Fractali în lumea reală. Obiect de cercetare. Cercetare "Călătorește în fractalul mondial

Cum a fost fractalul

Formele matematice cunoscute sub numele de fractale aparțin geniului unui om de știință remarcabil Benoit Mandelbrot. El a învățat matematica cea mai mare parte a vieții sale la Universitatea din SUA din Yale. În 1977 - 1982, a publicat Mandelbrot lucrări științificededicat studiului "geometriei fractale" sau "geometriei naturii", în care la prima vedere, forme matematice aleatorii pe elementele componente, care au anexat la cea mai apropiată revizuire prin repetare, - care au demonstrat, de asemenea, prezența unui anumit eșantion pentru copierea. Deschiderea Mandelbroke a avut consecințe semnificative în dezvoltarea fizicii, a astronomiei și a biologiei.

Fractali în natură

În natură, multe obiecte au proprietăți fractale, de exemplu: coroane de copaci, conopidă, nori, un sistem de sânge și alveolar de oameni și animale, cristale, fulgi de zăpadă, ale căror elemente sunt construite într-o structură complexă, coasta a permis oamenilor de știință Măsurați coasta insulelor britanice și altele, obiecte incomensurabile anterior).

Luați în considerare structura conopidă. Dacă tăiați una dintre florile, este evident că același conopidă rămâne în mâini, doar mai mici. Puteți continua să tăiați din nou și din nou, chiar și sub microscop - dar tot ceea ce obținem este copii mici ale conopida. În acest caz mai simplu, chiar și o mică parte a fractalului conține informații despre întreaga structură finală.

Fractali în tehnologia digitală

Geometria fractală a făcut o contribuție neprețuită la dezvoltarea de noi tehnologii în domeniul muzicii digitale, precum și posibila comprimare a imaginilor digitale. Algoritmii de compresie fractală existentă se bazează pe principiul stocării imaginii compresive în locul imaginii digitale în sine. Pentru comprimarea imaginii, imaginea principală rămâne un punct fix. Microsoft a folosit una dintre variantele acestui algoritm atunci când mănâncă enciclopedia, dar pentru un motiv sau altul, această idee nu a primit o diseminare largă.

Grafica fractală matematică constă în geometria fractală, unde metodele de moștenire de la "obiectele părinte inițiale" se bazează pe baza metodelor de construire a "a imaginilor moștenite". Conceptele de geometrie fractală și grafică fractală au apărut doar cu aproximativ 30 de ani în urmă, dar a fost deja ferm inclus în utilizarea designerilor de calculatoare și a matematicienilor.

Conceptele de bază ale graficelor Fractale Computer sunt:

Triunghiul fractal - figura fractală - obiect fractal (ierarhie în ordine descrescătoare)
Fractal Drept.
Compoziție fractală
"Obiect părinte" și "Obiect moștenitor"

Ca și în grafica vectorială și tridimensională, crearea de imagini fractale calculate matematic. Principala diferență față de primele două tipuri de grafice este că imaginea fractală este construită prin ecuația sau sistemul de ecuații - nimic altceva decât formula din memoria calculatorului nu este necesară pentru a stoca toate calculele - și o astfel de compactare a aparatului matematic permis utilizarea acestei idei în grafica computerului. Pur și simplu schimbarea coeficienților ecuației, puteți obține cu ușurință o imagine fractală complet diferită - cu ajutorul mai multor coeficienți matematici, suprafețele și liniile sunt specificate foarte mult forma complexăAcest lucru vă permite să implementați o astfel de compoziție a compozițiilor ca orizontală și verticală, simetrie și asimetrie, direcții diagonale și multe altele.

Cum de a construi un fractal?

Creatorul fractalului acționează ca un artist, fotograf, sculptor și un om de știință inventator în același timp. Care sunt etapele lucrării creării desenului "de la zero"?

setați modelul formulei matematice
explorați convergența procesului și modificați parametrii săi
selectați imaginea imaginii
alegeți o paletă de flori

Printre editorii grafică fractali și alte programe grafice pot fi alocate:

"Art dabbler"
"Pictor" (fără un computer, nu un singur artist nu va ajunge niciodată la programatorii de posibilități numai prin utilizarea unui creion și pensul penian)
"Adobe Photoshop" (dar aici imaginea "de la zero" nu este creată și, de regulă, numai procesată)

Luați în considerare dispozitivul unei forme geometrice fractale arbitrare. În centrul său există un element cel mai simplu - un triunghi echilateral, care a primit același nume: "Fractal". Pe segmentul mediu al părților, vom construi triunghiuri echilaterale cu o parte a unei treimi din partea triunghiului fractal inițial. În același principiu, triunghiurile mai mici ale celei de-a doua generații sunt construite - și atât de nedefinite. Obiectul, care, ca rezultat sa dovedit, se numește "figură fractală", din secvențele de care obținem o "compoziție fractală".

Sursa: http://www.iknowit.ru/

Fractali și mandalii antice

Aceasta este o mandala pentru a atrage bani. Aprobă faptul că culoarea roșie funcționează ca magnet de bani. Și vasele nu vă reamintesc nimic? Mi-au părut foarte familiar și am fost angajat în studiul mandala ca fiind fractal.

În principiu, Mandala este un simbol geometric al unei structuri complexe, care este interpretată ca un model al universului, "Harta Cosmos". Iată primul semn al fracțeității!

Ele sunt brodate pe țesut, trase pe nisip, funcționează cu pulberi neferoase și făcute din metal, piatră, lemn. Un aspect strălucitor și fascinant, o face o decorare frumoasă de podele, pereți și tavane de temple din India. Pe vechiul limba indiană Mandala denotă un cerc mistic al relației energiilor spirituale și materiale ale universului sau o floare diferită de viață.

Am vrut să scriu o imagine de ansamblu a manalilor fractali foarte mici, cu un paragrafe minime, arătând că relația există în mod clar. Cu toate acestea, încercarea de a găsi informații conștiente și asociate despre fractali și mandalas într-un singur întreg, am avut un sentiment de un salt cuantic în spațiul necunoscut pentru mine.

Demonstrăm imensitatea acestui citate subiect: "Astfel de compoziții fractale sau mandalii pot fi folosite ca sub formă de picturi, elemente ale designului spațiului rezidențial și de lucru, amulete de lucru, sub formă de benzi video, programe de calculator... "În general, subiectul pentru cercetarea fractalului este doar o imensă.

Un lucru pe care îl pot spune exact, lumea este mult mai diversă și mai bogată decât ideile nenorocite ale minții noastre despre el.

Animale marine fractale

Guestele mele despre animalele marine fractale nu au fost neîntemeiate. Iată primii reprezentanți. Octopus - Sea Donnaya Animal din Charon Fit.

Privind la această fotografie, am devenit o structură fractală evidentă a corpului și fraierilor pe toate cele opt tentacule ale acestui animal. Cupa de aspirație pe Tentacles pentru Octopus adulte ajung până la 2000.

Este interesant faptul că caracatița este de trei inimi: unul (cel mai important) conduce sânge albastru pe tot corpul și alte două - Gill - împingând sângele prin bare. Unele tipuri de aceste fractale de adâncime de otrăvire.

Adaptarea și mascarea sub mediu inconjuratorOctopusul are o capacitate foarte utilă de a schimba culoarea.

Octopresele sunt considerate cele mai "inteligente" între toate nevertebrate. Aflați oamenii, obișnuiți-vă cu cei care îi hrănesc. Ar fi interesant să se uite la Octopus, care sunt ușor de antrenat, au o memorie bună și chiar distinge formele geometrice. Dar vârsta acestor animale fractale este un non-național - maximum 4 ani.

O persoană utilizează cerneala acestei funcții fractale și alte diagrame. Ele sunt în cerere de la artiști pentru durabilitatea lor și un ton maro frumos. În bucătăria mediteraneană, caracatița este o sursă de vitamine B3, B12, potasiu, fosfor și seleniu. Dar cred că aceste fractale nautice trebuie să fie capabile să se pregătească să se bucure de consumul lor de alimente.

Apropo, trebuie remarcat faptul că caracatiunile sunt prădători. Ei își țin tentaculele fractale față de victimă sub formă de moluște, crustacee și pește. Este o păcat dacă mâncarea acestor fractale marine devine o moluște frumoasă. În opinia mea, de asemenea, un reprezentant tipic al fractalului Regatului Marin.

Aceasta este o relație de melc, o glavk cu glazcă, el este Glaucus, el este Glaucus Atlanticus, el este Glaucilla Marginata. Acest fractal este, de asemenea, neobișnuit prin faptul că trăiește și se mișcă sub suprafața apei, în timp ce țineți din cauza tensiunii suprafeței. pentru că Mollusk este o hermafrodită, apoi după împerecherea ambii "parteneri" a pus ouăle. Acest fractal se găsește în toate oceanele centurii tropicale.

Fractalii regatului marin

Fiecare dintre noi cel puțin o dată în viața lui păstrată în mâinile lui și cu un interes real al copilului, se uită la coaja de mare.

De obicei, cochilii sunt un suvenir frumos asemănător unei călătorii în mare. Când vă uitați la această formare spirală a moluștelor nevertebrate, nu există nici o îndoială în natura sa fractală.

Noi, oameni, cu ceva ce reamintim aceste moluște moi, tapițate în casele de beton bine întreținute, plasarea și mișcarea corpului în mașini rapide.

Un alt reprezentant tipic al lumii subacvatice fractale este corali.
În natură, sunt cunoscute mai mult de 3500 de soiuri de corali, în paleta care se disting cu până la 350 de nuanțe de culoare.

Coralul este materialul scheletului al coloniei Polyps Coral, de asemenea din familia nevertebrate. Acumulările lor uriașe formează recife de corali întregi, metoda fractală a cărei formare este evidentă.

Coral cu încredere totală poate fi numit fractal de la împărăția mării.

Este, de asemenea, utilizat de o persoană sub formă de suvenir sau materii prime pentru bijuterii și bijuterii. Dar repetați frumusețea și perfecțiunea naturii fractale este foarte dificilă.

Din anumite motive, nu am nici o îndoială că multe animale fractale sunt de asemenea adâncite în lumea subacvatică.

Încă o dată, îndeplinirea unui ritual în bucătărie cu un cuțit și o placă de tăiere și apoi coborând cuțitul în apă receÎncă o dată am venit cu lacrimi în lacrimi, cum să se ocupe de un fractal lacrimal, care aproape zilnic apare în ochii mei.

Principiul fractalității este același cu faimosul Matryoshka - cuibărit. Acesta este motivul pentru care anunțul de fracalitate nu este imediat. În plus, culoarea omogenă strălucitoare și capacitatea sa naturală de a provoca senzații neplăcute nu contribuie la observarea constantă asupra universul și identificarea modelelor matematice fractale.

Dar castronul de salată a culorii liliac datorită culorilor sale și lipsei de fitoncide de lacrimi aduse reflecții asupra fracțeității naturale a acestei legume. Desigur, este fractal, este o circumferință simplă, obișnuită a diferitelor diametre, puteți spune chiar un fractal primitiv. Dar nu ar face rău să-și amintească că mingea este considerată o figură geometrică ideală în cadrul Universului nostru.

O mulțime de articole publicate pe proprietățile utile ale lui Luca pe Internet, dar într-un fel nimeni nu a încercat să studieze această copie naturală din punctul de vedere al fracționalității. Pot să menționez doar beneficiul utilizării fractalului sub forma unui arc la bucătărie.

P.S. Și am dobândit deja tăietori de legume pentru șlefuirea fractalului. Acum trebuie să reflectați cât de fractabil este o legumă utilă, ca o varză obișnuită de culoare albă. Același principiu al cuibului.

Fractali în arta populară

Atenția mea a atras povestea jucăriei celebrului mondial "Matryoshka". Privind cu atenție, cu încredere se poate spune că această jucărie de suvenir este un fractal tipic.

