균일하게 가속된 운동에서 신체 변위 계수에 대한 공식. 변위 투영 방정식

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§ 7. 균일하게 가속된 움직임
직선 운동

1. 속도 대 시간 그래프를 사용하여 균일한 직선 운동으로 몸을 움직이는 공식을 얻을 수 있습니다.

그림 30은 축에 대한 균일한 이동 속도의 투영 그래프를 보여줍니다. 엑스시간부터. 어떤 지점에서 시간 축에 수직으로 설정하면 씨, 그러면 우리는 직사각형을 얻습니다. OABC. 이 직사각형의 면적은 변의 곱과 같습니다 OA그리고 OC. 그러나 측면 길이 OA와 동등하다 v x, 그리고 측면 길이 OC - 티, 그 후 에스 = v x t. 축에 대한 속도 투영의 곱 엑스시간은 변위 투영과 동일합니다. 엑스 = v x t.

이런 식으로, 균일한 직선 운동을 위한 변위 투영은 좌표 축, 속도 그래프 및 시간 축에 수직으로 올려진 직사각형 영역과 수치적으로 동일합니다.

2. 직선으로 균일하게 가속된 운동에서 변위 투영에 대한 공식을 유사한 방식으로 얻습니다. 이를 위해 축에 대한 속도 투영의 의존성 그래프를 사용합니다 엑스시간부터 (그림 31). 그래프에서 작은 영역 선택 ab점에서 수직선을 떨어 뜨립니다. ㅏ그리고 비시간 축에. 시간 간격 D 티, 섹션에 해당 CD시간축이 작으면 이 시간 동안 속도가 변하지 않고 몸체가 균일하게 움직인다고 가정할 수 있습니다. 이 경우 그림 택시직사각형과 거의 다르지 않고 그 면적은 세그먼트에 해당하는 시간에 신체의 움직임을 투영한 것과 수치적으로 동일합니다. CD.

전체 그림을 이러한 스트립으로 깰 수 있습니다. OABC, 그리고 그 면적은 모든 스트립의 면적의 합과 같습니다. 따라서 시간이 지남에 따라 몸의 움직임을 투영 티사다리꼴의 면적과 수치 적으로 동일 OABC. 기하학 과정에서 사다리꼴의 면적은 밑변과 높이의 합 절반의 곱과 같다는 것을 알 수 있습니다. 에스= (OA + 기원전)OC.

그림 31에서 알 수 있듯이, OA = V 0엑스 , 기원전 = v x, OC = 티. 변위 투영은 다음 공식으로 표현됩니다. 엑스= (v x + V 0엑스)티.

균일하게 가속된 직선 운동으로 신체의 속도는 항상 다음과 같습니다. v x = V 0엑스 + x t, 결과적으로, 엑스 = (2V 0엑스 + x t)티.

여기에서:

신체의 운동 방정식을 얻기 위해 변위 투영 공식에 좌표의 차이를 통한 표현을 대입합니다. 엑스 = 엑스 – 엑스 0 .

우리는 다음을 얻습니다. 엑스 – 엑스 0 = V 0엑스 티+ , 또는

엑스 = 엑스 0 + V 0엑스 티 + .

운동 방정식에 따르면 물체의 초기 좌표, 초기 속도 및 가속도를 알면 언제든지 물체의 좌표를 결정할 수 있습니다.

3. 실제로는 등가속 직선운동시 물체의 변위를 구해야 하는데 운동시간을 알 수 없는 문제가 종종 발생한다. 이러한 경우 다른 변위 투영 공식이 사용됩니다. 가서 잡자.

균일하게 가속된 직선 운동의 속도 투영 공식에서 v x = V 0엑스 + x t시간을 표현해보자:

티 = .

이 식을 변위 투영 공식에 대입하면 다음을 얻습니다.

엑스 = V 0엑스 + .

여기에서:

엑스 = , 또는
–= 2엑스에스 엑스.

본체의 초기 속도가 0이면 다음을 수행합니다.

2엑스에스 엑스.

4. 문제 해결 예

스키어는 정지상태에서 20초 동안 0.5m/s2의 가속도로 산비탈을 내려오다가 40m의 정지점까지 이동한 후 수평구간을 따라 이동한다. 수평면? 산의 경사 길이는 얼마입니까?

주어진:

해결책

V 01 = 0

ㅏ 1 = 0.5m/s 2

티 1 = 20초

에스 2 = 40m

V 2 = 0

스키어의 움직임은 두 단계로 구성됩니다. 첫 번째 단계에서 산의 경사에서 내려와 스키어는 절대값에서 증가하는 속도로 움직입니다. 두 번째 단계에서 수평면을 따라 이동할 때 속도가 감소합니다. 움직임의 첫 번째 단계와 관련된 값은 인덱스 1로, 두 번째 단계와 관련된 값은 인덱스 2로 기록됩니다.

ㅏ 2?

에스 1?

우리는 기준 시스템을 축, 지구와 연결할 것입니다. 엑스그의 움직임의 각 단계에서 스키어의 속도 방향으로 지시합시다 (그림 32).

산에서 내리막이 끝날 때 스키어의 속도에 대한 방정식을 작성해 보겠습니다.

V 1 = V 01 + ㅏ 1 티 1 .

