Limitați succesiunea exemplelor de soluții. Limita secvenței - teoreme și proprietăți de bază

Xn elemente sau membri ai secvenței, n - membri ai secvenței. Dacă funcția f (n) este dată analitic, adică printr-o formulă, atunci xn = f (n) se numește formula unui membru al șirului.

Numărul a se numește limita șirului (xn) dacă pentru orice ε> 0 există un număr n = n (ε) începând de la care inegalitatea | xn-a |

Exemplul 2. Demonstrați că în condițiile Exemplului 1 numărul a = 1 nu este limita șirului exemplului anterior. Soluţie. Simplificați din nou termenul comun. Luați ε = 1 (orice număr>

Sarcinile de calcul direct a limitei unei secvențe sunt destul de monotone. Toate conțin rapoarte ale polinoamelor față de n sau expresii iraționale față de aceste polinoame. Când începeți rezolvarea, plasați componenta în cel mai înalt grad în afara parantezei (semn radical). Fie pentru numărătorul expresiei inițiale aceasta va duce la apariția factorului a ^ p, iar pentru numitorul b ^ q. Evident, toți termenii rămași au forma С / (n-k) și tind spre zero pentru n>

Prima modalitate de a calcula limita unei secvențe se bazează pe definiția acesteia. Adevărat, trebuie amintit că nu oferă modalități de căutare directă a limitei, ci permite doar să se demonstreze că un anumit număr a este (sau nu este) o limită.Exemplu 1. Demonstrați că șirul (xn) = ( (3n ^ 2-2n -1) / (n ^ 2-n-2)) are limita a = 3. Rezolvare. Efectuați demonstrația aplicând definiția în ordine inversă. Adică de la dreapta la stânga. Verificați mai întâi dacă nu există nicio modalitate de a simplifica formula pentru xn.хn = (3n ^ 2 + 4n + 2) / (n ^ 2 + 3n22) = ((3n + 1) (n + 1)) / ((n) + 2) (n + 1)) =) = (3n + 1) / (n + 2) Luați în considerare inegalitatea | (3n + 1) / (n + 2) -3 | 0 puteți găsi orice număr natural nε mai mare decât -2+ 5 / ε.

Exemplul 2. Demonstrați că în condițiile Exemplului 1 numărul a = 1 nu este limita șirului exemplului anterior. Soluţie. Simplificați din nou termenul comun. Luați ε = 1 (orice număr> 0).Notați inegalitatea concluzie a definiției generale |(3n + 1) / (n + 2) -1 |

Să indicăm un mod netradițional de a găsi limita unei secvențe și sume infinite. Vom folosi secvențe funcționale (membrii lor ai funcției sunt definiți pe un anumit interval (a, b)) Exemplul 3. Aflați o sumă de forma 1 + 1/2! +1/3! +… + 1 / n! +… = S. Rezolvare. Orice număr a ^ 0 = 1. Puneți 1 = exp (0) și luați în considerare șirul funcției (1 + x + x ^ 2/2! + X ^ 3/3! +… + X ^ / n, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

Sunt date formulările principalelor teoreme și proprietăți ale șirurilor numerice cu limită. Conține definiția secvenței și limita acesteia. Se iau în considerare operațiile aritmetice cu secvențe, proprietățile legate de inegalități, criteriile de convergență, proprietățile secvențelor infinitezimale și infinit de mari.

Conţinut

Proprietățile limite finite ale secvențelor

Proprietăți de bază

Punctul a este limita secvenței dacă și numai dacă în afara oricărei vecinătăți a acestui punct este număr finit de elemente secvențe sau set gol.

Dacă numărul a nu este limita secvenței, atunci există o vecinătate a punctului a, în afara căreia există număr infinit de elemente dintr-o succesiune.

Teorema unicității pentru limita unei secvențe de numere... Dacă secvența are o limită, atunci este singura.

Dacă succesiunea are o limită finită, atunci aceasta limitat.

Dacă fiecare element al secvenței este egal cu același număr C: atunci această secvență are o limită egală cu numărul C.

Dacă succesiunea adăugați, aruncați sau modificați primele m elemente, atunci acest lucru nu va afecta convergența acestuia.

Dovezi ale principalelor proprietăți sunt date pe pagină
Proprietăţile de bază ale limitelor finite ale secvenţelor >>>.

Operatii aritmetice cu limite

Să fie limite și secvențe finite și. Și să fie C o constantă, adică un număr dat. Atunci
;
;
;
, dacă .
În cazul coeficientului, se presupune că pentru toți n.

Daca atunci.

Demonstrațiile proprietăților aritmetice sunt date pe pagină
Proprietăţile aritmetice ale limitelor finite ale secvenţelor >>>.

Proprietăți de inegalitate

Dacă elementele șirului, pornind de la un anumit număr, satisfac inegalitatea, atunci limita a a acestei șiruri satisface și inegalitatea.

Dacă elementele șirului, pornind de la un număr oarecare, aparțin unui interval închis (segment), atunci și limita a aparține acestui interval:.

Dacă și și elementele șirurilor, pornind de la un număr, satisfac inegalitatea, atunci.

Dacă și, începând de la un număr, atunci.
În special, dacă, pornind de la un anumit număr, atunci
daca atunci;
daca atunci.

Dacă și, atunci.

Lasă și. În cazul în care o < b , atunci există un număr natural N astfel încât pentru tot n > N inegalitatea este valabilă.

Dovezi de proprietăți legate de inegalități sunt date pe pagină
Proprietăți limită de secvență legate de inegalități >>>.

Secvențe infinit de mari și infinit de mici

Secvență infinit de mică

O secvență infinitezimală este o secvență a cărei limită este zero:
.

Suma si diferenta un număr finit de secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală.

Produs cu secvență limitată prin infinitezimal este o succesiune infinit de mică.

Produs finit o secvență infinitezimală este o secvență infinitezimală.

Pentru ca o secvență să aibă o limită a, este necesar și suficient ca, unde să fie o secvență infinit de mică.