Principiul fracționalității este evident atunci când toate figurile jucăriei de lemn sunt construite într-un rând și nu au fost investite unul în celălalt.

Studiile minore ale istoriei acestui jucărie fractal pe piața mondială au arătat că rădăcinile acestei frumusețe sunt japoneze. Matryoshka a fost întotdeauna considerată un suvenir rus invariu. Dar sa dovedit că a fost prototipul figurii japoneze a bătrânului Fukurum, adus o dată la Moscova din Japonia.

Dar a fost pescuitul de jucărie rus care a adus faima mondială la această figură japoneză. Unde a fost ideea de jucării fractale de cuibărit, personal pentru mine și a rămas un mister. Cel mai probabil, autorul acestei jucări a folosit principiul cuibului de cifre unul în celălalt. Și cel mai simplu mod de investiție este astfel de cifre de diferite dimensiuni, iar acesta este deja un fractal.

Un obiect la fel de interesant al studiului este pictura jucăriilor fractale. Aceasta este o pictură decorativă - Khokhloma. Elementele tradiționale ale lui Khokhloma sunt modele de flori, boabe și ramuri.

Din nou toate semnele de fracalitate. La urma urmei, același element poate fi repetat de mai multe ori în diferite versiuni și proporții. Ca rezultat, se obține o pictură fractală populară.

Și dacă pictura noului model de șoareci de calculator, capacele laptopurilor și telefoanelor nimeni nu va mai fi surprins, atunci tuningul fractal al mașinii într-un stil popular este ceva nou în autodiziin. Rămâne doar să fie surprins în manifestarea lumii fractalelor din viața noastră într-un mod atât de neobișnuit, în lucruri obișnuite pentru noi.

Fractali în bucătărie

De fiecare dată, a dezasamblat conopidă în inflorescențe mici pentru Blaning în apă clocotită, nu am acordat niciodată atenție semnelor explicite ale fracționalității, în timp ce nu am avut această instanță în mâinile mele.

Reprezentant fractal tipic din lumea de legume Pe chicineta mea.

Cu toată dragostea mea pentru conopidă, tot timpul a venit peste instanțe cu o suprafață omogenă fără semne vizibile de fracalitate, și chiar un număr mare de infloriri încorporate unul în celălalt nu mi-au dat un motiv pentru a vedea legumele fractale în această legumă utilă .

Dar suprafața acestei instanțe particulare cu o geometrie fractală pronunțată nu a lăsat nici cea mai mică îndoială de origine fractală a acestui tip de varză.

O altă excursie la hipermarket a confirmat doar starea de varză fractală. Printre numărul imens de legume exotice, o cutie întreagă a fost blocată cu fractali. A fost o romantism sau romanistice broccoli, varză colorată de corali.

Se pare că designerii și artiștii 3D sunt entuziasmați de formele sale exotice similare cu fracturile.

Rinichii de varză cresc pe spirala logaritmică. Primele referințe la Cabeso Romanent a venit din Italia din secolul al XVI-lea.

Iar varza Broccoli nu este un oaspete complet frecvent în dieta mea, deși conținutul substanțelor utile și oligoelemente de urmărire depășește uneori un conopidă. Dar suprafața sa și forma sunt atât de omogene încât nu am avut loc niciodată pentru a vedea fractalul de legume în ea.

Fractali în Qilling.

Văzând meșteșuguri deschise într-o tehnică ciudată, nu am lăsat niciodată sentimentul că ceva îmi amintesc. Repetarea aceluiași elemente în diferite dimensiuni este, desigur, acesta este principiul fracționalității.

După ce a văzut următoarea clasă de masterat în joc, nu a existat nici o îndoială cu privire la fracturile reginei. La urma urmei, pentru fabricarea diferitelor elemente pentru meșteșugurile de la Queening, se utilizează o linie specială cu cercuri de diametru diferit. Cu toată frumusețea și unicitatea produselor, este o tehnică incredibil de simplă.

Aproape toate elementele de bază pentru meșteșugurile din quilling sunt fabricate din hârtie. Pentru a face hârtie pentru queening gratuit, petreceți la domiciliu revizuirea rafturilor dvs. Desigur, acolo veți găsi câteva reviste strălucitoare.

Instrumentele Qwill sunt simple și ieftine. Tot ce trebuie să îndepliniți în stil amator, puteți găsi printre papetărie de acasă.

Iar istoria reginei începe în secolul al XVIII-lea în Europa. În epoca Renașterii, călugării mănăstirilor franceză și italiene cu ajutorul reginei au fost decorate cu cărți de acoperire și nici măcar nu au bănuit că o lucrare fracționată a inventat. Fetele din cea mai înaltă societate au trecut printr-un curs pe regină în școli speciale. Această tehnică a început să se răspândească prin țări și continente.

Această clasă de masterat video care se înclină pentru fabricarea penajului de lux poate fi numită chiar "fractali cu mâinile lor". Cu ajutorul fractalului de hârtie, cărțile minunate exclusive - Valentine și multe alte lucruri interesante sunt obținute. La urma urmei, fantezie, ca natura inepuizabilă.

Nu este un secret că japonezii în viață este puternic limitat în spațiu, în legătură cu care trebuie să fie sofisticați în mod eficient. Miyakava Takeshi arată cum se poate face simultan și estetic. Confirmarea dulapului fractal că utilizarea fracturilor în design nu este doar un omagiu la modă, ci și armonios soluție de proiectare în condiții de spațiu limitat.

Acest exemplu de utilizare a fractalilor în viața reală, aplicat designului mobilierului mi-a arătat că fractalii sunt reale nu numai pe hârtie în formulele matematice și programele de calculator.

Și se pare că principiul naturii fractalității folosește peste tot. Trebuie doar să te uiți la ea atent și se va arăta în toată abundența și infinitul său de a fi.

Bugetul municipal Educație generală - Școala secundară medie

din. Căţeluş

Conferința științifică și practică "Lumea uimitoare a matematicii"

Cercetare "Călătorie spre lumea fractalului"

Efectuat: Clasa Student 10

Allahverdieva naila.

Lider: Davydova E. V.

Introducere.
Parte principală:

a) conceptul de fractal;

b) istoria creării fractalelor;

c) clasificarea fractalului;

d) utilizarea fracturilor;

e) fractalii în natură;

e) culori fractale.

3. Concluzie.

Introducere.

Ce se ascunde în spatele conceptului misterios de "Fractal"? Probabil, pentru mulți, acest termen este asociat cu imagini frumoase, modele complicate și imagini luminoase create folosind grafică computerizată. Dar fractalii nu sunt o imagine ușoară. Acestea sunt structuri speciale care stau la baza tuturor lucrurilor. Brouri B. lumea științifică Doar câteva decenii în urmă, fractalii au reușit să producă o revoluție reală în percepția realității înconjurătoare. Folosind fractali, o persoană poate crea modele matematice de înaltă precizie de obiecte naturale, sisteme, procese și fenomene.

Parte principală
Conceptul de Fractal.

Fractal.(de la Lat. fragmentul. - zdrobit, rupt, rupt) - o figură geometrică complexă, care are proprietatea de auto-similaritate, adică, compusă din mai multe părți, fiecare dintre acestea fiind similară cu întreaga figură. Multe obiecte în natură au proprietăți fractale, cum ar fi coasta, norii, copaci coroane, sistem circulator și sistemul de alveole umane sau animale.

Fractalii, în special în avion, sunt populare datorită combinației de frumusețe, cu ușurință de construcție utilizând un computer.

Istoria creației.
Pentru a aduce știința fractalului la un nou nivel, matematicianul francez Benoit Mandelbrot a fost gestionat - omul de știință care este astăzi recunoscut ca tatăl geometriei fractale. Mandelbroid pentru prima dată a dat definiția termenului "Fractal":

Citat

"Fractalul se numește o structură constând din părți, care, într-un anumit sens, sunt ca un întreg"
În anii '70, Benoit Mandelbrot a lucrat ca analist matematic la IBM. Primul om de știință sa gândit la fractale în procesul de studiere a zgomotului în rețelele electronice. La prima vedere, a existat o interferență absolut haotică în timpul transmisiei de date. Mandelbrot a construit un program de erori și a fost surprins să găsească că, în orice moment, toate fragmentele păreau, de asemenea. Pe scara zilei de zgomot a apărut în aceeași secvență ca pe scara unei zile, o oră sau minut. Mandelbrot a înțeles că frecvența erorilor atunci când transferul de date este distribuită în timp pe principiul stabilit de cantor în tarziu xix. secol. Apoi Benoy Mandelbrot a fost în mod serios purtat de studiul fractalului.
Spre deosebire de predecesorii săi, nu a fost construcții geometrice pentru crearea fracturilor Mandelbrot și transformări algebrice Diferite complexități. Matematicianul a folosit metoda iterațiilor inverse, ceea ce implică calculul multiplu al aceleiași funcții. Folosind utilizarea computerelor, matematicianul a efectuat o cantitate imensă de computere succesive, ale cărora rezultatele afișate grafic pe planul complex. A apărut atât de mulți Mandelbroke - un fractal algebric complex, care astăzi este considerat un clasic al științei privind fracturile. În unele cazuri, același subiect poate fi considerat simultan neted și fractal. Pentru a explica de ce se întâmplă acest lucru, Mandelbroth aduce un exemplu vizual interesant. O încurcătură de fire de lână, îndepărtată la o anumită distanță, arată ca un punct cu dimensiune 1. Tangle, situată în apropiere, arată ca un disc bidimensional. Luând-o în mână, puteți simți în mod clar volumul mingelor - acum este perceput ca tridimensional. Iar fractalul încurcării poate fi luat în considerare numai din punctul de vedere al observatorului folosind un dispozitiv de lupă sau muște, care a servit pe suprafața unui fir de lână neuniform. Prin urmare, adevărata fractalitate a obiectului depinde de punctul de vedere al observatorului și de rezoluția instrumentului utilizat.
Mandelbrot a remarcat un model interesant - cu cât este mai aproape de a lua în considerare obiectul măsurat, cu atât va fi mai extinsă marginea sa. Această proprietate poate fi demonstrată în mod clar pe exemplul de măsurare a lungimii unuia dintre fractalele naturale - coastă. Efectuarea măsurătorilor prin harta geografică, Este posibil să se obțină o valoare aproximativă de lungime, deoarece toate neregulile și curbele nu vor fi luate în considerare. Dacă măsurați măsurarea, luând în considerare toate neregulile reliefului vizibile de la înălțimea creșterii umane, rezultatul va fi oarecum diferit - lungimea liniei de coastă va crește semnificativ. Și dacă vă imaginați teoretic că instrumentul de măsurare va panglica neregularea fiecărei pietriș, apoi în acest caz, lungimea liniei de coastă va fi aproape infinită.
Clasificarea fractală.

Fractalii sunt împărțiți în:

geometrică: Fractalii acestei clase sunt cele mai vizuale, ele sunt imediat vizibile de auto-similitudine. Istoria fractalului a început cu fracturile geometrice, care au fost studiate de matematicieni în secolul al XIX-lea.

algebrică: Acest grup fractal a primit un astfel de nume, deoarece fractalii se formează folosind formule simple algebrice.

sTOCHASST: se formează în caz de schimbare accidentală a procesului de iterație a parametrilor fractali. Fracturile stochastice bidimensionale sunt utilizate în modelarea terenului și a suprafeței marine.

Fracturile geometrice

A fost de la ei că a început istoria fractalului. Acest tip de fractal este obținut prin construcții geometrice simple. De obicei, atunci când construiesc aceste fractale, fac acest lucru: este luată "semințele" - axiom - un set de segmente, pe baza căruia va fi construită fractalul. Alături de această "semințe" aplică un set de reguli care îl convertește la oricare forma geometrică. Apoi, același set de reguli se aplică fiecărei părți a acestei cifre. Cu fiecare pas, cifra va deveni mai complicată și mai dificilă și dacă ne hrănim (cel puțin în minte), numărul infinit de transformări - obținem un fractal geometric. Exemple clasice. Fractaluri geometrice: Koch Snowflake, frunze, triunghi de Serpinsky, Dragonov Broken (Anexa 1).

