Mnożąc liczby naturalne i jego właściwości. Praca (matematyka)
Jeśli sala koncertowa jest oświetlona 3 żyrandolami 25 żarówek każda, a następnie żarówki w tych żyrandole będą wynosić 25 + 25 + 25, czyli 75.
Ilość, w której wszystkie składniki są równe się nawzajem, są zapisywane w krótkim czasie: zamiast 25 + 25 + 25 Napisz 25 3. Tak, 25 3 \u003d 75 (fig. 43). Numer 75 nazywa się praca liczby 25 i 3, a cyfry 25 i 3 zwane mnożniki.
Figa. 43. Produkt liczb 25 i 3
Pomnożyć mnożyć M do numeru Naturalnego N ma znalezienie kwoty N za warunkami, z których każdy jest M.
Wyrażenie M N i wartość tego wyrażenia jest nazywana praca liczbym.in.. Liczby, które zmieniają połączenie mnożniki. Te. M i n - mnożniki.
Prace 7 4 i 4 7 są równe tej samej liczbie 28 (fig. 44).
Figa. 44. Produkcja 7 4 \u003d 4 7
1. Produkt dwóch liczb nie zmienia się, gdy bluzy mnożnicze.
ruch
zA. × b. = b. × zA. .
Produkuje (5 3) 2 \u003d 15 2 i 5 (3 2) \u003d 5 6 mają taką samą wartość 30. Tak, 5 (3 2) \u003d (5 3) 2 (fig. 45).
Figa. 45. Praca (5 3) 2 \u003d 5 (3 2)
2. Aby pomnożyć numer w pracy dwóch numerów, możesz najpierw pomnożyć go na pierwszym mnożniku, a następnie wynikowy produkt jest pomnożony przez drugiego czynnika.
Ta właściwość mnożenia jest nazywana Łączący. Z pomocą liter jest tak napisany:
ale (b. c) \u003d (ib. z).
Suma n w terminach, z których każdy ma 1, równy n. Dlatego równość 1 n \u003d n jest prawdziwa.
Suma n o terminach, z których każdy ma zero, wynosi zero. Dlatego równość wynosi 0 n \u003d 0.
Aby program mnożenia był poprawny, gdy n \u003d 1 i n \u003d 0, uzgodniono, że m 1 \u003d m i m 0 = 0.
Przed mnożeniami napisami, znak mnożenia zwykle: zamiast 8 h. Napisz 8. h., zamiast aleb. pisać aleb..
Opuść znak mnożenia i przed nawiasami. Na przykład zamiast 2 ( a +.b.) Napisz 2. (A +.b.) , i zamiast ( h. + 2) (y + 3) zapis (x + 2) (y + 3).
Zamiast ab) C Napisz aBC.
Gdy w nagraniach nie ma nawiasów, rozmnażanie jest wykonywane w kolejności od lewej do prawej.
Pracuje, dzwoniąc do każdego mnożnika w przypadku rodzicielskiego. Na przykład:
1) 175 60 - Praca sto siedemdziesiąt pięć i sześćdziesiąt;
2) 80 (h. + 1 7) - Produkcja R.P. R.p.
osiemdziesiąt i ilość x i siedemnaście
Rozwiążemy zadanie.
Ile trzech cyfr (rys. 46) można wykonać z liczb 2, 4, 6, 8, jeśli liczby w rekordach liczb nie są powtarzane?
Decyzja.
Pierwsza liczba liczb może być dowolna z czterynumery danych, drugi - każdy z trzyinni i trzeci - którykolwiek z dwapozostały. Wyszło na to, że:
Figa. 46. \u200b\u200bDo problemu kompilacji trzech cyfrowych liczb
Łącznie tych liczb może wynosić 4 3 2 \u003d 24 trzy cyfry.
Rozwiążemy zadanie.
Zarząd spółki obejmuje 5 osób. Z ich składu, deska powinna wybrać prezydenta i wiceprezesa. Ile tego można zrobić?
Decyzja.
Prezes Spółki można wybrać jednego z 5 osób:
Prezydent:
Po wybraniu prezydenta wiceprzewodniczący może wybrać któryś z czterech pozostałych członków Zarządu (Rys. 47):
|
Figa. 47. Do problemu wyborów
Więc możesz wybrać prezydenta z pięć sposobów, a dla każdego przewodniczącego, cztery sposoby, w jakie możesz wybrać wiceprezes. W związku z tym, Łączna Sposoby wyboru prezydenta i wiceprezesa firmy wynosi: 5 4 \u003d 20 (patrz rys. 47).
Nadal będziemy zadaniem.
