Cum se găsește diferența unei progresii aritmetice. Cum se găsește diferența unei progresii aritmetice: formule și exemple de soluții

Da, da: progresia aritmetică nu este o jucărie pentru tine :)

Ei bine, prieteni, dacă citiți acest text, atunci dovezile interne îmi spun că nu știți încă ce este o progresie aritmetică, dar chiar (nu, așa: SOOOOO!) Vrei să știi. Prin urmare, nu te voi chinui cu introduceri lungi și mă voi pune imediat pe treabă.

Să începem cu câteva exemple. Luați în considerare mai multe seturi de numere:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $

Ce au în comun toate aceste seturi? La prima vedere, nimic. Dar de fapt există ceva. Și anume: fiecare element următor diferă de cel precedent prin același număr.

Judecați singuri. Primul set este pur și simplu numere consecutive, fiecare urmând mai mult decât precedentul. În al doilea caz, diferența dintre numerele adiacente este deja egală cu cinci, dar această diferență este încă constantă. În al treilea caz, rădăcinile în general. Cu toate acestea, $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ și $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, adică și în acest caz, fiecare element următor crește pur și simplu cu $ \ sqrt (2) $ (și nu vă fie teamă că acest număr este irațional).

Deci: toate aceste secvențe se numesc progresii aritmetice. Să dăm o definiție strictă:

Definiție. O secvență de numere în care fiecare următor diferă de precedent cu exact aceeași cantitate se numește progresie aritmetică. Însăși suma cu care diferă numerele se numește diferența de progresie și este cel mai adesea notată cu litera $ d $.

Denumire: $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ - progresia în sine, $ d $ - diferența sa.

Și doar câteva remarci importante. În primul rând, numai ordonat succesiune de numere: li se permite să fie citite strict în ordinea în care sunt scrise - și nimic altceva. Nu puteți rearanja sau schimba numerele.

În al doilea rând, secvența în sine poate fi fie finită, fie infinită. De exemplu, mulțimea (1; 2; 3) este evident o progresie aritmetică finită. Dar dacă scrieți ceva în spirit (1; 2; 3; 4; ...) - aceasta este deja o progresie nesfârșită. Elipsa după cele patru, ca să spunem așa, sugerează că există încă destul de multe numere. Infinit multe, de exemplu. :)

Aș dori, de asemenea, să observ că progresele cresc și scad. Le-am văzut deja pe cele în creștere - același set (1; 2; 3; 4; ...). Iată câteva exemple de progresii descrescătoare:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $

BINE BINE: ultimul exemplu poate părea prea complicat. Dar restul, cred că înțelegeți. Prin urmare, vom introduce noi definiții:

Definiție. Progresia aritmetică numit:

creșterea dacă fiecare element următor este mai mare decât precedentul;

descrescător, dacă, dimpotrivă, fiecare element ulterior este mai mic decât cel anterior.

În plus, există așa-numitele secvențe „staționare” - constau din același număr care se repetă. De exemplu, (3; 3; 3; ...).

Rămâne o singură întrebare: cum să distingem o progresie în creștere de una în scădere? Din fericire, totul depinde de semnul numărului $ d $, adică progresia diferenței:

Dacă $ d \ gt 0 $, atunci progresia crește;
Dacă $ d \ lt 0 $, atunci progresia este în mod evident în scădere;
În cele din urmă, există cazul $ d = 0 $ - în acest caz întreaga progresie este redusă la o secvență staționară de numere identice: (1; 1; 1; 1; ...) etc.

Să încercăm să calculăm diferența $ d $ pentru cele trei progresii descrescătoare date mai sus. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați două elemente adiacente (de exemplu, primul și al doilea) și să scădeți numărul din stânga din numărul din dreapta. Va arăta astfel:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.

După cum puteți vedea, în toate cele trei cazuri, diferența sa dovedit a fi negativă. Și acum că am descoperit mai mult sau mai puțin definițiile, este timpul să ne dăm seama cum sunt descrise progresiile și care sunt proprietățile lor.

Membrii de progresie și formula recurentă

Deoarece elementele secvențelor noastre nu pot fi schimbate, ele pot fi numerotate:

\ [\ left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ dreapta \) \]

Elementele individuale ale acestui set sunt numite membri ai progresiei. Sunt indicate printr-un număr: primul termen, al doilea termen etc.

În plus, după cum știm deja, membrii adiacenți ai progresiei sunt legați de formula:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (n-1)) = d \ Rightarrow ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]

Pe scurt, pentru a găsi termenul $ n $ th în progresie, trebuie să cunoașteți termenul $ n-1 $ th și diferența $ d $. O astfel de formulă se numește recurentă, deoarece cu ajutorul său puteți găsi orice număr, cunoscându-l doar pe cel precedent (și de fapt - pe toate precedentele). Acest lucru este foarte incomod, deci există o formulă mai dificilă care reduce orice calcule la primul termen și diferența:

\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \]

Cu siguranță ați îndeplinit deja această formulă. Le place să o ofere în tot felul de cărți de referință și reshebniks. Și în orice manual sensibil despre matematică, ea este una dintre primele.

Cu toate acestea, vă sugerez să exersăm puțin.

Problema numărul 1. Scrieți primii trei termeni ai progresiei aritmetice $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $ if $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.

Soluţie. Deci, cunoaștem primul termen $ ((a) _ (1)) = 8 $ și diferența de progresie $ d = -5 $. Să folosim formula tocmai dată și înlocuim $ n = 1 $, $ n = 2 $ și $ n = 3 $:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ left (1-1 \ right) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ left (2-1 \ right) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ left (3-1 \ right) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (align) \]

Răspuns: (8; 3; −2)

Asta e tot! Vă rugăm să rețineți: progresul nostru scade.

Desigur, $ n = 1 $ nu ar fi putut fi înlocuit - primul termen ne este deja cunoscut. Cu toate acestea, înlocuind una, ne-am asigurat că formula noastră funcționează chiar și pentru primul termen. În alte cazuri, totul s-a redus la aritmetică banală.

Problema numărul 2. Scrieți primii trei termeni ai progresiei aritmetice dacă al șaptelea termen este -40 și al șaptesprezecelea este -50.

Soluţie. Să notăm starea problemei în termenii obișnuiți:

\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (align) \ right. \]

\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (align) \ dreapta. \]

Am pus semnul sistemului deoarece aceste cerințe trebuie îndeplinite simultan. Și acum rețineți că, dacă scădem prima din a doua ecuație (avem dreptul să facem acest lucru, deoarece avem un sistem), obținem acest lucru:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) = - 50- \ left (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (align) \]

Atât de ușor am găsit diferența în progresie! Rămâne să înlocuiți numărul găsit în oricare dintre ecuațiile sistemului. De exemplu, în primul:

\ [\ begin (matrix) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) - 6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ end (matrice) \]

Acum, cunoscând primul termen și diferența, rămâne să găsim al doilea și al treilea termen:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (align) \]

Gata! Problema a fost rezolvată.

