Sferă și minge pătrată. Ball și sferă, volum mingea, zona de sfera, formula

Mingea este un corp constând din toate punctele de spațiu care se află la distanță, nu mai mult de acest punct. Acest punct este numit centrul de minge, iar această distanță este o rază a mingea. Frontiera mingea se numește o suprafață sau o sferă. Sfere Punctele sunt toate punctele de minge, care sunt scoase din centru la distanța egală cu raza. Orice segment care conectează centrul mingelor cu un punct de suprafață cu bile este, de asemenea, numit o rază. Trecerea prin centrul mingelor unui segment, care conectează două puncte ale suprafeței cu bile, se numește diametru. Capetele oricărui diametru sunt numite diametral opuse punctelor minge.

Mingea este corpul de rotație, precum și un con și cilindru. Mingea este obținută atunci când semicirculul se rotește în jurul diametrului său ca axă.

Zona de suprafață a mingea poate fi găsită prin formule:

unde R este raza mingii, D - diametrul mingii.

Cea mai mare parte a mingea este prin formula:

V \u003d 4/3 πr 3,

unde R este o rază de minge.

Teorema. Orice secțiune a mingelor cu un avion este un cerc. Centrul acestui cerc este baza perpendiculară, coborâtă de la centrul de minge la planul de asigurare.

Bazându-se pe această teoremă, în cazul în care mingea cu o rază de centru și R este intersectată de planul a, apoi în secțiune se dovedește un cerc de rază R cu centrul K. Radiusul secțiunilor mingea cu un avion pot fi găsite prin formula

Din formula este clar că avioanele care sunt echidistante din centru, traversează mingea de-a lungul cercurilor egale. Raza secțiunii este cea mai mare, cu atât este mai aproape de planul secvențial la centrul de bile, care este, cu atât distanța este mai mică este OK. Cea mai mare rază are o secțiune transversală la avionul care trece prin centrul mingelor. Radiusul acestui cerc este egal cu raza mingii.

Avionul care trece prin centrul mingelor este numit plan diametral. Secțiunea transversală a unui castron cu un plan diametral este numită un cerc mare, iar secțiunea transversală a sferei este un cerc mare, iar secțiunea transversală a sferei este un cerc mare.

Teorema. Orice plan de castron diametral este planul său de simetrie. Centrul balonului este centrul său de simetrie.

Planul care trece prin punctul A al suprafeței cu bile și este perpendicular pe raza petrecut în punctul A, se numește un avion tangent. Punctul A se numește punct de atingere.

Teorema. Avionul tangent are doar un punct comun cu o minge - un punct de atingere.

Direct, care trece prin punctul și suprafața minge perpendiculară pe raza petrecută în acest moment este numită tangentă.

Teorema. Prin orice punct al suprafeței cu bile, există un tangent infinit și toate se află în planul tangent al minge.

Segmentul cu minge se numește o parte a mingii, care a tăiat de la el cu un avion. Cercul ABC este baza segmentului de minge. Tăiați Mn perpendicular, condusă din cercul central N de ABC înainte de intersecția cu o suprafață sferică, este înălțimea segmentului cu mingea. Punctul M este partea de sus a segmentului minge.

Suprafața segmentului cu bile poate fi calculată prin formula:

Volumul segmentului cu bile poate fi găsit prin formula:

V \u003d πh 2 (R - 1 / 3H),

În cazul în care R este raza unui cerc mare, H este înălțimea segmentului minge.

Sectorul balonului este obținut dintr-un segment de minge și conul după cum urmează. Dacă segmentul de minge este mai mic decât sepul, atunci segmentul cu minge este completat de un con, care are un vârf în centrul mingelor, iar baza este baza segmentului. Dacă segmentul este mai mare decât semitul, conul specificat de la acesta este îndepărtat.

Sectorul de mingi face parte din minge, delimitată de suprafața segmentului sferic (pe figura noastră este o AMCB) și o suprafață conică (în figura este OABC), baza a căror bază servește ca bază a segmentului (ABC), iar partea de sus a bilei Bowl O.

Volumul sectorului de mingi este în formula:

V \u003d 2/3 πr 2 H.