축에 대한 투영에서 엑스우리는 얻는다: V 1엑스 = ㅏ 1엑스 티. 축에 대한 속도와 가속도의 투영 때문에 엑스양수이면 스키어 속도의 계수는 다음과 같습니다. V 1 = ㅏ 1 티 1 .

두 번째 움직임 단계에서 선수의 속도, 가속도 및 움직임의 투영과 관련된 방정식을 작성해 보겠습니다.

–= 2ㅏ 2엑스 에스 2엑스 .

이 동작 단계에서 선수의 초기 속도가 첫 번째 단계에서의 최종 속도와 같다는 점을 고려

V 02 = V 1 , V 2엑스= 0 우리는 얻는다

– = –2ㅏ 2 에스 2 ; (ㅏ 1 티 1) 2 = 2ㅏ 2 에스 2 .

여기에서 ㅏ 2 = ;

ㅏ 2 == 0.125m / s 2.

움직임의 첫 번째 단계에서 스키어의 움직임 모듈은 산비탈의 길이와 같습니다. 변위 방정식을 작성해 보겠습니다.

에스 1엑스 = V 01엑스 티 + .

따라서 산비탈의 길이는 에스 1 = ;

에스 1 == 100m.

답변: ㅏ 2 \u003d 0.125m / s 2; 에스 1 = 100m

자가 진단을 위한 질문

1. 축에 대한 균일한 직선 운동 속도의 투영 플롯에 따르면 엑스

2. 축에 균일하게 가속된 직선 운동의 속도를 투영한 그래프에 따르면 엑스몸의 변위 투영을 결정할 때부터?

3. 균일하게 가속된 직선 운동 동안 물체의 변위 투영을 계산하는 데 사용되는 공식은 무엇입니까?

4. 물체의 초기 속도가 0인 경우 등가속도 직선으로 움직이는 물체의 변위 투영을 계산하는 데 사용되는 공식은 무엇입니까?

작업 7

1. 이 시간 동안 자동차의 속도가 0에서 72km/h로 변경된 경우 2분 동안 자동차의 변위 계수는 얼마입니까? 당시 차의 좌표는 무엇입니까 티= 2분? 초기 좌표는 0으로 가정합니다.

2. 열차는 36km/h의 초기 속도와 0.5m/s2의 가속도로 움직입니다. 20초 동안 열차의 변위와 그 순간의 좌표는 얼마입니까? 티= 기차의 시작 좌표가 20m이면 20초?

3. 제동 시작 후 5초 동안 자전거 운전자의 움직임은 제동 중 초기 속도가 10m/s이고 가속도가 1.2m/s2인 경우 얼마입니까? 시간에 자전거 타는 사람의 좌표는 무엇입니까 티= 5초, 시간의 초기 순간에 그것이 원점에 있었다면?

4. 54km/h의 속도로 달리던 자동차가 15초 동안 제동하면 정지합니다. 제동 시 자동차의 변위 계수는 얼마입니까?

5. 두 대의 자동차가 서로 2km 떨어진 두 정착지에서 서로를 향해 움직이고 있습니다. 한 자동차의 초기 속도는 10m/s이고 가속도는 0.2m/s2이고 다른 자동차의 초기 속도는 15m/s이고 가속도는 0.2m/s2입니다. 자동차가 만나는 지점의 시간과 좌표를 결정합니다.

연구실 #1

등가속도 연구
직선 운동

목적:

균일하게 가속된 직선 운동에서 가속도를 측정하는 방법을 배웁니다. 연속적으로 동일한 시간 간격으로 균일하게 가속된 직선 운동 동안 신체가 가로지르는 경로의 비율을 실험적으로 설정합니다.

장치 및 재료:

슈트, 삼각대, 금속 공, 스톱워치, 측정 테이프, 금속 실린더.

작업 순서

1. 슈트의 한쪽 끝을 삼각대 바닥에 고정하여 테이블 표면과 작은 각도를 이루도록 하고, 슈트의 다른 쪽 끝에 금속 실린더를 끼워 넣습니다.

2. 각각 1초와 동일한 3개의 연속 시간 간격으로 공이 이동한 경로를 측정합니다. 이것은 다양한 방법으로 수행할 수 있습니다. 낙하산에 분필로 표시를 하고 1초, 2초, 3초와 같은 시점에서 공의 위치를 고정하고 거리를 측정할 수 있습니다. 에스_이 표시 사이. 매번 같은 높이에서 공을 놓아 경로를 측정하는 것이 가능합니다. 에스, 먼저 1초 후에 그를 지나쳤고, 2초와 3초 후에 지나갔고, 두 번째와 세 번째 초에 공이 이동한 경로를 계산합니다. 측정 결과를 표 1에 기록합니다.

3. 2초 동안 이동한 경로와 1초 동안 이동한 경로의 비율을 구하고, 3초 동안 이동한 경로와 1초 동안 이동한 경로의 비율을 구합니다. 결론을 내립니다.

4. 공이 슈트를 따라 이동한 시간과 이동한 거리를 측정합니다. 공식을 사용하여 가속도 계산 에스 = .

5. 실험적으로 얻은 가속도 값을 사용하여 공이 움직이는 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 초에 이동해야 하는 경로를 계산합니다. 결론을 내립니다.

