Zbadaj funkcję 2x 2. Zadania ze zbioru Kuzniecowa L

Jak zbadać funkcję i wykreślić jej wykres?

Wydaje mi się, że zaczynam rozumieć uduchowioną twarz przywódcy światowego proletariatu, autora dzieł zebranych w 55 tomach… Długa podróż rozpoczęła się od elementarnych informacji nt funkcje i wykresy, a teraz praca nad pracochłonnym tematem kończy się naturalnym rezultatem – artykułem o pełnym badaniu funkcji. Długo oczekiwane zadanie jest sformułowane w następujący sposób:

Zbadaj funkcję metodami rachunku różniczkowego i na podstawie wyników badań zbuduj jej wykres

Lub w skrócie: zbadaj funkcję i wykreśl ją.

Dlaczego warto odkrywać? W prostych przypadkach nie będzie nam trudno poradzić sobie z funkcjami elementarnymi, narysować wykres uzyskany za pomocą elementarne przekształcenia geometryczne itp. Jednak właściwości i reprezentacje graficzne bardziej złożonych funkcji są dalekie od oczywistości, dlatego potrzebne jest całe badanie.

Główne etapy rozwiązania podsumowano w materiale referencyjnym Schemat badania funkcji, to jest Twój przewodnik po sekcjach. Manekiny potrzebują wyjaśnienia tematu krok po kroku, niektórzy czytelnicy nie wiedzą, od czego zacząć i jak zorganizować badanie, a zaawansowanych może interesować tylko kilka punktów. Ale kimkolwiek jesteś, drogi gościu, proponowane podsumowanie ze wskazówkami do różnych lekcji w możliwie najkrótszym czasie zorientuje Cię i pokieruje w interesującym Cię kierunku. Roboty uroniły łzę =) Instrukcja została sporządzona w formie pliku pdf i zajęła należne jej miejsce na stronie Wzory i tablice matematyczne.

Kiedyś dzieliłem badanie funkcji na 5-6 punktów:

6) Dodatkowe punkty i wykres na podstawie wyników badania.

Jeśli chodzi o ostatnią akcję, myślę, że wszyscy wszystko rozumieją - będzie bardzo rozczarowujące, jeśli w ciągu kilku sekund zostanie przekreślona, a zadanie wróci do ponownego sprawdzenia. PRAWIDŁOWY I DOKŁADNY RYSUNEK jest głównym rezultatem rozwiązania! Jest bardzo prawdopodobne, że „zatuszuje” niedopatrzenia analityczne, a błędny i/lub niechlujny harmonogram spowoduje problemy nawet przy doskonale przeprowadzonym badaniu.

Należy zaznaczyć, że w innych źródłach liczba pozycji badawczych, kolejność ich realizacji oraz styl projektowania mogą znacznie odbiegać od proponowanego przeze mnie schematu, jednak w większości przypadków jest to w zupełności wystarczające. Najprostsza wersja problemu składa się tylko z 2-3 etapów i jest sformułowana mniej więcej tak: „zbadaj funkcję za pomocą pochodnej i wykreśl” lub „zbadaj funkcję za pomocą 1. i 2. pochodnej, wykreśl”.

Oczywiście, jeśli w twoim podręczniku szkoleniowym szczegółowo analizowany jest inny algorytm lub twój nauczyciel surowo wymaga, abyś stosował się do jego wykładów, będziesz musiał wprowadzić pewne poprawki w rozwiązaniu. Nie trudniejsze niż zastąpienie widelca łyżką do piły łańcuchowej.

Sprawdźmy funkcję parzystą / nieparzystą:

Po tym następuje szablon rezygnacji z subskrypcji:
, więc ta funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Ponieważ funkcja jest ciągła na , nie ma asymptot pionowych.

Nie ma też asymptot ukośnych.

Notatka : Przypominam, że im wyżej kolejność wzrostu niż , więc ostateczna granica to dokładnie " plus nieskończoność."

Sprawdźmy, jak funkcja zachowuje się w nieskończoności:

Innymi słowy, jeśli pójdziemy w prawo, to wykres pójdzie nieskończenie wysoko w górę, jeśli pójdziemy w lewo, nieskończenie daleko w dół. Tak, są też dwa limity w ramach jednego wpisu. Jeśli masz trudności z rozszyfrowaniem znaków, zapoznaj się z lekcją o nieskończenie małe funkcje.

