Mnożenie trzech ułamków o różnych mianownikach. Frakcje
Inną operacją, którą można wykonać ze zwykłymi ułamkami, jest mnożenie. Postaramy się wyjaśnić jego podstawowe zasady przy rozwiązywaniu problemów, pokażemy jak mnoży się zwykły ułamek przez Liczba naturalna i jak poprawnie pomnożyć trzy lub więcej zwykłych ułamków.
Zapiszmy najpierw podstawową zasadę:
Definicja 1
Jeśli pomnożymy jeden zwykły ułamek, to licznik otrzymanego ułamka będzie równy iloczynowi liczników pierwotnych ułamków, a mianownik iloczynowi ich mianowników. W postaci dosłownej dla dwóch ułamków a / b i c / d można to wyrazić jako a b · c d = a · c b · d.
Spójrzmy na przykład, jak poprawnie zastosować tę regułę. Załóżmy, że mamy kwadrat, którego bok jest równy jednej jednostce liczbowej. Wtedy powierzchnia figury wyniesie 1 kwadrat. jednostka. Jeśli podzielimy kwadrat na równe prostokąty o bokach równych 14 i 18 jednostki liczbowej, otrzymamy, że składa się on teraz z 32 prostokątów (ponieważ 8 4 = 32). W związku z tym powierzchnia każdego z nich będzie równa 1 32 powierzchni całej figury, tj. 1 32 mkw. jednostki.
Mamy zacieniony fragment o bokach równych 5 8 jednostkom liczbowym i 3 4 jednostkom liczbowym. W związku z tym, aby obliczyć jego powierzchnię, konieczne jest pomnożenie pierwszego ułamka przez drugi. Będzie to 5 8 3 4 metry kwadratowe. jednostki. Ale możemy po prostu policzyć, ile prostokątów zawiera się we fragmencie: jest ich 15, więc Powierzchnia całkowita to 1532 jednostki kwadratowe.
Ponieważ 5 3 = 15 i 8 4 = 32 możemy zapisać następujące równanie:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Jest to potwierdzenie sformułowanej przez nas zasady mnożenia zwykłych ułamków, która wyraża się jako a b · c d = a · c b · d. Działa to tak samo dla ułamków właściwych i niewłaściwych; Może służyć do mnożenia ułamków o różnych i tych samych mianownikach.
Przeanalizujmy rozwiązania kilku problemów dotyczących mnożenia zwykłych ułamków.
Przykład 1
Pomnóż 7 11 przez 9 8 .
Rozwiązanie
Na początek obliczamy iloczyn liczników wskazanych ułamków, mnożąc 7 przez 9. Mamy 63 . Następnie obliczamy iloczyn mianowników i otrzymujemy: 11 8 = 88 . Skomponujmy odpowiedź z dwóch liczb: 63 88.
Całe rozwiązanie można napisać tak:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
Odpowiedź: 7 11 9 8 = 63 88 .
Jeśli w odpowiedzi otrzymaliśmy ułamek redukowalny, musimy dokończyć obliczenia i wykonać jego redukcję. Jeśli otrzymamy ułamek niewłaściwy, musimy wybrać z niego całą część.
Przykład 2
Oblicz iloczyn ułamków 4 15 i 55 6 .
Rozwiązanie
Zgodnie z omówioną powyżej regułą należy pomnożyć licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Wpis rozwiązania będzie wyglądał tak:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Uzyskaliśmy frakcję zredukowaną, tj. taki, który ma znak podzielności przez 10.
Zmniejszmy ułamek: 220 90 GCD (220, 90) \u003d 10, 220 90 \u003d 220: 10 90: 10 \u003d 22 9. W rezultacie otrzymaliśmy ułamek niewłaściwy, z którego wybieramy całą część i otrzymujemy liczbę mieszaną: 22 9 \u003d 2 4 9.
Odpowiedź: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Dla wygody obliczeń możemy również zmniejszyć ułamki pierwotne przed wykonaniem operacji mnożenia, dla której musimy sprowadzić ułamek do postaci a · c b · d. Rozkładamy wartości zmiennych na proste czynniki i anulujemy te same.
Wyjaśnijmy, jak to wygląda, korzystając z danych konkretnego problemu.
Przykład 3
Oblicz iloczyn 4 15 55 6 .
Rozwiązanie
Napiszmy obliczenia w oparciu o zasadę mnożenia. Będziemy zdolni do:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Ponieważ 4 = 2 2 , 55 = 5 11 , 15 = 3 5 i 6 = 2 3 , to 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 .
