Cum se determină succesiunea. Secvență de numere

Secvenţă

Secvenţă- aceasta trusa elemente ale unui set:

pentru fiecare număr natural, puteți specifica un element din acest set;
acest număr este numărul elementului și indică poziția acestui element în succesiune;
pentru orice element (membru) al secvenței, puteți specifica următorul element al secvenței.

Deci succesiunea este rezultatul consistent selectarea elementelor unei mulţimi date. Și, dacă orice set de elemente este finit și vorbim de un eșantion de volum finit, atunci secvența se dovedește a fi un eșantion de volum infinit.

O secvență este, prin natura sa, un afișaj, așa că nu trebuie confundată cu un set care „se desfășoară” prin secvență.

În matematică sunt luate în considerare multe secvențe diferite:

serii temporale atât de natură numerică cât și nenumerică;
secvențe de elemente ale spațiului metric
secvenţe de elemente funcţionale spaţiale
succesiunea stărilor sistemelor de control și automatelor.

Scopul studierii tuturor tipurilor de secvențe este de a găsi modele, de a prezice stări viitoare și de a genera secvențe.

Definiție

Să fie dat un set de elemente de natură arbitrară. | Orice mapare a mulțimii de numere naturale la o mulțime dată este numită secvenţă(elementele setului).

Imaginea unui număr natural, și anume, a unui element, se numește - al membru al sau element de secvență, iar numărul ordinal al unui membru al secvenței este indicele acestuia.

Definiții înrudite

Dacă luăm o succesiune crescătoare de numere naturale, atunci aceasta poate fi considerată ca o succesiune de indici ai unei anumite secvențe: dacă luăm elementele șirului inițial cu indicii corespunzători (luați dintr-o succesiune crescătoare de numere naturale), atunci putem obține din nou o secvență, care se numește ulterior o secvență dată.

Comentarii (1)

În analiza matematică, un concept important este limita unei secvențe de numere.

Denumiri

Secvențe ale formei

se obișnuiește să scrieți compact folosind paranteze:

bretele sunt uneori folosite:

Permițând o oarecare libertate de exprimare, se pot lua în considerare și secvențe finite ale formei

care reprezintă imaginea segmentului iniţial al unei secvenţe de numere naturale.

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010.

Sinonime:

Vedeți ce este „Secvență” în alte dicționare:

SECVENŢĂ. În articolul IV Kireevsky „Secolul al XIX-lea” (1830) citim: „De la căderea Imperiului Roman până în vremurile noastre, iluminarea Europei ne apare într-o dezvoltare treptată și într-o succesiune neîntreruptă” (vol. 1, p. ...... Istoria cuvintelor

SECVENȚĂ, secvențe, pl. nu, soții. (carte). distrage. substantiv la consistent. O succesiune a unui fel de fenomene. Consecvența în schimbarea fluxului și refluxului. Consecvență în raționament. Dicţionar Ushakov...... Dicționarul explicativ al lui Ușakov

Consecvență, continuitate, consistență; rând, progresie, încheiere, serie, șir, succesiune, lanț, lanț, cascadă, releu; perseverență, validitate, recrutare, metodicitate, aranjament, armonie, perseverență, subsecvență, legătură, întorsătură, ... ... Dicţionar de sinonime

SECVENȚA, numere sau articole în ordine organizată. Secvențele pot fi finite (având un număr limitat de elemente) sau infinite, precum șirul complet de numere naturale 1, 2, 3, 4 .... ... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

SECVENȚA, un set de numere (expresii matematice etc.; se spune: elemente de orice natură), numerotate cu numere naturale. Secvența este scrisă ca x1, x2, ..., xn, ... sau în scurt timp (xi) ... Enciclopedie modernă

Unul dintre conceptele de bază ale matematicii. Sirul este format din elemente de orice natura, numerotate prin numere naturale 1, 2, ..., n, ..., si scrise sub forma x1, x2, ..., xn, ... sau scurt (xn ) ... Dicţionar enciclopedic mare

Secvenţă- SECVENȚA, un set de numere (expresii matematice etc.; se spune: elemente de orice natură), numerotate cu numere naturale. Secvența este scrisă ca x1, x2, ..., xn, ... sau pe scurt (xi). ... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

SECVENȚA și, soțiile. 1. vezi secvenţial. 2. La matematică: un set infinit ordonat de numere. Dicționarul explicativ al lui Ozhegov. SI. Ozhegov, N.Yu. Şvedova. 1949 1992... Dicționarul explicativ al lui Ozhegov

