근선 찾기.

수평 또는 사선 점근선은 함수가 무한대로 정의된 경우에만 찾아야 합니다.

사선 점근선직선의 형태로 찾는다. .

만약 k=0이고 b가 무한대가 아니면, 경사 점근선은 다음이 됩니다. 수평의.

어쨌든 이 점근선은 누구입니까?

이것은 함수의 그래프가 무한대로 접근하는 선입니다. 따라서 함수를 플로팅할 때 많은 도움이 됩니다.

수평 또는 사선 점근선이 없지만 함수가 플러스 무한대 및/또는 마이너스 무한대에서 정의된 경우 플러스 무한대 및/또는 마이너스 무한대에서 함수의 한계를 계산하여 의 동작에 대한 아이디어를 얻어야 합니다. 함수의 그래프.

우리의 예를 들어

수평 점근선입니다.

이것으로 함수 연구를 마치고 플로팅을 진행합니다.

중간 지점에서 함수 값을 계산합니다.

보다 정확한 플로팅을 위해 중간 지점(즉, 함수 정의 영역의 모든 지점)에서 여러 함수 값을 찾는 것이 좋습니다.

예를 들어 x=-2, x=-1, x=-3/4, x=-1/4 지점에서 함수 값을 찾아보겠습니다. 함수의 패리티로 인해 이러한 값은 x=2 , x=1 , x=3/4 , x=1/4 지점의 값과 일치합니다.


그래프 만들기.

먼저 점근선을 만들고 함수의 극대점과 극소점, 변곡점 및 중간점을 플로팅합니다. 플로팅의 편의를 위해 증가, 감소, 볼록 및 오목 간격의 도식 지정을 적용할 수도 있습니다. =) 함수를 연구한 것은 헛되지 않았습니다.


점근선에 접근하고 화살표를 따라 표시된 점을 통해 그래프의 선을 그리는 것이 남아 있습니다.


이 미술의 걸작으로 기능과 플로팅을 완전히 조사하는 작업이 완료되었습니다.

일부 기본 함수의 그래프는 기본 기본 함수의 그래프를 사용하여 작성할 수 있습니다.

작업에서 그래프 구성과 함께 함수 f (x) \u003d x 2 4 x 2-1에 대한 완전한 연구를 수행 해야하는 경우이 원칙을 자세히 고려할 것입니다.

이러한 유형의 문제를 해결하려면 기본 기본 함수의 속성과 그래프를 사용해야 합니다. 연구 알고리즘에는 다음 단계가 포함됩니다.

정의 영역 찾기

기능 영역에 대한 연구가 진행되기 때문에 이 단계부터 시작해야 합니다.

예 1

주어진 예는 DPV에서 분모를 제외하기 위해 분모의 0을 찾는 것과 관련됩니다.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +무한

결과적으로 근, 로그 등을 얻을 수 있습니다. 그런 다음 ODZ는 부등식 g(x) ≥ 0에 의해 짝수 유형 g(x) 4의 근을 검색할 수 있고, 부등식 g(x) > 0에 의해 로그 로그 a g(x)에 대해 검색할 수 있습니다.

ODZ 경계 조사 및 수직 점근선 찾기

함수의 경계에 수직 점근선이 있는데, 그러한 점에서 단측 극한이 무한할 때입니다.

예 2

예를 들어, x = ± 1 2 와 같은 경계점을 고려하십시오.

그런 다음 단측 극한을 찾는 함수를 연구해야 합니다. lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ 한계 x → - 1 2 + 0 f(x) = 한계 x → - 1 2 + 0 x 24 x - 1 = = 한계 x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f(x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ 한계 x → 1 2 - 0 f (x) = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = 한계 x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

이는 단측 극한이 무한하다는 것을 보여주며, 이는 선 x = ± 1 2가 그래프의 수직 점근선임을 의미합니다.

