Przykłady zmniejszają ułamek algebraiczny. Konwersja wyrażeń

Zanim przejdziesz do nauki ułamki algebraiczne zalecamy, abyś pamiętał, jak pracować ze zwykłymi ułamkami.

Każdy ułamek zawierający współczynnik literowy jest nazywany ułamkiem algebraicznym.

Przykłady ułamki algebraiczne.

Podobnie jak zwykły ułamek, ułamek algebraiczny ma licznik (na górze) i mianownik (na dole).

Redukcja ułamka algebraicznego

Ułamek algebraiczny można anulować... Podczas redukcji stosuj zasady redukcji zwykłych ułamków.

Przypominamy, że redukując zwykły ułamek, podzieliliśmy licznik i mianownik tą samą liczbą.

Ułamek algebraiczny można skreślić w ten sam sposób, ale tylko licznik i mianownik dzielą się przez ten sam wielomian.

Rozważać przykład skreślenia ułamków algebraicznych.

Zdefiniujmy najmniejszy stopień, w jakim stoi jednomian „a”. Najmniejszy stopień jednomianu „a” znajduje się w mianowniku - to jest drugi stopień.

Licznik i mianownik należy podzielić przez „2”. Dzieląc jednomiany, posługujemy się własnością stopnia ilorazu.

Przypominamy, że każda litera lub cyfra w stopniu zero jest jedynką.

Nie ma potrzeby za każdym razem szczegółowo zapisywać, do jakiego ułamka algebraicznego została zredukowana. Wystarczy mieć na uwadze stopień, w jakim redukowałeś i zapisywać tylko wynik.

Krótka notacja redukcji ułamka algebraicznego jest następująca.

Można zredukować tylko te same współczynniki literowe.

Nie można ciąć

Można skrócić

Inne przykłady skreślenia ułamków algebraicznych.

Jak skasować ułamek za pomocą wielomianów

Rozważ inny przykład ułamka algebraicznego. Wymagane jest skreślenie ułamka algebraicznego z wielomianem w liczniku.

Możesz anulować wielomian w nawiasach tylko z dokładnie takim samym wielomianem w nawiasach!

W żadnym wypadku nie możesz przeciąć części wielomian wewnątrz nawiasów!

Źle

Ustalenie, gdzie kończy się wielomian, jest bardzo proste. Między wielomianami może być tylko znak mnożenia. Cały wielomian znajduje się w nawiasach.

Po zdefiniowaniu wielomianów ułamka algebraicznego anulujemy wielomian „(m – n)” w liczniku z wielomianem „(m – n)” w mianowniku.

Przykłady kasowania ułamków algebraicznych za pomocą wielomianów.

Wyjmowanie wspólnego czynnika przy redukcji ułamków

Aby te same wielomiany pojawiły się w ułamkach algebraicznych, czasami konieczne jest usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów.

W tej postaci nie można skreślić ułamka algebraicznego, ponieważ wielomian
„(3f + k)” można skasować tylko za pomocą wielomianu „(3f + k)”.

Dlatego, aby w liczniku uzyskać „(3f + k)” należy odsunąć dzielnik wspólny „5”.

Zmniejszanie ułamków za pomocą skróconych wzorów mnożenia

W innych przykładach redukcja ułamków algebraicznych wymaga
zastosowanie skróconych wzorów mnożenia.

Nie można usunąć ułamka algebraicznego w jego pierwotnej postaci, ponieważ nie ma identycznych wielomianów.

Ale jeśli zastosujemy wzór na różnicę kwadratów dla wielomianu „(a 2 - b 2)”, pojawią się te same wielomiany.

Więcej przykładów kasowania ułamków algebraicznych przy użyciu zredukowanych formuł mnożenia.

Anulowanie ułamków algebraicznych (wymiernych) opiera się na ich głównej właściwości: jeśli licznik i mianownik ułamka są podzielone przez ten sam niezerowy wielomian, to ułamek jest mu równy.

Możesz tylko zmniejszyć mnożniki!

Terminy wielomianów nie mogą być anulowane!

Aby anulować ułamek algebraiczny, wielomiany w liczniku i mianowniku muszą zostać najpierw rozłożone na czynniki.

Rozważmy przykłady redukcji ułamków.

W liczniku i mianowniku ułamka znajdują się jednomiany. Oni reprezentują kompozycja(liczby, zmienne i ich stopnie), mnożniki możemy zredukować.

Liczby zmniejszamy o ich największy wspólny dzielnik, to znaczy o największą liczbę, przez którą każda z tych liczb jest podzielna. Dla 24 i 36 jest to 12. Po zmniejszeniu z 24 pozostaje 2, z 36 - 3.

Stopnie są pomniejszane o stopień o najniższym wykładniku. Zmniejszenie ułamka oznacza dzielenie licznika i mianownika przez ten sam dzielnik, a przy dzieleniu potęg odejmujemy wykładniki.

skrócić a² i a⁷ przez a². Jednocześnie 1 pozostaje w liczniku a² (piszemy 1 tylko wtedy, gdy po jego skasowaniu nie ma innych czynników. Z 24 pozostały 2, więc nie zapisujemy 1 pozostałej z a²). Od ⁷ po skurczu pozostaje ⁵.

b i b są pomniejszone o b, wynikowe nie są zapisywane.

c³º i c⁵ są skrócone do c⁵. Z c³º pozostaje c²⁵, z c⁵ - jeden (nie piszemy tego). W ten sposób,

Licznikiem i mianownikiem danego ułamka algebraicznego są wielomiany. Nie można skrócić terminów wielomianów! (nie można skrócić np. 8x² i 2x!). Aby anulować ten ułamek, musisz rozłożyć wielomiany na czynniki. Licznik ma wspólny dzielnik 4x. Wyciągamy go z nawiasów:

Zarówno licznik, jak i mianownik mają ten sam współczynnik (2x-3). Zmniejsz ułamek o ten współczynnik. W liczniku mamy 4x, w mianowniku - 1. Przez 1 właściwość ułamków algebraicznych ułamek jest równy 4x.

Możesz tylko zmniejszyć mnożniki (nie możesz zmniejszyć tego ułamka o 25x²!). Dlatego wielomiany w liczniku i mianowniku ułamka muszą być faktoryzowane.