Stratul de minge face parte din minge, încheiat între două planuri paralele (în figura ABC și Def avioane) care traversează suprafața sferică. Suprafața curbei a stratului cu bile este numită o centură cu bile (zonă). Cercuri ABC și Def - baza centurii de bile. NK de distanță între bazele centurii de bile este înălțimea sa.

blog.set, cu copierea completă sau parțială a referinței materiale la sursa originală este necesară.

Mingea este corpul de rotație, precum și un con și cilindru. Mingea este obținută atunci când semicirculul se rotește în jurul diametrului său ca axă.

Zona de suprafață a mingea poate fi găsită prin formule:

unde R este raza mingii, D - diametrul mingii.

Cea mai mare parte a mingea este prin formula:

V \u003d 4/3 πr 3,

unde R este o rază de minge.

Teorema. Orice secțiune a mingelor cu un avion este un cerc. Centrul acestui cerc este baza perpendiculară, coborâtă de la centrul de minge la planul de asigurare.

Teorema. Orice plan de castron diametral este planul său de simetrie. Centrul balonului este centrul său de simetrie.

Planul care trece prin punctul A al suprafeței cu bile și este perpendicular pe raza petrecut în punctul A, se numește un avion tangent. Punctul A se numește punct de atingere.

Teorema. Avionul tangent are doar un punct comun cu o minge - un punct de atingere.

Direct, care trece prin punctul și suprafața minge perpendiculară pe raza petrecută în acest moment este numită tangentă.

Teorema. Prin orice punct al suprafeței cu bile, există un tangent infinit și toate se află în planul tangent al minge.

Suprafața segmentului cu bile poate fi calculată prin formula:

Volumul segmentului cu bile poate fi găsit prin formula:

V \u003d πh 2 (R - 1 / 3H),

În cazul în care R este raza unui cerc mare, H este înălțimea segmentului minge.

Volumul sectorului de mingi este în formula:

V \u003d 2/3 πr 2 H.

site-ul, cu copierea completă sau parțială a referinței materiale la sursa originală este necesară.

Pentru a obține un răspuns competent la întrebarea de titlu, cititorul de articol va trebui să-și îndrepte abilitățile de a rezuma gândirea și cum să se aprofundeze în anumite secțiuni de matematică, pe care a fost adus la școală. Și pentru a stimula imaginația, va fi merită să reamintim că "educația este ceea ce rămâne după ce totul este uitat ceea ce am învățat" (autorul expresiei este atribuit lui A. Einstein).

Puțină imersie într-una din secțiunile matematicii

Pentru a începe, va fi necesar să reamintim existența științei geometriei (într-o traducere oarecum gratuită din Grecia Acest cuvânt înseamnă "un sondaj") - o secțiune separată a matematicii specializată în studiul structurilor spațiale, relația lor între ei și diverse rezultate din aceste generalizări. Este important ca, în ciuda originii "aterizării" similare a numelui, această știință operează conceptele pur abstracte, care în lumea lor obișnuită nu există în încarnare fizică directă.

Unul dintre aceste concepte de bază este punct geometric.. Îndepărtați-vă imaginația: Spre deosebire de "punctul creionului", "Punctele de la PIN" și așa mai departe, acest punct este un obiect complet abstract într-un spațiu imaginar fără caracteristici măsurabile ale tipului "Grosime", "Culori" și așa mai departe (matematică Îi place să pronunțe expresia "Zermer Object"). În principiu, orice altceva în geometrie va fi determinat în continuare pe baza acestei abstractori.

Următoarele sunt necesare pentru raționamentul în continuare Conceptul este "Ritual" fraza matematică "locația geometrică a punctelor" (GMT). C Ajutorul său descrie un anumit (set) de puncte care intră sub o anumită relație (proprietate) - în acest fel este setat "forma geometrică". Exemplu: Sfera (din vechea greacă, denotă inițial mingea / mingea) este un loc geometric al unor astfel de puncte spațiale, care poate fi descris ca un echidistant (situat pe o distanță strict) de la un punct dat, numit în mod obișnuit "Centrul sferei".