Z wioski Anikseevo, cztery drogi prowadzone są we wsi Bolsharo, a trzy drogi we wsi Vinogradov - Trzy drogi (Rys. 48). Ile można dojechać z Anikeeva w Vinogradowie przez wioskę Bolovo?
Figa. 48. Do zadania dróg
Decyzja.
Jeśli dostaniesz pierwszą drogę z A w B, są trzy sposoby kontynuowania ścieżki (rys. 49).
Figa. 49. Opcje ścieżki.
W ten sam sposób, otrzymujemy trzy sposoby, aby kontynuować drogę, zaczynając dostać się do drugiego i 3, i na czwartej drodze. Okazuje się, że wynosi 4 3 \u003d 12 sposobów, aby uzyskać z Anikeeva w Vinogradowie.
Decydujemy o innym zadaniu.
Rodzina składająca się z babci, taty, mama, córek i syna, przedstawiła 5 różnych kubków. Ile sposobów można podzielić przez kubki między członkami rodziny?
Decyzja. Na pierwszym członku rodziny (na przykład babcie) Istnieje 5 opcji wyboru, następujące (niech będzie tata) pozostaje 4 opcje. Następny (na przykład mama) wybierze od 3 szklanek, następujących - z tych dwóch, tym ostatni otrzymuje jeden pozostały kubek. Pokazujemy te metody na diagramie (rys. 50).
Figa. 50. Schemat do rozwiązania problemu
Otrzymali, że każdy wybór filiżanki babci odpowiada czterema możliwym wyborze tato, tj. Łącznie 5 4 sposoby. Po tym, jak tata wybrała filiżankę, mama ma trzy wybory, córka ma dwa, syn jest jednym, tj. Łącznie 3 2 1 sposoby. W końcu dostaliśmy to do rozwiązania problemu, należy znaleźć produkt 5 4 3 2 1.
Należy pamiętać, że dostaliśmy produkt wszystkich numerów naturalnych od 1 do 5. Takie prace są zapisane w skrócie:
5 4 3 2 1 \u003d 5! (Przeczytaj: "Five Factorial").
Numery czynów - Produkt wszystkich numerów naturalnych od 1 do tego numeru.
Więc odpowiedź brzmi: 5! \u003d 120, tj. Kubki między członkami rodziny mogą być dystrybuowane za dwadzieścia sposobów.
W tym artykule zajmiemy się tym, jak mnożenie liczb całkowitych. Najpierw wprowadzamy warunki i notacji, a także dowiedz się, że znaczenie mnożenia dwóch liczb całkowitych. Następnie uzyskujemy zasady mnożenia dwóch dodatnich, całych negatywów i liczb całkowitych różne znaki. W takim przypadku damy przykłady szczegółowe wyjaśnienie decyzji o rozwiązaniu. Podnosimy również przypadki mnożenia liczb całkowitych, gdy jeden z mnożników jest równa jednej lub zero. Następnie nauczymy się sprawdzać wynikowy wynik mnożenia. I wreszcie porozmawiajmy o mnożenia trzech, czterech i więcej całkowitych liczb.
Strona nawigacyjna.
Warunki i notacja
Aby opisać mnożenie liczb całkowitych, użyjemy takich samych warunków, z którymi opisaliśmy mnożenie liczb naturalnych. Przywołaj je.
Nazywane są wielokrotne numery całkowite mnożniki. Wynik mnożenia jest nazywany praca. Mnożenie działania jest oznaczone znakiem mnożącego typ "·". W niektórych źródłach możesz spełnić wyznaczenie mnożenia przez znaki "*" lub "×".
Mnożące liczby całkowite A, B i wynik ich mnożenia C są dogodnie zarejestrowane przy użyciu równości formularza A · B \u003d C. W tym rekordzie liczba całkowita A jest pierwszym czynnikiem, integer B - drugi czynnik, a liczba C jest pracą. Gatunek A · B będzie również nazywany pracą, jak również wartości tego ekspresji C.
Uruchom, zauważamy, że produkt dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą.
Znaczenie mnożących liczb całkowitych
Mnożąc całe liczby dodatnie
Całe dodatnie liczby są liczbami naturalnymi mnożąc całe liczby dodatnie Jest przeprowadzany zgodnie ze wszystkimi zasadami mnożenia liczb naturalnych. Jasne jest, że w wyniku pomnożenia dwóch liczb dodatnich liczb całkowitych zostanie uzyskany całą liczbę dodatnią (liczba naturalna). Rozważ kilka przykładów.
Przykład.
Jaki jest produkt całej liczby dodatnich 127 i 5?
Decyzja.