Licznik to pełny kwadrat sumy, mianownik to różnica kwadratów. Po rozłożeniu według wzorów mnożenia zredukowanego otrzymujemy:

Zmniejsz ułamek o (5x + 1) (w tym celu w liczniku wykreślamy dwa jako wykładnik, z (5x + 1) ², podczas gdy (5x + 1) pozostaje):

Licznik ma wspólny dzielnik 2, przesuń go poza nawiasy. Mianownik to wzór na różnicę między kostkami:

W wyniku rozszerzenia licznika i mianownika otrzymaliśmy ten sam współczynnik (9 + 3a + a²). Zmniejszamy przez to ułamek:

Wielomian w liczniku składa się z 4 wyrazów. Grupujemy pierwszy składnik z drugim, trzeci z czwartym i usuwamy dzielnik wspólny x² z pierwszych nawiasów. Rozkładamy mianownik według wzoru na sumę sześcianów:

W liczniku umieść dzielnik wspólny (x + 2) poza nawiasami:

Zmniejsz ułamek o (x + 2):

Możemy tylko zmniejszyć mnożniki! Aby anulować ten ułamek, musisz rozłożyć wielomiany na czynniki w liczniku i mianowniku. W liczniku występuje wspólny czynnik a³, w mianowniku - a⁵. Wyjmijmy je z nawiasów:

Czynniki — stopnie o tej samej podstawie a³ i a⁵ — są skreślane przez a³. Z a³ pozostaje 1, nie zapisujemy, z a⁵ pozostaje a². W liczniku wyrażenie w nawiasach można rozwinąć jako różnicę kwadratów:

Zmniejsz ułamek przez wspólny czynnik (1 + a):

A jak zredukować ułamki formy

w którym wyrażenia w liczniku i mianowniku różnią się tylko znakami?

Następnym razem rozważymy przykłady redukcji takich frakcji.

2 komentarze

Bardzo dobra strona, używam jej na co dzień i to pomaga.
Zanim trafiłem na tę stronę, nie wiedziałem, jak rozwiązać wiele rzeczy z algebry, geometrii, ale dzięki tej stronie moje oceny 3 wzrosły do ​​4-5.
Teraz mogę spokojnie wziąć OGE, a boją się, że go nie zdam!
Ucz się, a odniesiesz sukces!

Vitya, życzę powodzenia w nauce i wysokich wyników na egzaminach!

www.algebraclass.ru

Redukcja reguły ułamków algebraicznych

Redukcja ułamków algebraicznych

Nowe pojęcie w matematyce rzadko powstaje „z niczego”, „od zera”. Pojawia się, gdy istnieje obiektywna potrzeba. Tak pojawiły się liczby ujemne w matematyce, tak pojawiły się liczby zwykłe i dziesiętne. ułamek algebraiczny.

Mamy przesłanki do wprowadzenia nowej koncepcji „ułamka algebraicznego”. Wróćmy do § 12. Omawiając podział jednomianu przez jednomian, rozważyliśmy kilka przykładów. Podkreślmy dwa z nich.

1. Podziel jednomian 36a 3 b 5 przez jednomian 4ab 2 (patrz przykład 1c) z §12).
Rozwiązaliśmy to w ten sposób. Zamiast pisać 36а 3 b 5: 4аb 2 użyto linii ułamka:

Umożliwiło to, zamiast wpisów 36:4 i 3:a,b5:b2, użycie również ukośnika, co uczyniło rozwiązanie przykładu bardziej czytelnym:

2. Podziel jednomian 4x3 przez jednomian 2xy (patrz Przykład 1 e) w § 12). Idąc tym samym wzorem otrzymaliśmy:

W § 12 zauważyliśmy, że jednomianu 4x3 nie można podzielić na jednomian 2xy w taki sposób, aby uzyskać jednomian... Ale modele matematyczne realne sytuacje mogą zawierać operację dzielenia dowolnych jednomianów, niekoniecznie takich, że jeden jest podzielny przez drugi. Przewidując to, matematycy wprowadzili nowe pojęcie - pojęcie ułamka algebraicznego. W szczególności ułamek algebraiczny. Wracamy teraz do punktu 18. Omawiając tam operację dzielenia wielomianu przez jednomian zauważyliśmy, że nie zawsze jest to wykonalne. Tak więc w przykładzie 2 z § 18 mówiliśmy o podzieleniu dwumianu 6x 3 - 24x 2 przez jednomian 6x 2. Operacja ta okazała się wykonalna, w wyniku czego otrzymaliśmy dwumian x - 4. Stąd, Innymi słowy, możliwe było zastąpienie wyrażenia algebraicznego prostszym wyrażeniem - wielomianem x - 4.

Jednocześnie w przykładzie 3 z § 18 nie można było podzielić wielomianu 8a 3 + ba 2b - b przez 2a 2, czyli wyrażenia nie można było zastąpić prostszym wyrażeniem, więc musieliśmy wyjść to w postaci ułamka algebraicznego.

Jeśli chodzi o operację dzielenia wielomianu przez wielomian, wtedy właściwie nic o tym nie mówiliśmy. Jedyne, co możemy teraz powiedzieć, to to, że jeden wielomian można podzielić przez drugi, jeśli ten drugi wielomian jest jednym z czynników rozkładania na czynniki pierwszego wielomianu.

Na przykład x 3 - 1 = (x - 1) (x 2 + x + 1). Stąd x 3 - 1 można podzielić przez x 2 + x + 1, otrzymujemy x - 1; x 3 - 1 można podzielić przez x - 1,

otrzymujesz x 2 + x + 1.
wielomiany P i Q. W tym przypadku stosuje się notację
gdzie Р jest licznikiem, Q jest mianownikiem ułamka algebraicznego.
Przykłady ułamków algebraicznych:

Czasami ułamek algebraiczny można zastąpić wielomianem. Na przykład, jak powiedzieliśmy wcześniej,

(udało nam się podzielić wielomian 6x 3 - 24x 2 przez 6x 2, aw ilorazu otrzymaliśmy x - 4); zauważyliśmy również, że

Ale jest to stosunkowo rzadkie.

Jednak już spotkałeś się z podobną sytuacją - studiując zwykłe ułamki. Na przykład ułamek - można zastąpić liczbą całkowitą 4, a ułamek - liczbą całkowitą 5. Jednak ułamek - liczbą całkowitą nie może zostać zastąpiony, chociaż ten ułamek można anulować, dzieląc licznik i mianownik przez liczbę 8 - wspólny dzielnik licznika i mianownika:
W ten sam sposób możesz anulować ułamki algebraiczne, dzieląc jednocześnie licznik i mianownik ułamka przez ich wspólne mnożnik... W tym celu musisz rozłożyć zarówno licznik, jak i mianownik ułamka. Tutaj potrzebujemy wszystkiego, o czym tak długo dyskutowaliśmy w tym rozdziale.

Przykład. Zmniejsz ułamek algebraiczny:

Rozwiązanie a) Znajdź wspólny czynnik dla jednomianów
12x 3 y 4 i 8x 2 y 5 jak w § 20. Otrzymujemy 4x 2 y 4. Wtedy 12x 3 y 4 = 4x 2 y 4 Zx; 8x 2 y 5 = 4x 2 y 4 2 lata.
Znaczy,

Licznik i mianownik podanego ułamka algebraicznego została zmniejszona o wspólny czynnik 4x 2 y 4.
Rozwiązanie tego przykładu można napisać inaczej:

b) Aby skreślić ułamek, wyliczamy jego licznik i mianownik. Otrzymujemy:

(ułamek został pomniejszony o wspólny czynnik a + b).