Engleză. succesiune / succesiune; limba germana Consequenz. 1. Ordinea de a urma unul după altul. 2. Unul dintre conceptele de bază ale matematicii. 3. Calitatea este corectă gandire logica, când să rum, raționamentul este lipsit de contradicții interne în una și aceeași ... ... Enciclopedia Sociologiei

Secvenţă- „o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale, a cărei mulțime de valori poate consta din elemente de orice natură: numere, puncte, funcții, vectori, mulțimi, variabile aleatoare etc., numerotate cu numere naturale... . Dicţionar de economie şi matematică

Cărți

Construim o secvență. pisoi. 2-3 ani,. Jocul „Pisici”. Construim o secvență. nivelul 1. Serie" Educatie prescolara„. Pisicuțe amuzante au decis să facă plajă pe plajă! Dar pur și simplu nu pot împărți locurile. Ajută-i să-și dea seama! ...

Specie y= f(X), X O N, Unde N- un set de numere naturale (sau o functie a unui argument natural), notat y=f(n) sau y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Valorile y 1 ,y 2 ,y 3 ,… sunt numite, respectiv, primul, al doilea, al treilea, ... membri ai secvenței.

De exemplu, pentru funcție y= n 2 se poate scrie:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Metode de stabilire a secvențelor. Secvențele pot fi specificate în diferite moduri, dintre care trei sunt deosebit de importante: analitice, descriptive și recurente.

1. O secvență este dată analitic dacă este dată formula n al-lea membru:

y n=f(n).

Exemplu. y n= 2n - 1 – o succesiune de numere impare: 1, 3, 5, 7, 9,...

2. Descriptiv modul de a specifica o secvență numerică este că explică din ce elemente este construită secvența.

Exemplul 1. „Toți membrii secvenței sunt egali cu 1”. Asta înseamnă, este vorba despre o secvență staționară 1, 1, 1,…, 1,….

Exemplul 2. „O succesiune este formată din toate numerele prime în ordine crescătoare”. Astfel, succesiunea dată este 2, 3, 5, 7, 11,…. Cu această metodă de setare a secvenței în acest exemplu este greu de răspuns care este, să zicem, al 1000-lea element al secvenței.

3. O modalitate recurentă de a specifica o secvență este că este specificată o regulă care vă permite să calculați n al-lea membru al secvenței, dacă membrii ei anteriori sunt cunoscuți. Numele mod recursiv provine din cuvântul latin se repetă- întoarce-te. Cel mai adesea, în astfel de cazuri, este indicată o formulă care permite să se exprime n--al-lea termen al secvenței prin cele anterioare și setați 1–2 membri inițiali ai secvenței.

Exemplul 1. y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 dacă n = 2, 3, 4,….

Aici y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Puteți vedea că secvența obținută în acest exemplu poate fi specificată și analitic: y n= 4n - 1.

Exemplul 2. y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n–1 dacă n = 3, 4,….

Aici: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Secvența din acest exemplu este studiată special în matematică, deoarece are o serie de proprietăți și aplicații interesante. Se numește șirul Fibonacci după matematicianul italian din secolul al XIII-lea. Este foarte ușor să definiți recursiv șirul Fibonacci, dar analitic este foarte dificil. n--lea număr Fibonacci este exprimat prin numărul său ordinal prin următoarea formulă.

La prima vedere, formula pentru n al-lea număr Fibonacci pare puțin probabil, deoarece formula care specifică o secvență numai de numere naturale conține rădăcini pătrate, dar puteți verifica „manual” validitatea acestei formule pentru primele câteva n.

Proprietăți ale secvențelor de numere.

O secvență numerică este un caz special al unei funcții numerice, prin urmare, o serie de proprietăți ale funcțiilor sunt luate în considerare și pentru secvențe.

Definiție . secvență ( y n} se numește crescător dacă fiecare dintre membrii săi (cu excepția primului) este mai mare decât cel anterior:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Definiție. Secvența ( y n} se numește descrescător dacă fiecare dintre membrii săi (cu excepția primului) este mai mic decât cel anterior:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Secvențele crescătoare și descrescătoare sunt unite printr-un termen comun - secvențe monotone.

Exemplul 1. y 1 = 1; y n= n 2 - succesiune crescătoare.