Fracturile algebrice

A doua grupare fractală mare este algebrică (apendicele 2). Ei au obținut numele lor pentru a se asigura că acestea sunt construite pe baza formulelor algebrice sunt uneori foarte simple. Metodele de obținere a fracturilor algebrice sunt mai multe.

Din păcate, mai mulți termeni de niveluri de 10-11 clasă asociate cu numere complexe necesare pentru a explica construcția fractală sunt necunoscute pentru mine și sunt încă dificil de înțeles, prin urmare nu este posibil să descriem în detaliu construcția de fractali de acest gen pentru mine.

Natura fractală inițial alb-negru, dar dacă adăugați o mică fantezie și vopsele, puteți obține o lucrare reală a artelor.

Fracturile stochastice

Un reprezentant tipic al acestei clase de fractali "plasma" (apendicele 3). Pentru a-l construi, ia un dreptunghi și pentru fiecare din unghiul său va determina culoarea. Apoi, găsim punctul central al dreptunghiului și vopsea în culoare egală cu culorile aritmetice medii la colțurile dreptunghiului plus un număr aleatoriu. Numărul mai aleator - cu atât mai "sfâșiat" va fi un desen. Dacă acum spunem că culoarea punctului este o înălțime deasupra nivelului mării - ajungem în loc de plasmă - o gamă montană. Este pe acest principiu că munții sunt simulați în majoritatea programelor. Cu ajutorul unui algoritm similar cu plasma, este construită o hartă a înălțimilor, se aplică diverse filtre, ne aplicăm texturii și, vă rog, munții fotorealici sunt gata!

Fractali de aplicare

Deja astăzi, fractalii sunt utilizați pe scară largă într-o mare varietate de zone. Direcția de arhivare fractală a informațiilor grafice se dezvoltă în mod activ. Teoretic, arhivarea fractală poate comprima imaginile la dimensiunea unui punct fără pierderea calității. Cu o creștere a imaginilor comprimate în conformitate cu principiul fractal, cele mai mici detalii sunt afișate în mod clar, iar efectul de cereale este complet absent.

Principiile teoriei fractalelor sunt utilizate în medicină pentru analizarea electrocardiogramelor, deoarece ritmul abrevierilor cardiace este, de asemenea, un fractal. Direcția studiilor privind sistemul circulator și alte sisteme interne ale corpului uman se dezvoltă în mod activ. În biologie, fractalii sunt utilizați pentru a modela procesele care apar în cadrul populațiilor.
Meteorologii folosesc dependențe fractale de analiză a intensității maselor de aer, apărând astfel posibilitatea unei previziuni mai precise a schimbărilor meteorologice. Fizica mass-media fractale cu mare succes rezolvă sarcina de a studia dinamica fluxurilor complexe turbulente, a proceselor de adsorbție și difuzie. În industria petrochimică, fractalii sunt utilizați pentru a simula materialele poroase. Teoria fractalului este utilizată efectiv pe piețele financiare. Geometria fractală este utilizată pentru a crea dispozitive puternice de antenă.
Astăzi, teoria fractală este o zonă independentă de știință, pe baza căreia toate direcțiile noi și noi sunt create în diverse domenii. Semnificația fractalului este dedicată multor lucrări științifice.

Dar aceste obiecte neobișnuite nu sunt doar extrem de utile, ci și incredibil de frumoase. De aceea, fractalii își găsesc treptat locul în art. Apelul lor estetic uimitor inspiră mulți artiști pentru a crea picturi fractale. Compozitorii moderni creează lucrări muzicale folosind unelte electronice cu diferite caracteristici fractale. Scriitorii aplică o structură fractală pentru a forma lucrările lor literare, iar designerii creează mobilier fractal și articole de interior.

Fractalitatea în natură

În 1977, a fost publicată cartea Mandelbrot "Fractals: Formă, Accident și Dimensiune", iar în 1982 a fost publicată o altă monografie - "geometria fractală a naturii", pe paginile pe care au demonstrat autorul exemple vizuale. Diverse seturi fractale și dovezi conduse de existența fractalului în natură. Ideea principală a teoriei Fractal Mandelbrot exprimată în următoarele cuvinte:

"De ce geometria este adesea numită rece și uscată? Unul dintre motivele este că nu este în măsură să descrie cu precizie norii, munții, lemnul sau malul mării. Nori nu sunt sfere, liniile țărmului nu sunt un cerc și coaja nu este netedă. Și fermoarul nu se aplică într-o linie dreaptă. Natura ne demonstrează că nu doar mai mult gradul înalt., și un nivel complet diferit de complexitate. Numărul de lungimi diferite de lungimi din structuri este întotdeauna infinit. Existența acestor structuri ne dă o provocare sub forma unei sarcini dificile de a studia acele forme pe care Euclideanul a scăzut ca fiind fără formă - sarcinile studiului morfologiei amorfelor. Matematica, cu toate acestea, neglijată de această provocare și preferată din ce în ce mai mult și mai mare din natură, inventarea teoriilor care nu corespund nimic pe care le puteți vedea sau simți. "

Multe obiecte naturale sunt posedate de proprietățile setului fractal (apendicele 4).

Sunt fracturi cu adevărat structuri universale care au fost luate ca bază atunci când creați absolut totul în această lume? Forma multor obiecte naturale este cât mai aproape posibil de fractalii. Dar nu toate fractalele existente ale lumii au structura atât de corectă și infinit repetată, deoarece seturile create de matematicieni. Suprafețele de munte, suprafețele de defecțiuni metalice, fluxurile turbulente, nori, spumă și multe alte fractale naturale sunt lipsiți de auto-similaritate perfectă. Și ar fi absolut greșit să credem că fractalii sunt o cheie universală pentru toate secretele universului. Cu toată complexitatea aparentă, fractalii sunt doar un model simplificat al realității. Dar, printre toate teoriile fractale disponibile astăzi, sunt cele mai exacte mijloace de descriere a lumii înconjurătoare.

Frumusețea fractalului adaugă culoarea lor luminoasă și atrăgătoare. Schemele complexe de culori fac fractale frumoase și memorabile. Din punct de vedere matematic, fractalii sunt obiecte alb-negru, fiecare punct al căruia aparține fie setului, fie nu aparține. Dar posibilitățile computerelor moderne vă permit să faceți fracții cu culori și luminoase. Și aceasta nu este o simplă colorare a zonelor învecinate ale multor ordini aleatorii.

Analizând valoarea fiecărui punct, programul determină automat umbra unuia sau alt fragment. Negrul arată punctele în care funcția are o valoare constantă. Dacă valoarea funcției tinde la infinit, atunci punctul este vopsit într-o altă culoare. Intensitatea colorării depinde de rata de aproximare la infinit. Cele mai multe repetări sunt obligate să se apropie de punctul la o valoare stabilă, bricheta devine umbra sa. Iar, dimpotrivă - punctele se grăbesc rapid la infinit, pictate în culori strălucitoare și bogate.
Concluzie

Pentru prima dată a auzit fractali, pune întrebarea, ce este?

Pe de o parte, aceasta este o figură geometrică complexă, care are caracteristicile de auto-similaritate, care este compusă din mai multe părți, fiecare dintre acestea fiind similară cu întreaga figură.

Acest concept fascinează cu frumusețea și misterul său, manifestată în cele mai neașteptate zone: meteorologie, filosofie, geografie, biologie, mecanică și chiar povestiri.

Este aproape imposibil să nu vezi fractalul în natură, deoarece aproape fiecare obiect (nori, munți, coastă etc.) au o structură fractală. Majoritatea designerilor web, programatori au propria lor galerie fractală (extrem de frumoasă).

În esență, fractalii ne deschid ochii și vă permit să vă uitați la matematică pe de altă parte. Se pare că calculele obișnuite sunt făcute cu cifre convenționale "uscate", dar acest lucru ne dă în mod propriu rezultatele unice, permițându-vă să simțiți creatorul naturii. Fractalii fac clar că matematica este, de asemenea, o știință de frumos.

A lui proiectare de lucru Am vrut să spun despre un concept destul de nou în matematică "Fractal". Ce este, care sunt speciile în care se extind. Sper că fracturile sunt interesate de tine. La urma urmei, așa cum sa dovedit, fracturile sunt destul de interesante și sunt aproape la fiecare pas.

Bibliografie

http://ru.wikipedia.org/wiki.
http://www.metaphor.ru/er/misc/fractal_gallery.xml.
http://fractistics.narod.ru/
http://rusproject.narod.ru/article/fractals.htm.
Bondarenko V.A., Dolnikov V.L. Compresia imaginii fractale pe Barncel Sloan. // automatizarea și telemechanica. - 1994.-N5.-C.12-20.
Watoline D. Utilizarea fractalului în graficul mașinii. // Computerworld-Rusia.-1995.-N15.-C.11.
Federul E. Fractali. Pe. Din engleză: Mir, 1991.-254C. (Jens Fedder, Plenum Press, Newyork, 1988)
Aplicarea fractalului și a haosului. 1993, Springer-Verlag, Berlin.

Atasamentul 1

Apendicele 2.

Apendicele 3.

Anexa 4.

Ministerul Educației, Științei și Tineretului din Republica Crimeea

Instituția de învățământ bugetar municipal "Complexul educațional magazin" Educație municipală Krasnoperekopsky District al Republicii Crimeea

Direcția: Matematică

Studiul caracteristicilor modelelor fractale

Pentru aplicarea practică

Am făcut lucrarea:

student din clasa 8 a Instituției Generale de Educație Generală Municipală "Complexul educațional magazin" Municipal Educație Krasnoperekopsky District al Republicii Crimeea

Consilier științific:

profesor de matematică al instituției de învățământ bugetar municipal "Complexul educațional magazin" al învățământului municipal Krasnopekopsky District al Republicii Crimeea

Krasnoperekopsky District - 2016

Știința a fost făcută de multe descoperiri și invenții ingenioase, schimbând cu atenție viața umanității: electricitate, energie atomică, vaccin și mult mai mult. Cu toate acestea, există astfel de descoperiri care dau valori mici, dar sunt, de asemenea, capabile să influențeze și să ne afecteze viața. Una dintre aceste descoperiri sunt fractale care ajută la stabilirea unei legături între evenimente chiar și în haos.

Matematician american Benoit Mandelbrot în cartea sa "Geometria fractală a naturii" a scris: "De ce geometria a fost adesea numită rece și uscată? Unul dintre motivele este că nu este în măsură să descrie cu precizie forma norului, a munților, a lemnului sau a țărmurilor marine. Norii nu sunt sfere, liniile de cale ferată nu sunt un cerc, iar coaja nu este netedă, dar fulgerul nu se aplică într-o linie dreaptă. Natura ne demonstrează că nu este doar o diplomă mai mare, ci un nivel complet diferit de complexitate. Numărul de lungimi diferite de lungimi din structuri este întotdeauna infinit. Existența acestor structuri ne dă o provocare sub forma unei sarcini dificile de a studia acele forme pe care Euclideanul a scăzut ca fiind fără formă - sarcinile studiului morfologiei amorfelor. Matematica, cu toate acestea, neglijată de această provocare și a ales din ce în ce mai mult și mai mult de la natură, inventarea teoriilor care nu corespund nimic pe care le puteți vedea sau simți. "

Ipoteză:tot ce există în lumea din jurul nostru este un fractal.

Scopul muncii:creând obiecte ale căror imagini sunt similare cu naturale.

Obiectul studiului:fractali în diferite domenii ale științei și a lumii reale.

Subiect de studiu:geometria fractală.