Distanța de la centrul sferei la acest GMT este obișnuită pentru a apela "raza sferei". În timpul tuturor acestor manipulări, este important să continue să ne amintim că sfera este conceptul de mai mult efemere decât chiar și bule de săpun obișnuit și familiar: orice bule de săpun este încă un perete complet tangibil din pelicula de săpun de apă de grosime microscopică, care Poate fi măsurată fizic (și chiar Pierce), iar sfera - nu!

Acum, să ne întoarcem la definiția mingelor: sub mingea este înțeleasă ca o combinație a tuturor acestor puncte de spațiu, care este de la un anumit punct (centrul mingelor) la o distanță, nu mai este specificată (Radius Ball). Cu alte cuvinte, mingea este un "corp geometric" - în modul în care, în conformitate cu definiția primară a euclidiei ", are o lungime, lățime și adâncime" (în manualele moderne, această definiție este mai puțin vizuală: "O parte a spațiului limitată de forma sa formată ").

În general, remarcăm că metodele de stabilire a sferei și a unei bile utilizate aici prin centru și raza nu sunt singurele: de exemplu, sarcina sferei / minge în spațiu poate fi efectuată prin rotirea cercului, cercului , etc. (O profund interesată de această problemă este recomandată să se familiarizeze cu o secțiune separată de geometrie sub denumirea "Figuri și corpul de rotație", deoarece aceasta este o metodă frecvent utilizată pentru stabilirea celor mai diferite forme și corpuri geometrice în spațiu) .

Astfel, în cazul unei sfere și în cazul unei minge, trebuie să vă ocupați de un anumit punct de vedere geometric (adică o figură geometrică), dar numai în cazul unei minge, voi pot vorbi despre un corp geometric. Este curios să rețineți că vorbind strict sfera de la minge poate "scădea": în acest caz, matematica vorbește despre "mingea deschisă". Cu toate acestea, "în mod implicit" există o "minge închisă", unde sfera este granița sa naturală și aparținând acestuia.

rezumat

Și mingea și sfera sunt obiecte geometrice abstracte ( cifrele geometrice), a cerut prin o locație geometrică a punctelor spațiale - de exemplu, folosind conceptul de centru al mingelor / sferei și al razei mingii / sferei. Cu toate acestea, numai mingea este un corp geometric cu drepturi depline, deoarece include nu numai o descriere a limitării suprafeței sale, ci și a întregii părți a spațiului pe care această suprafață îl încheie. Din acest punct de vedere, sfera este doar o limită abstractă exterioară (suprafață) a mingea specificată în spațiu.

Sfera este una dintre primele corpuri cu simetrie ridicată a căror proprietăți sunt studiate în cursul școlii de geometrie. Acest articol discută formula sferei, diferența sa de la minge și oferă, de asemenea, calculul suprafeței planetei noastre.

Sfera: Concept în Geometrie

Pentru a înțelege mai bine formula suprafeței, care va fi dată mai jos, este necesar să se familiarizeze cu conceptul de sferă. În geometrie, este un corp tridimensional care conține o anumită cantitate de spațiu. Definiția matematică a sferei este după cum urmează: Acesta este un set de puncte care se află la o anumită distanță de un punct fix numit Centrul. Distanța remarcabilă este raza sferei, care este denotată de R sau R și este măsurată în metri (kilometri, centimetri și alte unități de lungime).

Figura de mai jos prezintă figura descrisă. Liniile arată contururile suprafeței sale. Punctul negru este centrul sferei.

Puteți obține această figură dacă luați un cerc și începeți să rotiți în jurul oricăruia dintre axele care trec prin diametru.

Sfera și mingea: Care este diferența și care este similitudinea?

Adesea, elevii de școală confundă aceste două cifre care sunt în exterior similare unul cu celălalt, dar posedă complet diferite proprietăți fizice. Sfera și mingea mai întâi diferă în masa lor: sfera este un strat infinit de subțire, mingea este corpul volumetric al densității finală, care este același în toate punctele sale limitate de o suprafață sferică. Adică mingea are masa finală și este destul de obiect real. Sfera este o figură ideală care nu are o masă, care nu există de fapt, dar este o idealizare reușită în geometria în studiul proprietăților sale.