Teraz wróć do przypisu 2 w § 1. Widzisz, w końcu byliśmy w stanie spełnić daną tam obietnicę.
c) Posiadamy:

(zmniejszony ułamek o wspólny dzielnik licznika i mianownika, tj. o x (x - y))

Tak więc, aby zredukować ułamek algebraiczny do ułamka, musisz najpierw podzielić jego licznik i mianownik na czynniki. Więc twój sukces w tym nowym biznesie (anulowanie ułamków algebraicznych) zależy głównie od tego, jak zinternalizujesz materiał z poprzednich akapitów tego rozdziału.

A. V. Pogorelov, Geometria dla klas 7-11, Podręcznik dla instytucji edukacyjnych

Jeśli masz jakieś poprawki lub sugestie dotyczące tej lekcji, napisz do nas.

Jeśli chcesz zobaczyć inne zmiany i życzenia dotyczące lekcji, zobacz tutaj - Forum Edukacyjne.

Redukcja ułamków algebraicznych: reguła, przykłady.

Nadal badamy temat przekształcania ułamków algebraicznych. W tym artykule będziemy się zastanawiać skreślenie ułamków algebraicznych... Najpierw zastanówmy się, co oznacza termin „unieważnienie ułamka algebraicznego” i dowiedzmy się, czy ułamek algebraiczny jest zawsze usuwalny. Poniżej znajduje się reguła, która pozwala przeprowadzić tę transformację. Na koniec rozważ rozwiązania typowych przykładów, które pozwolą ci zrozumieć wszystkie subtelności procesu.

Nawigacja po stronach.

Co to znaczy skreślić ułamek algebraiczny?

Studiowanie wspólne ułamki, rozmawialiśmy o ich redukcji. Poprzez redukcję ułamka zwykłego nazwaliśmy dzielenie jego licznika i mianownika przez wspólny czynnik. Na przykład wspólny ułamek 30/54 można skreślić przez 6 (czyli podzielić przez 6 jego licznik i mianownik), co doprowadzi nas do ułamka 5/9.

Przez skreślenie ułamka algebraicznego rozumiemy podobne działanie. Zmniejsz ułamek algebraiczny- oznacza to podzielenie jego licznika i mianownika przez wspólny czynnik. Ale jeśli wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika zwykłego ułamka może być tylko liczba, to wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika ułamka algebraicznego może być wielomian, w szczególności jednomian lub liczba.

Na przykład ułamek algebraiczny można zmniejszyć o 3, co daje ułamek ... Możliwe jest również skrócenie do zmiennej x, co da w wyniku wyrażenie ... Pierwotny ułamek algebraiczny może być skreślony przez jednomian 3 x, jak również przez dowolny z wielomianów x + 2 y, 3 x + 6 y, x 2 + 2 x y lub 3 x 2 + 6 x y.

Ostatecznym celem skreślenia ułamka algebraicznego jest uzyskanie ułamka prostszej postaci, w najlepszym przypadku ułamka nieredukowalnego.

Czy można skreślić dowolny ułamek algebraiczny?

Wiemy, że zwykłe ułamki dzielą się na ułamki anulowalne i nieredukowalne. Ułamki nierozkładalne nie mają współczynników wspólnych innych niż jeden w liczniku i mianowniku, dlatego nie można ich anulować.

Ułamki algebraiczne mogą, ale nie muszą mieć wspólnych czynników dla licznika i mianownika. W obecności wspólnych czynników można zredukować ułamek algebraiczny. Jeśli nie ma wspólnych czynników, nie można uprościć ułamka algebraicznego przez jego zmniejszenie.

W ogólnym przypadku raczej trudno jest określić na podstawie wyglądu ułamka algebraicznego, czy można przeprowadzić jego redukcję. Oczywiście w niektórych przypadkach wspólne czynniki licznika i mianownika są oczywiste. Na przykład wyraźnie widać, że licznik i mianownik ułamka algebraicznego mają wspólny dzielnik równy 3. Łatwo też zauważyć, że ułamek algebraiczny może być skreślony przez x, przez y, lub od razu przez x · y. Ale znacznie częściej wspólny dzielnik licznika i mianownika ułamka algebraicznego nie jest od razu widoczny, a jeszcze częściej po prostu go nie ma. Na przykład możliwe jest anulowanie ułamka przez x − 1, ale ten wspólny czynnik wyraźnie nie występuje w notacji. I ułamek algebraiczny nie można go zmniejszyć, ponieważ jego licznik i mianownik nie mają wspólnych czynników.

Ogólnie rzecz biorąc, kwestia kasowalności ułamka algebraicznego jest bardzo trudna. Czasami łatwiej jest rozwiązać problem, pracując z ułamkiem algebraicznym w jego oryginalnej postaci, niż dowiedzieć się, czy ten ułamek można wcześniej skasować. Ale nadal istnieją przekształcenia, które w niektórych przypadkach pozwalają znaleźć wspólne czynniki licznika i mianownika, jeśli takie istnieją, przy stosunkowo niewielkim wysiłku, lub stwierdzić, że pierwotny ułamek algebraiczny jest nieredukowalny. Informacje te zostaną ujawnione w następnym akapicie.

Reguła anulowania dla ułamków algebraicznych

Informacje z poprzednich akapitów pozwalają w naturalny sposób dostrzec następujące rzeczy reguła anulowania ułamków algebraicznych, który składa się z dwóch kroków:

• po pierwsze, znajdują się wspólne czynniki licznika i mianownika pierwotnego ułamka;
• jeśli istnieją, to redukcja jest przeprowadzana przez te czynniki.

Te kroki zasady dźwięcznej wymagają wyjaśnienia.

Najwygodniejszym sposobem znalezienia wspólnych jest faktoryzacja wielomianów w liczniku i mianowniku oryginalnego ułamka algebraicznego. W takim przypadku wspólne czynniki licznika i mianownika stają się natychmiast widoczne lub staje się jasne, że nie ma wspólnych czynników.

Jeśli nie ma wspólnych czynników, możemy stwierdzić, że ułamek algebraiczny jest nierozkładalny. Jeśli zostaną znalezione wspólne czynniki, to w drugim kroku są one anulowane. Rezultatem jest nowy ułamek prostszej formy.

Reguła anulowania ułamków algebraicznych opiera się na podstawowej własności ułamka algebraicznego, która jest wyrażona przez równość, gdzie a, b i c są pewnymi wielomianami, a b i c są niezerowe. W pierwszym kroku pierwotny ułamek algebraiczny jest redukowany do postaci, z której widoczny staje się wspólny czynnik c, aw drugim kroku przeprowadzana jest redukcja - przejście do ułamka.