Więc funkcja nie ograniczone od góry oraz nie ograniczone od dołu. Biorąc pod uwagę, że nie mamy punktów przerwania, staje się jasne i zakres funkcji: jest także dowolną liczbą rzeczywistą.

PRZYDATNA TECHNIKA

Każdy krok zadania przynosi nowe informacje o wykresie funkcji, więc w trakcie rozwiązania wygodnie jest użyć pewnego rodzaju UKŁADU. Narysujmy na szkicu kartezjański układ współrzędnych. Co wiadomo na pewno? Po pierwsze, wykres nie ma asymptot, więc nie ma potrzeby rysowania linii prostych. Po drugie, wiemy, jak funkcja zachowuje się w nieskończoności. Zgodnie z analizą rysujemy pierwsze przybliżenie:

Zauważ, że w efekcie ciągłość funkcja jest włączona i fakt, że , wykres musi co najmniej raz przeciąć oś. A może jest kilka punktów przecięcia?

3) Zera funkcji i przedziały o stałym znaku.

Najpierw znajdź punkt przecięcia wykresu z osią y. To proste. Konieczne jest obliczenie wartości funkcji, gdy:

Połowa nad poziomem morza.

Aby znaleźć punkty przecięcia z osią (zera funkcji), należy rozwiązać równanie i tutaj czeka nas niemiła niespodzianka:

Na koniec czai się wolny członek, co znacznie komplikuje zadanie.

Takie równanie ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, a najczęściej pierwiastek ten jest niewymierny. W najgorszej bajce czekają na nas trzy małe świnki. Równanie można rozwiązać za pomocą tzw Formuły Cardano, ale uszkodzenie papieru jest porównywalne z prawie całym badaniem. W związku z tym mądrzej jest ustnie lub w wersji roboczej spróbować odebrać co najmniej jeden całyźródło. Sprawdźmy, czy te liczby to:
- nie pasuje;
- jest!

Tu jest szczęście. W przypadku niepowodzenia można też testować, a jeśli te liczby się nie zgadzają, to obawiam się, że są bardzo małe szanse na opłacalne rozwiązanie równania. Wtedy lepiej całkowicie pominąć punkt badań - może coś się wyjaśni na ostatnim etapie, kiedy przebiją się dodatkowe punkty. A jeśli korzeń (korzenie) są wyraźnie „złe”, to lepiej zachować skromne milczenie na temat interwałów stałości znaków i dokładniej uzupełnić rysunek.

Mamy jednak piękny pierwiastek, więc dzielimy wielomian bez reszty:

Algorytm dzielenia wielomianu przez wielomian jest szczegółowo omówiony w pierwszym przykładzie lekcji. Złożone granice.

W rezultacie lewa strona pierwotnego równania rozwija się w produkt:

A teraz trochę o zdrowym stylu życia. Oczywiście, że to rozumiem równania kwadratowe trzeba rozwiązywać codziennie, ale dzisiaj zrobimy wyjątek: równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Na osi liczbowej nanosimy znalezione wartości oraz metoda interwałowa zdefiniuj znaki funkcji:

og Tak więc w odstępach znajduje się wykres
poniżej osi x i w odstępach - powyżej tej osi.

Uzyskane wyniki pozwalają nam dopracować nasz układ, a drugie przybliżenie wykresu wygląda następująco:

Należy pamiętać, że funkcja musi mieć co najmniej jedno maksimum w przedziale i co najmniej jedno minimum w przedziale. Ale nie wiemy, ile razy, gdzie i kiedy harmonogram będzie się „kręcił”. Nawiasem mówiąc, funkcja może mieć nieskończenie wiele skrajności.

4) Zwiększanie, zmniejszanie i ekstrema funkcji.

Znajdźmy punkty krytyczne:

To równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Umieśćmy je na osi liczbowej i ustalmy znaki pochodnej:

Zatem funkcja rośnie o i zmniejsza się o .
W punkcie, w którym funkcja osiąga swoje maksimum: .
W punkcie, w którym funkcja osiąga swoje minimum: .

