Definiția incrementului. Curs de curs

1. creșterea argumentului și creșterea funcției.

Să se dea o funcție. Să luăm două valori ale argumentului: inițială și modificat, care este de obicei notat
Unde - suma cu care se modifică argumentul la trecerea de la prima valoare la a doua, se numește prin incrementarea argumentului.

Valorile argumentelor și corespund valorilor funcției specifice: inițiale și modificat
, valoarea , prin care valoarea funcției se modifică atunci când argumentul se modifică cu o sumă, este apelat creșterea funcției.

2. conceptul de limită a unei funcții la un punct.

Număr se numește limita funcției
când tindem la dacă pentru orice număr
există un astfel de număr
asta pentru toti
satisfacerea inegalității
, inegalitatea
.

A doua definiție: Un număr este numit limita unei funcții ca având tendința de a, dacă pentru orice număr există o vecinătate a punctului astfel încât pentru oricare dintre aceste vecinătăți. Notat
.

3. funcții infinit de mari și infinitesimale la un punct. O funcție infinitesimală la un punct este o funcție a cărei limită atunci când tinde spre un punct dat este zero. O funcție infinit de mare într-un punct este o funcție a cărei limită atunci când tinde spre un punct dat este egală cu infinitul.

4. principalele teoreme despre limite și consecințele acestora (fără dovezi).

consecință: factorul constant poate fi scos din semnul limită:

Dacă secvențele și converg și limita secvenței este diferită de zero, atunci

consecință: factorul constant poate fi scos din semnul limită.

11.dacă există limitele funcțiilor pentru
și
iar limita funcției este diferită de zero,

atunci există și o limită a relației lor, raport egal limitele funcțiilor și:

.

12. dacă este
atunci
, și invers este adevărat.

13. teorema asupra limitei secvenței intermediare. Dacă secvențele
convergent și
și
atunci

5. limita funcției la infinit.

Numărul a se numește limita unei funcții la infinit (deoarece x tinde spre infinit) dacă pentru orice secvență care tinde spre infinit
corespunde o succesiune de valori care tind către numărul dar.

6. glimits secvență numerică.

Număr dar se numește limita unei secvențe numerice dacă pentru orice număr pozitiv va fi numar natural N astfel încât pentru toți n> N inegalitatea se menține
.

Aceasta este definită simbolic după cum urmează:
corect.

Faptul că numărul dar este limita secvenței, notată după cum urmează:

.

7. numărul „e”. logaritmi naturali.

Număr „E” reprezintă limita unei secvențe numerice, n- al cărui membru
, adică

.

Logaritm natural - logaritm cu bază e. se notează logaritmi naturali
fără a specifica baza.

Număr
vă permite să plecați de la logaritm zecimal spre natural și înapoi.

, se numește modulul de tranziție de la logaritmi naturali la zecimal.

8. limite remarcabile
,

.

Prima limită remarcabilă:

astfel la

prin teorema limitei secvenței intermediare

a doua limită remarcabilă:

.

Pentru a dovedi existența limitei
folosiți lema: pentru orice număr real
și
inegalitatea este adevărată
(2) (pt
sau
inegalitatea se transformă în egalitate.)

Secvența (1) poate fi scrisă după cum urmează:

.

Acum considerați o secvență auxiliară cu un termen comun
asigurați-vă că scade și este delimitat de jos:
în cazul în care un
, apoi secvența scade. În cazul în care un
, apoi secvența este mărginită de jos. Să arătăm acest lucru:

în virtutea egalității (2)

adică
sau
... Adică secvența scade, deoarece secvența este mărginită de jos. Dacă secvența este descrescătoare și delimitată de jos, atunci are o limită. Atunci

are o limită și o secvență (1), deoarece

și
.

L. Euler a numit această limită .

9. limite unilaterale, decalaj funcțional.

numărul A este limita din stânga dacă următoarele sunt adevărate pentru orice secvență :.

numărul A este limita corectă dacă următoarele sunt adevărate pentru orice secvență :.

Dacă la punctul respectiv dar aparținând domeniului definiției funcției sau a limitei acesteia, se încalcă condiția de continuitate a funcției, apoi punctul dar se numește punct de discontinuitate sau discontinuitate al unei funcții.