Răspuns: (-34; -35; -36)

Acordați atenție unei proprietăți interesante a progresiei pe care am descoperit-o: dacă luăm termenii $ n $ th și $ m $ th și îi scădem unii de la alții, atunci obținem diferența progresiei înmulțită cu numărul $ n-m $:

\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ left (n-m \ right) \]

Simplu, dar foarte proprietate utilă, pe care cu siguranță trebuie să-l cunoașteți - cu ajutorul său puteți accelera semnificativ soluția multor probleme în progresie. Iată un prim exemplu:

Problema numărul 3. Al cincilea termen al progresiei aritmetice este 8,4, iar al zecelea termen este 14,4. Găsiți al cincisprezecelea termen al acestei progresii.

Soluţie. Deoarece $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $ și trebuie să găsiți $ ((a) _ (15)) $, atunci notăm următoarele :

\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5d. \\ \ end (align) \]

Dar prin condiția $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = 6 $, deci 5d $ = 6 $, de unde avem:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (15)) - 14.4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ end (align) \]

Răspuns: 20.4

Asta e tot! Nu a fost nevoie să compunem niște sisteme de ecuații și să calculăm primul termen și diferența - totul a fost rezolvat în doar câteva linii.

Acum să luăm în considerare un alt tip de sarcini - pentru a găsi membri negativi și pozitivi ai progresului. Nu este un secret faptul că dacă progresia crește, în timp ce primul termen este negativ, atunci mai devreme sau mai târziu vor apărea termeni pozitivi în el. Și dimpotrivă: membrii progresiei în scădere vor deveni mai devreme sau mai târziu negativi.

În același timp, este departe de a fi întotdeauna posibil să bâjbâi acest moment „frontal”, parcurgând secvențial elementele. Adesea, problemele sunt concepute în așa fel încât, fără a cunoaște formulele, calculele ar lua mai multe foi - am adormi doar în timp ce am găsi răspunsul. Prin urmare, vom încerca să rezolvăm aceste probleme într-un mod mai rapid.

Problema numărul 4. Câți termeni negativi sunt în progresia aritmetică -38,5; −35,8; ...?

Soluţie. Deci, $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, de unde găsim imediat diferența:

Rețineți că diferența este pozitivă, deci progresia crește. Primul termen este negativ, așa că la un moment dat chiar ne vom împiedica de numere pozitive. Singura întrebare este când se va întâmpla.

Să încercăm să aflăm: cât timp (adică până la ce numar natural$ n $) se păstrează negativitatea membrilor:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38.5+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 2.7 \ lt 0; \ quad \ left | \ cdot 10 \ dreapta. \\ & -385 + 27 \ cdot \ left (n-1 \ right) \ lt 0; \\ & -385 + 27n-27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (align) \]

Ultima linie are nevoie de explicații. Deci, știm că $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Pe de altă parte, vom fi mulțumiți de numai valori întregi ale numărului (în plus: $ n \ in \ mathbb (N) $), deci cel mai mare număr permis este exact $ n = 15 $ și în niciun caz este 16.

Problema numărul 5. În progresie aritmetică $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Găsiți numărul primului termen pozitiv al acestei progresii.

Ar fi exact aceeași problemă ca și precedenta, dar nu știm $ ((a) _ (1)) $. Dar termenii învecinați sunt cunoscuți: $ ((a) _ (5)) $ și $ ((a) _ (6)) $, deci putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

În plus, vom încerca să exprimăm al cincilea termen în funcție de primul și diferența în conformitate cu formula standard:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = - 150-12 = -162. \\ \ end (align) \]

Acum procedăm prin analogie cu sarcina anterioară. Aflăm în ce moment din secvența noastră vor exista numere pozitive:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n-3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (align) \]

Cea mai mică soluție întreagă la această inegalitate este 56.

Vă rugăm să rețineți: în ultima sarcină, totul a fost redus la o inegalitate strictă, deci opțiunea $ n = 55 $ nu ne va conveni.

Acum, că am învățat cum să rezolvăm probleme simple, să trecem la altele mai complexe. Dar mai întâi, să studiem o altă proprietate foarte utilă a progresiilor aritmetice, care în viitor ne va economisi mult timp și celule inegale. :)

Media aritmetică și liniuțe egale

Luați în considerare mai mulți membri consecutivi ai progresiei aritmetice în creștere $ \ left (((a) _ (n)) \ right) $. Să încercăm să le marcăm pe linia numerică:

Membrii unei progresii aritmetice pe o linie numerică

Am notat în mod specific membrii arbitrari $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, nu orice $ ((a) _ (1)), \ ( (a) _ (2)), \ ((a) _ (3)) $ etc. Pentru că regula, despre care voi vorbi acum, funcționează la fel pentru orice „segmente”.

Iar regula este foarte simplă. Să ne amintim formula recurenței și să o notăm pentru toți membrii marcați:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (align) \]

Cu toate acestea, aceste egalități pot fi rescrise diferit:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n-3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (align) \]

Ei bine, ce? Și faptul că termenii $ ((a) _ (n-1)) $ și $ ((a) _ (n + 1)) $ se află la aceeași distanță de $ ((a) _ (n)) $ . Și această distanță este egală cu $ d $. Același lucru se poate spune despre membrii $ ((a) _ (n-2)) $ și $ ((a) _ (n + 2)) $ - sunt, de asemenea, eliminați din $ ((a) _ (n) ) $ aceeași distanță egală cu $ 2d $. Puteți continua la nesfârșit, dar sensul este bine ilustrat de imagine.

Membrii progresiei se află la aceeași distanță de centru

Ce înseamnă acest lucru pentru noi? Aceasta înseamnă că puteți găsi $ ((a) _ (n)) $ dacă se cunosc numerele învecinate:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]

Am venit cu o afirmație excelentă: fiecare membru al progresiei aritmetice este egal cu media aritmetică a termenilor vecini! Mai mult decât atât: ne putem abate de la $ ((a) _ (n)) $ la stânga și la dreapta nu un singur pas, ci $ k $ pași - și totuși formula va fi corectă:

\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]

Acestea. putem găsi cu ușurință niște $ ((a) _ (150)) $ dacă știm $ ((a) _ (100)) $ și $ ((a) _ (200)) $, deoarece $ ((a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. La prima vedere, poate părea că acest fapt nu ne oferă nimic util. Cu toate acestea, în practică, multe probleme sunt special „ascuțite” pentru utilizarea mediei aritmetice. Aruncați o privire:

Problema numărul 6. Găsiți toate valorile $ x $ pentru care numerele $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ și $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ sunt membri consecutivi a progresiei aritmetice (în ordine).