Ustalone fakty wprowadzają nasz szablon w raczej sztywne ramy:

Nie trzeba dodawać, że rachunek różniczkowy to potężna rzecz. Zajmijmy się wreszcie kształtem wykresu:

5) Wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia.

Znajdź punkty krytyczne drugiej pochodnej:

Zdefiniujmy znaki:

Wykres funkcji jest wypukły na i wklęsły na . Obliczmy rzędną punktu przegięcia: .

Prawie wszystko się wyjaśniło.

6) Pozostaje znaleźć dodatkowe punkty, które pomogą dokładniej zbudować wykres i przeprowadzić autotest. W tym przypadku jest ich niewiele, ale nie zaniedbamy:

Wykonajmy rysunek:

Punkt przegięcia zaznaczono kolorem zielonym, dodatkowe punkty zaznaczono krzyżykami. Wykres funkcji sześciennej jest symetryczny względem swojego punktu przegięcia, który zawsze znajduje się dokładnie pośrodku między maksimum a minimum.

W trakcie realizacji zadania podałem trzy hipotetyczne rysunki pośrednie. W praktyce wystarczy narysować układ współrzędnych, zaznaczyć znalezione punkty i po każdym punkcie badania w myślach wyobrazić sobie, jak mógłby wyglądać wykres funkcji. Dobrze przygotowanemu studentowi nie będzie trudno przeprowadzić taką analizę wyłącznie w myślach bez szkicu.

W przypadku samodzielnego rozwiązania:

Przykład 2

Zapoznaj się z funkcją i zbuduj wykres.

Tutaj wszystko jest szybsze i przyjemniejsze, przybliżony przykład zakończenia na koniec lekcji.

Badanie ułamkowych funkcji wymiernych ujawnia wiele tajemnic:

Przykład 3

Wykorzystując metody rachunku różniczkowego zbadaj funkcję i na podstawie wyników badań skonstruuj jej wykres.

Rozwiązanie: pierwszy etap badania nie różni się niczym szczególnym poza dziurą w obszarze definicji:

1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu , domena: .

, więc ta funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Oczywiście funkcja nie jest okresowa.

Wykres funkcji składa się z dwóch ciągłych gałęzi położonych w lewej i prawej półpłaszczyźnie - to chyba najważniejsza konkluzja pierwszego akapitu.

2) Asymptoty, zachowanie się funkcji w nieskończoności.

a) Za pomocą granic jednostronnych badamy zachowanie się funkcji w pobliżu podejrzanego punktu, w którym asymptota pionowa musi wyraźnie wyglądać:

Rzeczywiście, funkcje trwają niekończąca się przepaść w punkcie
a linia prosta (oś) to pionowa asymptota grafika .

b) Sprawdź, czy istnieją asymptoty ukośne:

Tak, linia jest asymptota ukośna grafika jeśli .

Nie ma sensu analizować granic, skoro wiadomo już, że funkcja w uścisku z asymptotą skośną nie ograniczone od góry oraz nie ograniczone od dołu.

Drugi punkt badania przyniósł wiele ważnych informacji o funkcji. Zróbmy zgrubny szkic:

Wniosek nr 1 dotyczy przedziałów stałości znaku. Przy „minus nieskończoności” wykres funkcji znajduje się jednoznacznie pod osią x, a przy „plus nieskończoność” powyżej tej osi. Ponadto jednostronne granice powiedziały nam, że zarówno po lewej, jak i po prawej stronie punktu funkcja jest również większa od zera. Należy zauważyć, że w lewej półpłaszczyźnie wykres musi co najmniej raz przecinać oś x. W prawej półpłaszczyźnie może nie być zer funkcji.

Wniosek nr 2 jest taki, że funkcja rośnie na i na lewo od punktu (przechodzi „od dołu do góry”). Na prawo od tego punktu funkcja maleje (przechodzi „od góry do dołu”). Prawa gałąź grafu z pewnością musi mieć co najmniej jedno minimum. Po lewej skrajności nie są gwarantowane.

Wniosek nr 3 daje wiarygodną informację o wklęsłości wykresu w sąsiedztwie punktu. Nie możemy jeszcze nic powiedzieć o wypukłości/wklęsłości w nieskończoności, ponieważ prostą można dociskać do jej asymptoty zarówno z góry, jak i z dołu. Ogólnie rzecz biorąc, istnieje analityczny sposób, aby to rozgryźć już teraz, ale kształt wykresu „za nic” stanie się wyraźniejszy na późniejszym etapie.

