직선 사이의 각도. 평면의 직선에 관한 가장 간단한 문제

2020년 7월 NASA는 화성 탐사를 시작합니다. 우주선은 등록된 모든 탐험 참가자의 이름이 적힌 전자 매체를 화성에 전달할 것입니다.

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이러한 코드 옵션 중 하나를 복사하여 웹페이지 코드에 붙여넣어야 합니다. 태그 사이나 태그 바로 뒤에 붙여넣는 것이 좋습니다. 첫 번째 옵션에 따르면 MathJax는 더 빠르게 로드되고 페이지 속도가 덜 느려집니다. 그러나 두 번째 옵션은 최신 버전의 MathJax를 자동으로 모니터링하고 로드합니다. 첫 번째 코드를 삽입하면 정기적으로 업데이트해야 합니다. 두 번째 코드를 삽입하면 페이지가 더 느리게 로드되지만 MathJax 업데이트를 지속적으로 모니터링할 필요는 없습니다.

MathJax를 연결하는 가장 쉬운 방법은 Blogger 또는 WordPress에 있습니다. 사이트 제어판에서 타사 JavaScript 코드를 삽입하도록 설계된 위젯을 추가하고 위에 제시된 다운로드 코드의 첫 번째 또는 두 번째 버전을 복사한 다음 위젯을 더 가까이 배치합니다. 템플릿의 시작 부분까지(그런데 MathJax 스크립트가 비동기적으로 로드되기 때문에 이것은 전혀 필요하지 않습니다). 그게 다야. 이제 MathML, LaTeX 및 ASCIIMathML의 마크업 구문을 배우고 사이트의 웹 페이지에 수학 공식을 삽입할 준비가 되었습니다.

또 다른 새해 전야... 서리가 내린 날씨와 창유리에 쌓인 눈송이... 이 모든 것이 나로 하여금 프랙탈에 대해 다시 글을 쓰게 했고, Wolfram Alpha가 그것에 대해 알고 있는 것에 대해서도 썼습니다. 이 주제에 관한 흥미로운 기사가 있는데, 여기에는 2차원 프랙탈 구조의 예가 포함되어 있습니다. 여기서는 3차원 프랙탈의 더 복잡한 예를 살펴보겠습니다.

프랙탈은 시각적으로 기하학적 도형이나 몸체(둘 다 집합, 이 경우 점 집합)로 표현(설명)될 수 있으며 세부 사항은 원본 도형 자체와 동일한 모양을 갖습니다. 즉, 이것은 확대하면 확대하지 않은 것과 동일한 모양을 볼 수 있는 자기 유사 구조입니다. 반면에 일반적인 기하학적 도형(프랙탈이 아님)의 경우 확대하면 원본 도형 자체보다 더 단순한 모양의 세부 사항을 볼 수 있습니다. 예를 들어, 충분히 높은 배율에서는 타원의 일부가 직선 세그먼트처럼 보입니다. 프랙탈에서는 이런 일이 발생하지 않습니다. 프랙탈이 증가하면 동일한 복잡한 모양이 다시 표시되며 증가할 때마다 반복해서 반복됩니다.

프랙탈 과학의 창시자인 베누아 만델브로(Benoit Mandelbrot)는 과학의 이름으로 프랙탈과 예술이라는 자신의 기사에서 다음과 같이 썼습니다. "프랙탈은 전체적인 형태만큼이나 세부적인 면에서도 복잡한 기하학적 모양입니다. 즉, 프랙탈의 일부인 경우 전체의 크기로 확대되면 정확하게 또는 약간 변형되어 전체로 나타날 것입니다."

공간에서의 직선은 항상 평행하지 않은 두 평면의 교차선으로 정의될 수 있습니다. 한 평면의 방정식이 두 번째 평면의 방정식이면 선의 방정식은 다음과 같이 주어집니다.

여기 비공선적
. 이러한 방정식은 다음과 같습니다. 일반 방정식바로 우주에서.

선의 정식 방정식

주어진 선에 있거나 그에 평행한 0이 아닌 벡터를 이 선의 방향 벡터라고 합니다.

요점이 알려지면
직선과 그 방향 벡터
, 그러면 선의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

. (9)

선의 매개변수 방정식

직선의 표준 방정식을 제시해 보겠습니다.