Soluţie. Deoarece numerele indicate sunt membre ale progresiei, starea mediei aritmetice este îndeplinită pentru ele: elementul central $ x + 1 $ poate fi exprimat în termeni de elemente adiacente:

\ [\ begin (align) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (align) \]

S-a dovedit a fi clasic ecuație pătratică... Rădăcinile sale: $ x = 2 $ și $ x = -3 $ - acestea sunt răspunsurile.

Răspuns: −3; 2.

Problema numărul 7. Găsiți valorile $$ pentru care numerele $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ fac o progresie aritmetică (în această ordine).

Soluţie. Din nou, exprimăm termenul mediu în termeni de medie aritmetică a termenilor vecini:

\ [\ begin (align) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac (((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ right.; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (align) \]

Din nou ecuația pătratică. Și din nou, există două rădăcini: $ x = 6 $ și $ x = 1 $.

Raspunsul 1; 6.

Dacă în procesul de rezolvare a unei probleme obțineți niște numere brutale sau nu sunteți complet sigur de corectitudinea răspunsurilor găsite, atunci există o tehnică minunată care vă permite să verificați: am rezolvat problema corect?

De exemplu, în problema nr.6 am primit răspunsurile -3 și 2. Cum să verificăm dacă aceste răspunsuri sunt corecte? Să le conectăm la starea inițială și să vedem ce se întâmplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că avem trei numere ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ și $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), care trebuie să formeze o progresie aritmetică. Înlocuiți $ x = -3 $:

\ [\ begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (align) \]

Numere primite -54; −2; 50, care diferă de 52, este fără îndoială o progresie aritmetică. Același lucru se întâmplă pentru $ x = 2 $:

\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (align) \]

Din nou o progresie, dar cu o diferență de 27. Astfel, problema este rezolvată corect. Cei interesați pot verifica a doua problemă pe cont propriu, dar voi spune imediat: și totul este corect acolo.

În general, în timp ce rezolvăm ultimele probleme, am dat peste încă una fapt interesant, care trebuie, de asemenea, amintit:

Dacă trei numere sunt astfel încât al doilea este media aritmetica mai întâi iar ultima, atunci aceste numere formează o progresie aritmetică.

În viitor, înțelegerea acestei afirmații ne va permite să „construim” literal progresiile necesare, pe baza stării problemei. Dar înainte de a ajunge la o astfel de „construcție”, ar trebui să fim atenți la încă un fapt, care rezultă direct din ceea ce a fost deja luat în considerare.

Gruparea și suma elementelor

Să ne întoarcem din nou la axa numerică. Să notăm acolo mai mulți membri ai progresiei, dintre care, probabil. există o mulțime de alți membri:

Linia numerică are 6 elemente marcate

Să încercăm să exprimăm „coada stângă” în termeni de $ ((a) _ (n)) $ și $ d $ și „coada dreaptă” în termeni de $ ((a) _ (k)) $ și $ d $ . E foarte simplu:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (align) \]

Acum, rețineți că următoarele sume sunt egale:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k-1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (align) \]

Pur și simplu, dacă considerăm ca început două elemente ale progresiei, care în total sunt egale cu un număr de $ S $, apoi începem să mergem de la aceste elemente în direcții opuse (unul către celălalt sau invers pentru a ne îndepărta), apoi sumele elementelor cu care ne vom împiedica vor fi, de asemenea, egale$ S $. Acest lucru poate fi reprezentat cel mai clar grafic:

Indentare egală dă cantități egale

Înţelegere Acest lucru ne va permite să rezolvăm probleme cu un nivel de complexitate fundamental mai ridicat decât cele pe care le-am considerat mai sus. De exemplu, astfel:

Problema numărul 8. Determinați diferența progresiei aritmetice în care primul termen este 66, iar produsul al doilea și al doisprezecelea termen este cel mai mic posibil.

Soluţie. Să notăm tot ce știm:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (align) \]

Deci, nu cunoaștem diferența progresiei $ d $. De fapt, întreaga soluție va fi construită în jurul diferenței, deoarece produsul $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ poate fi rescris după cum urmează:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ left (66 + d \ right) \ cdot \ left (66 + 11d \ right) = \\ & = 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right). \ end (align) \]

Pentru cei din rezervor: am scos factorul comun de 11 din a doua paranteză. Astfel, produsul căutat este o funcție pătratică față de variabila $ d $. Prin urmare, luați în considerare funcția $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - graficul său va fi o parabolă cu ramuri în sus, deoarece dacă extindem parantezele, atunci obținem:

\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 11 \ left (((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 (( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]

După cum puteți vedea, coeficientul la termenul principal este 11 - acesta este un număr pozitiv, deci avem de-a face cu o parabolă cu ramuri în sus:

programa funcția pătratică- parabola
Vă rugăm să rețineți: această parabolă își ia valoarea minimă la vârf cu abscisa $ ((d) _ (0)) $. Desigur, putem calcula această abscisă conform schemei standard (există și formula $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), dar ar fi mult mai rezonabilă să observăm că vârful dorit se află pe simetria axei parabolei, deci punctul $ ((d) _ (0)) $ este echidistant de rădăcinile ecuației $ f \ left (d \ right) = 0 $:

\ [\ begin (align) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ left (d + 66 \ right) \ cdot \ left (d + 6 \ right) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (align) \]

De aceea nu mă grăbeam să deschid parantezele: în forma originală, rădăcinile erau foarte, foarte ușor de găsit. Prin urmare, abscisa este egală cu media aritmetică a numerelor −66 și −6:

\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) = - 36 \]

Ce ne dă numărul descoperit? Odată cu acesta, produsul solicitat ia cea mai mică valoare (apropo, nu am numărat $ ((y) _ (\ min)) $ - acest lucru nu este necesar de la noi). În același timp, acest număr este diferența dintre progresia inițială, adică am găsit răspunsul. :)

Răspuns: −36

Problema numărul 9. Introduceți trei numere între numerele $ - \ frac (1) (2) $ și $ - \ frac (1) (6) $ astfel încât acestea împreună cu numerele date să formeze o progresie aritmetică.