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Odpowiedź: 4 15 55 6 = 2 4 9 .
Wyrażenie liczbowe, w którym następuje mnożenie ułamków zwykłych ma własność przemienności, czyli w razie potrzeby możemy zmienić kolejność czynników:
a b c d = c d a b = a c b d
Jak pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną
Zapiszmy od razu podstawową zasadę, a następnie spróbujmy wyjaśnić ją w praktyce.
Definicja 2
Aby pomnożyć zwykły ułamek przez liczbę naturalną, należy pomnożyć licznik tego ułamka przez tę liczbę. W takim przypadku mianownik ułamka końcowego będzie równy mianownikowi oryginału wspólny ułamek. Mnożenie pewnego ułamka a b przez liczbę naturalną n można zapisać jako wzór a b · n = a · n b .
Łatwo zrozumieć tę formułę, jeśli pamiętasz, że dowolną liczbę naturalną można przedstawić jako zwykły ułamek o mianowniku równym jeden, czyli:
a b n = a b n 1 = a n b 1 = a n b
Wyjaśnijmy nasz pomysł na konkretnych przykładach.
Przykład 4
Oblicz iloczyn 2 27 przez 5 .
Rozwiązanie
W wyniku pomnożenia licznika pierwotnego ułamka przez drugi czynnik otrzymujemy 10. Na mocy powyższej reguły otrzymamy w rezultacie 10 27. Całe rozwiązanie znajdziesz w tym poście:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
Odpowiedź: 2 27 5 = 10 27
Kiedy mnożymy liczbę naturalną przez ułamek wspólny, często musimy zmniejszyć wynik lub przedstawić go jako liczbę mieszaną.
Przykład 5
Warunek: Oblicz iloczyn 8 razy 5 12 .
Rozwiązanie
Zgodnie z powyższą zasadą liczbę naturalną mnożymy przez licznik. W rezultacie otrzymujemy, że 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Końcowy ułamek ma oznaki podzielności przez 2, więc musimy go zmniejszyć:
LCM (40, 12) \u003d 4, więc 40 12 \u003d 40: 4 12: 4 \u003d 10 3
Teraz pozostaje nam tylko wybrać część całkowitą i zapisać gotową odpowiedź: 10 3 = 3 1 3.
W tym wpisie możesz zobaczyć całe rozwiązanie: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3 .
Moglibyśmy również zmniejszyć ułamek, rozkładając licznik i mianownik na czynniki pierwsze, a wynik byłby dokładnie taki sam.
Odpowiedź: 5 12 8 = 3 1 3 .
Wyrażenie liczbowe, w którym liczba naturalna jest pomnożona przez ułamek, również ma właściwość przesunięcia, to znaczy kolejność czynników nie wpływa na wynik:
a b n = n a b = a n b
Jak pomnożyć trzy lub więcej wspólnych ułamków
Możemy rozszerzyć do mnożenia zwykłych ułamków te same właściwości, które są charakterystyczne dla mnożenia liczb naturalnych. Wynika to z samej definicji tych pojęć.
Dzięki znajomości własności asocjacyjnych i przemiennych możliwe jest pomnożenie trzech lub więcej ułamków zwykłych. Dopuszczalne jest przestawianie współczynników w miejscach dla większej wygody lub ułożenie wsporników w sposób ułatwiający liczenie.
Pokażmy przykład, jak to się robi.
Przykład 6
Pomnóż cztery wspólne ułamki 1 20 , 12 5 , 3 7 i 5 8 .
Rozwiązanie: Najpierw nagrajmy pracę. Otrzymujemy 1 20 12 5 3 7 5 8 . Musimy pomnożyć wszystkie liczniki i wszystkie mianowniki razem: 1 20 12 5 3 7 5 8 = 1 12 3 5 20 5 7 8 .
Zanim zaczniemy mnożenie, możemy sobie to trochę ułatwić i rozłożyć kilka liczb na czynniki pierwsze do dalszej redukcji. Będzie to łatwiejsze niż zmniejszenie powstałej w ten sposób frakcji końcowej.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9 280
Odpowiedź: 1 12 3 5 20 5 7 8 = 9280.
Przykład 7
Pomnóż 5 liczb 7 8 12 8 5 36 10 .
Rozwiązanie
Dla wygody możemy pogrupować ułamek 7 8 z liczbą 8 i liczbę 12 z ułamkiem 5 36 , ponieważ dzięki temu będziemy mieli jasność co do przyszłych redukcji. W efekcie otrzymamy:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
Odpowiedź: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3 .
