Jak wykonywać akcje ze zwykłymi ułamkami. Matematyka: działania z ułamkami

1.Dodawanie i odejmowanie ułamków o tym samym mianowniku

Podczas dodawania ułamków o tych samych mianownikach liczniki sumują się i

Podczas odejmowania ułamków o tym samym mianowniku licznik drugiego ułamka jest odejmowany od licznika pierwszego ułamka i mianownik pozostaje taki sam.

Przykłady: a) ; b)

2.Dodawanie i odejmowanie ułamków za pomocą różne mianowniki

Aby dodać (odjąć) ułamki o różnych mianownikach, potrzebujesz:

zredukuj te ułamki do najniższego wspólnego mianownika

dodać (odjąć) otrzymane ułamki (jak w ust. 1)

Przykłady: a)
; b)

3.Dodawanie i odejmowanie liczb mieszanych

Aby dodać liczby mieszane, potrzebujesz:

sprowadzić części ułamkowe tych liczb do najniższego wspólnego mianownika;

oddzielnie wykonaj dodawanie całych części i osobno części ułamkowych. Jeśli podczas dodawania części ułamkowych otrzymasz niepoprawny ułamek, wybierz całą część z tej ułamka i dodaj ją do wynikowej całej części.

Przykłady: a)
; b)

Aby odjąć liczby mieszane, musisz:

sprowadzić części ułamkowe tych liczb do najniższego wspólnego mianownika; jeśli ułamkowa część zredukowanej jest mniejsza niż ułamkowa część odejmowanej, zamień ją w nieregularną część, zmniejszając całą część o jeden;

oddzielnie wykonuj odejmowanie całych części i osobno części ułamkowych.

Przykłady: a)
; b)

4 mnożenie ułamków

a) Aby pomnożyć ułamek przez Liczba naturalna , należy pomnożyć jego licznik przez tę liczbę, a mianownik pozostawić bez zmian

Przykłady:

b) Aby pomnożyć ułamek przez ułamek, niezbędny:

1) wpisać iloczyn liczników w liczniku i iloczyn mianowników w mianowniku;

2) dokonać redukcji (jeśli to możliwe);

3) wykonać mnożenie

Przykłady: a)
; b)

c) Aby pomnożyć liczby mieszane, należy zapisać je w postaci ułamków niewłaściwych, a następnie zastosować regułę mnożenia ułamków.

Przykłady:

5 podział ułamków

Aby podzielić jeden ułamek przez drugi, należy pomnożyć dzielną przez odwrotność dzielnika

Akcje z ułamkami. W tym artykule przeanalizujemy przykłady, wszystko jest szczegółowo wyjaśnione. Rozważymy zwykłe ułamki. W przyszłości będziemy analizować miejsca po przecinku. Polecam obejrzeć to wszystko i przestudiować po kolei.

1. Suma ułamków, różnica ułamków.

Zasada: przy dodawaniu ułamków o równych mianownikach wynik jest ułamkiem - którego mianownik pozostaje taki sam, a jego licznik będzie równy sumie liczników ułamków.

Zasada: przy obliczaniu różnicy ułamków o tych samych mianownikach otrzymujemy ułamek - mianownik pozostaje taki sam, a licznik drugiego ułamka jest odejmowany od licznika pierwszego ułamka.

Formalny zapis sumy i różnicy ułamków o równych mianownikach:

Przykłady (1):

Oczywiste jest, że kiedy podaje się zwykłe ułamki, wszystko jest proste, ale czy mieszane? Nic skomplikowanego...

opcja 1- możesz je przetłumaczyć na zwykłe, a następnie przeliczyć.

Opcja 2- możesz osobno "pracować" z częściami całkowitymi i ułamkowymi.

Przykłady (2):

Już:

Co się stanie, jeśli podana jest różnica dwóch ułamków mieszanych, a licznik pierwszego ułamka jest mniejszy niż licznik drugiego? Możesz też działać na dwa sposoby.

Przykłady (3):

* Przetłumaczone na zwykłe ułamki, obliczono różnicę, przekonwertowano wynikowy ułamek niepoprawny na ułamek mieszany.

* Podzielony na części całkowite i ułamkowe, otrzymał trójkę, następnie przedstawił 3 jako sumę 2 i 1, przy czym jednostka została przedstawiona jako 11/11, następnie znalazł różnicę między 11/11 a 7/11 i obliczył wynik. Znaczenie powyższych przekształceń polega na wzięciu (wybraniu) jednostki i przedstawieniu jej jako ułamka z mianownikiem, którego potrzebujemy, a następnie możemy odjąć inny od tego ułamka.