Sarcini de cercetare:

1. Cunoașterea conceptului de Fractal, Istoria apariției și cercetării lui B. Mandelbrot, Koch, V. Serpinsky și colab.;

3. Găsiți confirmarea teoriei fractalității lumii înconjurătoare;

4. studierea utilizării fractalelor în alte științe și în practică;

5. Efectuați un experiment pentru a crea propriile imagini fractale.

Metode de cercetare:analitice, căutare, experimentale.

Istoria apariției conceptului de "fractal"

Geometria fractală, ca o nouă direcție în matematică, a apărut în 1975. Conceptul de "Fractal" a fost introdus în primul rând în matematică american de știință Benoit Mandelbrot. Fractal (din limba engleză. "Fracțiunea") - o fracțiune împărțită în părți. Definiția fractalului dată de Mandelbrom, sună așa: "Fractalul se numește o structură constând din părți, care într-un anumit sens sunt ca un întreg".

Lucrul în Centrul de Cercetare IBM, al cărui angajați au lucrat la transferul de date la distanță, sarcina complexă și foarte importantă cu care se confruntă Benouua - pentru a înțelege cum să prezicăm apariția interferențelor de zgomot în circuitele electronice. Mandelbrot a atras atenția asupra unor diagrame de zgomot ciudate pe o scară diferită părea în mod egal. Aceeași imagine a fost observată indiferent dacă a fost o diagramă de zgomot într-o singură zi, o săptămână sau o oră. Merită să se schimbe amploarea diagramei, iar imaginea a fost repetată de fiecare dată. Gândindu-se în sensul unor modele ciudate, esența fractalilor a venit la Benua.

Cu toate acestea, primele idei de geometrie fractală au apărut în secolul al XIX-lea.

Deci, Georg Cantor (Cantor, 1845-1918) este un matematician german, logic, un teolog, creatorul teoriei seturilor infinite, cu ajutorul unei proceduri simple de repetare, a transformat linia într-un set de puncte independente. El a luat linia și a îndepărtat al treilea rând și după aceea a repetat același lucru cu segmentele rămase. Ce sa întâmplat, numit praful cantorului (Figura 1).

Și matematicianul italian JUSEPPE PEANO (Giuseppe Peano, 1858-1932) a luat linia și a înlocuit-o cu 9 segmente lungi de 3 ori mai mici decât lungimea liniei originale. Apoi, el a făcut același lucru cu fiecare segment. Și atât de nedefinit. Mai târziu, construcția similară a fost efectuată în spațiu tridimensional (Figura 2).

Una dintre primele desene fractale a fost o interpretare grafică a unui set de Mandelbroke, care sa născut datorită cercetării Gaston Maurice Julia (Figura 3).

Toate fractalele pot fi împărțite în grupuri, dar cele mai mari sunt:

Fractaluri geometrice;

Fracturi algebrice;

Fracturi stochastice.

Fracturile geometrice

Fractalurile geometrice sunt cele mai vizuale și sunt obținute prin construcții geometrice simple. Luați niște rupte (sau suprafață într-un caz tridimensional), numită generator. Apoi, fiecare dintre segmentele care constituie rupt, este înlocuit de un generator rupt, la o scară corespunzătoare. Ca urmare a unei repetări infinite a acestei proceduri, se obține un fractal geometric. Exemple de fractale geometrice pot fi:

1) curba Koch. La începutul secolului al XX-lea, cu dezvoltarea rapidă a mecanicii cuantice înaintea oamenilor de știință, sarcina de a găsi o astfel de curbă, care ar arăta cel mai bine mișcarea particulelor browene. Pentru aceasta, curba ar fi trebuit să aibă următoarea proprietate: să nu aibă un tangențial în niciun moment. Matematica KOH a sugerat o astfel de curbă: luați un singur segment, împărțim în trei părți egale și înlocuiți intervalul mediu cu un triunghi echilateral fără acest segment. Ca rezultat, se formează o formă spartă, constând din patru linii de 1/3. În pasul următor, repetăm \u200b\u200boperația pentru fiecare dintre cele patru link-uri următoare etc.

Curba limită și există o curbă Koch (Figura 4) . După efectuarea unei conversii similare pe părțile laterale ale triunghiului echilateral, puteți obține o imagine fractală aflakes Koche.

2) curba Levi . Jumătate din pătrat este luată și fiecare parte este înlocuită cu același fragment. Operațiunea se repetă de mai multe ori și, în cele din urmă, se dovedește curba de levion (Figura 5).

3) Curba Minkowski. Fundația este un segment, iar generatorul este împărțit din opt linkuri (două legături egale se continuă reciproc) (Figura 6).

4) Curba peno (Figura 2).

5) curba dragonului (Figura 7).

6) copac Pitagore. Construit pe o figură cunoscută sub numele de "pantaloni Pythagora", unde pe laturi triunghi dreptunghiular Există pătrate. Pentru prima dată, copacul Pitagore construit utilizând o linie convențională de desen (Figura 8).

7) Piața lui Serpinsky. Cunoscut sub numele de "lattice" sau "șervețel" Serpinsky (Figura 9). Piața este împărțită cu drept, paralelă cu partidele sale, pe 9 pătrate egale. Din pătrat a scos piața centrală. Se obține un set format din 8 pătrate rămase "primul rang". Făcând același lucru ca fiecare dintre pătratele de primă clasă, obținem un set format din 64 de pătrate de rang al doilea. Continuând acest proces infinit, obținem o secvență infinită sau pătrat de serpinsky.

Fracturile algebrice

Fractali, pe baza formulelor algebrice, aparțin fractalului algebric. Acesta este cel mai mare grup de fractali. Acestea includ fractalul Mandelbrotului (Figura 3) , newton Fractal (Figura 10), Multe Julia (Figura 11) și multe altele.

Unele fractale algebrice seamănă cu imagini de animale, plante și alte obiecte biologice, ca rezultat al căruia au fost chemați biomorpile.

Fracturile stochastice

Fracturile stochastice reprezintă o altă varietate majoră de fractale care sunt formate din repetiții repetate ale modificărilor aleatorie ale oricărui parametri. În același timp, obiectele sunt obținute foarte asemănătoare cu arborii naturali - asimetrici, linii de coastă robuste etc.

Deci, dacă luați un dreptunghi și pentru a determina fiecare din colțul său. Apoi luați-o un punct central și introduceți-l în culoare egală cu culorile aritmetice medii la colțurile dreptunghiului plus un număr aleatoriu. Numărul mai aleator - cu atât mai "sfâșiat" va fi un desen. Astfel, va fi "plasmă" fractală (Figura 12). Și dacă presupunem că culoarea punctului este o înălțime deasupra nivelului mării - ajungem în loc de plasmă - o gamă montană. Este pe acest principiu că munții sunt simulați în majoritatea programelor. Cu ajutorul algoritmului, este construită o hartă a înălțimii, se aplică diferite filtre, textura și munții fotorealici sunt suprapusă.

Fractali de aplicare

Pictura fractală.Popular în rândul artiștilor digitali direcția de artă modernă. Modelele fractale sunt neobișnuite și fascinante care acționează asupra unei persoane, dând naștere unor imagini strălucitoare. Fabuloase abstracții sunt create prin formulele matematice plictisitoare, dar imaginația le percepe în viață (Figura 13). Oricine poate exercita programe fractale și poate genera fracturile lor. Arta autentică este în capacitatea de a găsi o combinație unică de culoare și formă.

Fractali în literatură. Printre lucrările literare se găsesc, care posedă natură fractală, adică prin structura de auto-similitudine:

1. "Iată casa.

Care a construit Jack.

Dar grâu.

Care a construit mufa

Dar pasărea mesager-tit,

Care fură pe grâu,

Care este în stocarea chulana întunecată

Care a construit Jack ... ".

Samuel Marshark.

2. Fles Big Biting Flew

Flea Tech - Baby-Crumbs,

După cum se spune, ad infinitum.

Jonathan Swift

Fractali în medicină.Corpul uman constă dintr-o varietate de structuri fractale: sânge, sisteme limfotice și nervoase, mușchi, bronhi etc. (Figura 14, 15).

Fractali în fizică și mecanică.Modelele fractale ale obiectelor naturale vă permit să simulați diferite fenomene fizice și să faceți prognoze.

Inginerul american Nathan Cohen, care a trăit în centrul orașului Boston, unde a fost interzisă instalarea antenelor externe, tăiați o figură sub forma unei curbe Koch dintr-o folie de aluminiu, blocați-o pe o foaie de hârtie și atașată la receptor . Sa dovedit că o astfel de antenă nu funcționează mai rău decât de obicei. Și, deși principiile fizice ale unei astfel de antene nu au fost încă studiate, acest lucru nu a împiedicat Cohen să-și justifice propria companie și să-și stabilească eliberarea de serie. ÎN acest moment Firma americană "Sistemul de antenă fractală" produce antena fractală pentru telefoanele mobile.

Fractali în natură.Natura creează adesea fractaluri uimitoare și excelente, cu o geometrie perfectă și o astfel de armonie, care doar mor de admirație. Și aici sunt exemplele lor:

- scoici;

Subspecii de conopidă (Brassica Caulliflora), Fern;

Penaj de păun;

https://pandia.ru/text/80/404/images/image009_13.jpg "align \u003d" stânga "lățime \u003d" 237 "înălțime \u003d" 178 src \u003d "\u003e

Copac de la frunze la rădăcină.

https://pandia.ru/text/80/404/images/image011_13.jpg "alt \u003d" (! Lang: Imaginea 7 din 122" align="left" width="168" height="113 src=">!}

Fractalii sunt peste tot și oriunde în natură în jurul nostru. Întregul univers este construit prin legi surprinzător de armonioase cu precizie matematică. Este posibil să vă gândiți după aceea că planeta noastră este o prindere aleatorie a particulelor?

Munca practica

Copac fractal.Cu ajutorul barei de instrumente "desen" a programului Microsoft Word și a conversiilor inacceptabile ale grupului, copierii și inserției, mi-am construit copacul fractal. Cinci segmente situate într-o anumită fel au devenit contorul fractalului meu.
.jpg "lățime \u003d" 449 înălțime \u003d 303 "Înălțime \u003d" 303 "\u003e

Figura 8. Arborele Pitagore

Figura 9. Serpinsky Square

Figura 10. Newton Fractal

Figura 11. Multe Julia

Figura 12. Fractal "Plasma"

https://pandia.ru/text/80/404/images/image028_2.jpg "width \u003d" 480 Înălțime \u003d 299 "Înălțime \u003d" 299 "\u003e

Figura 14. Sistemul sanguin uman

Figura 15. Cluster de celule nervoase

Fractalii sunt deja cunoscuți de aproape un secol, bine studiați și au numeroase aplicații în viață. Cu toate acestea, baza acestui fenomen este o idee foarte simplă: frumusețea infinită și varietatea de multe cifre pot fi obținute de la modele relativ simple folosind doar două operații - copierea și scalarea.

Evgeny Epifanov.

Ce este comun cu copacul, țărmurile mării, norii sau vasele de sânge din mâna noastră? La prima vedere, se pare că toate aceste obiecte nu sunt unite. Cu toate acestea, de fapt, există o proprietate a structurii inerente tuturor subiecților enumerați: sunt auto-ca. Din ramură, ca de la trunchiul unui copac, progestația este mai mică, de la ei sunt chiar mai mici, etc., adică ramura este similară cu întregul copac. Sistemul sanguin este similar în același mod: arteriolele sunt îndepărtate de artere și sunt cele mai mici capilare, conform căreia oxigenul intră în organe și țesuturi. Să ne uităm la fotografiile spațiale ale coastei mării: vom vedea golfurile și peninsula; Aruncați o privire la el, dar din vederea ochilor ai păsărilor: vom fi goluri și căi vizibile; Acum, imaginați-vă că stăm pe plajă și privim picioarele: vor exista întotdeauna pietricele care depășesc în continuare restul. Adică, linia de coastă cu o creștere a scării rămâne similară cu cea însăși. Această proprietate a obiectelor este americană (totuși, dând în Franța) Matematică Benoit Mandelbrot numită Fracticalitate și astfel de obiecte - fractale (de la fragmentul latin - rupt).

