기억하기가 매우 쉽습니다.

글쎄, 우리는 멀리 가지 않을 것이며 즉시 역함수를 고려할 것입니다. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉, 밑이 있는 로그)를 "자연" 로그라고 하며, 이를 위해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

무엇과 같습니까? 물론, .

자연 로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

1. 함수의 미분을 찾으십시오.
2. 함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 지수와 자연 로그는 도함수 측면에서 독특하게 단순한 함수입니다. 지수함수와 대수함수는 다른 밑수를 가지므로 미분법칙을 거친 후에 나중에 분석할 다른 도함수를 갖게 됩니다.

차별화 규칙

어떤 규칙? 또 새로운 용어, 또?!...

분화도함수를 찾는 과정입니다.

오직 모든 것. 이 과정을 다른 말로 하면? proizvodnovanie가 아니라... 수학의 미분을 함수의 증분이라고 합니다. 이 용어는 라틴어 Differentia - 차이에서 유래합니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 유도할 때 예를 들어 and와 같은 두 가지 함수를 사용합니다. 증분에 대한 공식도 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 미분의 부호에서 제거됩니다.

If-일부 상수 (상수), 그러면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다. .

그것을 증명합시다. 시키거나 더 쉽게.

예.

함수의 도함수 찾기:

1. 그 시점에;
2. 그 시점에;
3. 그 시점에;
4. 그 시점에.

솔루션:

1. (미분은 선형 함수이기 때문에 모든 지점에서 동일합니다. 기억하십니까?)

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새 기능을 도입하고 증분을 찾습니다.

유도체:

예:

1. 함수의 미분 찾기 및;
2. 한 지점에서 함수의 도함수를 찾습니다.

솔루션:

지수 함수의 도함수

이제 귀하의 지식은 지수뿐만 아니라 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다(아직 무엇인지 잊으셨습니까?).

그래서 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 가져와 보겠습니다.

이를 위해 다음과 같은 간단한 규칙을 사용합니다. 그 다음에:

글쎄요. 이제 도함수를 찾으려고 노력하고 이 함수가 복잡하다는 것을 잊지 마십시오.

일어난?

여기에서 자신을 확인하십시오.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 남아 있지만 숫자 일뿐 변수가 아닌 요인 만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수 찾기:

답변:

이것은 계산기 없이는 계산할 수 없는 숫자, 즉 더 간단한 형식으로 쓸 수 없는 숫자일 뿐입니다. 따라서 답안에는 이 형태로 남겨둔다.

여기에 두 함수의 몫이 있으므로 적절한 미분 규칙을 적용합니다.

이 예에서 두 함수의 곱은 다음과 같습니다.

대수 함수의 도함수

여기서도 비슷합니다: 여러분은 이미 자연 로그의 도함수를 알고 있습니다:

따라서 밑이 다른 로그에서 임의의 것을 찾으려면, 예를 들면 다음과 같습니다.

이 로그를 밑으로 가져와야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 이 공식을 기억하시기 바랍니다.

대신 지금 만 작성합니다.

분모는 상수(변수가 없는 상수)로 밝혀졌습니다. 미분은 매우 간단합니다.

지수 함수와 대수 함수의 도함수는 시험에서 거의 찾을 수 없지만 알고 있는 것이 불필요하지는 않습니다.

복잡한 함수의 도함수.

"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 이것은 대수도 아니고 아크 탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어려워 보이더라도 "로그" 항목을 읽으면 모든 것이 해결될 것입니다).

작은 컨베이어를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고 두 번째는 리본으로 묶습니다. 리본으로 싸서 묶은 초콜릿 바입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 순서로 반대 단계를 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 그들은 우리에게 숫자(초콜릿)를 주고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 당신은 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수로 첫 번째 작업을 직접 수행한 다음 첫 번째 결과로 발생한 다른 두 번째 작업을 수행합니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

이 예에서는 .

우리는 동일한 작업을 역순으로 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 복잡한 기능의 중요한 기능: 작업 순서가 변경되면 기능이 변경됩니다.