Inny przykład:

Wniosek: istnieje uniwersalne podejście - aby obliczyć sumę (różnicę) ułamków mieszanych o równych mianownikach, zawsze można je przetłumaczyć na niepoprawne, a następnie wykonać niezbędne działanie. Następnie, jeśli w wyniku otrzymamy niepoprawny ułamek, zamieniamy go na mieszany.

Powyżej przyjrzeliśmy się przykładom z ułamkami, które mają równe mianowniki. A jeśli mianowniki są różne? W takim przypadku ułamki są redukowane do tego samego mianownika i wykonywane jest określone działanie. Aby zmienić (przekształcić) ułamek, używana jest główna właściwość ułamka.

Spójrzmy na kilka prostych przykładów:

W tych przykładach od razu widzimy, jak jeden z ułamków można przekształcić, aby uzyskać równe mianowniki.

Jeśli wyznaczymy sposoby redukcji ułamków do jednego mianownika, to ten będzie się nazywał METODA PIERWSZA.

Oznacza to, że zaraz przy „ocenianiu” ułamka trzeba oszacować, czy takie podejście się sprawdzi – sprawdzamy, czy większy mianownik jest dzielony przez mniejszy. A jeśli jest podzielony, to wykonujemy transformację - mnożymy licznik i mianownik tak, aby mianowniki obu ułamków były sobie równe.

Teraz spójrz na te przykłady:

Takie podejście nie ma do nich zastosowania. Istnieją również sposoby na sprowadzenie ułamków do wspólnego mianownika, rozważ je.

Metoda DRUGA.

Mnożymy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego, a licznik i mianownik drugiego ułamka przez mianownik pierwszego:

* W rzeczywistości wprowadzamy ułamki do postaci, gdy mianowniki się wyrównają. Następnie stosujemy zasadę dodawania koszulek o równych mianownikach.

Przykład:

* Tę metodę można nazwać uniwersalną i zawsze działa. Jedyną wadą jest to, że po obliczeniach możesz otrzymać ułamek, który trzeba będzie jeszcze zmniejszyć.

Rozważmy przykład:

Widać, że licznik i mianownik są podzielne przez 5:

Metoda TRZECIA.

Znajdź najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) mianowników. To będzie wspólny mianownik. Co to za numer? Jest to najmniejsza liczba naturalna podzielna przez każdą z liczb.

Spójrz, oto dwie liczby: 3 i 4, jest wiele liczb podzielnych przez nie - to 12, 24, 36, ... Najmniejsza z nich to 12. Lub 6 i 15, są podzielne przez 30, 60, 90 .... Najmniejsza 30. Pytanie brzmi – jak wyznaczyć tę najmniejszą wspólną wielokrotność?

Istnieje jasny algorytm, ale często można to zrobić natychmiast, bez obliczeń. Na przykład, zgodnie z powyższymi przykładami (3 i 4, 6 i 15), nie jest potrzebny żaden algorytm, wzięliśmy duże liczby (4 i 15) i podwoiliśmy je i zobaczyliśmy, że są podzielne przez drugą liczbę, ale pary liczb mogą być inne, na przykład 51 i 119.

Algorytm. Aby wyznaczyć najmniejszą wspólną wielokrotność kilku liczb, musisz:

- rozłóż każdą z liczb na czynniki PODSTAWOWE

- wypisz rozkład WIĘKSZOŚCI z nich

- pomnóż to przez MISSING czynników innych liczb

Spójrzmy na kilka przykładów:

50 i 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

w ekspansji większej liczby brakuje jednej piątki

=> LCM (50,60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 5 ∙ 5 = 300

48 i 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

w ekspansji większej liczby brakuje dwóch i trzech

=> LCM (48,72) = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3 = 144

* Najmniejsza wspólna wielokrotność dwóch liczb pierwszych jest równa ich iloczynowi

Pytanie! I dlaczego warto znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność, ponieważ możesz użyć drugiej metody, a wynikowy ułamek można po prostu anulować? Tak, możesz, ale nie zawsze jest to wygodne. Spójrz na wynikowy mianownik dla liczb 48 i 72, jeśli po prostu pomnożysz je 48 ∙ 72 = 3456. Zgadzam się, że przyjemniej jest pracować z mniejszymi liczbami.