12. suma termenilor descrescătorului infinit progresie geometrică. O progresie geometrică este o secvență în care relația dintre membrii următori și anteriori rămâne neschimbată, această relație se numește numitorul progresiei. Suma primului n membrii unei progresii geometrice se exprimă prin formula
este convenabil să folosiți această formulă pentru o progresie geometrică descrescătoare - o progresie în care valoarea absolută a numitorului său este mai mică decât zero. - primul membru; - numitorul progresiei; - numărul membrului preluat al secvenței. Suma unei progresii descrescătoare infinite este un număr la care suma primilor membri ai unei progresii descrescătoare se apropie nelimitat cu o creștere nelimitată a numărului.
t. despre. Suma termenilor unei progresii geometrice infinit descrescătoare este .

Fie x o gheață de punct arbitrară într-un vecinătate a unui punct fix x 0. diferența x - x 0 se numește de obicei creșterea variabilei independente (sau creșterea argumentului) la punctul x 0 și se notează cu Δx. În acest fel,

Δx = x –x 0,

de unde rezultă că

Incrementare funcție - diferența dintre cele două valori ale funcției.

Să funcția la = f (x), definit atunci când valoarea argumentului este egală cu X 0. Dați argumentului o creștere D X, ᴛ.ᴇ. considerați valoarea argumentului egală X 0 + D X... Să presupunem că această valoare a argumentului se află și în sfera acestei funcții. Apoi diferența D y = f (x 0 + D X) – f (x 0) este obișnuit să apelați funcția increment. Incrementarea funcției f(X) la punct X este o funcție notată de obicei cu Δ x f din noua variabilă Δ X definit ca

Δ x f(Δ X) = f(X + Δ X) − f(X).

Găsiți creșterea argumentului și creșterea funcției la punctul x 0, dacă

Exemplul 2. Găsiți creșterea funcției f (x) = x 2 dacă x = 1, ∆x = 0,1

Soluție: f (x) = x 2, f (x + ∆x) = (x + ∆x) 2

Găsiți incrementul funcției ∆f = f (x + ∆x) - f (x) = (x + ∆x) 2 - x 2 = x 2 + 2x * ∆x + ∆x 2 - x 2 = 2x * ∆x + ∆x 2 /

Înlocuind valorile x = 1 și ∆х = 0.1, obținem ∆f = 2 * 1 * 0.1 + (0.1) 2 = 0.2 + 0.01 = 0.21

Găsiți creșterea argumentului și creșterea funcției la punctul x 0

2.f (x) = 2x 3.x 0 = 3 x = 2.4

3.f (x) = 2x 2 +2 x 0 = 1 x = 0.8

4.f (x) = 3x + 4 x 0 = 4 x = 3.8

Definiție: Derivat funcție la un moment dat, este obișnuit să se apeleze limita (dacă există și este finită) a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, cu condiția ca acesta din urmă tinde la zero.

Următoarele denumiri derivate sunt cele mai frecvent utilizate:

În acest fel,

Găsirea derivatului se numește de obicei diferenţiere ... Introdus definirea funcției diferențiabile: O funcție f care are o derivată în fiecare punct al unui anumit interval se numește de obicei diferențiată pe un interval dat.

Să fie definită o funcție într-un anumit vecinătate a unui punct. Derivata unei funcții se numește de obicei un număr astfel încât o funcție într-un vecinătate U(X 0) poate fi reprezentat ca

f(X 0 + h) = f(X 0) + Ah + o(h)

dacă există.

Determinarea derivatei unei funcții într-un punct.

Să funcția f (x) definit în interval (a; b), și sunt punctele acestui interval.

Definiție... Funcție derivată f (x) la un moment dat, este obișnuit să se apeleze la limita raportului creșterii funcției la creșterea argumentului la. Este indicat.

Când ultima limită capătă o valoare finală specifică, atunci ei vorbesc despre existență derivata finală la punct... Dacă limita este infinită, atunci ei spun asta derivata este infinită la un punct dat... Dacă limita nu există, atunci derivatul funcției nu există în acest moment.

Funcţie f (x) se numește diferențiat la un moment în care are o derivată finită la el.

