Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, NOC dla dwóch lub więcej liczb. Najmniejsza całkowita wielokrotność (NOC): definicja, przykłady i właściwości

Jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność?

Konieczne jest znalezienie każdego mnożnika każdej z dwóch numerów, które znajdziemy najmniejszą wspólną wielokrotność, a następnie pomnożyć czynniki, które zbiegły się na pierwszej i drugiej liczbie. Wynikiem pracy będzie żądaną wielokrotnością.

Na przykład mamy numery 3 i 5 i musimy znaleźć NOC (najmniejsza wspólna wielokrotność). Nas musimy mnożyć i potrójne i praq wszystkie numery począwszy od 1 2 3 ... I tak, dopóki nie zobaczymy tego samego numeru i tam.

Troika i zdobyć: 3, 6, 9, 12, 15

Pomnóż teraz i zdobądź: 5, 10, 15

Metoda rozkładu dla prostych czynników jest najbardziej klasycznym, aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (NOK) dla kilku numerów. Wizualnie i po prostu zademonstrowano tę metodę w następnym filmie:

Złóż, pomnóż, podziel, prowadzić do wspólny mianownik I inne działania arytmetyczne to bardzo ekscytujący zawód, szczególnie podziwiać przykłady, które zajmują cały prześcieradło.

Znajdź wspólną wielokrotność dla dwóch liczb, która będzie najmniejszą liczbą, na której są podzielone dwie liczby. Chcę zauważyć, że nie jest konieczne, aby kontynuować uciekanie się do formuł, aby znaleźć pożądane, jeśli możesz liczyć w umyśle (i można go było wyszkolić), a następnie pojawiają się numery pojawiają się w głowicy, a następnie kliknięte są frakcje jak orzechy.

Aby rozpocząć, absorbuję, że możesz pomnożyć dwie liczby na sobie, a następnie zmniejszyć tę liczbę i podzielić na przemian na te dwie liczby, więc znajdziemy najmniejszą wielokrotność.

Na przykład dwie liczby 15 i 6. pomnóż i otrzymują 90. Jest to wyraźnie więcej niż liczba. Ponadto jest on podzielony na 3 i 6 podzielony przez 3, co oznacza 90, również podzielić o 3. Weź 30. Próbujemy 30 do podziału 15 równych 2. i 30 dzieli 6 wynosi 5. Od 2 jest limit Out, że najmniejsza liczba dla liczb 15 i 6 będzie 30.

Z liczbami więcej będzie trochę trudniejsze. Ale jeśli wiesz, jakie liczby dają zerową pozostałość podczas podziału lub mnożenia, wówczas trudności w zasadzie, nie są duże.

• Jak znaleźć zakątek

  Oto wideo, w którym otrzymasz dwa sposoby znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności (NOC). W niekorzystnej sytuacji, aby użyć pierwszego z proponowanych metod, możesz lepiej zrozumieć, co najmniejsza jest najmniejsza wielokrotność.

Prezentuję inny sposób na znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotności. Rozważ go na przykładzie wizualnym.

Konieczne jest znalezienie NOK jednocześnie numery TRX: 16, 20 i 28.

• Prezentujemy każdy numer jako produkt swoich prostych czynników:
• Zapisujemy stopnie wszystkich prostych mnożników:

16 = 224 = 2^24^1

20 = 225 = 2^25^1

28 = 227 = 2^27^1

• Wybieramy wszystkie proste dzielniki (mnożniki) o najwyższych stopniach, wyłączamy je i znajdź NOC:

NOK \u003d 2 ^ 24 ^ 15 ^ 17 ^ 1 \u003d 4457 \u003d 560.

NOK (16, 20, 28) \u003d 560.

Tak więc, w wyniku tego, obliczenia okazało się, że numer 560. Jest to najniższa wspólna wielokrotność, która jest podzielona na każdą z trzech liczb bez pozostałości.

Najmniejszą całkowitą wielokrotną liczbą jest taka liczba podzielona na kilka proponowanych liczb bez pozostałości. Aby taka cyfra do obliczenia, musisz wziąć każdy numer i rozkładać go na proste czynniki. Te liczby pasujące, usuń. Pozostawia wszystkich samych, odwróć je z kolei i otrzymujemy pożądany - najmniejszy wspólny ból.

NOK, Or najmniejszy wspólny ból- Jest to najmniejsza liczba naturalna dwóch lub więcej liczb, która jest podzielona na każdą z numerów danych bez pozostałości.

Oto przykład, jak znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność 30 i 42.

• Przede wszystkim musisz rozkładać liczbę liczb na prostych czynnikach.

Na 30, to jest 2 x 3 x 5.

