»Lecția 12. Rangul matricei. Calculul rangului matricei. Norma matricei

Lecția numărul 12. Rangul matricei. Calculul rangului matricei. Norma matricelor.

Dacă toţi minorii matriceiAOrdinksunt egale cu zero, atunci toți minorii de ordinul k + 1, dacă există, sunt de asemenea egali cu zero.
După rangul matricei A este cel mai mare dintre ordinele minorilor matricei A diferit de zero.
Rangul maxim poate fi egal cu numărul minim al numărului de rânduri sau coloane ale matricei, i.e. dacă matricea este 4x5, atunci rangul maxim va fi 4.
Rangul minim al unei matrice este 1, cu excepția cazului în care aveți de-a face cu o matrice zero, unde rangul este întotdeauna zero.

Rangul unei matrice pătrate nedegenerate de ordinul n este egal cu n, deoarece determinantul său este un minor de ordinul n, iar matricea nedegenerată este diferit de zero.
Când o matrice este transpusă, rangul ei nu se schimbă.

Fie rangul matricei. Apoi orice minor de ordin diferit de zero este numit baza minora.
Exemplu. Având în vedere matricea A.

Determinantul matricei este zero.
Minor de ordinul doi ... Prin urmare, r (A) = 2 și minorul de bază.
Minorul de bază este și minorul .
Minor de cand = 0, deci nu va fi de bază.
Exercițiu: verificați independent care alți minori de ordinul doi vor fi de bază și care nu.

Găsirea rangului unei matrice prin calcularea tuturor minorilor ei necesită prea multă muncă de calcul. (Cititorul poate verifica că există 36 de minori de ordinul doi într-o matrice pătrată de ordinul al patrulea.) Prin urmare, se folosește un alt algoritm pentru a găsi rangul. Pentru a-l descrie sunt necesare o serie de informații suplimentare.

Să numim următoarele acțiuni asupra matricelor transformări elementare ale matricelor:
1) permutarea rândurilor sau coloanelor;
2) înmulțirea unui rând sau a unei coloane cu un alt număr decât zero;
3) adăugarea la unul dintre rânduri a unui alt rând înmulțit cu un număr sau adăugarea la una dintre coloanele altei coloane înmulțit cu un număr.

Transformările elementare nu schimbă rangul matricei.
Algoritm pentru calcularea rangului unei matrice este similar cu algoritmul de calcul al determinantului și constă în faptul că, folosind transformări elementare, matricea este redusă la o formă simplă, pentru care nu este greu de găsit rangul. Deoarece rangul nu s-a schimbat cu fiecare transformare, atunci prin calcularea rangului matricei transformate, găsim astfel rangul matricei originale.

Să fie necesar să se calculeze rangul matricei de mărime mXn.

Ca rezultat al calculelor, matricea A1 are forma

Dacă toate liniile care încep de la a treia sunt zero, atunci inca minor ... În caz contrar, prin rearanjarea rândurilor și coloanelor cu numere mai mari de două, obținem ca al treilea element al celui de-al treilea rând să fie diferit de zero. În plus, prin adăugarea celui de-al treilea rând, înmulțit cu numerele corespunzătoare, la rândurile cu numere mari, obținem zerouri în a treia coloană, începând de la al patrulea element și așa mai departe.
La un moment dat, ajungem la o matrice în care toate rândurile, începând cu (r + 1)-lea, sunt egale cu zero (sau sunt absente pentru), iar minorul din primele rânduri și primele coloane este determinantul unui matrice triunghiulara cu elemente diferite de zero pe diagonala... Rangul unei astfel de matrice este. Prin urmare, Rang (A) = r.

