Kostka różnicy i kostki różnicy: zasady stosowania skróconych wzorów mnożenia. Kostka różnicowa i różnica sześcianów: zasady stosowania skróconych formuł mnożenia Suma i różnica sześcianów dwóch wyrażeń zadaniowych
Skrócone wzory mnożenia.
Badanie skróconych wzorów mnożenia: kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń; różnica kwadratów dwóch wyrażeń; sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń; suma i różnica sześcianów dwóch wyrażeń.
Zastosowanie skróconych wzorów mnożenia przy rozwiązywaniu przykładów.
Aby uprościć wyrażenia, podzielić wielomiany na czynniki i doprowadzić wielomiany do postaci standardowej, stosuje się skrócone wzory mnożenia. Skrócone wzory mnożenia należy znać na pamięć.
Niech a, b R. Wtedy:
1. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń to kwadrat pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia przez drugie plus kwadrat drugiego wyrażenia.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kwadratowa różnica tych dwóch wyrażeń to kwadrat pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia przez drugie plus kwadrat drugiego wyrażenia.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Różnica kwadratów dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy między tymi wyrażeniami i ich sumą.
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
4. Suma kostka dwóch wyrażeń równa się sześcianowi pierwszego wyrażenia plus trzy razy kwadrat pierwszego wyrażenia przez drugie plus trzy razy iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadrat drugiego plus sześcian drugiego wyrażenia.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Kostka różnicy dwóch wyrażeń równa się sześcianowi pierwszego wyrażenia minus trzy razy kwadrat pierwszego wyrażenia, a drugie plus trzy razy iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadrat drugiego minus sześcian drugiego wyrażenia.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Suma kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi sumy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat różnicy między tymi wyrażeniami.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Różnica kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Zastosowanie skróconych wzorów mnożenia przy rozwiązywaniu przykładów.
Przykład 1.
Oblicz
a) Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń mamy
(40 + 1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń otrzymujemy
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604
Przykład 2.
Oblicz
Korzystając ze wzoru na różnicę między kwadratami dwóch wyrażeń otrzymujemy
Przykład 3.
Uprość wyrażenie
(x - y) 2 + (x + y) 2
Używamy wzorów na kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Skrócone wzory mnożenia w jednej tabeli:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Wzory lub zasady mnożenia skróconego są używane w arytmetyce, a raczej w algebrze, w celu szybszego obliczania dużych wyrażenia algebraiczne... Same wzory wywodzą się z istniejących w algebrze reguł mnożenia kilku wielomianów.
Zastosowanie tych wzorów zapewnia dość szybkie rozwiązanie różnych problemów matematycznych, a także pomaga uprościć wyrażenia. Zasady przekształcenia algebraiczne umożliwiają wykonanie pewnej manipulacji wyrażeniami, po których można uzyskać wyrażenie po lewej stronie równości po prawej stronie lub przekształcić prawą stronę równości (aby uzyskać wyrażenie po lewej stronie po znaku równości) .
Wygodnie jest znać formuły używane do skróconego mnożenia przez pamięć, ponieważ są one często używane do rozwiązywania problemów i równań. Poniżej znajdują się główne formuły zawarte na tej liście oraz ich nazwy.
Suma do kwadratu
Aby obliczyć kwadrat sumy, musisz znaleźć sumę składającą się z kwadratu pierwszego wyrazu, dwukrotności iloczynu pierwszego wyrazu przez drugi i kwadratu drugiego. Jako wyrażenie reguła ta jest zapisana w następujący sposób: (a + c) ² = a² + 2ac + c².
Różnica do kwadratu
Aby obliczyć kwadrat różnicy, musisz obliczyć sumę składającą się z kwadratu pierwszej liczby, dwukrotności iloczynu pierwszej liczby przez drugą (wziętą z przeciwnym znakiem) i kwadratu drugiej liczby. Jako wyrażenie reguła ta wygląda następująco: (a - c) ² = a² - 2ac + c².
Różnica kwadratów
Wzór na różnicę między dwiema liczbami do kwadratu jest równy iloczynowi sumy tych liczb przez ich różnicę. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: a² - c² = (a + c) · (a - c).