Pierwszy czynnik 107 będzie prezentował w postaci suma wyładowczych, czyli w postaci 100 + 20 + 7. Następnie używamy zasady mnożenia liczb dla tego numeru: 127 · 5 \u003d (100 + 20 + 7) · 5 \u003d 100 · 5 + 20 · 5 + 7 · 5. Pozostaje tylko po zakończeniu obliczeń: 100 · 5 + 20 · 5 + 7 · 5 \u003d 500 + 100 + 35 \u003d 600 + 35 \u003d 635.
Zatem produkt tych liczb dodatnich liczb całkowitych 127 i 5 wynosi 635.
Odpowiedź:
127 · 5 \u003d 635.
Do mnożenia wielowartościowych liczb dodatnich liczb całkowitych wygodnie jest użyć metody mnożenia za pomocą kolumny.
Przykład.
Pomnóż trzycyfrowy numer dodatni liczby całkowitej 712 na dwucyfrowy numer liczby całkowitej 92.
Decyzja.
Wykonaj mnożenie danych liczb dodatnich liczb całkowitych w kolumnie: 
Odpowiedź:
712 · 92 \u003d 65 504.
Zasada mnożenia liczb całkowitych z różnymi znakami, przykładami
Aby sformułować regułę mnożenia liczb całkowitych z różnymi znakami pomogą nam z poniższym przykładem.
Obliczamy produkt całej liczby ujemnej -5 i całej liczby dodatnich 3 na podstawie znaczenia mnożenia. Więc (-5) · 3 \u003d (- 5) + (- 5) + (- 5) \u003d - 15. Aby zachować ważność właściwości mnożenia, należy wykonać równość (-5) · 3 \u003d 3 · (-5). Oznacza to, że produkt 3 · (-5) jest również równy -15. Łatwo jest zobaczyć, że -15 jest równy produktowi początkowe modułów mnożnikowych, z których wynika, że \u200b\u200bprodukt początkowszych liczb całkowitych o różnych objawach jest równy produktowi początkowe moduły mnożnikowe wykonane znakiem minus.
Więc mamy zasada mnożenia liczb całkowitych o różnych znakach: Aby pomnożyć dwa liczby całkowite z różnymi znakami, musisz pomnożyć moduły tych numerów i umieścić znak minus przed otrzymanym numerem.
Z zasady wyczucia można stwierdzić, że produkt całkowitych o różnych znakach jest zawsze całą liczbą ujemną. Rzeczywiście, w wyniku mnożenia modułów mnożników, otrzymamy całą liczbę dodatnią, a jeśli masz znak minus przed tym numerem, stanie się to całe negatywne.
Rozważmy przykłady obliczania produktu liczb całkowitych o różnych znakach przy użyciu otrzymanego wyniku.
Przykład.
Pomnożyć liczbę całkowitą numer 7 do całej negatywnej liczby -14.
Decyzja.
Używamy zasady mnożenia liczb całkowitych o różnych znakach. Moduły mnożnika są równe, odpowiednio 7 i 14. Oblicz produkt modułów: 7 · 14 \u003d 98. Pozostaje przed otrzymaniem numeru, aby umieścić znak minus: -98. Tak, 7 · (-14) \u003d - 98.
Odpowiedź:
7 · (-14) \u003d - 98.
Przykład.
Oblicz produkt (-36) · 29.
Decyzja.
Musimy obliczyć produkt całkowitych z różnymi znakami. Aby to zrobić, obliczymy produkt absolutnych wielkości mnożników: 36 · 29 \u003d 1 044 (mnożenie jest lepsze do wydania w kolumnie). Teraz umieść znak minus przed numerem 1 044, otrzymujemy -1 044.
Odpowiedź:
(-36) · 29 \u003d -1 044.
Podsumowując ten akapit, udowadnimy sprawiedliwość równości A · (-b) \u003d - (A · B), gdzie a i -b są arbitralne liczbami całkowitymi. Specjalny przypadek tej równości jest wyrażona zasada wielokrotnego użytku z różnymi znakami.
Innymi słowy, musimy udowodnić, że wartości wyrażeń A · (-b) i A · B są przeciwnymi liczbami. Aby to udowodnić, znajdziemy kwotę A · (-b) + A · B i upewnij się, że jest zero. Na mocy właściwości rozkładowych wielokrotnych liczb całkowitych względem dodawania, równości A · (-b) + A · B \u003d A · ((- B) + B). Suma (-b) + b jest zero jako suma przeciwległych liczb całkowitych, a następnie A · ((- b) + b) \u003d A · 0. Ostatnią pracą jest zero przez właściwość mnożenia liczby całkowitej na zero. Tak więc, A · (-b) + A · B \u003d 0, dlatego A · (-B) i A · B są liczbami przeciwnymi, w których następuje równość A · (-b) \u003d - (A · B) następuje. Podobnie można pokazać, że (-a) · b \u003d - (A · b).