Astfel, următoarea teoremă este adevărată (o proprietate caracteristică a unei progresii aritmetice). O secvență numerică este aritmetică dacă și numai dacă fiecare dintre membrii săi, cu excepția primului (și ultimului în cazul unei secvențe finite), este egal cu media aritmetică a membrilor anterior și următor.

Exemplu. La ce valoare X numarul 3 X + 2, 5X- 4 și 11 X+ 12 formează o progresie aritmetică finită?

După proprietatea caracteristică, expresiile date trebuie să satisfacă relația

5X – 4 = ((3X + 2) + (11X + 12))/2.

Soluția acestei ecuații dă X= –5,5. Cu această valoare X expresii date 3 X + 2, 5X- 4 și 11 X+ 12 iau, respectiv, valori de –14,5, –31,5, –48,5. Acest - progresie aritmetică, diferența sa este –17.

Progresie geometrică.

O secvență numerică, a cărei toți membrii sunt nenuli și fiecare membru al cărei, începând cu al doilea, se obține din termenul anterior prin înmulțirea cu același număr. q, se numește progresie geometrică, iar numărul q- numitorul unei progresii geometrice.

În acest fel, progresie geometrică Este o secvență numerică ( b n) definită recursiv prin relaţiile

b 1 = b, b n = b n –1 q (n = 2, 3, 4…).

(bși q - numere date, b ≠ 0, q ≠ 0).

Exemplul 1.2, 6, 18, 54, ... - creșterea progresiei geometrice b = 2, q = 3.

Exemplul 2. 2, –2, 2, –2,… – progresie geometrică b= 2,q= –1.

Exemplul 3. 8, 8, 8, 8, ... – progresie geometrică b= 8, q= 1.

O progresie geometrică este o succesiune crescătoare dacă b 1 > 0, q> 1 și descrescătoare dacă b 1> 0, 0 q

Una dintre proprietățile evidente ale unei progresii geometrice este că, dacă o secvență este o progresie geometrică, atunci o secvență de pătrate, adică.

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2, ... este o progresie geometrică, al cărei prim termen este b 1 2, iar numitorul este q 2 .

Formulă n- al treilea termen al progresiei geometrice are forma

b n= b 1 q n– 1 .

Puteți obține o formulă pentru suma membrilor unei progresii geometrice finite.

Să fie dată o progresie geometrică finită

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

lăsa S n - suma membrilor săi, adică

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Se presupune că q Nr. 1. A determina S n se aplică un truc artificial: se efectuează unele transformări geometrice ale expresiei S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

În acest fel, S n q= S n +b n q - b 1 și deci

Aceasta este o formulă cu ummah n membri ai unei progresii geometrice pentru cazul când q≠ 1.

La q= 1, formula poate fi omisă separat, este evident că în acest caz S n= A 1 n.

Progresia geometrică este denumită deoarece fiecare termen din ea, cu excepția primului, este egal cu media geometrică a membrilor anteriori și următori. Într-adevăr, din moment ce

b n = b n- 1 q;

b n = b n + 1 / q,

prin urmare, b n 2= b n– 1 b n + 1 și următoarea teoremă este adevărată (proprietatea caracteristică a unei progresii geometrice):

o secvență numerică este o progresie geometrică dacă și numai dacă pătratul fiecăruia dintre membrii săi, cu excepția primului (și ultimului în cazul unei secvențe finite), este egal cu produsul dintre membrii anterioare și următorii.

Limită de secvență.

Să existe o secvență ( c n} = {1/n}. Această succesiune se numește armonică, deoarece fiecare dintre membrii săi, începând cu al doilea, este media armonică dintre membrii anteriori și următorii. Media geometrică a numerelor Ași b există un număr

În caz contrar, succesiunea se numește divergentă.

Pe baza acestei definiții, se poate dovedi, de exemplu, existența limitei A = 0 secvență armonică ( c n} = {1/n). Fie ε un număr pozitiv arbitrar mic. Se ia în considerare diferența

Există așa ceva N asta pentru toata lumea n ≥ N inegalitatea 1 / N? Dacă luăm ca N orice numar natural depăşind 1/ε apoi pentru toti n ≥ N inegalitatea 1 / n ≤ 1/ N ε, Q.E.D.

