그림은 그래프 y kx b를 보여줍니다. 선형 함수

속성 및 그래프 할당 이차 함수연습에서 알 수 있듯이 심각한 어려움을 야기합니다. 이것은 2차 함수가 8학년에서 전달되고 9학년의 전체 1/4이 포물선의 속성을 "강제 해제"하고 다양한 매개변수에 대한 그래프가 그려지기 때문에 다소 이상합니다.

이것은 학생들에게 포물선을 만들도록 강요하면서 실제로 그래프를 "읽는" 시간을 할애하지 않기 때문입니다. 즉, 그림에서 얻은 정보를 이해하는 연습을 하지 않기 때문입니다. 분명히, 12개의 그래프를 만든 똑똑한 학생이 공식의 계수와 그래프 모양 사이의 관계를 발견하고 공식화할 것이라고 가정합니다. 실제로는 작동하지 않습니다. 이러한 일반화를 위해서는 수학적 미니 리서치에 대한 진지한 경험이 필요하며, 물론 대부분의 9학년 학생들에게는 그렇지 않습니다. 한편, GIA는 일정에 따라 계수의 부호를 정확하게 결정할 것을 제안합니다.

우리는 학생들에게 불가능한 것을 요구하지 않고 단순히 그러한 문제를 해결하기 위한 알고리즘 중 하나를 제공할 것입니다.

따라서 형식의 기능 y = 도끼 2 + bx + c이차라고 하며 그래프는 포물선입니다. 이름에서 알 수 있듯이 주요 용어는 도끼 2... 그건 ㅏ 0이 아니어야 하며 다른 계수( 비그리고 와 함께)는 0과 같을 수 있습니다.

계수의 부호가 포물선 모양에 어떻게 영향을 미치는지 봅시다.

계수에 대한 가장 간단한 관계 ㅏ... 대부분의 학생들은 자신 있게 "만약 ㅏ> 0이면 포물선의 가지가 위쪽으로 향하고 ㅏ < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ㅏ > 0.

y = 0.5x 2 - 3x + 1

V 이 경우 ㅏ = 0,5

그리고 지금을 위해 ㅏ < 0:

y = - 0.5x2 - 3x + 1

이 경우 ㅏ = - 0,5

계수의 영향 와 함께추적하기도 쉽습니다. 점에서 함수의 값을 찾고 싶다고 상상해 봅시다. 엑스= 0. 공식에서 0으로 대체:

와이 = ㅏ 0 2 + 비 0 + 씨 = 씨... 그것은 밝혀 y = c... 그건 와 함께포물선과 y축의 교차점의 세로 좌표입니다. 일반적으로 이 점은 차트에서 쉽게 찾을 수 있습니다. 그리고 그것이 0보다 위에 있는지 아래에 있는지 결정하십시오. 그건 와 함께> 0 또는 와 함께 < 0.

와 함께 > 0:

y = x 2 + 4x + 3

와 함께 < 0

y = x 2 + 4x - 3

따라서 만약 와 함께= 0이면 포물선은 반드시 원점을 통과합니다.

y = x 2 + 4x

매개변수가 더 어렵습니다. 비... 우리가 그것을 찾을 지점은 비뿐만 아니라 ㅏ... 이것은 포물선의 정점입니다. 횡좌표(축을 따라 좌표 엑스)는 공식에 의해 발견됩니다. x in = - b / (2a)... 이런 식으로, b = - 2х в... 즉, 우리는 다음과 같이 행동합니다. 차트에서 포물선의 상단을 찾고 가로 좌표의 부호를 결정합니다. 즉, 0의 오른쪽을 봅니다. x에서> 0) 또는 왼쪽( x에서 < 0) она лежит.

그러나 이것이 전부는 아닙니다. 우리는 또한 계수의 부호에주의를 기울여야합니다 ㅏ... 즉, 포물선의 가지가 어디로 향하는지 확인하는 것입니다. 그리고 그 후에야 공식에 따라 b = - 2х в기호를 식별 비.

예를 들어 보겠습니다.

가지가 위쪽으로 향하게 하여 의미합니다. ㅏ> 0, 포물선이 축을 가로지름 ~에 0 미만은 의미 와 함께 < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x에서> 0. 따라서 b = - 2х в = -++ = -. 비 < 0. Окончательно имеем: ㅏ > 0, 비 < 0, 와 함께 < 0.

선형 함수형식의 함수라고 합니다. y = kx + b모든 실수의 집합에 대해 주어진다. 여기 케이- 기울기(실수), 비 – 자유 기간(실수), 엑스독립변수입니다.