Dacă funcția f (x) diferențiat în fiecare punct al unui anumit interval (a; b), atunci funcția se numește diferențiată pe acest interval. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, orice punct X din mijloc (a; b) putem asocia valoarea derivatei funcției în acest moment, adică avem posibilitatea de a defini o nouă funcție, care se numește derivată a funcției f (x) pe interval (a; b).

Operația de găsire a unei derivate se numește de obicei diferențiere.

în fizica medicală și biologică

CONFERINȚA Nr. 1

FUNCȚIA DERIVATIVĂ ȘI DIFERENȚIALĂ.

DERIVATE PRIVATE.

1. Conceptul de derivat, semnificația sa mecanică și geometrică.

dar ) Incremente de argumente și funcții.

Să se dea funcția y = f (x), unde x este valoarea argumentului din domeniul funcției. Dacă alegem două valori ale argumentului xo și x dintr-un anumit interval al domeniului funcției, atunci diferența dintre cele două valori ale argumentului se numește creșterea argumentului: x - xo = ∆x .

Valoarea argumentului x poate fi determinată prin x 0 și creșterea acestuia: x = x o + ∆x.

Diferența dintre două valori ale funcției se numește creșterea funcției: ∆y = ∆f = f (x o + ∆x) - f (x o).

Creșterea argumentului și funcției poate fi reprezentată grafic (Fig. 1). Creșterile argumentelor și creșterile funcției pot fi fie pozitive, fie negative. După cum urmează din Fig. 1, din punct de vedere geometric, creșterea argumentului ∆х este reprezentată de creșterea absciselor, iar creșterea funcției ∆у este reprezentată de creșterea ordonatei. Calculul creșterii funcției trebuie efectuat în următoarea ordine:

dați argumentului o creștere ∆x și obțineți valoarea - x + ∆x;

2) găsim valoarea funcției pentru valoarea argumentului (x + ∆x) - f (x + ∆x);

3) găsim creșterea funcției ∆f = f (x + ∆x) - f (x).

Exemplu: Determinați creșterea funcției y = x 2 dacă argumentul s-a schimbat de la x o = 1 la x = 3. Pentru punctul x o valoarea funcției f (x o) = x² o; pentru punctul (x о + ∆х) valoarea funcției f (x о + ∆х) = (x о + ∆х) 2 = x² о + 2х о ∆х + ∆х 2, de unde ∆f = f (x о + ∆х) –f (х о) = (х о + ∆х) 2 –х² о = х² о + 2х о ∆х + ∆х 2 –х² о = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆f = 2х о ∆х + ∆х 2; ∆х = 3-1 = 2; ∆f = 2 1 2 + 4 = 8.

b)Sarcini care conduc la conceptul de derivat. Definiția unui derivat, semnificația sa fizică.

Conceptul de argument și creșterea funcției este necesar pentru a introduce conceptul de derivată, care a apărut istoric pe baza necesității de a determina viteza anumitor procese.

Luați în considerare modul în care puteți determina viteza de mișcare rectilinie. Lăsați corpul să se miște în linie dreaptă conform legii: ∆Ѕ =  · ∆t. Pentru mișcare uniformă:  = ∆Ѕ / ∆t.

Pentru mișcarea variabilă, valoarea ∆Ѕ / ∆t determină valoarea av. , adică cf. = ∆Ѕ / ∆t. Dar viteza medie nu face posibilă reflectarea trăsăturilor mișcării corpului și oferă o idee despre viteza reală la momentul t. Cu o scădere a intervalului de timp, adică ca ∆t → 0, viteza medie tinde la limita sa - viteza instantanee:

 instantaneu =
 cf. =
∆Ѕ / ∆t.

Viteza instantanee a unei reacții chimice este determinată în același mod:

 instantaneu =
 cf. =
∆х / ∆t,

unde x este cantitatea de substanță formată în timpul unei reacții chimice în timpul t. Sarcini similare pentru determinarea vitezei diferitelor procese au condus la introducerea conceptului de derivată a unei funcții în matematică.

Să se dea o funcție continuă f (x), definită pe intervalul] a, în [și creșterea sa ∆f = f (x + ∆x) –f (x).
este o funcție a lui ∆x și exprimă rata medie de schimbare a funcției.

Limita raportului , când ∆х → 0, cu condiția să existe această limită, se numește derivată a funcției :

y "x =

.