Soluţie. Practic, trebuie să facem o succesiune de cinci numere, cu primul și ultimul număr deja cunoscute. Să notăm numerele lipsă cu variabilele $ x $, $ y $ și $ z $:

\ [\ left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (- \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ right \ ) \]

Rețineți că numărul $ y $ este „mijlocul” secvenței noastre - este echidistant atât de la numerele $ x $ cât și $ z $ și de la numerele $ - \ frac (1) (2) $ și $ - \ frac (1) (6) $. Și dacă din numerele $ x $ și $ z $ ne aflăm acest moment nu poate obține $ y $, atunci situația este diferită cu capetele progresiei. Amintindu-ne de media aritmetică:

Acum, știind $ y $, vom găsi numerele rămase. Rețineți că $ x $ se află între numerele $ - \ frac (1) (2) $ și $ y = - \ frac (1) (3) $ tocmai găsit. prin urmare

Raționând în mod similar, găsim numărul rămas:

Gata! Am găsit toate cele trei numere. Să le notăm în răspuns în ordinea în care ar trebui inserate între numerele originale.

Răspuns: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $

Problema numărul 10. Introduceți mai multe numere între numerele 2 și 42, care împreună cu aceste numere formează o progresie aritmetică, dacă știți că suma primului, celui de-al doilea și ultimului dintre numerele inserate este 56.

Soluţie. O sarcină și mai dificilă, care, totuși, este rezolvată după aceeași schemă ca și cele anterioare - prin media aritmetică. Problema este că nu știm exact câte numere să introducem. Prin urmare, pentru claritate, să presupunem că după inserarea tuturor vor exista exact $ n $ numere, iar primul dintre ele este 2, iar ultimul este 42. În acest caz, progresia aritmetică dorită poate fi reprezentată ca:

\ [\ left (((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ dreapta \) \]

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]

Rețineți, totuși, că numerele $ ((a) _ (2)) $ și $ ((a) _ (n-1)) $ sunt obținute din numerele 2 și 42 de la margini cu un pas unul către celălalt, adică ... până la centrul secvenței. Aceasta înseamnă că

\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]

Dar apoi expresia scrisă mai sus poate fi rescrisă după cum urmează:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ right) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (align) \]

Știind $ ((a) _ (3)) $ și $ ((a) _ (1)) $, putem găsi cu ușurință diferența de progresie:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ left (3-1 \ right) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Rightarrow d = 5. \\ \ end (align) \]

Rămâne doar să găsiți restul membrilor:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (align) \]

Astfel, deja la pasul 9 vom ajunge la capătul stâng al secvenței - numărul 42. În total, a fost necesar să se introducă doar 7 numere: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

Răspuns: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Probleme de cuvinte cu progresii

În concluzie, aș dori să iau în considerare câteva sarcini simple... Ei bine, cât de simplu: pentru majoritatea elevilor care studiază matematică la școală și nu au citit ceea ce este scris mai sus, aceste sarcini pot părea o cutie. Cu toate acestea, tocmai astfel de probleme apar în OGE și în UTILIZARE în matematică, așa că vă recomand să vă familiarizați cu ele.

Problema numărul 11. Brigada a produs 62 de părți în ianuarie, iar în fiecare lună următoare a produs 14 părți mai mult decât în precedenta. Câte părți a făcut echipa în noiembrie?

Soluţie. Evident, numărul de piese, programat pe lună, va reprezenta o progresie aritmetică în creștere. În plus:

\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 14. \\ \ end (align) \]

Noiembrie este a 11-a lună a anului, deci trebuie să găsim $ ((a) _ (11)) $:

\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]

În consecință, în noiembrie vor fi fabricate 202 de piese.

Problema numărul 12. Atelierul de legare a cărților a legat 216 de cărți în ianuarie și, în fiecare lună viitoare, a legat cu încă 4 cărți decât precedenta. Câte cărți a legat atelierul în decembrie?

Soluţie. La fel:

$ \ begin (align) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ left (n-1 \ right) \ cdot 4. \\ \ end (align) $

Decembrie este ultima a 12-a lună a anului, deci căutăm $ ((a) _ (12)) $:

\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]

Acesta este răspunsul - 260 de cărți vor fi legate în decembrie.

Ei bine, dacă ați citit până aici, mă grăbesc să vă felicit: ați trecut cu succes „cursul tânărului luptător” în progresii aritmetice. Puteți trece în siguranță la următoarea lecție, unde vom studia formula pentru suma progresiei, precum și consecințele importante și foarte utile din aceasta.

Atenţie!
Există și alte
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte ...”
Și pentru cei care „foarte mult ...”)

O progresie aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este mai mare (sau mai puțin) decât cel anterior cu aceeași cantitate.

Acest subiect este adesea dificil și de neînțeles. Indexuri pentru scrisori, al n-lea termen progresii, diferența de progresie - toate acestea sunt într-un fel jenante, da ... Să ne dăm seama de semnificația progresiei aritmetice și totul va funcționa imediat.)

Conceptul de progresie aritmetică.

Progresia aritmetică este un concept foarte simplu și clar. Îndoială? Degeaba.) Vedeți singuri.

Voi scrie o serie neterminată de numere:

1, 2, 3, 4, 5, ...

Puteți extinde acest rând? Ce cifre vor urma, după cele cinci? Toată lumea ... uh-uh ..., pe scurt, toată lumea își va da seama că numerele 6, 7, 8, 9 etc. vor merge mai departe.

Să complicăm sarcina. Ofer o serie de numere neterminate:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Veți putea prinde modelul, extinde seria și numele al șaptelea numărul rândului?

Dacă ți-ai dat seama că acest număr este 20 - te felicit! Nu numai că te-ai simțit punctele cheie ale progresiei aritmetice, dar le-am folosit cu succes și în afaceri! Dacă nu v-ați dat seama, citiți mai departe.

Acum să traducem punctele cheie de la senzație la matematică.)

Primul punct cheie.

Progresia aritmetică se ocupă de serii de numere. Acest lucru este confuz la început. Suntem obișnuiți să rezolvăm ecuații, să trasăm grafice și tot ce ... Și apoi extindem seria, găsim numărul seriei ...

E bine. Doar progresiile sunt prima cunoștință cu o nouă ramură a matematicii. Secțiunea se numește „Rânduri” și funcționează cu serii de numere și expresii. Obisnuieste-te.)

Al doilea punct cheie.

Într-o progresie aritmetică, orice număr este diferit de cel anterior cu aceeași sumă.

În primul exemplu, această diferență este una. Indiferent de numărul pe care îl luați, este cu unul mai mult decât cel anterior. În al doilea - trei. Orice număr mai mare decât cel anterior cu trei. De fapt, acest moment ne oferă posibilitatea de a prinde modelul și de a calcula numerele ulterioare.

Al treilea punct cheie.

Acest moment nu este izbitor, da ... Dar este foarte, foarte important. Iată-l: fiecare număr din progresie stă la locul său. Există primul număr, este al șaptelea, există al patruzeci și cinci etc. Dacă sunt confuzi la întâmplare, modelul va dispărea. De asemenea, va dispărea și progresia aritmetică. Vor fi doar un rând de numere.