Po co tyle słów? Aby kontrolować kolejne punkty badawcze i unikać błędów! Dalsze obliczenia nie powinny zaprzeczać wyciągniętym wnioskom.

3) Punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych, przedziały stałego znaku funkcji.

Wykres funkcji nie przecina osi.

Metodą interwałową określamy znaki:

, jeśli ;
, jeśli .

Wyniki akapitu są w pełni zgodne z wnioskiem nr 1. Po każdym kroku spójrz na szkic, odnieś się w myślach do badania i dokończ rysowanie wykresu funkcji.

W tym przykładzie licznik jest dzielony wyraz po wyrazie przez mianownik, co jest bardzo korzystne dla różniczkowania:

W rzeczywistości zostało to już zrobione przy znajdowaniu asymptot.

- punkt krytyczny.

Zdefiniujmy znaki:

wzrasta o i spada do

W punkcie, w którym funkcja osiąga swoje minimum: .

Nie było też rozbieżności z wnioskiem nr 2 i najprawdopodobniej jesteśmy na dobrej drodze.

Oznacza to, że wykres funkcji jest wklęsły w całej dziedzinie definicji.

Świetnie - i nie musisz niczego rysować.

Nie ma punktów przegięcia.

Wklęsłość jest zgodna z wnioskiem nr 3, ponadto wskazuje, że w nieskończoności (zarówno tam, jak i tam) znajduje się wykres funkcji nad jego asymptota ukośna.

6) Sumiennie przypijemy zadanie dodatkowymi punktami. Tutaj musimy się mocno napracować, bo z badania znamy tylko dwa punkty.

I zdjęcie, które prawdopodobnie wielu już dawno przesłało:

W trakcie realizacji zadania należy zadbać o to, aby nie było sprzeczności między etapami badania, ale czasami sytuacja jest nagląca lub wręcz rozpaczliwie ślepa. Tutaj analityka „nie zbiega się” – i tyle. W tym przypadku polecam technikę awaryjną: znajdujemy jak najwięcej punktów należących do wykresu (ile wystarczy cierpliwości) i zaznaczamy je na płaszczyźnie współrzędnych. Graficzna analiza znalezionych wartości w większości przypadków powie Ci, gdzie jest prawda, a gdzie kłamstwo. Ponadto wykres można wstępnie zbudować za pomocą jakiegoś programu, na przykład w tym samym programie Excel (oczywiste jest, że wymaga to umiejętności).

Przykład 4

Korzystając z metod rachunku różniczkowego, zbadaj funkcję i zbuduj jej wykres.

To jest przykład zrób to sam. W nim samokontrolę wzmacnia równość funkcji - wykres jest symetryczny względem osi, a jeśli coś w twoim opracowaniu temu zaprzecza, poszukaj błędu.

Parzystą lub nieparzystą funkcję można zbadać tylko dla , a następnie można zastosować symetrię wykresu. Takie rozwiązanie jest optymalne, ale moim zdaniem wygląda bardzo nietypowo. Osobiście biorę pod uwagę całą oś liczbową, ale wciąż znajduję dodatkowe punkty tylko po prawej stronie:

Przykład 5

Przeprowadź pełne badanie funkcji i sporządź jej wykres.

Rozwiązanie:spieszył się:

1) Funkcja jest zdefiniowana i ciągła na całej prostej rzeczywistej: .

Oznacza to, że funkcja ta jest nieparzysta, jej wykres jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Oczywiście funkcja nie jest okresowa.

2) Asymptoty, zachowanie się funkcji w nieskończoności.

Ponieważ funkcja jest ciągła na , nie ma asymptot pionowych

Dla funkcji zawierającej wykładnik, zwykle oddzielny badanie „plus” i „minus nieskończoności”, jednak nasze życie ułatwia już sama symetria wykresu – albo jest asymptota po lewej i po prawej stronie, albo jej nie ma. Dlatego obie nieskończone granice można umieścić pod jednym wpisem. W trakcie rozwiązania używamy reguła de l'Hospitala:

Linia prosta (oś) jest poziomą asymptotą wykresu w punkcie .