Dla 42, to jest 2 x 3 x 7. Od 2 i 3 znajdują się w rozkładzie nr 30, a następnie ich uderz.

• Zapisujemy mnożniki, które są zawarte w rozkładu liczby 30. Są to 2 x 3 x 5.
• Teraz musisz narysować je do brakującego mnożnika, który mamy w rozkładu 42, a to jest 7. otrzymujemy 2 x 3 x 5 x 7.
• Stwierdzamy, co jest 2 x 3 x 5 x 7 i otrzymujemy 210.

W rezultacie uzyskujemy, że numery NOC 30 i 42 są 210.

Aby znaleźć najmniejszą wielokrotnośćMusisz wykonać kolejno nieco proste działania. Rozważ to na przykładzie dwóch liczb: 8 i 12

1. Rozkładaj obie liczby na prostych mnożnikach: 8 \u003d 2 * 2 * 2 i 12 \u003d 3 * 2 * 2
2. Zmniejszamy te same mnożniki z jednej z liczb. W naszym przypadku, 2 * 2 zbiegają się, zmniejsz je na numer 12, a następnie 12 pozostanie jeden mnożnik: 3.
3. Znajdujemy pracę wszystkich pozostałych mnożników: 2 * 2 * 2 * 3 \u003d 24

Sprawdzanie, jesteśmy przekonani, że 24 jest podzielony na 8 i do 12, a to najmniejsza liczba naturalna podzielona na każdą z tych liczb. Tutaj jesteśmy I. znalazłem najmniejszą całkowitą wielokrotność.

Spróbuję wyjaśnić na przykładzie liczb 6 i 8. Najmniejszą wspólną wielokrotnością jest numer, który można podzielić na te liczby (w naszym przypadku 6 i 8), a pozostałość nie będzie.

Zaczynamy więc pomnożyć pierwsze 6 na 1, 2, 3 itd. I 8 na 1, 2, 3 itd.

Kalkulator online umożliwia szybką znalezienie największego wspólnego dzielnika i najmniejszego wspólnego dla obu dla dwóch i dla każdej innej liczby.

Kalkulator do znalezienia węzłów i NOK

Znajdź węzeł i NOK

Node i NOK znajdują się: 5806

Jak korzystać z kalkulatora

• Wprowadź liczby w polu wejściowym
• W przypadku nieprawidłowych znaków wejściowych pole wejściowe zostanie podświetlone na czerwono
• kliknij "Znajdź węzeł i NOK"

Jak wprowadzać liczby

• Numery są wprowadzane przez przestrzeń, punkt lub przecinek
• Długość numerów wejściowych nie jest ograniczona.Więc znalezienie węzłów i długie liczby NOK nie będą trudne

Co to jest NOD i NOK?

Największy wspólny divisel Jest kilka liczb - jest to największy naturalny liczbę całkowitą, na której wszystkie liczby początkowe są podzielone bez pozostałości. Największy wspólny dzielnik jest skrócony jako Węzeł.
Najmniejszy wspólny ból Jest kilka liczb - jest to najmniejsza liczba podzielona na każdą początkową liczbę bez pozostałości. Najmniejsza wspólna wielokrotna jest napisana w skrócie NOK..

Jak sprawdzić, czy numer jest podzielony na inny numer bez pozostałości?

Aby dowiedzieć się, czy jedna liczba jest podzielona na inną bez pozostałości, można użyć niektórych właściwości podzielności liczb. Następnie, łącząc je, możesz sprawdzić podział na niektórych z nich i ich kombinacjach.

Niektóre objawy podziału liczb

1. Znak podziałalności liczby przez 2
Aby ustalić, czy numer jest podzielony na dwa (niezależnie od tego, czy jest ono nawet używany), po prostu spójrz na ostatnią liczbę tego numeru: jeśli jest równa 0, 2, 4, 6 lub 8, to liczba jest wyraźnie, co oznacza, co oznacza Jest podzielony przez 2.
Przykład: Określ, czy jest on podzielony przez 2 numer 34938.
Decyzja: Patrzymy na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że \u200b\u200bliczba jest podzielona na dwa.

2. Znak podzielności liczby przez 3
Numer jest podzielony przez 3, gdy suma jego numerów jest podzielona na trzy. W ten sposób, aby ustalić, czy numer jest podzielony na 3, konieczne jest obliczenie ilości liczb i sprawdzić, czy jest on podzielony przez 3. Nawet jeśli ilość liczb okazała się bardzo duża, możesz ponownie powtórzyć ten sam proces .
Przykład: Określ, czy numer 34938 jest podzielony na 3.
Decyzja: Rozważamy ilość liczb: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27. 27 jest podzielony na 3, a zatem numer jest podzielony na trzy.