Asta e toată ideea.

Desigur, în subiect nou apar noi termeni și denumiri. Trebuie să le cunoști. În caz contrar, nu veți înțelege sarcina. De exemplu, trebuie să decideți ceva de genul:

Scrieți primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Inspiră?) Scrisori, niște indexuri ... Și, apropo, sarcina - nu ar putea fi mai ușoară. Trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și desemnărilor. Acum vom stăpâni această afacere și vom reveni la sarcină.

Termeni și denumiri.

Progresia aritmetică este o serie de numere în care fiecare număr este diferit de cel anterior cu aceeași sumă.

Această cantitate se numește ... Să ne ocupăm de acest concept mai detaliat.

Diferența progresiei aritmetice.

Diferența progresiei aritmetice este cantitatea cu care orice număr al progresiei Mai mult precedentul.

Un punct important. Vă rugăm să acordați atenție cuvântului "Mai mult". Matematic, aceasta înseamnă că se obține fiecare număr din progresie adăugând diferența progresiei aritmetice față de numărul anterior.

Pentru calcul, să spunem al doilea numărul seriei, este necesar să primul numarul adăuga tocmai această diferență a progresiei aritmetice. Pentru calcul a cincea- diferența este necesară adăuga La Al patrulea, bine etc.

Diferența progresiei aritmetice pot fi pozitiv, atunci fiecare număr al rândului va ieși cu adevărat mai mult decât precedentul. Această progresie se numește crescând. De exemplu:

8; 13; 18; 23; 28; .....

Aici se obține fiecare număr adăugând număr pozitiv, +5 la precedent.

Diferența poate fi negativ, atunci fiecare număr din serie va fi mai puțin decât precedentul. O astfel de progresie se numește (nu o să-ți vină să crezi!) in scadere.

De exemplu:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Aici se obține și fiecare număr adăugând la numărul anterior, dar deja negativ, -5.

Apropo, atunci când lucrați cu o progresie, este foarte util să determinați imediat natura acesteia - dacă este în creștere sau în scădere. Ajută foarte mult să navigați în soluție, să vă detectați greșelile și să le remediați înainte de a fi prea târziu.

Diferența progresiei aritmetice notată, de regulă, prin scrisoare d.

Cum se găsește d? Foarte simplu. Este necesar să se scadă din orice număr din serie anterior număr. Scădea. Apropo, rezultatul scăderii se numește „diferență”.)

Definim, de exemplu, d pentru creșterea progresiei aritmetice:

2, 5, 8, 11, 14, ...

Luăm orice număr din rândul pe care îl dorim, de exemplu, 11. Se scade din el numărul anterior, acestea. opt:

Acesta este răspunsul corect. Pentru această progresie aritmetică, diferența este de trei.

Poți lua exact orice număr de progresie, de cand pentru o progresie specifică d -întotdeauna la fel. Cel puțin undeva la începutul rândului, cel puțin la mijloc, cel puțin oriunde. Nu puteți lua doar primul număr. Doar pentru că primul număr nu există nici unul anterior.)

Apropo, știind asta d = 3, este foarte ușor să găsiți al șaptelea număr al acestei progresii. Adăugați 3 la al cincilea număr - obținem al șaselea, va fi 17. Adăugați trei la numărul șase, obținem al șaptelea număr - douăzeci.

Noi definim d pentru o progresie aritmetică descrescătoare:

8; 3; -2; -7; -12; .....

Vă reamintesc că, indiferent de semne, să determinați d este necesar din orice număr ia-o pe cea anterioară. Alegem orice număr al progresiei, de exemplu -7. Precedentul este -2. Apoi:

d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5

Diferența progresiei aritmetice poate fi orice număr: întreg, fracțional, irațional, oricare ar fi.

Alți termeni și denumiri.

Fiecare număr din serie se numește un membru al unei progresii aritmetice.

Fiecare membru al progresiei are propriul număr. Numerele sunt strict în ordine, fără trucuri. Prima, a doua, a treia, a patra etc. De exemplu, în progresia 2, 5, 8, 11, 14, ... doi este primul termen, cinci este al doilea, unsprezece este al patrulea, bine, înțelegeți ...) Vă rugăm să înțelegeți clar - numerele în sine poate fi absolut orice, întreg, fracționat, negativ, orice, dar numerotarea numerelor- strict în ordine!

Cum se înregistrează progresia în termeni generali? Nici o problemă! Fiecare număr din rând este scris ca o literă. De regulă, litera este utilizată pentru a indica o progresie aritmetică A... Numărul de membru este indicat printr-un index în colțul din dreapta jos. Scriem membri separați prin virgule (sau punct și virgulă), astfel:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

a 1 este primul număr, a 3- al treilea etc. Nimic complicat. Puteți scrie pe scurt această serie astfel: (a n).

Progresele sunt finit și nesfârșit.

Ultimul progresia are un număr limitat de membri. Cinci, treizeci și opt, orice. Dar - un număr finit.

Fără sfârşit progresie - are un număr infinit de membri, după cum ați putea ghici.)

Puteți scrie progresia finală printr-o serie ca aceasta, toți membrii și un punct la sfârșit:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5.

Sau cam așa, dacă sunt mulți membri:

a 1, a 2, ... a 14, a 15.

Într-o scurtă intrare, va trebui să indicați suplimentar numărul de membri. De exemplu (pentru douăzeci de membri), astfel:

(a n), n = 20

O progresie nesfârșită poate fi recunoscută prin elipsa de la sfârșitul rândului, ca în exemplele din această lecție.

Acum puteți rezolva sarcini. Sarcinile sunt simple, doar pentru a înțelege semnificația progresiei aritmetice.

Exemple de sarcini privind progresia aritmetică.

Să aruncăm o privire mai atentă asupra sarcinii, care este prezentată mai sus:

1. Scrieți primii șase termeni ai progresiei aritmetice (a n), dacă a 2 = 5, d = -2,5.

Traducem sarcina într-un limbaj de înțeles. Se dă o progresie aritmetică infinită. Al doilea număr al acestei progresii este cunoscut: a 2 = 5. Se cunoaște diferența de progresie: d = -2,5. Este necesar să se găsească primul, al treilea, al patrulea, al cincilea și al șaselea membru al acestei progresii.