여기에서 우리는 선의 매개변수 방정식을 얻습니다.

(10)

이 방정식은 선과 평면의 교차점을 찾는 데 유용합니다.

두 점을 지나는 직선의 방정식
그리고
형식은 다음과 같습니다.

직선 사이의 각도

그리고

방향 벡터 사이의 각도와 같습니다. 따라서 공식 (4)를 사용하여 계산할 수 있습니다.

평행선의 조건:

평면이 수직이 되는 조건:

선에서 점까지의 거리

피 요점이 주어 졌다고 가정 해 봅시다
그리고 똑바로

직선의 표준 방정식으로부터 우리는 요점을 알고 있습니다.
, 선에 속함 및 방향 벡터
. 그러면 점의 거리가
직선으로부터의 높이는 벡터 위에 만들어진 평행사변형의 높이와 같습니다 그리고
. 따라서,

선의 교차 조건

평행하지 않은 두 개의 선

교차하는 경우와 경우에만

직선과 평면의 상대적인 위치.

직선을 주자
그리고 비행기. 모서리 그 사이는 공식으로 찾을 수 있습니다

문제 73. 직선의 표준 방정식을 작성하세요

(11)

해결책. 직선 (9)의 정준 방정식을 적으려면 직선에 속하는 임의의 점과 직선의 방향 벡터를 알아야 합니다.

벡터를 찾아보자 , 이 선과 평행합니다. 이는 이들 평면의 법선 벡터에 수직이어야 하기 때문에, 즉

,
, 저것

직선의 일반 방정식으로부터 우리는 다음을 얻습니다.
,
. 그 다음에

시점부터
선 위의 임의의 점의 좌표는 선의 방정식을 충족해야 하며 그 중 하나를 지정할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.
, 시스템 (11)에서 다른 두 좌표를 찾습니다.

여기에서,
.

따라서 원하는 라인의 표준 방정식은 다음과 같은 형식을 갖습니다.

또는
.

문제 74.

그리고
.

해결책.첫 번째 줄의 표준 방정식에서 점의 좌표가 알려져 있습니다.
선에 속하는 방향 벡터의 좌표
. 두 번째 줄의 표준 방정식에서 점의 좌표도 알려져 있습니다.
방향 벡터의 좌표
.

평행선 사이의 거리는 점의 거리와 같습니다
두 번째 직선에서. 이 거리는 공식으로 계산됩니다.

벡터의 좌표를 구해보자
.

벡터 곱을 계산해 봅시다
:

문제 75. 요점 찾기 대칭점
비교적 직선

해결책. 주어진 직선에 수직이고 한 점을 통과하는 평면의 방정식을 적어 보겠습니다. . 법선 벡터로 직선의 방향 벡터를 취할 수 있습니다. 그 다음에
. 따라서,

점을 찾아보자
이 선과 평면 P의 교차점. 이를 위해 방정식 (10)을 사용하여 선의 매개 변수 방정식을 작성하면 다음과 같습니다.

따라서,
.

허락하다
점과 대칭인 점
이 라인에 상대적입니다. 그럼 가리켜
중간점
. 점의 좌표를 찾으려면 세그먼트 중간점의 좌표에 대한 공식을 사용합니다.

,
,
.

그래서,
.

문제 76. 선을 통과하는 평면의 방정식을 쓰세요
그리고

a) 지점을 통해
;

b) 평면에 수직.

해결책.이 선의 일반 방정식을 적어 보겠습니다. 이렇게 하려면 다음 두 가지 평등을 고려하세요.

이는 원하는 평면이 생성기가 포함된 평면 묶음에 속하며 해당 방정식은 다음 형식(8)으로 작성될 수 있음을 의미합니다.

가) 찾아보자
그리고 비행기가 그 점을 통과한다는 조건에서
, 그러므로 그 좌표는 평면의 방정식을 만족해야 합니다. 점의 좌표를 대입해보자
여러 평면의 방정식으로:

발견된 값
이를 식 (12)에 대입해보자. 원하는 평면의 방정식을 얻습니다.

b) 찾아보자
그리고 원하는 평면이 평면에 수직이라는 조건에서. 주어진 평면의 법선 벡터
, 원하는 평면의 법선 벡터(평면 묶음의 방정식(12) 참조)

두 벡터는 내적이 0인 경우에만 수직입니다. 따라서,

찾은 값을 대체하자
여러 평면의 방정식에 적용됩니다(12). 원하는 평면의 방정식을 얻습니다.