Zasada mnożenia liczb całkowitych, przykłady
Aby uzyskać zasady mnożenia dwóch całych liczb ujemnych pomoże nam równości (-a) · (-b) \u003d a · b, którą teraz udowodnić.
Pod koniec poprzedniego akapitu wykazaliśmy, że A · (-b) \u003d - (A · B) i (-a) · B \u003d - (A · B), abyśmy mogli zapisać następnego łańcucha równości (-A) · (-b) \u003d - (A · (-b)) \u003d - (- (A · B)). I wynikający z tego wyrażenie - (- (A · B)) jest niczym więcej niż A · B z powodu definicji przeciwnych liczb. Więc (-a) · (-b) \u003d a · b.
Sprawdzona równość (-a) · (-b) \u003d A · b pozwala formułować zasada wielokopcjonowania całej liczby ujemnych: Produkt dwóch ujemnych liczb całkowitych jest równy produktowi modułów tych liczb.
Z reguły wyróżniającej, wynika, że \u200b\u200bwynik mnożenia dwóch liczb całkowitych jest liczbą dodatnią liczbą całkowitą.
Rozważ zastosowanie tej reguły podczas wykonywania mnożenia całych liczb ujemnych.
Przykład.
Oblicz produkt (-34) · (-2).
Decyzja.
Musimy pomnożyć dwa negatywne liczby całkowite -34 i -2. Używamy odpowiedniej reguły. W tym celu znajdujemy moduły multiplanckie: i. Pozostaje obliczyć produkt liczb 34 i 2, co możemy zrobić. Krótko wszystkie roztwór można napisać tak (-34) · (-2) \u003d 34 · 2 \u003d 68.
Odpowiedź:
(-34) · (-2) \u003d 68.
Przykład.
Mnożąc liczbę ujemną liczbę całkowitą -1 041 do całej liczby ujemnej -538.
Decyzja.
Zgodnie z zasadą mnożenia liczb całkowitych, pożądana praca jest równa produktowi modułów mnożników. Moduły mnożnikowe są równe, odpowiednio, 1 041 i 538. Wykonaj mnożenie na scenie: 
Odpowiedź:
(-1 041) · (-538) \u003d 560 058.
Pomnożenie całkowitą na jednostkę
Mnożenie dowolnej liczby całkowitej A na jednostkę powoduje numer A. Wspomnialiśmy już o tym, kiedy omówiliśmy znaczenie mnożenia dwóch liczb całkowitych. Tak a · 1 \u003d a. Ze względu na właściwości transmisji mnożenia, równości A · 1 \u003d 1 · A powinno być sprawiedliwe. W konsekwencji, 1 · a \u003d a.
Powyższe argumenty prowadzą nas do zasady rozmnażania dwóch liczb całkowitych, z których jeden jest równy. Produkt dwóch liczb całkowitych, w których jedna z mnożników jest jednostka równa innym mnożnikowi.
Na przykład 56 · 1 \u003d 56, 1 · 0 \u003d 0 i 1 · (-601) \u003d - 601. Dajemy kilka przykładów. Produkt liczb całkowitych -53 i 1 wynosi -53, a wynikiem mnożenia jednostki i ujemny integer -989 981 jest liczbą -989 981.
Mnożąc numer całkowitą do zera
Zgodziliśmy się, że produkt dowolnej liczby całej A do zera wynosi zero, czyli · 0 \u003d 0. Różnorodność mnożenia sprawia, że \u200b\u200bakceptujemy równość 0 · A \u003d 0. W ten sposób, produkt dwóch liczb całkowitych, w których co najmniej jeden z mnożników jest zero, równa zero. W szczególności wynik mnożenia zerowego do zera wynosi zero: 0 · 0 \u003d 0.
Dajemy kilka przykładów. Produkt liczby wartości liczby całkowitej 803 i zera wynosi zero; Wynik mnożenia zera do całej liczby ujemnej -51 wynosi zero; Również (-90 733) · 0 \u003d 0.
Należy również zauważyć, że produkt dwóch liczb całkowitych i tylko wtedy wynosi zero, gdy przynajmniej jeden z mnożników wynosi zero.