Suma kostka
Aby obliczyć sześcian sumy dwóch wyrazów, należy obliczyć sumę składającą się z sześcianu pierwszego wyrazu, potrójnego iloczynu kwadratu pierwszego wyrazu i drugiego potrójnego iloczynu pierwszego wyrazu i drugiego do kwadratu, a także sześcian drugiego terminu. W formie wyrażenia reguła ta wygląda następująco: (a + c) ³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
Suma kostek
Zgodnie ze wzorem jest on przyrównany do iloczynu sumy tych wyrazów przez ich niepełny kwadrat różnicy. W postaci wyrażenia reguła ta wygląda następująco: a³ + c³ = (a + c) · (a² - ac + c²).
Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury, która powstaje przez dodanie dwóch kostek. Znane są tylko rozmiary ich boków.
Jeśli wartości boczne są małe, obliczenia są łatwe.
Jeśli długości boków są wyrażone w niewygodnych liczbach, w takim przypadku łatwiej jest zastosować wzór „Suma kostek”, co znacznie uprości obliczenia.
Kostka różnicy
Wyrażenie na różnicę sześcienną jest następujące: jako suma trzeciej potęgi pierwszego wyrazu potroić iloczyn ujemny kwadratu pierwszego wyrazu przez drugi, potroić iloczyn pierwszego wyrazu przez kwadrat drugiego i sześcian ujemny drugiego terminu. W postaci wyrażenia matematycznego sześcian różnicy wygląda następująco: (a - c) ³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
Różnica kostek
Wzór na różnicę kostek różni się od sumy kostek tylko jednym znakiem. Zatem różnica między sześcianami jest wzorem równym iloczynowi różnicy tych liczb przez ich niepełny kwadrat sumy. W formularzu różnica sześcianów jest następująca: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).
Przykład. Konieczne jest obliczenie objętości figury, która pozostanie po odjęciu żółtej figury wolumetrycznej od objętości niebieskiego sześcianu, który również jest sześcianem. Znany jest tylko rozmiar boku małej i dużej kostki.
Jeśli wartości boczne są małe, obliczenia są dość proste. A jeśli długości boków wyrażone są w znaczących liczbach, to warto skorzystać z formuły zatytułowanej „Kost. Różnicowe” (lub „Kost. Różnicowe”), która znacznie uprości obliczenia.
W poprzednich lekcjach przyjrzeliśmy się dwóm sposobom rozłożenia wielomianu na czynniki: nawiasy i grupowanie.
W tym samouczku przyjrzymy się innym sposobom rozkładania na czynniki wielomianu za pomocą skróconych wzorów mnożenia.
Zalecamy przepisywanie każdej formuły co najmniej 12 razy. Do lepsze zapamiętywanie wypisz wszystkie skrócone formuły mnożenia dla siebie na małej ściągawce.
Pamiętajmy, jak wygląda wzór na różnicę kostek.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)Wzór na różnicę między kostkami nie jest łatwy do zapamiętania, dlatego zalecamy użycie specjalnego sposobu jej zapamiętania.
Ważne jest, aby zrozumieć, że każdy wzór na skrócone mnożenie działa również w Odwrotna strona.
(a - b) (a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3Spójrzmy na przykład. Konieczne jest rozłożenie różnicy między kostkami.
Zauważ, że „27a 3” to „(3a) 3”, co oznacza, że dla wzoru na różnicę sześcianów zamiast „a” używamy „3a”.
Używamy wzoru na różnicę kostek. W miejscu „a 3” mamy „27a 3”, a w miejscu „b 3”, tak jak we wzorze, „b 3”.
Stosując różnicę kostek w przeciwnym kierunku
Spójrzmy na inny przykład. Chcesz przekonwertować iloczyn wielomianów na różnicę sześcianów za pomocą skróconego wzoru mnożenia.
Należy pamiętać, że iloczyn wielomianów „(x - 1) (x 2 + x + 1)” przypomina prawą stronę wzoru na różnicę między sześcianami „”, tylko zamiast „a” występuje „x”, a zamiast "b" jest "1" ...