Este uneori foarte dificil să demonstrezi că o secvență are o limită. Cele mai comune secvențe sunt bine studiate și sunt enumerate în cărțile de referință. Există teoreme importante care ne permit să concluzionam că o anumită secvență are o limită (și chiar să o calculăm), pe baza șirurilor deja studiate.

Teorema 1. Dacă o secvență are o limită, atunci este mărginită.

Teorema 2. Dacă o secvență este monotonă și mărginită, atunci are o limită.

Teorema 3. Dacă șirul ( un n} are o limită A, apoi secvențele ( poate sa}, {un n+ s) și (| un n|} au limite cA, A +c, |A| respectiv (aici c- un număr arbitrar).

Teorema 4. Dacă secvențele ( un n} și ( b n) au limite egale cu Ași B tigaie + qb n) are o limită pA+ qB.

Teorema 5. Dacă secvențele ( un n) și ( b n) au limite egale cu Ași B respectiv, apoi secvența ( a n b n) are o limită AB.

Teorema 6. Dacă secvențele ( un n} și ( b n) au limite egale cu Ași B respectiv și, în plus, b n ≠ 0 și B ≠ 0, apoi secvența ( un n/b n) are o limită A/B.

Anna Chugainova

Succesiunea numerică este o funcție numerică definită pe mulțimea numerelor naturale .

Dacă funcţia este setată pe mulţimea numerelor naturale
, atunci setul de valori ale funcției va fi numărabil și fiecare număr
se potrivește cu numărul
... În acest caz, ei spun că dat succesiune numerică... Numerele sunt numite elemente sau membrii secvenței și numărul - general sau Al-lea membru al secvenței. Fiecare element are un element de urmărire
... Aceasta explică utilizarea termenului „secvență”.

O secvență este de obicei stabilită fie prin enumerarea elementelor sale, fie prin specificarea legii după care se calculează elementul cu numărul , adică indicând formula acestuia Al-lea membru .

Exemplu.Secvenţă
poate fi dat prin formula:
.

De obicei, secvențele sunt desemnate după cum urmează: etc., unde formula este indicată între paranteze al-lea membru.

Exemplu.Secvenţă
‑aceasta este succesiunea

Set de toate elementele secvenței
notat
.

Lăsa
și
- două secvențe.

CU ummah secvente
și
secvență de apeluri
, Unde
, adică

R abundenta aceste secvențe se numesc șir
, Unde
, adică

Dacă și ‑ constantă, apoi succesiunea
,
sunt numite combinație liniară secvente
și
, adică

După produs secvente
și
apelează o secvență cu -al-lea membru
, adică
.

Dacă
, atunci puteți defini privat
.

Suma, diferența, produsul și câtul de secvențe
și
ei sunt numiti, cunoscuti algebriccompozitii.

Exemplu.Luați în considerare secvențele
și
, Unde. Atunci
, adică secvenţă
are toate elementele egale cu zero.

,
, adică toate elementele lucrării și coeficientul sunt egale
.

Dacă tăiați unele elemente ale secvenței
astfel încât să rămână un număr infinit de elemente, atunci obținem o altă secvență, numită ulterior secvente
... Dacă tăiați primele câteva elemente ale secvenței
, atunci noua secvență este numită restul.

Secvenţă
limitatde mai sus(de desubt) dacă setul
mărginit în partea de sus (jos). Secvența este numită limitat dacă este mărginit deasupra şi dedesubt. Secvența este limitată dacă și numai dacă restul ei este limitat.

Secvențe convergente

Ei spun asta secvenţă
converge dacă există un număr astfel încât pentru orice
exista asa ceva
asta pentru orice
, inegalitatea este valabilă:
.

Număr sunt numite limita de succesiune
... În același timp, scrie
sau
.

Exemplu.
.

Să arătăm asta
... Să setăm orice număr
... Inegalitate
efectuat pentru
astfel încât
că definiția convergenței este satisfăcută pentru număr
... Mijloace,
.

Cu alte cuvinte
înseamnă că toți membrii secvenței
cu numere suficient de mari difera putin de numarul , adică pornind de la un anumit număr
(pentru) elementele șirului sunt în interval
Care e numit - vecinătatea punctului .

Secvenţă
, a cărui limită este zero (
, sau
la
) se numește infinitezimal.

În ceea ce privește infinitezimalul, următoarele afirmații sunt adevărate:

Suma a două infinitezimale este infinitezimală;

Produsul unui infinitezimal cu o cantitate limitată este infinitezimal.

