Rozwiązywanie równań liniowych z przykładami. Równania liniowe

Równanie to równość, w której istnieje nieznany wyraz - x. Trzeba znaleźć jego znaczenie.

Nieznana wielkość nazywana jest pierwiastkiem równania. Rozwiązanie równania oznacza znalezienie jego pierwiastka, a do tego musisz znać właściwości równań. Równania na ocenę 5 są proste, ale jeśli nauczysz się je poprawnie rozwiązywać, nie będziesz mieć z nimi problemów w przyszłości.

Główna własność równań

Kiedy zmienisz obie strony równania o tę samą wartość, nadal będzie to to samo równanie z tym samym pierwiastkiem. Rozwiążmy kilka przykładów, aby lepiej zrozumieć tę zasadę.

Jak rozwiązywać równania: dodawanie lub odejmowanie

Załóżmy, że mamy równanie postaci:

a + x = b - tutaj a i b są liczbami, a x jest nieznanym wyrazem w równaniu.

Jeśli dodamy (lub odejmiemy) wartość c po obu stronach równania, to się nie zmieni:

a + x + c = b + c
a + x - c = b - c.

Przykład 1

Wykorzystajmy tę właściwość do rozwiązania równania:

37 + x = 51

Odejmij 37 od obu części:

37 + x-37 = 51-37

otrzymujemy:

x = 51-37.

Pierwiastek równania to x = 14.

Jeśli przyjrzymy się uważnie ostatniemu równaniu, zobaczymy, że jest takie samo jak pierwsze. Po prostu przenieśliśmy wyraz 37 z jednej strony równania na drugą, zastępując plus minusem.

Okazuje się, że dowolną liczbę można przenieść z jednej strony równania na drugą z przeciwnym znakiem.

Przykład 2

37 + x = 37 + 22

Wykonajmy tę samą czynność, przenosząc liczbę 37 z lewej strony równania do prawej:

x = 37 - 37 + 22

Ponieważ 37-37 = 0, po prostu zmniejszamy to i otrzymujemy:

x = 22.

Identyczne człony równania o tym samym znaku, które znajdują się w różnych częściach równania, można anulować (usunąć).

Mnożenie i dzielenie równań

Obie strony równości można również pomnożyć lub podzielić przez tę samą liczbę:

Jeśli równość a = b zostanie podzielona lub pomnożona przez c, nie zmieni się:

a / c = b / c,
ac = bc.

Przykład 3

5x = 20

Podziel obie strony równania przez 5:

5x / 5 = 20/5.

Ponieważ 5/5 = 1, anulujemy ten czynnik i dzielnik po lewej stronie równania i otrzymujemy:

x = 20/5, x = 4

Przykład 4

5x = 5a

Jeśli obie strony równania podzielimy przez 5, otrzymamy:

5x / 5 = 5a / 5.

5 w liczniku i mianowniku lewej i prawej strony są skreślone, okazuje się, że x = a. Oznacza to, że te same czynniki po lewej i prawej stronie równań znoszą się.

Rozwiążmy jeszcze jeden przykład:

13 + 2x = 21

Przesuń wyraz 13 z lewej strony równania w prawo z przeciwnym znakiem:

2x = 21 - 13
2x = 8.

Dzielimy obie strony równania przez 2, otrzymujemy:

x = 4.

Makarova T.P., GBOU Liceum nr 618 Szkolenie „Równania” Klasa 5

Szkolenie do klasy 5 na temat „Równania” w 2 wersjach

Makarowa Tatiana Pawłowna,

Nauczyciel GBOU Gimnazjum nr 618, Moskwa

Kontyngent: 5 klasa

Szkolenie ma na celu sprawdzenie wiedzy i umiejętności studentów na temat „Równania”. Szkolenie przeznaczone jest dla uczniów klas 5 do podręcznika N.Ya Vilenkin, V.I.Zhokhova i innych.Podręcznik do klasy 5. - M .: Mnemosina, 2013 .-- 288p. Test zawiera dwa równoległe warianty o równym stopniu trudności, po dziewięć zadań każdy (4 zadania z możliwością wyboru odpowiedzi, 3 zadania z krótką odpowiedzią, 2 zadania z rozwiązaniem szczegółowym).

Szkolenie to jest w pełni zgodne z federalnym stanowym standardem edukacyjnym (druga generacja), może być wykorzystywane podczas prowadzenia kontroli w klasie, a także może być wykorzystywane przez uczniów klas 5 do samodzielnej pracy nad tym tematem.

Na wykonanie testu przeznacza się od 15 do 25 minut lekcji. Klucze są wliczone w cenę.

Szkolenie dla klasy 5 na temat „Równania”. Opcja 1.

№p / p

Ćwiczenie

Odpowiedź

Rozwiązać równanie

574

1124

1114

1024

Znajdź pierwiastek równania

(156-x )+43=170.

1) Korzeniem równania jest znaczenie litery.

2) Pierwiastek równania (23 - x) - 21 = 2 nie jest liczbą naturalną.

3) Aby znaleźć odjęte nieznane, konieczne jest odjęcie różnicy od zmniejszonej.