3. Znak podzielności liczby na 5
Numer jest podzielony przez 5, gdy jego ostatnia cyfra ma zero lub pięć.
Przykład: Określ, czy liczba 34938 jest podzielona na 5.
Decyzja: Patrzymy na ostatnią cyfrę: 8 oznacza, że \u200b\u200bliczba nie jest podzielona przez pięć.

4. Znak podziałalności liczby o 9
Ta funkcja jest bardzo podobna do znaku podzielności na górze: liczba jest podzielona przez 9, gdy ilość jego numerów jest podzielona na 9.
Przykład: Określ, czy numer 34938 jest podzielony na 9.
Decyzja: Uważamy ilość liczb: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27. 27 jest podzielony na 9, a zatem liczba jest podzielona przez dziewięć.

Jak znaleźć węzły i dwie liczby NOK

Jak znaleźć węzeł dwie liczby

Większość prosta droga Obliczenia największego ogólnego rozdzielacza dwóch liczb jest poszukiwanie wszystkich możliwych dzielników tych liczb i wybierając z nich największy.

Rozważ tę metodę na przykładzie wyszukiwania węzła (28, 36):

1. Uzyskano oba liczby na mnożnikach: 28 \u003d 1 · 2 · 2 · 7, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3
2. Znajdujemy ogólne mnożniki, czyli te, które mają oba liczby: 1, 2 i 2.
3. Oblicz produkt tych mnożników: 1 · 2 · 2 \u003d 4 - jest to największy wspólny dzielnik liczb 28 i 36.

Jak znaleźć dwie liczby NOK

Najczęstsze dwa sposoby znalezienia najmniejszej liczby jest najczęstsze. Pierwszym sposobem jest to, że możliwe jest zapisanie pierwszych wielu dwóch liczb, a następnie wybierze się między nimi taką, która będzie wspólna dla obu liczb i jednocześnie. A drugi ma znaleźć węzeł tych liczb. Rozważ tylko to.

Aby obliczyć NOC, należy obliczyć produkt liczb początkowych, a następnie podzielić go do wstępnie znalezionego węzła. Znajdź NOC dla tych samych liczb 28 i 36:

1. Znajdujemy produkt liczb 28 i 36: 28 · 36 \u003d 1008
2. Węzeł (28, 36), jak już znany, równy 4
3. NOK (28, 36) \u003d 1008/4 \u003d 252.

Wyszukiwanie węzła i NOK dla kilku numerów

Największy współdzielony dzielnik można znaleźć dla kilku numerów, a nie tylko dla dwóch. W tym celu numer do wyszukiwania największego wspólnego dzielnika jest rozwinięty na prostych czynnikach, a następnie znaleziono produkt wspólnych prostych mnożników tych liczb. Do znalezienia węzła kilku numerów, możesz użyć następującego współczynnika: Węzeł (A, B, C) \u003d Węzeł (węzeł (A, B), C).

Podobna relacja jest ważna dla najmniejszych powszechnych liczb: NOK (A, B, C) \u003d NOC (NOK (A, B), C)

Przykład: Znajdź węzły i NOK dla liczb 12, 32 i 36.

1. Uchwycił liczby na mnożnikach: 12 \u003d 1 · 2 · 2 · 3, 32 \u003d 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3.
2. Znajdź kilka mnożników: 1, 2 i 2.
3. Ich praca da głową: 1 · 2 · 2 \u003d 4
4. Znajdziemy teraz NOK: Aby to zrobić, znajdę NOK (12, 32): 12 · 32/4 \u003d 96.
5. Aby znaleźć NOC wszystkich trzech numerów, musisz znaleźć węzeł (96, 36): 96 \u003d 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3, węzeł \u003d 1 · 2 · 2 · 3 \u003d 12.
6. NOK (12, 32, 36) \u003d 96 · 36/12 \u003d 288.

Rozważ trzy sposoby znalezienia najmniejszej wspólnej wielokrotności.

Układanie przez ekspansję na mnożnikach

Pierwszą metodą jest znalezienie najmniejszej wspólnej wielokrotnej przez rozkładu tych liczb na prostych czynnikach.

Przypuśćmy, że musimy znaleźć numery NOC: 99, 30 i 28. W tym celu rozkładamy każdą z tych liczb prostych mnożnikach:

Aby podzielić żądaną liczbę 99, o 30 i 28, konieczne jest i wystarczy dla wszystkich prostych czynników tych dzielników do zawarcia w nim. Aby to zrobić, musimy podjąć wszystkie proste czynniki tych liczb do największego stopnia i pomnożyć je ze sobą:

2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 \u003d 13 860

Zatem, NOK (99, 30, 28) \u003d 13 860. Żadna inna liczba nie jest mniejsza niż 13 860 do 99, o 30 i do 28.