특별한 경우라면 k = 0, 우리는 상수 함수를 얻습니다 y = b, 그 그래프는 좌표가 있는 점을 지나는 Ox축에 평행한 직선입니다. (0; 나).

만약에 b = 0, 그러면 우리는 함수를 얻습니다. y = kx, 직접 비례.

비 – 세그먼트 길이, 원점에서 계산하여 Oy 축을 따라 선으로 잘립니다.

계수의 기하학적 의미 케이 – 경사각 Ox 축의 양의 방향에 대한 직선은 시계 반대 방향으로 계산됩니다.

선형 함수 속성:

1) 선형 함수의 영역은 전체 실수 축입니다.

2) 만약에 k ≠ 0, 선형 함수의 값 범위는 전체 실제 축입니다. 만약에 k = 0, 선형 함수의 값 범위는 숫자로 구성됩니다. 비;

3) 선형 함수의 짝수와 홀수는 계수 값에 따라 다릅니다. 케이그리고 비.

ㅏ) b ≠ 0, k = 0,그 후, y = b - 짝수;

비) b = 0, k ≠ 0,그 후 y = kx - 홀수;

씨) b ≠ 0, k ≠ 0,그 후 y = kx + b는 일반 함수입니다.

디) b = 0, k = 0,그 후 y = 0 - 짝수 및 홀수 함수.

4) 선형 함수에는 주기 속성이 없습니다.

5) 좌표축이 있는 교차점:

황소: y = kx + b = 0, x = -b / k, 그 후 (-b / k; 0)- 가로축과의 교차점.

오이: y = 0k + b = b, 그 후 (0; 나)- 세로축과의 교차점.

참고: 만약 b = 0그리고 k = 0, 다음 기능 y = 0변수의 모든 값에 대해 사라집니다. 엑스... 만약에 b ≠ 0그리고 k = 0, 다음 기능 y = b변수 값에 대해 사라지지 않음 엑스.

6) 상수 부호의 간격은 계수 k에 따라 다릅니다.

ㅏ) k> 0; kx + b> 0, kx> -b, x> -b / k.

y = kx + b- 긍정적이다 엑스~에서 (-b / k; + ∞),

y = kx + b- 음수 엑스~에서 (-∞; -b / k).

비) 케이< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- 긍정적이다 엑스~에서 (-∞; -b / k),

y = kx + b- 음수 엑스~에서 (-b / k; + ∞).

씨) k = 0, b> 0; y = kx + b정의의 전체 영역에 걸쳐 긍정적이고,

k = 0, b< 0; y = kx + b 전체 도메인에서 음수입니다.

7) 선형 함수의 단조성 간격은 계수에 따라 다릅니다. 케이.

k> 0, 그 후 y = kx + b정의의 전체 영역에 걸쳐 증가합니다.

케이< 0 , 그 후 y = kx + b정의의 전체 영역에서 감소합니다.

8) 선형 함수의 그래프는 직선입니다. 직선을 만들려면 두 점만 알면 됩니다. 좌표 평면에서 직선의 위치는 계수 값에 따라 다릅니다. 케이그리고 비... 아래는 이를 명확하게 보여주는 표입니다.

선형 함수는 y = kx + b 형식의 함수입니다. 여기서 x는 독립 변수이고 k와 b는 임의의 숫자입니다.
선형 함수의 그래프는 직선입니다.

1. 짓다 함수 그래프, 함수의 그래프에 속하는 두 점의 좌표가 필요합니다. 그것들을 찾으려면 x의 두 값을 가져와서 함수 방정식에 대입하고 그 값에서 y의 해당 값을 계산해야 합니다.

예를 들어, 함수 y = x + 2를 플롯하려면 x = 0 및 x = 3을 취하는 것이 편리합니다. 그러면 이 점의 세로 좌표는 y = 2 및 y = 3과 같습니다. 우리는 점 A(0; 2)와 B(3; 3)를 얻습니다. 우리는 그것들을 연결하고 함수 y = x + 2의 그래프를 얻습니다.

2. 공식 y = kx + b에서 숫자 k를 비례 계수라고 합니다.
k> 0이면 함수 y = kx + b가 증가합니다.
만약 k
계수 b는 OY 축을 따라 함수 그래프의 이동을 보여줍니다.
b> 0이면 함수 y = kx + b의 그래프는 OY 축을 따라 b 단위를 위로 이동하여 함수 y = kx의 그래프에서 얻습니다.
만약 b
아래 그림은 함수 y = 2x + 3의 그래프를 보여줍니다. y = ½ x + 3; y = x + 3

이 모든 함수에서 계수 k 0 이상,기능은 증가.또한, k 값이 클수록 OX 축의 양의 방향에 대한 직선의 경사각이 커집니다.