Sprawdzanie wyniku mnożenia liczb całkowitych
Sprawdź wynik mnożenia dwóch liczb całkowitych wykonywane przez podział. Konieczne jest podzielenie powstałej pracy na jednym z czynników, jeśli uzyskano numer równy innym mnożnikowi, wtedy spełniono namnożenie. Jeśli liczba różni się od innego bezpłatnego, wtedy pojawił się błąd.
Rozważmy przykłady, w których sprawdzana jest wynik wielokształctwa wielokrotnego użytku.
Przykład.
W wyniku mnożenia dwóch liczb całkowitych -5 i 21 otrzymano numer -115, praca jest obliczana prawidłowo?
Decyzja.
Wykonaj czek. Aby to zrobić, dzielimy obliczony produkt -115 na czynnik, na przykład na -5., Sprawdź wynik. (-17) · (-67) \u003d 1 139.
Mnożenie trzech i więcej liczb całkowitych
Społeczność mnożenia liczb całkowitych pozwala nam na pewno określić produkt trzech, czterech i więcej liczb całkowitych. Jednocześnie pozostałe właściwości wielokrotnego użytku mnożącego umożliwiają stwierdzenie, że produkt trzech i więcej liczb całkowitych nie zależy od sposobu układu wsporników i procedury postępowania zgodnie z mnożnikami w pracy. Podobne oświadczenia uzasadnione, gdy rozmawiali o mnożenia trzech i więcej liczb naturalnych. W przypadku całych czynników uzasadnienie jest całkowicie zbiegły.
Rozważ roztwór tego przykładu.
Przykład.
Oblicz produkt pięciu liczb całkowitych 5, -12, 1, -2 i 15.
Decyzja.
Możemy konsekwentnie od lewej do prawa, aby zastąpić dwa sąsiednie czynniki przez ich pracę: 5 · (-12) · 1 · (-2) · 15 \u003d (-60) · 1 · (-2) · 15 \u003d (-60) · (-2) · 15 \u003d 120 · 15 \u003d 1 800. Ta opcja obliczania pracy odpowiada następującym metodzie wsporników: (((5 · (-12)) · 1) · (-2)) · 15.
Moglibyśmy również zmienić niektórych miejsc czynników i zorganizować wsporniki w przeciwnym razie, jeśli umożliwia obliczenie produktu tych pięciu liczb całkowitych bardziej racjonalnie racjonalnie. Na przykład, można było zmienić rozłączenie mnożników w następującej kolejności 1 · 5 · (-12) · (-2) · 15, po czym zorganizować wsporniki ((1 5) · (-12)) · ((- 2) · 15). W takim przypadku obliczenia będą takie: ((1 5) · (-12)) · ((- 2) · 15) \u003d (5 · (-12)) · ((- 2) · 15) \u003d (-60) · (-30) \u003d 1 800.
Jak widzisz różne warianty. Układy wsporników i różnych kolejności czynników doprowadziły nas do tego samego wyniku.
Odpowiedź:
5 · (-12) · 1 · (-2) · 15 \u003d 1 800.
Oddzielnie zauważamy, że jeśli w pracach trzech, czterech itp. W liczbach całkowitych przynajmniej jeden z czynników wynosi zero, praca to zero. Na przykład produkt czterech liczb całkowitych 5, -90 321, 0 i 111 wynosi zero; Wynik pomnożenia trzech liczb całkowitych 0, 0 i -1 983 jest również zero. Instrukcja odwrotna jest również prawdziwa: jeśli praca jest zero, co najmniej jeden z mnożników wynosi zero.
Przeanalizujemy koncepcję mnożenia przez przykład:
Turyści byli w drodze przez trzy dni. Codziennie minęli tę samą ścieżkę 4200 m. Jaką odległość poszli przez trzy dni? Zdecydować o zadaniu na dwa sposoby.
Decyzja:
Rozważ szczegóły zadania.
Pierwszego dnia turyści przeszli 4200 m. Dzień dziennie, ta sama ścieżka była turystami 4200 m, a trzeci dzień - 4200m. Piszemy język matematyczny:
4200 + 4200 + 4200 \u003d 12600m.
Widzimy, że wzorzec numer 4200 powtarza się trzy razy, dlatego można zastąpić ilość przez mnożenie:
4200⋅3 \u003d 12600m.
Odpowiedź: Turyści przeszli 12 600 metrów przez trzy dni.
Rozważ przykład:
Aby nie pisać długiego wejścia, możesz napisać go w formie mnożenia. Numer 2 jest powtarzany 11 razy. Dlatego też przykład z mnożeniem będzie wyglądał:
2⋅11=22
Podsumować. Co to jest mnożenie?
Mnożenie- To jest działanie zastępujące powtórzenie N razy w czasie terminu M.