1 번 테이블

경험치

실험 데이터

이론적 결과

시간 티 , ~에서

경로 , 센티미터

시간 t , ~에서

방법

s, cm

가속도 a, cm/s2

시간티, ~에서

경로 , 센티미터

속도(v)는 단위 시간(t)당 신체가 이동한 경로(s)와 수치적으로 동일한 물리량입니다.

방법

경로(S) - 신체가 이동한 궤적의 길이는 신체의 속도(v)와 이동 시간(t)의 곱과 수치적으로 같습니다.

여행 시간

이동 시간(t)은 신체가 이동한 경로(S)와 이동 속도(v)의 비율과 같습니다.

평균 속도

평균 속도(vav)는 신체가 이동한 경로 섹션(s 1 s 2, s 3, ...)의 합과 시간 간격(t 1 + t 2 + t 3)의 비율과 같습니다 + ...) 이 경로를 여행한 .

평균 속도몸이 이동한 경로의 길이와 이 경로가 이동한 시간의 비율입니다.

평균 속도직선으로 고르지 않게 움직일 때: 이것은 전체 시간에 대한 전체 경로의 비율입니다.

속도가 다른 두 개의 연속 단계: 여기서

문제를 해결할 때 - 얼마나 많은 구성 요소가 있는 이동 단계:

좌표축에 대한 변위 벡터의 투영

OX 축에 변위 벡터 투영:

OY 축에 변위 벡터 투영:

벡터가 축에 수직인 경우 축에 대한 벡터의 투영은 0입니다.

변위 투영의 표시: 벡터 시작의 투영에서 끝 투영까지의 이동이 축 방향으로 발생하면 투영이 양수이고 축에 반대이면 음수로 간주됩니다. 이 예에서

이동 모듈변위 벡터의 길이:

피타고라스 정리에 따르면:

움직임의 투영 및 경사각

이 예에서:

좌표 방정식(일반적으로):

반경 벡터- 시작은 좌표의 원점과 일치하고 끝은 주어진 시간에 신체의 위치와 일치하는 벡터. 좌표축에 대한 반경 벡터의 투영은 주어진 시간에 신체의 좌표를 결정합니다.

반경 벡터를 사용하면 주어진 위치에서 재료 점의 위치를 설정할 수 있습니다. 참조 시스템:

균일 직선 운동 - 정의

균일한 직선 운동- 신체가 동일한 시간 간격 동안 동일한 변위를 만드는 운동.

균일한 직선 운동의 속도. 속도는 단위 시간당 신체가 얼마나 많은 움직임을 하는지를 나타내는 벡터 물리량입니다.

벡터 형식:

OX 축에 대한 투영:

추가 속도 단위:

1km/h = 1000m/3600초,

1km/s = 1000m/s,

1cm/s = 0.01m/s,

1m/분 = 1m/60초.

측정 장치 - 속도계 - 속도 모듈을 보여줍니다.

속도 투영의 부호는 속도 벡터와 좌표축의 방향에 따라 달라집니다.

속도 투영 그래프는 시간에 대한 속도 투영의 의존성입니다.

균일한 직선 운동에 대한 속도 그래프- 시간 축에 평행한 직선(1, 2, 3).

그래프가 시간 축(.1) 위에 있으면 몸체가 OX 축 방향으로 이동합니다. 그래프가 시간 축 아래에 있으면 몸체가 OX 축(2, 3)에 대해 이동합니다.

움직임의 기하학적 의미.

균일한 직선 운동으로 변위는 공식에 의해 결정됩니다. 축의 속도 그래프 아래 그림의 면적을 계산하면 동일한 결과를 얻습니다. 따라서 직선 운동 중 경로와 변위 모듈을 결정하려면 축의 속도 그래프 아래 그림의 면적을 계산해야 합니다.

변위 투영 플롯- 시간에 대한 변위 투영의 의존성.

에 대한 변위 투영 그래프 균일한 직선 운동- 원점(1, 2, 3)에서 나오는 직선.

직선(1)이 시간 축 위에 있으면 몸체가 OX 축 방향으로 이동하고 축(2, 3) 아래에 있으면 OX 축에 대해 이동합니다.

그래프의 기울기(1)의 탄젠트가 클수록 속도 모듈이 커집니다.

플롯 좌표- 시간에 대한 신체 좌표의 의존성:

균일한 직선 운동을 위한 그래프 좌표 - 직선(1, 2, 3).

시간이 지남에 따라 좌표가 증가하면 (1, 2) 몸체가 OX 축 방향으로 이동합니다. 좌표가 감소하면(3) 몸체가 OX 축 방향으로 이동합니다.

기울기(1)의 접선이 클수록 속도 계수가 커집니다.

두 물체의 좌표 그래프가 교차하면 교차점에서 시간 축과 좌표 축에 대한 수직선을 낮춰야합니다.

기계적 운동의 상대성

상대성이란 기준 프레임의 선택에 대한 어떤 것의 의존성을 의미합니다. 예를 들어, 평화는 상대적입니다. 신체의 상대적인 움직임과 상대적인 위치.

변위 추가 규칙.변위의 벡터 합

여기서 는 이동 기준 좌표계(RFR)에 대한 몸체의 변위입니다. - 고정된 기준 프레임(FRS)에 대한 PSO의 이동 - 고정된 기준 좌표계(FRS)에 대한 신체의 움직임.