Aby znaleźć najmniejsze wspólne dane liczb, musisz rozkładać je na prostych mnożnikach, a następnie weź każdy prosty mnożnik z największym wskaźnikiem stopnia, z którym zostanie znaleziony, i pomnożyć ze sobą te mnożniki.

Ponieważ wzajemnie proste liczby nie mają wspólnych prostych mnożników, ich najmniejsza wspólna wielokrotność jest równa produktowi tych liczb. Na przykład trzy liczby: 20, 49 i 33 są wzajemnie proste. w związku z tym

NOC (20, 49, 33) \u003d 20 · 49 · 33 \u003d 32 340.

W ten sam sposób konieczne jest działanie, gdy znaleziono najmniejszą wspólną wielokrotność różnych prostych liczb. Na przykład NOK (3, 7, 11) \u003d 3 · 7 · 11 \u003d 231.

Znalezienie wyboru

Drugą metodą jest znalezienie najmniejszej wielokrotnej wielokrotności przez wybór.

Przykład 1. Gdy największa z tych numerów jest podzielona na inne dane liczby, NOC z tych liczb jest równe większości. Na przykład podano cztery liczby: 60, 30, 10 i 6. Każdy z nich jest podzielony przez 60, dlatego:

NOK (60, 30, 10, 6) \u003d 60

W innych przypadkach stosuje się następującą procedurę do znalezienia najmniejszej liczby:

1. Określ największy numer z tych liczb.
2. Następnie znajdziemy liczby, wiele największej liczby, pomnożyć go liczby całkowitej W kolejności ich wzrostu i sprawdzenia, czy reszta liczby uzyskanych jest podzielona na wynik.

Przykład 2. Podano trzy liczby 24, 3 i 18. Określamy największe z nich - jest to numer 24. Następnie znajdziemy liczby wielokrotności 24, sprawdzamy, czy każdy z nich jest podzielony przez 18 i 3:

24 · 1 \u003d 24 - podzielone przez 3, ale nie podzielone przez 18.

24 · 2 \u003d 48 - podzielone przez 3, ale nie podzielone przez 18.

24 · 3 \u003d 72 - podzielone przez 3 i 18.

Tak więc NOC (24, 3, 18) \u003d 72.

Znalezienie spójnego noc

Trzecim sposobem jest znalezienie najmniejszego wspólnego bólu w sekwencyjnym znalezieniu NOC.

NOC z dwóch danych danych jest równa produktowi tych liczb podzielonych na ich największy wspólny dzielnik.

Przykład 1. Znajdź NOC z dwóch danych: 12 i 8. Definiujemy ich największy wspólny rozdzielczość: węzeł (12, 8) \u003d 4. Zmniejsz liczbę liczb:

Podzielmy pracę na swoich węzłach:

Zatem NOK (12, 8) \u003d 24.

Aby znaleźć trzy lub więcej liczb NOK, używany jest następująca procedura:

1. Najpierw znajdź nOC jedne z dwóch liczb.
2. Następnie NOC znalazł najmniej wspólną wielokrotność i trzecią.
3. Następnie NOC uzyskał najmniejszą całkowitą wielokrotność i czwarty numer itp.
4. W ten sposób wyszukiwanie NOC kontynuuje, dopóki nie są liczby.

Przykład 2. Znajdź NOC z trzech numerów danych: 12, 8 i 9. NOC numery 12 i 8, które już znaleźliśmy w poprzednim przykładzie (jest to numer 24). Pozostaje znaleźć najmniejszą całkowitą wielokrotną liczbę 24 i trzecią liczby - 9. Definiujemy ich największy dzielnik wspólny: węzły (24, 9) \u003d 3. Zmniejsz NOC z numerem 9:

Podzielmy pracę na swoich węzłach:

Tak więc NOC (12, 8, 9) \u003d 72.

Wielu numer jest liczbą podzieloną na dany numer bez pozostałości. Najmniejsze wspólne grupy (nOC) liczb jest najmniejszą liczbą, która jest podzielona bez pozostałości dla każdej liczby grupy. Aby znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotną, musisz znaleźć proste mnożniki tych liczb. NOC mogą być również obliczane za pomocą wielu innych metod, które mają zastosowanie do grup dwóch lub więcej liczb.

Kroki

Liczba wielu liczb

Spójrz na dane liczby. Opisana tutaj metoda jest lepsza do zastosowania, gdy podano dwie liczby, z których każda jest mniejsza niż 10. Jeśli podano duże liczby, użyj innej metody.