두 번째 예: (동일). .

우리가 수행하는 마지막 작업은 "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 각각 "내부" 기능(비공식적인 이름이며 간단한 언어로 자료를 설명하기 위해서만 사용합니다).

어떤 기능이 외부이고 어떤 기능이 내부인지 스스로 결정하십시오.

답변:내부 함수와 외부 함수의 분리는 변수 변경과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

1. 먼저 어떤 조치를 취할까요? 먼저 사인을 계산한 다음 큐브로 올립니다. 따라서 외부 기능이 아닌 내부 기능입니다.
   그리고 원래 기능은 그들의 구성입니다: .
2. 내부: ; 외부: .
   검사: .
3. 내부: ; 외부: .
   검사: .
4. 내부: ; 외부: .
   검사: .
5. 내부: ; 외부: .
   검사: .

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿을 추출하겠습니다. 파생 상품을 찾으십시오. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예의 경우 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화하겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

간단한 것 같죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

솔루션:

1) 내부: ;

외부: ;

2) 내부: ;

(지금까지 줄이려고 하지 마세요! 코사인 아래에서 아무 것도 꺼내지 않습니다. 기억하시나요?)

3) 내부: ;

외부: ;

여기에 3단계 복합 기능이 있다는 것이 즉시 분명해집니다. 결국 이것은 이미 그 자체로 복합 기능이고 우리는 여전히 그것에서 루트를 추출합니다. 즉, 세 번째 작업을 수행합니다(초콜릿을 래퍼에 넣습니다). 서류 가방에 리본 포함). 그러나 두려워할 이유는 없습니다. 어쨌든 이 기능을 평소와 같은 순서로 "언패킹"할 것입니다.

즉, 먼저 루트를 구별한 다음 코사인을 구별한 다음 괄호 안의 표현만 구별합니다. 그런 다음 모두 곱합니다.

이러한 경우 작업에 번호를 매기는 것이 편리합니다. 즉, 우리가 아는 것을 상상해 봅시다. 이 표현식의 값을 계산하기 위해 어떤 순서로 작업을 수행합니까? 예를 살펴보겠습니다.

작업이 나중에 수행될수록 해당 기능이 더 "외부적"이 됩니다. 작업 순서 - 이전과 동일:

여기서 중첩은 일반적으로 4단계입니다. 행동 방침을 결정합시다.

1. 급진적 표현. .

2. 뿌리. .

3. 부비동. .

4. 광장. .

5. 종합:

유도체. 메인에 대해 간단히

함수 미분- 인수의 극미한 증분으로 함수 증분 대 인수 증분의 비율:

기본 파생 상품:

차별화 규칙:

상수는 미분의 부호에서 제거됩니다.

합계의 미분:

파생 제품:

몫의 미분:

복잡한 함수의 도함수:

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

1. 우리는 "내부" 함수를 정의하고 파생물을 찾습니다.
2. 우리는 "외부" 함수를 정의하고 파생물을 찾습니다.
3. 첫 번째와 두 번째 점의 결과를 곱합니다.

복잡한 파생 상품. 로그 미분.
지수 함수의 도함수

차별화 기술을 지속적으로 개선하고 있습니다. 이 단원에서는 다루는 자료를 통합하고 더 복잡한 도함수를 고려하며 특히 로그 도함수를 사용하여 도함수를 찾는 새로운 요령과 요령에 대해 알아봅니다.

준비 수준이 낮은 독자는 기사를 참조하십시오. 미분을 찾는 방법? 솔루션 예시거의 처음부터 기술을 향상시킬 수 있습니다. 다음으로 페이지를 주의 깊게 연구해야 합니다. 복잡한 함수의 도함수, 이해하고 해결 모두내가 준 예. 이 레슨은 논리적으로 세 번째이며 마스터한 후에는 상당히 복잡한 기능을 자신 있게 구별할 수 있습니다. “다른 곳은 어디입니까?”라는 입장을 고수하는 것은 바람직하지 않습니다. 예, 충분합니다!”, 모든 예제와 솔루션은 실제 테스트에서 가져오고 실제로 자주 발견되기 때문입니다.