Derivatul este notat:
- (prim x curs); f " (x) - (cursa ef de x) ; y "- (liniuță); dy / dх – (de igrek po de iks); - (joc cu punct).

Pe baza definiției derivatei, putem spune că viteza instantanee a mișcării rectilinii este derivata în timp a căii:

 instantaneu = S "t = f " (t).

Astfel, putem concluziona că derivata funcției în raport cu argumentul x este rata de schimbare instantanee a funcției f (x):

y "x = f " (x) =  instantaneu.

Acesta este sensul fizic al derivatului. Procesul de găsire a unei derivate se numește diferențiere, astfel încât expresia „diferențiază o funcție” este echivalentă cu expresia „găsește derivata unei funcții”.

în)Semnificația geometrică a derivatului.

P
derivata funcției y = f (x) are o semnificație geometrică simplă asociată cu conceptul de tangentă la o linie curbată la un moment dat M. Mai mult, tangenta, adică o linie dreaptă este exprimată analitic ca y = kx = tanx, unde, – unghiul de înclinare al tangentei (liniei drepte) față de axa X. Să reprezentăm o curbă continuă în funcție de y = f (x), luăm un punct M pe curbă și un punct M 1 aproape de ea dă o secantă prin ele. Panta sa la sec = tan β = Dacă punctul М 1 este adus mai aproape de M, atunci creșterea argumentului ∆х va tinde la zero, iar secanta de la β = α va lua poziția tangentei. Din Fig. 2 rezultă: tgα =
tgβ =
= y "x. Dar tgα este egal cu panta tangentei la graficul funcției:

k = tgα =
= y "x = f " (X). Deci, panta tangentei la graficul funcției la un punct dat este egală cu valoarea derivatei sale la punctul de tangență. Acesta este sensul geometric al derivatului.

d)Regula generală pentru găsirea derivatului.

Pe baza definiției unei derivate, procesul de diferențiere a unei funcții poate fi reprezentat după cum urmează:

f (x + ∆x) = f (x) + ∆f;

găsiți incrementul funcției: ∆f = f (x + ∆x) - f (x);

compuneți raportul dintre creșterea funcției și creșterea argumentului:

;

Exemplu: f (x) = x 2; f " (x) =?

Cu toate acestea, după cum se poate observa chiar din acest exemplu simplu, aplicarea secvenței specificate atunci când se iau derivate este un proces laborios și complex. Prin urmare, pentru diferite funcții, formule generale diferențiere, care sunt prezentate sub forma unui tabel „Formule de bază pentru diferențierea funcțiilor”.

În viață, nu ne interesează întotdeauna valorile exacte ale oricăror cantități. Uneori este interesant să cunoașteți modificarea acestei valori, de exemplu, viteza medie a autobuzului, raportul dintre cantitatea de mișcare și perioada de timp etc. Pentru a compara valoarea unei funcții la un moment dat cu valorile aceleiași funcții în alte puncte, este convenabil să se utilizeze concepte precum „funcție increment” și „argument increment”.

Conceptele de „increment de funcție” și „increment de argument”

Să presupunem că x este un punct arbitrar care se află într-o vecinătate a punctului x0. Incrementarea argumentului la punctul x0 este diferența x-x0. Incrementul este indicat după cum urmează: ∆х.

• ∆x = x-x0.

Uneori această valoare este numită și creșterea variabilei independente la punctul x0. Din formula rezultă: x = x0 + ∆x. În astfel de cazuri, se spune că valoarea inițială a variabilei independente x0 a primit o creștere ∆x.

Dacă schimbăm argumentul, atunci se va schimba și valoarea funcției.

• f (x) - f (x0) = f (x0 + ∆х) - f (x0).

Creșterea funcției f la punctul x0, diferența f (x0 + ∆x) - f (x0) se numește corespunzătoare incrementului ∆x. Incrementul unei funcții este notat ca ∆f. Astfel, obținem, prin definiție:

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0).

Uneori, ∆f se mai numește creșterea variabilei dependente și ∆y este folosit pentru a o indica dacă funcția a fost, de exemplu, y = f (x).

Semnificația geometrică a incrementului

Aruncați o privire la următoarea figură.