Spójrzmy na kilka przykładów:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

w ekspansji większej liczby brakuje trójki

=> LCM (51 119) = 3 ∙ 7 ∙ 17

Teraz zastosujmy pierwszą metodę:

* Spójrz na różnicę w obliczeniach, w pierwszym przypadku jest ich minimum, aw drugim musisz pracować osobno na kartce papieru, a nawet otrzymany ułamek musi zostać zmniejszony. Znalezienie LCM znacznie ułatwia pracę.

Więcej przykładów:

* W drugim przykładzie jest już jasne, że najmniejsza liczba podzielna przez 40 i 60 to 120.

CAŁKOWITY! OGÓLNY ALGORYTM OBLICZENIOWY!

- redukujemy ułamki do zwykłych, jeśli występuje część całkowita.

- ułamki doprowadzamy do wspólnego mianownika (najpierw patrzymy, czy jeden mianownik dzieli się przez drugi, jeśli jest dzielony, to mnożymy licznik i mianownik tego drugiego ułamka; jeśli nie jest dzielony, działamy przez drugi metody wskazane powyżej).

- po otrzymaniu ułamków o równych mianownikach wykonujemy akcje (dodawanie, odejmowanie).

- w razie potrzeby zmniejszamy wynik.

- w razie potrzeby wybierz całą część.

2. Iloczyn frakcji.

Zasada jest prosta. Podczas mnożenia ułamków mnoży się ich liczniki i mianowniki:

Przykłady:

Ten artykuł zawiera ogólne spojrzenie na ułamki. Tutaj sformułujemy i uzasadnimy zasady dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia i potęgowania ogólnych ułamków A/B, gdzie A i B to pewne liczby, wyrażenia liczbowe lub wyrażenia ze zmiennymi. Jak zwykle dostarczymy materiał z przykładami objaśniającymi ze szczegółowymi opisami rozwiązań.

Nawigacja po stronach.

Ogólne zasady wykonywania akcji z ułamkami numerycznymi

Przyjmijmy, że przez ogólne ułamki liczbowe oznaczają ułamki, w których licznik i/lub mianownik mogą być reprezentowane nie tylko przez liczby naturalne, ale także przez inne liczby lub wyrażenia liczbowe. Dla jasności podamy kilka przykładów takich frakcji:, .

Znamy zasady, według których są wykonywane. Zgodnie z tymi samymi zasadami możesz wykonywać akcje z ułamkami ogólnymi:

Uzasadnienie zasad

Aby uzasadnić słuszność zasad wykonywania akcji z ogólnymi ułamkami liczbowymi, można zacząć od następujących punktów:

• kreska ułamkowa jest zasadniczo znakiem podziału,
• dzielenie przez pewną liczbę niezerową można traktować jako mnożenie przez odwrotność dzielnika (to od razu wyjaśnia zasadę podział ułamków),
• własności akcji z liczbami rzeczywistymi,
• i jego uogólnione rozumienie,

Pozwalają na przeprowadzenie następujących przekształceń, uzasadniając zasady dodawania, odejmowania ułamków o tych samych i różnych mianownikach, a także zasadę mnożenia ułamków:

Przykłady

Podamy przykłady wykonywania akcji z ułamkami ogólnymi zgodnie z zasadami poznanymi w poprzednim akapicie. Powiedzmy od razu, że zwykle po wykonaniu akcji z ułamkami wynikowy ułamek wymaga uproszczenia, a proces uproszczenia ułamka jest często bardziej skomplikowany niż wykonanie poprzednich akcji. Nie będziemy się rozwodzić nad uproszczeniem ułamków (odpowiednie przekształcenia są omówione w artykule na temat konwersji ułamków), aby nie odwracać uwagi od interesującego nas tematu.

Zacznijmy od przykładów dodawania i odejmowania ułamków liczbowych o tym samym mianowniku. Najpierw dodaj ułamki i. Oczywiście mianowniki są sobie równe. Zgodnie z odpowiednią regułą zapisujemy ułamek, którego licznik jest równy sumie liczników pierwotnych ułamków, a mianownik pozostaje taki sam, jak my. Dodawanie jest zakończone, pozostaje uproszczenie powstałej frakcji: ... Więc, .

Można było przeprowadzić rozwiązanie inaczej: najpierw przejść do zwykłych frakcji, a następnie przeprowadzić dodawanie. Dzięki takiemu podejściu mamy .