벡터 추가:

하나의 직선을 따라 향하는 벡터의 추가:

서로 수직인 벡터의 추가

피타고라스 정리에 따르면

직선으로 움직이고 일정 시간 동안 균일하게 가속되는 물체의 변위 벡터의 투영을 계산하는 데 사용할 수 있는 공식을 도출해 보겠습니다. 이를 위해 그림 14를 살펴보겠습니다. 그림 14의 a와 그림 14의 b에서 세그먼트 AC는 일정한 가속도 a(초기 속도에서 v 0).

쌀. 14. 직선으로 이동하고 균일하게 가속된 물체의 변위 벡터의 투영은 그래프 아래의 면적 S와 수치적으로 같습니다.

물체의 직선 운동으로 이 물체에 의해 만들어진 변위 벡터의 투영은 속도 벡터 투영 그래프 아래에 둘러싸인 직사각형의 면적과 동일한 공식에 의해 결정된다는 것을 상기하십시오(그림 6 참조). 따라서 변위 벡터의 투영은 이 직사각형의 면적과 수치적으로 같습니다.

직선 등가 운동의 경우 변위 벡터 sx의 투영은 그래프 AC, 축 Ot 및 선분 OA 사이에 둘러싸인 그림의 면적과 동일한 공식으로 결정할 수 있음을 증명합시다. BC, 즉, 이 경우 변위 벡터의 투영은 속도 그래프 아래 그림의 면적과 수치적으로 같습니다. 이를 위해 Ot 축(그림 14, a 참조)에서 작은 시간 간격 db를 선택합니다. 점 d와 b에서 점과 c에서 속도 벡터 투영 그래프와 교차할 때까지 Ot 축에 수직으로 그립니다.

따라서 세그먼트 db에 해당하는 시간 동안 몸체의 속도는 v ax에서 v cx로 변경됩니다.

충분히 짧은 시간 동안 속도 벡터의 투영은 매우 약간 변경됩니다. 따라서 이 기간 동안의 몸의 움직임은 균일한 것, 즉 일정한 속도로 움직이는 것과 거의 다르지 않다.

사다리꼴 인 OASV 그림의 전체 영역을 이러한 스트립으로 나눌 수 있습니다. 따라서 세그먼트 OB에 해당하는 시간 간격에 대한 변위 벡터 sx의 투영은 사다리꼴 OASV의 면적 S와 수치적으로 동일하며 이 면적과 동일한 공식에 의해 결정됩니다.

학교 기하학 과정에서 주어진 규칙에 따르면 사다리꼴의 면적은 밑변과 높이의 합 절반의 곱과 같습니다. 그림 14, b는 사다리꼴 OASV의 밑면이 세그먼트 OA = v 0x 및 BC = v x이고 높이가 세그먼트 OB = t임을 보여줍니다. 따라서,

v x \u003d v 0x + a x t, a S \u003d s x 이후로 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

따라서 우리는 균일하게 가속된 운동 동안 변위 벡터의 투영을 계산하는 공식을 얻었습니다.

동일한 공식을 사용하여 물체가 속도 계수가 감소하면서 이동할 때 변위 벡터의 투영도 계산됩니다. 이 경우에만 속도와 가속도 벡터가 반대 방향으로 향하게 되므로 투영은 다른 부호를 갖게 됩니다.

질문

그림 14, a를 사용하여 균일하게 가속된 운동 중 변위 벡터의 투영이 OASV 그림의 면적과 수치적으로 같음을 증명합니다.
직선으로 균일하게 가속되는 운동 동안 물체의 변위 벡터의 투영을 결정하는 방정식을 작성하십시오.

운동 7

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§ 7. 균일하게 가속된 움직임
직선 운동

1. 속도 대 시간 그래프를 사용하여 균일한 직선 운동으로 몸을 움직이는 공식을 얻을 수 있습니다.

이런 식으로, 균일한 직선 운동을 위한 변위 투영은 좌표 축, 속도 그래프 및 시간 축에 수직으로 올려진 직사각형 영역과 수치적으로 동일합니다.

그림 31에서 알 수 있듯이, OA = V 0엑스 , 기원전 = v x, OC = 티. 변위 투영은 다음 공식으로 표현됩니다. 엑스= (v x + V 0엑스)티.

균일하게 가속된 직선 운동으로 신체의 속도는 항상 다음과 같습니다. v x = V 0엑스 + x t, 결과적으로, 엑스 = (2V 0엑스 + x t)티.

신체의 운동 방정식을 얻기 위해 변위 투영 공식에 좌표의 차이를 통한 표현을 대입합니다. 엑스 = 엑스 – 엑스 0 .

우리는 다음을 얻습니다. 엑스 – 엑스 0 = V 0엑스 티+ , 또는

엑스 = 엑스 0 + V 0엑스 티 + .

운동 방정식에 따르면 물체의 초기 좌표, 초기 속도 및 가속도를 알면 언제든지 물체의 좌표를 결정할 수 있습니다.

균일하게 가속된 직선 운동의 속도 투영 공식에서 v x = V 0엑스 + x t시간을 표현해보자:

이 식을 변위 투영 공식에 대입하면 다음을 얻습니다.