Exemple de obiecte reale, forma din care practic corespunde sferei, sunt o jucărie de Crăciun sub forma unei minge pentru decorarea unui copac de Crăciun sau a unui bule de săpun.

În ceea ce privește similitudinea dintre cifrele luate în considerare, pot fi numite următoarele semne:

ambele posedă aceeași simetrie;
pentru ambele, formula suprafeței este aceeași, în plus, au o suprafață egală dacă raditatea lor este egală;
ambele figuri cu raze egale ocupă aceeași cantitate în spațiu, numai mingea umple complet, iar sfera își limitează suprafața.

Sfera și mingea de rază egală sunt prezentate în figura de mai jos.

Rețineți că mingea, precum și sfera, este corpul de rotație, astfel încât acesta poate fi obținut dacă rotiți în jurul diametrului cercului (nu un cerc!).

Elemente ale sferei

Deci, valorile geometrice sunt numite, cunoștințele care vă permit să descrieți întreaga figură sau părțile sale individuale. Principalele elemente sunt următoarele:

Radius R, care a fost deja menționat mai devreme. Este distanța de la centrul figurii pe suprafața sferică. În esență, aceasta este singura valoare care descrie toate proprietățile sferei.
Diametrul D, sau D. Acesta este un segment, capetele care se află pe suprafața sferică, iar mijlocul trece prin punctul central al figurii. Diametrul sferei poate fi realizat printr-un număr infinit de metode, dar toate segmentele obținute vor avea aceeași lungime, ceea ce este egal cu o rază dublă, adică D \u003d 2 * R.
Zona de suprafață este o caracteristică bidimensională, formula pentru care va fi prezentată mai jos.
Unghiurile tridimensionale legate de primăvară sunt măsurate în steradii. Unul Steradian este un unghi, vârful care se află în centrul sferei și care se bazează pe o porțiune de suprafață sferică având o zonă R2.

Proprietățile geometrice ale sferei

Din descrierea de mai sus a acestei figuri, puteți ghici în mod independent aceste proprietăți. Acestea sunt după cum urmează:

Orice direct, care traversează sfera și trece prin centrul său, este axa de simetrie a figurii. Rotiți sfera din jurul acestei axe la orice unghi traduce-o în sine.
Planul care traversează figura luată în considerare prin centrul său împarte sfera în două părți egale, adică este un plan de reflecție.

Suprafața suprafeței Figura

Această valoare este indicată de litera latină S. Formula pentru calcularea zonei sferei are următoarea formă:

S \u003d 4 * pi * R2, unde pi ≈ 3,1416.

Formula demonstrează că pătratul poate fi calculat sub rezerva cunoașterii razei cifrei. Dacă este cunoscut diametrul d, atunci formula sferei poate fi scrisă ca:

Numărul irațional PI, pentru care se administrează patru semne după o virgulă, într-o serie de calcule matematice pot fi utilizate cu precizie la sute, adică 3.14.

Este curios să ia în considerare și câți steradii corespund întregii suprafețe din figura în cauză. Pe baza definiției acestei valori, obținem:

Ω \u003d S / R2 \u003d 4 * PI * R2 / R2 \u003d 4 * Pi Steradian.

Pentru a calcula un unghi surround, este necesar să se înlocuiască valoarea corespunzătoare a S.

Suprafața planetei Pământ

Formula sferei poate fi aplicată pentru a determina pe care o trăim. Înainte de a continua calculele, ar trebui să faceți câteva rezerve:

În primul rând, pământul nu are o suprafață sferică ideală. Radiile sale ecuatoriale și polare sunt egale cu 6378 km și respectiv 6357 km. Diferența dintre aceste numere nu depășește 0,3%, deci este posibil să se calculeze raza medie de 6371 km pentru a calcula.
În al doilea rând, relieful este tridimensional, adică există depresiuni și munți. Aceste caracteristici caracteristice ale planetei conduc la o creștere a suprafeței sale, totuși, nu o vom lua în considerare, deoarece chiar și cel mai mare munte, Everest, este de 0,1% din raza Pământului (8,848 / 6371).