În algoritmul propus pentru găsirea rangului unei matrice, toate calculele ar trebui să fie efectuate fără rotunjire. O modificare arbitrar de mică în cel puțin unul dintre elementele matricelor intermediare poate duce la faptul că răspunsul obținut va diferi de rangul matricei inițiale cu mai multe unități.
Dacă elementele din matricea originală erau numere întregi, atunci este convenabil să efectuați calcule fără a utiliza fracții. Prin urmare, în fiecare etapă, este recomandabil să înmulțiți șirurile cu numere astfel încât fracțiile să nu apară în calcule.

În munca practică de laborator, luați în considerare un exemplu de găsire a rangului unei matrice.

ALGORITM DE LOCALIZARE STANDARDE MATRICE .
Există doar trei norme matriceale.
Prima normă a matricei= maximul numerelor obținute prin adunarea tuturor elementelor fiecărei coloane, luate modulo.
Exemplu: să fie dată o matrice A 3x2 (Fig. 10). Prima coloană conține elemente: 8, 3, 8. Toate elementele sunt pozitive. Să aflăm suma lor: 8 + 3 + 8 = 19. A doua coloană conține elemente: 8, -2, -8. Două elemente sunt negative, prin urmare, la adunarea acestor numere, este necesar să se înlocuiască modulul acestor numere (adică fără semnele „minus”). Să aflăm suma lor: 8 + 2 + 8 = 18. Maximul acestor două numere este 19. Deci prima normă a matricei este 19.

Figura 10.

A doua normă a matricei este rădăcina pătrată a sumei pătratelor tuturor elementelor matricei. Și asta înseamnă că pătram toate elementele matricei, apoi adăugăm valorile rezultate și extragem rădăcina pătrată din rezultat.
În cazul nostru, norma 2 a matricei este egală cu rădăcina pătrată a lui 269. În diagramă, am extras aproximativ rădăcina pătrată a lui 269 și, ca rezultat, am obținut aproximativ 16,401. Deși este mai corect să nu extragi rădăcina.

A treia normă a matricei este maximul numerelor obținute prin adunarea tuturor elementelor fiecărui rând, luate modulo.
În exemplul nostru: prima linie conține elemente: 8, 8. Toate elementele sunt pozitive. Să aflăm suma lor: 8 + 8 = 16. A doua linie conține elemente: 3, -2. Unul dintre elemente este negativ, prin urmare, atunci când adăugați aceste numere, trebuie să înlocuiți modulul acestui număr. Să aflăm suma lor: 3 + 2 = 5. A treia linie conține elementele 8 și -8. Unul dintre elemente este negativ, prin urmare, atunci când adăugați aceste numere, trebuie să înlocuiți modulul acestui număr. Să aflăm suma lor: 8 + 8 = 16. Maximul acestor trei numere este 16. Deci, a treia normă a matricei este 16.

Alcătuit de: Saliy N.A.

YouTube colegial

1 / 1

✪ Norma vectorială. Partea 4.

Subtitrări

Definiție

Fie K câmpul solului (de obicei K = R sau K = C ) și este spațiul liniar al tuturor matricelor cu m rânduri și n coloane, constând din elemente K. Pe spațiul matricelor se dă o normă dacă fiecare matrice este asociată cu un număr real nenegativ ‖ A ‖ (\ displaystyle \ | A \ |), numită normă, astfel încât

În cazul matricelor pătrate (de ex. m = n), matricele pot fi multiplicate fără a părăsi spațiul și, prin urmare, normele din aceste spații satisfac de obicei și proprietatea submultiplicativitatea :

Submultiplicativitatea poate fi efectuată și pentru normele matricelor nepătrate, dar definite pentru mai multe dimensiuni necesare simultan. Și anume, dacă A este o matrice ℓ  ×  m, iar B este matricea m ×  n, atunci A B- matrice ℓ  ×  n .