엑스 = V 0엑스 + .

엑스 = , 또는
–= 2엑스에스 엑스.

본체의 초기 속도가 0이면 다음을 수행합니다.

2엑스에스 엑스.

4. 문제 해결 예

주어진:

V 01 = 0

ㅏ 1 = 0.5m/s 2

티 1 = 20초

에스 2 = 40m

V 2 = 0

ㅏ 2?

에스 1?

우리는 기준 시스템을 축, 지구와 연결할 것입니다. 엑스그의 움직임의 각 단계에서 스키어의 속도 방향으로 지시합시다 (그림 32).

산에서 내리막이 끝날 때 스키어의 속도에 대한 방정식을 작성해 보겠습니다.

V 1 = V 01 + ㅏ 1 티 1 .

두 번째 움직임 단계에서 선수의 속도, 가속도 및 움직임의 투영과 관련된 방정식을 작성해 보겠습니다.

–= 2ㅏ 2엑스 에스 2엑스 .

이 동작 단계에서 선수의 초기 속도가 첫 번째 단계에서의 최종 속도와 같다는 점을 고려

V 02 = V 1 , V 2엑스= 0 우리는 얻는다

– = –2ㅏ 2 에스 2 ; (ㅏ 1 티 1) 2 = 2ㅏ 2 에스 2 .

여기에서 ㅏ 2 = ;

ㅏ 2 == 0.125m / s 2.

움직임의 첫 번째 단계에서 스키어의 움직임 모듈은 산 경사면의 길이와 같습니다. 변위 방정식을 작성해 보겠습니다.

에스 1엑스 = V 01엑스 티 + .

따라서 산비탈의 길이는 에스 1 = ;

에스 1 == 100m.

답변: ㅏ 2 \u003d 0.125m / s 2; 에스 1 = 100m

자가 진단을 위한 질문

1. 축에 대한 균일한 직선 운동 속도의 투영 플롯에 따르면 엑스

2. 축에 균일하게 가속된 직선 운동의 속도를 투영한 그래프에 따르면 엑스몸의 변위 투영을 결정할 때부터?

3. 균일하게 가속된 직선 운동 동안 물체의 변위 투영을 계산하는 데 사용되는 공식은 무엇입니까?

4. 물체의 초기 속도가 0인 경우 등가속도 직선으로 움직이는 물체의 변위 투영을 계산하는 데 사용되는 공식은 무엇입니까?

작업 7

4. 54km/h의 속도로 달리던 자동차가 15초 동안 제동하면 정지합니다. 제동 시 자동차의 변위 계수는 얼마입니까?

연구실 #1

등가속도 연구
직선 운동

목적:

장치 및 재료:

슈트, 삼각대, 금속 공, 스톱워치, 측정 테이프, 금속 실린더.

작업 순서

1. 슈트의 한쪽 끝을 삼각대 바닥에 고정하여 테이블 표면과 작은 각도를 이루도록 하고, 슈트의 다른 쪽 끝에 금속 실린더를 끼워 넣습니다.

3. 2초 동안 이동한 경로와 1초 동안 이동한 경로의 비율을 구하고, 3초 동안 이동한 경로와 1초 동안 이동한 경로의 비율을 구합니다. 결론을 내립니다.

4. 공이 슈트를 따라 이동한 시간과 이동한 거리를 측정합니다. 공식을 사용하여 가속도 계산 에스 = .

5. 실험적으로 얻은 가속도 값을 사용하여 공이 움직이는 첫 번째, 두 번째 및 세 번째 초에 이동해야 하는 경로를 계산합니다. 결론을 내리십시오.

1 번 테이블

경험치

실험 데이터

이론적 결과

시간 티 , ~에서

경로 , 센티미터

시간 t , ~에서

방법

s, cm

가속도 a, cm/s2

시간티, ~에서

경로 , 센티미터

정지 거리를 알고 자동차의 초기 속도를 어떻게 결정하고 초기 속도, 가속도, 시간과 같은 움직임의 특성을 알고 자동차의 움직임을 결정합니까? 우리는 오늘 수업의 주제에 대해 알게 된 후에 답을 얻을 것입니다. "균일하게 가속된 움직임을 가진 변위, 균일하게 가속된 움직임으로 시간에 대한 좌표의 의존성"

균일하게 가속된 동작을 사용하면 가속 투영이 0보다 크기 때문에 그래프가 위로 올라가는 직선처럼 보입니다.

균일한 직선 운동으로 면적은 신체 변위 투영 계수와 수치적으로 동일합니다. 이 사실은 등속 운동뿐만 아니라 모든 운동의 경우, 즉 그래프 아래의 면적이 변위 투영 계수와 수치적으로 같다는 것을 보여주기 위해 일반화될 수 있음이 밝혀졌습니다. 이것은 엄격하게 수학적으로 수행되지만 그래픽 방법을 사용합니다.