Teorema .Pentru consecvență
are o limită, este necesar și suficient ca
, Unde - constant; - infinit de mici .

Proprietățile de bază ale secvențelor convergente:

Proprietățile 3. și 4. se generalizează în cazul oricărui număr de secvențe convergente.

Rețineți că atunci când se calculează limita unei fracții, al cărei numărător și numitor sunt combinații liniare de puteri , limita fracției este egală cu limita raportului dintre cei mai mari termeni (adică termenii care conțin cele mai mari puteri numărător și numitor).

Secvenţă
numit:

Toate astfel de secvențe sunt numite monoton.

Teorema . Dacă succesiunea
crește monoton și este mărginit de sus, apoi converge și limita sa este egală cu limita sa superioară exactă; dacă șirul scade și este mărginit de jos, atunci converge către limita sa inferioară exactă.

Introducere ………………………………………………………………………………… 3

1.Partea teoretică ……………………………………………………………………… .4

Concepte și termeni de bază ……………………………………………… .... 4

1.1 Tipuri de secvențe ……………………………………………… ... 6

1.1.1.Secvențe numerice limitate și nelimitate ... ..6

1.1.2.Monotonitatea secvențelor ………………………………………… 6

1.1.3 Secvențe infinit de mari și infinit de mici …… .7

1.1.4.Proprietăți ale secvențelor infinitezimale ………………… 8

1.1.5.Secvențe convergente și divergente și proprietățile lor ... ... 9

1.2 Limita secvenței ………………………………………………… .11

1.2.1 Teoremele limitelor secvenței …………………………………………………………………………………………… 15

1.3.Progresie aritmetică ……………………………………………… 17

1.3.1. Proprietățile progresiei aritmetice ………………………………… ..17

1.4 Progresia geometrică ……………………………………………… ..19

1.4.1. Proprietățile unei progresii geometrice ……………………………………………… .19

1.5. Numerele Fibonacci ……………………………………………………… ..21

1.5.1 Relația numerelor Fibonacci cu alte domenii de cunoaștere …………………… .22

1.5.2. Utilizarea unei serii de numere Fibonacci pentru a descrie natura animată și neînsuflețită ……………………………………………………………………………………… .23

2. Cercetare proprie ……………………………………………………… .28

Concluzie …………………………………………………………………… .30

Lista literaturii utilizate ………………………………………… .... 31

Introducere.

Secvențele de numere sunt un subiect foarte interesant și educativ. Acest subiect apare în misiuni complexitate crescută oferit elevilor de autori materiale didactice, în probleme de olimpiade de matematică, examene de admitere la Superioare scoli iar la examen. Sunt interesat să învăț relația secvențelor matematice cu alte domenii de cunoaștere.

Ţintă muncă de cercetare: extindeți-vă cunoștințele despre secvența de numere.

1. Luați în considerare succesiunea;

2. Luați în considerare proprietățile sale;

3. Luați în considerare sarcina analitică a secvenței;

4. Demonstrează rolul său în dezvoltarea altor domenii de cunoaștere.

5. Demonstrați utilizarea unei serii de numere Fibonacci pentru a descrie natura animată și neînsuflețită.

1. Partea teoretică.

Concepte și termeni de bază.

Definiție. O secvență numerică este o funcție de forma y = f (x), x О N, unde N este o mulțime de numere naturale (sau o funcție a unui argument natural), notat cu y = f (n) sau y1, y2 ,…, yn,…. Valorile y1, y2, y3,... se numesc, respectiv, primul, al doilea, al treilea,... membri ai secvenței.

Numărul a se numește limita șirului x = (x n) dacă pentru un număr pozitiv arbitrar predeterminat arbitrar mic ε există un număr natural N astfel încât pentru tot n> N inegalitatea | x n - a |< ε.

Dacă numărul a este limita șirului x = (x n), atunci ei spun că x n tinde spre a și scrie

O secvență (yn) se numește ascendentă dacă fiecare dintre membrii săi (cu excepția primului) este mai mare decât cel precedent:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

O secvență (yn) se numește descrescătoare dacă fiecare dintre membrii săi (cu excepția primului) este mai mic decât cel precedent:

y1> y2> y3>…> yn> yn + 1>….

Secvențele crescătoare și descrescătoare sunt unite printr-un termen comun - secvențe monotone.