Pentru claritate, voi nota o serie în funcție de starea problemei. Primii șase termeni, unde al doilea termen este un cinci:

a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6, ....

a 3 = a 2 + d

Înlocuiți în expresie a 2 = 5și d = -2,5... Nu uitați de minus!

a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5

Al treilea termen este mai mic decât al doilea. Totul este logic. Dacă numărul este mai mare decât cel anterior de negativ valoare, atunci numărul în sine se va dovedi a fi mai mic decât cel anterior. Progresia scade. Bine, să luăm în considerare.) Considerăm al patrulea membru al seriei noastre:

a 4 = a 3 + d

a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0

a 5 = a 4 + d

a 5=0+(-2,5)= - 2,5

a 6 = a 5 + d

a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5

Deci, termenii de la al treilea la al șaselea sunt calculați. Rezultatul este o astfel de serie:

a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....

Rămâne să găsim primul termen a 1 pe celebru al doilea... Acesta este un pas în cealaltă direcție, spre stânga.) Prin urmare, diferența progresiei aritmetice d nu trebuie să adăugați la a 2, dar la pachet:

a 1 = a 2 - d

a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5

Cam despre asta e. Răspuns la sarcină:

7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...

Pe parcurs, voi observa că am rezolvat această sarcină recurent cale. Acest cuvânt înfricoșător înseamnă doar căutarea unui membru al progresiei. după numărul anterior (adiacent). Vom lua în considerare alte moduri de a lucra cu progresia mai târziu.

O concluzie importantă poate fi extrasă din această sarcină simplă.

Tine minte:

Dacă cunoaștem cel puțin un termen și diferența unei progresii aritmetice, putem găsi orice membru al acestei progresii.

Tine minte? Această concluzie simplă vă permite să rezolvați majoritatea sarcinilor cursului școlar pe această temă. Toate sarcinile se învârt în jurul a trei parametri principali: membru al progresiei aritmetice, diferența de progresie, numărul de membru al progresiei. Tot.

Desigur, toată algebra anterioară nu este anulată.) Inegalitățile, ecuațiile și alte lucruri sunt atașate progresiei. Dar prin chiar progresia- totul se învârte în jurul a trei parametri.

Să aruncăm o privire la câteva dintre sarcinile populare pe acest subiect ca exemplu.

2. Scrieți progresia aritmetică finală ca o serie dacă n = 5, d = 0,4 și a 1 = 3,6.

Totul este simplu aici. Totul a fost deja dat. Trebuie să vă amintiți cum sunt numărați, numărați și notați membrii unei progresii aritmetice. Este recomandabil să nu pierdeți cuvintele în starea sarcinii: „final” și „ n = 5". Să nu se numere până când nu este complet albastru la față.) Există doar 5 (cinci) membri în această progresie:

a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4

a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4

a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8

a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2

Rămâne să scrieți răspunsul:

3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.

O altă sarcină:

3. Determinați dacă numărul 7 este un membru al progresiei aritmetice (a n), dacă a 1 = 4,1; d = 1,2.

Hmm ... Cine știe? Cum se determină ceva?

Cum-cum ... Da, notează progresia sub forma unei serii și vezi dacă va fi acolo șapte sau nu! Consideram:

a 2 = a 1 + d = 4.1 + 1.2 = 5.3

a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5

a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7

4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...

Acum se vede clar că suntem doar un șapte strecurat prinîntre 6,5 și 7,7! Cei șapte nu au intrat în seria noastră de numere și, prin urmare, cei șapte nu vor fi membri ai progresului dat.

Raspunsul este nu.

Iată o sarcină bazată pe opțiune reală GIA:

4. Se scriu mai mulți membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; cincisprezece; NS; nouă; 6; ...

Aici se scrie un rând fără sfârșit și început. Fără numere de membri, fără diferență d... E bine. Pentru a rezolva problema, este suficient să înțelegem semnificația progresiei aritmetice. Ne uităm și ne gândim la ceea ce este posibil a ști din această serie? Care sunt cei trei parametri principali?

Numere de membri? Nu există un singur număr aici.

Dar sunt trei numere și - atenție! - cuvânt "consecutiv"în stare. Aceasta înseamnă că numerele sunt strict în ordine, fără goluri. Sunt doi în acest rând vecin numere cunoscute? Da este! Acestea sunt 9 și 6. Deci putem calcula diferența progresiei aritmetice! Scădem din cele șase anterior număr, adică nouă:

Au rămas simple fleacuri. Care este numărul anterior pentru X? Cincisprezece. Aceasta înseamnă că x poate fi găsit cu ușurință printr-o simplă adăugare. Adăugați diferența progresiei aritmetice la 15:

Asta e tot. Răspuns: x = 12

Rezolvăm noi înșine următoarele probleme. Notă: aceste probleme nu se referă la formule. Pur pentru a înțelege semnificația unei progresii aritmetice.) Scriem doar o serie de numere-litere, privim și gândim.

5. Găsiți primul termen pozitiv al progresiei aritmetice dacă a 5 = -3; d = 1,1.

6. Se știe că numărul 5.5 este un membru al progresiei aritmetice (a n), unde a 1 = 1.6; d = 1,3. Determinați numărul n al acestui membru.

7. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 4; a 5 = 15,1. Găsiți un 3.

8. Scris mai mulți membri consecutivi ai progresiei aritmetice:

...; 15,6; NS; 3.4; ...

Găsiți termenul în progresia indicată de litera x.

9. Trenul a început să se deplaseze din gară, mărindu-și constant viteza cu 30 de metri pe minut. Care va fi viteza trenului peste cinci minute? Dă-ți răspunsul în km / h.

10. Se știe că în progresia aritmetică a 2 = 5; a 6 = -5. Găsiți un 1.

Răspunsuri (în dezordine): 7,7; 7,5; 9,5; nouă; 0,3; 4.

Totul a funcționat? Uimitor! Puteți stăpâni progresia aritmetică pentru mai mult nivel inalt, în lecțiile următoare.

Nu totul a funcționat? Nici o problemă. În secțiunea specială 555, toate aceste probleme sunt împărțite în bucăți.) Și, desigur, este descrisă o tehnică practică simplă care evidențiază imediat rezolvarea unor astfel de sarcini în mod clar, clar, ca în palma ta!

Apropo, în puzzle-ul despre tren există două probleme cu care oamenii se împiedică adesea. Unul este pur în progresie, iar al doilea este obișnuit pentru orice probleme din matematică și fizică. Aceasta este o traducere a dimensiunilor de la unul la altul. În acesta se arată cum ar trebui rezolvate aceste probleme.

În această lecție, am examinat semnificația elementară a progresiei aritmetice și parametrii săi principali. Acest lucru este suficient pentru a rezolva aproape toate problemele pe această temă. Adăuga d la numere, scrie o serie, totul va fi decis.