După cum puteți vedea, incrementul arată schimbarea ordonatei și absciselor punctului. Iar raportul dintre creșterea funcției și creșterea argumentului determină unghiul de înclinare a secantei care trece prin poziția inițială și finală a punctului.

Luați în considerare exemple de creșteri ale funcției și argumentelor

Exemplul 1. Găsiți creșterea argumentului ∆x și creșterea funcției ∆f în punctul x0, dacă f (x) = x 2, x0 = 2 a) x = 1,9 b) x = 2,1

Să folosim formulele date mai sus:

a) ∆х = х-х0 = 1,9 - 2 = -0,1;

• ∆f = f (1,9) - f (2) = 1,9 2 - 2 2 = -0,39;

b) ∆x = x-x0 = 2,1-2 = 0,1;

• ∆f = f (2.1) - f (2) = 2.1 2 - 2 2 = 0.41.

Exemplul 2. Calculați incrementul ∆f pentru funcția f (x) = 1 / x la punctul x0, dacă incrementul argumentului este egal cu ∆x.

Din nou, vom folosi formulele obținute mai sus.

• ∆f = f (x0 + ∆x) - f (x0) = 1 / (x0-∆x) - 1 / x0 = (x0 - (x0 + ∆x)) / (x0 * (x0 + ∆x)) = - ∆x / ((x0 * (x0 + ∆x)).

Definiția 1

Dacă pentru fiecare pereche $ (x, y) $ de valori a două variabile independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ z $, atunci $ z $ se spune că este o funcție a două variabile $ (x, y) $. Notare: $ z = f (x, y) $.

În ceea ce privește funcția $ z = f (x, y) $, luați în considerare conceptele de creștere generală (completă) și parțială a unei funcții.

Să se dea o funcție $ z = f (x, y) $ a două variabile independente $ (x, y) $.

Observația 1

Deoarece variabilele $ (x, y) $ sunt independente, una dintre ele se poate schimba, în timp ce cealaltă rămâne constantă.

Să acordăm variabilei $ x $ un increment de $ \ Delta x $, păstrând în același timp valoarea variabilei $ y $ neschimbată.

Atunci funcția $ z = f (x, y) $ va primi un increment, care se va numi increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de variabila $ x $. Desemnare:

În mod similar, să acordăm variabilei $ y $ un increment de $ \ Delta y $, păstrând în același timp valoarea variabilei $ x $.

Atunci funcția $ z = f (x, y) $ va primi un increment, care se va numi increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de variabila $ y $. Desemnare:

Dacă argumentului $ x $ i se dă creșterea $ \ Delta x $ și argumentul $ y $ - creșterea $ \ Delta y $, atunci creșterea completă a funcției date $ z = f (x, y) $ este obținut. Desemnare:

Astfel, avem:

$ \ Delta _ (x) z = f (x + \ Delta x, y) -f (x, y) $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = f (x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $;

$ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x, y) $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Exemplul 1

Decizie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $ - creșterea parțială a funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $;

$ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $ este creșterea parțială a funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $.

$ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Exemplul 2

Calculați coeficientul și creșterea totală a funcției $ z = xy $ la punctul $ (1; 2) $ pentru $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1 $.

Decizie:

Prin definiția creșterii private, găsim:

$ \ Delta _ (x) z = (x + \ Delta x) \ cdot y $ - increment parțial al funcției $ z = f (x, y) $ față de $ x $

$ \ Delta _ (y) z = x \ cdot (y + \ Delta y) $ - creșterea parțială a funcției $ z = f (x, y) $ față de $ y $;

Prin definiția creșterii complete, găsim:

$ \ Delta z = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) $ - creșterea completă a funcției $ z = f (x, y) $.

Prin urmare,

\ [\ Delta _ (x) z = (1 + 0.1) \ cdot 2 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) z = 1 \ cdot (2 + 0.1) = 2.1 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) = 1,1 \ cdot 2,1 = 2,31. \]

Observația 2

Incrementul total al unei funcții date $ z = f (x, y) $ nu este egal cu suma incrementelor sale parțiale $ \ Delta _ (x) z $ și $ \ Delta _ (y) z $. Notare matematică: $ \ Delta z \ ne \ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z $.