쌀. 2. 균일하게 가속된 움직임으로 시간에 대한 속도 의존성 그래프()

균일하게 가속된 운동에 대한 시간으로부터의 속도 투영 그래프를 작은 시간 간격 Δt로 나눕니다. 길이가 너무 작아서 속도가 실제로 변하지 않았다고 가정합시다. 즉, 그림의 선형 종속성 그래프를 조건부로 사다리로 변환합니다. 각 단계에서 속도가 많이 변경되지 않았다고 생각합니다. 시간 간격 Δ를 무한히 작게 만든다고 상상해보십시오. 수학에서 그들은 말합니다. 우리는 한계에 도달합니다. 이 경우 이러한 사다리의 면적은 그래프 V x (t)에 의해 제한되는 사다리꼴의 면적과 무기한 밀접하게 일치합니다. 그리고 이것은 균일하게 가속된 모션의 경우 변위 투영 모듈이 그래프 V x (t)에 의해 경계가 지정된 면적과 수치적으로 같다고 말할 수 있음을 의미합니다: 가로축과 세로축, 가로축에 수직인 수직, 즉, 그림 2에서 볼 수 있는 사다리꼴 OABS의 영역입니다.

문제는 물리적 문제에서 수학적 문제로 바뀝니다. 사다리꼴의 면적을 찾는 것입니다. 이것은 물리학자가 특정 현상을 설명하는 모델을 만든 다음 수학이 작동하여 이 모델을 방정식, 법칙으로 풍부하게 하여 모델을 이론으로 바꾸는 표준 상황입니다.

우리는 사다리꼴의 면적을 찾습니다. 사다리꼴은 직사각형입니다. 축 사이의 각도가 90°이기 때문에 사다리꼴을 직사각형과 삼각형의 두 가지 모양으로 나눕니다. 분명히, 전체 면적은 이 수치들의 면적의 합과 같을 것입니다(그림 3). 그들의 면적을 찾자 : 직사각형의 면적은 변의 곱, 즉 V 0x t와 같으며 직각 삼각형의 면적은 다리의 곱의 절반과 같습니다 - 1/2AD BD, 투영 값을 대입하면 다음을 얻습니다. 1/2t(V x - V 0x), 균일하게 가속된 운동으로 시간에 따른 속도 변화의 법칙을 기억하면: V x (t) = V 0x + axt 속도 투영의 차이가 시간 t에 의한 가속도 ax 투영의 곱, 즉 V x - V 0x = a x t와 같다는 것은 매우 분명합니다.

쌀. 3. 사다리꼴의 면적 결정( 자원)

사다리꼴의 면적이 변위 투영 모듈과 수치적으로 동일하다는 사실을 고려하면 다음을 얻습니다.

S x (t) \u003d V 0 x t + a x t 2 / 2

우리는 스칼라 형태의 균일하게 가속된 운동으로 시간에 대한 변위 투영의 의존성 법칙을 얻었습니다. 벡터 형태에서는 다음과 같이 보일 것입니다.

(t) = t + t 2 / 2

시간을 변수로 포함하지 않는 변위 투영에 대한 공식을 하나 더 도출해 보겠습니다. 우리는 시간을 제외하고 방정식 시스템을 풉니다.

S x (t) \u003d V 0 x + a x t 2 / 2

V x (t) \u003d V 0 x + a x t

시간을 모른다고 상상하면 두 번째 방정식에서 시간을 표현할 것입니다.

t \u003d V x - V 0x / a x

결과 값을 첫 번째 방정식에 대입합니다.

우리는 그러한 성가신 표현을 얻고 그것을 제곱하고 비슷한 표현을 제공합니다:

우리는 움직임의 시간을 모르는 경우에 매우 편리한 변위 투영 표현을 얻었습니다.

제동이 시작되었을 때 자동차의 초기 속도를 V 0 \u003d 72 km / h, 최종 속도 V \u003d 0, 가속도 a \u003d 4 m / s 2라고합시다. 제동 거리의 길이를 찾으십시오. 킬로미터를 미터로 변환하고 값을 공식에 대입하면 정지 거리는 다음과 같습니다.

S x \u003d 0-400 (m / s) 2 / -2 4 m / s 2 \u003d 50 m

다음 공식을 분석해 보겠습니다.

S x \u003d (V 0 x + V x) / 2 t

움직임의 투영은 초기 및 최종 속도의 투영 합계의 절반에 이동 시간을 곱한 것입니다. 평균 속도에 대한 변위 공식을 기억하십시오.

S x \u003d V cf t

균일하게 가속된 움직임의 경우 평균 속도는 다음과 같습니다.

V cf \u003d (V 0 + V k) / 2

우리는 균일 가속 운동의 역학의 주요 문제, 즉 좌표가 시간에 따라 변하는 법칙을 얻는 데 가까워졌습니다.

x(t) \u003d x 0 + V 0 x t + a x t 2 / 2

이 법칙을 사용하는 방법을 배우기 위해 일반적인 문제를 분석합니다.

정지 상태에서 움직이는 자동차는 2m / s 2의 가속도를 얻습니다. 3초와 3초 동안 자동차가 이동한 거리를 구하십시오.

주어진: V 0 x = 0

변위가 시간에 따라 변하는 법칙을 쓰자.

균일 가속 운동: S x \u003d V 0 x t + a x t 2 /2. 2C

데이터를 연결하여 문제의 첫 번째 질문에 답할 수 있습니다.

t 1 \u003d 3 c S 1x \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 3 2 / 2 \u003d 9 (m) - 이것이 지나간 경로입니다.

c 자동차 3초.

그가 2초 동안 이동한 거리를 알아보십시오.