반복부터 시작합시다. 수업에서 복잡한 함수의 도함수자세한 설명과 함께 여러 가지 예를 살펴보았습니다. 미분학 및 수학적 분석의 다른 섹션을 공부하는 과정에서 매우 자주 미분해야 하며 예를 아주 자세하게 그리는 것이 항상 편리한 것은 아닙니다(항상 필요한 것은 아닙니다). 따라서 파생상품의 구술발견을 실습합니다. 이에 가장 적합한 "후보"는 가장 단순한 복잡한 함수의 파생물입니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

복소 함수의 미분 법칙에 따라 :

앞으로 다른 마탄 주제를 공부할 때 이러한 자세한 기록은 대부분 필요하지 않으며 학생이 자동 조종 장치에서 유사한 파생물을 찾을 수 있다고 가정합니다. 아침 3시에 전화가 울리고 유쾌한 목소리가 "2 x의 탄젠트에서 미분은 무엇입니까? "라고 묻는다고 상상해보십시오. 거의 즉각적이고 정중한 응답이 뒤따라야 합니다. .

첫 번째 예는 즉시 독립적인 솔루션을 위한 것입니다.

예 1

예를 들어 다음과 같은 파생 상품을 구두로 한 번에 찾으십시오. . 작업을 완료하려면 다음을 사용하기만 하면 됩니다. 기본 함수의 도함수 표(그녀가 아직 기억하지 못한 경우). 어려운 점이 있으면 강의를 다시 읽는 것이 좋습니다. 복잡한 함수의 도함수.

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수업이 끝날 때 답변

복합 파생 상품

예비 포병 준비 후 3-4-5 기능 첨부 예제는 덜 무섭습니다. 아마도 다음 두 가지 예는 일부에게는 복잡해 보일 수 있지만 이해한다면 (누군가는 고통을 겪습니다) 미분학의 거의 모든 것이 어린이 농담처럼 보일 것입니다.

예 2

함수의 도함수 찾기

이미 언급한 바와 같이 복소함수의 도함수를 구하려면 우선 오른쪽투자를 이해하십시오. 의심스러운 경우 유용한 트릭을 상기시켜 드리겠습니다. 예를 들어 실험적 값 "x"를 사용하고 (정신적으로 또는 초안에서)이 값을 "끔찍한 표현"으로 대체하려고 시도합니다.

1) 먼저 식을 계산해야 하므로 합이 가장 깊은 중첩입니다.

2) 그런 다음 로그를 계산해야 합니다.

4) 그런 다음 코사인을 세제곱합니다.

5) 다섯 번째 단계에서 차이점은 다음과 같습니다.

6) 마지막으로 가장 바깥쪽 함수는 제곱근입니다.

복소 함수 미분 공식 가장 바깥쪽 함수에서 가장 안쪽 함수까지 역순으로 적용됩니다. 우리는 다음을 결정합니다.

오류가 없는듯...

(1) 제곱근의 도함수를 취합니다.

(2) 규칙을 사용하여 차이의 미분을 취합니다.

(3) 트리플의 도함수는 0과 같습니다. 두 번째 항에서는 차수(큐브)의 미분을 취합니다.

(4) 코사인의 도함수를 취합니다.

(5) 로그의 미분을 취합니다.

(6) 마지막으로 가장 깊은 중첩의 파생물을 취합니다.

너무 어려워 보일 수 있지만 이것은 가장 잔인한 예가 아닙니다. 예를 들어 Kuznetsov의 컬렉션을 보면 분석된 파생 상품의 모든 매력과 단순성을 높이 평가할 것입니다. 나는 학생들이 복잡한 함수의 미분을 찾는 방법을 이해하는지 또는 이해하지 못하는지 확인하기 위해 시험에서 비슷한 것을 제공하는 것을 좋아한다는 것을 알았습니다.

다음 예는 독립 실행형 솔루션에 대한 것입니다.