Exemplul 3

Verificați remarca afirmației pentru funcție

Decizie:

$ \ Delta _ (x) z = x + \ Delta x + y $; $ \ Delta _ (y) z = x + y + \ Delta y $; $ \ Delta z = x + \ Delta x + y + \ Delta y $ (obținut în exemplul 1)

Găsiți suma incrementelor parțiale ale funcției date $ z = f (x, y) $

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z = x + \ Delta x + y + (x + y + \ Delta y) = 2 \ cdot (x + y) + \ Delta x + \ Delta y. \]

\ [\ Delta _ (x) z + \ Delta _ (y) z \ ne \ Delta z. \]

Definiția 2

Dacă pentru fiecare triplu $ (x, y, z) $ a valorilor a trei variabile independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ w $, atunci se spune că $ w $ este o funcție a trei variabile $ ( x, y, z) $ în această zonă.

Denumire: $ w = f (x, y, z) $.

Definiție 3

Dacă pentru fiecare colecție $ (x, y, z, ..., t) $ de valori ale variabilelor independente dintr-o anumită regiune este asociată o anumită valoare de $ w $, atunci se spune că $ w $ este o funcție a variabilelor $ (x, y, z, ..., t) $ în acest domeniu.

Notare: $ w = f (x, y, z, ..., t) $.

Pentru o funcție de trei sau mai multe variabile, în același mod ca și pentru o funcție de două variabile, se determină creșteri parțiale pentru fiecare dintre variabile:

$ \ Delta _ (z) w = f (x, y, z + \ Delta z) -f (x, y, z) $ este creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z,. .., t) $ cu $ z $;

$ \ Delta _ (t) w = f (x, y, z, ..., t + \ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z, ..., t) $ cu $ t $.

Exemplul 4

Scrieți coeficientul și creșterea totală a unei funcții

Decizie:

Prin definiția creșterii private, găsim:

$ \ Delta _ (x) w = ((x + \ Delta x) + y) \ cdot z $ - creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ x $

$ \ Delta _ (y) w = (x + (y + \ Delta y)) \ cdot z $ - creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = (x + y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ z $;

Prin definiția creșterii complete, găsim:

$ \ Delta w = ((x + \ Delta x) + (y + \ Delta y)) \ cdot (z + \ Delta z) $ - creșterea completă a funcției $ w = f (x, y, z) $ .

Exemplul 5

Calculați coeficientul și creșterea totală a funcției $ w = xyz $ la punctul $ (1; 2; 1) $ pentru $ \ Delta x = 0,1; \, \, \ Delta y = 0,1; \, \, \ Delta z = 0,1 $.

Decizie:

Prin definiția creșterii private, găsim:

$ \ Delta _ (x) w = (x + \ Delta x) \ cdot y \ cdot z $ - creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ x $

$ \ Delta _ (y) w = x \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot z $ - creșterea parțială a funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ y $;

$ \ Delta _ (z) w = x \ cdot y \ cdot (z + \ Delta z) $ - increment parțial al funcției $ w = f (x, y, z) $ față de $ z $;

Prin definiția creșterii complete, găsim:

$ \ Delta w = (x + \ Delta x) \ cdot (y + \ Delta y) \ cdot (z + \ Delta z) $ - creșterea completă a funcției $ w = f (x, y, z) $.

Prin urmare,

\ [\ Delta _ (x) w = (1 + 0.1) \ cdot 2 \ cdot 1 = 2.2 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot (2 + 0.1) \ cdot 1 = 2.1 \] \ [\ Delta _ (y) w = 1 \ cdot 2 \ cdot (1 + 0,1) = 2,2 \] \ [\ Delta z = (1 + 0,1) \ cdot (2 + 0,1) \ cdot (1 + 0,1) = 1.1 \ cdot 2.1 \ cdot 1.1 = 2.541. \]

Din punct de vedere geometric, creșterea totală a funcției $ z = f (x, y) $ (prin definiție, $ \ Delta z = f (x + \ Delta x, y + \ Delta y) -f (x , y) $) este egal cu creșterea funcției aplicate a graficului $ z = f (x, y) $ la trecerea de la punctul $ M (x, y) $ la punctul $ M_ (1) (x + \ Delta x , y + \ Delta y) $ (Fig. 1).

Imaginea 1.