함수 조사 및 짝수 또는 홀수

y(-x) = y(x)라는 조건이 충족되면 함수가 짝수인 것으로 간주됩니다. 이는 그래프가 Oy에 대해 대칭적으로 위치함을 시사한다. 조건 y(- x) = - y(x)가 충족되면 함수가 홀수로 간주됩니다. 이것은 좌표의 원점을 기준으로 대칭이 진행됨을 의미합니다. 적어도 하나의 부등식이 실패하면 일반 형식의 함수를 얻습니다.

등식 y(- x) = y(x)의 충족은 함수가 짝수임을 나타냅니다. 시공시 O y에 대해 대칭이 될 것이라는 점을 고려할 필요가 있습니다.

부등식을 해결하기 위해 f "(x) ≥ 0 및 f"(x) ≤ 0 조건에서 각각 증가 및 감소 간격이 사용됩니다.

정의 1

고정점미분을 0으로 만드는 점입니다.

임계점함수의 도함수가 0이거나 존재하지 않는 영역의 내부 점입니다.

결정을 내릴 때 다음 사항을 고려해야 합니다.

• f "(x) > 0 형식의 불평등의 기존 증가 및 감소 간격에 대해 임계점은 솔루션에 포함되지 않습니다.
• 유한 도함수 없이 함수가 정의되는 지점은 증가 및 감소 간격에 포함되어야 합니다(예: y \u003d x 3, 여기서 점 x \u003d 0은 함수를 정의하고 도함수 값은 무한대입니다. 이 시점에서 y " \u003d 1 3 x 2 3 , y "(0) = 1 0 = ∞ , x = 0은 증가 간격에 포함됨);
• 불일치를 피하기 위해 교육부에서 권장하는 수학 문헌을 사용하는 것이 좋습니다.

함수의 영역을 만족하는 경우 증가 및 감소 간격에 임계점을 포함합니다.

정의 2

을 위한 함수의 증가 및 감소 간격을 결정하려면 다음을 찾아야합니다.:

• 유도체;
• 임계점;
• 임계점의 도움으로 정의 영역을 간격으로 나눕니다.
• 각 구간에서 도함수의 부호를 결정합니다. 여기서 +는 증가이고 -는 감소입니다.

실시예 3

도메인 f "(x) = x 2"(4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1)에서 도함수 찾기 2 .

해결책

해결하려면 다음이 필요합니다.

• 정지점 찾기, 이 예는 x = 0 입니다.
• 분모의 0을 찾으면 예제는 x = ± 1 2 에서 값 0을 취합니다.

각 구간의 도함수를 결정하기 위해 숫자 축에 점을 노출합니다. 이렇게하려면 간격에서 임의의 지점을 가져 와서 계산하면 충분합니다. 결과가 양수이면 그래프에 +를 그립니다. 이는 함수의 증가를 의미하고 -는 감소를 의미합니다.

예를 들어 f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0은 왼쪽의 첫 번째 간격에 + 기호가 있음을 의미합니다. 숫자를 고려하십시오. 선.

대답:

• 간격에서 함수가 증가합니다 - ∞ ; - 1 2 및 (- 1 2 ; 0 ] ;
• 간격 [ 0 ; 12) 및 12; +∞ .

다이어그램에서 +와 -를 사용하여 함수의 양수와 음수를 표시하고 화살표는 감소 및 증가를 나타냅니다.

함수의 극한점은 함수가 정의되고 도함수가 부호를 변경하는 지점입니다.

실시예 4

x \u003d 0 인 예를 고려하면 함수 값은 f (0) \u003d 0 2 4 0 2-1 \u003d 0입니다. 미분의 부호가 +에서 -로 변경되고 점 x \u003d 0을 통과하면 좌표가 (0; 0)인 점이 최대 점으로 간주됩니다. 부호가 -에서 +로 변경되면 최소 점수를 얻습니다.

볼록과 오목은 f "" (x) ≥ 0 및 f "" (x) ≤ 0 형식의 부등식을 해결하여 결정됩니다. 덜 자주 오목함 대신 팽창이라는 이름을 사용하고 팽창 대신 팽창이라는 이름을 사용합니다.

정의 3

을 위한 오목과 볼록의 간격 결정필요한:

• 이차 미분을 찾으십시오.
• 2차 도함수 함수의 0을 찾습니다.
• 간격으로 나타나는 점으로 정의 영역을 끊습니다.
• 간격의 부호를 결정합니다.

실시예 5

정의 영역에서 2차 도함수를 찾으십시오.

해결책

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

분자와 분모의 0을 찾습니다. 여기서 예제를 사용하면 분모의 0 x = ± 1 2

이제 수직선에 점을 놓고 각 간격에서 2차 도함수의 부호를 결정해야 합니다. 우리는 그것을 얻는다

대답:

• 함수는 구간 - 1 2 에서 볼록합니다. 12 ;
• 함수는 간격에서 오목합니다 - ∞ ; - 12 및 12; +∞ .

정의 4

변곡점 x 0 형식의 점입니다. f(x0) . 함수의 그래프에 접선이 있을 때 x 0을 통과하면 함수의 부호가 반대 방향으로 바뀝니다.

즉, 이것은 2차 도함수가 통과하고 부호가 변경되는 지점이며, 지점 자체가 0이거나 존재하지 않는 지점입니다. 모든 포인트는 함수의 도메인으로 간주됩니다.

예제에서는 2차 도함수가 x = ± 1 2 점을 지날 때 부호가 바뀌기 때문에 변곡점이 없는 것을 알 수 있었습니다. 차례로 그것들은 정의의 영역에 포함되지 않습니다.

수평 및 사선 점근선 찾기

무한대에서 함수를 정의할 때 수평 및 경사 점근선을 찾아야 합니다.

정의 5

사선 점근선방정식 y = k x + b로 주어진 선을 사용하여 그려집니다. 여기서 k = lim x → ∞ f (x) x 및 b = lim x → ∞ f (x) - k x 입니다.

k = 0이고 b가 무한대가 아닌 경우, 경사 점근선은 다음과 같습니다. 수평의.

즉, 점근선은 함수의 그래프가 무한대로 접근하는 선입니다. 이는 함수 그래프의 빠른 구성에 기여합니다.

점근선이 없지만 함수가 두 무한대에서 정의되는 경우 함수 그래프가 어떻게 작동하는지 이해하려면 이러한 무한대에서 함수의 극한을 계산해야 합니다.

실시예 6

예를 들어 다음을 고려하십시오.

k = 한계 x → ∞ f(x) x = 한계 x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = 한계 x → ∞ (f(x) - k x) = 한계 x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 14 ⇒ y = 14

수평 점근선입니다. 기능을 조사한 후 빌드를 시작할 수 있습니다.

중간 지점에서 함수 값 계산

플로팅을 가장 정확하게 하려면 중간 지점에서 함수의 여러 값을 찾는 것이 좋습니다.

실시예 7

우리가 고려한 예에서 x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 지점에서 함수 값을 찾아야합니다. 함수가 짝수이기 때문에 값이 이러한 지점의 값과 일치합니다. 즉, x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4를 얻습니다.

다음을 작성하고 해결해 봅시다.

F(-2) = f(2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f(- 1) - f(1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 에프 - 3 4 = 에프 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 에프 - 1 4 = 에프 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

함수의 최대값과 최소값, 변곡점, 중간점을 결정하려면 점근선을 구축해야 합니다. 편리한 지정을 위해 증가, 감소, 볼록, 오목의 간격이 고정되어 있습니다. 아래 그림을 고려하십시오.

화살표를 따라 점근선에 더 가까워질 수 있도록 표시된 점을 통해 그래프 선을 그릴 필요가 있습니다.

이것으로 기능에 대한 완전한 연구를 마칩니다. 기하학적 변환이 사용되는 일부 기본 함수를 구성하는 경우가 있습니다.

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