Teraz odejmijmy od ułamka frakcja ... Mianowniki ułamków są równe, dlatego działamy zgodnie z zasadą odejmowania ułamków o tych samych mianownikach:

Przejdźmy do przykładów dodawania i odejmowania ułamków o różnych mianownikach. Główna trudność polega tutaj na doprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika. W przypadku frakcji ogólnych jest to dość obszerny temat, przeanalizujemy go szczegółowo w osobnym artykule. wspólny mianownik ułamków... Teraz ograniczmy się do pary ogólne zalecenia od kiedy in ten moment bardziej interesuje nas technika wykonywania akcji z ułamkami.

Ogólnie proces jest podobny do redukowania wspólnych ułamków do wspólnego mianownika. Oznacza to, że mianowniki są reprezentowane w postaci produktów, następnie wszystkie czynniki są pobierane z mianownika pierwszej frakcji i dodawane są do nich brakujące czynniki z mianownika drugiej frakcji.

Gdy mianowniki dodanych lub odjętych ułamków nie mają wspólnych dzielników, logiczne jest przyjęcie ich iloczynu jako wspólnego mianownika. Podajmy przykład.

Powiedzmy, że musimy dodać ułamki i 1/2. Tutaj, jako wspólny mianownik, logiczne jest przyjęcie iloczynu mianowników pierwotnych ułamków, to znaczy. W takim przypadku dodatkowy współczynnik dla pierwszej frakcji wyniesie 2. Po pomnożeniu przez niego licznika i mianownika ułamek przyjmie postać. A dla drugiej frakcji dodatkowym czynnikiem jest wyrażenie. Z jego pomocą frakcja 1/2 zostaje zredukowana do formy. Pozostaje dodać powstałe frakcje o tych samych mianownikach. Oto podsumowanie całego rozwiązania:

W przypadku ułamków ogólnych nie mówimy już o najniższym wspólnym mianowniku, do którego zwykle sprowadza się ułamki zwykłe. Chociaż w tej kwestii nadal pożądane jest dążenie do minimalizmu. W ten sposób chcemy powiedzieć, że nie należy traktować iloczynu mianowników pierwotnych ułamków jako wspólnego mianownika. Na przykład wcale nie jest konieczne branie wspólnego mianownika ułamków i produktu ... Tutaj możemy przyjąć jako wspólny mianownik.

Zwracamy się do przykładów mnożenia ułamków ogólnych. Pomnóżmy ułamki zwykłe i. Reguła wykonania tej czynności nakazuje nam zapisać ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników ułamków pierwotnych, a mianownik jest iloczynem mianowników. Mamy ... Tutaj, podobnie jak w wielu innych przypadkach mnożenia ułamków, możesz anulować ułamek: .

Zasada dzielenia ułamków pozwala przejść od dzielenia do mnożenia przez odwrotność. Tutaj musisz pamiętać, że aby otrzymać odwrotność danego ułamka, musisz przestawić licznik i mianownik tego ułamka. Oto przykład przejścia od ogólnego dzielenia ułamków liczbowych do mnożenia: ... Pozostaje wykonać mnożenie i uprościć wynikowy ułamek (jeśli to konieczne, zobacz transformację wyrażeń niewymiernych):

Kończąc informacje zawarte w tym akapicie, przypomnij, że dowolna liczba lub wyrażenie liczbowe może być reprezentowane jako ułamek z mianownikiem 1, dlatego dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie liczb i ułamków można uznać za wykonanie odpowiedniej akcji z ułamkami, jedną z który ma jednostkę w mianowniku ... Na przykład zastąpienie w wyrażeniu pierwiastek z trzech ułamków, przejdziemy od mnożenia ułamka przez liczbę do mnożenia dwóch ułamków: .

Wykonywanie akcji na ułamkach zawierających zmienne

Reguły z pierwszej części tego artykułu są również stosowane do wykonywania akcji z ułamkami zawierającymi zmienne. Uzasadnijmy pierwszy z nich - zasada dodawania i odejmowania ułamków o tych samych mianownikach, pozostałe są udowadniane w ten sam sposób.

Udowodnijmy, że dla dowolnych wyrażeń A, C i D (D nie jest identycznie zerem) równość na jego zakres dopuszczalnych wartości zmiennych.