Normele operatorilor

O clasă importantă de norme matriceale sunt normele operatorilor, denumit și subordonatii sau induse ... Norma operatorului este construită în mod unic după două norme definite în și, pornind de la faptul că orice matrice m ×  n este reprezentat de un operator liniar din K n (\ displaystyle K ^ (n)) v K m (\ displaystyle K ^ (m))... Specific,

‖ A ‖ = sup (‖ A x ‖: x ∈ K n, ‖ x ‖ = 1) = sup (‖ A x ‖ ‖ x ‖: x ∈ K n, x ≠ 0). (\ stil de afișare (\ începe (aliniat) \ | A \ | & = \ sup \ (\ | Ax \ |: x \ în K ^ (n), \ \ | x \ | = 1 \) \\ & = \ sup \ stânga \ ((\ frac (\ | Ax \ |) (\ | x \ |)): x \ în K ^ (n), \ x \ neq 0 \ dreapta \). \ end (aliniat)))

Sub condiția specificării consecvente a normelor pe spațiile vectoriale, o astfel de normă este submultiplicativă (vezi).

Exemple de norme pentru operatori

Proprietățile normei spectrale:

1. Norma spectrală a unui operator este egală cu numărul maxim singular al acestui operator.
2. Norma spectrală a unui operator normal este egală cu valoarea absolută a valorii proprii modulo maxime a acestui operator.
3. Norma spectrală nu se schimbă atunci când matricea este înmulțită cu o matrice ortogonală (unitară).

Norme de matrice non-operator

Există norme de matrice care nu sunt norme de operator. Conceptul de norme non-operatoare ale matricelor a fost introdus de Yu. I. Lyubich și investigat de G.R.Belitskii.

Un exemplu de normă non-operator

De exemplu, luați în considerare două norme de operator diferite ‖ A ‖ 1 (\ displaystyle \ | A \ | _ (1))și ‖ A ‖ 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (2)), cum ar fi normele de rând și de coloană. Formarea unei noi norme ‖ A ‖ = m a x (‖ A ‖ 1, ‖ A ‖ 2) (\ displaystyle \ | A \ | = max (\ | A \ | _ (1), \ | A \ | _ (2)))... Noua normă are proprietatea inelului ‖ A B ‖ ≤ ‖ A ‖ ‖ B ‖ (\ displaystyle \ | AB \ | \ leq \ | A \ | \ | B \ |), păstrează unitatea ‖ I ‖ = 1 (\ displaystyle \ | I \ | = 1)și nu este operator.

Exemple de norme

Vector p (\ stil de afișare p)-normă

Poate fi considerat m × n (\ stil de afișare m \ ori n) matricea ca vector de mărime m n (\ displaystyle mn)și folosiți norme vectoriale standard:

‖ A ‖ p = ‖ vec (A) ‖ p = (∑ i = 1 m ∑ j = 1 n | aij | p) 1 / p (\ displaystyle \ | A \ | _ (p) = \ | \ mathrm ( vec) (A) \ | _ (p) = \ stânga (\ sum _ (i = 1) ^ (m) \ sum _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (p) \ dreapta) ^ (1 / p))

Norma Frobenius

Norma Frobenius, sau norma euclidiană este un caz special al normei p pentru p = 2 : ‖ A ‖ F = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 naij 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) = (\ sqrt (\ sum _ (i = 1) ^ (m) \ sum _ (j) = 1) ^ (n) a_ (ij) ^ (2)))).

Norma Frobenius este ușor de calculat (în comparație, de exemplu, cu norma spectrală). Posedă următoarele proprietăți:

‖ A x ‖ 2 2 = ∑ i = 1 m | ∑ j = 1 n a i j x j | 2 ≤ ∑ i = 1 m (∑ j = 1 n | a i j | 2 ∑ j = 1 n | x j | 2) = ∑ j = 1 n | x j | 2 ‖ A ‖ F 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ x ‖ 2 2. (\ displaystyle \ | Ax \ | _ (2) ^ (2) = \ sum _ (i = 1) ^ (m) \ stânga | \ sum _ (j = 1) ^ (n) a_ (ij) x_ ( j) \ dreapta | ^ (2) \ leq \ sum _ (i = 1) ^ (m) \ stânga (\ sum _ (j = 1) ^ (n) | a_ (ij) | ^ (2) \ sum _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ dreapta) = \ sum _ (j = 1) ^ (n) | x_ (j) | ^ (2) \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | x \ | _ (2) ^ (2).)