Przejdźmy do rozwiązywania przykładów za pomocą tej reguły. Na nich przeanalizujemy wszystkie możliwe niuanse wynikające z rozwinięcia licznika i mianownika ułamka algebraicznego na czynniki i późniejszej redukcji.

Typowe przykłady

Najpierw trzeba powiedzieć o redukcji ułamków algebraicznych, których licznik i mianownik są takie same. Takie ułamki są identycznie równe jednemu na całym ODZ zawartych w nim zmiennych, np.
itp.

Teraz nie zaszkodzi przypomnieć sobie, jak można skreślać zwykłe ułamki - w końcu są to szczególny przypadek ułamków algebraicznych. Liczby naturalne w liczniku i mianowniku zwykłego ułamka są rozkładane na czynniki pierwsze, po czym czynniki wspólne są anulowane (jeśli występują). Na przykład, ... Iloczyn tych samych czynników pierwszych można zapisać w postaci stopni, a przy anulowaniu wykorzystać własność dzielenia stopni o tych samych podstawach. W takim przypadku rozwiązanie wyglądałoby tak: , tutaj podzieliliśmy licznik i mianownik przez wspólny czynnik 2 2 3. Lub, dla większej przejrzystości, na podstawie właściwości mnożenia i dzielenia, rozwiązanie przedstawiane jest w formie.

Według absolutnie podobnych zasad przeprowadza się redukcję ułamków algebraicznych, w których liczniku i mianowniku znajdują się jednomiany o współczynnikach całkowitych.

Zmniejsz ułamek algebraiczny .

Licznik i mianownik oryginalnego ułamka algebraicznego można przedstawić jako iloczyn czynników pierwszych i zmiennych, a następnie zredukować:

Ale bardziej racjonalne jest napisanie rozwiązania w postaci wyrażenia z potęgami:

.

Jeśli chodzi o redukcję ułamków algebraicznych, które mają ułamkowe współczynniki liczbowe w liczniku i mianowniku, możesz zrobić dwie rzeczy: albo oddzielić te współczynniki ułamkowe, albo najpierw pozbyć się współczynników ułamkowych, mnożąc licznik i mianownik przez niektóre Liczba naturalna... Mówiliśmy o ostatniej transformacji w artykule, redukując ułamek algebraiczny do nowego mianownika, można to przeprowadzić ze względu na główną właściwość ułamka algebraicznego. Spójrzmy na to na przykładzie.

Zmniejsz frakcję.

Możesz skrócić ułamek w następujący sposób: .

I można było wstępnie pozbyć się współczynników ułamkowych, mnożąc licznik i mianownik przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników, czyli przez LCM (5, 10) = 10. W tym przypadku mamy .

.

Możesz przejść do ułamków algebraicznych ogólny widok, w którym licznik i mianownik mogą zawierać zarówno liczby i jednomiany, jak i wielomiany.

Podczas anulowania takich ułamków głównym problemem jest to, że wspólny dzielnik licznika i mianownika nie zawsze jest widoczny. Co więcej, nie zawsze istnieje. Aby znaleźć wspólny dzielnik lub upewnić się, że jest on nieobecny, musisz rozłożyć na czynniki licznik i mianownik ułamka algebraicznego.

Zmniejsz ułamek wymierny .

Aby to zrobić, rozkładamy wielomiany w liczniku i mianowniku. Zacznijmy od wyjęcia nawiasów:. Oczywiście wyrażenia w nawiasach można przekształcać za pomocą skróconych wzorów mnożenia: ... Teraz możesz wyraźnie zobaczyć, że możesz zmniejszyć ułamek przez wspólny dzielnik b 2 · (a + 7). Zróbmy to .

Krótkie, jednoznaczne rozwiązanie jest zwykle zapisywane jako łańcuch równości:

.

Czasami wspólne czynniki mogą być ukryte przez czynniki liczbowe. Dlatego przy redukcji ułamków wymiernych wskazane jest umieszczenie współczynników liczbowych przy najwyższych potęgach licznika i mianownika poza nawiasami.

Zmniejsz ułamek , Jeśli to możliwe.

Na pierwszy rzut oka licznik i mianownik nie mają wspólnego czynnika. Spróbujmy jednak dokonać pewnych przekształceń. Najpierw możesz umieścić w nawiasie czynnik x w liczniku: .

Teraz widzimy pewne podobieństwo między wyrażeniem w nawiasach a wyrażeniem w mianowniku ze względu na x 2 · y. Wyjmijmy z nawiasu współczynniki liczbowe przy najwyższych potęgach tych wielomianów:

Po dokonanych przekształceniach widoczny jest wspólny czynnik, którym dokonujemy redukcji. Mamy

.

Kończąc rozmowę o skreślaniu ułamków wymiernych, zauważamy, że sukces w dużej mierze zależy od umiejętności rozkładania na czynniki wielomianów.

www.cleversstudents.ru

Matematyka

Pasek nawigacyjny

Redukcja ułamków algebraicznych

W oparciu o powyższą właściwość możemy uprościć ułamki algebraiczne w taki sam sposób, jak w przypadku ułamków arytmetycznych, poprzez ich skreślenie.

Zmniejszanie ułamków polega na tym, że licznik i mianownik ułamka są dzielone przez tę samą liczbę.

Jeśli ułamek algebraiczny jest jednowyrazowy, to licznik i mianownik są reprezentowane jako iloczyn kilku czynników i od razu widać, które identyczne liczby można podzielić na:

Możemy napisać ten sam ułamek bardziej szczegółowo:. Widzimy, że można kolejno podzielić zarówno licznik, jak i mianownik 4 razy przez a, czyli w końcu każdy z nich podzielić przez 4. W związku z tym ; także itd. Tak więc, jeśli w liczniku i mianowniku są czynniki o różnych stopniach tej samej litery, możesz zmniejszyć ten ułamek do mniejszego stopnia tej litery.

Jeśli ułamek jest wielomianowy, musisz najpierw rozłożyć te wielomiany, jeśli to możliwe, na czynniki, a następnie będzie można zobaczyć, jakie te same czynniki można podzielić na licznik i mianownik.

…. licznik jest łatwo rozkładany na czynniki "według wzoru" - jest to kwadrat różnicy między dwiema liczbami, czyli (x - 3) 2. Mianownik nie pasuje do wzorów i będziesz musiał go rozłożyć metodą stosowaną dla trójmianu kwadratowego: znajdź 2 liczby, tak aby ich suma wynosiła –1 i ich iloczyn = –6, - te liczby to –3 i + 2 ; wtedy x 2 - x - 6 = x 2 - 3x + 2x - 6 = x (x - 3) + 2 (x - 3) = (x - 3) (x + 2).