예 3

함수의 도함수 찾기

힌트: 먼저 제품의 선형 규칙과 미분 규칙을 적용합니다.

수업이 끝날 때 전체 솔루션 및 답변.

더 작고 더 예쁜 것으로 넘어갈 때입니다.
예를 들어 함수가 둘이 아니라 셋인 곱셈이 주어진 상황은 드문 일이 아니다. 세 요인 곱의 미분을 찾는 방법은 무엇입니까?

예 4

함수의 도함수 찾기

먼저 살펴보는데, 세 가지 기능의 곱을 두 가지 기능의 곱으로 바꾸는 것이 가능할까요? 예를 들어 제품에 두 개의 다항식이 있는 경우 괄호를 열 수 있습니다. 하지만 이 예에서는 차수, 지수, 로그 등 모든 함수가 다릅니다.

이러한 경우에 필요한 차례로제품 차별화 규칙 적용 두 배

비결은 "y"의 경우 두 함수의 곱을 나타내는 것입니다. , "ve"의 경우 - 대수:. 왜 이것이 가능합니까? 인가요 -이것은 두 가지 요소의 곱이 아니며 규칙이 작동하지 않습니까?! 복잡한 것은 없습니다.

이제 규칙을 두 번째로 적용해야 합니다. 대괄호에:

여전히 괄호에서 무언가를 왜곡하고 꺼낼 수 있지만이 경우이 형식으로 답을 남겨 두는 것이 좋습니다. 확인하기가 더 쉬울 것입니다.

위의 예는 두 번째 방법으로 해결할 수 있습니다.

두 솔루션 모두 절대적으로 동일합니다.

실시예 5

함수의 도함수 찾기

이것은 독립 솔루션의 예이며 샘플에서는 첫 번째 방법으로 해결됩니다.

분수와 유사한 예를 고려하십시오.

실시예 6

함수의 도함수 찾기

여기에서 여러 가지 방법으로 이동할 수 있습니다.

또는 다음과 같이:

그러나 먼저 몫의 미분 규칙을 사용하면 솔루션을 더 간단하게 작성할 수 있습니다. , 전체 분자에 대해:

원칙적으로 예제는 풀고, 이 형태로 남겨두면 오류가 없을 것입니다. 그러나 시간이 있으면 항상 초안을 확인하는 것이 좋지만 답변을 단순화할 수 있습니까? 우리는 분자의 표현을 공통 분모로 가져오고 3층 부분을 없애다:

추가 단순화의 단점은 파생물을 찾을 때가 아니라 진부한 학교 변형을 찾을 때 실수 할 위험이 있다는 것입니다. 반면에 교사는 종종 과제를 거부하고 파생물을 "생각나게 하라"고 요청합니다.

DIY 솔루션의 간단한 예:

실시예 7

함수의 도함수 찾기

우리는 도함수를 찾는 기술을 계속해서 습득하고 이제 미분을 위해 "끔찍한" 로그가 제안되는 전형적인 경우를 고려할 것입니다.

실시예 8

함수의 도함수 찾기

여기에서 복잡한 함수의 미분 규칙을 사용하여 먼 길을 갈 수 있습니다.

그러나 첫 번째 단계는 즉시 당신을 낙담하게 만듭니다. 당신은 분수 정도의 불쾌한 파생물을 취한 다음 분수에서 가져와야합니다.

그래서 ~ 전에잘 알려진 학교 속성을 사용하여 이전에 단순화된 "멋진" 로그의 파생물을 얻는 방법:

! 연습용 공책이 있으면 바로 이 공식을 복사하십시오. 공책이 없다면 종이에 그립니다. 수업의 나머지 예제는 이 공식을 중심으로 진행됩니다.

솔루션 자체는 다음과 같이 공식화할 수 있습니다.

함수를 변환해 보겠습니다.

미분을 찾습니다.

함수 자체의 예비 변환은 솔루션을 크게 단순화했습니다. 따라서 미분을 위해 유사한 로그가 제안되면 항상 "분할"하는 것이 좋습니다.