Weźmy jakiś zestaw zmiennych z ODV. Niech dla tych wartości zmiennych wyrażenia A, C i D przyjmą wartości a 0, c 0 i d 0. Następnie podstawienie wartości zmiennych z wybranego zestawu do wyrażenia zamienia je na sumę (różnicę) ułamków liczbowych o tych samych mianownikach postaci, które zgodnie z zasadą dodawania (odejmowania) liczb ułamki o tych samych mianownikach jest równe. Ale podstawienie wartości zmiennych z wybranego zestawu do wyrażenia konwertuje go na ten sam ułamek. Oznacza to, że dla wybranego zestawu wartości zmiennych z LDZ wartości wyrażeń i są równe. Oczywiste jest, że wartości tych wyrażeń będą równe dla każdego innego zestawu wartości zmiennych z ODZ, co oznacza, że ​​wyrażenia i są identycznie równe, to znaczy udowodniona równość jest prawdziwa .

Przykłady dodawania i odejmowania ułamków ze zmiennymi

Gdy mianowniki dodanych lub odjętych ułamków są takie same, wszystko jest dość proste - liczniki są dodawane lub odejmowane, a mianownik pozostaje taki sam. Oczywiste jest, że frakcja uzyskana po tym jest uproszczona, jeśli to konieczne i możliwe.

Zauważ, że czasami mianowniki ułamków różnią się tylko na pierwszy rzut oka, ale w rzeczywistości są to identycznie równe wyrażenia, takie jak: i, lub i. A czasami wystarczy uprościć oryginalne ułamki, aby „pojawiły się” ich identyczne mianowniki.

Przykład.

, b) , v) .

Rozwiązanie.

a) Musimy odjąć ułamki o tych samych mianownikach. Zgodnie z odpowiednią zasadą pozostawiamy mianownik bez zmian i odejmujemy liczniki, które mamy ... Akcja zakończona. Ale nadal możesz rozwinąć nawiasy w liczniku i podać podobne terminy: .

b) Oczywiście mianowniki dodanych frakcji są takie same. Dlatego zsumuj liczniki i pozostaw mianownik taki sam:. Dodatek jest kompletny. Ale łatwo zauważyć, że uzyskany ułamek można anulować. Rzeczywiście, licznik otrzymanego ułamka może być splątany przez wzór kwadratu sumy jako (lgx + 2) 2 (patrz wzory na skrócone mnożenie), a zatem zachodzą następujące przekształcenia: .

c) Ułamki w sumie mają różne mianowniki. Ale po przekształceniu jednej z ułamków możesz przystąpić do dodawania ułamków o tych samych mianownikach. Pokażemy dwa rozwiązania.

Pierwszy sposób. Mianownik pierwszego ułamka można rozłożyć na czynniki za pomocą wzoru na różnicę kwadratów, a następnie skreślić ten ułamek: ... Zatem, . Nadal nie zaszkodzi pozbyć się irracjonalności w mianowniku ułamka: .

Drugi sposób. Mnożenie licznika i mianownika drugiego ułamka przez (to wyrażenie nie znika dla żadnych wartości zmiennej x z ODZ dla oryginalnego wyrażenia) pozwala osiągnąć dwa cele jednocześnie: pozbyć się irracjonalności i przejść do dodanie frakcji o tych samych mianownikach. Mamy

Odpowiedź:

a) , b) , v) .

Ostatni przykład doprowadziło nas do pytania o zredukowanie ułamków do wspólnego mianownika. Tam prawie przypadkowo doszliśmy do tych samych mianowników, upraszczając jeden z dodanych ułamków. Ale w większości przypadków, dodając i odejmując ułamki o różnych mianownikach, musisz celowo sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika. W tym celu mianowniki frakcji są zwykle reprezentowane w postaci produktów, wszystkie czynniki są pobierane z mianownika pierwszej frakcji i dodawane są do nich brakujące czynniki z mianownika drugiej frakcji.

Przykład.

Wykonuj akcje z ułamkami: a) , pne) .