Zwróć uwagę, jak sprytnie ominąłem pełny algorytm znajdowania asymptoty ukośnej: granica jest całkiem legalna i wyjaśnia zachowanie funkcji w nieskończoności, a asymptota pozioma została znaleziona „jakby w tym samym czasie”.

Z ciągłości na i istnienia asymptoty poziomej wynika, że funkcja ograniczona od góry oraz ograniczone od dołu.

3) Punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych, przedziały stałości.

Tutaj również skracamy rozwiązanie:
Wykres przechodzi przez początek.

Nie ma innych punktów przecięcia z osiami współrzędnych. Co więcej, przedziały stałości są oczywiste, a osi nie da się narysować: , co oznacza, że znak funkcji zależy tylko od „x”:
, jeśli ;
, jeśli .

4) Rosnące, malejące, ekstrema funkcji.

są punktami krytycznymi.

Punkty są symetryczne wokół zera, tak jak powinno być.

Zdefiniujmy znaki pochodnej:

Funkcja rośnie w przedziale i maleje w przedziałach

W punkcie, w którym funkcja osiąga swoje maksimum: .

Ze względu na nieruchomość (dziwność funkcji) minimum można pominąć:

Ponieważ funkcja maleje w przedziale , to oczywiście wykres znajduje się w „minus nieskończoność” pod z jego asymptotą. Na przedziale funkcja również maleje, ale tutaj jest odwrotnie – po przejściu przez punkt maksimum prosta zbliża się do osi od góry.

Z powyższego wynika również, że wykres funkcji jest wypukły w punkcie „minus nieskończoność” i wklęsły w punkcie „plus nieskończoność”.

Po tym punkcie badania narysowano również obszar wartości funkcji:

Jeśli masz jakieś niezrozumienie, jeszcze raz zachęcam do narysowania osi współrzędnych w zeszycie iz ołówkiem w dłoniach, ponownie przeanalizuj każde zakończenie zadania.

5) Wypukłość, wklęsłość, przegięcia grafu.

są punktami krytycznymi.

Symetria punktów jest zachowana i najprawdopodobniej się nie mylimy.

Zdefiniujmy znaki:

Wykres funkcji jest wypukły i wklęsły dalej .

Potwierdzono wypukłość/wklęsłość w skrajnych odstępach czasu.

We wszystkich krytycznych punktach wykresu występują przegięcia. Znajdźmy rzędne punktów przegięcia, ponownie zmniejszając liczbę obliczeń, korzystając z nieparzystości funkcji:

Jeśli w zadaniu konieczne jest przeprowadzenie pełnego badania funkcji f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 wraz z budową jej wykresu, wówczas szczegółowo rozważymy tę zasadę.

Aby rozwiązać tego typu problem, należy skorzystać z własności i wykresów głównych funkcji elementarnych. Algorytm badawczy obejmuje następujące kroki:

Znalezienie dziedziny definicji

Ponieważ badania prowadzone są w dziedzinie funkcji, konieczne jest rozpoczęcie od tego kroku.

Przykład 1

Podany przykład polega na znalezieniu zer mianownika w celu wykluczenia ich z DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

W rezultacie możesz uzyskać pierwiastki, logarytmy i tak dalej. Wtedy ODZ można szukać pierwiastka stopnia parzystego typu g (x) 4 przez nierówność g (x) ≥ 0 , dla logarytmu log a g (x) przez nierówność g (x) > 0 .

Badanie granic ODZ i znajdowanie asymptot pionowych

Na granicach funkcji występują asymptoty pionowe, gdy granice jednostronne w takich punktach są nieskończone.

Przykład 2

Rozważmy na przykład punkty graniczne równe x = ± 1 2 .

Następnie konieczne jest zbadanie funkcji, aby znaleźć granicę jednostronną. Wtedy otrzymujemy, że: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ granica x → - 1 2 + 0 fa (x) = granica x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = granica x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ granica x → 1 2 - 0 fa (x) = granica x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = granica x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ granica x → 1 2 - 0 f (x) = granica x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = granica x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

Pokazuje to, że granice jednostronne są nieskończone, co oznacza, że linie x = ± 1 2 są pionowymi asymptotami wykresu.