O secvență se numește periodică dacă există un număr natural T astfel încât, pornind de la un n, să fie valabilă egalitatea yn = yn + T. Numărul T se numește lungimea perioadei.

O progresie aritmetică este o succesiune (an), al cărei termen, începând cu al doilea, este egal cu suma termenului anterior și același număr d, se numește progresie aritmetică, iar numărul d este diferența unei progresie aritmetică.

Astfel, o progresie aritmetică este o succesiune numerică (an) dată recursiv de relațiile

a1 = a, an = an – 1 + d (n = 2, 3, 4, ...)

O progresie geometrică este o succesiune, a cărei toți membrii sunt nenuli și fiecare termen, începând cu al doilea, se obține din termenul anterior prin înmulțirea cu același număr q.

Astfel, o progresie geometrică este o succesiune numerică (bn) dată recursiv de relații

b1 = b, bn = bn – 1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Tipuri de secvențe.

1.1.1 Secvențe limitate și nelimitate.

O secvență (bn) se numește mărginită de sus dacă există un număr M astfel încât pentru orice număr n inegalitatea bn≤ M este satisfăcută;

O secvență (bn) se numește mărginită de jos dacă există un număr M astfel încât pentru orice număr n inegalitatea bn≥ M este satisfăcută;

De exemplu:

1.1.2 Monotonitatea secvenţelor.

O secvență (bn) se numește necrescătoare (nedescrescătoare) dacă, pentru orice număr n, inegalitatea bn≥ bn + 1 (bn ≤bn + 1) este adevărată;

O secvență (bn) se numește descrescătoare (crescătoare) dacă, pentru orice număr n, inegalitatea bn> bn + 1 (bn

Secvențele descrescătoare și crescătoare sunt numite strict monotone, monotone necrescător în sens larg.

Secvențele care sunt mărginite în partea de sus și de jos în același timp se numesc mărginite.

Secvența tuturor acestor tipuri este numită colectiv monotonă.

1.1.3 Secvențe infinit mari și mici.

O secvență infinitezimală este o funcție numerică sau o secvență care tinde spre zero.

O secvență an se numește infinitezimal dacă

O funcție se numește infinitezimală într-o vecinătate a punctului x0 dacă ℓimx → x0 f (x) = 0.

O funcție se numește infinitezimală la infinit dacă ℓimx → + ∞ f (x) = 0 sau ℓimx → -∞ f (x) = 0

De asemenea, o funcție infinitezimală este diferența dintre o funcție și limita ei, adică dacă ℓimx →. + ∞ f (x) = a, atunci f (x) - a = α (x), ℓimx →. + ∞ f (( x) -a) = 0.

O secvență infinit de mare este o funcție numerică sau o secvență care tinde spre infinit.

O secvență an se numește infinit mare dacă

ℓimn → 0 an = ∞.

O funcție se numește infinit mare într-o vecinătate a punctului x0 dacă ℓimx → x0 f (x) = ∞.

O funcție se numește infinit mare la infinit dacă

ℓimx →.+ ∞ f (x) = ∞ sau ℓimx → -∞ f (x) = ∞.

1.1.4 Proprietăţi ale secvenţelor infinitezimale.

Suma a două secvențe infinitezimale este ea însăși o secvență infinitezimală.

Diferența a două secvențe infinitezimale este ea însăși o secvență infinitezimală.

Suma algebrică a oricăror număr finit secvențele infinitezimale sunt ele însele și secvențe infinitezimale.

Produsul unei secvențe mărginite de o secvență infinitezimală este o secvență infinitezimală.

Produsul oricărui număr finit de secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală.

Orice succesiune infinitezimală este limitată.

Dacă o secvență staționară este infinitezimală, atunci toate elementele sale, începând cu cineva, sunt egale cu zero.

Dacă întreaga secvență infinitezimală constă din elemente identice, atunci aceste elemente sunt zerouri.

Dacă (xn) este o secvență infinit de mare care nu conține termeni zero, atunci există o secvență (1 / xn) care este infinit de mică. Dacă, totuși, (xn) conține zero elemente, atunci secvența (1 / xn) poate fi încă definită, pornind de la un număr n, și va fi totuși infinit de mică.

Dacă (an) este o secvență infinit de mică care nu conține termeni zero, atunci există o secvență (1 / an) care este infinit de mare. Dacă, totuși, (an) conține zero elemente, atunci șirul (1 / an) poate fi încă definit pornind de la un număr n și va fi totuși infinit de mare.