• Submultiplicativitatea: ‖ A B ‖ F ≤ ‖ A ‖ F ‖ B ‖ F (\ displaystyle \ | AB \ | _ (F) \ leq \ | A \ | _ (F) \ | B \ | _ (F)), deoarece ‖ A B ‖ F 2 = ∑ i, j | ∑ k a i k b k j | 2 ≤ ∑ i, j (∑ k | a i k | | b k j |) 2 ≤ ∑ i, j (∑ k | a i k | 2 ∑ k | b k j | 2) = ∑ i, k | a i k | 2 ∑ k, j | b k j | 2 = ‖ A ‖ F 2 ‖ B ‖ F 2 (\ displaystyle \ | AB \ | _ (F) ^ (2) = \ sum _ (i, j) \ stânga | \ sum _ (k) a_ (ik) b_ (kj) \ dreapta | ^ (2) \ leq \ sum _ (i, j) \ stânga (\ sum _ (k) | a_ (ik) || b_ (kj) | \ dreapta) ^ (2) \ leq \ sum _ (i, j) \ stânga (\ sum _ (k) | a_ (ik) | ^ (2) \ sum _ (k) | b_ (kj) | ^ (2) \ dreapta) = \ sum _ (i, k) | a_ (ik) | ^ (2) \ sum _ (k, j) | b_ (kj) | ^ (2) = \ | A \ | _ (F) ^ (2) \ | B \ | _ (F) ^ (2)).
• ‖ A ‖ F 2 = tr ⁡ A ∗ A = tr ⁡ AA ∗ (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ mathop (\ rm (tr)) A ^ (*) A = \ mathop (\ rm (tr)) AA ^ (*)), Unde t r ⁡ A (\ displaystyle \ mathop (\ rm (tr)) A)- urma matricei A (\ displaystyle A), A ∗ (\ displaystyle A ^ (*)) este o matrice conjugată hermitiană.
• ‖ A ‖ F 2 = ρ 1 2 + ρ 2 2 + ⋯ + ρ n 2 (\ displaystyle \ | A \ | _ (F) ^ (2) = \ rho _ (1) ^ (2) + \ rho _ (2) ^ (2) + \ puncte + \ rho _ (n) ^ (2)), Unde ρ 1, ρ 2,…, ρ n (\ displaystyle \ rho _ (1), \ rho _ (2), \ puncte, \ rho _ (n))- valorile singulare ale matricei A (\ displaystyle A).
• ‖ A ‖ F (\ displaystyle \ | A \ | _ (F)) nu se modifică la înmulțirea matricei A (\ displaystyle A) stânga sau dreapta în matrici ortogonale (unitare).

Modul maxim

Norma maximă a modulului este un alt caz special al normei p pt p = ∞ .

‖ A ‖ max = max (| a i j |). (\ displaystyle \ | A \ | _ (\ text (max)) = \ max \ (| a_ (ij) | \).)

norma lui Schatten

Consistența normelor matrice și vectoriale

Norma matricei ‖ ⋅ ‖ a b (\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ (ab)) pe K m × n (\ displaystyle K ^ (m \ ori n)) numit de acord cu norme ‖ ⋅ ‖ a (\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ (a)) pe K n (\ displaystyle K ^ (n))și ‖ ⋅ ‖ b (\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ (b)) pe K m (\ displaystyle K ^ (m)), dacă:

‖ A x ‖ b ≤ ‖ A ‖ a b ‖ x ‖ a (\ displaystyle \ | Ax \ | _ (b) \ leq \ | A \ | _ (ab) \ | x \ | _ (a))

pentru orice A ∈ K m × n, x ∈ K n (\ displaystyle A \ in K ^ (m \ times n), x \ in K ^ (n))... Norma operatorului prin construcție este în concordanță cu norma vectorială originală.