S x (2 초) \u003d a x t 2 / 2 \u003d 2 2 2 / 2 \u003d 4 (m)

그래서, 당신과 나는 2초 안에 차가 4미터를 주행했다는 것을 압니다.

이제 이 두 거리를 알면 그가 3초 동안 이동한 경로를 찾을 수 있습니다.

S 2x \u003d S 1x + S x (2 초) \u003d 9-4 \u003d 5 (m)

균일 가속 모션가속도 벡터가 크기와 방향이 변경되지 않은 상태로 유지되는 운동이라고 합니다. 그러한 움직임의 예는 수평선에 대해 특정 각도로 던진 돌의 움직임입니다(공기 저항 무시). 궤적의 어느 지점에서나 돌의 가속도는 자유낙하의 가속도와 같습니다. 따라서 등가속도 운동의 연구는 직선 등가속도 운동의 연구로 축소된다. 직선 운동의 경우 속도와 가속도 벡터는 운동 직선을 따라 향합니다. 따라서 운동 방향에 대한 투영의 속도와 가속도는 대수적 양으로 간주될 수 있습니다. 균일하게 가속된 직선 운동으로 몸체의 속도는 공식 (1)에 의해 결정됩니다.

이 공식에서 물체의 속력은 티 = 0 (시작 속도 ), = const – 가속도. 선택한 x축에 대한 투영에서 방정식 (1)은 (2) 형식으로 작성됩니다. 속도 투영 그래프 υ x ( 티), 이 의존성은 직선의 형태를 갖는다.

속도 그래프의 기울기는 가속도를 결정하는 데 사용할 수 있습니다. ㅏ신체. 상응하는 구성은 도 11에 도시되어 있다. 그래프 I의 경우 가속도는 숫자로 삼각형의 변의 비율과 같습니다. 알파벳: .

시간 축과 함께 속도 그래프를 형성하는 각도 β가 클수록, 즉 그래프의 기울기가 커집니다( 기구), 신체의 가속도가 더 커집니다.

그래프 I의 경우: υ 0 \u003d -2 m / s, ㅏ\u003d 1/2 m / s 2. 그래프 II의 경우: υ 0 \u003d 3 m / s, ㅏ\u003d -1/3 m / s 2.

속도 그래프를 사용하면 시간 t 동안 몸체의 변위 s 투영을 결정할 수도 있습니다. 시간 축에 작은 시간 간격 Δt를 할당합시다. 이 기간이 충분히 작으면 이 기간 동안의 속도 변화가 작습니다. 즉, 이 기간 동안의 움직임은 의 순간 속도 υ와 동일한 특정 평균 속도로 균일한 것으로 간주될 수 있습니다. 간격 Δt의 중간에 있는 몸체. 따라서 시간 Δt 동안의 변위 Δs는 Δs = υΔt와 같습니다. 이 변위는 그림 1에서 음영 처리된 영역과 같습니다. 문. 0에서 특정 순간 t까지의 시간 간격을 작은 간격 Δt로 나누면 등가 가속 직선 운동 동안 주어진 시간 t에 대한 변위 s가 사다리꼴 ODEF의 면적과 같다는 것을 얻을 수 있습니다. 상응하는 구성은 도 11에 도시되어 있다. 스케줄 II를 위해 시간 t는 5.5초와 같습니다.

(3) - 결과 공식을 사용하면 가속도를 알 수 없는 경우 균일하게 가속된 동작으로 변위를 결정할 수 있습니다.

속도 (2)에 대한 표현을 방정식 (3)에 대입하면 (4)를 얻습니다. 이 공식은 신체 운동 방정식을 작성하는 데 사용됩니다. (5).

방정식 (2)에서 운동 시간 (6)을 표현하고 등식 (3)으로 대입하면

이 공식을 사용하면 알려지지 않은 이동 시간의 이동을 결정할 수 있습니다.

초기 속도 v 0 이 0인 경우 균일하게 가속된 물체의 변위 벡터 투영이 계산되는 방법을 고려해 보겠습니다. 이 경우 방정식

다음과 같이 보일 것입니다:

투영 s x 및 a x 대신 벡터의 모듈 s 및 a를 대입하여 이 방정식을 다시 작성해 보겠습니다.

변위와 가속도. 이 경우 벡터 sua는 같은 방향으로 향하기 때문에 투영은 동일한 부호를 갖습니다. 따라서 벡터 모듈에 대한 방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

이 공식에서 초기 속도 없이 균일하게 가속된 직선 운동에서 변위 벡터의 모듈은 이 운동이 이루어진 시간 간격의 제곱에 정비례합니다. 즉, 이동 시간이 n배 증가하면(움직이는 순간부터 계산), 이동 시간은 n배 증가합니다.

예를 들어, 움직임의 시작부터 임의의 시간 t 1 동안 몸이 움직인다면

그런 다음 t 2 \u003d 2t 1 기간 동안 (t 1과 같은 순간부터 계산) 움직일 것입니다

일정 기간 동안 t n \u003d nt l - 변위 s n \u003d n 2 s l (여기서 n은 자연수).