1.1.5 Secvențe convergente și divergente și proprietățile lor.

O secvență convergentă este o secvență de elemente ale unei mulțimi X care are o limită în această mulțime.

O secvență divergentă este o secvență care nu este convergentă.

Orice succesiune infinitezimală este convergentă. Limita sa este zero.

Eliminarea oricărui număr finit de elemente dintr-o succesiune infinită nu afectează nici convergența, nici limita acestei secvențe.

Orice succesiune convergentă este mărginită. Cu toate acestea, nu orice secvență limitată converge.

Dacă șirul (xn) converge, dar nu este infinitezimal, atunci, pornind de la un număr, se definește șirul (1 / xn), care este mărginit.

Suma secvențelor convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.

Diferența secvențelor convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.

Produsul secvențelor convergente este, de asemenea, o secvență convergentă.

Coeficientul a două secvențe convergente este definit pornind de la un element, cu excepția cazului în care a doua secvență este infinitezimală. Dacă este definit câtul a două secvențe convergente, atunci este o secvență convergentă.

Dacă o secvență convergentă este mărginită de jos, atunci niciuna dintre limitele sale inferioare nu își depășește limita.

Dacă o secvență convergentă este mărginită de sus, atunci limita sa nu depășește niciuna dintre limitele sale superioare.

Dacă pentru orice număr membrii unei secvențe convergente nu depășesc membrii unei alte secvențe convergente, atunci limita primei secvențe nu depășește nici limita celei de-a doua.

Curs 8. Secvente numerice.

Definiție8.1. Dacă fiecărei valori i se atribuie după o anumită lege un număr realX n , apoi multimea numerelor reale numerotate

– notație prescurtată
, (8.1)

va apelasuccesiune numerică sau doar o secvență.

Numerele separate X n  elemente sau membri ai unei secvenţe (8.1).

Secvența poate fi dată printr-o formulă a termenului comun, de exemplu:
sau
... Secvența poate fi specificată în mod ambiguu, de exemplu, secvența –1, 1, –1, 1, ... poate fi specificată prin formula
sau
... Uneori se folosește un mod recursiv de specificare a unei secvențe: se dau primii câțiva membri ai secvenței și se folosește o formulă pentru a calcula următoarele elemente. De exemplu, succesiunea definită de primul element și relația de recurență
(progresie aritmetică). Luați în considerare o secvență numită lângă Fibonacci: primele două elemente sunt setate X 1 =1, X 2 = 1 și relația de recurență
pentru orice
... Obținem o succesiune de numere 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Pentru o astfel de serie, este destul de dificil să găsești o formulă pentru termenul general.

8.1. Operații aritmetice cu secvențe.

Luați în considerare două secvențe:

(8.1)

Definiția 8.2. Hai sa sunămprodus al secvenței
după număr msecvenţă
... Hai sa o scriem asa:
.

Să numim secvența suma de secvente (8.1) și (8.2), scriem astfel:; în mod similar
Hai sa sunăm diferenta de secventa (8.1) și (8.2);
 produs al secvenţelor (8.1) și (8.2);  secvențe private (8.1) și (8.2) (toate elementele
).

8.2. Secvențe limitate și nelimitate.

Colectarea tuturor elementelor într-o succesiune arbitrară
formează o mulțime numerică, care poate fi mărginită de sus (de jos) și pentru care sunt valabile definiții similare celor introduse pentru numerele reale.

Definiția 8.3. Secvenţă
numitmărginit de sus , dacă ; M  Marginea superioară.

Definiție 8.4. Secvenţă
numitlimitat de jos , dacă ;m  marginea de jos.

Definiția 8.5.Secvenţă
numitlimitat dacă este mărginit atât deasupra cât și dedesubt, adică dacă există două numere reale M șim astfel încât fiecare element al secvenței
satisface inegalitățile:

, (8.3)

mșiM- marginile de jos si de sus
.

Se numesc inegalitățile (8.3). condiția mărginirii secvenței
.

De exemplu, secvența
limitată, și
nelimitat.

♦ Afirmația 8.1.
este limitat .

Dovada. Să alegem
... Conform Definiției 8.5, succesiunea
va fi limitat. ■

Definiția 8.6. Secvenţă
numitnelimitat dacă pentru orice număr real pozitiv (arbitrar de mare) A există cel puțin un element al șiruluiX n satisfacerea inegalitatii:
.