Folosind formula sferei, primim:

S \u003d 4 * pi * R2 \u003d 4 * 3,1416 * 6371 2 ≈ 510.066 milioane km 2.

Rusia, potrivit datelor oficiale, acoperă o suprafață de 17,125 milioane km 2, care este de 3,36% din suprafața planetei. Dacă considerați că doar 150,387 milioane km 2 includ terenul țării noastre, atunci zona țării noastre va fi de 11,4% din întregul teritoriu care nu este acoperit cu apă.

Când oamenii pun întrebarea decât sferele de la minge diferă, multe ridică din umeri, gândindu-se că, de fapt, acest lucru este același (analogie cu un cerc și cerc). Într-adevăr, dacă toți ne cunoaștem bine programul școlii Geometria și poate îndeplini această întrebare? Sfera are unele diferențe de minge pe care trebuie să le cunoașteți nu numai pentru elevii de a obține o evaluare bună pentru cunoașterea dvs. demonstrată, dar și multe alte persoane, cum ar fi lucrarea este direct legată de desene.

Definiție

Minge - o combinație a tuturor punctelor de spațiu. Toate aceste puncte sunt situate în centrul corpului geometric la o distanță care nu este mai mult decât specificată. Această distanță se numește o rază. Mingea, ca un corp geometric, se formează după cum urmează: rotația semicirculară apare lângă diametrul său. În ceea ce privește sfera, aceasta este suprafața mingii (de exemplu, o minge închisă include, deschisă - nu). Calculul zonei sau a volumului mingelor este întreg formule geometricecare sunt foarte complexe, în ciuda simplității aparente a formei geometrice în sine.

SferăDupă cum sa menționat mai sus, este suprafața mingea, cochilia sa. Din centrul sferei, toate punctele din spațiu sunt echidistante. În ceea ce privește raza corpului geometric, ei numesc un segment, un punct al cărui punct este direct centrul sferei, iar celălalt poate fi în orice moment de pe suprafață. Se poate spune că sfera este o coajă de minge fără nici un conținut (mai multe exemple specifice vor fi afișate mai jos). La fel ca mingea, sfera este corpul de rotație. Apropo, mulți se întreabă, de asemenea, ce diferă cercul și cercul din sferă și mingea. Aici totul este simplu: în primul caz, acestea sunt figuri în avion, în cel de-al doilea în spațiu.

Comparaţie

Sa spus deja că sfera este suprafața mingii, care deja oferă posibilitatea de a vorbi despre un semn semnificativ de diferențe. Diferența dintre două corpuri geometrice este observată în alte aspecte:

Toate punctele de minge sunt la aceeași distanță de centru, în timp ce corpul este limitat la suprafață (sfera care este goală în interior). Cu alte cuvinte, sfera este goală. De obicei, pentru simplitatea înțelegerii, este adus un exemplu simplu cu o minge de aer și biliard. Ambele subiecte sunt numite bile, dar în primul caz avem de-a face cu sfera și în al doilea cu o minge plină cu conținutul în interior.
Sfera are propria zonă, dar nu are un volum. Mingea este în același mod: volumul său poate fi calculat, în timp ce el nu are nici o zonă. Cineva poate spune asta semn șef. Diferențele, dar se manifestă numai dacă este necesar să se facă unele calcule (formule geometrice complexe). Prin urmare, principala diferență este că sfera este un gol, iar mingea este corpul cu conținutul din interior.
O altă diferență se află într-o rază. De exemplu, o rază a sferei este numită nu numai distanța de puncte către centru. O rază poate fi numită orice segment care leagă punctul de pe sfera cu centrul său. Toate aceste segmente sunt egale unul cu celălalt. În ceea ce privește mingea, punctele din interior sunt îndepărtate din centru mai puțin decât pe rază (doar din cauza sferei sale restrictive).

Concluzii Site

Sfera este un gol, în timp ce mingea este umplută în corp. De exemplu, balon - Aceasta este o sferă, o minge de biliard este o minge plină.
Sfera are o zonă și nu are volumul, mingea este în același mod în jurul valorii.
A treia diferență este măsurarea razei a două corpuri geometrice.