Popularny:

• Krótkie zasady gry w szachy SZACHOWNICA I NOTACJA Szachy to gra dla dwojga. Jeden gracz (Biały) używa białych pionów, a drugi (czarny) zwykle gra czarnymi pionami. Plansza podzielona jest na 64 małe [...]
• Upraszczanie wyrażeń Właściwości dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia są przydatne, ponieważ umożliwiają konwersję sum i iloczynów na wyrażenia przydatne do obliczeń. Dowiedzmy się, jak wykorzystać te właściwości, aby uprościć [...]
• Inercja Dynamiki Reguł jest gałęzią mechaniki, w której bada się ruch ciał pod wpływem przyłożonych do nich sił. W biomechanice interakcja między ciałem ludzkim a środowiskiem zewnętrznym, między ogniwami ciała, [...]
• Litery e (e), o po syczeniu u podstawy słowa. Reguła i przykłady Wybierzemy pisownię liter „e” (ё) lub „o” po syczących słowach, stosując odpowiednią regułę pisowni rosyjskiej. Zobaczmy, jak [...]
• Drgania mechaniczne i elektromagnetyczne 4. Drgania i fale 1. Drgania harmoniczne o wartości s opisuje równanie s = 0,02 cos (6πt + π / 3), m. Wyznacz: 1) amplitudę drgań; 2) częstotliwość cykliczna; 3) częstotliwość [...]
• Prawo rozcieńczania Ostwalda 4.6 Prawo rozcieńczania Ostwalda Stopień dysocjacji (αdis) i stała dysocjacji (Kdis) słabego elektrolitu są ilościowo powiązane. Wyprowadźmy równanie tego związku na przykładzie słabego [...]
• Brzmienie i treść rozporządzenia Ministerstwa Obrony Federacji Rosyjskiej nr 365 z 2002 r. Niniejsze rozporządzenie zawiera informacje o prawie do dodatkowych dni urlopu, w zależności od różnych warunków i aspektów służby. Ten rozkaz milczy [...]
• Prawo do nakładania sankcji dyscyplinarnych Rozdział 3. SANKCJE DYSCYPLINARNE Prawo dowódców (szefów) do nakładania sankcji dyscyplinarnych na podległych im chorążów i chorążych 63. Dowódca plutonu (grupy) i [...]

W tym artykule szczegółowo przeanalizujemy, jak redukcja ułamków... Najpierw omówmy to, co nazywa się redukcją ułamków. Następnie porozmawiajmy o zredukowaniu ułamka, który można anulować, do postaci nieredukowalnej. Następnie otrzymamy regułę redukcji ułamków i na koniec rozważymy przykłady zastosowania tej reguły.

Nawigacja po stronach.

Co to znaczy anulować ułamek?

Wiemy, że zwykłe ułamki dzielą się na ułamki anulowalne i nieredukowalne. Z nazw można się domyślać, że ułamki anulowalne można zmniejszyć, ale nieredukowalne nie.

Co to znaczy anulować ułamek? Zmniejsz ułamek- oznacza to podzielenie jego licznika i mianownika na dodatni i niejeden. Oczywiste jest, że w wyniku redukcji ułamka otrzymuje się nowy ułamek z mniejszym licznikiem i mianownikiem, a dzięki podstawowej właściwości ułamka uzyskany ułamek jest równy pierwotnemu.

Na przykład zmniejszmy wspólny ułamek 8/24, dzieląc jego licznik i mianownik przez 2. Innymi słowy, możemy zmniejszyć ułamek 8/24 o 2. Ponieważ 8:2 = 4 i 24:2 = 12, wynikiem tej redukcji jest ułamek 4/12, który jest równy pierwotnemu ułamkowi 8/24 (patrz ułamki równe i nierówne). W rezultacie mamy.

Redukcja zwykłych ułamków do postaci nieredukowalnej

Zwykle ostatecznym celem redukcji ułamka jest uzyskanie ułamka nieredukowalnego, który jest równy oryginalnemu ułamkowi skasowanemu. Cel ten można osiągnąć poprzez zmniejszenie oryginalnego ułamka usuwalnego o jego licznik i mianownik. W wyniku takiej redukcji zawsze uzyskuje się frakcję nieredukowalną. Rzeczywiście, ułamek jest nieredukowalna, ponieważ wiadomo z niej, że i -. Załóżmy tutaj, że największym wspólnym dzielnikiem licznika i mianownika ułamka jest największa liczba, o jaką ten ułamek można skreślić.

Więc, redukcja zwykłego ułamka do postaci nieredukowalnej polega na podzieleniu licznika i mianownika pierwotnego ułamka usuwalnego przez ich NWD.

Spójrzmy na przykład, dla którego wracamy do ułamka 8/24 i zmniejszamy go o największy wspólny dzielnik 8 i 24, czyli 8. Ponieważ 8:8 = 1 i 24:8 = 3, dochodzimy do ułamka nieredukowalnego 1/3. Więc, .

Zauważ, że wyrażenie „zmniejsz ułamek” często oznacza zredukowanie oryginalnego ułamka do postaci nieredukowalnej. Innymi słowy, dzielenie licznika i mianownika przez ich największy wspólny dzielnik (a nie przez żaden z ich wspólnych dzielników) jest bardzo często nazywany redukcją ułamka.

Jak możesz skrócić ułamek? Reguła i przykłady redukcji ułamków

Pozostaje tylko przeanalizować regułę redukcji ułamków, która wyjaśnia, jak zredukować dany ułamek.

Zasada redukcji ułamków składa się z dwóch kroków:

• po pierwsze, znajduje się NWD licznika i mianownika ułamka;
• po drugie, licznik i mianownik ułamka są dzielone przez ich NWD, co daje nieredukowalny ułamek równy oryginałowi.

Przeanalizujmy przykład redukcji frakcji zgodnie z podaną zasadą.

Przykład.

Zmniejsz frakcję 182/195.

Decyzja.

Wykonajmy obydwa kroki, nakazane regułą redukcji ułamków.

Najpierw znajdujemy GCD (182, 195). Najwygodniej jest użyć algorytmu Euklidesa (patrz): 195 = 182 1 + 13, 182 = 13 14, czyli GCD (182, 195) = 13.

Teraz dzielimy licznik i mianownik ułamka 182/195 przez 13 i otrzymujemy ułamek nieredukowalny 14/15, który jest równy ułamkowi pierwotnemu. To kończy redukcję frakcji.

Krótko mówiąc, rozwiązanie można zapisać w następujący sposób:.

Odpowiedź:

Na tym możemy zakończyć redukcję ułamków. Ale ze względu na kompletność rozważ jeszcze dwa sposoby zmniejszenia ułamków, które są zwykle używane w łagodnych przypadkach.

Czasami licznik i mianownik ułamka skreślonego jest łatwy. Zmniejszenie ułamka w tym przypadku jest bardzo proste: wystarczy usunąć wszystkie wspólne czynniki z licznika i mianownika.