초기 속도가 없는 직선 등가 운동 동안 시간에 대한 변위 벡터 모듈의 의존성은 그림 15에 명확하게 반영되어 있습니다. 여기서 세그먼트 OA, OB, OS, OD 및 OE는 변위 벡터(s 1, s)의 모듈입니다. 2, s 3, s 4 및 s 5), 각각 시간 간격 t 1 , t 2 = 2t 1 , t 3 = 3t 1 , t 4 = 4t 1 및 t 5 = 5t 1 동안 신체에 의해 커밋됩니다.

쌀. 15. 등가속도 운동의 패턴: OA:OB:OS:OD:0E = 1:4:9:16:25; OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9

이 그림에서 알 수 있는 것은

OA:OB:OS:OD:OE = 1:4:9:16:25, (1)

즉, 움직임의 시작부터 계산된 시간 간격이 t 1 에 비해 정수 배만큼 증가함에 따라 해당 변위 벡터의 모듈은 연속적인 자연수의 제곱의 시리즈로 증가합니다.

그림 15는 다른 패턴을 보여줍니다.

OA:AB:BC:CD:DE = 1:3:5:7:9, (2)

즉, 연속적인 동일한 기간(각각 t 1 과 동일)에서 신체에 의해 수행된 변위 벡터의 모듈은 일련의 연속적인 홀수로 관련됩니다.

규칙성 (1)과 (2)는 균일하게 가속된 운동에만 고유합니다. 따라서 움직임이 균일하게 가속되는지 여부를 판단해야 하는 경우 사용할 수 있습니다.

예를 들어, 달팽이관의 움직임이 균일하게 가속되었는지 여부를 결정합시다. 처음 20초에는 0.5cm, 두 번째 20초에는 1.5cm, 세 번째 20초에는 2.5cm 움직였습니다.

이렇게 하려면 두 번째 및 세 번째 시간 간격에서 만든 움직임이 첫 번째 시간 간격보다 몇 배나 더 큰지 알아보겠습니다.

즉, 0.5 cm: 1.5 cm: 2.5 cm = 1: 3: 5입니다. 이 비율은 일련의 홀수이므로 몸의 움직임이 균일하게 가속되었습니다.

이 경우 운동의 균일하게 가속되는 성질은 규칙성을 기반으로 드러났습니다(2).

질문

정지 상태에서 균일하게 가속되는 동안 신체의 변위 벡터의 투영 및 모듈을 계산하는 데 사용되는 공식은 무엇입니까?
정지 상태에서 운동하는 시간이 n배 증가하면 물체의 변위 벡터 계수가 몇 배나 증가합니까?
정지 상태에서 균일하게 가속되는 물체의 변위 벡터의 모듈이 t 1에 비해 운동 시간이 정수 배 증가함에 따라 어떻게 서로 관련되는지 기록하십시오.
이 신체가 정지 상태에서 균일하게 가속되는 경우 연속적으로 동일한 시간 간격으로 신체에 의해 수행되는 변위 벡터의 모듈이 서로 어떻게 관련되는지 기록하십시오.
규칙 (1)과 (2)를 사용하는 목적은 무엇입니까?

운동 8

처음 20초 동안 역에서 출발하는 열차는 직선으로 움직이며 균일하게 가속됩니다. 이동 시작 후 세 번째 초에 열차가 2m를 이동 한 것으로 알려져 있으며 첫 번째 초에 열차가 만든 변위 벡터의 모듈과 이동한 가속도 벡터의 모듈을 결정합니다.
정지 상태에서 균일하게 가속된 자동차가 가속 5초 동안 6.3m를 이동한 경우 이동 시작 후 5초가 끝날 때까지 자동차의 속도는 얼마입니까?
초기 속도가 없는 움직임의 처음 0.03초 동안 일부 신체는 2mm, 처음 0.06초 - 8mm, 처음 0.09초 - 18mm 동안 움직였습니다. 규칙성 (1)에 기초하여 모든 0.09초 동안 몸체가 균일하게 가속됨을 증명하십시오.

질문.

1. 정지 상태에서 물체가 균일하게 가속되는 동안 물체의 변위 벡터의 투영 및 계수를 계산하는 데 사용되는 공식은 무엇입니까?

2. 정지 상태에서 이동하는 시간이 n배 증가하면 몸체의 변위 벡터의 계수가 몇 배 증가합니까?

3. 정지 상태에서 균일하게 가속되는 물체의 변위 벡터의 계수는 운동 시간이 t 1에 비해 정수 배 증가함에 따라 서로 어떻게 관련되는지 적으십시오.

4. 이 몸체가 정지 상태에서 균일하게 가속되는 경우 연속적으로 동일한 시간 간격으로 몸체에 의해 수행되는 변위 벡터의 모듈이 서로 어떻게 관련되는지 적어 보십시오.

5. 규칙 (3)과 (4)를 어떤 목적으로 사용할 수 있습니까?

규칙성 (3)과 (4)는 움직임이 균일하게 가속되는지 여부를 결정하는 데 사용됩니다(33페이지 참조).

수업 과정.

1. 처음 20초 동안 역에서 출발하는 열차는 직선으로 움직이며 균일하게 가속됩니다. 이동 시작 후 세 번째 초에 열차가 2m를 이동 한 것으로 알려져 있으며 첫 번째 초에 열차가 만든 변위 벡터의 모듈과 이동한 가속도 벡터의 모듈을 결정합니다.