4) Równanie x-x= 0 ma dokładnie jeden pierwiastek.

Petya wymyślił liczbę. Jeśli dodamy 43 do tej liczby i 77 do całości, otrzymamy 258. Jaką liczbę planuje Petya?

1) (x + 43) – 77 = 258

2) (x + 43) + 77 = 258

3) (x – 43) + 77 = 258

4) (x – 43) – 77 = 258

Rozwiąż równanie: (5 Z – 8) : 2 = 121: 11.

Rozwiąż równanie: 821 - ( m + 268) = 349.

Znajdź znaczenie liczby a jeśli 8 a + 9x= 60 i x=4.

Rozwiąż problem za pomocą równania. W bibliotece było 125 książek z matematyki. Po tym, jak uczniowie wzięli kilka książek, a następnie zwrócono 3 książki, było ich 116. Ile książek zabrali uczniowie?

Rozwiązać równanie:

456 + (x – 367) – 225 =898

Szkolenie dla klasy 5 na temat „Równania”. Opcja 2.

№p / p

Ćwiczenie

Odpowiedź

Część 1. Zadanie z wieloma odpowiedziami

Rozwiązać równanie

525

1081

535

1071

Znajdź pierwiastek równania

942 – (tak + 142) = 419.

391

481

1219

381

Wskaż numery poprawnych oświadczeń:

1) Równanie to równość zawierająca literę, której wartość należy znaleźć.

2) Dowolna liczba naturalna jest pierwiastkiem równania

3) Pierwiastek równania jest wartością litery, przy której z równania otrzymuje się prawidłowe wyrażenie liczbowe.

4) Aby znaleźć nieznaną dywidendę, musisz dodać dzielnik do ilorazu.

Dasha wymyśliła liczbę. Jeśli do tej liczby dodamy 43, a od otrzymanej kwoty odejmiemy 77, otrzymamy 258. O jaką liczbę chodzi Dasha?

1) (x + 43) – 77 = 258

2) (x + 43) + 77 = 258

3) (x – 43) + 77 = 258

4) (x – 43) – 77 = 258

Część 2. Zadanie z krótką odpowiedzią

Rozwiąż równanie: 63: (2 x – 1) = 21: 3.

Rozwiąż równanie: 748 - ( b +248) = 300.

Znajdź znaczenie liczby a jeśli 7 a – 3x= 41 i x=5.

Część 3. Zadania ze szczegółowym rozwiązaniem

Rozwiąż problem za pomocą równania. W magazynie znajdowało się 197 maszyn. Po sprzedaży części i sprowadzeniu 86 kolejnych, w magazynie pozostało kolejne 115 maszyn. Ile łącznie sprzedałeś maszyn?

Równania liniowe. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiały w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy są bardzo „nie bardzo…”
A dla tych, którzy są „bardzo równi…”)

Równania liniowe.

Równania liniowe nie są najtrudniejszym tematem w matematyce szkolnej. Ale jest tam kilka sztuczek, które mogą zagadać nawet wyszkolonego ucznia. Możemy to rozgryźć?)

Zazwyczaj równanie liniowe definiuje się jako równanie o postaci:

topór + b = 0 gdzie a i b- dowolne liczby.

2x + 7 = 0. Tutaj a = 2, b = 7

0,1x - 2,3 = 0 Tutaj a = 0,1, b = -2,3

12x + 1/2 = 0 Tutaj a = 12, b = 1/2

Nic skomplikowanego, prawda? Zwłaszcza jeśli nie zauważasz słów: „gdzie a i b są liczbami”... A jeśli zauważysz, ale nieostrożnie myślisz?) W końcu, jeśli a = 0, b = 0(dowolne liczby są możliwe?), wtedy otrzymujesz zabawne wyrażenie:

Ale to nie wszystko! Jeśli powiedzmy a = 0, a b = 5, okazuje się, że jest to coś zupełnie niezwykłego:

Co nadweręża i podważa zaufanie do matematyki, tak...) Zwłaszcza na egzaminach. Ale z tych dziwnych wyrażeń konieczne jest również znalezienie X! Którego w ogóle nie ma. I, co zaskakujące, ten X jest bardzo łatwy do znalezienia. Dowiemy się, jak to zrobić. W tym samouczku.

Skąd znasz równanie liniowe po jego wyglądzie? To zależy od tego, jaki wygląd.) Sztuczka polega na tym, że równania liniowe są nazywane nie tylko równaniami postaci topór + b = 0 , ale także wszelkie równania, które do tej postaci sprowadza się poprzez przekształcenia i uproszczenia. A kto wie, czy można go zmniejszyć, czy nie?)

W niektórych przypadkach można wyraźnie rozpoznać równanie liniowe. Powiedzmy, że mamy równanie, w którym są tylko niewiadome pierwszego stopnia i liczby. A w równaniu nie ma ułamki podzielone przez nieznany , to jest ważne! I podział przez numer, lub ułamek liczbowy - proszę! Na przykład:

To jest równanie liniowe. Są tu ułamki, ale nie ma x w kwadracie, sześcianie itd., i nie ma x w mianownikach, tj. Nie dzielenie przez x... A oto równanie

nie można nazwać liniowym. Tutaj wszystkie x są w pierwszym stopniu, ale jest dzielenie przez wyrażenie z x... Po uproszczeniach i przekształceniach możesz otrzymać równanie liniowe, kwadratowe i cokolwiek chcesz.