Warto zauważyć, że metoda ta wprost wynika z reguły redukcji ułamków, ponieważ iloczyn wszystkich wspólnych czynników pierwszych licznika i mianownika jest równy ich największemu wspólnemu dzielnikowi.

Przyjrzyjmy się przykładowemu rozwiązaniu.

Przykład.

Zmniejsz frakcję 360/2 940.

Decyzja.

Rozszerzmy licznik i mianownik na czynniki pierwsze: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 i 2 940 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7. W ten sposób, .

Teraz pozbywamy się wspólnych czynników w liczniku i mianowniku, dla wygody po prostu je wykreślamy: .

Na koniec mnożymy pozostałe czynniki: i redukcja ułamka jest zakończona.

Oto podsumowanie rozwiązania: .

Odpowiedź:

Rozważ inny sposób zmniejszenia ułamka, który polega na redukcji sekwencyjnej. Tutaj, na każdym kroku, ułamek jest skreślony przez jakiś wspólny dzielnik licznika i mianownika, który jest albo oczywisty, albo łatwy do ustalenia za pomocą

Ten artykuł kontynuuje temat przekształcania ułamków algebraicznych: rozważ takie działanie, jak anulowanie ułamków algebraicznych. Zdefiniujemy sam termin, sformułujemy regułę redukcji i przeanalizujemy przykłady praktyczne.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Znaczenie redukcji ułamków algebraicznych

W materiałach o zwykłej frakcji rozważaliśmy jej redukcję. Zdefiniowaliśmy redukcję zwykłego ułamka jako dzielenie jego licznika i mianownika przez wspólny czynnik.

Podobnym działaniem jest redukcja ułamka algebraicznego.

Definicja 1

Redukcja ułamka algebraicznego Jest podziałem jego licznika i mianownika przez wspólny czynnik. Ponadto, w przeciwieństwie do redukcji zwykłego ułamka (tylko liczba może być wspólnym mianownikiem), wielomian, w szczególności jednomian lub liczba, może służyć jako wspólny czynnik licznika i mianownika ułamka algebraicznego.

Na przykład ułamek algebraiczny 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 można zmniejszyć o 3, w wyniku czego otrzymujemy: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2. Możemy skrócić ten sam ułamek przez zmienną x, a to da nam wyrażenie 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2. Możliwe jest również zmniejszenie podanego ułamka o jednomian 3x lub którykolwiek z wielomianów x + 2 lata, 3 x + 6 r, x 2 + 2 x r, lub 3 x 2 + 6 x r.

Ostatecznym celem redukcji ułamka algebraicznego jest ułamek prostszej formy, w najlepszym razie ułamek nieredukowalny.

Czy wszystkie ułamki algebraiczne można anulować?

Ponownie, z materiałów o zwykłych ułamkach wiemy, że istnieją ułamki, które można anulować i nieredukować. Ułamki nieusuwalne to ułamki, które nie mają wspólnego mianownika i licznika czynników innych niż 1.

W przypadku ułamków algebraicznych wszystko jest takie samo: mogą mieć wspólne czynniki licznika i mianownika lub nie. Obecność wspólnych czynników pozwala uprościć oryginalną frakcję poprzez zmniejszenie. Gdy nie ma wspólnych czynników, nie można zoptymalizować danej frakcji metodą redukcji.

W ogólnych przypadkach dla danego typu ułamka raczej trudno jest zrozumieć, czy można go zmniejszyć. Oczywiście w niektórych przypadkach obecność wspólnego czynnika między licznikiem a mianownikiem jest oczywista. Na przykład we ułamku algebraicznym 3 x 2 3 y jest całkiem jasne, że dzielnik wspólny wynosi 3.

We ułamku - x · y 5 · x · y · z 3 od razu rozumiemy, że można go zmniejszyć o x lub y, lub o x · y. A jednak przykłady ułamków algebraicznych są znacznie częstsze, gdy wspólny dzielnik licznika i mianownika nie jest tak łatwo widoczny, a jeszcze częściej po prostu go nie ma.

Na przykład możemy anulować ułamek x 3 - 1 x 2 - 1 przez x - 1, podczas gdy w rekordzie nie ma określonego wspólnego dzielnika. Ale ułamek x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 · x + 4 nie może być sprowadzony do akcji, ponieważ licznik i mianownik nie mają wspólnego dzielnika.

Zatem kwestia wyjaśnienia skreślalności ułamka algebraicznego nie jest taka prosta i często łatwiej jest pracować z ułamkiem danej postaci niż próbować dowiedzieć się, czy można go skasować. W tym przypadku zachodzą takie przekształcenia, które w poszczególnych przypadkach pozwalają na wyznaczenie wspólnego współczynnika licznika i mianownika lub stwierdzenie, że ułamek jest nieredukowalny. Przyjrzyjmy się szczegółowo tej kwestii w następnym akapicie artykułu.

Reguła anulowania dla ułamków algebraicznych

Reguła anulowania dla ułamków algebraicznych składa się z dwóch następujących po sobie czynności:

• znalezienie wspólnych czynników licznika i mianownika;
• w przypadku znalezienia takiego, realizacja bezpośredniej akcji redukcji frakcji.

Najwygodniejszą metodą znajdowania wspólnych mianowników jest rozłożenie wielomianów na czynniki w liczniku i mianowniku danego ułamka algebraicznego. Pozwala to natychmiast zwizualizować obecność lub brak wspólnych czynników.

Sama czynność anulowania ułamka algebraicznego opiera się na podstawowej własności ułamka algebraicznego, wyrażonej przez niezdefiniowaną równość, gdzie a, b, c są pewnymi wielomianami, a b i c są niezerowe. W pierwszym kroku ułamek sprowadza się do postaci a c b c, w której od razu zauważamy dzielnik wspólny c. Drugim krokiem jest wykonanie redukcji, czyli przejście do ułamka postaci a b.

Typowe przykłady

Mimo pewnej oczywistości wyjaśnijmy szczególny przypadek, w którym licznik i mianownik ułamka algebraicznego są sobie równe. Takie ułamki są identycznie równe 1 na całym ODZ zmiennych tego ułamka:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 lata 1 2 x - x 2 lata;

Ponieważ zwykłe ułamki są szczególnym przypadkiem ułamków algebraicznych, pamiętamy, jak można je skreślić. Liczby naturalne zapisane w liczniku i mianowniku są rozkładane na czynniki pierwsze, a następnie czynniki wspólne są anulowane (jeśli występują).

Na przykład 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Iloczyn prostych równych współczynników można zapisać jako stopnie, a w procesie zmniejszania ułamka użyj właściwości dzielenia stopni o tych samych podstawach. Wtedy powyższe rozwiązanie wyglądałoby tak:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(licznik i mianownik są dzielone przez wspólny czynnik 2 2 3). Lub dla jasności, opierając się na właściwościach mnożenia i dzielenia, podajemy rozwiązanie w postaci:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analogicznie przeprowadza się redukcję ułamków algebraicznych, które mają jednomiany o współczynnikach całkowitych w liczniku i mianowniku.