Używamy dla "(x - 1) (x 2 + x + 1)" wzoru na różnicę sześcianów w przeciwnym kierunku.
Spójrzmy na bardziej skomplikowany przykład. Wymagane jest uproszczenie iloczynu wielomianów.
Jeśli porównamy "(y 2 - 1) (y 4 + y 2 + 1)" z prawą stroną wzoru różnicy sześcianów
« a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)", Wtedy możesz zrozumieć, że w miejscu" a "od pierwszego nawiasu jest" y 2, aw miejscu "b" jest "1".
Różnica kwadratów
Wyprowadźmy wzór na różnicę kwadratów $ a ^ 2-b ^ 2 $.
Aby to zrobić, pamiętaj o następującej zasadzie:
Jeśli dodamy do wyrażenia dowolny jednomian i odejmiemy ten sam jednomian, otrzymamy poprawną tożsamość.
Dodaj do naszego wyrażenia i odejmij od niego jednomian $ ab $:
Razem otrzymujemy:
Oznacza to, że różnica między kwadratami dwóch jednomianów jest równa iloczynowi ich różnicy przez ich sumę.
Przykład 1
Reprezentuj jako produkt $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $
\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 = ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \]
\ [((2x)) ^ 2-y ^ 2 = \ lewo (2x-y \ prawo) (2x + y) \]
Suma kostek
Wyprowadzamy wzór na sumę kostek $ a ^ 3 + b ^ 3 $.
Wyodrębnij wspólne czynniki:
Wyjmijmy $ \ left (a + b \ right) $ poza nawiasami:
Razem otrzymujemy:
Oznacza to, że suma sześcianów dwóch jednomianów jest równa iloczynowi ich sumy przez niepełny kwadrat ich różnicy.
Przykład 2
Reprezentuj jako produkt $ (8x) ^ 3 + y ^ 3 $
To wyrażenie można przepisać w następujący sposób:
\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 = ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \]
Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów otrzymujemy:
\ [((2x)) ^ 3 + y ^ 3 = \ lewo (2x + y \ prawo) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \]
Różnica kostek
Wyprowadzamy wzór na różnicę kostek $a^3-b^3$.
W tym celu użyjemy tej samej zasady, co powyżej.
Dodaj do naszego wyrażenia i odejmij od niego jednomiany $ a ^ 2b \ i \ (ab) ^ 2 $:
Wyodrębnij wspólne czynniki:
Wyjmijmy $ \ left (a-b \ right) $ poza nawiasami:
Razem otrzymujemy:
Oznacza to, że różnica między sześcianami dwóch jednomianów jest równa iloczynowi ich różnicy przez niepełny kwadrat ich sumy.
Przykład 3
Reprezentuj jako produkt $ (8x) ^ 3-y ^ 3 $
To wyrażenie można przepisać w następujący sposób:
\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 = ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \]
Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów otrzymujemy:
\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 = \ lewo (2x-y \ prawo) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \]
Przykładowe zadania wykorzystujące wzory na różnicę kwadratów oraz sumę i różnicę sześcianów
Przykład 4
Rozkładać na czynniki.
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
Rozwiązanie:
a) $ ((a + 5)) ^ 2-9 $
\ [(((a + 5)) ^ 2-9 = (a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \]
Stosując wzór na różnicę kwadratów otrzymujemy:
\ [((a + 5)) ^ 2-3 ^ 2 = \ lewa (a + 5-3 \ prawa) \ lewa (a + 5 + 3 \ prawa) = \ lewa (a + 2 \ prawa) (a +8) \]
Zapiszmy to wyrażenie w postaci:
Zastosujmy wzór kostek kuma:
c) $ -x ^ 3 + \ frac (1) (27) $
Zapiszmy to wyrażenie w postaci:
\ [- x ^ 3 + \ frac (1) (27) = (\ lewo (\ frac (1) (3) \ prawo)) ^ 3-x ^ 3 \]
Zastosujmy wzór kostek kuma:
\ [(\ left (\ frac (1) (3) \ right)) ^ 3-x ^ 3 = \ left (\ frac (1) (3) -x \ right) \ left (\ frac (1) ( 9) + \ frac (x) (3) + x ^ 2 \ prawy) \]