Okazuje się, że niemożliwe jest znalezienie równania liniowego w jakimś trudnym przykładzie, dopóki prawie go nie rozwiążesz. To jest denerwujące. Ale zadania zwykle nie pytają o rodzaj równania, prawda? W zadaniach nakazuje się równania rozwiązywać. To sprawia, że jestem szczęśliwy.)

Rozwiązywanie równań liniowych. Przykłady.

Całe rozwiązanie równań liniowych składa się z identycznych przekształceń równań. Nawiasem mówiąc, te przekształcenia (aż dwie!) leżą u podstaw rozwiązań wszystkie równania matematyczne. Innymi słowy, rozwiązanie każdy równanie zaczyna się właśnie od tych przekształceń. W przypadku równań liniowych to (rozwiązanie) opiera się na tych przekształceniach i kończy się pełną odpowiedzią. Warto skorzystać z linku, prawda?) Ponadto istnieją również przykłady rozwiązywania równań liniowych.

Zacznijmy od najprostszego przykładu. Bez pułapek. Załóżmy, że musimy rozwiązać to równanie.

x - 3 = 2 - 4x

To jest równanie liniowe. X jest w pierwszym stopniu, nie ma dzielenia przez X. Ale w rzeczywistości nie obchodzi nas, jakie to równanie. Musimy to rozwiązać. Schemat jest tutaj prosty. Zbierz wszystko z x po lewej stronie równości, wszystko bez x (liczba) po prawej.

Aby to zrobić, musisz przenieść - 4x w lewo, oczywiście ze zmianą znaku, ale - 3 - w prawo. Nawiasem mówiąc, to jest pierwsza identyczna transformacja równań. Czy jesteś zaskoczony? Nie podążyliśmy więc za linkiem, ale na próżno ...) Otrzymujemy:

x + 4x = 2 + 3

Podajemy podobne, wierzymy:

Czego nam brakuje do pełnego szczęścia? Tak, żeby po lewej stronie był czysty X! Piątka stoi na przeszkodzie. Pozbycie się pierwszej piątki za pomocą druga identyczna transformacja równań. Mianowicie dzielimy obie strony równania przez 5. Otrzymujemy gotową odpowiedź:

Oczywiście elementarny przykład. To na rozgrzewkę.) Nie jest jasne, dlaczego przypominałem tutaj identyczne przekształcenia? OK. Bierzemy byka za rogi.) Zdecydujmy się na coś bardziej imponującego.

Na przykład oto równanie:

Gdzie zaczynamy? Z x - w lewo, bez x - w prawo? Może tak być. Małymi krokami wzdłuż długiej drogi. Lub możesz natychmiast, w uniwersalny i potężny sposób. Jeśli oczywiście w twoim arsenale są identyczne przekształcenia równań.

Zadaję Ci kluczowe pytanie: czego najbardziej nie lubisz w tym równaniu?

95 osób na 100 odpowie: ułamki ! Odpowiedź jest prawidłowa. Więc pozbądźmy się ich. Dlatego od razu zaczynamy od druga transformacja tożsamości... Czego potrzebujesz, aby pomnożyć ułamek po lewej stronie, aby mianownik mógł zostać całkowicie zmniejszony? Tak, o 3. A po prawej? Przez 4. Ale matematyka pozwala nam pomnożyć obie strony przez ten sam numer... Jak się wydostaniemy? I pomnóżmy obie strony przez 12! Tych. przez wspólny mianownik. Wtedy zarówno trzy, jak i cztery zostaną zredukowane. Nie zapominaj, że musisz pomnożyć każdą część. całkowicie... Tak wygląda pierwszy krok:

Rozwijanie nawiasów:

Notatka! Licznik ułamka (x + 2) Wstawiam to w nawiasy! Dzieje się tak, ponieważ gdy mnożysz ułamki, licznik mnoży się całkowicie, całkowicie! A teraz ułamki można zmniejszyć:

Rozwiń pozostałe nawiasy:

Nie przykład, ale czysta przyjemność!) Teraz pamiętamy zaklęcie z klas podstawowych: z x - po lewej stronie, bez x - po prawej! I zastosuj tę transformację:

Oto podobne:

I obie części dzielimy przez 25, tj. ponownie zastosuj drugą transformację:

To wszystko. Odpowiedź: x=0,16

Zanotuj: aby sprowadzić oryginalne pomieszane równanie do przyjemnej postaci, użyliśmy dwóch (tylko dwóch!) identyczne przekształcenia- przeniesienie lewo-prawo ze zmianą znaku i mnożeniem - dzieleniem równania przez tę samą liczbę. To uniwersalny sposób! Będziemy pracować w ten sposób z każdy równania! Absolutnie dowolny. Dlatego cały czas powtarzam te same przekształcenia.)

Jak widać, zasada rozwiązywania równań liniowych jest prosta. Bierzemy równanie i upraszczamy je za pomocą identycznych przekształceń, aż otrzymamy odpowiedź. Główne problemy tkwią w obliczeniach, a nie w zasadzie rozwiązania.

Ale… Są takie niespodzianki w procesie rozwiązywania najbardziej elementarnych równań liniowych, że potrafią wpędzić Cię w silne otępienie…) Na szczęście takie niespodzianki mogą być tylko dwie. Nazwijmy je szczególnymi przypadkami.

Szczególne przypadki przy rozwiązywaniu równań liniowych.

Pierwsza niespodzianka.

Załóżmy, że natkniesz się na równanie elementarne, coś takiego:

2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

Lekko znudzony, przenosimy to z x w lewo, bez x w prawo... Przy zmianie znaku wszystko jest podbródek-podbródek...

2x-5x + 3x = 5-2-3

Myślimy i ... o cholera !!! Otrzymujemy:

Ta równość sama w sobie nie budzi zastrzeżeń. Zero jest rzeczywiście zerem. Ale X zniknął! I jesteśmy zobowiązani napisać w odpowiedzi, co jest równe x. W przeciwnym razie decyzja się nie liczy, tak...) Ślepy zaułek?

Spokój! W takich wątpliwych przypadkach zachowują najogólniejsze zasady. Jak rozwiązywać równania? Co to znaczy rozwiązać równanie? To znaczy, znajdź wszystkie wartości x, które po wstawieniu do oryginalnego równania dadzą nam poprawną równość.

Ale mamy prawdziwą równość już stało się! 0 = 0, o ile dokładniejsze?! Pozostaje wykombinować, na co się okaże. Jakie wartości x można podstawić w Inicjał równanie jeśli te x's i tak skurczy się do zera? Pospiesz się?)

Tak!!! Xs można podstawić każdy! Czego chcesz. Co najmniej 5, co najmniej 0,05, co najmniej -220. I tak się skurczą. Jeśli mi nie wierzysz, możesz to sprawdzić.) Zastąp dowolne wartości x w Inicjał równanie i liczyć. Cały czas będzie uzyskiwana czysta prawda: 0 = 0, 2 = 2, -7,1 = -7,1 i tak dalej.

Oto odpowiedź: x - dowolna liczba.

Odpowiedź można zapisać różnymi symbolami matematycznymi, istota się nie zmienia. To jest absolutnie poprawna i kompletna odpowiedź.

Druga niespodzianka.

Weźmy to samo elementarne równanie liniowe i zmieńmy w nim tylko jedną liczbę. Oto, co rozwiążemy:

2x + 1 = 5x + 5 - 3x - 2

Po tych samych identycznych przekształceniach otrzymujemy coś intrygującego:

Lubię to. Rozwiązał równanie liniowe, uzyskał dziwną równość. Mówiąc matematycznie, mamy fałszywa równość. Mówiąc prościej, to nieprawda. Zachwycać się. Niemniej jednak ten nonsens jest bardzo dobrym powodem do prawidłowego rozwiązania równania.)

Ponownie myślimy w oparciu o ogólne zasady. Co x podstawione w pierwotnym równaniu da nam? prawda równość? Tak, żaden! Nie ma takich iksów. Cokolwiek zastąpisz, wszystko zostanie zredukowane, delirium pozostanie.)

Oto odpowiedź: brak rozwiązań.

To także całkiem pełnoprawna odpowiedź. W matematyce często można znaleźć takie odpowiedzi.

Lubię to. Teraz mam nadzieję, że utrata x w procesie rozwiązywania dowolnego (nie tylko liniowego) równania wcale Cię nie zdezorientuje. Sprawa jest już znana.)

Teraz, gdy odkryliśmy wszystkie pułapki w równaniach liniowych, sensowne jest ich rozwiązanie.

Jeśli podoba Ci się ta strona ...

Nawiasem mówiąc, mam dla Ciebie kilka innych interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Natychmiastowe testy walidacyjne. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

Jedna z najważniejszych umiejętności w wstęp do klasy 5 to umiejętność rozwiązywania najprostszych równań. Ponieważ klasa 5 nie jest jeszcze tak daleko od szkoły podstawowej, nie ma tak wielu rodzajów równań, które uczeń może rozwiązać. Przedstawimy Ci wszystkie podstawowe typy równań, które musisz rozwiązać, jeśli chcesz zapisać się do szkoły fizyki i matematyki.

Typ 1: „bulwiasty”
Są to równania, które prawie najprawdopodobniej przyjdą ci do głowy, gdy wstęp do dowolnej szkoły lub krąg klasy 5 jako osobne zadanie. Łatwo je odróżnić od innych: zmienna występuje w nich tylko raz. Na przykład lub.
Rozwiązuje się je bardzo prosto: wystarczy „dostać się” w nieznane, stopniowo „usuwając” wszystko, co niepotrzebne, co go otacza – jakby obrać cebulę – stąd nazwa. Aby go rozwiązać wystarczy zapamiętać kilka zasad z drugiej klasy. Wymieńmy je wszystkie:

Dodatek

termin1 + termin2 = suma
term1 = suma - term2
term2 = suma - term1

Odejmowanie

odejmowane - odejmowane = różnica
odejmowane = odejmowane + różnica
odejmowane = odejmowane - różnica

Mnożenie

współczynnik1 * współczynnik2 = produkt
czynnik1 = iloczyn: czynnik2
czynnik2 = iloczyn: czynnik1

Dział

dywidenda: dzielnik = iloraz
dywidenda = dzielnik * iloraz
dzielnik = dywidenda: iloraz

Weźmy przykład, jak zastosować te zasady.

Zauważ, że się dzielimy i dostajemy. W tej sytuacji znamy dzielnik i iloraz. Aby obliczyć dywidendę, należy pomnożyć dzielnik przez iloraz:

Zbliżyliśmy się trochę do siebie. Teraz widzimy, że… dodane i otrzymane. Tak więc, aby znaleźć jeden z terminów, musisz odjąć znany termin od sumy:

I jeszcze jedna „warstwa” zostaje usunięta z nieznanego! Teraz widzimy sytuację ze znaną wartością iloczynu () i jednym znanym czynnikiem ().

Teraz sytuacja "zmniejszyła się - odjęta = różnica"

A ostatni krok to znany iloczyn () i jeden z czynników ()

Typ 2: równania z nawiasami
Równania tego typu najczęściej spotykane są w zadaniach - 90% wszystkich zadań dla wstęp do klasy 5... w odróżnieniu „równania cebuli” zmienna może pojawić się tutaj kilka razy, więc nie da się jej rozwiązać metodami z poprzedniego akapitu. Typowe równania: lub
Główną trudnością jest prawidłowe otwarcie nawiasów. Po tym, jak udało nam się to zrobić poprawnie, powinniśmy przynieść podobne terminy (liczby do liczb, zmienne do zmiennych), a po tym otrzymujemy najprostsze „równanie bulwiaste” które wiemy jak rozwiązać. Ale najpierw najważniejsze.

Nawiasy rozszerzające... Podamy kilka zasad, które należy zastosować w tym przypadku. Ale, jak pokazuje praktyka, uczeń zaczyna poprawnie otwierać nawiasy dopiero po 70-80 rozwiązanych problemach. Podstawowa zasada jest taka: każdy czynnik poza nawiasami musi być pomnożony przez każdy wyraz w nawiasie. A minus przed nawiasem zmienia znak wszystkich wyrażeń w środku. A więc podstawowe zasady ujawniania informacji:

Przynosząc podobne... Tutaj wszystko jest o wiele prostsze: musisz, przenosząc wyrazy przez znak równości, upewnić się, że z jednej strony są tylko wyrazy z nieznanym, a z drugiej tylko liczby. Podstawowa zasada jest taka: każdy przenoszony termin zmienia swój znak - jeśli był z, to stanie się c i na odwrót. Po udanym przeniesieniu należy policzyć całkowitą liczbę niewiadomych, końcową liczbę stojącą po drugiej stronie równości, a nie zmienne, i rozwiązać liczbę pierwszą „równanie bulwiaste”.

W tym filmie przeanalizujemy cały zestaw równań liniowych, które są rozwiązywane za pomocą tego samego algorytmu - dlatego nazywamy je najprostszymi.

Na początek zdefiniujmy: czym jest równanie liniowe i jakie jest najprostsze z nich?

Równanie liniowe to takie, w którym występuje tylko jedna zmienna i to tylko pierwszego stopnia.

Najprostsze równanie oznacza konstrukcję:

Wszystkie inne równania liniowe sprowadza się do najprostszych za pomocą algorytmu:

Rozwiń nawiasy, jeśli istnieją;
Przenieś terminy zawierające zmienną na jedną stronę znaku równości, a terminy bez zmiennej na drugą;
Umieść podobne terminy po lewej i prawej stronie znaku równości;
Otrzymane równanie podziel przez współczynnik zmiennej $ x $.

Oczywiście ten algorytm nie zawsze pomaga. Faktem jest, że czasami po tych wszystkich manipulacjach współczynnik przy zmiennej $ x $ okazuje się wynosić zero. W takim przypadku możliwe są dwie opcje:

Równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Na przykład, gdy otrzymasz coś takiego jak $ 0 \ cdot x = 8 $, tj. po lewej stronie znajduje się zero, a po prawej niezerowa liczba. W poniższym filmie przyjrzymy się kilku powodom, dla których taka sytuacja jest możliwa.
Rozwiązaniem są wszystkie liczby. Jedyny przypadek, kiedy jest to możliwe - równanie zostało zredukowane do konstrukcji $0\cdot x=0$. Jest całkiem logiczne, że bez względu na to, jakie $ x $ zastąpimy, nadal okaże się „zero równe zero”, tj. poprawna równość liczbowa.

Zobaczmy teraz, jak to wszystko działa na przykładzie prawdziwych problemów.

Przykłady rozwiązywania równań

Dziś mamy do czynienia z równaniami liniowymi i to tylko najprostszymi. Ogólnie rzecz biorąc, równanie liniowe oznacza dowolną równość zawierającą dokładnie jedną zmienną i idzie tylko do pierwszego stopnia.

Takie konstrukcje są rozwiązywane mniej więcej w ten sam sposób:

Przede wszystkim musisz rozwinąć nawiasy, jeśli takie istnieją (jak w naszym ostatnim przykładzie);
Następnie przynieś podobne
Na koniec przechwyć zmienną, tj. wszystko, co jest związane ze zmienną – terminy, w których jest zawarta – należy przenieść w jedną stronę, a wszystko, co pozostaje bez niej, przenieść na drugą stronę.

Następnie z reguły trzeba sprowadzić podobne po każdej stronie uzyskanej równości, a potem pozostaje tylko podzielić przez współczynnik przy „x”, a otrzymamy ostateczną odpowiedź.

W teorii wygląda to ładnie i prosto, ale w praktyce nawet doświadczeni licealiści mogą popełniać obraźliwe błędy w dość prostych równaniach liniowych. Zazwyczaj błędy popełniane są albo przy rozwijaniu nawiasów, albo przy obliczaniu „plusów” i „minusów”.

Poza tym zdarza się, że równanie liniowe nie ma w ogóle rozwiązań lub rozwiązaniem jest cała oś liczbowa, tj. Jakikolwiek numer. Przeanalizujemy te subtelności w dzisiejszej lekcji. Ale zaczniemy, jak już zrozumiałeś, od najprostszych zadań.

Schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych

Na początek jeszcze raz napiszę cały schemat rozwiązywania najprostszych równań liniowych:

Rozwiń nawiasy, jeśli są.
Wydzielamy zmienne, tj. wszystko, co zawiera „x”, jest przenoszone na jedną stronę, a bez „x” - na drugą.
Przedstawiamy podobne terminy.
Wszystko dzielimy na współczynnik przy „x”.

Oczywiście ten schemat nie zawsze działa, są w nim pewne subtelności i sztuczki, a teraz je poznamy.

Rozwiązywanie rzeczywistych przykładów prostych równań liniowych

Problem numer 1

W pierwszym kroku musimy rozwinąć wsporniki. Ale nie ma ich w tym przykładzie, więc pomijamy ten etap. W drugim kroku musimy przejąć zmienne. Uwaga: mówimy tylko o indywidualnych terminach. Napiszmy:

Po lewej i prawej stronie przedstawiamy podobne terminy, ale to już zostało zrobione. Dlatego przechodzimy do czwartego kroku: podziel przez współczynnik:

\ [\ frac (6x) (6) = - \ frac (72) (6) \]

Więc otrzymaliśmy odpowiedź.

Problem numer 2

W tym problemie możemy zaobserwować nawiasy, więc rozwińmy je:

Zarówno po lewej, jak i po prawej stronie widzimy w przybliżeniu tę samą konstrukcję, ale postępujmy zgodnie z algorytmem, tj. wydzielamy zmienne:

Oto podobne:

W jakich korzeniach jest wykonywany. Odpowiedź: dla każdego. Dlatego możemy napisać, że $ x $ to dowolna liczba.

Problem numer 3

Trzecie równanie liniowe jest już bardziej interesujące:

\ [\ lewo (6-x \ prawo) + \ lewo (12 + x \ prawo) - \ lewo (3-2x \ prawo) = 15 \]

Jest tu kilka nawiasów, ale nie są one mnożone przez nic, po prostu mają przed sobą różne znaki. Otwórzmy je:

Realizujemy już znany nam krok drugi:

\ [- x + x + 2x = 15-6-12 + 3 \]

Policzmy:

Wykonujemy ostatni krok - wszystko dzielimy przez współczynnik przy „x”:

\ [\ frac (2x) (x) = \ frac (0) (2) \]

Rzeczy do zapamiętania podczas rozwiązywania równań liniowych

Poza zbyt prostymi zadaniami chciałbym powiedzieć:

Jak powiedziałem powyżej, nie każde równanie liniowe ma rozwiązanie - czasami po prostu nie ma pierwiastków;
Nawet jeśli są korzenie, może być wśród nich zero - nie ma w tym nic złego.

Zero to ta sama liczba, co reszta, nie należy jej w żaden sposób dyskryminować ani zakładać, że jeśli otrzymałeś zero, to zrobiłeś coś złego.

Kolejna cecha związana jest z rozszerzaniem nawiasów. Uwaga: gdy przed nimi jest „minus”, to go usuwamy, ale w nawiasach zmieniamy znaki na odwrotny... A potem możemy go otworzyć za pomocą standardowych algorytmów: otrzymujemy to, co widzieliśmy w powyższych obliczeniach.

Zrozumienie tego prostego faktu pozwoli Ci uniknąć głupich i bolesnych błędów w liceum, kiedy takie działania są brane za pewnik.

Rozwiązywanie złożonych równań liniowych

Przejdźmy do bardziej złożonych równań. Teraz konstrukcje staną się bardziej złożone i podczas wykonywania różnych przekształceń pojawi się funkcja kwadratowa. Jednak nie należy się tego obawiać, ponieważ jeśli zgodnie z intencją autora rozwiązujemy równanie liniowe, to w procesie transformacji wszystkie jednomiany zawierające funkcję kwadratową będą z konieczności anulowane.

Przykład 1

Oczywiście pierwszym krokiem jest rozwinięcie nawiasów. Zróbmy to bardzo ostrożnie:

Teraz prywatność:

\ [- x + 6 ((x) ^ (2)) - 6 ((x) ^ (2)) + x = -12 \]

Oto podobne:

Oczywiście to równanie nie ma rozwiązań, więc w odpowiedzi napiszemy w następujący sposób:

\ [\ varnothing \]

lub bez korzeni.

Przykład nr 2

Wykonujemy te same kroki. Pierwszy krok:

Przenieś wszystko ze zmienną w lewo, a bez w prawo:

Oto podobne:

Oczywiście to równanie liniowe nie ma rozwiązania, więc napiszemy je w ten sposób:

\ [\ varnothing \],

lub nie ma korzeni.

Niuanse rozwiązań

Oba równania są całkowicie rozwiązane. Używając tych dwóch wyrażeń jako przykładu, po raz kolejny upewniliśmy się, że nawet w najprostszych równaniach liniowych wszystko może nie być takie proste: może być albo jeden, albo żaden, albo nieskończenie wiele pierwiastków. W naszym przypadku rozważaliśmy dwa równania, w obu po prostu nie ma pierwiastków.

Ale chciałbym zwrócić uwagę na inny fakt: jak pracować z nawiasami i jak je otwierać, jeśli jest przed nimi znak minus. Rozważ to wyrażenie:

Przed ujawnieniem należy wszystko pomnożyć przez „X”. Uwaga: mnoży każdy indywidualny termin... Wewnątrz znajdują się dwa wyrazy - odpowiednio dwa wyrazy i pomnożone.

I dopiero po wykonaniu tych pozornie elementarnych, ale bardzo ważnych i niebezpiecznych przekształceń, można rozszerzyć nawias z punktu widzenia tego, że po nim jest znak minus. Tak, tak: dopiero teraz, gdy transformacje są zakończone, pamiętamy, że przed nawiasem jest znak minus, co oznacza, że wszystko, co schodzi, zmienia tylko znaki. Jednocześnie znikają same nawiasy i, co najważniejsze, znika również przedni „minus”.

To samo robimy z drugim równaniem:

Nie przypadkiem zwracam uwagę na te drobne, pozornie nieistotne fakty. Bo rozwiązywanie równań to zawsze ciąg elementarnych przekształceń, gdzie niemożność jasnego i kompetentnego wykonania prostych czynności prowadzi do tego, że licealiści przychodzą do mnie i na nowo uczą się rozwiązywać takie proste równania.

Oczywiście nadejdzie dzień, w którym wyszlifujesz te umiejętności do automatyzmu. Nie musisz już za każdym razem wykonywać tylu przekształceń, wszystko napiszesz w jednej linijce. Ale kiedy dopiero się uczysz, musisz napisać każdą akcję osobno.

Rozwiązywanie jeszcze bardziej złożonych równań liniowych

To, co teraz rozwiążemy, już trudno nazwać najprostszym zadaniem, ale znaczenie pozostaje takie samo.

Problem numer 1

\ [\ lewy (7x + 1 \ prawy) \ lewy (3x-1 \ prawy) -21 ((x) ^ (2)) = 3 \]

Pomnóżmy wszystkie elementy z pierwszej części:

Zróbmy odosobnienie:

Oto podobne:

Wykonujemy ostatni krok:

\ [\ frac (-4x) (4) = \ frac (4) (- 4) \]

Oto nasza ostateczna odpowiedź. I pomimo tego, że w procesie rozwiązywania współczynników z funkcją kwadratową unicestwiały się one wzajemnie, co sprawia, że równanie jest dokładnie liniowe, a nie kwadratowe.

Problem numer 2

\ [\ lewo (1-4x \ prawo) \ lewo (1-3x \ prawo) = 6x \ lewo (2x-1 \ prawo) \]

Zróbmy porządnie pierwszy krok: pomnóż każdy element w pierwszym nawiasie przez każdy element w drugim. W sumie po przekształceniach powinny pojawić się cztery nowe terminy:

Teraz dokładnie wykonajmy mnożenie w każdym wyrazie:

Przesuńmy wyrazy z "x" w lewo, a bez - w prawo:

\ [- 3x-4x + 12 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (2)) + 6x = -1 \]

Oto podobne terminy:

Po raz kolejny otrzymaliśmy ostateczną odpowiedź.

Niuanse rozwiązań

Najważniejsza uwaga dotycząca tych dwóch równań jest następująca: jak tylko zaczniemy mnożyć nawiasy, w których jest więcej niż wyrazu, to odbywa się to zgodnie z następującą zasadą: pierwszy wyraz bierzemy z pierwszego i pomnóż z każdym elementem z drugiego; następnie bierzemy drugi element z pierwszego i podobnie mnożymy przez każdy element z drugiego. W rezultacie otrzymujemy cztery terminy.

Suma algebraiczna

Ostatnim przykładem chciałbym przypomnieć uczniom, czym jest suma algebraiczna. W matematyce klasycznej przez 1-7 $ rozumiemy prostą konstrukcję: odejmij siedem od jednego. W algebrze rozumiemy przez to, co następuje: do liczby „jeden” dodajemy kolejną liczbę, a mianowicie „minus siedem”. W ten sposób suma algebraiczna różni się od zwykłej arytmetycznej.

Kiedyś, wykonując wszystkie przekształcenia, każde dodawanie i mnożenie, zaczniesz widzieć konstrukcje podobne do opisanych powyżej, po prostu nie będziesz miał problemów z algebrą podczas pracy z wielomianami i równaniami.

Podsumowując, spójrzmy na jeszcze kilka przykładów, które będą jeszcze bardziej złożone niż te, które właśnie oglądaliśmy, i aby je rozwiązać, będziemy musieli nieco rozszerzyć nasz standardowy algorytm.

Rozwiązywanie równań z ułamkiem

Aby rozwiązać takie problemy, będziemy musieli dodać jeszcze jeden krok do naszego algorytmu. Ale najpierw przypomnę nasz algorytm:

Rozwiń nawiasy.
Oddzielne zmienne.
Przynieś podobne.
Podziel przez współczynnik.

Niestety, ten doskonały algorytm, pomimo całej swojej skuteczności, okazuje się nie do końca odpowiedni, gdy mamy do czynienia z ułamkami. A w tym, co zobaczymy poniżej, w obu równaniach mamy ułamek po lewej i po prawej stronie.

Jak pracować w takim przypadku? Wszystko jest bardzo proste! Aby to zrobić, musisz dodać jeszcze jeden krok do algorytmu, który można wykonać zarówno przed pierwszą akcją, jak i po niej, a mianowicie pozbyć się ułamków. Zatem algorytm będzie wyglądał następująco:

Pozbądź się ułamków.
Rozwiń nawiasy.
Oddzielne zmienne.
Przynieś podobne.
Podziel przez współczynnik.

Co oznacza „pozbądź się ułamków”? I dlaczego można to zrobić zarówno po, jak i przed pierwszym standardowym krokiem? W rzeczywistości w naszym przypadku wszystkie ułamki są liczbowe pod względem mianownika, tj. wszędzie w mianowniku jest tylko liczba. Dlatego jeśli pomnożymy obie strony równania przez tę liczbę, to pozbędziemy się ułamków.

Przykład 1

\ [\ frac (\ lewo (2x + 1 \ prawo) \ lewo (2x-3 \ prawo)) (4) = ((x) ^ (2)) - 1 \]

Pozbądźmy się ułamków w tym równaniu:

\ [\ frac (\ lewo (2x + 1 \ prawo) \ lewo (2x-3 \ prawo) \ cdot 4) (4) = \ lewo (((x) ^ (2)) - 1 \ prawo) \ cdot 4\]

Zwróć uwagę: wszystko jest pomnożone przez „cztery” raz, czyli. tylko dlatego, że masz dwa nawiasy, nie oznacza to, że musisz pomnożyć każdy z nich przez cztery. Zapiszmy:

\ [\ lewo (2x + 1 \ prawo) \ lewo (2x-3 \ prawo) = \ lewo (((x) ^ (2)) - 1 \ prawo) \ cdot 4 \]

Teraz otwórzmy:

Wykonujemy oddzielenie zmiennej:

Przeprowadzamy redukcję podobnych terminów:

\ [- 4x = -1 \ lewo | : \ lewo (-4 \ prawo) \ prawo. \]

\ [\ frac (-4x) (- 4) = \ frac (-1) (- 4) \]

Mamy ostateczne rozwiązanie, przejdź do drugiego równania.

Przykład nr 2

\ [\ frac (\ lewo (1-x \ prawo) \ lewo (1 + 5x \ prawo)) (5) + ((x) ^ (2)) = 1 \]

Tutaj wykonujemy te same czynności:

\ [\ frac (\ lewo (1-x \ prawo) \ lewo (1 + 5x \ prawo) \ cdot 5) (5) + ((x) ^ (2)) \ cdot 5 = 5 \]

\ [\ frac (4x) (4) = \ frac (4) (4) \]

Problem został rozwiązany.

To właściwie wszystko, co chciałem dzisiaj powiedzieć.

Kluczowe punkty

Najważniejsze ustalenia są następujące:

Znać algorytm rozwiązywania równań liniowych.
Możliwość otwierania nawiasów.
Nie martw się, jeśli masz gdzieś funkcje kwadratowe, najprawdopodobniej skurczą się one w procesie dalszych przekształceń.
Pierwiastki w równaniach liniowych, nawet najprostszych, są trzech typów: jeden pierwiastek, cała oś liczbowa jest pierwiastkiem iw ogóle nie ma pierwiastków.

Mam nadzieję, że ta lekcja pomoże Ci opanować prosty, ale bardzo ważny temat dla dalszego zrozumienia całej matematyki. Jeśli coś jest niejasne, wejdź na stronę, rozwiąż przedstawione tam przykłady. Bądź na bieżąco, czeka na Ciebie wiele innych ciekawych rzeczy!