Rozwiązanie.

a) Nie trzeba nic robić z mianownikami ułamków. Jako wspólny mianownik przyjmujemy produkt ... W tym przypadku wyrażenie jest dodatkowym czynnikiem dla pierwszej frakcji, a liczba 3 dla drugiej frakcji. Te dodatkowe czynniki sprowadzają ułamki do wspólnego mianownika, co później pozwala nam wykonać akcję, której potrzebujemy, mamy

b) W tym przykładzie mianowniki są już reprezentowane jako produkty i nie są wymagane żadne dodatkowe przekształcenia. Oczywiście czynniki w mianownikach różnią się tylko wykładnikami, dlatego jako wspólny mianownik przyjmujemy iloczyn czynników o największych wykładnikach, czyli ... Wtedy dodatkowy czynnik dla pierwszej frakcji wyniesie x 4, a dla drugiej - ln (x + 1). Jesteśmy teraz gotowi do odejmowania ułamków:

c) Ac ta sprawa najpierw popracujmy z mianownikami ułamków. Wzory na różnicę kwadratów i kwadrat sumy pozwalają przejść od pierwotnej sumy do wyrażenia ... Teraz jest jasne, że te ułamki można sprowadzić do wspólnego mianownika ... Przy takim podejściu rozwiązanie będzie wyglądało tak:

Odpowiedź:

a)

b)

v)

Przykłady mnożenia ułamków przez zmienne

Mnożenie ułamków daje ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników ułamków pierwotnych, a mianownik jest iloczynem mianowników. Tutaj, jak widać, wszystko jest znajome i proste, a możemy tylko dodać, że ułamek uzyskany w wyniku wykonania tej akcji jest często anulowany. W takich przypadkach jest on redukowany, jeśli oczywiście jest to konieczne i uzasadnione.

W matematyce od samego początku badano różne typy liczb. Istnieje wiele zbiorów i podzbiorów liczb. Wśród nich są liczby całkowite, racjonalne, irracjonalne, naturalne, parzyste, nieparzyste, złożone i ułamkowe. Dzisiaj przeanalizujemy informacje o ostatnim zestawie - liczby ułamkowe.

Definiowanie ułamków

Ułamki to liczby składające się z całych części i ułamków jedności. Podobnie jak liczby całkowite, istnieje nieskończona liczba ułamków między dwiema liczbami całkowitymi. W matematyce działania z ułamkami są wykonywane tak jak z liczbami całkowitymi i liczbami naturalnymi. To całkiem proste i można się tego nauczyć w kilku lekcjach.

W artykule przedstawiono dwa rodzaje

Ułamki zwykłe

Wspólne ułamki reprezentują część całkowitą a i dwie liczby oddzielone kreską ułamkową b / c. Ułamki zwykłe mogą być niezwykle przydatne, jeśli części ułamkowej nie można przedstawić w racjonalnej notacji dziesiętnej. Ponadto wygodniej jest wykonywać operacje arytmetyczne za pomocą paska ułamkowego. Górna część to licznik, dolna to mianownik.

Działania ułamkowe: przykłady

Główna właściwość ułamka. Na pomnożenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę niezerową daje liczbę równą danej. Ta właściwość ułamka doskonale pomaga wprowadzić mianownik do dodania (zostanie to omówione poniżej) lub zmniejszyć ułamek, aby był wygodniejszy do liczenia. a / b = a * c / b * c. Na przykład 36/24 = 6/4 lub 9/13 = 18/26

Sprowadzając się do wspólnego mianownika. Aby sprowadzić mianownik ułamka, należy przedstawić mianownik w postaci mnożników, a następnie pomnożyć przez brakujące liczby. Na przykład 7/15 i 12/30; 7/5 * 3 i 12/5 * 3 * 2. Widzimy, że mianowniki różnią się dwoma, więc mnożymy licznik i mianownik pierwszego ułamka przez 2. Otrzymujemy: 14/30 i 12/30.

Frakcje złożone- zwykłe ułamki z podświetloną częścią całkowitą. (A b / c) Aby przedstawić ułamek złożony jako zwykły ułamek, należy pomnożyć liczbę przed ułamkiem przez mianownik, a następnie dodać ją z licznikiem: (A * c + b) / c.

Działania arytmetyczne na ułamkach

Rozważanie dobrze znanych operacji arytmetycznych nie będzie zbyteczne tylko podczas pracy z liczbami ułamkowymi.

Dodawanie i odejmowanie. Dodawanie i odejmowanie zwykłych ułamków jest tak samo proste, jak dodawanie liczb całkowitych, z wyjątkiem jednej trudności - obecności słupka ułamkowego. Podczas dodawania ułamków o tym samym mianowniku należy dodać tylko liczniki obu ułamków, mianowniki pozostają niezmienione. Na przykład: 5/7 + 1/7 = (5 + 1) / 7 = 6/7

Jeśli mianowniki dwóch ułamków są różnymi liczbami, najpierw musisz zbliżyć je do wspólnego (jak omówiono powyżej). 1/8 + 3/2 = 1/2 * 2 * 2 + 3/2 = 1/8 + 3 * 4/2 * 4 = 1/8 + 12/8 = 13/8. Odejmowanie przebiega dokładnie według tej samej zasady: 8/9 - 2/3 = 8/9 - 6/9 = 2/9.