Nagrywanie M⋅N i wynik tego wyrażenia jest nazywany produkcja liczbi nazywane są liczby M i N mnożniki.
Rozważ, co zostało powiedziane na przykładzie:
7⋅12=84
Wyrażenie 7⋅12 i wynik 84 nazywa się produkcja liczb.
Numery 7 i 12 są nazywane mnożniki.
W matematyce istnieje kilka przepisów mnożenia. Rozważ ich:
Mnożenie prawa ruchowego.
Rozważ zadanie:
Daliśmy dwa jabłki do naszych przyjaciół. Nagrywanie matematycznie będzie wyglądać tak: 2⋅5.
Albo daliśmy 5 jabłek do naszych dwóch przyjaciół. Nagrywanie matematycznie będzie wyglądać tak: 5⋅2.
W pierwszym i drugim przypadku rozpoznamy taką samą ilość jabłek równych 10 sztuk.
Jeśli mnożymy 2⋅5 \u003d 10 i 5⋅2 \u003d 10, wynik nie zostanie zmieniony.
Właściwość ruchu mnożenia:
Od zmiennych miejsc mnożników, praca się nie zmieni.
m.⋅
n.\u003d N⋅.m.
Łączone prawo mnożenia.
Rozważmy na przykładzie:
(2⋅3) ⋅4 \u003d 6⋅4 \u003d 24 lub 2⋅ (3⋅4) \u003d 2⋅12 \u003d 24 Get,
(2⋅3)⋅4=2⋅(3⋅4)
(zA.⋅
b.) ⋅
dO.=
zA.⋅(b.⋅
dO.)
Właściwość kombinacji prawa mnożenia:
Aby pomnożyć liczbę dwóch numerów, najpierw można pomnożyć go do pierwszego czynnika, a następnie wynikowy produkt jest pomnożony do drugiego.
Zmieniając kilka mnożników w miejscach i wprowadzanie do nawiasów, wynik lub praca nie zmieni się.
Te prawa są prawdziwe dla jakichkolwiek liczb naturalnych.
Pomnożenie o dowolnej liczbie naturalnej na jednostkę.
Rozważ przykład:
7⋅1 \u003d 7 lub 1⋅7 \u003d 7
zA.⋅1 \u003d a lub 1⋅zA.=
zA.
Podczas mnożenia dowolnej liczby naturalnej na jednostkę, praca zawsze będzie taka sama.
Pomnożenie o dowolnej liczbie naturalnej do zera.
6⋅0 \u003d 0 lub 0⋅6 \u003d 0
zA.⋅0 \u003d 0 lub 0⋅zA.=0
Podczas mnożenia dowolnej liczby naturalnej do zera, produkt będzie zerowy.
Pytania do tematu "mnożenie":
Jaka jest liczba liczb?
Odpowiedź: Liczba liczb lub mnożenia liczb jest nazywana wyrażeniem M⋅N, gdzie m jest termin, a n jest liczbą powtórzeń tego terminu.
Dlaczego potrzebujesz mnożenia?
Odpowiedź: Aby nie napisać długiego dodawania liczb, ale napisać skrócony. Na przykład, 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 \u003d 3⋅6 \u003d 18
Jaki jest wynik mnożenia?
Odpowiedź: Wartość pracy.
Co oznacza rekord mnożenia 3⋅5?
Odpowiedź: 3⋅5 \u003d 5 + 5 + 5 \u003d 3 + 3 + 3 + 3 + 3 \u003d 15
Jeśli pomnożysz milion do zera, co będzie równa praca?
Odpowiedź: 0.
Przykład numer 1:
Wymień ilość pracy: a) 12 + 12 + 12 + 12 + 12 b) 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3
Odpowiedź: a) 12⋅5 \u003d 60 b) 3⋅9 \u003d 27
Przykład numer 2:
Zapisz w postaci pracy: a) A + A + A + A B) C + C + C + C + C + C + C
Decyzja:
a) a + a + a + a \u003d 4⋅a
b) C + C + C + C + C + C + C \u003d 7⋅s
Numer zadania 1:
Mama kupiła 3 pudełka cukierków. W każdym polu 8 cukierków. Ile cukierków kupiło mamę?
Decyzja:
W jednym pudełku 8 cukierków i mamy takie pola 3 sztuk.
8 + 8 + 8 \u003d 8⋅3 \u003d 24 Cukierki
Odpowiedź: 24 cukierki.
Numer zadania 2:
Nauczyciel mówi, że przygotowuje osiem uczniów na siedem ołówków na lekcji. Ile kredki razem było dziećmi?