모든 함수에서 b = 3 - 모든 그래프가 점 (0; 3)에서 OY 축과 교차하는 것을 볼 수 있습니다.

이제 함수 y = -2x + 3의 그래프를 고려하십시오. y = - ½ x + 3; y = -x + 3

이번에는 모든 함수에서 계수 k 0보다 작음,및 기능 감소하다.계수 b = 3이고 이전의 경우와 같이 그래프는 점 (0; 3)에서 OY 축과 교차합니다.

함수 y = 2x + 3의 그래프를 고려하십시오. y = 2x; y = 2x-3

이제 모든 함수 방정식에서 계수 k는 2와 같습니다. 그리고 우리는 세 개의 평행한 직선을 얻었습니다.

그러나 b 계수는 다르며 이 그래프는 서로 다른 점에서 OY 축과 교차합니다.
함수 y = 2x + 3(b = 3)의 그래프는 점 (0; 3)에서 OY 축과 교차합니다.
함수 y = 2x(b = 0)의 그래프는 원점(0, 0)에서 OY 축과 교차합니다.
함수 y = 2x-3(b = -3)의 그래프는 점 (0; -3)에서 OY 축과 교차합니다.

따라서 계수 k와 b의 부호를 알면 함수 y = kx + b의 그래프가 어떻게 생겼는지 즉시 상상할 수 있습니다.
만약에 k 0

만약에 k> 0 및 b> 0, 그러면 함수 y = kx + b의 그래프는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

만약에 k> 0 및 b, 그러면 함수 y = kx + b의 그래프는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

만약에 k, 함수 y = kx + b의 그래프는 다음과 같은 형식을 갖습니다.

만약에 k = 0, 함수 y = kx + b는 함수 y = b로 바뀌고 그래프는 다음과 같습니다.

함수 y = b의 그래프의 모든 점의 세로 좌표는 b와 같습니다. If b = 0, 함수 y = kx(직접 비례)의 그래프가 원점을 통과합니다.

3. 이와 별도로 방정식 x = a의 그래프에 주목합니다.이 방정식의 그래프는 OY 축에 평행한 직선이며 모든 점이 가로 좌표 x = a를 갖습니다.

예를 들어, 방정식 x = 3의 그래프는 다음과 같습니다.
주목!방정식 x = a는 함수가 아니므로 인수의 한 값은 다른 의미함수 정의와 일치하지 않는 함수.

4. 두 줄의 병렬 처리 조건:

함수 y = k 1 x + b 1 의 그래프는 k 1 = k 2 인 경우 함수 y = k 2 x + b 2 의 그래프와 평행합니다.

5. 두 직선의 직각도 조건:

함수 y = k 1 x + b 1 의 그래프는 k 1 * k 2 = -1 또는 k 1 = -1 / k 2인 경우 함수 y = k 2 x + b 2의 그래프에 수직입니다.

6. 함수 y = kx + b의 그래프와 좌표축의 교차점.

OY 축으로. OY 축에 속하는 모든 점의 가로 좌표는 0입니다. 따라서 OY 축과의 교점을 찾으려면 함수 방정식에서 x 대신 0을 대입해야 합니다. 우리는 y = b를 얻습니다. 즉, OY축과의 교점은 좌표(0, b)를 갖는다.

OX-축 사용: OX-축에 속하는 모든 점의 세로 좌표는 0입니다. 따라서 OX 축과의 교점을 찾으려면 함수 방정식에서 y 대신 0을 대입해야 합니다. 우리는 0 = kx + b를 얻습니다. 따라서 x = -b / k입니다. 즉, OX 축과의 교차점은 좌표(-b / k; 0)를 갖습니다.

5. 단항숫자와 알파벳 요소의 곱이라고 합니다. 계수단항식의 수치적 인수라고 합니다.

6. 표준 형식으로 단항식을 작성하려면 다음을 수행해야 합니다. 1) 수치적 요인을 곱하고 그 곱을 우선 순위에 둡니다. 2) 같은 밑수로 도를 곱하고 결과 값을 수치 인수 뒤에 넣습니다.

7. 다항식이라고 합니다여러 단항식의 대수적 합.

8. 단항식에 다항식을 곱하려면단항식에 다항식의 각 항을 곱하고 결과 곱을 더해야 합니다.