Mnożenie i dzielenie. działania z ułamkami przez mnożenie występują zgodnie z następującą zasadą: liczniki i mianowniki mnoży się osobno. V ogólna perspektywa wzór mnożenia wygląda tak: a / b * c / d = a * c / b * d. Ponadto w miarę mnożenia można zmniejszyć ułamek, eliminując te same czynniki z licznika i mianownika. Innymi słowy, licznik i mianownik dzieli ta sama liczba: 4/16 = 4/4 * 4 = 1/4.

Aby podzielić jeden zwykły ułamek przez inny, należy zmienić licznik i mianownik dzielnika i pomnożyć dwa ułamki, zgodnie z omówioną wcześniej zasadą: 5/11:25/11 = 5/11 * 11/25 = 5 * 11/11 * 25 = 1/5

Ułamki dziesiętne

Ułamki dziesiętne są bardziej popularną i powszechnie stosowaną wersją liczb ułamkowych. Łatwiej jest je zapisać w linii lub przedstawić na komputerze. Struktura ułamka dziesiętnego jest następująca: najpierw zapisywana jest liczba całkowita, a następnie po przecinku zapisywana jest część ułamkowa. W jego rdzeniu ułamki dziesiętne- są to zwykłe ułamki złożone, ale ich część ułamkowa jest reprezentowana przez liczbę podzieloną przez wielokrotność 10. Stąd ich nazwa. Operacje na ułamkach dziesiętnych są podobne do operacji na liczbach całkowitych, ponieważ są również zapisywane w notacji dziesiętnej. Ponadto, w przeciwieństwie do zwykłych ułamków zwykłych, ułamki dziesiętne mogą być nieracjonalne. Oznacza to, że mogą być nieskończone. Są napisane jako 7, (3). Odczytywany jest następujący rekord: siedem punktów, trzy dziesiąte w okresie.

Podstawowe operacje na liczbach dziesiętnych

Dodawanie i odejmowanie ułamków dziesiętnych. Wykonywanie operacji na ułamkach nie jest trudniejsze niż na pełnych liczbach naturalnych. Zasady są absolutnie podobne do tych stosowanych przy dodawaniu lub odejmowaniu liczb naturalnych. Można je traktować jako kolumny w ten sam sposób, jednak w razie potrzeby zastąp brakujące miejsca zerami. Na przykład: 5,5697 - 1,12. Aby wykonać odejmowanie w kolumnie, należy wyrównać liczbę liczb po przecinku: (5,5697 - 1,1200). Tak więc wartość liczbowa nie zmieni się i będzie można liczyć w kolumnie.

Nie można wykonywać akcji z ułamkami dziesiętnymi, jeśli jedna z nich jest nieracjonalna. Aby to zrobić, musisz przetłumaczyć obie liczby na ułamki, a następnie użyć technik opisanych wcześniej.

Mnożenie i dzielenie. Mnożenie dziesiętne jest podobne do mnożenia naturalnego. Można je również pomnożyć w kolumnie, po prostu bez zwracania uwagi na przecinek, a następnie oddzielić przecinkiem w końcowej wartości taką samą liczbę cyfr, jak suma po przecinku była w dwóch ułamkach dziesiętnych. Na przykład 1,5 * 2,23 = 3,345. Wszystko jest bardzo proste i nie powinno być trudne, jeśli opanowałeś już mnożenie liczb naturalnych.

Dzielenie zbiega się również z dzieleniem liczb naturalnych, ale z niewielkim odchyleniem. Aby podzielić kolumnę przez liczbę dziesiętną, należy odrzucić przecinek w dzielniku i pomnożyć dzielną przez liczbę miejsc dziesiętnych w dzielniku. Następnie wykonaj dzielenie jak w przypadku liczb naturalnych. W przypadku niepełnego dzielenia możesz dodać zera do dywidendy po prawej stronie, również dodając zero w odpowiedzi po przecinku.

Przykłady akcji z ułamkami dziesiętnymi. Ułamki dziesiętne to bardzo przydatne narzędzie do obliczania arytmetyki. Łączą wygodę liczb naturalnych, liczb całkowitych i precyzji wspólnych ułamków. Ponadto dość łatwo jest przełożyć niektóre ułamki na inne. Akcje z ułamkami nie różnią się od akcji z liczbami naturalnymi.