Decyzja:
Możesz obliczyć sumę zadania. Pierwszy uczeń miał 7 ołówków, drugi student miał 7 ołówków itp.
7+7+7+7+7+7+7+7=56
Nagrywanie okazało się niewygodne i długie, zastąp kwotę w pracy.
7⋅8=56
Odpowiedz na 56 ołówków.
Aby rozwiązać wiele zadań "maksymalnie i minimum", tj. W lokalizacji największych i najmniejszych wartości zmiennych można pomyślnie korzystać z niektórych instrukcji algebraicznych, z którymi się spotkamy.
x · y.
Rozważ następujące zadanie:
Jakie dwie części należy podzielić według tego numeru, aby ich praca była największa?
Niech ten numer.ale. Następnie części, na których liczba jest uszkodzonaale, możesz wyznaczyć
A / 2 + X i A / 2 - X;
numer h. Pokazy, dla których wielkość te części różnią się od połowy liczby ale. Praca obu części jest równa
( A / 2 + X) · ( A / 2 - X) \u003d a 2/4 - x 2.
Jasne jest, że wykonane części wzrośnie przez zmniejszenie h.. Ze spadkiem różnicy między tymi częściami. Największa praca będzie x \u003d.0, tj. W przypadku, gdy obie części są równe A / 2..
Więc,
produkt dwóch liczb, których ilość jest niezmieniona, będzie najwyższa, gdy liczby te są równe.
x · y · z
Rozważ to samo pytanie dla trzech liczb.
Jakie trzy części muszą złamać ten numer, aby ich praca była największa?
Podczas rozwiązywania tego zadania będziemy polegać na poprzednim.
Niech numer. ale złamany na trzy części. Przypuśćmy najpierw, że żadna z części nie jest równa A / 3.. Potem jest pewne wśród nich, duże A / 3. (Wszystkie trzy nie mogą być mniejsze A / 3.); Oznaczać go
A / 3 + X.
W ten sam sposób wśród nich jest część, mniej A / 3.; Oznaczać go
A / 3 - Y.
Liczby h. i w. pozytywny. Trzecia część będzie oczywiście równa
A / 3 + Y - X.
Liczby A / 3. i A / 3 + X - Y mają taką samą kwotę jak pierwsze dwie części liczby alei różnica między nimi, tj. x - Y., mniej niż różnica między dwiema pierwszymi częściami, która była równa x + y.. Jak wiemy z decyzji poprzedniego zadania, wynika, że \u200b\u200bpraca
A / 3. · ( A / 3 + X - Y)
więcej niż prace pierwszych dwóch części liczby ale.
Więc jeśli pierwsze dwie części liczby ale Wymień liczby
A / 3. i A / 3 + X - Y,
i trzeci nie jest zmianą, praca wzrośnie.
Niech jedna z części jest już równa A / 3.. Wtedy pozostałe są
A / 3 + Z i A / 3 - Z.
Jeśli wykonamy te dwie części z równymi A / 3. (Dlaczego kwota się nie zmieni), to praca wzrośnie ponownie i stanie się równi
A / 3 · A / 3 · A / 3 \u003d 3/27 .
Więc,
jeśli numer A jest podzielony na 3 części, nie równa się nawzajem, to produkt tych części jest mniejszy niż 3/2 27, tj. niż produkt trzech równych czynników, w ilości komponentów a.
Podobnie możesz udowodnić ten teore dla czterech mnożników, przez pięć itp.
x p · y q
Rozważ teraz bardziej ogólny przypadek.
Pod tym, jakie wartości X i wyrażenie Y X P w Q jest największym, jeśli x + y \u003d e?
Konieczne jest znalezienie, z jaką wartość x wyrażenie
x r ·(a - H.) P.
dociera do największej wartości.
Pomnóż ten wyraz liczbie 1 / p q q q q. Dostajemy nowy wyraz
x p / p p · (a - X. ) Q / q q q,
co oczywiście osiąga największą wartość w tym samym czasie, gdy początkowe.
Wyobraź sobie wyrażenie uzyskane teraz w formie
(a - X.) / Q · (a - X.) / Q · ... · (a - X.) / Q. ,
gdzie powtarzają się mnożniki pierwszego typu p. Raz, a drugi - p. czas.
Suma wszystkich czynników tego wyrażenia jest równa
X / p + x / p + ... + x / p + (a - X.) / Q +. (a - X.) / Q + ... + (a - X.) / Q. =
\u003d px / p + q ( A - X.) / q \u003d x + a - x \u003d a ,
te. Wielkość jest stała.