Soluția degetului funcționează bine pentru bucăți de rând foarte scurte, ca în exemplele din această lecție. Dacă rândul este mai lung, calculele devin mai complicate. De exemplu, dacă în problema 9 din întrebare, înlocuiți "cinci minute" pe "treizeci și cinci de minute" problema va deveni mult mai furioasă.)

Și există, de asemenea, sarcini simple, în esență, dar incredibile în ceea ce privește calculele, de exemplu:

Vi se oferă o progresie aritmetică (a n). Găsiți un 121 dacă a 1 = 3 și d = 1/6.

Și ce, vom adăuga de multe, de multe ori până la 1/6?! Poți să te sinucizi!?

Puteți.) Dacă nu cunoașteți o formulă simplă, conform căreia astfel de sarcini pot fi rezolvate într-un minut. Această formulă va fi în lecția următoare. Și această problemă este rezolvată acolo. Intr-un minut.)

Dacă vă place acest site ...

Apropo, am câteva site-uri mai interesante pentru dvs.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și aflați nivelul dvs. Testare de validare instantanee. Învățare - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Instrucțiuni

O progresie aritmetică este o succesiune de forma a1, a1 + d, a1 + 2d ..., a1 + (n-1) d. D în pași progresie Este evident că totalul unui al n-lea termen arbitrar al aritmeticii progresie are forma: An = A1 + (n-1) d. Apoi cunoașterea unuia dintre membri progresie, membru progresieși pas progresie, puteți, adică numărul membrului progresului. Evident, va fi determinat de formula n = (An-A1 + d) / d.

Acum, să fie cunoscut termenul m progresieși un alt membru progresie- n-a, dar n, ca în cazul anterior, dar se știe că n și m nu coincid. progresie poate fi calculat prin formula: d = (An-Am) / (n-m). Atunci n = (An-Am + md) / d.

Dacă se cunoaște suma mai multor elemente ale aritmeticii progresie, precum și primul și ultimul său, atunci se poate determina și numărul acestor elemente. progresie va fi egal cu: S = ((A1 + An) / 2) n. Atunci n = 2S / (A1 + An) - chdenov progresie... Folosind faptul că An = A1 + (n-1) d, această formulă poate fi rescrisă ca: n = 2S / (2A1 + (n-1) d). Din aceasta se poate exprima n rezolvând o ecuație pătratică.

O secvență aritmetică este un astfel de set ordonat de numere, fiecare membru din care, cu excepția primului, diferă de cel anterior cu aceeași cantitate. Această valoare constantă se numește diferența de progresie sau pasul acesteia și poate fi calculată din membrii cunoscuți ai progresiei aritmetice.

Instrucțiuni

Dacă valorile primului și celui de-al doilea sau ale oricărei alte perechi de termeni învecinați sunt cunoscute din condițiile problemei, pentru a calcula diferența (d), scade pur și simplu pe precedentul din termenul următor. Valoarea rezultată poate fi fie pozitivă, fie negativă, în funcție de progresia în creștere. În formă generală, scrieți soluția pentru o pereche arbitrară (aᵢ și aᵢ₊₁) de membri adiacenți ai progresiei după cum urmează: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Pentru o pereche de membri ai unei astfel de progresii, dintre care unul este primul (a₁), iar celălalt este orice altul ales în mod arbitrar, este de asemenea posibil să se compună o formulă pentru găsirea diferenței (d). Cu toate acestea, în acest caz, trebuie cunoscut numărul de secvență (i) al unui membru arbitrar selectat al secvenței. Pentru a calcula diferența, adăugați ambele numere și împărțiți rezultatul la numărul ordinal al unui termen arbitrar, redus cu unul. În general, scrieți această formulă după cum urmează: d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).

Dacă, pe lângă un membru arbitrar al progresiei aritmetice cu ordinal i, este cunoscut un alt membru cu ordinal u, schimbați formula de la pasul anterior în consecință. În acest caz, diferența (d) a progresiei va fi suma acestor doi termeni împărțiți la diferența numerelor lor ordinale: d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v).

Formula pentru calcularea diferenței (d) va deveni oarecum mai complicată dacă valoarea primului său termen (a₁) și suma (Sᵢ) a unui număr dat (i) din primii membri ai secvenței aritmetice sunt date în problemă condiții. Pentru a obține valoarea dorită, împărțiți suma la numărul de membri care o compun, scădeți valoarea primului număr din secvență și dublați rezultatul. Împărțiți valoarea rezultată la numărul de membri care alcătuiesc suma, redusă cu unul. În general, scrieți formula pentru calcularea discriminantului după cum urmează: d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).

De exemplu, secvența \ (2 \); $cinci$; $opt$; $unsprezece$; \ (14 \) ... este o progresie aritmetică, deoarece fiecare element următor diferă de cel precedent cu trei (poate fi obținut din cel anterior prin adăugarea unui triplet):

În această progresie, diferența \ (d \) este pozitivă (egală cu \ (3 \)) și, prin urmare, fiecare termen următor este mai mare decât cel anterior. Astfel de progresii sunt numite crescând.

Cu toate acestea, \ (d \) poate fi și negativ. De exemplu, în progresie aritmetică \ (16 \); \ (10 \); \ (4 \); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... diferența de progresie \ (d \) este egală cu minus șase.

Și în acest caz, fiecare element următor va fi mai mic decât cel anterior. Aceste progresii sunt numite in scadere.

Notare progresie aritmetică

Progresia este indicată printr-o mică literă latină.

Numerele care formează progresia o numesc membrii ai(sau elemente).

Sunt notate cu aceeași literă ca și progresia aritmetică, dar cu un indice numeric egal cu numărul elementului în ordine.

De exemplu, progresia aritmetică \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \) constă din elementele \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru progresia \ (a_n = \ left \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ right \) \)

Rezolvarea problemelor pentru progresia aritmetică

În principiu, informațiile de mai sus sunt deja suficiente pentru a rezolva aproape orice problemă pentru o progresie aritmetică (inclusiv cele oferite la OGE).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este specificată de condițiile \ (b_1 = 7; d = 4 \). Găsiți \ (b_5 \).
Soluţie:

Răspuns: \ (b_5 = 23 \)

Exemplu (OGE). Se dau primii trei termeni ai progresiei aritmetice: \ (62; 49; 36 ... \) Găsiți valoarea primului termen negativ al acestei progresii ..
Soluţie:

	Ni se dau primele elemente ale secvenței și știm că este o progresie aritmetică. Adică, fiecare element diferă de cel vecin cu același număr. Aflați care dintre ele, scăzând-o pe cea anterioară din elementul următor: \ (d = 49-62 = -13 \).
	Acum ne putem restabili progresia către elementul (primul negativ) de care avem nevoie.
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: $-3$

Exemplu (OGE). Sunt date mai multe elemente consecutive ale progresiei aritmetice: \ (... 5; x; 10; 12,5 ... \) Găsiți valoarea elementului indicat de litera \ (x \).
Soluţie:

	Pentru a găsi \ (x \), trebuie să știm cât diferă elementul următor de cel anterior, cu alte cuvinte, diferența de progresie. Să-l găsim din două elemente învecinate cunoscute: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \).
	Și acum îl găsim fără probleme pe cel dorit: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \).
	Gata. Puteți scrie un răspuns.