Exemple de norme matrice agreate, dar nu subordonate:

Echivalența normelor

Toate normele în spațiu K m × n (\ displaystyle K ^ (m \ ori n)) sunt echivalente, adică pentru oricare două norme ‖. ‖ Α (\ displaystyle \ |. \ | _ (\ Alpha))și ‖. ‖ Β (\ displaystyle \ |. \ | _ (\ Beta))și pentru orice matrice A ∈ K m × n (\ displaystyle A \ in K ^ (m \ times n)) dubla inegalitate este adevărată.

Norma matricei vom numi numărul real alocat acestei matrice || A || astfel încât, ca număr real, este asociat cu fiecare matrice din spațiul n-dimensional și satisface 4 axiome:

1. || A || ³0 și || A || = 0 numai dacă A este o matrice zero;

2. || αA || = | α | · || A ||, unde a R;

3. || A + B || £ || A || + || B ||;

4. || A · ​​​​B || £ || A || · || B ||. (proprietate multiplicativă)

Norma matricelor poate fi introdusă în diverse moduri. Matricea A poate fi vizualizată ca n 2 - vector dimensional.

Această normă se numește norma euclidiană a matricei.

Dacă pentru orice matrice pătrată A și orice vector x, a cărui dimensiune este egală cu ordinea matricei, inegalitatea || Ax || £ || A || · || x ||

atunci se spune că norma matricei A este consecventă cu norma vectorului. Rețineți că în stânga ultimei condiții se află norma vectorului (Ax este un vector).

Diverse norme matriceale sunt coordonate cu norma vectorială dată. Să-l alegem pe cel mai mic dintre ele. Asta o să fie

Această normă matriceală este subordonată unei anumite norme vectoriale. Existența unui maxim în această expresie decurge din continuitatea normei, deoarece există întotdeauna un vector x -> || x || = 1 și || Ax || = || A ||.

Să arătăm că norma N (A) nu este supusă vreunei norme vectoriale. Normele matricei, supuse normelor vectoriale introduse anterior, se exprimă astfel:

1. || A || ¥ = | a ij | (normă-maximum)

2. || A || 1 = | a ij | (sumă-normă)

3. || A || 2 =, (normă spectrală)

unde s 1 este cea mai mare valoare proprie a matricei simetrice A ¢ A, care este produsul dintre matricele transpuse și matricele originale. T k matricea A ¢ A este simetrică, atunci toate valorile sale proprii sunt reale și pozitive. Numărul de proprietăți l este valoarea, iar vectorul diferit de zero x este vectorul propriu al matricei A (dacă sunt legate prin relația Ax = lx). Dacă matricea A însăși este simetrică, A ¢ = A, atunci A ¢ A = A 2 și apoi s 1 =, unde este cea mai mare valoare proprie modulo a matricei A. Prin urmare, în acest caz avem =.

Valorile proprii ale matricei nu depășesc niciuna dintre normele convenite. Normalând relația care definește valorile proprii, obținem || λx || = || Ax ||, | λ | · || x || = || Ax || £ || A || · || x ||, | λ | £ || A ||

Deoarece este adevărat || A || 2 £ || A || e, unde norma euclidiană este ușor de calculat, în estimări, în locul normei spectrale, se poate folosi norma euclidiană a matricei.