Acest concept nu are o definiție strictă. Prin urmare, cuvântul "fractal" nu este un termen matematic. În mod tipic, fractalul se numește o formă geometrică care satisface una sau mai multe dintre următoarele proprietăți: Are structura complexă Cu orice creștere a scalei (în contrast, de exemplu, o linie dreaptă, orice parte a cărei parte este cea mai simplă segment geometric). Este (aproximativ) auto-ca. Are o dimensiune fracționată Hausdorf (fractală), care este mai topologică. Pot fi construite prin proceduri recursive.

Geometrie și algebră

Studiul fractalilor la rândul secolelor XIX și XX a fost mai degrabă un caracter episodic, mai degrabă decât un caracter sistematic, deoarece matematica anterioară au studiat în principal obiectele "bune" care au fost conduse de cercetări folosind metode și teorii generale. În 1872, matematicianul german Karl Weiershtrass construiește un exemplu de funcție continuă care nu este diferențiată nicăieri. Cu toate acestea, construcția sa a fost în întregime abstractă și dificil de perceput. Prin urmare, în 1904, Swede Helge Von Koh a venit cu o curbă continuă, care nicăieri nu are nici un tangent și este destul de simplu să o tragi. Sa dovedit că posedă proprietățile fractalului. Una dintre opțiunile pentru această curbă este numele "Snowflake Koch".

Ideile de auto-similitudinea cifrelor au luat francezul Paul Pierre Levi, viitorul mentor Benoian Mandelbrot. În 1938, articolul său "curbe și suprafețe plate și spațiale constând din părți ca un întreg" a ieșit, în care este descris un alt fractal - curba C a Levi. Toate aceste fractale de mai sus pot fi atribuite condiționat unei clase de fractale structurale (geometrice).

O altă clasă este fracturile dinamice (algebrice) la care setul de Mandelbroke. Primele studii din această direcție au început la începutul secolului al XX-lea și sunt asociate cu numele matematicienilor francezi ai Gaston Zhulia și Pierre Fata. În 1918, a ieșit aproape două sute de memorii Juulia, dedicată iterațiilor de funcții raționale complexe, care descrie seturile de Julia - o întreagă familie de fractali, strâns legată de o multitudine de Mandelbrot. Această lucrare a fost premiată Academia franceză.Cu toate acestea, nu a conținut nici o ilustrație, deci era imposibil să se evalueze frumusețea obiectelor deschise. În ciuda faptului că această lucrare a glorificat Zhulia printre matematicienii din acea vreme, au uitat destul de repede despre ea. Din nou, atenția asupra acesteia a apelat la doar o jumătate de secol mai târziu, cu apariția computerelor: au fost cei care au făcut bogăția și frumusețea vizibilă a lumii fractalului.

Dimensiune fractală

După cum se cunoaște, dimensiunea (numărul de măsurători) a formei geometrice este numărul de coordonate necesare pentru a determina poziția punctului care se află pe această figură.
De exemplu, poziția punctului de pe curbă este determinată de o coordonată, pe suprafață (nu neapărat plan) cu două coordonate, în spațiu tridimensional cu trei coordonate.
Cu un punct de vedere matematic mai general, este posibil să se determine dimensiunea în acest fel: o creștere a dimensiunilor liniare, să spunem, de două ori, pentru o singură dimensiune (din punct de vedere topologic) de obiecte (segment) duce la O creștere a mărimii (lungime) de două ori, pentru o aceeași dimensiune (pătrată), aceeași creștere a dimensiunilor liniare conduce la o creștere a dimensiunii (zona) de 4 ori, pentru tridimensională (cubic) - de 8 ori. Aceasta este, dimensiunea "reală" (așa-numita Hausdorfov) poate fi calculată sub forma relației dintre logaritmul crește în "dimensiunea" obiectului la logaritm pentru o creștere a dimensiunii sale liniare. Adică pentru segmentul D \u003d log (2) / log (2) \u003d 1, pentru planul d \u003d log (4) / log (2) \u003d 2, pentru volumul d \u003d Log (8) / Log (2 ) \u003d 3.
Acum calculam dimensiunea curbei KOC, pentru a construi care un singur segment este împărțit în trei părți egale și înlocuiți intervalul mediu cu un triunghi echilateral fără acest segment. Cu o creștere a dimensiunilor liniare ale segmentului minim, de trei ori lungimea curbei Koch în jurnalul (4) / log (3) ~ 1.26. Asta este, dimensiunea curbei Koch - Fractional!

Știință și art

În 1982, a fost publicată cartea Mandelbrot "geometria fractală a naturii", în care autorul a adunat și a sistematizat aproape toate informațiile privind fracturile și într-o manieră ușoară și accesibilă subliniată la acel moment. Principalul accent în prezentarea lui Mandelbrot nu a făcut formulele grele și structurile matematice, ci pe intuiția geometrică a cititorilor. Datorită ilustrațiilor obținute folosind un computer și bicicletele istorice, pe care autorul a diluat cu îndemânare componenta științifică a monografiei, cartea a devenit bestseller, iar fracturile au devenit cunoscute publicului larg. Succesul lor printre nonmatici se datorează în mare măsură faptului că, cu ajutorul unor modele și formulele foarte simple care pot înțelege studentul de liceu, sunt obținute complexitatea și frumusețea uimitoare a imaginii. Atunci când computerele personale au devenit suficient de puternice, chiar o întreagă direcție în artă a apărut - pictura fractală și aproape orice proprietar al calculatorului ar putea face acest lucru. Acum, pe Internet puteți găsi cu ușurință multe site-uri dedicate acestui subiect.

Schema de obținere a unei curbe Koch

Razboi si pace

După cum sa menționat mai sus, unul dintre obiectele naturale având proprietăți fractale este linia de coastă. Cu el sau mai degrabă, cu o încercare de a măsura lungimea sa, este conectat interesanta povestecare a căzut înapoi articol științific Mandelbrot, și, de asemenea, descris în cartea sa "geometria fractală a naturii". Vorbim despre experiment, care a pus Lewis Richardson - un matematician, fizician și meteorolog foarte talentat și excentric. Una dintre direcțiile cercetării sale a fost o încercare de a găsi o descriere matematică a motivelor și a probabilității unui conflict armat între cele două țări. Printre parametrii pe care i-a luat în considerare a fost durata frontierei globale a două țări războinice. Când a colectat date pentru experimente numerice, a descoperit că în diferite surse date privind granița totală a Spaniei și Portugaliei diferă foarte mult. A intrat peste ea pe următoarea descoperire: lungimea frontierelor țării depinde de conducătorul, pe care le măsuram. Cu cât este mai mică scara, cu atât se obține o margine mai lungă. Acest lucru se datorează faptului că, cu o creștere mai mare, devine posibilă luarea în considerare a tuturor coturilor noi și noi ale coastei, care au fost ignorate anterior din cauza rudeness a măsurătorilor. Și dacă, cu fiecare creștere a scalei, nu se iau în considerare în continuare linii, se dovedește că lungimea limitelor nesfârșite! Adevărat, de fapt, acest lucru nu se întâmplă - acuratețea măsurătorilor noastre are o limită finală. Acest paradox se numește efectul lui Richardson.

Fracții structurale (geometrice)

Algoritmul pentru construirea unui fractal constructiv în cazul general. Mai întâi de toate, avem nevoie de două forme geometrice adecvate, să le numim bazele și fragmentul. În prima etapă, este descrisă baza viitorului fractal. Apoi, unele dintre părțile sale sunt înlocuite cu un fragment realizat pe o scară adecvată - aceasta este prima iterație a construcției. Apoi, cifra rezultată din nou, unele părți se schimbă în figurile similare cu fragmentul etc. Dacă continuați acest proces la infinit, atunci limita va fi fractală.

Luați în considerare acest proces cu privire la exemplul curbei KOC (consultați introducerea pe pagina anterioară). Ca bază a curbei Koch, puteți lua orice curbă (pentru "Koch Snowflakes" este un triunghi). Dar ne vom limita la cel mai simplu caz - segment. Fragment - rupt descris pe partea de sus în imagine. După prima iterație a algoritmului în acest caz, segmentul inițial coincide cu fragmentul, atunci fiecare dintre componentele segmentelor sale în sine va fi înlocuită cu o ruptă, similară cu fragmentul și așa mai departe. Figura arată primele patru pașii acestui proces.

Limba matematică: fractalul dinamic (algebric)

Fractalii de acest tip apar în studiul sistemelor dinamice neliniare (prin urmare și numele). Comportamentul unui astfel de sistem poate fi descris de o funcție neliniară complexă (polinomică) f (z). Luați un fel de punct de plecare Z0 pe planul complex (vezi inserția). Luați în considerare acum o astfel de secvență infinită de numere pe planul complex, fiecare dintre care este obținut din cea precedentă: Z0, Z1 \u003d F (Z0), Z2 \u003d F (Z1), ... Zn + 1 \u003d F (Zn) . În funcție de punctul de plecare Z0, această secvență se poate comporta în moduri diferite: să se străduiască pentru infinit la n -\u003e ∞; converg la un punct final; să ia ciclic o serie de valori fixe; Opțiunile mai complexe sunt posibile.

Numere complexe

Un număr complex este un număr format din două părți - valabil și imaginar, adică suma formală x + iy (x și y aici sunt numere reale). Eu sunt așa-numita. unitate imaginară, adică adică numărul care satisface ecuația i ^2 \u003d -1. Peste numere complexe, operațiile matematice de bază sunt definite - adăugarea, multiplicarea, divizarea, scăderea (numai operațiunea de comparație nu este definită). O reprezentare geometrică este adesea folosită pentru a afișa numere complexe - în plan (se numește complexă) de-a lungul axei Abscisa, partea actuală este contractată și de-a lungul axei ordonatorului - imaginar, cu numărul complex pe care îl va corespunde Punctul cu coordonatele carteziei X și Y.

Astfel, orice punct z al planului complex are propriul lor caracter de comportament în iterațiile funcției F (Z), iar întregul plan este împărțit în părți. În același timp, punctele situate pe limitele acestor părți posedă o astfel de proprietate: cu o deplasare arbitrar scăzută, natura comportamentului lor se schimbă dramatic (astfel de puncte se numesc puncte de bifurcare). Deci, se pare că multe puncte având un anumit tip de comportament, precum și multe puncte de bifurcare au adesea proprietăți fractale. Acesta este seturile din Zhulia pentru funcția F (Z).

Dragon Family.

Variază baza și fragmentul, puteți obține o varietate uimitoare de fractaluri structurale.
Mai mult, astfel de operațiuni pot fi efectuate în spațiu tridimensional. Exemple de fractale volumetrice pot servi drept "Menger", "Piramida Serpinsky" și alții.
Fracturile structurale includ familia Dragonului. Uneori sunt chemați de numele descoperirilor "dragonilor lui Hayweaea-Harter" (ele seamănă cu dragonii chinezi). Există mai multe modalități de a construi această curbă. Cel mai simplu și mai vizual unul dintre ei este: trebuie să luați o bandă destul de lungă de hârtie (subțire hârtia, cu atât mai bine) și să o îndoiți în jumătate. Apoi îndoiți-l de două ori din nou în aceeași direcție ca și prima dată. După mai multe repetări (de obicei după cinci sau șase, banda de pliere devine prea groasă, astfel încât să poată fi cu atenție mai mult) Trebuie să rupeți banda înapoi și să încercați să fiți în poziție în secțiunile de pliuri 90˚. Apoi profilul se dovedește curba dragonului. Desigur, se va apropia doar, ca toate încercările noastre de a descrie obiecte fractale. Computerul vă permite să prezentați mult mai mulți pași ai acestui proces și, ca rezultat, se dovedește o figură foarte frumoasă.