독립적으로 해결해야 할 문제

문제 77. 선의 방정식을 표준 형식으로 가져옵니다.

1)
2)

문제 78. 선의 매개변수 방정식을 작성하세요
, 만약에:

1)
,
; 2)
,
.

문제 79. 점을 지나는 평면의 방정식을 쓰시오.
직선에 수직

문제 80. 한 점을 지나는 선의 방정식을 써라
평면에 수직.

문제 81. 선 사이의 각도를 찾으십시오.

1)
그리고
;

2)
그리고

문제 82. 선의 평행성을 증명하십시오.

그리고
.

문제 83. 선의 직각성을 증명하십시오.

그리고

문제 84. 점의 거리 계산
직선에서:

1)
; 2)
.

문제 85. 평행선 사이의 거리를 계산합니다.

그리고
.

문제 86. 직선의 방정식에서
매개변수 정의 이 선이 선과 교차하고 교차점을 찾으십시오.

문제 87. 직선임을 보여라
평면과 평행
, 그리고 직선
이 비행기에 누워 있어요.

문제 88. 포인트 찾기 대칭점 비행기에 비해
, 만약에:

1)
, ;

2)
, ;.

문제 89. 한 점에서 떨어지는 수직선의 방정식을 쓰세요
곧장
.

문제 90. 포인트 찾기 대칭점
비교적 직선
.

오오오오오... 글쎄요, 혼자 문장을 읽는 것처럼 힘들어요 =) 하지만 휴식은 나중에 도움이 될 것입니다. 특히 오늘은 적절한 액세서리를 구입했기 때문에 더욱 그렇습니다. 그러므로 첫 번째 섹션으로 넘어가서 기사가 끝날 때까지 밝은 분위기를 유지하기를 바랍니다.

두 직선의 상대적인 위치

청중이 합창으로 따라 부를 때의 경우이다. 두 개의 직선은 다음을 수행할 수 있습니다.

1) 일치;

2) 평행하다: ;

3) 또는 단일 지점에서 교차: .

인형을 위한 도움말 : 수학 기호를 기억해주세요 교차로, 매우 자주 발생합니다. 표기법은 선이 점 에서 선과 교차한다는 것을 의미합니다.

두 선의 상대적 위치를 결정하는 방법은 무엇입니까?

첫 번째 사례부터 시작해 보겠습니다.

두 선은 해당 계수가 비례하는 경우에만 일치합니다. 즉, 등식이 유지되는 숫자 "람다"가 있는 경우에만 가능합니다.

직선을 고려하고 해당 계수로부터 세 가지 방정식을 만들어 보겠습니다. 따라서 각 방정식에서 이러한 선이 일치합니다.

실제로 방정식의 모든 계수가 -1(변경 부호)을 곱하고 방정식의 모든 계수 2로 자르면 동일한 방정식을 얻게 됩니다.

두 번째 경우는 선이 평행한 경우입니다.

변수의 계수가 비례하는 경우에만 두 선이 평행합니다. , 하지만 .

예를 들어 두 개의 직선을 생각해 보세요. 변수에 대한 해당 계수의 비례성을 확인합니다.

그러나 그것은 매우 분명합니다.

세 번째 경우는 선이 교차하는 경우입니다.

변수에 대한 계수가 비례하지 않는 경우, 즉 등식이 유지되는 "람다" 값이 없는 경우에만 두 선이 교차합니다.

따라서 직선의 경우 시스템을 만듭니다.

첫 번째 방정식에서는 , 두 번째 방정식에서는 다음과 같습니다. 시스템이 일관성이 없다(솔루션 없음). 따라서 변수의 계수는 비례하지 않습니다.

결론: 선이 교차한다

실제 문제에서는 방금 논의한 해결 방법을 사용할 수 있습니다. 그건 그렇고, 이것은 우리가 수업 시간에 살펴본 벡터의 공선성을 확인하는 알고리즘을 매우 연상시킵니다. 벡터의 선형(비)의존성의 개념. 벡터의 기초. 그러나 좀 더 문명화된 포장이 있습니다.