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
W V wieku pne starożytny grecki filozof Zenon z Elei sformułował swoje słynne aporie, z których najsłynniejszą jest aporia „Achilles i żółw”. Oto jak to brzmi:Powiedzmy, że Achilles biegnie dziesięć razy szybciej niż żółw i jest tysiąc kroków za nim. W czasie, gdy Achilles pokonuje ten dystans, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. Kiedy Achilles przebiegnie sto kroków, żółw będzie czołgał się o kolejne dziesięć i tak dalej. Proces będzie trwał w nieskończoność, Achilles nigdy nie dogoni żółwia.
To rozumowanie stało się logicznym szokiem dla wszystkich następnych pokoleń. Arystoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Wszyscy oni w ten czy inny sposób uważali aporie Zenona. Wstrząs był tak silny, że ” …dyskusje trwają w chwili obecnej, w środowisku naukowym nie udało się jeszcze wypracować wspólnej opinii na temat istoty paradoksów … w badanie zagadnienia zaangażowano analizę matematyczną, teorię mnogości, nowe podejścia fizyczne i filozoficzne ; żaden z nich nie stał się powszechnie akceptowanym rozwiązaniem problemu...„[Wikipedia”, „Aporie Zenona”]. Wszyscy rozumieją, że są oszukiwani, ale nikt nie rozumie, czym jest oszustwo.
Z punktu widzenia matematyki Zenon w swojej aporii wyraźnie zademonstrował przejście od wartości do. To przejście oznacza zastosowanie zamiast stałych. O ile rozumiem, aparat matematyczny do stosowania zmiennych jednostek miar albo nie został jeszcze opracowany, albo nie został zastosowany do aporii Zenona. Zastosowanie naszej zwykłej logiki prowadzi nas w pułapkę. My, przez inercję myślenia, stosujemy stałe jednostki czasu do odwrotności. Z fizycznego punktu widzenia wygląda to na spowolnienie w czasie, aż do całkowitego zatrzymania w momencie, gdy Achilles dogoni żółwia. Jeśli czas się zatrzyma, Achilles nie może już wyprzedzić żółwia.
Jeśli odwrócimy logikę, do której jesteśmy przyzwyczajeni, wszystko ułoży się na swoim miejscu. Achilles biegnie ze stałą prędkością. Każdy kolejny odcinek jego drogi jest dziesięć razy krótszy niż poprzedni. W związku z tym czas poświęcony na jego pokonanie jest dziesięciokrotnie krótszy niż poprzedni. Jeśli zastosujemy w tej sytuacji pojęcie „nieskończoności”, to słuszne byłoby powiedzenie „Achilles nieskończenie szybko wyprzedzi żółwia”.
Jak uniknąć tej logicznej pułapki? Pozostań w stałych jednostkach czasu i nie przełączaj na wartości odwrotne. W języku Zenona wygląda to tak:
W czasie, jaki Achilles potrzebuje na wykonanie tysiąca kroków, żółw czołga się sto kroków w tym samym kierunku. W następnym przedziale czasowym, równym pierwszemu, Achilles przebiegnie kolejne tysiąc kroków, a żółw będzie czołgał się na sto kroków. Teraz Achilles jest osiemset kroków przed żółwiem.
Takie podejście adekwatnie opisuje rzeczywistość bez żadnych logicznych paradoksów. Ale to nie jest kompletne rozwiązanie problemu. Stwierdzenie Einsteina o nie do pokonania prędkości światła jest bardzo podobne do aporii Zenona „Achilles i żółw”. Musimy jeszcze przestudiować, przemyśleć i rozwiązać ten problem. A rozwiązania należy szukać nie w nieskończenie dużych ilościach, ale w jednostkach miary.
Kolejna interesująca aporia Zenona opowiada o latającej strzałie:
Latająca strzała jest nieruchoma, ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, a ponieważ w każdej chwili jest w spoczynku, zawsze jest w spoczynku.
W tej aporii paradoks logiczny zostaje przezwyciężony bardzo prosto - wystarczy wyjaśnić, że w każdym momencie lecąca strzała spoczywa w różnych punktach przestrzeni, co w rzeczywistości jest ruchem. W tym miejscu należy zwrócić uwagę na jeszcze jedną kwestię. Z jednego zdjęcia samochodu na drodze nie da się ustalić ani faktu jego ruchu, ani odległości do niego. Do ustalenia faktu ruchu samochodu potrzebne są dwie fotografie wykonane z tego samego punktu w różnych punktach czasowych, ale nie można ich wykorzystać do określenia odległości. Aby określić odległość do samochodu, potrzebujesz dwóch zdjęć wykonanych jednocześnie z różnych punktów w przestrzeni, ale nie możesz z nich określić faktu ruchu (oczywiście nadal potrzebujesz dodatkowych danych do obliczeń, trygonometria ci pomoże) . W szczególności chcę zwrócić uwagę na to, że dwa punkty w czasie i dwa punkty w przestrzeni to dwie różne rzeczy, których nie należy mylić, ponieważ zapewniają różne możliwości eksploracji.
środa, 4 lipca 2018
Bardzo dobrze różnice między setami i multisetami są opisane w Wikipedii. Patrzymy.
Jak widać, „zestaw nie może mieć dwóch identycznych elementów”, ale jeśli w zestawie są identyczne elementy, taki zestaw nazywa się „multisetem”. Rozsądne istoty nigdy nie zrozumieją takiej logiki absurdu. Jest to poziom gadających papug i tresowanych małp, w którym umysł jest nieobecny w słowie „całkowicie”. Matematycy działają jak zwykli trenerzy, przekazują nam swoje absurdalne pomysły.
Dawno, dawno temu inżynierowie, którzy zbudowali most, byli w łodzi pod mostem podczas testów mostu. Jeśli most się zawalił, przeciętny inżynier zginął pod gruzami swojego dzieła. Jeśli most mógł wytrzymać obciążenie, utalentowany inżynier zbudował inne mosty.
Bez względu na to, jak matematycy kryją się za zwrotem „uwaga na mnie, jestem w domu”, a raczej „matematyka bada pojęcia abstrakcyjne”, istnieje jedna pępowina, która nierozerwalnie łączy je z rzeczywistością. Ta pępowina to pieniądze. Zastosujmy matematyczną teorię mnogości do samych matematyków.
Uczyliśmy się bardzo dobrze matematyki i teraz siedzimy przy kasie, płacąc pensje. Tutaj przychodzi do nas matematyk po swoje pieniądze. Odliczamy mu całą kwotę i układamy na naszym stole w różne stosy, w które wkładamy banknoty o tym samym nominale. Następnie bierzemy po jednym rachunku z każdego stosu i dajemy matematykowi jego „matematyczny zestaw wynagrodzeń”. Wyjaśniamy matematykę, że otrzyma resztę rachunków dopiero wtedy, gdy udowodni, że zbiór bez identycznych elementów nie jest równy zbiorowi z identycznymi elementami. Tu zaczyna się zabawa.
Przede wszystkim zadziała logika posłów: „możesz to zastosować do innych, ale nie do mnie!” Ponadto zaczną się zapewniać, że na banknotach o tym samym nominale znajdują się różne numery banknotów, co oznacza, że nie można ich uznać za elementy identyczne. Cóż, pensję liczymy w monetach - na monetach nie ma cyfr. Tutaj matematyk będzie gorączkowo wspominał fizykę: różne monety mają różną ilość brudu, struktura kryształu i układ atomów dla każdej monety jest wyjątkowy…
A teraz mam najciekawsze pytanie: gdzie jest granica, poza którą elementy wielozbioru zamieniają się w elementy zbioru i odwrotnie? Taka linia nie istnieje - o wszystkim decydują szamani, nauka tutaj nie jest nawet bliska.
Popatrz tutaj. Dobieramy stadiony piłkarskie o tej samej powierzchni boiska. Powierzchnia pól jest taka sama, co oznacza, że mamy multiset. Ale jeśli weźmiemy pod uwagę nazwy tych samych stadionów, otrzymamy bardzo dużo, bo nazwy są różne. Jak widać, ten sam zestaw elementów jest jednocześnie zestawem i multizestawem. Jak dobrze? I tutaj matematyk-szaman-szuller wyciąga z rękawa asa atutowego i zaczyna nam opowiadać albo o secie, albo o multisecie. W każdym razie przekona nas, że ma rację.
Aby zrozumieć, jak współcześni szamani operują teorią mnogości, wiążąc ją z rzeczywistością, wystarczy odpowiedzieć na jedno pytanie: czym elementy jednego zbioru różnią się od elementów innego zbioru? Pokażę ci, bez żadnych „wyobrażalnych jako nie jedna całość” lub „nie wyobrażalnych jako jedna całość”.
niedziela, 18 marca 2018
Suma cyfr liczby to taniec szamanów z tamburynem, który nie ma nic wspólnego z matematyką. Tak, na lekcjach matematyki uczono nas znajdowania sumy cyfr liczby i używania jej, ale oni są szamanami od tego, aby uczyć swoich potomków swoich umiejętności i mądrości, w przeciwnym razie szamani po prostu wyginą.
Potrzebujesz dowodu? Otwórz Wikipedię i spróbuj znaleźć stronę „Suma cyfr liczby”. Ona nie istnieje. W matematyce nie ma formuły, za pomocą której można by znaleźć sumę cyfr dowolnej liczby. W końcu liczby to symbole graficzne, za pomocą których piszemy liczby, a w języku matematyki zadanie brzmi tak: „Znajdź sumę symboli graficznych reprezentujących dowolną liczbę”. Matematycy nie mogą rozwiązać tego problemu, ale szamani mogą to zrobić elementarnie.
Zastanówmy się, co i jak robimy, aby znaleźć sumę cyfr danej liczby. I tak załóżmy, że mamy liczbę 12345. Co należy zrobić, aby znaleźć sumę cyfr tej liczby? Rozważmy wszystkie kroki w kolejności.
1. Zapisz numer na kartce papieru. Co my zrobiliśmy? Przekonwertowaliśmy liczbę na symbol graficzny liczby. To nie jest operacja matematyczna.
2. Dzielimy jeden otrzymany obrazek na kilka obrazków zawierających osobne numery. Wycinanie obrazu nie jest operacją matematyczną.
3. Konwertuj poszczególne znaki graficzne na liczby. To nie jest operacja matematyczna.
4. Dodaj otrzymane liczby. To jest matematyka.
Suma cyfr liczby 12345 to 15. Są to „kursy krojenia i szycia” od szamanów używane przez matematyków. Ale to nie wszystko.
Z punktu widzenia matematyki nie ma znaczenia, w jakim systemie liczbowym zapisujemy liczbę. Tak więc w różnych systemach liczbowych suma cyfr tego samego numeru będzie różna. W matematyce system liczbowy jest oznaczony jako indeks dolny po prawej stronie liczby. Z dużą liczbą 12345 nie chcę oszukiwać głowy, rozważ numer 26 z artykułu o. Zapiszmy tę liczbę w systemie binarnym, ósemkowym, dziesiętnym i szesnastkowym. Nie będziemy rozważać każdego kroku pod mikroskopem, już to zrobiliśmy. Spójrzmy na wynik.
Jak widać, w różnych systemach liczbowych suma cyfr tego samego numeru jest różna. Ten wynik nie ma nic wspólnego z matematyką. To tak, jakby znalezienie powierzchni prostokąta w metrach i centymetrach dało zupełnie inne wyniki.
Zero we wszystkich systemach liczbowych wygląda tak samo i nie ma sumy cyfr. To kolejny argument przemawiający za tym, że . Pytanie do matematyków: jak oznacza się w matematyce to, co nie jest liczbą? Czym dla matematyków nie istnieje nic poza liczbami? Szamanom mogę na to pozwolić, ale naukowcom nie. Rzeczywistość to nie tylko liczby.
Otrzymany wynik należy traktować jako dowód, że systemy liczbowe są jednostkami miary liczb. W końcu nie możemy porównywać liczb z różnymi jednostkami miary. Jeśli te same działania z różnymi jednostkami miary tej samej wielkości prowadzą po ich porównaniu do różnych wyników, to nie ma to nic wspólnego z matematyką.
Czym jest prawdziwa matematyka? Dzieje się tak, gdy wynik działania matematycznego nie zależy od wartości liczby, użytej jednostki miary i tego, kto wykonuje tę czynność.
Auć! Czy to nie jest toaleta dla kobiet?
- Młoda kobieta! To jest laboratorium do badania nieskończonej świętości dusz po wniebowstąpieniu! Nimbus na górze i strzałka w górę. Jaka inna toaleta?
Kobieta... Aureola na górze i strzałka w dół to mężczyzna.
Jeśli masz takie dzieło sztuki projektowania migające przed oczami kilka razy dziennie,
Nic więc dziwnego, że nagle w samochodzie znajdujesz dziwną ikonę:
Osobiście staram się widzieć minus cztery stopnie u osoby robiącej kupę (jedno zdjęcie) (złożenie kilku zdjęć: znak minus, cyfra cztery, oznaczenie stopni). I nie uważam, że ta dziewczyna jest głupia, nie kto zna fizykę?. Ma po prostu łukowy stereotyp postrzegania obrazów graficznych. A matematycy cały czas nas tego uczą. Oto przykład.