• Na przykład znajdź najmniejsze wspólne liczby 5 i 8. są to małe liczby, więc ta metoda może być użyta.

1. Wielu numer jest liczbą podzieloną na dany numer bez pozostałości. Wiele liczb można oglądać w tabeli mnożenia ..

   • Na przykład, liczby, które są wiele 5 to: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Zapisz wiele liczb, które mają wiele pierwszej liczby. Zrób to pod wieloma liczbami pierwszej liczby, aby porównać dwa rzędy liczb.

   • Na przykład liczby, które są wiele 8, wynoszą: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 i 64.

3. Znajdź najmniejszą liczbę, która jest obecna w obu wierszach wielu liczb. Możesz napisać długie rzędy wielu liczb, aby znaleźć całkowitą liczbę. Najmniejsza liczba obecna w obu rzędach wielu liczb jest najmniejsza wspólna.

   • Na przykład, najmniejszą liczbę, która jest obecna w wierszach wielu liczb 5 i 8, jest numerem 40. Dlatego 40 jest najmniejszą całkowitą liczbą liczb 5 i 8.

   Rozkład prostych czynników

   1. Spójrz na dane liczby. Opisana tutaj metoda jest lepsza do zastosowania, gdy podano dwie liczby, z których każda jest więcej niż 10. Jeśli podano mniejsze liczby, użyj innej metody.

      • Na przykład znaleźć najmniejsze ogólne liczby 20 i 84. Każda z liczb jest większa niż 10, więc ta metoda może być użyta.

   2. Rozłóż pierwszy numer do prostych czynników. Oznacza to, że musisz znaleźć takie proste numery, przy pomnożenie, które okaże się ten numer. Znalezienie prostych mnożników, napisz je w formie równości.

      • Na przykład, 2 × 10 \u003d 20 (DisplayStyle (MathBF (2)) razy 10 \u003d 20) i 2 × 5 \u003d 10 (DisplayStyle (MathBF (2)) razy (MathBF (5)) \u003d 10). W ten sposób proste mnożniki numeru 20 są liczbami 2, 2 i 5. Nagrywają je jako wyrażenie :.

   3. Rozłóż drugą liczbę na prostych czynnikach. Zrób to w ten sam sposób, w jaki położyłeś pierwszy numer do mnożników, to znaczy znaleźć takie proste numery, z mnożącymi tym numerem.

      • Na przykład, 2 × 42 \u003d 84 (DisplayStyle (MathBF (2)) razy 42 \u003d 84), 7 × 6 \u003d 42 (DisplayStyle (MathBF (7)) razy 6 \u003d 42) i 3 × 2 \u003d 6 (DisplayStyle (MathBF (3)) razy (MathBF (2)) \u003d 6). W ten sposób proste mnożniki liczby 84 są liczbami 2, 7, 3 i 2. Nagrywają je jako wyrażenie :.

   4. Zapisz mnożniki wspólne dla obu liczb. Zapisz takich mnożników w postaci operacji mnożenia. Jako każda mnożnikowa rejestruje, skakać go do obu wyrażeń (wyrażenia opisujące rozkład liczb do prostych mnożników).

      • Na przykład wspólny dla obu numerów jest mnożnik 2, więc pisz 2 × (DisplayStyle 2 razy) I przekreśl 2 w obu wyrażeniach.
      • Wspólny dla obu liczb jest kolejnym mnożnikiem 2, więc pisz 2 × 2 (DisplayStyle 2 razy 2) I przekreśl drugą 2 w obu wyrażeniach.

   5. Dodaj pozostałe mnożniki do operacji mnożenia. Są to mnożniki, które nie są skrzyżowane w obu wyrażeniach, czyli usterek, które nie są powszechne dla obu liczb.

      • Na przykład w wyrażeniu 20 \u003d 2 × 2 × 5 (DisplayStyle 20 \u003d 2 razy 2 razy 5) Zgnieciony zarówno TWO (2), ponieważ są powszechnymi czynnikami. Mnożnik 5 nie zostanie przekreślony, dlatego mnożenie jest rejestrowane w następujący sposób: 2 × 2 × 5 (DisplayStyle 2 razy 2 razy 5)
      • W wyrażeniem 84 \u003d 2 × 7 × 3 × 2 (DisplayStyle 84 \u003d 2 razy 7 razy 3 razy 2) Również przekroczył oba bliźniaki (2). Mnożniki 7 i 3 nie są przekroczone, więc operację mnożenia jest rejestrowane: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (DisplayStyle 2 razy 2 razy 5 razy 7 razy 3).