실시예 1

선의 상대적 위치를 알아보세요.

이 솔루션은 직선의 벡터 방향에 대한 연구를 기반으로 합니다.

a) 방정식에서 선의 방향 벡터를 찾습니다. .

, 이는 벡터가 동일 선상에 있지 않고 선이 교차함을 의미합니다.

혹시라도 교차로에 표지판이 있는 돌을 놓겠습니다.

나머지는 돌을 뛰어 넘어 불멸의 카쉬 체이를 향해 곧장 따라갑니다 =)

b) 선의 방향 벡터를 찾습니다.

선은 방향 벡터가 동일합니다. 이는 평행하거나 일치함을 의미합니다. 여기서는 행렬식을 계산할 필요가 없습니다.

미지수의 계수가 비례한다는 것은 명백합니다.

평등이 사실인지 알아 보겠습니다.

따라서,

c) 선의 방향 벡터를 찾습니다.

이 벡터의 좌표로 구성된 행렬식을 계산해 보겠습니다.
따라서 방향 벡터는 동일선상에 있습니다. 선은 평행하거나 일치합니다.

비례 계수 "람다"는 동일선상 방향 벡터의 비율에서 직접 확인하기 쉽습니다. 그러나 방정식 자체의 계수를 통해서도 찾을 수 있습니다. .

이제 평등이 사실인지 알아 보겠습니다. 두 자유 조건 모두 0이므로 다음과 같습니다.

결과 값은 이 방정식을 만족합니다(일반적으로 임의의 숫자가 이를 만족함).

따라서 선이 일치합니다.

답변 :

곧 당신은 구두로 논의된 문제를 문자 그대로 몇 초 만에 해결하는 방법을 배우게 될 것입니다(또는 이미 배웠습니다). 이와 관련하여 독립적인 솔루션을 제공하는 데 아무런 의미가 없으며 기하학적 기초에 또 다른 중요한 벽돌을 놓는 것이 좋습니다.

주어진 선과 평행한 선을 만드는 방법은 무엇입니까?

이 간단한 작업에 대한 무지로 인해 강도 나이팅게일은 가혹하게 처벌됩니다.

실시예 2

직선은 방정식으로 제공됩니다. 점을 통과하는 평행선의 방정식을 작성하십시오.

해결 방법: 알 수 없는 행을 문자로 표시해 보겠습니다. 그 상태는 그녀에 대해 무엇을 말해주나요? 직선이 점을 통과합니다. 그리고 선들이 평행하다면 직선 "tse"의 방향 벡터가 직선 "de"를 구성하는 데에도 적합하다는 것이 분명합니다.

방정식에서 방향 벡터를 취합니다.

답변 :

예제 기하학은 단순해 보입니다.

분석 테스트는 다음 단계로 구성됩니다.

1) 선의 방향 벡터가 동일한지 확인합니다(선의 방정식이 적절하게 단순화되지 않으면 벡터가 동일선상에 위치하게 됩니다).

2) 해당 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인합니다.

대부분의 경우 분석 테스트는 구두로 쉽게 수행할 수 있습니다. 두 방정식을 보면 많은 사람들이 그림을 그리지 않고도 선의 평행성을 빠르게 결정할 수 있습니다.

오늘날 독립적인 솔루션의 예는 창의적일 것입니다. 당신은 여전히 Baba Yaga와 경쟁해야하고 그녀는 모든 종류의 수수께끼를 좋아하기 때문입니다.

실시예 3

다음과 같은 경우 직선과 평행한 점을 통과하는 직선의 방정식을 작성하세요.

합리적이고 합리적이지 않은 해결 방법이 있습니다. 가장 짧은 길은 수업이 끝날 때입니다.

우리는 평행선에 대해 약간 작업했으며 나중에 다시 설명하겠습니다. 일치하는 선의 경우에는 별 관심이 없으므로 학교 커리큘럼에서 매우 친숙한 문제를 고려해 보겠습니다.

두 선의 교차점을 찾는 방법은 무엇입니까?

직선이라면 점에서 교차하면 그 좌표가 해가 됩니다. 선형 방정식 시스템

선의 교차점을 찾는 방법은 무엇입니까? 시스템을 해결합니다.