이제 독립 솔루션에 대한 몇 가지 간단한 예가 있습니다.

실시예 9

함수의 도함수 찾기

실시예 10

함수의 도함수 찾기

수업이 끝날 때 모든 변형 및 답변.

로그 미분

로그의 도함수가 그렇게 감미로운 음악이라면 어떤 경우에는 로그를 인위적으로 구성하는 것이 가능한가라는 질문이 생깁니다. 할 수 있다! 그리고 심지어 필요합니다.

실시예 11

함수의 도함수 찾기

우리가 최근에 고려한 유사한 예. 무엇을 해야 합니까? 몫의 미분법칙과 곱의 미분법칙을 순차적으로 적용할 수 있습니다. 이 방법의 단점은 처리하고 싶지 않은 거대한 3층 부분을 얻게 된다는 것입니다.

그러나 이론과 실제에서 대수 도함수와 같은 놀라운 것이 있습니다. 로그는 양쪽에 "매달아" 인위적으로 구성할 수 있습니다.

메모 : 왜냐하면 함수는 음수 값을 가질 수 있으므로 일반적으로 모듈을 사용해야 합니다. , 분화의 결과로 사라집니다. 그러나 현재 디자인도 허용 가능하며 기본적으로 복잡한가치. 그러나 엄밀히 말하면 두 경우 모두 다음을 예약해야합니다..

이제 가능한 한 우변의 로그를 "파괴"해야 합니다(눈 앞의 공식?). 이 과정을 자세히 설명하겠습니다.

차별화부터 시작하겠습니다.
스트로크로 두 부분을 모두 마무리합니다.

우변의 도함수는 매우 간단합니다. 이에 대해서는 언급하지 않겠습니다. 이 텍스트를 읽고 있다면 안심하고 다룰 수 있어야 하기 때문입니다.

왼쪽은 어떻습니까?

왼쪽에는 복잡한 기능. 나는 "왜 로그 아래에 하나의 문자 "y"가 있습니까?"라는 질문을 예상합니다.

사실 이 "한 글자 y"는 - 그 자체로 기능입니다(명확하지 않은 경우 암시적으로 지정된 함수 파생 ​​문서 참조). 따라서 로그는 외부 함수이고 "y"는 내부 함수입니다. 그리고 우리는 복합 함수 미분 규칙을 사용합니다. :

왼편에는 마술처럼 도함수가 있습니다. 또한 비율의 규칙에 따라 왼쪽 분모에서 오른쪽 상단으로 "y"를 던집니다.

그리고 이제 우리는 미분할 때 어떤 종류의 "게임" 기능에 대해 이야기했는지 기억합니까? 조건을 살펴보겠습니다.

최종 답변:

실시예 12

함수의 도함수 찾기

이것은 DIY 예제입니다. 수업이 끝날 때 이러한 유형의 예에 대한 샘플 디자인.

대수 미분의 도움으로 예제 번호 4-7 중 하나를 해결할 수 있었고 또 다른 점은 함수가 더 간단하고 아마도 대수 미분의 사용이 그다지 정당하지 않다는 것입니다.

지수 함수의 도함수

우리는 아직 이 기능을 고려하지 않았습니다. 지수 함수는 다음을 갖는 함수입니다. 차수와 기준은 "x"에 따라 달라집니다.. 모든 교과서나 강의에서 제공되는 고전적인 예:

지수 함수의 도함수를 찾는 방법은 무엇입니까?

방금 고려한 기술인 대수 도함수를 사용해야 합니다. 양쪽에 로그를 걸었습니다.

원칙적으로 오른쪽의 로그 아래에서 차수를 가져옵니다.

결과적으로 오른쪽에는 표준 공식에 따라 구별되는 두 가지 기능의 곱이 있습니다. .

미분을 찾았습니다. 이를 위해 두 부분을 스트로크로 묶습니다.

다음 단계는 쉽습니다.

마지막으로:

일부 변환이 완전히 명확하지 않은 경우 예 11의 설명을 주의 깊게 다시 읽으십시오.