   6. Oblicz najmniejszą wspólną wielokrotność. Aby to zrobić, pomnożyć liczby w nagranej operacji mnożenia.

      • Na przykład, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 \u003d 420 (DisplayStyle 2 razy 2 razy 5 razy 7 razy 3 \u003d 420). Tak więc najmniejszy ogólny wielokrotność 20 i 84 wynosi 420.

   Znalezienie wspólnych divisors.

   1. Narysuj siatkę, aby grać w Krzyżu Noliki. Taka siatka jest dwie równoległe linie proste, które przecinają się (pod kątem prostym) z innymi dwoma równoległą prostymi. W ten sposób istnieją trzy linie i trzy kolumny (siatka jest bardzo podobna do ikony #). Napisz pierwszy numer w pierwszym rzędzie i drugiej kolumnie. Napisz drugą liczbę w pierwszej linii i trzeciej kolumnie.

      • Na przykład znajdź najmniejsze ogólne liczby wielokrotne 18 i 30. Numer 18 Napisz w pierwszej linii i drugiej kolumnie i wpisz numer 30 w pierwszej linii i trzeciej kolumnie.

   2. Znajdź dzielnik wspólny dla obu liczb. Zapisz go w pierwszej linii i pierwszej kolumnie. Lepiej szukać prostych dzielników, ale nie jest to warunkiem wstępnym.

      • Na przykład 18 i 30 jest liczby parzysteDlatego ich wspólny dzielnik będzie numer 2. W ten sposób napisz 2 w pierwszym rzędzie i pierwszej kolumnie.

   3. Podziel każdą liczbę na pierwszym dzielnicy. Każdy prywatnie nagrany pod odpowiednią liczbą. Prywatny jest wynikiem dzielącej dwóch liczb.

      • Na przykład, 18 ÷ 2 \u003d 9 (DisplayStyle 18 Div 2 \u003d 9)Dlatego napisz 9 poniżej 18 roku życia.
      • 30 ÷ 2 \u003d 15 (DisplayStyle 30 Div 2 \u003d 15)Dlatego napisz 15 poniżej 30 lat.

   4. Znajdź dzielnik wspólny dla obu prywatnych. Jeśli nie ma takiego dzielnika, pomiń następujące dwa kroki. W przeciwnym razie dzielnik zostanie zapisany w drugiej linii i pierwszej kolumnie.

      • Na przykład, 9 i 15 są podzielone na 3, więc napisz 3 w drugim rzędzie i pierwszej kolumnie.

   5. Podziel każdy prywatny na drugim dzielnicy. Każdy wynik podziału jest rejestrowany pod odpowiednim prywatnym.

      • Na przykład, 9 ÷ 3 \u003d 3 (DisplayStyle 9 Div 3 \u003d 3)Dlatego napisz 3 poniżej 9.
      • 15 ÷ 3 \u003d 5 (DisplayStyle 15 Div 3 \u003d 5)Dlatego napisz 5 poniżej 15 roku życia.

   6. W razie potrzeby dodaj siatkę z dodatkowymi komórkami. Powtórz opisane działania, aż prywatny nie będzie miał wspólnego dzielnika.

   7. Numery okręgu w pierwszej kolumnie i ostatni wiersz siatki. Następnie wybrane numery rekord jako operacja mnożenia.

      • Na przykład, liczby 2 i 3 znajdują się w pierwszej kolumnie, a numery 3 i 5 znajdują się w ostatniej linii, więc operacja mnożenia jest rejestrowana w następujący sposób: 2 × 3 × 3 × 5 (DisplayStyle 2 razy 3 razy 3 razy 5).

   8. Znajdź wynik mnożenia liczb. Więc obliczysz najmniejszą ogólną wielokrotność dwóch danych.

      • Na przykład, 2 × 3 × 3 × 5 \u003d 90 (DisplayStyle 2 razy 3 razy 3 razy 5 \u003d 90). Zatem najmniejsza całkowita liczba 18 i 30 wynosi 90.

   Algorytm EUCLIda.

   1. Pamiętaj o terminologii związanej z działaniem podziału. Delimi to numer podzielony. Divider to numer, dla którego dzielą się. Prywatny jest wynikiem dzielącej dwóch liczb. Pozostałość jest numerem pozostającym przy dzieleniu dwóch liczb.

      • Na przykład w wyrażeniu 15 ÷ 6 \u003d 2 (DisplayStyle 15 Div 6 \u003d 2) Ost. 3:
        15 - To jest podzielne
        6 jest dzielnikiem
        2 jest prywatny
        3 jest pozostałością.