다음은 두 개의 미지수가 있는 두 개의 선형 방정식 시스템의 기하학적 의미입니다. 이는 평면에서 두 개의 교차하는 (가장 자주) 선입니다.

실시예 4

선의 교차점 찾기

해결 방법: 그래픽과 분석이라는 두 가지 해결 방법이 있습니다.

그래픽 방법은 단순히 주어진 선을 그리고 도면에서 직접 교차점을 찾는 것입니다.

우리의 요점은 다음과 같습니다. 확인하려면 해당 좌표를 선의 각 방정식으로 대체해야 하며 거기 저기 모두 맞아야 합니다. 즉, 점의 좌표는 시스템에 대한 해입니다. 기본적으로 우리는 그래픽 솔루션을 살펴보았습니다. 선형 방정식 시스템두 개의 방정식과 두 개의 미지수가 있습니다.

물론 그래픽 방식은 나쁘지 않지만 눈에 띄는 단점이 있습니다. 아니요, 요점은 7학년 학생들이 이런 식으로 결정한다는 것이 아니라 정확하고 정확한 그림을 만드는 데 시간이 걸린다는 것입니다. 또한 일부 직선은 구성하기가 그리 쉽지 않으며, 교차점 자체가 노트 시트 외부의 제30왕국 어딘가에 위치할 수도 있습니다.

따라서 분석적 방법을 사용하여 교차점을 검색하는 것이 더 편리합니다. 시스템을 해결해 봅시다:

시스템을 해결하기 위해 방정식을 항별로 추가하는 방법이 사용되었습니다. 관련 기술을 개발하려면 수업을 들어보세요. 방정식 시스템을 해결하는 방법은 무엇입니까?

답변 :

검사는 간단합니다. 교차점의 좌표는 시스템의 각 방정식을 충족해야 합니다.

실시예 5

선이 교차하는 경우 선의 교차점을 찾으십시오.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 작업을 여러 단계로 나누는 것이 편리합니다. 상태를 분석하면 다음이 필요하다는 것을 알 수 있습니다.
1) 직선의 방정식을 적어보세요.
2) 직선의 방정식을 적어보세요.
3) 선의 상대적인 위치를 알아보세요.
4) 선이 교차하는 경우 교차점을 찾습니다.

동작 알고리즘의 개발은 많은 기하학적 문제에서 일반적이며 이에 대해 반복적으로 집중하겠습니다.

전체 솔루션 및 답변은 강의 마지막 부분에 나와 있습니다.

우리가 수업의 두 번째 부분에 도달할 때까지 신발 한 켤레도 닳지 않았습니다.

수직선. 점에서 선까지의 거리.
직선 사이의 각도

일반적이고 매우 중요한 작업부터 시작하겠습니다. 첫 번째 부분에서 우리는 이 직선과 평행한 직선을 만드는 방법을 배웠으며 이제 닭다리 오두막이 90도 회전합니다.

주어진 선에 수직인 선을 만드는 방법은 무엇입니까?

실시예 6

직선은 방정식으로 제공됩니다. 점을 지나는 선에 수직인 방정식을 쓰세요.

해결책: 조건에 따라 . 선의 방향 벡터를 찾는 것이 좋을 것입니다. 선이 수직이므로 요령은 간단합니다.

방정식에서 법선 벡터를 "제거"합니다. 이는 직선의 방향 벡터가 됩니다.

점과 방향 벡터를 사용하여 직선의 방정식을 작성해 보겠습니다.

답변 :

기하학적 스케치를 확장해 보겠습니다.

흠... 주황색 하늘, 주황색 바다, 주황색 낙타.

솔루션의 분석적 검증:

1) 방정식에서 방향 벡터를 꺼냅니다. 그리고 도움으로 벡터의 스칼라 곱우리는 선이 실제로 수직이라는 결론에 도달합니다.

그건 그렇고, 법선 벡터를 사용할 수 있으며 훨씬 더 쉽습니다.

2) 해당 점이 결과 방정식을 만족하는지 확인합니다. .

테스트는 구두로 수행하기 쉽습니다.

실시예 7

방정식이 알려진 경우 수직선의 교차점 찾기 그리고 기간.

이것은 스스로 해결하는 예입니다. 문제에는 여러 가지 조치가 있으므로 솔루션을 하나씩 공식화하는 것이 편리합니다.