9. 다항식에 다항식을 곱하려면한 다항식의 각 항에 다른 다항식의 각 항을 곱하고 결과 곱을 더해야 합니다.

10. 두 점을 지나는 직선을 그릴 수 있으며, 게다가 한 점만 지나갈 수 있습니다.

11. 두 개의 선에는 하나의 공통점만 있거나 공통점이 없습니다.

12. 두 개의 기하학적 모양이 겹칠 수 있으면 같다고 합니다.

13. 그것을 반으로 나누는 선분의 ​​점, 즉 두 개의 동일한 선분으로 나누는 점을 선분의 중간점이라고 합니다.

14. 각의 꼭대기에서 나오는 광선을 두 개의 동일한 각으로 나누는 것을 각의 이등분선이라고 합니다.

15. 평평한 각도는 180 °입니다.

16. 각도가 90 °이면 직각이라고합니다.

17. 각도가 90 °보다 작 으면, 즉 직각보다 작 으면 예각이라고합니다.

18. 각도가 90°보다 크고 180°보다 작은 경우, 즉 직각보다 크고 전개된 각도보다 작은 경우 둔각이라고 합니다.

19. 한 면이 공통이고 다른 2개가 서로 연장되는 두 모서리를 인접 모서리라고 합니다.

20. 인접한 각도의 합은 180 °입니다.

21. 한 모서리의 측면이 다른 모서리의 확장인 경우 두 모서리를 수직이라고 합니다.

22. 수직 각도는 동일합니다.

23. 두 개의 교차 선을 수직(또는 상호

수직) 네 개의 직각을 형성하는 경우.

24. 세 번째에 수직인 두 직선은 교차하지 않습니다.

25 인수 다항식- 여러 단항식과 다항식의 곱으로 나타내는 것을 의미합니다.

26. 다항식 인수분해 방법:

) 대괄호에서 공통 요소 제거,

b) 약식 곱셈 공식 사용,

c) 그룹화 방법.

27. 괄호 밖의 공약수를 인수분해 다항식을 인수분해하려면 다음이 필요합니다.:

a) 이 공통 요소를 찾고,

b) 대괄호 바깥에 놓으십시오.

c) 다항식의 각 항을 이 인수로 나누고 얻은 결과를 더합니다.

삼각형에 대한 등식 테스트

1) 한 삼각형의 두 변과 그 사이의 각이 다른 삼각형의 두 변과 그 사이의 각과 각각 같으면 그 삼각형은 같습니다.

2) 한 삼각형의 한 변과 두 개의 인접한 각이 다른 삼각형의 한 변과 두 개의 인접한 각과 각각 같으면 그 삼각형은 같습니다.

3) 한 삼각형의 세 변이 다른 삼각형의 세 변과 각각 같다면, 그 삼각형은 같다.

최소 학력

1. 약식 곱셈 공식에 의한 인수분해:

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

2. 약식 곱셈 공식:

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

3. 삼각형의 꼭짓점과 반대쪽 변의 중앙을 연결하는 선분을 중앙값삼각형.

4. 삼각형의 꼭짓점에서 반대쪽을 포함하는 직선까지 그린 수선을 키삼각형.

5. 이등변 삼각형에서 밑변의 각은 같습니다.

6. 이등변 삼각형에서 밑변에 그려진 이등분선은 중앙값과 높이입니다.

7. 둘레~라고 불리는 기하 도형, 이 점에서 주어진 거리에 있는 평면의 모든 점으로 구성됩니다.

8. 중심과 원의 임의의 점을 연결하는 선분을 반지름서클 .

9. 원의 두 점을 연결하는 선분을 현.

원의 중심을 지나는 현을 화음이라 한다. 지름

10. 직접 비례 y = kx , 어디 엑스 - 독립 변수, 에게 - 0이 아닌 숫자( 에게 - 비례 계수).

11. 직접비례 그래프원점을 지나는 직선입니다.

12. 선형 함수수식으로 지정할 수 있는 함수라고 합니다. y = kx + b , 어디 엑스 - 독립 변수, 에게 그리고 비 - 몇 가지 숫자.

13. 선형 함수 그래프직선입니다.

14 엑스 - 함수 인수(독립 변수)

~에 - 함수값(종속변수)

15. ~에 b = 0함수는 형식을 취합니다 y = kx, 그래프는 원점을 통과합니다.

~에 k = 0함수는 형식을 취합니다 y = b, 그래프는 점( 0; 나).

선형 함수의 그래프와 계수 k 및 b의 부호 간의 일치

1. 평면에 있는 두 직선을 평행 한,그들이 겹치지 않는다면.