1. Dodatek: 1,5 + 2,7 = 4,2
2. Odejmowanie: 3,1 - 1,6 = 1,5
3. Mnożenie: 1,7 * 2,3 = 3,91
4. Podział: 3,6: 0,6 = 6

Ponadto ułamki dziesiętne są odpowiednie do przedstawiania wartości procentowych. Tak więc 100% = 1; 60% = 0,6; i odwrotnie: 0,659 = 65,9%.

To wszystko, co trzeba wiedzieć o ułamkach. W artykule rozważono dwa rodzaje ułamków zwykłych - zwykły i dziesiętny. Oba są dość proste do obliczenia, a jeśli całkowicie opanowałeś liczby naturalne i operacje na nich, możesz bezpiecznie rozpocząć naukę liczb ułamkowych.

1º. Liczby całkowite- są to liczby używane do liczenia. Zbiór wszystkich liczb naturalnych jest oznaczony przez N, tj. N = (1, 2, 3, ...).

Frakcja nazywany liczbą składającą się z kilku części jednego. Ułamek zwyczajny nazywana jest liczbą postaci, gdzie liczba naturalna n pokazuje, na ile równych części dzieli się jednostka, oraz liczbę naturalną m pokazuje, ile takich równych części zostało pobranych. Liczby m oraz n są odpowiednio nazywane licznik ułamka oraz mianownik ułamki.

Jeśli licznik mniej niż mianownik, wtedy zwykły ułamek nazywa się prawidłowy; jeśli licznik jest równy lub większy od mianownika, to ułamek nazywa się zło... Nazywa się liczbę składającą się z części całkowitych i ułamkowych pomieszane numery.

Na przykład - ułamki regularne, - ułamki nieregularne, 1 - liczba mieszana.

2º. Podczas wykonywania czynności ponad zwykłe ułamki pamiętaj o następujących zasadach:

1)Podstawowa własność ułamka... Jeśli licznik i mianownik ułamka pomnożymy lub podzielimy przez tę samą liczbę naturalną, otrzymamy ułamek równy podanemu.

Na przykład a); b) .

Dzielenie licznika i mianownika ułamka przez ich wspólny dzielnik, inny niż jeden, nazywa się redukcja frakcji.

2) Aby przedstawić liczbę mieszaną jako niewłaściwą ułamek, należy pomnożyć jej całą część przez mianownik części ułamkowej i dodać licznik części ułamkowej do otrzymanego produktu, zapisać wynikową sumę jako licznik ułamka, i zostaw mianownik bez zmian.

Podobnie każdą liczbę naturalną można zapisać jako ułamek niewłaściwy z dowolnym mianownikiem.

Na przykład a), ponieważ; b) itp.

3) Aby zapisać niepoprawny ułamek jako liczbę mieszaną (czyli wybrać całą część z niepoprawnego ułamka), należy podzielić licznik przez mianownik, wziąć iloraz dzielenia jako całą część, resztę jako licznik, pozostaw mianownik bez zmian.

Na przykład a), od 200: 7 = 28 (odpoczynek 4);
b), od 20: 5 = 4 (odpoczynek 0).

4) Aby sprowadzić ułamki do najniższego wspólnego mianownika, należy znaleźć najmniejszą wspólną wielokrotność (LCM) mianowników tych ułamków (będzie to ich najniższy wspólny mianownik), podzielić najmniejszy wspólny mianownik przez mianowniki tych ułamków (tzn. znajdź dodatkowe współczynniki dla ułamków) , pomnóż licznik i mianownik każdego ułamka przez jego dodatkowy współczynnik.

Na przykład sprowadźmy ułamki do najniższego wspólnego mianownika:

630: 18 = 35, 630: 10 = 63, 630: 21 = 30.

Znaczy, ; ; .

5) Zasady operacji arytmetycznych na ułamkach zwykłych:

a) Dodawanie i odejmowanie ułamków o tym samym mianowniku odbywa się według zasady:

b) Dodawanie i odejmowanie ułamków o różnych mianownikach odbywa się zgodnie z zasadą a), najpierw sprowadzając ułamki do najmniejszego wspólnego mianownika.

c) Podczas dodawania i odejmowania liczb mieszanych można je przekształcić w ułamki niewłaściwe, a następnie wykonaj czynności zgodnie z zasadami a) i b),