우리의 흥미로운 여정은 계속됩니다:

점에서 선까지의 거리

우리 앞에는 강이 직선으로 뻗어 있고 우리의 임무는 최단 경로로 그곳에 도달하는 것입니다. 장애물이 없으며 가장 최적의 경로는 수직을 따라 이동하는 것입니다. 즉, 점에서 선까지의 거리가 수직 선분의 길이입니다.

기하학에서의 거리는 전통적으로 그리스 문자 “rho”로 표시됩니다. 예를 들어 – 점 “em”에서 직선 “de”까지의 거리입니다.

점에서 선까지의 거리 공식으로 표현

실시예 8

점에서 선까지의 거리 구하기

해결책: 당신이 해야 할 일은 조심스럽게 숫자를 공식에 대입하고 계산을 수행하는 것입니다.

답변 :

그림을 그려보자:

점에서 선까지의 거리는 정확히 빨간색 선분의 길이입니다. 1단위 단위로 체크무늬 종이에 그림을 그리는 경우. = 1cm(2셀)이면 일반 눈금자로 거리를 측정할 수 있습니다.

동일한 도면을 기반으로 다른 작업을 고려해 보겠습니다.

과제는 직선을 기준으로 점과 대칭인 점의 좌표를 찾는 것입니다. . 단계를 직접 수행하는 것이 좋지만 중간 결과를 통해 솔루션 알고리즘을 개략적으로 설명하겠습니다.

1) 직선과 수직인 직선을 찾아라.

2) 선의 교차점을 찾으십시오. .

이 단원에서는 두 가지 작업에 대해 자세히 설명합니다.

3) 지점은 세그먼트의 중간 지점입니다. 우리는 중앙과 끝 중 하나의 좌표를 알고 있습니다. 에 의해 세그먼트의 중간점 좌표에 대한 공식우리는 찾는다 .

거리도 2.2단위인지 확인해보시면 좋을 것 같습니다.

여기에서는 계산이 어려울 수 있지만 마이크로 계산기는 탑에서 큰 도움이 되어 일반 분수를 계산할 수 있습니다. 제가 여러번 조언해드렸고, 또 추천해드리겠습니다.

두 평행선 사이의 거리를 구하는 방법은 무엇입니까?

실시예 9

두 평행선 사이의 거리 찾기

이것은 스스로 결정할 수 있는 또 다른 예입니다. 작은 힌트를 드리겠습니다. 이 문제를 해결하는 방법은 무한히 많습니다. 수업이 끝나면보고를하지만 스스로 추측하는 것이 더 낫습니다. 독창성이 잘 발달했다고 생각합니다.

두 직선 사이의 각도

모든 구석이 잼입니다.

기하학에서 두 직선 사이의 각도는 더 작은 각도로 간주되며, 이로부터 자동으로 둔각이 될 수 없습니다. 그림에서 빨간색 원호로 표시된 각도는 교차하는 선 사이의 각도로 간주되지 않습니다. 그리고 그의 "친환경" 이웃 또는 반대 방향"라즈베리" 코너.

선이 수직인 경우 네 각도 중 하나를 두 각도 사이의 각도로 사용할 수 있습니다.

각도가 어떻게 다른가요? 정위. 첫째, 각도가 "스크롤"되는 방향이 근본적으로 중요합니다. 둘째, 음수 방향의 각도는 빼기 기호로 작성됩니다(예: if ).

내가 왜 이것을 말했습니까? 각도라는 일반적인 개념으로 해결할 수 있을 것 같습니다. 사실 우리가 각도를 찾는 공식은 쉽게 부정적인 결과를 초래할 수 있으며 이는 놀랄 일이 아닙니다. 빼기 기호가 있는 각도는 더 나쁘지 않으며 매우 특정한 기하학적 의미를 갖습니다. 도면에서 음각의 경우 화살표(시계 방향)로 방향을 표시해야 합니다.

두 직선 사이의 각도를 찾는 방법은 무엇입니까? 두 가지 작업 공식이 있습니다:

실시예 10

선 사이의 각도 찾기

솔루션 및 방법 1

일반적인 형태의 방정식으로 정의된 두 개의 직선을 고려해 보겠습니다.