Na podstawie wcześniej sprawdzonych, stwierdzamy, że praca
x / p · x / p · ... · x / p · (a - X.) / Q · (a - X.) / Q · ... · (a - X.) / Q.
maxima osiąga równość wszystkich swoich indywidualnych czynników, tj. gdy
x / p \u003d (a - X.) / Q..
Wiedząc co a - x \u003d y, dostajemy, cofając członków, proporcjonalnie
X / y \u003d p / q.
Więc,
produkt X p Y q jest stale, wysokość X + Y osiąga największą wartość, gdy
x: y \u003d p: q.
W ten sam sposób możesz to udowodnić
praca
x p y q z r, x p y q z r t u, itd.
z stałością sum x + y + z, x + y + z + t itp. osiągnąć największą wartość, kiedy
x: Y: Z \u003d P: P: R, X: Y: Z: T \u003d P: P: R: U itp.
Identyczne terminy. Na przykład wpis 5 * 3 wskazuje "5 razy z tobą 3 razy, czyli po prostu krótki rekord dla 5 + 5 + 5. Wynik mnożenia jest nazywany pracai liczby mnożenia - mnożniki lub w rzeczywistości. Istnieją również tabele mnożenia.
Rekord
Mnożenie jest oznaczone gwiazdką *, skrzyżowaną lub punktem. Wpisy
oznaczać to samo. Znak mnożenia często brakuje, jeśli nie prowadzi do zamieszania. Na przykład zamiast tego zazwyczaj piszą.
Jeśli istnieje wiele czynników, niektóre z nich można ich zastąpić. Na przykład, produkt liczb całkowitych od 1 do 100 można napisać jako
List z pracy jest również stosowany w rekordzie litery: 
Zobacz też
Fundacja Wikimedia. 2010.
Oglądaj, co jest "pracą (matematyką)" w innych słownikach:
- (matematyka) wynik mnożenia. Dzieło sztuki. Kompozycja muzyczna. Praca audiowizualna. Praca serwisowa ... Wikipedia
Praca dwóch lub więcej obiektów jest uogólnieniem w teorii kategorii pojęć, takich jak Cartevo, bezpośredni produkt grup i produktu przestrzeni topologicznych. Praca rodziny obiektów jest w ... ... Wikipedia
Wskazany jest produkt operacji binarnej Konchekera na matrycach arbitralnych. Rezultatem jest macierz blokowy. Produkt makreli nie powinien być mylony ze zwykłym mnożeniem matrycami. Operacja nosi nazwę niemieckiego ... ... Wikipedia
Historia nauki na matematyce Nauki przyrodnicze ... Wikipedia.
I. Określenie przedmiotu matematyki, związek z innymi naukami i technologią. Matematyka (grecki matematyka, z wiedzy Máthema, nauki), nauki o stosunkach ilościowych i formy przestrzenne ważny pokój. "Czyste ... Świetna radziecka encyklopedia
Teoria kategorii sekcja matematyki badająca właściwości stosunków między obiekty matematyczneNie zależne od struktura wewnętrzna obiekty. Niektórzy matematycy [którzy?] Rozważ teorię kategorii zbyt abstrakcyjnych i nieodpowiednich ... ... Wikipedia
Wektor tego terminu istnieje i inne wartości, zobacz wektor ... Wikipedia
Termin ten ma inne wartości, patrz funkcja. Żądanie "Wyświetlacz" jest tutaj przekierowany; Zobacz także inne wartości ... Wikipedia
Termin ten ma inne wartości, patrz operacja. Wyświetlacz operacyjny, zgodny z jednym lub więcej elementami zestawu (argumentów) innego elementu (wartość). Termin "operacja" jest zwykle stosowana do ... Wikipedia
Termin ten ma inne znaczenia, zobacz wirnik. Rotor lub wirowy operator różnicowy wektor na polu wektor. Oznacza (w literaturze rosyjskojęzycznej) lub (w literaturze angielskiej), a także mnożenie w języku angielskim ... Wikipedia
Książki
- Zestaw tabel. Matematyka. 4 klasie. 8 Tabele + techniki ,. 8 arkuszy album treningowy (format 68 x 98 cm): - Akcje. - mnożenie i podział liczby w pracy. - Dodawanie i odejmowanie wartości. - mnożenie i podział wartości. - Pisanie mnożenia na ...
- Kirik Novgorodets - Rosyjski naukowiec XII wieku w krajowej kulturze książki, Simonov Ra. Książka jest poświęcona życiu i działalności pierwszej słynnej matematyki i kalendarzy, Novgorod Monk Kirik (1110 - po 1156 r.), Kto pisał naukowy Traktowanie w 1136 r., ...