Przejdziemy do badania najmniejszych wspólnych dwóch lub więcej liczb. W sekcji podadzimy definicję terminu, rozważmy twierdzenie, który ustanawia powiązanie między najmniejszą wspólną wielokrotnością a największym wspólnym dzielnikiem, podajemy przykłady rozwiązywania problemów.

Wspólne wielokrotności - definicja, przykłady

W tym temacie będziemy zainteresowani jedynie całkowitymi liczbami całkowitymi innymi niż zero.

Definicja 1.

Całkowite liczby całkowite - Jest to taki całkowite liczbę całkowitą, która jest wielokrotnością tych liczb. W rzeczywistości jest to jakikolwiek liczb całkowity, który można podzielić na dowolną z tych liczb.

Określenie wspólnych wielu liczb odnosi się do dwóch, trzech i więcej liczb całkowitych.

Przykład 1.

Zgodnie z powyższą definicją numeru 12 przez wspólnotową liczbę liczb wynosi 3 i 2. Ponadto liczba 12 będzie wspólną wieloma liczbami 2, 3 i 4. Liczby 12 i - 12 są powszechnymi liczbami liczb ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12-12.

Jednocześnie całkowita liczba wielu liczb 2 i 3 będzie liczbami 12, 6, - 24, 72, 468, - 100 010 004 i wielu innych.

Jeśli weźmiemy liczby, które są podzielone na pierwszą liczbę z pary i nie są podzielone na sekundę, taką liczbą nie będą ogólne wielokrotne. Tak więc, dla liczb 2 i 3 liczb 16, - 27, 5 009, 27 001 nie będzie ogólna wielokrotność.

0 jest wspólną wielokrotnością dla dowolnego zestawu liczb całkowitych innych niż zero.

Jeśli pamiętasz własność podziałalności przeciwne numeryOkazuje się, że niektórzy liczba całkowita K będzie wspólnymi wieloma liczbami, a także numerem - k. Oznacza to, że wspólni divistry mogą być zarówno pozytywne, jak i negatywne.

Czy można znaleźć NOC dla wszystkich numerów?

Typowa wielokrotność można znaleźć dla wszystkich liczb całkowitych.

Przykład 2.

Przypuśćmy, że jesteśmy dani K. liczby całkowitej 1, 2, ..., k. Numer, który otrzymujemy podczas mnożenia liczb 1 · a 2 · ... · k Zgodnie z własnością podzielności zostanie podzielony na każdy z mnożników, który został zawarty w pracy początkowej. Oznacza to, że liczba liczb 1, 2, ..., kjest to najmniejsza wspólna dla tych liczb.

Ile wspólnych wielu danych może mieć liczby całkowite danych?

Grupa całkowitych może mieć dużą liczbę wspólnych wielokrotności. W rzeczywistości ich liczba jest nieskończona.

Przykład 3.

Przypuśćmy, że mamy pewną liczbę k. Następnie produkt numerów K · Z, gdzie Z jest liczbą całkowitą, będzie wspólnym wieloma numeryami K i Z. Biorąc pod uwagę fakt, że liczba liczb jest nieskończona, liczba typowa wielokrotności jest nieskończona.

Najmniejsza całkowita wielokrotność (NOC) - definicja, oznaczenie i przykłady

Przypomnijmy pojęcie najmniejszej liczby z tego zestawu liczb, przeglądaliśmy w sekcji "Porównawanie liczb całkowitych". Biorąc pod uwagę tę koncepcję, sformułujemy definicję najmniejszej ogólnej wielokrotnej wielokrotności, która ma wśród wszystkich wspólnych wielokrotności największe znaczenie praktyczne.

Definicja 2.

Najmniejsza całkowita liczba danych liczb całkowitych - Jest to najmniejsza pozytywna wspólna wielokrotność tych liczb.

Najmniejsza ogólna wielokrotność istnieje dla dowolnej liczby danych danych. Najbardziej używane do wyznaczenia koncepcji w książce referencyjnej jest skrót NOC. Krótki zapis najmniejszej liczby wielu liczb 1, 2, ..., k będzie miał rodzaj NOK (A 1, A 2, ..., A K).

Przykład 4.

Najmniejsze ogólne liczby 6 i 7 wynosi 42. Te. NOK (6, 7) \u003d 42. Najmniejsza całkowita wielokrotność czterech liczb - 2, 12, 15 i 3 będzie 60. Krótki wpis zostanie oglądany NOC (- 2, 12, 15, 3) \u003d 60.

Nie dla wszystkich grup tych liczb, najmniejsza powszechna jest jasna. Często należy go obliczyć.

Komunikacja między NOC a NOD

Najmniejsza całkowita wielokrotność i największy wspólny dzielnik jest połączony. Związek między koncepcjami ustanawia twierdzenie.

Twierdzenie 1.

Najmniejszy ogólny wielokrotność dwóch dodatnich liczb całkowitych A i B jest równy produktowi liczb A i B, podzielony na największy powszechny dzielnik liczb A i B, który jest, NOK (A, B) \u003d A · B: węzeł ( A, b).

Dowód 1.

Przypuśćmy, że mamy numer M, co jest wielokrotnością liczb a i b. Jeśli numer M zostanie podzielony na a, istnieje również pewne liczbę całkowitą z , Na jakiej równości ma rację M \u003d a · k. Zgodnie z definicją podziału, jeśli m jest podzielony na B., więc wtedy A · K. podzielony przez B..

Jeśli wejdziemy na nowe oznaczenie głowy (A, B) jako RE., możemy użyć równości A \u003d A 1 · D i b \u003d b 1 · d. Jednocześnie oba równości będą wzajemnie proste liczby.

Otworzyliśmy już powyżej A · K. podzielony przez B.. Teraz ten warunek może być zapisany w następujący sposób:
A 1 · D · K podzielony przez B 1 · dto jest równoważne warunkowi A 1 · K podzielony przez B 1. Zgodnie z właściwościami podziału.

Zgodnie z właściwością wzajemnie prostych liczb, jeśli A 1. i B 1. - wzajemnie proste liczby, A 1. Nie podzielony przez B 1. pomimo tego, że A 1 · K podzielony przez B 1.T. B 1. musi być wspólny K..

W takim przypadku należy założyć, że jest liczba T., dla którego k \u003d b 1 · ti od B 1 \u003d b: dT. k \u003d b: d · t.

Teraz zamiast tego k. Substytut równości M \u003d a · k Wyraz typu B: d · t. Pozwala to na równość. M \u003d a · b: d · t. Dla T \u003d 1. Możemy uzyskać najmniejsze pozytywne wspólne liczby A i B , równy A · B: D, pod warunkiem, że liczby A i B pozytywny.

Więc udowodniliśmy, że NOK (A, B) \u003d A · B: NOD (A, B).

Utworzenie połączenia między NOC i NOD pozwala znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność dzięki największym wspólnym dzielnikowi dwóch i więcej danych.

Definicja 3.

Twierdzenie ma dwie ważne konsekwencje:

• wielokrotność najmniejszej liczby wielu dwóch liczb pokrywa się ze wspólną wielokrotnością tych dwóch liczb;
• najmniejsza wspólna wielokrotność wzajemnie prostych dodatnich numerów A i B są równe ich pracy.

Uzasadnić te dwa fakty nie są trudne. Wszelkie wspólne liczby M A i B są określane przez równość M \u003d NOC (A, B) · T z pewną całą wartością t. Ponieważ A i B są wzajemnie proste, a następnie węzeł (A, B) \u003d 1, Dlatego NOK (A, B) \u003d A · B: NOW (A, B) \u003d A · B: 1 \u003d A · B.

Najmniejsza całkowita wielokrotność trzech i więcej liczb

Aby znaleźć najmniejszą ogólną wielokrotność kilku liczb, konieczne jest konsekwentnie znaleźć NOC z dwóch liczb.

Twierdzenie 2.

Udawajmy, że 1, 2, ..., k - Są to kilka liczb dodatnich. Aby obliczyć NOK m K. Te liczby, musimy konsekwentnie obliczyć m 2 \u003d nok (A 1, A 2), M 3 \u003d NOK. (m 2, A 3), ..., m k \u003d NOK. (M K - 1, A K).

Dowód 2.

Udowodnienie lojalności drugiego twierdzenia pomoże nam pierwszą konsekwencją pierwszego twierdzenia omówionych w tym temacie. Argumenty są zbudowane zgodnie z następującym algorytmem:

• wspólne wiele liczb A 1. i A 2. zbiegają się z wielokrotnością NOK, w rzeczywistości pokrywają się z wieloma liczbami m 2.;
• wspólne wiele liczb A 1., A 2. i A 3. m 2. i A 3. M 3.;
• wspólne wiele liczb 1, 2, ..., k pokrywa się ze wspólnymi wieloma liczbami M k - 1 i K.Dlatego pokrywają się z wieloma liczbami M K.;
• ze względu na fakt, że najmniejsza pozytywna liczba M K. to liczba M K.Następnie najmniejsze wspólne liczby 1, 2, ..., k to A. M K..

Więc udowodniliśmy twierdzenie.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, wybierz go i naciśnij Ctrl + Enter