Przykład 1

Podano ułamek algebraiczny - 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z. Konieczne jest jego zmniejszenie.

Decyzja

Można zapisać licznik i mianownik danego ułamka jako iloczyn czynników pierwszych i zmiennych, a następnie przeprowadzić redukcję:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c c z 2 3 a a b b c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Jednak bardziej racjonalnym sposobem byłoby napisanie rozwiązania w postaci wyrażenia z potęgami:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 cc 7 zz = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 za 3 2 c 6 = - 9 za 3 2 c 6.

Odpowiedź:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Gdy w liczniku i mianowniku ułamka algebraicznego występują ułamkowe współczynniki liczbowe, istnieją dwa sposoby dalszych działań: albo oddziel te ułamkowe współczynniki, albo najpierw pozbądź się ułamkowych współczynników, mnożąc licznik i mianownik przez jakąś liczbę naturalną. Ostatnia transformacja odbywa się na mocy podstawowej własności ułamka algebraicznego (możesz o tym przeczytać w artykule „Sprowadzanie ułamka algebraicznego do nowego mianownika”).

Przykład 2

Określony ułamek to 2 5 x 0,3 x 3. Konieczne jest jego zmniejszenie.

Decyzja

W ten sposób można zredukować ułamek:

2 5 x 0,3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Spróbujmy rozwiązać problem inaczej, pozbywając się wcześniej współczynników ułamkowych - mnożymy licznik i mianownik przez najmniejszą wspólną wielokrotność mianowników tych współczynników, tj. na LCM (5, 10) = 10. Następnie otrzymujemy:

2 5 x 0,3 x 3 = 10 2 5 x 10 0,3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Odpowiedź: 2 5 x 0,3 x 3 = 4 3 x 2

Kiedy usuniemy ogólne ułamki algebraiczne, w których licznikami i mianownikami mogą być zarówno jednomiany, jak i wielomiany, pojawia się problem, gdy czynnik wspólny nie zawsze jest od razu widoczny. A co więcej, po prostu nie istnieje. Następnie, aby określić dzielnik wspólny lub ustalić fakt jego braku, następuje faktoryzacja licznika i mianownika ułamka algebraicznego.

Przykład 3

Ułamek wymierny to 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3. Konieczne jest jego zmniejszenie.

Decyzja

Rozłóżmy na czynniki wielomiany w liczniku i mianowniku. Wykonajmy nawiasy:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Widzimy, że wyrażenie w nawiasach można przekonwertować za pomocą skróconych formuł mnożenia:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Widać wyraźnie, że można zmniejszyć ułamek o wspólny czynnik b 2 (a + 7)... Zróbmy redukcję:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Napiszmy krótkie rozwiązanie bez wyjaśnienia jako łańcuch równości:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Odpowiedź: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b.

Zdarza się, że wspólne czynniki są ukryte pod współczynnikami liczbowymi. Następnie, przy redukcji ułamków, optymalne jest usunięcie współczynników liczbowych o najwyższych potęgach licznika i mianownika poza nawiasami.

Przykład 4

Otrzymasz ułamek algebraiczny 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2. Jeśli to możliwe, konieczne jest przeprowadzenie jego redukcji.

Decyzja

Na pierwszy rzut oka licznik i mianownik nie istnieją wspólny mianownik... Spróbujmy jednak przeliczyć podany ułamek. Wyjmijmy czynnik x z licznika poza nawiasami:

1 5 x - 2 7 x 3 rok 5 x 2 rok - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 rok 5 x 2 rok - 3 1 2

Teraz widać pewne podobieństwo między wyrażeniem w nawiasie a wyrażeniem w mianowniku ze względu na x 2 y . Wyjmijmy z nawiasu współczynniki liczbowe przy najwyższych potęgach tych wielomianów:

x 1 5 - 2 7 x 2 r 5 x 2 r - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 r 5 x 2 r - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 lata 5 x 2 lata - 7 10

Teraz wspólny czynnik staje się widoczny, przeprowadzamy redukcję:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Odpowiedź: 1 5 x - 2 7 x 3 lat 5 x 2 lat - 3 1 2 = - 2 35 x.

Podkreślmy, że umiejętność redukowania ułamków wymiernych zależy od umiejętności rozkładania na czynniki wielomianów.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter

Na pierwszy rzut oka ułamki algebraiczne wydają się bardzo złożone, a niedoświadczony uczeń może pomyśleć, że nic nie można z nimi zrobić. Mieszanina zmiennych, liczb, a nawet stopni budzi strach. Jednak te same zasady są stosowane do skracania ułamków regularnych (np. 15/25) i algebraicznych.

Kroki

Ułamki redukcyjne

Sprawdź kroki dla prostych ułamków. Działania na ułamkach zwykłych i algebraicznych są podobne. Na przykład weźmy ułamek 15/35. Aby uprościć ten ułamek, należy: znajdź wspólny dzielnik... Obie liczby są podzielne przez pięć, więc możemy wyróżnić 5 zarówno w liczniku, jak i mianowniku:

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Teraz możesz zmniejszyć wspólne czynniki, czyli skreślić 5 w liczniku i mianowniku. W rezultacie otrzymujemy uproszczony ułamek 3/7 ... W wyrażenia algebraiczne wspólne czynniki są alokowane w taki sam sposób, jak w normalnych czynnikach. W poprzednim przykładzie byliśmy w stanie łatwo odróżnić 5 z 15 - ta sama zasada dotyczy bardziej złożonych wyrażeń, takich jak 15x - 5. Znajdź wspólny dzielnik. W tym przypadku będzie to 5, ponieważ oba wyrazy (15x i -5) są podzielne przez 5. Tak jak poprzednio, wybierz wspólny dzielnik i przenieś go w lewo.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Aby sprawdzić, czy wszystko się zgadza, wystarczy pomnożyć wyrażenie w nawiasach przez 5 - wynikiem będą te same liczby, które były na początku. Członków złożonych można wybierać w taki sam sposób, jak członków prostych. W przypadku ułamków algebraicznych obowiązują te same zasady, co w przypadku zwykłych. To najprostszy sposób na zmniejszenie ułamka. Rozważ następujący ułamek:

(x + 2) (x-3)(x + 2) (x + 10)

Zwróć uwagę, że zarówno licznik (na górze), jak i mianownik (na dole) zawierają wyraz (x + 2), więc można go usunąć w taki sam sposób, jak wspólny dzielnik 5 w ułamku 15/35:

(x + 2) (x-3) → (x-3)(x + 2) (x + 10) → (x + 10)

W rezultacie otrzymujemy uproszczone wyrażenie: (x-3) / (x + 10)