실제 작업에서 지수 함수는 고려된 강의 예제보다 항상 더 복잡합니다.

실시예 13

함수의 도함수 찾기

로그 미분을 사용합니다.

오른쪽에는 상수와 "x"와 "x의 로그의 로그"라는 두 요소의 곱이 있습니다(또 다른 로그는 로그 아래에 중첩되어 있습니다). 우리가 기억하는 것처럼 상수를 미분할 때 방해가 되지 않도록 미분 부호에서 즉시 빼는 것이 좋습니다. 물론 익숙한 규칙을 적용합니다. :

자연 로그의 도함수와 밑수 a의 로그에 대한 공식의 증명 및 파생. ln 2x, ln 3x 및 ln nx의 도함수 계산의 예. 수학적 귀납법에 의한 n차 로그의 도함수 공식 증명.

콘텐츠

또한보십시오: 대수 - 속성, 공식, 그래프
자연 로그 - 속성, 공식, 그래프

자연 로그의 도함수와 밑수 a의 로그에 대한 공식 유도

x의 자연 로그의 도함수는 1을 x로 나눈 것과 같습니다.
(1) (lnx)' =.

밑수 a에 대한 로그의 도함수는 1을 변수 x로 나누고 a의 자연 로그를 곱한 것과 같습니다.
(2) (로그 x)' =.

증거

1이 아닌 양수가 있다고 하자. 기본 로그인 변수 x 에 의존하는 함수를 고려하십시오.
.
이 함수는 로 정의됩니다. x에 대한 도함수를 찾아봅시다. 정의에 따라 미분은 다음 극한입니다.
(3) .

이 표현을 알려진 수학적 속성 및 규칙으로 축소하도록 변환해 보겠습니다. 이를 위해서는 다음과 같은 사실을 알아야 합니다.
ㅏ) 로그의 속성. 다음 공식이 필요합니다.
(4) ;
(5) ;
(6) ;
비)연속 함수에 대한 로그의 연속성과 극한의 속성:
(7) .
여기에 극한이 있고 이 극한이 양수인 함수가 있습니다.
안에)두 번째 경이로운 한계의 ​​의미:
(8) .

우리는 이러한 사실을 우리의 한계에 적용합니다. 먼저 대수식을 변환합니다.
.
이를 위해 속성 (4)와 (5)를 적용합니다.

.

속성(7)과 두 번째 놀라운 극한(8)을 사용합니다.
.

마지막으로 속성(6)을 적용합니다.
.
밑이 로그 이자형~라고 불리는 자연 로그. 다음과 같이 표시됩니다.
.
그 다음에 ;
.

따라서 우리는 로그의 미분에 대한 공식 (2)를 얻었습니다.

자연 로그의 도함수

다시 한 번 밑수 a에서 로그의 도함수에 대한 공식을 작성합니다.
.
이 수식은 자연 로그에 대해 가장 간단한 형식을 가지며, , . 그 다음에
(1) .

이러한 단순성 때문에 자연 로그는 미적분 및 미분과 관련된 수학의 다른 영역에서 매우 널리 사용됩니다. 밑이 다른 로그 함수는 속성 (6)을 사용하여 자연 로그로 표현할 수 있습니다.
.

로그의 기본 도함수는 미분 기호에서 상수를 빼면 식 (1)에서 찾을 수 있습니다.
.

로그의 도함수를 증명하는 다른 방법

여기서 우리는 지수의 도함수에 대한 공식을 알고 있다고 가정합니다.
(9) .
그러면 로그가 지수의 역수라는 점에서 자연 로그의 도함수 공식을 유도할 수 있습니다.

자연 로그의 도함수 공식을 증명해 보겠습니다. 역함수의 도함수 공식 적용:
.
우리의 경우 . 자연 로그의 역수는 지수입니다:
.
그것의 도함수는 식(9)에 의해 결정된다. 변수는 임의의 문자로 표시할 수 있습니다. 공식 (9)에서 변수 x를 y로 바꿉니다.
.
그때부터
.
그 다음에
.
공식이 입증되었습니다.