30. Condiționalitatea sistemelor de ecuații. Factorul de condiționalitate .

Condiționalitatea- influenţa deciziei asupra datelor iniţiale. Ax = b: vector b soluție de potrivire X... Lasa b se va schimba cu suma. Apoi vectorul b + noua soluție se va potrivi x + : A (x + ) = b +... Deoarece sistemul este liniar, atunci Ax + A = b +, atunci A = ; = ; = ; b = Ax; = atunci; *, unde este eroarea relativă a perturbației soluției, - factor de starecond (A) (de câte ori poate crește eroarea de soluție), este perturbația relativă a vectorului b. cond (A) = ; cond (A) * Proprietățile coeficientului: depinde de alegerea normei matriceale; cond ( = cond (A); înmulțirea unei matrice cu un număr nu afectează factorul de condiție. Cu cât coeficientul este mai mare, cu atât eroarea datelor inițiale afectează soluția SLAE. Numărul condiției nu poate fi mai mic de 1.

31. Metoda sweep pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare.

De multe ori este necesar să se rezolve sisteme ale căror matrice, fiind slab umplute, i.e. conţinând multe elemente diferite de zero. Matricele unor astfel de sisteme au de obicei o anumită structură, printre care există sisteme cu matrici cu o structură în bandă, adică. în ele, elementele nenule sunt situate pe diagonala principală și pe mai multe diagonale laterale. Pentru rezolvarea sistemelor cu matrice de bandă, metoda Gaussiană poate fi transformată în metode mai eficiente. Să luăm în considerare cel mai simplu caz de sisteme de bandă, la care, după cum vom vedea mai târziu, soluționarea problemelor de discretizare pentru problemele cu valori la limită pentru ecuații diferențiale prin metodele diferențelor finite, elementelor finite etc. adiacente acestuia:

Trei matrici diagonale au doar (3n-2) intrări diferite de zero.

Să redenumim coeficienții matricei:

Apoi, în notația componentelor, sistemul poate fi reprezentat ca:

A i * x i-1 + b i * x i + c i * x i + 1 = d i , i = 1, 2, ..., n; (7)

a 1 = 0, c n = 0. (opt)

Structura sistemului presupune o relație doar între necunoscute învecinate:

x i = x i * x i +1 + h i (9)

x i -1 = x i -1 * x i + h i -1 și înlocuiți în (7):

A i (x i-1 * x i + h i-1) + b i * x i + c i * x i + 1 = d i

(a i * x i-1 + b i) x i = –c i * x i + 1 + d i –a i * h i-1

Comparând expresia rezultată cu reprezentarea (7), obținem:

Formulele (10) reprezintă relații de recurență pentru calcularea coeficienților de baleiaj. Acestea necesită setarea valorilor inițiale. În conformitate cu prima condiție (8) pentru i = 1 avem un 1 = 0 și, prin urmare

În plus, coeficienții de baleiaj rămași sunt calculați și stocați conform formulelor (10) pentru i = 2,3, ..., n, iar pentru i = n, ținând cont de a doua condiție (8), obținem xn = 0 . Prin urmare, în conformitate cu formula (9) x n = h n.

După aceea, conform formulei (9), se găsesc secvenţial necunoscutele x n -1, x n -2, ..., x 1. Acest pas al calculului se numește rulare inversă, în timp ce calculul factorilor de baleiaj se numește măturare înainte.

Pentru aplicarea cu succes a metodei sweep, este necesar ca în procesul de calcule să nu existe situații cu împărțire la zero, iar cu o dimensiune mare a sistemelor să nu existe o creștere rapidă a erorilor de rotunjire. Vom chema fuga corect dacă numitorul coeficienților de baleiaj (10) nu dispare și durabil dacă ½x i ½<1 при всех i=1,2,…, n. Достаточные условия корректности и устойчивости прогонки, которые во многих приложениях выполняются, определяются теоремой.

Teorema. Fie coeficienții a i și c i ai ecuației (7) pentru i = 2,3, ..., n-1 diferă de zero și fie

½b i ½> ½a i ½ + ½c i ½ pentru i = 1, 2, ..., n. (unsprezece)

Apoi măturarea definită de formulele (10), (9) este corectă și stabilă.