Redukcja ułamków algebraicznych

Znajdź wspólny dzielnik w liczniku, czyli na górze ułamka. Pierwszym krokiem przy kasowaniu ułamka algebraicznego jest uproszczenie obu jego części. Zacznij od licznika i spróbuj rozszerzyć go na jak najwięcej czynników. Rozważ następujący ułamek w tej sekcji:

9x-3 15x + 6

Zacznijmy od licznika: 9x - 3. Dla 9x i -3 wspólny dzielnik to 3. Wyjmij 3 z nawiasów, jak to się robi ze zwykłymi liczbami: 3 * (3x-1). W wyniku tego przekształcenia otrzymamy następujący ułamek:

3 (3x-1) 15x + 6

Znajdź wspólny czynnik w liczniku. Kontynuujmy powyższy przykład i wypiszmy mianownik: 15x + 6. Tak jak poprzednio, znajdź liczbę, przez którą obie części są podzielne. A w tym przypadku dzielnik wspólny wynosi 3, więc możesz napisać: 3 * (5x +2). Zapiszmy ułamek w następujący sposób:

3 (3x-1) 3 (5x + 2)

Zmniejsz identycznych członków. Na tym etapie możesz uprościć ułamek. Anuluj identyczne warunki w liczniku i mianowniku. W naszym przykładzie ta liczba to 3.

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x + 2) → (5x + 2)

Ustal, że ułamek ma najprostszą formę. Ułamek jest całkowicie uproszczony, gdy w liczniku i mianowniku nie ma wspólnych czynników. Zauważ, że nie możesz skreślić tych wyrazów, które znajdują się w nawiasach - w podanym przykładzie nie ma możliwości oddzielenia x od 3x i 5x, ponieważ pełne wyrazy to (3x -1) i (5x + 2). Tak więc ułamek wymyka się dalszym uproszczeniu, a ostateczna odpowiedź wygląda tak:

(3x-1)(5x + 2)

Ćwicz samodzielnie cięcie ułamków. Najlepszym sposobem na poznanie metody jest niezależna decyzja zadania. Prawidłowe odpowiedzi podano poniżej przykładów.

4 (x + 2) (x-13)(4x + 8)

Odpowiedź:(x = 13)

2x 2 -x 5x

Odpowiedź:(2x-1) / 5

Specjalne sztuczki

Przenieś znak minus z ułamka. Załóżmy, że podano następujący ułamek:

3 (x-4) 5 (4-x)

Zauważ, że (x-4) i (4-x) są „prawie” identyczne, ale nie można ich skrócić od razu, ponieważ są „odwrócone”. Jednak (x - 4) można zapisać jako -1 * (4 - x), tak jak (4 + 2x) można zapisać jako 2 * (2 + x). Nazywa się to „odwróceniem znaku”.

-1*3 (4-x) 5 (4-x)

Teraz możesz anulować te same warunki (4-x):

-1*3 (4-x) 5 (4-x)

Otrzymujemy więc ostateczną odpowiedź: -3/5 ... Naucz się rozpoznawać różnicę w kwadratach. Różnica kwadratów polega na odjęciu kwadratu jednej liczby od kwadratu innej liczby, tak jak w wyrażeniu (a 2 - b 2). Różnicę pełnych kwadratów można zawsze rozłożyć na dwie części - sumę i różnicę odpowiadających pierwiastki kwadratowe... Wtedy wyrażenie przyjmie następującą postać:

A 2 - b 2 = (a + b) (a-b)

Ta technika jest bardzo przydatna podczas wyszukiwania wspólnych terminów w ułamkach algebraicznych.

• Sprawdź, czy poprawnie podzieliłeś to lub tamto wyrażenie. Aby to zrobić, pomnóż czynniki - wynik powinien być tym samym wyrażeniem.
• Aby całkowicie uprościć ułamek, zawsze wybieraj największe czynniki.

Przedmiot:Rozkładanie wielomianów na czynniki

Lekcja:Ułamki algebraiczne. Redukcja ułamków algebraicznych w bardziej złożonych przypadkach

Przypomnijmy, że algebraiczny jest stosunkiem wielomianów:

W poprzedniej lekcji narysowaliśmy analogię między ułamkiem algebraicznym a ułamkiem arytmetycznym. Przypomnijmy:

Wynik rozłożenia na czynniki licznika i mianownika pewnego ułamka;

W szczególności był to ułamek

Skróćmy podane wyrażenie:

Zamieniamy liczby na zmienne x,y,z, otrzymujemy:

Przypomnij sobie, że głównym zadaniem podczas pracy z ułamkami algebraicznymi jest wydzielenie licznika i mianownika, a jeśli stanie się to możliwe, zmniejszenie współczynników wspólnych.

Spójrzmy na kilka przykładów:

Przekształcamy licznik używając wzoru na różnicę kwadratów:

Zmniejsz wynikowy wspólny czynnik:

W wyniku podzielenia dwumianów uzyskano dwumian, który wypisaliśmy zgodnie ze wzorem na różnicę sześcianów i uzyskaliśmy jego faktoryzację;

Rozkład licznika i mianownika. Mianownik wyraźnie zawiera wzór na kwadrat sumy, a w liczniku pod kwadratem jest różnica kwadratów:

Otwórzmy kwadrat w liczniku, w tym celu podniesiemy do kwadratu każdy czynnik:

Zmniejsz wspólny czynnik:

Przykład 3 - uprość ułamek i oblicz jego wartość, gdy:

Rozkład licznika i mianownika:

Zmniejsz wspólny czynnik:

Zastąp wartość i oblicz wartość ułamka:

Przykład 4 - uprość ułamek i oblicz jego wartość, gdy:

Do licznika stosujemy wzór na różnicę kwadratów, a do mianownika wzór na kwadrat sumy:

Zastąp wartość i oblicz:

Przykład 5 - faktoryzacja:

Zastosujmy metodę grupowania, aby rozłożyć licznik i mianownik:

Zmniejsz wspólny czynnik:

Wynik: w tej lekcji przypomnieliśmy sobie, czym jest ułamek algebraiczny i jakie są podstawy pracy z nim. Nauczyliśmy się rozwiązywać złożone przykłady i wzmocniliśmy umiejętności rozwiązywania problemów z ułamkami algebraicznymi.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. i inne Algebra 7. Wyd. M.: Edukacja. 2010 r.

2. Merzlyak A.G., Polonskiy VB, Yakir M.S. Algebra 7.M .: VENTANA-GRAF

3. Kolagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.Ye. i inne Algebra 7. M.: Oświecenie. 2006 rok

1. Cała matematyka elementarna ().

Zadanie 1: Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. i inne Algebra 7, nr 446, art.152;

Zadanie 2: Kolagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. i inne Algebra 7, nr 447, art.152;

Zadanie 3: Kolagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. i inne Algebra 7, nr 448, art.152;