이제 우리는 다음을 사용하여 자연 로그의 도함수 공식을 증명합니다. 복합 함수를 구별하기 위한 규칙. 함수 와 는 서로 반대이므로
.
변수 x에 대해 이 방정식을 미분합니다.
(10) .
x의 도함수는 1과 같습니다.
.
적용하다 복합 함수 미분 규칙 :
.
여기 . (10)으로 대체:
.
여기에서
.

예

파생 상품 찾기 ln 2x, ln 3x그리고 ln nx.

원래 함수는 유사한 형태를 가집니다. 따라서 우리는 함수의 미분을 찾을 것입니다 y = 로그 nx. 그런 다음 n = 2 및 n = 3으로 대체합니다. 따라서, 우리는 ln 2x그리고 ln 3x .

그래서 우리는 함수의 도함수를 찾고 있습니다.
y = 로그 nx .
이 함수를 두 함수로 구성된 복잡한 함수로 표현해 보겠습니다.
1) 변수 종속 함수 : ;
2) 변수 종속 함수: .
그런 다음 원래 기능은 다음과 같은 기능으로 구성됩니다.
.

변수 x에 대한 함수의 도함수를 찾아봅시다.
.
변수에 대한 함수의 도함수를 찾아봅시다:
.
적용하다 복소 함수의 도함수 공식.
.
여기서 우리는 .

그래서 우리는 다음을 찾았습니다.
(11) .
도함수가 n에 의존하지 않는다는 것을 알 수 있습니다. 이 결과는 곱의 로그 공식을 사용하여 원래 함수를 변환하면 매우 자연스럽습니다.
.
- 상수입니다. 미분은 0입니다. 그런 다음 합의 미분 규칙에 따라 다음을 얻습니다.
.

; ; .

로그 모듈로 x의 도함수

또 다른 매우 중요한 함수인 x 모듈의 자연 로그의 도함수를 찾아봅시다.
(12) .

경우를 생각해 봅시다. 그러면 함수는 다음과 같습니다.
.
그 도함수는 공식 (1)에 의해 결정됩니다.
.

이제 경우를 고려하십시오. 그러면 함수는 다음과 같습니다.
,
어디 .
그러나 우리는 또한 위의 예에서 이 함수의 도함수를 찾았습니다. n에 의존하지 않고 다음과 같습니다.
.
그 다음에
.

이 두 가지 경우를 하나의 공식으로 결합합니다.
.

따라서 밑수 a에 대한 로그에 대해 다음을 얻습니다.
.

자연 로그의 고차 도함수

기능을 고려하십시오
.
우리는 그것의 1차 미분을 찾았습니다:
(13) .

2차 도함수를 구해봅시다:
.
3차 미분을 찾아봅시다:
.
네 번째 차수의 도함수를 찾아봅시다.
.

n차 도함수는 다음과 같은 형식을 가짐을 알 수 있습니다.
(14) .
이것을 수학적 귀납법으로 증명해 보자.

증거

값 n = 1을 공식 (14)에 대입해 보겠습니다.
.
이므로 n = 1 , 공식 (14)가 유효합니다.

n = k에 대해 식(14)이 만족된다고 가정하자. 공식이 n = k에 대해 유효하다는 것이 이것으로부터 따른다는 것을 증명합시다. + 1 .

실제로 n = k에 대해 우리는 다음을 얻습니다.
.
x에 대해 미분합니다.

.
그래서 우리는:
.
이 공식은 n = k +에 대한 공식 (14)와 일치합니다. 1 . 따라서 공식 (14)가 n = k에 대해 유효하다는 가정에서 공식 (14)는 n = k +에 대해 유효합니다. 1 .

따라서 n차 도함수에 대한 식(14)은 모든 n에 대해 유효합니다.

a를 밑으로 하는 로그의 고차 도함수

기본 로그 a 의 n차 도함수를 찾으려면 자연 로그로 표현해야 합니다.
.
공식 (14)를 적용하여 n차 도함수를 찾습니다.
.

또한보십시오: