Największa wartość pochodnej 2.1.1 2. Pochodna funkcji

Zadanie B9 daje wykres funkcji lub pochodnej, z której należy wyznaczyć jedną z następujących wielkości:

1. Wartość pochodnej w pewnym punkcie x 0,
2. Punkty maksymalne lub minimalne (punkty ekstremalne),
3. Przedziały funkcji rosnących i malejących (przedziały monotoniczności).

Funkcje i pochodne przedstawione w tym zadaniu są zawsze ciągłe, co znacznie ułatwia rozwiązanie. Pomimo tego, że zadanie należy do sekcji analizy matematycznej, poradzą sobie z nim nawet najsłabsi uczniowie, gdyż nie jest tu wymagana głęboka wiedza teoretyczna.

Aby znaleźć wartość pochodnej, punkty ekstremalne i przedziały monotoniczności, istnieją proste i uniwersalne algorytmy - wszystkie zostaną omówione poniżej.

Przeczytaj uważnie warunki zadania B9, aby uniknąć głupich błędów: czasami trafiasz na dość długie teksty, ale jest kilka ważnych warunków, które wpływają na przebieg rozwiązania.

Obliczanie wartości pochodnej. Metoda dwupunktowa

Jeżeli zadaniu dany jest wykres funkcji f(x), stycznej do tego wykresu w pewnym punkcie x 0 i konieczne jest znalezienie w tym punkcie wartości pochodnej, stosuje się następujący algorytm:

1. Znajdź dwa „odpowiednie” punkty na wykresie stycznym: ich współrzędne muszą być liczbami całkowitymi. Oznaczmy te punkty jako A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Zapisz poprawnie współrzędne - jest to kluczowy punkt rozwiązania, a każdy błąd tutaj doprowadzi do nieprawidłowej odpowiedzi.
2. Znając współrzędne łatwo obliczyć przyrost argumentu Δx = x 2 − x 1 oraz przyrost funkcji Δy = y 2 − y 1 .
3. Na koniec znajdujemy wartość pochodnej D = Δy/Δx. Innymi słowy, trzeba podzielić przyrost funkcji przez przyrost argumentu - i to będzie odpowiedź.

Jeszcze raz zauważmy: punktów A i B należy szukać właśnie na stycznej, a nie jak to często bywa na wykresie funkcji f(x). Linia styczna będzie koniecznie zawierać co najmniej dwa takie punkty - w przeciwnym razie problem nie zostanie poprawnie sformułowany.

Rozważ punkty A (-3; 2) i B (-1; 6) i znajdź przyrosty:
Δx = x 2 - x 1 = -1 - (-3) = 2; Δy = y 2 - y 1 = 6 - 2 = 4.

Znajdźmy wartość pochodnej: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .

Rozważ punkty A (0; 3) i B (3; 0), znajdź przyrosty:
Δx = x 2 - x 1 = 3 - 0 = 3; Δy = y 2 - y 1 = 0 - 3 = -3.

Teraz znajdujemy wartość pochodnej: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x) i styczną do niej w punkcie o odciętej x 0. Znajdź wartość pochodnej funkcji f(x) w punkcie x 0 .

Rozważ punkty A (0; 2) i B (5; 2) i znajdź przyrosty:
Δx = x 2 - x 1 = 5 - 0 = 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Pozostaje znaleźć wartość pochodnej: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Z ostatniego przykładu możemy sformułować regułę: jeżeli styczna jest równoległa do osi OX, to pochodna funkcji w punkcie styczności wynosi zero. W tym przypadku nie trzeba nawet niczego liczyć – wystarczy spojrzeć na wykres.

Obliczanie punktów maksymalnych i minimalnych

Czasami zamiast wykresu funkcji Zadanie B9 podaje wykres pochodnej i wymaga znalezienia punktu maksymalnego lub minimalnego funkcji. W tej sytuacji metoda dwupunktowa jest bezużyteczna, ale istnieje inny, jeszcze prostszy algorytm. Najpierw zdefiniujmy terminologię:

1. Punkt x 0 nazywany jest punktem maksymalnym funkcji f(x), jeżeli w jakimś sąsiedztwie tego punktu zachodzi nierówność: f(x 0) ≥ f(x).
2. Punkt x 0 nazywany jest punktem minimalnym funkcji f(x), jeśli w jakimś sąsiedztwie tego punktu zachodzi nierówność: f(x 0) ≤ f(x).

Aby znaleźć maksimum i minimum punktów z wykresu pochodnej, wykonaj następujące kroki:

1. Narysuj ponownie wykres pochodnej, usuwając wszystkie niepotrzebne informacje. Jak pokazuje praktyka, niepotrzebne dane jedynie zakłócają decyzję. Dlatego zaznaczamy zera pochodnej na osi współrzędnych - i tyle.
2. Znajdź znaki pochodnej na przedziałach między zerami. Jeżeli dla jakiegoś punktu x 0 wiadomo, że f'(x 0) ≠ 0, to możliwe są tylko dwie opcje: f'(x 0) ≥ 0 lub f'(x 0) ≤ 0. Znak pochodnej wynosi łatwo wyznaczyć z oryginalnego rysunku: jeśli wykres pochodnej leży powyżej osi OX, to f'(x) ≥ 0. I odwrotnie, jeśli wykres pochodnej leży poniżej osi OX, to f'(x) ≤ 0.
3. Ponownie sprawdzamy zera i znaki pochodnej. Tam, gdzie znak zmienia się z minus na plus, jest to punkt minimalny. I odwrotnie, jeśli znak pochodnej zmienia się z plusa na minus, jest to punkt maksymalny. Liczenie odbywa się zawsze od lewej do prawej.

Ten schemat działa tylko dla funkcji ciągłych - w zadaniu B9 nie ma innych.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−5; 5]. Znajdź punkt minimalny funkcji f(x) na tym odcinku.

Pozbądźmy się niepotrzebnych informacji i zostawmy jedynie granice [−5; 5] i zera pochodnej x = −3 i x = 2,5. Zwracamy również uwagę na znaki:

Oczywiście w punkcie x = −3 znak pochodnej zmienia się z minus na plus. To jest minimalny punkt.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−3; 7]. Znajdź maksymalny punkt funkcji f(x) na tym odcinku.

Narysujmy wykres na nowo, pozostawiając jedynie granice [−3; 7] oraz zera pochodnej x = −1,7 i x = 5. Zwróćmy uwagę na znaki pochodnej na otrzymanym wykresie. Mamy:

Oczywiście w punkcie x = 5 znak pochodnej zmienia się z plusa na minus - jest to punkt maksymalny.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale [−6; 4]. Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji f(x) należących do odcinka [−4; 3].

Z warunków zadania wynika, że ​​wystarczy uwzględnić tylko część grafu ograniczoną odcinkiem [−4; 3]. Dlatego budujemy nowy graf, na którym zaznaczamy jedynie granice [−4; 3] i zera znajdującej się w nim pochodnej. Mianowicie punkty x = −3,5 i x = 2. Otrzymujemy:

Na tym wykresie jest tylko jeden punkt maksymalny x = 2. To w tym momencie znak pochodnej zmienia się z plusa na minus.

Mała uwaga dotycząca punktów o współrzędnych niecałkowitych. Przykładowo w ostatnim zadaniu uwzględniono punkt x = −3,5, ale z takim samym sukcesem możemy przyjąć x = −3,4. Jeśli problem zostanie poprawnie skompilowany, takie zmiany nie powinny mieć wpływu na odpowiedź, ponieważ punkty „bez stałego miejsca zamieszkania” nie uczestniczą bezpośrednio w rozwiązaniu problemu. Oczywiście ta sztuczka nie będzie działać w przypadku punktów całkowitych.

Znajdowanie przedziałów funkcji rosnących i malejących

W takim problemie, podobnie jak punkty maksymalne i minimalne, proponuje się użycie wykresu pochodnej do znalezienia obszarów, w których sama funkcja rośnie lub maleje. Najpierw zdefiniujmy, czym jest wzrost i spadek:

1. Mówimy, że funkcja f(x) na odcinku jest rosnąca, jeśli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego odcinka prawdziwe jest stwierdzenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Innymi słowy, im większa wartość argumentu, tym większa wartość funkcji.
2. Funkcję f(x) nazywamy malejącą na odcinku, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów x 1 i x 2 z tego odcinka prawdziwe jest stwierdzenie: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Te. Większa wartość argumentu odpowiada mniejszej wartości funkcji.

Sformułujmy warunki wystarczające do zwiększania i zmniejszania:

1. Aby funkcja ciągła f(x) wzrosła na odcinku , wystarczy, że jej pochodna wewnątrz odcinka będzie dodatnia, tj. f’(x) ≥ 0.
2. Aby funkcja ciągła f(x) malała na odcinku , wystarczy, aby jej pochodna wewnątrz odcinka była ujemna, tj. f’(x) ≤ 0.

Przyjmijmy te twierdzenia bez dowodów. Otrzymujemy w ten sposób schemat znajdowania przedziałów rosnących i malejących, który pod wieloma względami jest podobny do algorytmu obliczania punktów ekstremalnych:

1. Usuń wszystkie niepotrzebne informacje. Na oryginalnym wykresie pochodnej interesują nas przede wszystkim zera funkcji, więc tylko je pozostawimy.
2. Zaznacz znaki pochodnej w odstępach między zerami. Gdzie f’(x) ≥ 0, funkcja rośnie, a gdzie f’(x) ≤ 0, maleje. Jeśli problem nakłada ograniczenia na zmienną x, dodatkowo zaznaczamy je na nowym wykresie.
3. Teraz, gdy znamy zachowanie funkcji i ograniczenia, pozostaje obliczyć wielkość wymaganą w zadaniu.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x) określonej na przedziale [−3; 7,5]. Znajdź przedziały zmniejszania się funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj sumę liczb całkowitych zawartych w tych przedziałach.

Jak zwykle przerysujmy wykres i zaznaczmy granice [−3; 7,5], a także zera pochodnych x = −1,5 i x = 5,3. Następnie zauważamy znaki pochodnej. Mamy:

Ponieważ pochodna jest ujemna na przedziale (- 1,5), jest to przedział funkcji malejącej. Pozostaje zsumować wszystkie liczby całkowite znajdujące się w tym przedziale:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Zadanie. Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji f(x), określonej na przedziale [−10; 4]. Znajdź przedziały wzrostu funkcji f(x). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

Pozbądźmy się niepotrzebnych informacji. Zostawmy tylko granice [−10; 4] i zera pochodnej, których tym razem było cztery: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Zaznaczmy znaki pochodnej i otrzymamy następujący obraz:

Interesują nas przedziały funkcji rosnącej, tj. np. gdzie f’(x) ≥ 0. Na wykresie występują dwa takie przedziały: (−8; −6) i (−3; 2). Obliczmy ich długości:
l 1 = - 6 - (-8) = 2;
l 2 = 2 - (-3) = 5.

Ponieważ musimy znaleźć długość największego z przedziałów, jako odpowiedź zapisujemy wartość l 2 = 5.

W międzyczasie ( A,B), A X- jest losowo wybranym punktem w zadanym przedziale. Podajmy argument X przyrostΔx (dodatni lub ujemny).

Funkcja y =f(x) otrzyma przyrost Δу równy:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

Przy nieskończenie małym Δx przyrostΔy jest również nieskończenie małe.

Na przykład:

Rozważmy rozwiązanie pochodnej funkcji na przykładzie swobodnie spadającego ciała.

Skoro t 2 = t l + Δt, zatem

.

Po obliczeniu granicy znajdujemy:

Zapis t 1 wprowadzono, aby podkreślić stałość t przy obliczaniu granicy funkcji. Ponieważ t 1 jest dowolną wartością czasu, indeks 1 można odrzucić; wtedy otrzymujemy:

Widać, że prędkość v, lubię tę drogę S, Jest funkcjonować czas. Typ funkcji w zależy całkowicie od rodzaju funkcji S, więc funkcja S jakby „wytwarzać” funkcję w. Stąd nazwa” funkcja pochodna».

Rozważ inny przykład.

Znajdź wartość pochodnej funkcji:

y = x 2 Na x = 7.

Rozwiązanie. Na x = 7 mamy y=7 2 = 49. Podajmy argument X przyrost Δ X. Argument stanie się równy 7 + Δ X, a funkcja otrzyma wartość (7 + Δ x) 2.

Drodzy przyjaciele! Do grupy zadań związanych z pochodną zaliczają się zadania - warunek daje wykres funkcji, kilka punktów na tym wykresie i pytanie brzmi:

W którym momencie pochodna jest największa (najmniejsza)?

Powtórzmy krótko:

Pochodna w punkcie jest równa nachyleniu przechodzącej przez nią stycznejten punkt na wykresie.

UZ kolei globalny współczynnik stycznej jest równy tangensowi kąta nachylenia tej stycznej.

*Odnosi się do kąta pomiędzy styczną a osią x.

1. W przedziałach funkcji rosnącej pochodna ma wartość dodatnią.

2. W okresach jej zmniejszania się pochodna ma wartość ujemną.

Rozważ następujący szkic:

W punktach 1,2,4 pochodna funkcji ma wartość ujemną, gdyż punkty te należą do przedziałów malejących.

W punktach 3,5,6 pochodna funkcji ma wartość dodatnią, ponieważ punkty te należą do rosnących przedziałów.

Jak widać, znaczenie pochodnej jest jasne, to znaczy wcale nie jest trudno określić, jaki znak ma ona (dodatni lub ujemny) w określonym punkcie wykresu.

Co więcej, jeśli w myślach skonstruujemy styczne w tych punktach, zobaczymy, że proste przechodzące przez punkty 3, 5 i 6 tworzą kąty z osią oX w zakresie od 0 do 90 o, a proste przechodzące przez punkty 1, 2 i 4 tworzą z osią oX kąty mieszczą się w zakresie od 90 o do 180 o.

*Zależność jest jasna: styczne przechodzące przez punkty należące do przedziałów funkcji rosnących tworzą z osią oX kąty ostre, styczne przechodzące przez punkty należące do przedziałów funkcji malejących tworzą kąty rozwarte z osią oX.

Teraz ważne pytanie!

Jak zmienia się wartość instrumentu pochodnego? Przecież styczna w różnych punktach wykresu funkcji ciągłej tworzy różne kąty, w zależności od tego, przez który punkt wykresu przechodzi.

*Lub, mówiąc prościej, styczna jest usytuowana bardziej „poziomo” lub „pionowo”. Patrzeć:

Proste tworzą kąty, których oś oX mieści się w zakresie od 0 do 90 o

Linie proste tworzą kąty o osi oX w zakresie od 90° do 180°

Dlatego jeśli masz jakieś pytania:

— w którym z podanych punktów na wykresie pochodna ma najmniejszą wartość?

- w którym z podanych punktów na wykresie pochodna ma największą wartość?

następnie, aby odpowiedzieć, należy zrozumieć, jak zmienia się wartość tangensa kąta stycznego w zakresie od 0 do 180 o.

*Jak już wspomniano, wartość pochodnej funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do osi oX.

Wartość tangensa zmienia się w następujący sposób:

Gdy kąt nachylenia prostej zmienia się od 0° do 90°, wartość stycznej, a tym samym pochodnej, zmienia się odpowiednio od 0 do +∞;

Kiedy kąt nachylenia prostej zmienia się z 90° na 180°, wartość stycznej, a co za tym idzie pochodnej, zmienia się odpowiednio –∞ na 0.

Można to wyraźnie zobaczyć na wykresie funkcji stycznej:

W prostych słowach:

Przy stycznym kącie nachylenia od 0° do 90°

Im bliżej 0 o, tym większa wartość pochodnej będzie bliska zeru (po stronie dodatniej).

Im kąt jest bliższy 90°, tym bardziej wartość pochodnej będzie wzrastać w kierunku +∞.

O stycznym kącie nachylenia od 90° do 180°

Im bliżej będzie 90 o, tym bardziej wartość pochodnej będzie się zmniejszać w kierunku –∞.

Im kąt będzie bliższy 180°, tym większa będzie wartość pochodnej bliska zeru (po stronie ujemnej).

317543. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = F(X) i punkty są zaznaczone–2, –1, 1, 2. W którym z tych punktów pochodna jest największa? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.

Mamy cztery punkty: dwa z nich należą do przedziałów, w których funkcja maleje (są to punkty –1 i 1), a dwa do przedziałów, w których funkcja rośnie (są to punkty –2 i 2).

Od razu możemy stwierdzić, że w punktach –1 i 1 pochodna ma wartość ujemną, a w punktach –2 i 2 wartość dodatnią. Dlatego w tym przypadku należy przeanalizować punkty –2 i 2 i określić, który z nich będzie miał największą wartość. Skonstruujmy styczne przechodzące przez wskazane punkty:

Wartość tangensa kąta między prostą a a osią odciętych będzie większa niż wartość tangensa kąta między prostą b a tą osią. Oznacza to, że wartość pochodnej w punkcie –2 będzie największa.

Odpowiedzmy sobie na pytanie: w którym punkcie –2, –1, 1 czy 2 wartość pochodnej jest najbardziej ujemna? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.

Pochodna będzie miała wartość ujemną w punktach należących do malejących przedziałów, więc rozważmy punkty –2 i 1. Skonstruujmy przechodzące przez nie styczne:

Widzimy, że kąt rozwarty pomiędzy prostą b a osią oX jest „bliższy” 180 O , zatem jego tangens będzie większy niż tangens kąta utworzonego przez prostą a i oś oX.

Zatem w punkcie x = 1 wartość pochodnej będzie najbardziej ujemna.

317544. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = F(X) i punkty są zaznaczone–2, –1, 1, 4. W którym z tych punktów pochodna jest najmniejsza? Proszę wskazać ten punkt w swojej odpowiedzi.

Mamy cztery punkty: dwa z nich należą do przedziałów, w których funkcja maleje (są to punkty –1 i 4), a dwa do przedziałów, w których funkcja rośnie (są to punkty –2 i 1).

Od razu możemy stwierdzić, że w punktach –1 i 4 pochodna ma wartość ujemną, a w punktach –2 i 1 wartość dodatnią. Dlatego w tym przypadku należy przeanalizować punkty –1 i 4 i określić, który z nich będzie miał najmniejszą wartość. Skonstruujmy styczne przechodzące przez wskazane punkty:

Wartość tangensa kąta między prostą a a osią odciętych będzie większa niż wartość tangensa kąta między prostą b a tą osią. Oznacza to, że wartość pochodnej w punkcie x = 4 będzie najmniejsza.

Odpowiedź: 4

Mam nadzieję, że Was nie „przeciążyłem” ilością pisania. W rzeczywistości wszystko jest bardzo proste, wystarczy zrozumieć właściwości pochodnej, jej znaczenie geometryczne i to, jak wartość tangensa kąta zmienia się od 0 do 180 o.

1. Najpierw określ znaki pochodnej w tych punktach (+ lub -) i wybierz niezbędne punkty (w zależności od postawionego pytania).

2. Skonstruuj styczne w tych punktach.

3. Korzystając z wykresu tangesoidy, zaznacz schematycznie kąty i wyświetlAleksander.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

Cześć! Zdajmy się na nadchodzący Egzamin Państwowy Jednolity wysokiej jakości, systematycznym przygotowaniem i wytrwałością w szlifowaniu granitu nauki!!! WNa końcu postu znajduje się zadanie konkursowe, bądź pierwszy! W jednym z artykułów w tym dziale ty i ja, w którym podano wykres funkcji i poruszono różne pytania dotyczące ekstremów, przedziałów wzrostu (spadku) i innych.

W tym artykule rozważymy problemy zawarte w Unified State Examination z matematyki, w którym podany jest wykres pochodnej funkcji i stawione są następujące pytania:

1. W którym punkcie danego odcinka funkcja przyjmuje największą (lub najmniejszą) wartość.

2. Znajdź liczbę punktów maksymalnych (lub minimalnych) funkcji należących do danego odcinka.

3. Znajdź liczbę ekstremów funkcji należących do danego odcinka.

4. Znajdź ekstremum funkcji należącej do danego odcinka.

5. Znajdź przedziały funkcji rosnącej (lub malejącej) i w odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

6. Znajdź przedziały wzrostu (lub spadku) funkcji. W swojej odpowiedzi wskaż długość największego z tych przedziałów.

7. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z prostą postaci y = kx + b.

8. Znajdź odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi odciętych lub z nią pokrywa się.

Mogą pojawić się inne pytania, ale nie sprawią one żadnych trudności, jeśli zrozumiesz i (podane są linki do artykułów zawierających informacje niezbędne do rozwiązania, polecam je powtórzyć).

Podstawowe informacje (w skrócie):

1. Pochodna w rosnących odstępach ma znak dodatni.

Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość dodatnią, to wykres funkcji na tym przedziale rośnie.

2. W malejących odstępach pochodna ma znak ujemny.

Jeżeli pochodna w pewnym punkcie pewnego przedziału ma wartość ujemną, to wykres funkcji maleje na tym przedziale.

3. Pochodna w punkcie x jest równa nachyleniu stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji w tym samym punkcie.

4. W punktach ekstremum (maksimum-minimum) funkcji pochodna jest równa zeru. Styczna do wykresu funkcji w tym punkcie jest równoległa do osi x.

Należy to jasno zrozumieć i zapamiętać!!!

Wykres pochodnej „dezorientuje” wiele osób. Niektórzy nieumyślnie mylą go z wykresem samej funkcji. Dlatego w takich budynkach, gdzie widzisz, że dany jest wykres, od razu skup swoją uwagę w warunku na tym, co jest dane: wykresie funkcji czy wykresie pochodnej funkcji?

Jeśli jest to wykres pochodnej funkcji, to potraktuj go jako „odbicie” samej funkcji, co po prostu daje informację o tej funkcji.

Rozważ zadanie:

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–2;21).

Odpowiemy na następujące pytania:

1. W którym punkcie odcinka znajduje się funkcja F(X) przyjmuje największą wartość.

Na danym przedziale pochodna funkcji jest ujemna, co oznacza, że ​​funkcja na tym przedziale maleje (maleje od lewej granicy przedziału w prawo). Zatem największą wartość funkcji uzyskuje się na lewym brzegu odcinka, czyli w punkcie 7.

Odpowiedź: 7

2. W którym punkcie odcinka znajduje się funkcja F(X)

Z tego wykresu pochodnego możemy powiedzieć, co następuje. Na danym przedziale pochodna funkcji jest dodatnia, co oznacza, że ​​funkcja na tym przedziale rośnie (rośnie od lewej granicy przedziału w prawo). Zatem najmniejszą wartość funkcji uzyskuje się na lewym brzegu odcinka, czyli w punkcie x = 3.

Odpowiedź: 3

3. Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji F(X)

Maksymalne punkty odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z dodatniego na ujemny. Zastanówmy się, gdzie znak zmienia się w ten sposób.

W segmencie (3;6) pochodna jest dodatnia, w segmencie (6;16) ujemna.

W segmencie (16;18) pochodna jest dodatnia, w segmencie (18;20) ujemna.

Zatem na danym odcinku funkcja ma dwa maksymalne punkty x = 6 i x = 18.

Odpowiedź: 2

4. Znajdź liczbę punktów minimalnych funkcji F(X), należący do segmentu.

Punkty minimalne odpowiadają punktom, w których znak pochodnej zmienia się z ujemnego na dodatni. Nasza pochodna jest ujemna w przedziale (0;3) i dodatnia w przedziale (3;4).

Zatem na odcinku funkcja ma tylko jeden punkt minimalny x = 3.

*Bądź ostrożny podczas zapisywania odpowiedzi - zapisywana jest liczba punktów, a nie wartość x; taki błąd może zostać popełniony przez nieuwagę.

Odpowiedź 1

5. Znajdź liczbę ekstremów funkcji F(X), należący do segmentu.

Zanotuj, co musisz znaleźć ilość punkty ekstremalne (są to zarówno punkty maksymalne, jak i minimalne).

Punkty ekstremalne odpowiadają punktom, w których zmienia się znak pochodnej (z dodatniej na ujemną i odwrotnie). Na wykresie podanym w warunku są to zera funkcji. Pochodna znika w punktach 3, 6, 16, 18.

Zatem funkcja ma 4 ekstrema na odcinku.

Odpowiedź: 4

6. Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X)

Przedziały wzrostu tej funkcji F(X) odpowiadają przedziałom, w których jego pochodna jest dodatnia, to znaczy przedziałom (3;6) i (16;18). Należy pamiętać, że nie uwzględnia się w nim granic przedziału (nawiasy okrągłe – granice nie są wliczane do przedziału, nawiasy kwadratowe – uwzględniają). Przedziały te zawierają punkty całkowite 4, 5, 17. Ich suma wynosi: 4 + 5 + 17 = 26

Odpowiedź: 26

7. Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X) w danym odstępie czasu. W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Malejące przedziały funkcji F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest ujemna. W tym zadaniu są to przedziały (–2;3), (6;16), (18:21).

Przedziały te zawierają następujące punkty całkowite: –1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Ich suma wynosi:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Odpowiedź: 140

*Zwróć uwagę na warunek: czy granice mieszczą się w przedziale, czy nie. Jeżeli uwzględnione są granice, to w przedziałach uwzględnianych w procesie rozwiązywania należy je również uwzględnić.

8. Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X)

Przedziały funkcji rosnącej F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest dodatnia. Już je wskazaliśmy: (3;6) i (16:18). Największym z nich jest przedział (3;6), jego długość wynosi 3.

Odpowiedź: 3

9. Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

Malejące przedziały funkcji F(X) odpowiadają przedziałom, w których pochodna funkcji jest ujemna. Już je wskazaliśmy, są to przedziały (–2;3), (6;16), (18;21), ich długości wynoszą odpowiednio 5, 10, 3.

Długość największego wynosi 10.

Odpowiedź: 10

10. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji F(X) równolegle lub pokrywa się z linią prostą y = 2x + 3.

Wartość pochodnej w punkcie styczności jest równa nachyleniu stycznej. Ponieważ styczna jest równoległa do prostej y = 2x + 3 lub pokrywa się z nią, ich współczynniki kątowe wynoszą 2. Oznacza to, że należy znaleźć liczbę punktów, w których y′(x 0) = 2. Geometrycznie odpowiada to liczbie punktów przecięcia wykresu pochodnej z prostą y = 2. Na tym przedziale znajdują się 4 takie punkty.

Odpowiedź: 4

11. Znajdź ekstremum funkcji F(X), należący do segmentu.

Ekstremum funkcji to punkt, w którym jej pochodna jest równa zeru i w pobliżu tego punktu pochodna zmienia znak (z dodatniego na ujemny i odwrotnie). Na odcinku wykres pochodnej przecina oś x, pochodna zmienia znak z ujemnego na dodatni. Dlatego punkt x = 3 jest punktem ekstremalnym.

Odpowiedź: 3

12. Znajdź odciętą punktów, w których styczne do wykresu y = f (x) są równoległe do osi odciętych lub z nią pokrywają się. W swojej odpowiedzi wskaż największy z nich.

Styczna do wykresu y = f (x) może być równoległa do osi odciętej lub pokrywać się z nią tylko w punktach, w których pochodna jest równa zeru (mogą to być punkty ekstremalne lub punkty stacjonarne, w pobliżu których pochodna nie nie zmieniać znaku). Ten wykres pokazuje, że pochodna wynosi zero w punktach 3, 6, 16,18. Największy ma 18.

Możesz uporządkować swoje rozumowanie w następujący sposób:

Wartość pochodnej w punkcie styczności jest równa nachyleniu stycznej. Ponieważ styczna jest równoległa do osi x lub pokrywa się z nią, jej nachylenie wynosi 0 (w rzeczywistości tangens kąta zerowego stopni wynosi zero). Dlatego szukamy punktu, w którym nachylenie jest równe zero, a zatem pochodna jest równa zero. Pochodna jest równa zeru w punkcie przecięcia jej wykresu z osią x i są to punkty 3, 6, 16,18.

Odpowiedź: 18

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–8;4). W którym punkcie odcinka [–7;–3] znajduje się funkcja F(X) przyjmuje najmniejszą wartość.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–7;14). Znajdź liczbę maksymalnych punktów funkcji F(X), należący do segmentu [–6;9].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–18;6). Znajdź liczbę punktów minimalnych funkcji F(X), należący do segmentu [–13;1].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–11; –11). Znajdź liczbę ekstremów funkcji F(X), należący do segmentu [–10; -10].

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–7;4). Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–5;7). Znajdź przedziały funkcji malejącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Rysunek przedstawia wykres y =F'(X)- pochodna funkcji F(X), zdefiniowany na przedziale (–11;3). Znajdź przedziały funkcji rosnącej F(X). W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.

F Rysunek przedstawia wykres

Warunki problemu są takie same (co rozważaliśmy). Znajdź sumę trzech liczb:

1. Suma kwadratów ekstremów funkcji f (x).

2. Różnica między kwadratami sumy punktów maksymalnych i sumą punktów minimalnych funkcji f (x).

3. Liczba stycznych do f (x) równoległych do prostej y = –3x + 5.

Osoba, która jako pierwsza udzieli prawidłowej odpowiedzi, otrzyma nagrodę motywacyjną w wysokości 150 rubli. Napisz swoje odpowiedzi w komentarzach. Jeśli jest to Twój pierwszy komentarz na blogu, nie pojawi się on od razu, ale nieco później (nie martw się, odnotowywana jest godzina dodania komentarza).

Powodzenia!

Pozdrawiam, Alexander Krutitsikh.

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.

Siergiej Nikiforow

Jeżeli pochodna funkcji ma znak stały na przedziale, a sama funkcja jest ciągła na granicach, to punkty graniczne dodaje się zarówno do przedziałów rosnących, jak i malejących, co w pełni odpowiada definicji funkcji rosnącej i malejącej.

Farit Yamaev 26.10.2016 18:50

Cześć. Jak (na jakiej podstawie) można powiedzieć, że w punkcie, w którym pochodna jest równa zeru, funkcja rośnie. Uzasadnić. W przeciwnym razie jest to tylko czyjś kaprys. Według jakiego twierdzenia? A także dowód. Dziękuję.

Wsparcie

Wartość pochodnej w punkcie nie jest bezpośrednio związana ze wzrostem funkcji w przedziale. Rozważmy na przykład funkcje - wszystkie rosną w przedziale

Władlen Pisariew 02.11.2016 22:21

Jeżeli funkcja rośnie na przedziale (a;b) i jest określona i ciągła w punktach aib, to na przedziale . Te. punkt x=2 należy do tego przedziału.

Chociaż z reguły wzrost i spadek są uwzględniane nie w segmencie, ale w przedziale.

Ale w samym punkcie x=2 funkcja ma minimum lokalne. I jak wytłumaczyć dzieciom, że szukając punktów wzrostu (spadku) nie liczymy punktów ekstremum lokalnego, tylko wchodzimy w przedziały wzrostu (spadku).

Biorąc pod uwagę, że pierwsza część jednolitego egzaminu państwowego przeznaczona jest dla „środkowej grupy przedszkola”, to prawdopodobnie jest za dużo takich niuansów.

Osobno wielkie podziękowania dla całego personelu za „Rozwiązanie ujednoliconego egzaminu państwowego” – doskonały przewodnik.

Siergiej Nikiforow

Proste wyjaśnienie można uzyskać, jeśli zaczniemy od definicji funkcji rosnącej/malejącej. Przypomnę, że brzmi to tak: funkcję nazywamy rosnącą/malejącą w pewnym przedziale, jeśli większy argument funkcji odpowiada większej/mniejszej wartości funkcji. Definicja ta w żaden sposób nie odwołuje się do pojęcia pochodnej, zatem nie mogą pojawiać się pytania o punkty, w których pochodna zanika.

Irina Iszmakowa 20.11.2017 11:46

Dzień dobry. Tu w komentarzach widzę przekonania, że ​​granice trzeba uwzględnić. Powiedzmy, że się z tym zgadzam. Ale proszę spojrzeć na rozwiązanie problemu 7089. Tam, przy określaniu rosnących odstępów, granice nie są uwzględniane. A to wpływa na odpowiedź. Te. rozwiązania zadań 6429 i 7089 są ze sobą sprzeczne. Proszę o wyjaśnienie tej sytuacji.

Aleksander Iwanow

Zadania 6429 i 7089 mają zupełnie inne pytania.

Jeden dotyczy rosnących przedziałów, a drugi dotyczy przedziałów z dodatnią pochodną.

Nie ma sprzeczności.

Ekstrema mieszczą się w przedziałach rosnących i malejących, natomiast punkty, w których pochodna jest równa zeru, nie są zaliczane do przedziałów, w których pochodna jest dodatnia.

A Z 28.01.2019 19:09

Koledzy, w pewnym momencie istnieje koncepcja zwiększania

(patrz na przykład Fichtenholtz )

a Twoje rozumienie wzrostu przy x=2 jest sprzeczne z klasyczną definicją.

Zwiększanie i zmniejszanie to proces i tej zasady chciałbym się trzymać.

W dowolnym przedziale zawierającym punkt x=2 funkcja nie rośnie. Dlatego włączenie danego punktu x=2 jest procesem szczególnym.

Zwykle, aby uniknąć nieporozumień, włączenie końców przedziałów jest omawiane osobno.

Aleksander Iwanow

Mówi się, że funkcja y=f(x) rośnie w pewnym przedziale, jeśli większa wartość argumentu z tego przedziału odpowiada większej wartości funkcji.

W punkcie x=2 funkcja jest różniczkowalna, a na przedziale (2; 6) pochodna jest dodatnia, czyli na przedziale )