Mandelbrot Multe sunt oarecum diferite. Luați în considerare funcția FC (Z) \u003d Z2 + C, unde C este un număr complex. Construim secvența acestei funcții cu Z0 \u003d 0, în funcție de parametrul cu acesta poate fi dispersat la infinit sau rămân limitat. În acest caz, toate valorile cu, în care această secvență este limitată, formează doar un set de Mandelbrot. A fost studiat în detaliu de Mandelbrom și alți matematicieni, care au deschis o mulțime de proprietăți interesante ale acestui set.

Se poate observa că definițiile seturilor de Julia și Mandelbrot sunt similare unul cu celălalt. De fapt, aceste două seturi sunt strâns legate. Anume, setul de Mandelbrot este toate valorile parametrului complex C, în care se conectează setul de Julia FC (Z) (se numește un set conectat dacă nu poate fi rupt în două părți non-ciclism, cu unele suplimentare condiții).

Fractali și viața

În zilele noastre, teoria fractală este folosită pe scară largă în diferite domenii ale activității umane. În plus față de facilitatea pur științifică pentru cercetare și vopsire fractală deja menționată, fractalii sunt utilizați în teoria informațiilor pentru comprimarea datelor grafice (aici este folosită aici proprietatea fractală de auto-similitudine - la urma urmei, să-și amintească un mic fragment din Desen și transformări, cu care pot fi obținute alte părți, mult mai puțin memorie decât stocarea întregului fișier). Adăugarea la formulele care specifică o perturbare fractală, aleatoare, poate fi obținută prin fracturi stochastice, care sunt foarte plauzibile pentru a transmite unele obiecte reale - elemente ale reliefului, suprafața rezervoarelor, unele plante care se aplică cu succes în fizică, geografie și computer Grafice pentru a obține o mai mare asemănare a elementelor simulate cu reale. În radioelectronică, antenele, având o formă fractală, a început să producă antene în ultimul deceniu. Luând un spațiu mic, ele oferă o recepție de semnal de înaltă calitate. Economiștii folosesc fractali pentru a descrie curbele curbei curbură valută (această proprietate a fost deschisă de Mandelbrotom cu mai mult de 30 de ani în urmă). Pe aceasta vom completa această mică excursie la frumusețea uimitoare și varietatea lumii fractalelor.

Fractali în lumea din jurul nostru.

Efectuat: Student de clasa a IX-a

MBOU KIROVSKAYA Sosh.

Lituanko Ekaterina Nikolaevna.
Lider: profesor de matematică

MBOU KIROVSKAYA Sosh.

Kacoon Natalia Nikolaevna.

Introducere ................................................. ........................ 3.

Obiect de studiu.

Obiecte de cercetare.

Ipoteze.

Obiective, obiective și metode de cercetare.

Parte de cercetare. ................................................. 7.

Găsirea unei legături între fractale și un triunghi al lui Pascal.

Găsirea legăturii între fractale și o secțiune de aur.

Găsirea unei conexiuni între fractale și numerele figurate.

Găsirea comunicării între fractale și opere literare.

3. Aplicarea practică a fractalului .................................. 13

4. Concluzie ............................................... ................... .. 15.

4.1 Rezultatele cercetării.

5. Bibliografie ............................................... .............................. .. 16.

Introducere

Obiect de cercetare: Fractali .

Când majoritatea oamenilor păreau că geometria în natură se limitează la astfel de figuri simple ca o linie, un cerc, o secțiune conică, un poligon, o sferă, o suprafață patrată, precum și combinațiile lor. De exemplu, ceea ce ar putea fi mai frumos decât afirmația că planetele din sistemul nostru solar se mișcă în jurul soarelui pe orbitele eliptice?

Cu toate acestea, multe sisteme naturale sunt atât de complexe și neregulate încât utilizarea numai a obiectelor familiare de geometrie clasică pentru modelul lor pare fără speranță. Cum, de exemplu, construiți un model al unei game montane sau a unei coroane de copac în termenii geometriei? Cum să descrieți varietatea configurațiilor biologice pe care le observăm lumea plantelor și a animalelor? Imaginați-vă complexitatea sistemului circulator care constând dintr-o varietate de capilare și vase de sânge și sânge care livrează în fiecare celulă a corpului uman. Imaginați-vă cât de a aranjați cu hittrophic lumina și rinichii, asemănătoare copacilor cu o coroană ramificată.

Dinamica unor sisteme naturale reale poate fi la fel de complexă și neregulată. Cum să abordăm modelarea cascadelor cascade sau a proceselor turbulente care determină vremea?

Fractalii și haosul matematic sunt instrumente adecvate pentru studiul problemelor. Termen fractal.se referă la o anumită configurație geometrică statică, cum ar fi o imagine instantanee a unei cascade. Haos - Termenul dinamica utilizată pentru a descrie fenomenele similare comportamentului meteorologic turbulent. Adesea, ceea ce observăm în natură, ne intră în repetarea infinită a aceluiași model, mărită sau redusă la cât timp. De exemplu, copacul are sucursale. Pe aceste ramuri există ramuri mai mici etc. Teoretic, elementul "ramificație" se repetă infinit de mai multe ori, devenind mai puțin și mai puțin. Același lucru poate fi văzut, privindu-se la fotografia de relief montan. Încercați o imagine mai apropiată de o creastă de munte - veți vedea din nou munții. Deci, se manifestă caracteristica proprietății fractalului auto-similare.

În multe lucrări despre fractale, auto-similitudinea este folosită ca o proprietate definitorie. După Benoit Madelbrot, acceptăm punctul de vedere, conform căruia fracturile ar trebui să fie determinate în ceea ce privește dimensiunea fractală (fracționată). Prin urmare, originea cuvântului fractal. (de la Lat. fragmentul. - Fractional).

Conceptul de dimensiune fracțională este un concept complex care este stabilit în mai multe etape. Direct este un obiect unidimensional, iar avionul este bidimensional. Dacă este destul de răsucire directă și plan, puteți îmbunătăți dimensiunea configurației rezultate; În același timp, noua dimensiune va fi, de obicei, fracționată într-un sens, pe care trebuie să o clarificăm. Combinația de dimensiune fracționată și auto-similitudine este că, cu ajutorul auto-similitudine, multe dimensiuni fracționare pot fi construite în cel mai simplu mod. Chiar și în cazul fracturilor mult mai complexe, cum ar fi limita unui set de mandelbrioni, atunci când nu există o auto-similaritate pură, există aproape o repetare completă a formei de bază într-o formă tot mai redusă.

Cuvântul "Fractal" nu este un termen matematic și nu are o definiție matematică strictă acceptată. Acesta poate fi utilizat atunci când cifra luată în considerare, are unele dintre proprietățile enumerate mai jos:

Multidimensionalitatea teoretică (poate fi continuată în orice număr de măsurători).

Dacă luați în considerare un mic fragment dintr-o figură obișnuită pe o scară foarte mare, va fi similară cu un fragment drept. Fragmentul fractal pe scară largă va fi același ca în orice altă scară. Pentru fractal, o creștere a scalei nu duce la o simplificare a structurii, pe toate scalele vom vedea aceeași imagine complexă.

Este auto-ca și aproximativ auto-auto, fiecare nivel este similar cu un întreg

Lungimea, pătratele și volumele unui fractal sunt zero, altele - contactați Infinity.

Are o dimensiune fracționată.

Tipuri de fractale: algebrice, geometrice, stochastice.

Algebric Fractalii sunt cel mai mare grup de fractali. Le primesc folosind procese neliniare în spații n-dimensionale, cum ar fi Mandelbrot și Julia.

Al doilea grup fractal - geometric Fractali. Istoria fractalului a început cu fractale geometrice, care au fost studiate de matematicieni în secolul al XIX-lea. Fractalii din această clasă sunt cele mai vizuale, deoarece sunt imediat vizibile pentru auto-similitudine. Acest tip de fractal este obținut prin construcții geometrice simple. La construirea acestor fractale, se iau în mod obișnuit un set de segmente, pe baza căruia va fi construită fractal. Apoi, acest set este utilizat de un set de reguli care le convertește în orice formă geometrică. Apoi, același set de reguli se aplică fiecărei părți a acestei cifre. Cu fiecare pas, cifra va deveni mai complicată și mai dificilă și dacă prezentați un număr infinit de astfel de operațiuni, se obține un fractal geometric.

Dreptul de figură arată triunghiul lui Serpinsky - un fractal geometric, care este format după cum urmează: În primul pas, vedem triunghiul obișnuit, în pasul următor, mijlocul părților este conectat, formând 4 triunghiuri, dintre care una este inversat. Apoi, repetăm \u200b\u200boperația făcută cu toate triunghiurile, cu excepția inversate și atât de nedefinite.

Exemple de fractale geometrice:

1.1 STAR Koch.

La începutul secolului al XX-lea al matematicii, astfel de curbe căutau astfel de curbe care nu sunt tangente în orice moment. Acest lucru a însemnat că curba se schimbă dramatic direcția și, în plus, cu o mare viteză mare (derivatul este egal cu infinitul). Căutarea acestor curbe a fost cauzată doar de matematicieni de interes inactiv. Faptul este că la începutul secolului al XX-lea, mecanica cuantică sa dezvoltat foarte violent. Cercetătorul M. Browon a atras traiectoria particulelor suspendate în apă și a explicat acest fenomen ca: atomii de lichid în mișcare aleatoriu sunt loviți pe particulele suspendate și, prin urmare, le-au condus în mișcare. După o astfel de explicație a mișcării browene înainte de oamenii de știință, sarcina de a găsi o astfel de curbă, care ar apropia cel mai bine mișcarea particulelor brownice. Pentru aceasta, curba trebuia să îndeplinească următoarele proprietăți: nu au un tangențial în niciun moment. Matematica KOH a oferit o astfel de curbă. Nu vom explica regulile pentru construcția sa, ci pur și simplu dau imaginea sa din care totul devine clar. O proprietate importantă pe care se posedă granița fulgiului de zăpadă a lui Koch ... lungimea ei nesfârșită. Poate părea uimitor pentru că suntem obișnuiți să ne ocupăm de curbe din cursul analizei matematice. De obicei, curbele netede din punct de vedere scurt, au întotdeauna o lungime finită (pe care vă puteți asigura integrarea). Mandelbrot în această privință a publicat o serie de lucrări fascinante, în care este investigată problema măsurării duratei de coastă britanică. Ca model, el a folosit o curbă fractală asemănătoare cu granița fulgilor de zăpadă, cu excepția faptului că a introdus un element de șansă care ia în considerare accidentul în natură. Ca urmare, sa dovedit că curba care descrie linia de coastă are o lungime infinită.

Sponge Menger.

O altă clasă fractală faimoasă este stochastic. Fractalii care sunt obținuți dacă în procesul iterativ schimbă aleatoriu orice parametri. În același timp, obiectele sunt foarte asemănătoare cu copacii naturali asimetrici, linii de coastă robuste etc. .

Obiecte de cercetare

Triunghi Pascal.

W.
construcția triunghiului Pascal este laturile laterale ale unității, fiecare număr este egal cu suma a două deasupra acesteia. Triunghiul poate fi continuat pe o perioadă nedeterminată.

Triunghiul lui Pascal servește la calcularea coeficienților de protecție a aspectului formei (x + 1) n. Pornind de la triunghi de la unități, calculați valorile pe fiecare nivel secvențial prin adăugarea de numere adiacente; Acesta din urmă a pus o unitate. Astfel, este posibil să se determine, de exemplu, că (x + 1) 4 \u003d 1x 4 + 4x 3 + 6x2 + 4x + 1x 0.

Numerele figure.