Badanie funkcji i parzystości lub nieparzystości

Gdy warunek y (- x) = y (x) jest spełniony, funkcja jest uważana za parzysta. Sugeruje to, że wykres jest położony symetrycznie względem O y. Gdy warunek y (- x) = - y (x) jest spełniony, funkcja jest uważana za nieparzystą. Oznacza to, że symetria przebiega względem początku współrzędnych. Jeśli co najmniej jedna nierówność zawodzi, otrzymujemy funkcję postaci ogólnej.

Spełnienie równości y (- x) = y (x) wskazuje, że funkcja jest parzysta. Podczas konstruowania należy wziąć pod uwagę, że będzie symetria względem O y.

Aby rozwiązać nierówność, stosuje się przedziały wzrostu i spadku z warunkami odpowiednio f „(x) ≥ 0 i f” (x) ≤ 0.

Definicja 1

Punkty stacjonarne są punktami, które zwracają pochodną do zera.

Punkt krytyczny są punktami wewnętrznymi z dziedziny, w której pochodna funkcji jest równa zeru lub nie istnieje.

Podejmując decyzję, należy wziąć pod uwagę następujące punkty:

dla istniejących przedziałów wzrostu i spadku nierówności postaci f "(x) > 0 punkty krytyczne nie są uwzględniane w rozwiązaniu;
punkty, w których funkcja jest zdefiniowana bez skończonej pochodnej, muszą być zawarte w przedziałach wzrostu i spadku (na przykład y \u003d x 3, gdzie punkt x \u003d 0 definiuje funkcję, pochodna ma wartość nieskończoności w tym momencie y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = ∞ , x = 0 jest zawarte w przedziale wzrostu);
aby uniknąć nieporozumień, zaleca się korzystanie z literatury matematycznej, co jest zalecane przez Ministerstwo Edukacji.

Uwzględnienie punktów krytycznych w przedziałach rosnących i malejących w przypadku, gdy spełniają one dziedzinę funkcji.

Definicja 2

Do określając przedziały wzrostu i spadku funkcji, należy znaleźć:

pochodna;
punkt krytyczny;
podzielić dziedzinę definicji za pomocą punktów krytycznych na przedziały;
wyznaczyć znak pochodnej w każdym z przedziałów, gdzie + to wzrost, a - to spadek.

Przykład 3

Znajdź pochodną w dziedzinie f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Rozwiązanie

Do rozwiązania potrzebujesz:

znajdź punkty stacjonarne, w tym przykładzie x = 0 ;
znajdź zera w mianowniku, przykład przyjmuje wartość zero w punkcie x = ± 1 2 .

Odsłaniamy punkty na osi liczbowej, aby określić pochodną na każdym przedziale. Aby to zrobić, wystarczy wziąć dowolny punkt z przedziału i wykonać obliczenia. Jeżeli wynik jest dodatni, rysujemy na wykresie +, co oznacza wzrost funkcji, a - oznacza jej spadek.

Na przykład f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, co oznacza, że \u200b\u200bpierwszy przedział po lewej stronie ma znak +. Rozważ liczbę linia.

Odpowiadać:

następuje wzrost funkcji na przedziale - ∞ ; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ] ;
następuje spadek w przedziale [ 0 ; 1 2) i 1 2; +∞ .

Na diagramie za pomocą + i - przedstawiono dodatnie i ujemne wartości funkcji, a strzałki wskazują malejące i rosnące.

Punkty ekstremalne funkcji to punkty, w których funkcja jest zdefiniowana i przez które pochodna zmienia znak.

Przykład 4

Jeśli weźmiemy pod uwagę przykład, w którym x \u003d 0, wówczas wartość funkcji w nim wynosi f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Kiedy znak pochodnej zmienia się z + na - i przechodzi przez punkt x \u003d 0, wówczas punkt o współrzędnych (0; 0) jest uważany za punkt maksymalny. Po zmianie znaku z - na + otrzymujemy punkt minimalny.

Wypukłość i wklęsłość wyznacza się rozwiązując nierówności postaci f "" (x) ≥ 0 i f "" (x) ≤ 0 . Rzadziej używają nazwy wybrzuszenie w dół zamiast wklęsłości i wybrzuszenie zamiast wybrzuszenia.