Demonstrații de proprietăți ale secvențelor infinitezimale sunt date pe pagină
Secvențe infinitezimale - Definiție și proprietăți >>>.

Secvență infinit de mare

O secvență infinit de mare este o secvență care are o limită infinit de mare. Adică, dacă pentru orice număr pozitiv există un număr natural N care depinde astfel încât pentru toate numerele naturale inegalitatea
.
În acest caz, scrieți
.
Sau la.
Ei spun că tinde spre infinit.

Dacă, pornind de la un număr N, atunci
.
Daca atunci
.

Dacă șirurile sunt infinit de mari, atunci, pornind de la un număr N, se definește o secvență infinit de mică. Dacă sunt o secvență infinitezimală cu elemente diferite de zero, atunci șirul este infinit de mare.

Dacă șirul este infinit de mare și șirul este mărginit, atunci
.

Dacă valorile absolute ale elementelor șirului sunt mărginite de jos de un număr pozitiv () și sunt infinitezimale cu elemente care nu sunt egale cu zero, atunci
.

In detalii definirea unei secvențe infinit de mari cu exemple este dat pe pagină
Definiția unei secvențe infinit de mari >>>.
Demonstrațiile proprietăților unor secvențe infinit de mari sunt date pe pagină
Proprietăţi ale unor secvenţe infinit de mari >>>.

Criterii de convergență pentru secvențe

Secvențe monotone

O secvență strict crescătoare este o secvență pentru toate elementele din care sunt valabile următoarele inegalități:
.

Alte secvențe monotone sunt definite de inegalități similare.

Secvență strict descendentă:
.
Secvență nedescrescătoare:
.
Secvență care nu crește:
.

Rezultă că o secvență strict crescătoare este, de asemenea, nedescrescătoare. O secvență strict descrescătoare este, de asemenea, necrescătoare.

O secvență monotonă este o secvență care nu descrește sau nu crește.

O secvență monotonă este limitată pe cel puțin o parte de o valoare. Secvența nedescrescătoare este mărginită de jos:. Secvența necrescătoare este mărginită de sus:.

Teorema Weierstrass... Pentru ca o secvență nedescrescătoare (necrescătoare) să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca aceasta să fie mărginită de sus (de jos). Aici M este un număr.

Deoarece orice succesiune nedescrescătoare (necrescătoare) este mărginită de jos (de sus), teorema Weierstrass poate fi reformulată după cum urmează:

Pentru ca o secvență monotonă să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca aceasta să fie limitată:.

Secvență nelimitată monotonă are o limită infinită, egală pentru o succesiune nedescrescătoare și pentru o succesiune necrescătoare.

Dovada teoremei lui Weierstrass dat pe pagină
Teorema lui Weierstrass asupra limitei unei succesiuni monotone >>>.

Criteriul lui Cauchy pentru convergența unei secvențe

Starea Cauchy
Secvența satisface starea Cauchy dacă pentru oricare există un număr natural astfel încât pentru toate numerele naturale n și m care îndeplinesc condiția, inegalitatea
.

O secvență fundamentală este o secvență care satisface starea Cauchy.

Criteriul lui Cauchy pentru convergența unei secvențe... Pentru ca o secvență să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca aceasta să satisfacă condiția Cauchy.

Dovada criteriului de convergență Cauchy dat pe pagină
Criteriul lui Cauchy pentru convergența unei secvențe >>>.

Subsecvențele

Bolzano - teorema Weierstrass... O subsecvență convergentă poate fi distinsă de orice succesiune mărginită. Și din orice succesiune nemărginită - o subsecvență infinit de mare care converge către sau către.

Demonstrarea teoremei Bolzano - Weierstrass dat pe pagină
Bolzano - teorema Weierstrass >>>.

Pentru definiții, teoreme și proprietăți ale subsecvențelor și limitelor parțiale, vezi pagina
Subsecvențe și limite parțiale ale secvențelor >>>.

Referinte:
CM. Nikolsky. Cursul analizei matematice. Volumul 1. Moscova, 1983.
L. D. Kudryavtsev. Cursul analizei matematice. Volumul 1. Moscova, 2003.
V.A. Zorich. Analiza matematică. Partea 1. Moscova, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Fundamentele analizei matematice. Partea 1. Moscova, 2005.

Vezi si:

Limită de secvență de numere- limita succesiunii elementelor spaţiului numeric. Spațiul numeric este un spațiu metric, distanța în care este definită ca modulul diferenței dintre elemente. Prin urmare, numărul este numit limita de succesiune dacă pentru oricare există un număr care depinde de astfel încât pentru oricare inegalitatea este valabilă.

Conceptul de limită a unei secvențe de numere reale este formulat destul de simplu, iar în cazul numerelor complexe, existența unei limite a unei secvențe este echivalentă cu existența limitelor șirurilor corespunzătoare de părți reale și imaginare ale complexului. numerele.

Limita (secvența numerică) este unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice. Fiecare număr real poate fi reprezentat ca limită a succesiunii de aproximări la valoarea dorită. Sistemul de numere oferă această secvență de calificări. Numerele întregi iraționale sunt descrise prin secvențe periodice de aproximări, în timp ce numerele iraționale sunt descrise prin secvențe neperiodice de aproximări.

În metodele numerice, unde se utilizează reprezentarea numerelor cu un număr finit de semne, alegerea sistemului de aproximare joacă un rol deosebit. Criteriul pentru calitatea sistemului de aproximare este rata de convergență. În acest sens, fracțiile continuate sunt eficiente.

Definiție

Numărul este sunat limita succesiunii numerice dacă șirul este infinitezimal, adică toate elementele sale, începând de la unele, sunt în valoare absolută mai mici decât orice număr pozitiv luat în avans.

Dacă o succesiune numerică are o limită sub forma unui număr real, se numește convergente la acest număr. În caz contrar, secvența este numită divergente ... Dacă, în plus, este nelimitat, atunci limita sa se presupune că este egală cu infinitul.

În plus, dacă toate elementele unei secvențe nemărginite, începând cu un anumit număr, au un semn pozitiv, atunci se spune că limita unei astfel de secvențe este plus infinit .

Dacă elementele unei secvențe nemărginite, pornind de la un număr, au semn negativ, atunci se spune că limita unei astfel de șiruri este minus infinitul .

Această definiție are un defect fatal: explică ce este o limită, dar nu oferă o modalitate de a o calcula, nici informații despre existența ei. Toate acestea se deduc din proprietățile limitei dovedite mai jos.

Astăzi în lecție vom analiza secvențiere strictăși definirea strictă a limitei unei funcții, și, de asemenea, să învețe cum să rezolvi problemele corespunzătoare de natură teoretică. Articolul este destinat în primul rând studenților din anul I de specialități de științe naturale și inginerie care au început să studieze teoria analizei matematice și au întâmpinat dificultăți în înțelegerea acestei secțiuni a matematicii superioare. În plus, materialul este destul de accesibil elevilor de liceu.

De-a lungul anilor de existență a site-ului, am primit o duzină de scrisori cu aproximativ următorul conținut: „Nu înțeleg analiza matematică, ce să fac?”, „Nu înțeleg deloc matan, cred că voi renunță la studii”, etc. Într-adevăr, matanul este cel care deseori subțiază grupul de studenți chiar după prima sesiune. De ce este acesta cazul? Pentru că subiectul este incredibil de dificil? Deloc! Teoria analizei matematice nu este atât de dificilă, pe atât de particulară... Și trebuie să o accepți și să o iubești pentru cine este =)

Să începem cu cel mai rău caz. În primul rând, nu este nevoie să renunți la școală. Înțelegeți corect, să renunțați, va avea mereu timp ;-) Bineînțeles, dacă după un an sau doi ți se face rău de specialitatea aleasă, atunci da - ar trebui să te gândești la asta (și nu biciuiți febra!) despre schimbarea activităților. Dar deocamdată merită să continui. Și, vă rog, uitați expresia „Nu înțeleg nimic” - nu se întâmplă să nu înțelegeți absolut nimic.

Dacă teoria este proastă? Aceasta, apropo, se referă nu numai la analiza matematică. Dacă teoria este proastă, atunci mai întâi trebuie să puneți SERIOZ în practică. În același timp, două sarcini strategice sunt rezolvate simultan:

- În primul rând, o proporție semnificativă a cunoștințelor teoretice a provenit din practică. Și, prin urmare, mulți oameni înțeleg teoria prin... - așa este! Nu, nu, nu te-ai gândit la asta =)

- Și, în al doilea rând, abilitățile practice sunt de natură să te „întindă” la examen, chiar dacă..., dar să nu ne acordăm așa! Totul este real și totul poate fi cu adevărat „ridicat” într-un timp destul de scurt. Analiza matematică este ramura mea preferată a matematicii superioare și, prin urmare, nu m-am putut abține să nu vă dau o mână de ajutor:

La începutul semestrului I, limitele de secvență și limitele de funcție sunt de obicei depășite. Nu înțelegi ce sunt acestea și nu știi cum să le rezolvi? Începe cu un articol Limitele funcției, în care „pe degete” se ia în considerare conceptul în sine și se analizează cele mai simple exemple. Apoi lucrați prin alte lecții pe acest subiect, inclusiv o lecție despre în cadrul secvenţelor asupra căruia de fapt am formulat deja o definiţie strictă.

Ce icoane cunoașteți în afară de semnele de inegalitate și modul?

- un baston vertical lung citește astfel: „Așa așa”, „Așa așa”, „Așa așa” sau „Așa aia”, în cazul nostru, evident, vorbim despre un număr – deci „astfel care”;

- pentru toate „en”, mai mare decât;

– semnul modul înseamnă distanță, adică această intrare ne spune că distanța dintre valori este mai mică decât epsilon.

Este greu de moarte? =)

După stăpânirea practicii, vă aștept în următorul paragraf:

Și, de fapt, să ne gândim puțin - cum să formulezi o definiție strictă a unei secvențe? ... Primul lucru care-mi vine în minte în lume instruire practică: „Limita unei secvențe este numărul de care membrii secvenței sunt infinit aproape.”

Bine, hai să semnăm ulterior :

Nu este greu de înțeles asta ulterior sunt infinit aproape de -1 și termeni pari - catre unul".

Sau poate sunt două limite? Dar atunci de ce nu poate o secvență să aibă zece sau douăzeci? Deci poți merge departe. În acest sens, este logic să presupunem că dacă secvența are o limită, atunci este singura.

Notă : secvența nu are limită, dar de ea se pot distinge două subsecvențe (vezi mai sus), fiecare având propria sa limită.

Astfel, definiția de mai sus se dovedește a fi insuportabilă. Da, funcționează pentru cazuri precum (pe care nu l-am folosit corect în explicațiile simplificate ale exemplelor practice), dar acum trebuie să găsim o definiție strictă.

Încercarea a doua: „limita secvenței este numărul la care se apropie TOȚI membrii secvenței, cu excepția, poate, a lor. finala cantitate ". Acest lucru este mai aproape de adevăr, dar încă nu este complet exact. Deci, de exemplu, secvența jumătate dintre membri nu se apropie deloc de zero - pur și simplu sunt egali cu acesta =) Apropo, „fulgerul” ia în general două valori fixe.

Formularea nu este greu de clarificat, dar apoi apare o altă întrebare: cum se scrie definiția în semne matematice? Lumea științifică s-a luptat pentru această problemă mult timp până când situația a fost rezolvată maestru celebru, care, în esență, a formalizat calculul clasic în toată rigoarea sa. Cauchy s-a oferit să opereze împrejurimi , decât a avansat semnificativ teoria.

Luați în considerare un anumit punct și acesta arbitrar-Cartier:

Sensul „epsilon” este întotdeauna pozitiv și, în plus, avem dreptul să o alegem noi înșine... Să presupunem că într-o zonă dată există un set de termeni (nu neaparat toate) o anumită secvență. Cum să notez faptul că, de exemplu, al zecelea membru a intrat în cartier? Lasă-l pe partea dreaptă a ei. Apoi, distanța dintre puncte ar trebui să fie mai mică decât „epsilon”:. Cu toate acestea, dacă „x zecime” este situat în stânga punctului „a”, atunci diferența va fi negativă și, prin urmare, trebuie să îi adăugați un semn. modul: .

Definiție: numărul se numește limita secvenței dacă pentru oriceîmprejurimile sale (preselectat) există un număr natural – AȘA încât TOATE membrii secvenței cu numere mai mari vor fi în interiorul cartierului:

Sau pe scurt: dacă

Cu alte cuvinte, oricât de mică ar fi valoarea lui „epsilon”, mai devreme sau mai târziu „coada infinită” a secvenței va fi COMPLET în acest cartier.

Deci, de exemplu, „coada infinită” a secvenței COMPLET intră în orice vecinătate arbitrar mică a punctului. Astfel, această valoare este limita secvenței prin definiție. Vă reamintesc că se numește o secvență a cărei limită este zero infinitezimal.

De remarcat că pentru secvență nu se mai poate spune „coadă infinită va veni„- membrii cu numere impare sunt de fapt egali cu zero și” nu merg nicăieri „=) De aceea verbul” va apărea „este folosit în definiție. Și, desigur, membrii unei astfel de secvențe, de asemenea, „nu merg nicăieri”. Apropo, verificați dacă numărul este limita.

Acum vom arăta că succesiunea nu are limită. Luați în considerare, de exemplu, o vecinătate a unui punct. Este destul de clar că nu există un astfel de număr după care TOȚI membrii vor fi într-un anumit cartier - membrii impari vor „sări” întotdeauna la „minus unu”. Dintr-un motiv similar, nu există nicio limită la un moment dat.

Să reparăm materialul cu practică:

Exemplul 1

Demonstrați că limita șirului este zero. Specificați numărul după care se garantează că toți membrii secvenței se află în orice vecinătate arbitrar de mică a punctului.

Notă : pentru multe secvențe, numărul natural dorit depinde de valoare - de unde notația.

Soluţie: considera arbitrar Este acolo număr - astfel încât TOȚI membrii cu numere mai mari se vor afla în acest cartier:

Pentru a arăta existența numărului dorit, exprimăm prin.

Deoarece pentru orice valoare a lui „en”, semnul modulului poate fi eliminat:

Folosim acțiunile „școlare” cu inegalități, pe care le-am repetat în clasă Inegalități liniareși Domeniul de aplicare a funcției... În acest caz, o circumstanță importantă este că „epsilon” și „en” sunt pozitive:

Deoarece în stânga vorbim despre numere naturale, iar partea dreaptă este în general fracțională, atunci trebuie rotunjită:

Notă : uneori o unitate este adăugată la dreapta pentru a fi în siguranță, dar aceasta este de fapt o exagerare. Relativ vorbind, dacă slăbim și rezultatul prin rotunjirea în jos, atunci cel mai apropiat număr potrivit ("trei") va satisface totuși inegalitatea inițială.

Acum ne uităm la inegalitate și ne amintim că am considerat inițial arbitrar-cartier, i.e. Epsilon poate fi egal cu orice un număr pozitiv.

Ieșire: pentru orice vecinătate arbitrar mică a punctului, valoarea ... Astfel, numărul este limita secvenței prin definiție. Q.E.D.

Apropo, din rezultatul obținut o regularitate naturală este clar vizibilă: cu cât vecinătatea este mai mică, cu atât este mai mare numărul după care TOȚI membrii secvenței vor fi în vecinătatea dată. Dar oricât de mic este „epsilonul”, va exista întotdeauna o „coadă fără sfârșit” înăuntru și în exterior - chiar dacă este mare, totuși finala numarul de membri.

Cum sunt impresiile tale? =) Sunt de acord că este ciudat. Dar strict! Vă rugăm să recitiți și să înțelegeți totul din nou.

Să ne uităm la un exemplu similar și să ne familiarizăm cu alte tehnici:

Exemplul 2

Soluţie: prin definirea succesiunii, este necesar să se demonstreze că (o spunem cu voce tare !!!).

Considera arbitrar-vecinatatea punctului si verificati daca există oare număr natural - astfel încât pentru toate numerele mai mari să fie îndeplinită următoarea inegalitate:

Pentru a arăta existența unui astfel de lucru, trebuie să exprimați „en” prin „epsilon”. Să simplificăm expresia de sub semnul modulului:

Modulul distruge semnul minus:

Numitorul este pozitiv pentru orice „en”, prin urmare, bastoanele pot fi îndepărtate:

Amesteca:

Acum trebuie să extragem rădăcina pătrată, dar problema este că pentru niște „epsiloni” partea dreaptă va fi negativă. Pentru a evita acest necaz se va întări inegalitatea prin modul:

De ce se poate face asta? Dacă, condiționat vorbind, se dovedește că, atunci și mai mult condiția va fi îndeplinită. Modulul poate doar creste numarul dorit si asta ne va potrivi si noua! În linii mari, dacă a suta este potrivită, atunci a 200-a va fi potrivită! Conform definiției, este necesar să se arate însuşi faptul existenţei numărului(cel puțin unii), după care toți membrii secvenței vor fi în vecinătatea -. Apropo, de aceea nu ne este frică de rotunjirea finală a părții drepte în sus.

Extrageți rădăcina:

Si rotunjeste rezultatul:

Ieșire: de cand valoarea „epsilon” a fost aleasă în mod arbitrar, apoi pentru orice vecinătate arbitrar mică a punctului, valoarea , astfel încât pentru toate numerele mari inegalitatea ... Prin urmare, a-prioriu. Q.E.D.

Recomanda mai ales pentru a înțelege întărirea și slăbirea inegalităților – acestea sunt metode tipice și foarte comune de analiză matematică. Singurul lucru pe care trebuie să îl monitorizați este corectitudinea acestei sau acelei acțiuni. Deci, de exemplu, inegalitatea în nici un caz slăbiți scăzând, să zicem, unul:

Din nou, condiționat: dacă numărul se potrivește exact, atunci s-ar putea ca cel precedent să nu se mai potrivească.

Următorul exemplu este pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 3

Folosind definiția unei secvențe, demonstrați că

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul tutorialului.

Dacă succesiunea infinit de grozav, atunci definiția limitei este formulată într-un mod similar: un punct se numește limita unei secvențe, dacă pentru oricare, cât de mare vrei număr, există un număr astfel încât pentru toate numerele mai mari, inegalitatea se va menține. Numărul este sunat vecinătatea punctului „plus infinit”:

Cu alte cuvinte, indiferent cât de mare am lua, „coada infinită” a secvenței va merge neapărat în vecinătatea punctului, lăsând doar un număr finit de membri în stânga.

Exemplu de datorie:

Și stenografia: dacă

Pentru acest caz, notați singur definiția. Versiunea corectă este la sfârșitul lecției.

După ce ai pus mâna pe exemple practice și ai dat seama de definiția limitei unei secvențe, poți apela la literatura despre analiză matematică și/sau caietul tău cu prelegeri. Recomand să descărcați primul volum din Bohan (mai simplu - pentru studenții din afara școlii)și Fichtengolts (mai detaliat si mai detaliat)... Printre alți autori, îl consiliez pe Piskunov, al cărui curs este axat pe universitățile tehnice.

Încercați să studiați cu conștiință teoremele care privesc limita unei secvențe, demonstrațiile și consecințele lor. Teoria poate părea „nețoasă” la început, dar este în regulă - este nevoie doar de puțin pentru a te obișnui. Și mulți chiar vor avea un gust!

Definirea strictă a limitei unei funcții

Să începem cu același lucru - cum să formulăm acest concept? Definiția verbală a limitei unei funcții se formulează mult mai simplu: „un număr este limita unei funcții, dacă cu” x „tinde spre (atat la stanga cat si la dreapta), valorile corespunzătoare ale funcției tind să „ (vezi desen)... Totul pare a fi normal, dar cuvintele sunt cuvinte, sensul este sens, o icoană este o icoană și nu există suficiente notații matematice stricte. Și în al doilea paragraf ne vom familiariza cu două abordări pentru rezolvarea acestei probleme.

Să fie definită funcția pe un anumit interval, cu excepția, eventual, a unui punct. În literatura educațională, este general acceptat că funcția este acolo nu definit:

Această alegere subliniază esența limită a funcției: "X" infinit de aproape abordări și valorile funcției corespunzătoare sunt infinit de aproape La . Cu alte cuvinte, conceptul de limită nu implică „abordare exactă” a punctelor și anume aproximare infinit de apropiată, nu contează dacă funcția este definită la punct sau nu.

Prima definiție a limitei unei funcții, fără a fi surprinzător, este formulată folosind două secvențe. În primul rând, conceptele sunt legate și, în al doilea rând, limitele funcțiilor sunt de obicei studiate după limitele secvențelor.

Luați în considerare succesiunea puncte (nu este prezentat în desen) aparţinând intervalului şi în afară de care converge La . Apoi, valorile corespunzătoare ale funcției formează și o secvență numerică, ai cărei membri sunt localizați pe axa ordonatelor.

Limita funcției Heine pentru orice secvențe de puncte (aparținând și altul decât) care converge către un punct, secvența corespunzătoare de valori a funcției converge către.

Eduard Heine este un matematician german. ... Și nu trebuie să te gândești la așa ceva, există un singur gay în Europa - acesta este Gay-Lussac =)

S-a construit a doua definiție a limitei... da, ai dreptate. Dar mai întâi, să aruncăm o privire asupra designului său. Luați în considerare o vecinătate arbitrară a punctului Cartierul („negru”)... Pe baza paragrafului anterior, notația înseamnă că ceva sens funcția este în interiorul cartierului epsilon.

Acum găsim -neighborhood-ul care se potrivește cu -neighbourhood-ul dat (desenați mental linii punctate negre de la stânga la dreapta și apoi de sus în jos)... Rețineți că valoarea este preluată pe lungimea segmentului mai mic, în acest caz - de-a lungul segmentului mai scurt din stânga. Mai mult decât atât, împrejurimile „crimson” ale punctului pot fi chiar reduse, deoarece în următoarea definiție însuși faptul existenței este important acest cartier. Și, în mod similar, înregistrarea înseamnă că o anumită valoare se află în interiorul „deltei” -cartier.

Limita Cauchy a unei funcții: un număr se numește limita unei funcții într-un punct dacă pentru orice preselectate Cartier (oricât de mic), există- vecinătatea punctului, ASTFEL DE că: CA NUMAI valori (detinut de) intră în acest cartier: (săgeți roșii)- DECI Imediat, valorile corespunzătoare ale funcției sunt garantate să intre în vecinătatea -: (săgeți albastre).

Trebuie să vă avertizez că, de dragul unei mai mari clarități, am improvizat puțin, așa că nu exagerați =)

Intrare scurtă: dacă

Care este esența definiției? Figurat vorbind, prin scăderea infinită a -cartierului, „însoțem” valorile funcției până la limita ei, fără a le lăsa nicio alternativă de abordare altundeva. Destul de neobișnuit, dar din nou strict! Pentru a înțelege corect, recitiți din nou formularea.

! Atenţie: dacă trebuie doar să formulezi Definiția Heine sau numai Definiție Cauchy te rog nu uita esenţial comentariu preliminar: „Luați în considerare o funcție care este definită la un anumit interval, cu posibila excepție a unui punct.”... Am indicat acest lucru o dată la început și nu l-am repetat de fiecare dată.

Conform teoremei corespunzătoare de analiză matematică, definițiile după Heine și după Cauchy sunt echivalente, dar cea mai cunoscută este versiunea a doua. (încă ar fi!), care se mai numește și „limita limbii”:

Exemplul 4

Folosind definiția limitei, demonstrați că

Soluţie: funcția este definită pe întreaga linie numerică cu excepția punctului. Folosind definiția, demonstrăm existența unei limite la un punct dat.

Notă : valoarea "deltei" -vecinatate depinde de "epsilon", de unde notatia

Considera arbitrar-Cartier. Sarcina este de a verifica după această valoare, există oare-Cartier, ASTFEL DE că din inegalitate urmează inegalitatea .

Presupunând că, transformăm ultima inegalitate:
(a descompus un trinom pătrat)

Matematica este știința care construiește lumea. Atât un om de știință, cât și o persoană obișnuită - nimeni nu se poate descurca fără ea. În primul rând, copiii mici sunt învățați să numere, apoi să adună, să scadă, să înmulțească și să împartă, desemnările literelor intră în joc de școala gimnazială, iar la cel mai mare nu te poți lipsi de ele.

Dar astăzi vom vorbi despre ce se bazează toată matematica cunoscută. Despre comunitatea de numere numită „limite de secvență”.

Ce sunt secvențele și unde este limita lor?

Sensul cuvântului „secvență” nu este greu de interpretat. Aceasta este o astfel de construcție a lucrurilor, în care cineva sau ceva este aranjat într-o anumită ordine sau coadă. De exemplu, coada pentru bilete la grădina zoologică este o secvență. Mai mult, poate fi doar unul! Dacă, de exemplu, te uiți la coada din magazin, aceasta este o secvență. Și dacă o persoană părăsește brusc această coadă, atunci aceasta este o altă coadă, o altă ordine.

Cuvântul „limită” este, de asemenea, ușor de interpretat - este sfârșitul a ceva. Cu toate acestea, în matematică, limitele secvențelor sunt acele valori de pe linia numerică la care tinde o secvență de numere. De ce se străduiește și nu se termină? Este simplu, linia numerică nu are sfârșit, iar cele mai multe secvențe, ca razele, au doar un început și arată astfel:

x 1, x 2, x 3, ... x n ...

Prin urmare, definiția unei secvențe este o funcție a unui argument natural. Cu cuvinte mai simple, este o serie de membri ai unui set.

Cum este construită secvența de numere?

Cel mai simplu exemplu de succesiune numerică ar putea arăta astfel: 1, 2, 3, 4,... n...

În cele mai multe cazuri, în scopuri practice, secvențele sunt construite din numere și fiecare membru următor al seriei, să-l notăm cu X, are propriul nume. De exemplu:

x 1 - primul membru al secvenței;

x 2 - al doilea membru al secvenței;

x 3 - al treilea termen;

x n - al n-lea termen.

În metodele practice, succesiunea este dată de o formulă generală în care există o variabilă. De exemplu:

X n = 3n, atunci seria de numere în sine va arăta astfel:

Trebuie amintit că în înregistrarea generală a secvențelor, puteți utiliza orice litere latine, nu doar X. De exemplu: y, z, k etc.

Progresie aritmetică ca parte a secvențelor

Înainte de a căuta limitele secvențelor, este indicat să ne afundăm mai adânc în însuși conceptul unei astfel de serii de numere, pe care toată lumea l-a întâlnit în clasele de mijloc. O progresie aritmetică este o serie de numere în care diferența dintre termenii adiacenți este constantă.

Problemă: „Fie a 1 = 15 și pasul progresiei seriei numerice d = 4. Construiți primii 4 membri ai acestui rând "

Rezolvare: a 1 = 15 (după condiție) - primul membru al progresiei (seria de numere).

iar 2 = 15 + 4 = 19 este al doilea termen al progresiei.

iar 3 = 19 + 4 = 23 este al treilea termen.

iar 4 = 23 + 4 = 27 este al patrulea termen.

Cu toate acestea, folosind această metodă, este dificil să se ajungă la valori mari, de exemplu, la un 125.. În special pentru astfel de cazuri, a fost derivată o formulă convenabilă: a n = a 1 + d (n-1). În acest caz, a 125 = 15 + 4 (125-1) = 511.

Tipuri de secvențe

Cele mai multe dintre secvențele sunt nesfârșite și merită amintite toată viața. Există două tipuri interesante de serii de numere. Primul este dat de formula an = (- 1) n. Matematicienii se referă adesea la această secvență drept lumină intermitentă. De ce? Să verificăm seria sa numerică.

1, 1, -1, 1, -1, 1 etc. Cu acest exemplu, devine clar că numerele din secvențe pot fi ușor repetate.

Succesiunea factorială. Este ușor de ghicit - există un factorial în formulă care definește secvența. De exemplu: și n = (n + 1)!

Apoi secvența va arăta astfel:

a 2 = 1x2x3 = 6;

a 3 = 1x2x3x4 = 24 etc.

O succesiune dată de o progresie aritmetică se numește infinit descrescătoare dacă inegalitatea -1

a 3 = - 1/8 etc.

Există chiar și o secvență de același număr. Deci, și n = 6 constă dintr-un set infinit de șase.

Determinarea limitei unei secvențe

Limitele de secvență există de mult timp în matematică. Desigur, merită propriul lor design inteligent. Așa că este timpul să aflăm definiția limitelor secvenței. Pentru început, luați în considerare în detaliu limita pentru o funcție liniară:

Toate limitele sunt abreviate ca lim.
Notația limită constă din abrevierea lim, orice variabilă tinde către un anumit număr, zero sau infinit, precum și din funcția în sine.

Este ușor de înțeles că definiția limitei unei secvențe poate fi formulată astfel: este un anumit număr de care toți membrii șirului se apropie la infinit. Un exemplu simplu: a x = 4x + 1. Apoi secvența în sine va arăta astfel.

5, 9, 13, 17, 21 ... x ...

Astfel, această secvență va crește la infinit și, prin urmare, limita sa este egală cu infinitul ca x → ∞, iar aceasta ar trebui scrisă după cum urmează:

Dacă luăm o secvență similară, dar x tinde spre 1, atunci obținem:

Și seria de numere va fi astfel: 1,4, 1,8, 4,6, 4,944 etc. De fiecare dată trebuie să înlocuiți numărul mai aproape de unul (0,1, 0,2, 0,9, 0,986). Din această serie se poate observa că limita funcției este cinci.

Din această parte, merită să ne amintim care este limita unei secvențe numerice, definiția și metoda de rezolvare a problemelor simple.

Notație generală pentru secvențe limită

După ce ați dezasamblat limita unei secvențe numerice, definiția și exemplele acesteia, puteți trece la un subiect mai complex. Absolut toate limitele secvențelor pot fi formulate cu o singură formulă, care este de obicei analizată în primul semestru.

Deci, ce înseamnă acest set de litere, module și semne de inegalitate?

∀ este un cuantificator universal care înlocuiește expresiile „pentru toți”, „pentru tot”, etc.

∃ este un cuantificator existențial, în acest caz înseamnă că există o valoare N care aparține mulțimii numerelor naturale.

Un baston vertical lung după N înseamnă că setul dat N este „astfel încât”. În practică, poate însemna „astfel care”, „astfel care”, etc.

Pentru a consolida materialul, citiți formula cu voce tare.

Incertitudinea și certitudinea limitei

Metoda de găsire a limitei secvențelor, care a fost considerată mai sus, deși simplă de utilizat, nu este atât de rațională în practică. Încercați să găsiți limita pentru o funcție ca aceasta:

Dacă înlocuim diferite valori ale lui „x” (de fiecare dată crescând: 10, 100, 1000 etc.), atunci obținem ∞ la numărător, dar și ∞ la numitor. Se dovedește o fracție destul de ciudată:

Dar este chiar așa? Calcularea limitei unei secvențe numerice în acest caz pare destul de ușoară. Am putea lăsa totul așa cum este, pentru că răspunsul este gata și a fost primit în condiții rezonabile, dar există o altă cale specială pentru astfel de cazuri.

Mai întâi, să găsim cel mai înalt grad în numărătorul fracției - acesta este 1, deoarece x poate fi reprezentat ca x 1.

Acum să găsim cel mai înalt grad în numitor. De asemenea 1.

Împărțiți atât numărătorul cât și numitorul la variabilă la cel mai înalt grad. În acest caz, împărțim fracția la x 1.

În continuare, găsim valoarea la care tinde fiecare termen care conține variabila. În acest caz, sunt luate în considerare fracțiile. Ca x → ∞, valoarea fiecăreia dintre fracții tinde spre zero. Când înregistrați o lucrare în scris, merită să faceți următoarele note de subsol:

Se obtine urmatoarea expresie:

Desigur, fracțiile care conțin x nu devin zerouri! Dar valoarea lor este atât de mică încât este destul de permis să nu se ia în considerare în calcule. De fapt, x nu va fi niciodată egal cu 0 în acest caz, deoarece nu puteți împărți la zero.

Ce este un cartier?

Să presupunem că profesorul are la dispoziție o secvență complexă, dată, evident, de o formulă la fel de complexă. Profesorul a găsit răspunsul, dar este corect? La urma urmei, toți oamenii greșesc.

Auguste Cauchy a venit odată cu o modalitate grozavă de a demonstra limitele secvențelor. Metoda lui se numea operarea împrejurimilor.

Să presupunem că există un punct a, vecinătatea lui în ambele direcții pe dreapta numerică este ε ("epsilon"). Deoarece ultima variabilă este distanța, valoarea ei este întotdeauna pozitivă.

Acum să definim o secvență x n și să presupunem că al zecelea termen al șirului (x 10) intră în vecinătatea lui a. Cum se scrie acest fapt în limbaj matematic?

Să presupunem că x 10 este la dreapta punctului a, atunci distanța este x 10 -a<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε.

Acum este timpul să explicăm în practică formula menționată mai sus. Este corect să numim un număr a punctul final al secvenței dacă inegalitatea ε> 0 este valabilă pentru oricare dintre limitele sale, iar întreaga vecinătate are numărul său natural N astfel încât toți membrii șirului cu numere mai semnificative vor fi în interior. succesiunea | xn - a |< ε.

Cu aceste cunoștințe, este ușor să implementezi decizia limitelor secvenței, să dovedești sau să infirmi răspunsul gata.

Teoreme

Teoremele limită de secvență sunt o parte importantă a teoriei, fără de care practica este imposibilă. Există doar patru teoreme principale, amintindu-ne pe care, le puteți facilita în mod semnificativ cursul soluției sau demonstrației:

Unicitatea limitei secvenței. Orice secvență poate avea o singură limită sau deloc. Același exemplu cu o coadă care poate avea doar un capăt.
Dacă intervalul de numere are o limită, atunci succesiunea acestor numere este limitată.
Limita sumei (diferența, produsul) secvențelor este egală cu suma (diferența, produsul) limitelor acestora.
Limita cât de împărțire a două secvențe este egală cu câtul limitelor dacă și numai dacă numitorul nu dispare.

Dovada secvențelor

Uneori se cere să se rezolve o problemă inversă, să se demonstreze o limită dată a unei secvențe numerice. Să ne uităm la un exemplu.

Demonstrați că limita șirului dată de formulă este egală cu zero.

Conform regulii considerate mai sus, pentru orice succesiune inegalitatea | x n - a |<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим:

Să exprimăm n în termeni de epsilon pentru a arăta existența unui număr și pentru a demonstra existența limitei șirului.

În această etapă, este important să ne amintim că „epsilon” și „en” sunt numere pozitive și nu sunt egale cu zero. Transformarea poate fi continuată acum folosind cunoștințele despre inegalități învățate în liceu.

De unde rezultă că n> -3 + 1 / ε. Deoarece merită să ne amintim că vorbim despre numere naturale, rezultatul poate fi rotunjit punându-l între paranteze drepte. Astfel, s-a dovedit că pentru orice valoare a vecinătății „epsilon” a punctului a = 0 s-a găsit o valoare astfel încât inegalitatea inițială să fie valabilă. Prin urmare, putem afirma cu siguranță că numărul a este limita unei secvențe date. Q.E.D.

Cu o metodă atât de convenabilă poți demonstra limita unei secvențe numerice, oricât de complicată ar fi aceasta la prima vedere. Principalul lucru este să nu intrați în panică la vederea sarcinii.

Sau poate nu este?

Existența unei limite de secvență nu este necesară în practică. Este ușor să găsești astfel de serii de numere care într-adevăr nu au un sfârșit. De exemplu, același „intermitent” x n = (-1) n. este evident că o succesiune formată din doar două cifre care se repetă ciclic nu poate avea o limită.

Aceeași poveste se repetă cu secvențe formate dintr-un număr, fracțional, având o incertitudine de orice ordin (0/0, ∞ / ∞, ∞ / 0 etc.) în cursul calculelor. Cu toate acestea, trebuie amintit că are loc și un calcul incorect. Uneori te va ajuta să găsești limita succesiunii prin reverificarea propriei soluții.

Secvență monotonă

Mai sus am luat în considerare câteva exemple de secvențe, metode de rezolvare a acestora, iar acum vom încerca să luăm un caz mai specific și să-l numim „secvență monotonă”.

Definiție: este corect să numim orice succesiune monoton crescătoare dacă satisface inegalitatea strictă x n< x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n >x n +1.

Alături de aceste două condiții, există și inegalități slabe similare. În consecință, x n ≤ x n +1 (secvență nedescrescătoare) și x n ≥ x n +1 (secvență necrescătoare).

Dar este mai ușor de înțeles acest lucru cu exemple.

Secvența dată de formula x n = 2 + n formează următorul rând de numere: 4, 5, 6 etc. Aceasta este o succesiune crescătoare monoton.

Și dacă luăm x n = 1 / n, atunci obținem o serie: 1/3, ¼, 1/5 etc. Aceasta este o succesiune monotonă descrescătoare.

Limită de secvență convergentă și mărginită

O secvență limitată este o secvență care are o limită. O secvență convergentă este o serie de numere cu o limită infinitezimală.

Astfel, limita unei secvențe mărginite este orice număr real sau complex. Amintiți-vă că poate exista o singură limită.

Limita unei secvențe convergente este o valoare infinitezimală (reala sau complexă). Dacă desenați o diagramă de secvență, atunci, la un anumit punct, aceasta va converge, tinde să se transforme într-o anumită valoare. De aici și numele - succesiune convergentă.

Limită de secvență monotonă

O astfel de secvență poate avea sau nu o limită. La început, este util să înțelegeți când este, de aici puteți începe când dovediți absența unei limite.

Dintre secvențele monotone se disting convergente și divergente. O secvență convergentă este o secvență care este formată dintr-o mulțime x și are o limită reală sau complexă în această mulțime. Divergent - o secvență care nu are limită în mulțimea sa (nici reală, nici complexă).

Mai mult, secvența converge dacă, într-o imagine geometrică, limitele ei superioară și inferioară converg.

Limita unei secvențe convergente poate fi zero în multe cazuri, deoarece orice succesiune infinitezimală are o limită cunoscută (zero).

Indiferent de secvența convergentă pe care o luați, toate sunt limitate, dar nu toate secvențele limitate converg.

Suma, diferența, produsul a două secvențe convergente este, de asemenea, o secvență convergentă. Totuși, coeficientul poate fi și convergent dacă este definit!

Diverse acțiuni cu limite

Limitele secvențelor sunt aceeași cantitate esențială (în cele mai multe cazuri) ca și numerele și numerele: 1, 2, 15, 24, 362 etc. Se dovedește că unele operații pot fi efectuate cu limitele.

În primul rând, ca și numerele și numerele, limitele oricărei secvențe pot fi adăugate și scăzute. Pe baza celei de-a treia teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita sumei șirurilor este egală cu suma limitelor acestora.

În al doilea rând, pe baza celei de-a patra teoreme privind limitele șirurilor, următoarea egalitate este adevărată: limita produsului celui de-al n-lea număr de secvențe este egală cu produsul limitelor lor. Același lucru este valabil și pentru împărțire: limita câtului a două secvențe este egală cu câtul limitelor lor, cu condiția ca limita să nu fie zero. La urma urmei, dacă limita secvențelor este egală cu zero, atunci va rezulta împărțirea la zero, ceea ce este imposibil.

Proprietăţile Cantităţii Secvenţei

S-ar părea că limita șirului numeric a fost deja analizată în detaliu, dar expresii precum numere „infinit de mici” și „infinit de mari” sunt menționate de mai multe ori. Evident, dacă există o secvență 1 / x, unde x → ∞, atunci o astfel de fracție este infinit de mică, iar dacă aceeași secvență, dar limita tinde spre zero (x → 0), atunci fracția devine infinit de mare. Și aceste cantități au propriile lor caracteristici. Proprietățile limitei unei secvențe având orice valori mici sau mari sunt următoarele:

Suma oricărui număr de cantități arbitrar mici va fi, de asemenea, cantități mici.
Suma oricărui număr de cantități mari va fi infinit de mare.
Produsul unor cantități arbitrar mici este infinit de mic.
Produsul oricărui număr de numere mari este infinit de mare.
Dacă secvența originală tinde către un număr infinit de mare, atunci valoarea opusă acesteia va fi infinit de mică și va tinde spre zero.

De fapt, calcularea limitei unei secvențe nu este o sarcină atât de dificilă dacă cunoașteți un algoritm simplu. Dar limitele secvențelor sunt un subiect care necesită atenție și perseverență maximă. Desigur, este suficient să înțelegem esența soluției la astfel de expresii. Începând de la mic, poți atinge vârfuri mari în timp.