Pythagoras Pentru prima dată, în VI î.Hr., a atras atenția asupra faptului că, ajutându-se cu scorul pietricelor, oamenii construiesc uneori pietre în figurile potrivite. Poți doar să pui pietricele la rând: una, două, trei. Dacă le puneți în două rânduri, astfel încât dreptunghiurile să fie obținute, vom constata că toate numerele chiar sunt obținute. Puteți să așezați pietre în trei rânduri: numerele împărțite la trei sunt obținute. Orice număr care este împărțit în ceva poate fi reprezentat de un dreptunghi, iar numai numerele simple nu pot fi "dreptunghiuri".

Numerele liniare sunt numere care nu se descompun în factori, adică rândul lor coincide cu o serie de numere prime, o unitate suplimentată: (1,2,3,5,7,1,13,17,19,23 ,. ..). Acestea sunt numere simple.

Numere plate - numere reprezintabile sub forma unei lucrări de doi factori (4,6,8,9,10,12,14,15, ...)

Clauza numere - numere exprimate de activitatea a trei instalații (8,12,18,20,24,27,28, ...), etc.

Numere poligonale:

Numere triunghiulare: (1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, ...)

Numerele pătrate sunt un produs de două numere identice, adică sunt pătrate complete: (1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ..., N2, ...)

Numere pentagonale: (1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, ...)

Numere hexagonale (1, 6, 15, 28, 45, ...)

Secțiunea de aur ..

Secțiunea de aur (proporție de aur, diviziune în scopuri extreme și de mijloc, diviziune armonică, număr de fidiy) - împărțirea mărimii continue în părți în astfel de priveri, în care cea mai mare parte a modului în care se referă la o modalitate mai mică, deoarece întreaga valoare este mai mare . În imaginea din stânga, punctul C produce secțiunea de aur a segmentului AB, dacă: a C: AB \u003d SV: au.

Această proporție se face pentru a desemna scrisoarea greacă. . Este egal cu 1.618. Din această proporție, se poate observa că cu o secțiune de aur, lungimea segmentului mai mare este lungimile geometrice medii ale întregului segment și partea sa mai mică. Părțile secțiunii de aur sunt de aproximativ 62% și 38% din segmentul total. Cu numărul asociat secvenței întregi Fibonacci. : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... adesea găsite în natură. Acesta este generat de raportul recurent F. n + 2. \u003d F. n + 1. + F. n. din condiții inițiale F. 1 \u003d F. 2 = 1.

Un monument literar antic în care se constată divizarea unui segment în raport cu secțiunea de aur este "începutul" Euclidea. Deja în a doua carte "Început" Euclidea construiește o secțiune de aur și, în viitor, îl aplică pentru a construi unii dintre poligoanele și poliedra corectă.

Ipoteze:

Există o legătură între fractali și

triunghi Pascal.

secțiunea de aur.

cifre cifre.

opere literare

1.4 Obiectiv:

1. Aprinde ascultătorii cu noua ramură a matematicii - fractali.

2. Discutați sau dovediți ipotezele stabilite în muncă.

Sarcini de cercetare:

Lucrați și analizați literatura de specialitate.

Luați în considerare diferite tipuri de fractale.

Colectați colecția de imagini fractale pentru familiarizarea primară cu lumea fracturilor.

Instalați relația dintre triunghiul lui Pascal, lucrări literare, numerele figure și o secțiune de aur.

Metode de cercetare:

Teoretic (studiu și analiza teoretică a literaturii științifice și speciale; rezumarea experienței);

Practic (pregătirea calculelor, generalizarea rezultatelor).

Parte de cercetare.

2.1 Găsirea unei legături între fractale și un triunghi al Pascalului.

Triunghiul triunghiului Pascal Serpinsky

Când evidențiați numerele impare în triunghiul Pascal, se obține triunghiul lui Serpin. Modelul demonstrează proprietățile coeficienților utilizați în "aritmeticia" programelor de calculator care le convertește în ecuații algebrice.

2.1 Găsirea unei conexiuni între fractale și o secțiune de aur.

Dimensiunea fracturilor.

Dacă priviți din punct de vedere matematic, dimensiunea este definită după cum urmează.

Pentru obiecte unic dimensionale - o creștere de 2 ori a dimensiunilor liniare duce la o creștere a dimensiunilor (în acest caz de lungime) de 2 ori, adică la 21 de ani.

Pentru obiecte bidimensionale, o creștere de 2 ori dimensiunile liniare duce la o creștere a dimensiunii (zona) de 4 ori, adică. la 2 2. Să dăm un exemplu. Dan Dan de Radius R, apoi S \u003d π r 2 .

Dacă creșteți de 2 ori raza, atunci: S1 \u003d π (2 r) 2 ; S 1 \u003d 4π r. 2 .

Pentru obiecte tridimensionale, o creștere de 2 ori a dimensiunilor liniare duce la o creștere a volumului de 8 ori, adică 2 3.

Dacă luăm un cub, apoi v \u003d A 3, V "\u003d (2a) 3 \u003d 8A; V" / V \u003d \u200b\u200b8.

Cu toate acestea, natura nu respectă întotdeauna aceste legi. Să încercăm să luăm în considerare dimensiunea obiectelor fractale pe un exemplu simplu.

Imaginați-vă că zbura vrea să stea pe încurcătura de lână. Când se uită la ea de departe, el vede doar un punct, al cărui dimensiune este 0. Glisat mai aproape, ea vede mai întâi cercul, dimensiunea 2, și apoi mingea - dimensiunea 3. Când zbura stă pe încurcătură , ea nu va vedea mingea, dar va căuta Villlin, fire, goliciune, adică. Obiect cu dimensiune fracționată.

Dimensiunea obiectului (indicatorul gradului) arată modul în care zona sa internă este în creștere. În mod similar, creșterea creșterii fractalelor cu creșterea dimensiunii. Oamenii de știință au ajuns la concluzia că fractalul este un set cu dimensiune fracțională.

Fractalii ca. obiecte matematice a apărut din cauza nevoilor cunoștințe științifice În descrierea teoretică adecvată a sistemelor naturale din ce în ce mai complexe (cum ar fi gama de munte, coasta, coroana lemnului, cascada cascadă, fluxul de aer turbulent în atmosferă etc.) și, în cele din urmă, în modelarea matematică a naturii în general. Iar secțiunea Crucii de Aur este cunoscută, este una dintre cele mai vibrante și durabile manifestări ale armoniei naturale. Prin urmare, este foarte posibil să se identifice relația obiectelor menționate anterior, adică. Detectați o secțiune transversală a aurului în teoria fractalului.

Amintiți-vă că secțiunea de aur este determinată de expresie
(*) Și este singura rădăcină pozitivă ecuația pătrată.
.

Numerele de Fibonacci 1,1,2,3,5,8,13,21 sunt strâns legate de secțiunea de aur, fiecare dintre acestea fiind suma celor două cele anterioare. Într-adevăr, valoarea este marginea unui număr compus din relația dintre numerele vecine Fibonacci:
,

Și valoarea - marginea unui rând compus din relațiile numerelor Fibonacci luate printr-un singur lucru:

Fractalul se numește o structură constând din părți ca un întreg. Conform unei alte definiții, fractalul este un obiect geometric cu dimensiune fracționată (nemechanică). În plus, fractalul apare întotdeauna ca urmare a unei secvențe infinite de același tip de operații geometrice prin construcția sa, adică Este o consecință a tranziției limită, care se referă la secțiunea de aur, care reprezintă, de asemenea, limita unei serii numerice infinite. În cele din urmă, dimensiunea fractalului este de obicei un număr irațional (ca o secțiune de aur).

Având în vedere cele de mai sus, detectarea faptului că dimensiunea multor fractale clasice cu un grad de precizie poate fi exprimată printr-o secțiune transversală de aur nu este surprinzătoare. Deci, de exemplu, rapoartele pentru dimensiunile lui Snowflakes KOH d. SC. \u003d 1,2618595 ... și bureți de îmbinare d. GM. \u003d 2.7268330 ..., luând în considerare (*) poate fi înregistrată în formular
și
.

Mai mult, prima eroare de expresie este de numai 0,004%, iar a doua expresie este de 0,1% și luând în considerare raportul elementar 10 \u003d 2,5 rezultă că valorile d. SC. și d. GM. Există combinații ale secțiunii de aur și numerele Fibonacci.

Dimensiunea covorului lui Serpinsky d. KS. \u003d 1,5849625 ... și praful cantorului d. PC. \u003d 0.6309297 ... De asemenea, poate fi considerat aproape de valoarea la secțiunea de aur:
și
. Eroarea acestor expresii este de 2%.

Dimensiunea teoriei fractalelor utilizate pe scară largă în aplicațiile fizice (de exemplu, în studiul convecției termice) a unui set de cantor neuniform (în două scară) (lungimea segmentelor de formare -
și
- aparțin reciproc ca număr de Fibonacci:
) , dar d. Mk. \u003d 0,6110 ... diferă de dimensiune
Numai cu 1%.

Astfel, secțiunea de aur și fracturile sunt interdependente.

2.2 Găsirea legăturii între fractale și numerele cifrei .

Luați în considerare fiecare grup de numere.

Primul număr este 1. Următorul număr este 3. Se obține prin adăugarea la numărul anterior, 1, două puncte, astfel încât cifra dorită să devină un triunghi. În al treilea pas, adăugăm trei puncte, păstrând o figură triunghi. La etapele ulterioare, se adaugă n puncte, unde n este numărul ordinal al numărului triunghiular. Fiecare număr este obținut prin adăugarea la numărul anterior de puncte. O formulă recurentă pentru numere triunghiulare a fost obținută din această proprietate: t n \u003d n + t n -1.

Primul număr este 1. Următorul număr este 4. Se obține prin adăugarea a 3 puncte la numărul anterior sub forma unui unghi direct pentru a face pătratul. Formula pentru numere pătrate este foarte simplă, iese din numele acestui grup de numere: g n \u003d n2. Dar, de asemenea, în plus față de această formulă, este posibil să se obțină formula recurentă pentru numere pătrate. Pentru a face acest lucru, luați în considerare primele cinci numere pătrate:

g n \u003d g n-1 + 2N-1

2 \u003d 4 \u003d 1 + 3 \u003d 1 + 2 · 2-1

g 3 \u003d 9 \u003d 4 + 5 \u003d 4 + 2 · 3-1

g 4 \u003d 16 \u003d 9 + 7 \u003d 9 + 2,4-1

g 5 \u003d 25 \u003d 16 + 9 \u003d 16 + 2,5-1

Primul număr este 1. Următorul număr este 5. Se obține prin adăugarea a patru puncte, astfel că cifra rezultată ia forma unui pentagon. O parte a unui astfel de pentagon conține 2 puncte. În următorul pas pe o parte vor exista 3 puncte, numărul total de puncte - 12. Să încercăm să ieșim formula pentru calcularea numerelor pentagonale. Primele cinci numere pentagonale: 1, 5, 12, 22, 35. Acestea sunt formate după cum urmează:

f 2 \u003d 5 \u003d 1 + 4 \u003d 1 + 3 · 2-2

f n \u003d f n-1 + 3n-2

3 \u003d 12 \u003d 5 + 7 \u003d 5 + 3 · 3-2

f 4 \u003d 22 \u003d 12 + 10 \u003d 12 + 3 · 4-2

f 5 \u003d 35 \u003d 22 + 13 \u003d 22 + 3,5-2

Primul număr este 1. În al doilea rând - 6. Figura arată ca un hexagon cu o parte de 2 puncte. În a treia etapă, 15 puncte sunt deja construite sub forma unui hexagon cu o parte de 3 puncte. Retrage formula recurentă:

u n \u003d u n-1 + 4N-3

2 \u003d 6 \u003d 1 + 4 · 2-3

u 3 \u003d 15 \u003d 6 + 4 · 3-3

u 4 \u003d 28 \u003d 15 + 4 · 4-3

u 5 \u003d 45 \u003d 28 + 4 · 5-3

Dacă arătați mai atent, atunci puteți observa conexiunea dintre toate formulele recurente.