Definicja 3

Do wyznaczanie luk wklęsłości i wypukłości niezbędny:

znajdź drugą pochodną;
znajdź miejsca zerowe funkcji drugiej pochodnej;
rozbić dziedzinę definicji przez punkty pojawiające się w przedziałach;
określić znak przerwy.

Przykład 5

Znajdź drugą pochodną z dziedziny definicji.

Rozwiązanie

fa "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Znajdujemy zera licznika i mianownika, gdzie na naszym przykładzie mamy, że zera mianownika x = ± 1 2

Teraz musisz umieścić punkty na osi liczbowej i określić znak drugiej pochodnej z każdego przedziału. Rozumiemy to

Odpowiadać:

funkcja jest wypukła z przedziału - 1 2 ; 12;
funkcja jest wklęsła z przerw - ∞; - 1 2 i 1 2; +∞ .

Definicja 4

punkt przegięcia jest punktem postaci x 0 ; f(x0) . Gdy ma styczną do wykresu funkcji, to przechodząc przez x 0, funkcja zmienia znak na przeciwny.

Innymi słowy, jest to taki punkt, przez który druga pochodna przechodzi i zmienia znak, aw samych punktach jest równa zeru lub nie istnieje. Wszystkie punkty są uważane za dziedzinę funkcji.

W przykładzie widać, że nie ma punktów przegięcia, ponieważ druga pochodna zmienia znak podczas przechodzenia przez punkty x = ± 1 2 . One z kolei nie mieszczą się w domenie definicji.

Znajdowanie asymptot poziomych i ukośnych

Definiując funkcję w nieskończoności, należy szukać asymptot poziomych i ukośnych.

Definicja 5

Asymptoty skośne są rysowane za pomocą linii danych równaniem y = k x + b, gdzie k = lim x → ∞ f (x) x oraz b = lim x → ∞ f (x) - k x .

Dla k = 0 i b nierównego nieskończoności stwierdzamy, że asymptota ukośna staje się poziomy.

Innymi słowy, asymptoty to linie, do których wykres funkcji zbliża się do nieskończoności. Przyczynia się to do szybkiej konstrukcji wykresu funkcji.

Jeśli nie ma asymptot, ale funkcja jest zdefiniowana w obu nieskończonościach, konieczne jest obliczenie granicy funkcji w tych nieskończonościach, aby zrozumieć, jak zachowa się wykres funkcji.

Przykład 6

Jako przykład rozważ to

k = granica x → ∞ fa (x) x = granica x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = granica x → ∞ (f (x) - k x) = granica x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

jest asymptotą poziomą. Po zbadaniu funkcji możesz zacząć ją budować.

Obliczanie wartości funkcji w punktach pośrednich

Aby wykreślenie było jak najdokładniejsze, zaleca się znalezienie kilku wartości funkcji w punktach pośrednich.

Przykład 7

Z rozważanego przez nas przykładu konieczne jest znalezienie wartości funkcji w punktach x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Ponieważ funkcja jest parzysta, otrzymujemy, że wartości pokrywają się z wartościami w tych punktach, to znaczy otrzymujemy x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Napiszmy i rozwiążmy:

fa (- 2) = fa (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 fa (- 1) - fa (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 fa - 3 4 = fa 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 fa - 1 4 = fa 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Aby wyznaczyć maksima i minima funkcji, punkty przegięcia, punkty pośrednie, konieczne jest zbudowanie asymptot. Dla wygodnego oznaczenia ustalone są interwały wzrostu, spadku, wypukłości, wklęsłości. Rozważ poniższy rysunek.

Konieczne jest poprowadzenie linii wykresu przez zaznaczone punkty, co pozwoli zbliżyć się do asymptot, podążając za strzałkami.

To kończy pełne badanie funkcji. Istnieją przypadki konstruowania pewnych funkcji elementarnych, dla których stosuje się transformacje geometryczne.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Reszebnik Kuzniecow.
III Wykresy

Zadanie 7. Przeprowadź pełne badanie funkcji i zbuduj jej wykres.

Przed rozpoczęciem pobierania opcji spróbuj rozwiązać problem zgodnie z poniższym przykładem dla opcji 3. Niektóre opcje są archiwizowane w formacie .rar

7.3 Przeprowadź pełne badanie funkcji i wykreśl ją