De exemplu, secvența 1, 2, 1, 4, ..., 1, 2 n,…  nelimitat, din moment ce limitat doar de jos.

8.3. Secvențe infinit de mari și infinit de mici.

Definiția 8.7. Secvenţă
numitinfinit de mare dacă pentru orice număr real A (arbitrar de mare) există un număr
astfel încât pentru toți
elementeleX n
.

☼ Observația 8.1. Dacă secvența este infinit de mare, atunci este nelimitată. Dar nu ar trebui să credem că orice succesiune nemărginită este infinit de mare. De exemplu, secvența
nu limitat, dar nu infinit de mare, deoarece condiție
eșuează pentru toți chiar și n. ☼

 Exemplul 8.1.
este infinit de mare. Luați orice număr A> 0. Din inegalitate
primim n>A... Dacă iei
apoi pentru toti n>N inegalitatea
, adică conform Definiției 8.7, succesiunea
infinit de mare. 

Definiția 8.8. Secvenţă
numitinfinitezimal dacă pentru
(oricât de mic ) există un număr
astfel încât pentru toți
elementele din această secvență satisface inegalitatea
.

 Exemplul 8.2. Să demonstrăm că succesiunea infinit de mici.

Luați orice număr
... Din inegalitate
primim ... Dacă iei
apoi pentru toti n>N inegalitatea
. 

♦ Afirmația 8.2. Secvenţă
este infinit de mare pentru
şi infinit mic pentru
.

Dovada.

1) Lasă mai întâi
:
, Unde
... Prin formula Bernoulli (Exemplul 6.3, p. 6.1.)
... Fixăm un număr pozitiv arbitrar Ași selectați un număr după acesta N astfel încât inegalitatea este adevărată:

,
,
,
.

pentru că
, apoi prin proprietatea produsului numerelor reale pentru toate

.

Astfel, pentru
există un astfel de număr
asta pentru toti

- infinit de mare la
.

2) Luați în considerare cazul
,
(la q= 0 avem cazul trivial).

Lăsa
, Unde
, prin formula Bernoulli
sau
.

Reparăm
,
și alegeți
astfel încât

,
,
.

Pentru

... Indicăm un astfel de număr N asta pentru toti

, adică pentru
secvenţă
infinit de mici. ■

8.4. Proprietățile de bază ale secvențelor infinitezimale.

♦ Teorema 8.1.Sumă

și

Dovada. Reparăm ;
- infinit de mici

,

- infinit de mici

... Să alegem
... Apoi la

,
,
. ■

♦ Teorema 8.2. Diferență
două succesiuni infinitezimale
și
există o secvență infinit de mică.

Pentru dovada a teoremei, este suficient să folosim inegalitatea. ■

Consecinţă.Suma algebrică a oricărui număr finit de secvențe infinitezimale este o succesiune infinitezimală.

♦ Teorema 8.3.Produsul unei secvențe mărginite de o secvență infinitezimală este o secvență infinitezimală.

Dovada.
- limitat,
- o secvență infinit de mică. Reparăm ;
,
;
: la
corect
... Atunci
. ■

♦ Teorema 8.4.Orice succesiune infinitezimală este mărginită.

Dovada. Reparăm Lasă un număr. Atunci
pentru toate numerele n, ceea ce înseamnă că secvența este limitată. ■

Consecinţă. Produsul a două (și a oricărui număr finit) șiruri infinitezimale este o secvență infinitezimală.

♦ Teorema 8.5.

Dacă toate elementele unei secvenţe infinitezimale
egal cu acelasi numarc, atunci c = 0.

Dovada teorema se realizează prin contradicție, dacă notăm
. ■

♦ Teorema 8.6. 1) Dacă
Este o secvență infinit de mare, deci, pornind de la un numărn, coeficientul este definit două secvenţe
și
, care este o secvență infinit de mică.

2) Dacă toate elementele unei secvenţe infinitezimale
sunt diferite de zero, apoi coeficientul două secvenţe
și
este o succesiune infinit de mare.

Dovada.

1) Lasă
- o secvență infinit de mare. Reparăm ;
sau
la
... Astfel, prin Definiția 8.8, secvența - infinit de mici.

2) Lasă
- o secvență infinit de mică. Să presupunem că toate elementele
sunt diferite de zero. Reparăm A;
sau
la
... Prin definiția 8.7, secvența infinit de mare. ■