Pentru numerele triunghiulare: t n \u003d t n -1 + n \u003d t. n. -1 +1 n. -0

Pentru numere pătrate: g n \u003d g. n. -1 +2 n. -1

Pentru numere pentagonale: f n \u003d f. n. -1 +3 n. -2

Pentru numere hexagonale: u n \u003d u. n. -1 +4 n. -3

Vedem că numerele curbate sunt construite pe repetabilitate: este clar vizibilă pe formulele recurente. Putem susține în siguranță că numerele curat se bazează pe o structură fractală.

2.3 Găsirea unei legături între fractale și lucrări literare.

Luați în considerare fractalul exact ca o operă de artă și caracterizată prin două caracteristici principale: 1) O parte din ea este într-un fel similară cu un întreg (în mod ideal, această secvență de similitudine se aplică infinității, deși nimeni nu a văzut vreodată o secvență foarte infinită de iterații Construirea unei fulgi de zăpadă; 2) Percepția lui vine pe secvența unor nivele imbricate. Rețineți că farmecul fractal are loc doar pe calea acestui nivel fascinant și amețit, revenirea cu care nu este garantată.

Cum pot crea text nesfârșit? Această problemă a fost adresată de eroul povestii lui X.-L. Burhes "Grădina traseului divergent": "... m-am întrebat cum cartea ar putea fi infinită. În plus, nimic nu vine în minte, cu excepția ciclicului, mersul pe Tom, volumul, în care ultima pagină repetă primul lucru care îi permite să continue cât de mult doriți. "

Să vedem ce pot exista alte soluții.

Cel mai simplu text infinit va fi textul dintr-un număr infinit de elemente duplicate sau bobs care repeta parte din care este "coada" - același text cu orice număr de versete inițiale aruncate. Schematic, un astfel de text poate fi reprezentat sub forma unui copac nelegat sau al secvenței periodice de versiuni repetitive. Unitatea de text - fraza, stanza sau povestea începe, se dezvoltă și se termină, revenirea la punctul de plecare, punctul de tranziție către următoarea unitate de text repetând una originală. Un astfel de text poate fi asemănat cu infinit periodic Fraci.: 0,33333 ..., poate fi în continuare scris ca 0, (3). Se poate observa că tăierea "capului" - orice număr de unități inițiale, nu va schimba nimic, iar "coada" va coincide cu exactitate cu întregul text.

Undentificator de copac fără sfârșit nesfârșit de la orice cuplu.

Printre astfel de lucrări infinite - poezii pentru copii sau cântece populare, cum ar fi, de exemplu, poezia despre pop și câinele său din poezia populară rusă sau poezia lui M. Syasnova "ScareCrow-Meadow", spunând despre pisoiul care cântă Un pisoi care cântă despre pisoi. Sau, cel mai scurt: "Preotul a fost curtea, a fost o miză pe curte, a fost urinat pe cocs - să nu înceapă mai întâi un basm? ... Pop a fost curtea ..."

Mă duc și văd podul, sub coada maro,
Am luat cârligele din spatele coastei, am pus-o pe pod, lăsău să se înece.
Mă duc și văd podul, se îneacă pe pod,
Am luat croși pentru coadă, am pus-o sub pod, lăsău să zboare ...

Spre deosebire de versiunile infinite, fragmentele de fractale ale Mandelbrotului nu sunt încă identice, ci sunt similare unul cu celălalt, și această calitate și îi conferă farmecul fascinant. Prin urmare, în studiul fracturilor literare, se confruntă cu sarcina de a căuta o astfel de asemănare (și nu identitate) a elementelor text.

În cazul intervalelor nesfârșite, înlocuirea identității asupra similitudinii a fost efectuată în diferite moduri. Puteți da cel puțin două posibilități: 1) Crearea de poezii cu variații, 2) texte cu incremente.

Poezii cu variații sunt, de exemplu, lansate în cifra de afaceri a s.nikitin și care a devenit un cântec popular "Peggy a trăit o gâscă veselă", în care Peggin înconjoară și obiceiurile lor variază.

Peggy a trăit o gâscă veselă,

Știa toate melodiile cu inima.

Ah, ce este o gâscă veselă!

Purtați, Peggy, uzură!

Peggy a trăit un catelus amuzant,

Putea să danseze sub desenul său.

Ah, la ce un catelus amuzant!

Purtați, Peggy, uzură!

Peggy are o girafă subțire,

Era eleganță, ca un dulap,

E o girafă subțire!

Purtați, Peggy, uzură!

Peggy a trăit un pinguin amuzant,

El a distins toate vinurile,

Ah, la ce pinguin amuzant!

Purtați, Peggy, uzură!

Peggy a trăit un elefant vesel,

A luptat pe SyncroPhasotron,

Ei bine, ce este un elefant vesel,

Deșurubați, Peggy, uzură! ..

Deja, dacă nu infinit, atunci un număr destul de mare de brutari: ei susțin că caseta "Cântecele secolului nostru" au ieșit cu două variante de cântece și, probabil, numărul continuă să crească. Infinitatea versetelor identice este încercarea de a depăși datorită faptului că a fost aclacabil, copilaș, naiv și amuzant.

O altă oportunitate se află în texte cu "incremente". Aceștia sunt cei care ne sunt cunoscuți din copilărie o corpul de repa sau un Kolobkin, în fiecare episod din care crește numărul de caractere:

"Teremok"

Muha-combustibil.
Muha-Gully, Komar-Piskun.
Muha-Torjukha, Komar-Piskun, Mouse-Norushi.
Muha-Gulf, Komar-Piskun, Mouse-Norushka, Kubashka Frog.
Muha-Torry, țânțar Piskun, mouse-Norushka, broască cutuană, iepuraș de pompare.
Muha-Gulf, Mosquito-Piskun, Mouse-Norushi, Kubashka Frog, Bunny - Pumpharchik, Sora Fox.
Mukha-Torry, Mosquito-Piskun, Nomeshka de mouse, broasca cutuoara, Bunny - Pumpharchik, Fox-surors, coada gri-gri.
Muha-Torry, Komar-Piskun, Mouse-Norushi, Frog-Kubashka, Bunny - Pumpharchik, Fox-sora, coada gri-gri, urs, dati tuturor.

Astfel de texte au structura "pomului de Crăciun" sau "Matryoshki", în care fiecare nivel repetă cea anterioară cu creșterea dimensiunii imaginii.

Lucrarea poetică în care fiecare vehicul poate fi citit independent, ca o "podea" separată a pomului de Crăciun, precum și împreună, făcând un text care se dezvoltă de la unul la altul și, mai departe spre natură, pace și universul, creat de T.wasilee:

Acum, cred că putem concluziona că există lucrări literare cu o structură fractală.

3. Aplicarea practică a fracturilor

Fractalii sunt folosiți din ce în ce mai mult în domeniul științei. Principalul motiv pentru aceasta este că descriu lumea reală uneori chiar mai bună decât fizica tradițională sau matematică. Aici sunt cateva exemple:

SISTEME INFORMATICE

Utilizarea cea mai utilă a fracturilor în domeniul informaticii este compresia fractală a datelor. Baza acestui tip de compresie este faptul că lumea reală este bine descrisă de geometria fractală. În același timp, imaginile sunt comprimate mult mai bine decât acest lucru se face prin metode convenționale (cum ar fi JPEG sau GIF). Un alt avantaj al compresiei fractale este că, cu o creștere a imaginii, efectul pixelizării nu este observat (creșterea dimensiunii punctelor la dimensiuni care denaturează imaginea). Cu compresie fractală, după o creștere, imaginea arată adesea chiar mai bună decât înainte de el.

Mecanica lichidelor

1. Studiul turbulențelor în fluxuri este foarte bine adaptat pentru fractali. Curentele turbulente sunt haotice și, prin urmare, sunt greu de simulat simplu. Și aici ajută trecerea la reprezentarea fractală. Ceea ce facilitează foarte mult activitatea inginerilor și fizicienilor, permițându-le să înțeleagă mai bine dinamica fluxurilor complexe.

2. Folosind fractali, puteți simula și limbile flacără.

3. Materialele poroase sunt bine reprezentate în formă fractală datorită faptului că au o geometrie foarte complexă. Se utilizează în știința petrolului.

Telecomunicații

Antenele sunt utilizate pentru transmiterea datelor la distanțe, având forme fractale, ceea ce reduce foarte mult dimensiunea și greutatea acestora.

Fizică Suprafețe

Fractalii sunt utilizați pentru a descrie curbura suprafețelor. Suprafața neuniformă se caracterizează printr-o combinație de două fractale diferite.

MEDICAMENT

1. Interacțiuni chicoensorii.

2. inimile

BIOLOGIE

Simularea proceselor haotice, în special atunci când descrieți modelele populației.

4. Concluzie

4.1 Rezultatele cercetării

În munca mea, nu toate domeniile cunoașterii umane sunt date, unde și-au găsit utilizarea teoriei fractale. Vreau doar să spun că nu mai mult de o treime din secolul de la apariția teoriei, dar în acest timp, fractalii pentru mulți cercetători au devenit o lumină puternică strălucitoare în noapte, care a iluminat decisivi și modele necunoscute în anumite zone de date. Folosind teoria fractalului a început să explice evoluția galaxiilor și dezvoltarea celulei, apariția munților și formarea de nori, mișcarea prețurilor la bursa și dezvoltarea societății și a familiei. Poate că, la prima dată, această pasiune fractală a fost chiar prea violentă și încercările de a explica totul cu ajutorul teoriei fractalelor au fost nejustificate. Dar, fără îndoială, această teorie are dreptul de a exista.

În munca mea am colectat informații interesante La fractale, tipurile, dimensiunea și proprietățile lor, la utilizarea lor, precum și triunghiul lui Pascal, numerele figure, secțiunea de aur, la lucrările literare fractale și multe alte lucruri.

Următoarea lucrare a fost făcută în timpul studiului:

Analiza și a elaborat literatura pe tema cercetării.

Au fost luate în considerare și studiate diferite tipuri de fractale.

O colecție de imagini fractale este colectată pentru familiarizarea primară cu lumea fracturilor.

Sunt stabilite relațiile dintre fractale și triunghiul lui Pascal, lucrări literare, numerele figurate și o secțiune de aur.

M-am asigurat că cei care sunt angajați în fractali, frumoși, o lume minunata, în care matematica, natura și domnia artei. Cred că după cunoștință cu munca mea, tu, ca mine, asigurați-vă că matematica este frumoasă și uimitoare.

5. Ca:

1. Bogkin S.V., Părshin D.A. Fractali și multifractici. Izhevsk: NIC "dinamica regulată și haotică", 2001. - 128С.

2. Voloshinov A. V. Matematică și Artă: KN. Pentru cei care nu numai că iubesc matematica și arta, dar dorește, de asemenea, să se gândească la natura frumoasei și frumuseții științei. A doua ed., Drap. si adauga. - M.: Iluminare, 2000. - 399С.

3. Gardner M. A. Matematică nespecială. Kaleidoscop puzzle-uri. M.: AST: AUTEL, 2008. - 288C.: IL.

4. Grinchenko V. T., Matshapura V.T., SnAriarky A.a. Introducere în dinamica neliniară. Haos și fractal
. Editura: Lki, 2007 264 pp.

5. Litinsky G.I. Funcții și grafică. A doua publicație. - M.: Aslan, 1996. - 208C.: Il.

6. Morozov A. D. Introducere în teoria fractalului. Editura: editor. Universitatea Nizhny Novgorod., 2004.

7. Richard M. Crima Fractali și Chaos în sistemele dinamice Introducere în fractale și haos.
Editura: Tehnosphere, 2006. 488 pp.

8. înconjurător nemira. Ca corpuri solide cu desemnate clar ... Găsiți programul de formare și vizionare fractali, explorați și construiți mai multe fractali. Literatură 1.A.I. Azevich "Douăzeci ...