1A nie oznacza „minus cztery stopnie” lub „jeden a”. To jest „człowiek robi kupę” lub liczba „dwadzieścia sześć” w systemie szesnastkowym. Osoby, które stale pracują w tym systemie liczbowym, automatycznie postrzegają liczbę i literę jako jeden symbol graficzny.
) i mianownik przez mianownik (otrzymujemy mianownik iloczynu).
Wzór na mnożenie ułamków:
Na przykład:
Przed przystąpieniem do mnożenia liczników i mianowników należy sprawdzić możliwość zmniejszenia ułamka. Jeśli uda ci się zmniejszyć ułamek, łatwiej będzie ci kontynuować obliczenia.
Podział zwykłego ułamka przez ułamek.
Podział ułamków z udziałem liczby naturalnej.
To nie jest tak przerażające, jak się wydaje. Podobnie jak w przypadku dodawania, liczbę całkowitą zamieniamy na ułamek z jednostką w mianowniku. Na przykład:
Mnożenie ułamków mieszanych.
Zasady mnożenia ułamków (mieszane):
- konwertuj ułamki mieszane na niewłaściwe;
- pomnóż liczniki i mianowniki ułamków;
- zmniejszamy ułamek;
- jeśli otrzymałeś ułamek niewłaściwy, następnie zamieniamy ułamek niewłaściwy na ułamek mieszany.
Notatka! Aby pomnożyć ułamek mieszany przez inny ułamek mieszany, należy najpierw doprowadzić je do postaci ułamków niewłaściwych, a następnie pomnożyć zgodnie z zasadą mnożenia ułamków zwykłych.
Drugi sposób pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną.
Wygodniej jest użyć drugiej metody mnożenia zwykłego ułamka przez liczbę.
Notatka! Aby pomnożyć ułamek przez liczbę naturalną, należy podzielić mianownik ułamka przez tę liczbę i pozostawić licznik bez zmian.
Z powyższego przykładu jasno wynika, że ta opcja jest wygodniejsza w użyciu, gdy mianownik ułamka jest dzielony bez reszty przez liczbę naturalną.
Ułamki wielopoziomowe.
W szkole średniej często znajdują się trzypiętrowe (lub więcej) ułamki. Przykład:
Aby doprowadzić taki ułamek do jego zwykłej formy, stosuje się podział przez 2 punkty:
Notatka! Podczas dzielenia ułamków bardzo ważna jest kolejność dzielenia. Uważaj, tutaj łatwo się pomylić.
Notatka, Na przykład:
Dzieląc jeden przez dowolny ułamek, wynik będzie tym samym ułamkiem, tylko odwróconym:
Praktyczne wskazówki dotyczące mnożenia i dzielenia ułamków:
1. Najważniejszą rzeczą w pracy z wyrażeniami ułamkowymi jest dokładność i uważność. Wszystkie obliczenia wykonuj starannie i dokładnie, skoncentrowanie i przejrzyście. Lepiej zapisać kilka dodatkowych linijek w szkicu, niż gubić się w obliczeniach w głowie.
2. W zadaniach z różnymi typami ułamków - przejdź do typu ułamków zwykłych.
3. Redukujemy wszystkie ułamki, aż nie będzie już możliwe redukowanie.
4. Wprowadzamy wielopoziomowe wyrażenia ułamkowe do zwykłych, stosując podział przez 2 punkty.
5. W naszym umyśle dzielimy jednostkę na ułamek, po prostu odwracając ułamek.
Ostatnim razem nauczyliśmy się dodawać i odejmować ułamki (patrz lekcja „Dodawanie i odejmowanie ułamków”). Najtrudniejszym momentem w tych akcjach było sprowadzenie ułamków do: wspólny mianownik.
Teraz pora zająć się mnożeniem i dzieleniem. Dobrą wiadomością jest to, że te operacje są jeszcze łatwiejsze niż dodawanie i odejmowanie. Na początek rozważmy najprostszy przypadek, gdy istnieją dwa ułamki dodatnie bez wyodrębnionej części całkowitej.
Aby pomnożyć dwa ułamki, należy osobno pomnożyć ich liczniki i mianowniki. Pierwsza liczba będzie licznikiem nowego ułamka, a druga mianownikiem.
Aby podzielić dwa ułamki, musisz pomnożyć pierwszy ułamek przez „odwrócony” drugi.
Przeznaczenie:
Z definicji wynika, że dzielenie ułamków sprowadza się do mnożenia. Aby odwrócić ułamek, po prostu zamień licznik i mianownik. Dlatego całą lekcję rozważymy głównie mnożenie.
W wyniku mnożenia może powstać ułamek zmniejszony (i często powstaje) - oczywiście musi zostać zmniejszony. Jeżeli po wszystkich redukcjach ułamek okazał się błędny, należy w nim wyróżnić całą część. Jednak z mnożeniem na pewno się nie zdarzy sprowadzenie do wspólnego mianownika: żadnych metod krzyżowych, współczynników maksymalnych i najmniejszych wspólnych wielokrotności.
Z definicji mamy:
Mnożenie ułamków przez część całkowitą i ułamki ujemne
Jeśli w ułamkach występuje część całkowita, należy je przeliczyć na ułamki niewłaściwe - a dopiero potem pomnożyć zgodnie z przedstawionymi powyżej schematami.
Jeśli w liczniku ułamka, w mianowniku lub przed nim znajduje się minus, można go wyjąć z granic mnożenia lub całkowicie usunąć zgodnie z następującymi zasadami:
- Plus razy minus daje minus;
- Dwa negatywy dają odpowiedź twierdzącą.
Do tej pory z tymi regułami spotykano się tylko przy dodawaniu i odejmowaniu ułamków ujemnych, gdy trzeba było pozbyć się całej części. W przypadku produktu można je uogólnić, aby „spalić” kilka minusów naraz:
- Minusy przekreślamy parami, aż całkowicie znikną. W skrajnym przypadku może przetrwać jeden minus - ten, który nie znalazł dopasowania;
- Jeśli nie pozostały żadne minusy, operacja jest zakończona - możesz zacząć mnożyć. Jeśli ostatni minus nie zostanie przekreślony, ponieważ nie znalazł pary, wyjmujemy go poza granice mnożenia. Otrzymasz ułamek ujemny.
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:
Wszystkie ułamki tłumaczymy na ułamki niewłaściwe, a następnie wyjmujemy minusy poza granice mnożenia. To co pozostało jest pomnożone przez zwykłe zasady. Otrzymujemy:
Przypomnę jeszcze raz, że minus przed ułamkiem z podświetloną częścią całkowitą odnosi się konkretnie do całego ułamka, a nie tylko do jego części całkowitej (dotyczy to dwóch ostatnich przykładów).
Zwróć także uwagę na liczby ujemne: po pomnożeniu są one ujęte w nawiasy kwadratowe. Odbywa się to w celu oddzielenia minusów od znaków mnożenia i doprecyzowania całej notacji.
Zmniejszanie ułamków w locie
Mnożenie to bardzo pracochłonna operacja. Liczby tutaj są dość duże i aby uprościć zadanie, możesz spróbować jeszcze bardziej zmniejszyć ułamek przed mnożeniem. Rzeczywiście, w istocie liczniki i mianowniki ułamków są zwykłymi czynnikami, a zatem można je redukować za pomocą podstawowej właściwości ułamka. Spójrz na przykłady:
Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia:
Z definicji mamy:
We wszystkich przykładach liczby, które zostały zredukowane i to, co z nich zostało, zaznaczono na czerwono.
Uwaga: w pierwszym przypadku mnożniki zostały całkowicie zmniejszone. Na swoich miejscach pozostały jednostki, które generalnie można pominąć. W drugim przykładzie nie udało się osiągnąć pełnej redukcji, ale łączna ilość obliczeń nadal malała.
Jednak w żadnym wypadku nie używaj tej techniki podczas dodawania i odejmowania ułamków! Tak, czasami są podobne liczby, które po prostu chcesz zmniejszyć. Tutaj spójrz:
Nie możesz tego zrobić!
Błąd występuje z powodu tego, że podczas dodawania ułamka suma pojawia się w liczniku ułamka, a nie iloczynu liczb. Dlatego niemożliwe jest zastosowanie głównej właściwości ułamka, ponieważ w tej właściwości rozmawiamy Chodzi o mnożenie liczb.
Po prostu nie ma innego powodu, aby redukować ułamki, więc prawidłowe rozwiązanie poprzedniego problemu wygląda tak:
Dobra decyzja:
Jak widać, poprawna odpowiedź okazała się niezbyt piękna. Ogólnie bądź ostrożny.
Mnożenie ułamków zwykłych
Rozważ przykład.
Niech na talerzu będzie $\frac(1)(3)$ część jabłka. Musimy znaleźć jego część $\frac(1)(2)$. Wymagana część jest wynikiem mnożenia ułamków $\frac(1)(3)$ i $\frac(1)(2)$. Wynik mnożenia dwóch wspólnych ułamków jest wspólnym ułamkiem.
Mnożenie dwóch wspólnych ułamków
Reguła mnożenia zwykłych ułamków zwykłych:
Wynikiem pomnożenia ułamka przez ułamek jest ułamek, którego licznik jest równy iloczynowi liczników pomnożonych ułamków, a mianownik jest równy iloczynowi mianowników:
Przykład 1
Pomnóż zwykłe ułamki $\frac(3)(7)$ i $\frac(5)(11)$.
Rozwiązanie.
Skorzystajmy z zasady mnożenia ułamków zwykłych:
\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]
Odpowiedź:$\frac(15)(77)$
Jeżeli w wyniku mnożenia ułamków otrzymuje się ułamek skasowalny lub niewłaściwy, to konieczne jest jego uproszczenie.
Przykład 2
Pomnóż ułamki $\frac(3)(8)$ i $\frac(1)(9)$.
Rozwiązanie.
Do mnożenia zwykłych ułamków stosujemy regułę:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]
W efekcie otrzymaliśmy ułamek redukcyjny (na podstawie dzielenia przez 3$. Podziel licznik i mianownik ułamka przez 3$, otrzymamy:
\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]
Krótkie rozwiązanie:
\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]
Odpowiedź:$\frac(1)(24).$
Mnożąc ułamki, możesz zmniejszyć liczniki i mianowniki, aby znaleźć ich iloczyn. W tym przypadku licznik i mianownik ułamka są rozkładane na czynniki proste, po czym czynniki powtarzalne są redukowane i znajduje się wynik.
Przykład 3
Oblicz iloczyn ułamków $\frac(6)(75)$ i $\frac(15)(24)$.
Rozwiązanie.
Użyjmy wzoru na mnożenie zwykłych ułamków:
\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]
Oczywiście licznik i mianownik zawierają liczby, które można pomniejszyć parami o liczby 2$, 3$ i 5$. Rozkładamy licznik i mianownik na proste czynniki i dokonujemy redukcji:
\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]
Odpowiedź:$\frac(1)(20).$
Przy mnożeniu ułamków można zastosować prawo przemienności:
Mnożenie ułamka przez liczbę naturalną
Zasada mnożenia zwykłego ułamka przez liczbę naturalną:
Wynikiem pomnożenia ułamka przez liczbę naturalną jest ułamek, w którym licznik jest równy iloczynowi licznika pomnożonego ułamka przez liczbę naturalną, a mianownik jest równy mianownikowi pomnożonego ułamka:
gdzie $\frac(a)(b)$ jest ułamkiem wspólnym, $n$ jest liczbą naturalną.
Przykład 4
Pomnóż ułamek $\frac(3)(17)$ przez $4$.
Rozwiązanie.
Skorzystajmy z zasady mnożenia zwykłego ułamka przez liczbę naturalną:
\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]
Odpowiedź:$\frac(12)(17).$
Nie zapomnij o sprawdzeniu wyniku mnożenia pod kątem kurczliwości ułamka lub ułamka niewłaściwego.
Przykład 5
Pomnóż ułamek $\frac(7)(15)$ przez $3$.
Rozwiązanie.
Użyjmy wzoru na pomnożenie ułamka przez liczbę naturalną:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]
Na podstawie kryterium dzielenia przez liczbę $3$) można określić, że uzyskany ułamek można zmniejszyć:
\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]
Wynikiem jest ułamek niewłaściwy. Weźmy całą część:
\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]
Krótkie rozwiązanie:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]
Możliwe było również zmniejszenie ułamków poprzez zastąpienie liczb w liczniku i mianowniku ich rozwinięciami na czynniki pierwsze. W takim przypadku rozwiązanie można zapisać w następujący sposób:
\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]
Odpowiedź:$1\frac(2)(5).$
Mnożąc ułamek przez liczbę naturalną, możesz skorzystać z prawa przemienności:
Podział ułamków zwykłych
Operacja dzielenia jest odwrotnością mnożenia, a jej wynikiem jest ułamek, przez który trzeba pomnożyć znany ułamek, aby otrzymać znany iloczyn dwóch ułamków.
Podział dwóch wspólnych ułamków
Zasada dzielenia zwykłych ułamków: Oczywiście licznik i mianownik otrzymanego ułamka można rozłożyć na proste czynniki i zredukować:
\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]
W rezultacie otrzymaliśmy ułamek niewłaściwy, z którego wybieramy część całkowitą:
\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]
Odpowiedź:$1\frac(5)(9).$