Răspuns: $7,5$.

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este specificată de următoarele condiții: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Găsiți suma primilor șase termeni ai acestei progresii.
Soluţie:

Trebuie să găsim suma primilor șase termeni ai progresiei. Dar nu le cunoaștem semnificațiile, ni se dă doar primul element. Prin urmare, mai întâi calculăm valorile pe rând, folosind cele date nouă:

\ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \)
\ (n = 2 \); \ (a_ (2 + 1) = a_2 + 5 = -6 + 5 = -1 \)
\ (n = 3 \); \ (a_ (3 + 1) = a_3 + 5 = -1 + 5 = 4 \)
Și după ce am calculat cele șase elemente de care avem nevoie, găsim suma lor.

\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \)
$=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9$

Suma pe care o căutați a fost găsită.

Răspuns: \ (S_6 = 9 \).

Exemplu (OGE). În progresie aritmetică \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Găsiți diferența dintre această progresie.
Soluţie:

Răspuns: \ (d = 7 \).

Formule importante de progresie aritmetică

După cum puteți vedea, multe probleme de progresie aritmetică pot fi rezolvate pur și simplu prin înțelegerea principalului lucru - faptul că o progresie aritmetică este un lanț de numere și fiecare element următor din acest lanț este obținut prin adăugarea aceluiași număr la cel anterior (diferența a progresiei).

Cu toate acestea, uneori există situații în care este foarte incomod să se decidă „frontal”. De exemplu, imaginați-vă că în primul exemplu trebuie să găsim nu al cincilea element \ (b_5 \), ci al celor trei sute optzeci și șase \ (b_ (386) \). Ce este, noi \ (385 \) ori adăugăm patru? Sau imaginați-vă că, în penultimul exemplu, trebuie să găsiți suma primelor șaptezeci și trei de elemente. Veți fi torturați să numărați ...

Prin urmare, în astfel de cazuri, ele nu rezolvă „frontal”, ci folosesc formule speciale derivate pentru progresia aritmetică. Și principalele sunt formula pentru al nouălea termen al progresiei și formula pentru suma \ (n \) a primilor termeni.

Formula \ (n \) - al treilea membru: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \), unde \ (a_1 \) este primul termen al progresiei;
\ (n \) - numărul elementului căutat;
\ (a_n \) este un membru al progresiei cu numărul \ (n \).

Această formulă ne permite să găsim rapid cel puțin elementul trei sutime, chiar milionul, știind doar primul și diferența progresiei.

Exemplu. Progresia aritmetică este specificată de condițiile: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Găsiți \ (b_ (246) \).
Soluţie:

Răspuns: \ (b_ (246) = 1850 \).

Formula pentru suma primilor n termeni: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), unde

\ (a_n \) - ultimul termen însumat;

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este specificată de condițiile \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Găsiți suma primilor \ (25 \) membri ai acestei progresii.
Soluţie:

\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \)		Pentru a calcula suma primelor douăzeci și cinci de elemente, trebuie să cunoaștem valoarea primilor și celor douăzeci și cinci de termeni. Progresia noastră este dată de formula celui de-al n-lea termen în funcție de numărul acestuia (vezi detalii). Să calculăm primul element înlocuind unul cu \ (n \).
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \)		Acum găsim termenul douăzeci și cinci, înlocuind douăzeci și cinci în loc de \ (n \).
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \)		Ei bine, acum putem calcula suma necesară fără probleme.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (2.8 + 84.4) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) \ (1090 \)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \ (S_ (25) = 1090 \).

Pentru suma \ (n \) primilor termeni, puteți obține o altă formulă: trebuie doar să \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) în loc de \ (a_n \) înlocuiți-l cu formula \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Primim:

Formula pentru suma primilor n termeni: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), unde

\ (S_n \) - suma necesară \ (n \) a primelor elemente;
\ (a_1 \) - primul termen rezumat;
\ (d \) - diferența de progresie;
\ (n \) - numărul de elemente din sumă.

Exemplu. Găsiți suma primilor \ (33 \) - ex membri ai progresiei aritmetice: \ (17 \); \ (15,5 \); $paisprezece$…
Soluţie:

Răspuns: \ (S_ (33) = - 231 \).

Probleme de progresie aritmetică mai complexe

Acum aveți toate informațiile de care aveți nevoie pentru a rezolva aproape orice problemă de progresie aritmetică. Încheiem subiectul luând în considerare problemele în care nu trebuie doar să aplicați formule, ci și să gândiți puțin (în matematică, acest lucru poate fi util ☺)

Exemplu (OGE). Găsiți suma tuturor termenilor negativi ai progresiei: \ (- 19,3 \); $-nouăsprezece$; \ (- 18,7 \) ...
Soluţie:

\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \)		Sarcina este foarte asemănătoare cu cea anterioară. Începem să rezolvăm și: mai întâi găsim \ (d \).
\ (d = a_2-a_1 = -19 - (- 19,3) = 0,3 \)		Acum aș înlocui \ (d \) în formulă cu suma ... și aici apare o mică nuanță - nu știm \ (n \). Cu alte cuvinte, nu știm câți termeni vor trebui adăugați. Cum să aflăm? Să ne gândim. Nu vom mai adăuga elemente când vom ajunge la primul element pozitiv. Adică, trebuie să aflați numărul acestui element. Cum? Să notăm formula pentru calcularea oricărui element al progresiei aritmetice: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) pentru cazul nostru.
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \)
\ (a_n = -19,3 + (n-1) 0,3 \)		Avem nevoie ca \ (a_n \) să fie mai mare decât zero. Să aflăm la ce \ (n \) se va întâmpla acest lucru.
\ (- 19.3+ (n-1) 0.3> 0 \)
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (\|: 0,3 \)		Împărțim ambele părți ale inegalității cu \ (0,3 \).
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \)		Mutați minus unul, amintindu-vă să schimbați semnele
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \)		Calculăm ...
\ (n> 65,333 ... \)		... și se dovedește că primul element pozitiv va avea numărul \ (66 \). În consecință, ultimul negativ are \ (n = 65 \). Să verificăm pentru orice eventualitate.
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = - 19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) \ (n = 66; \) \ (a_ (66) = - 19,3+ (66-1) 0,3 = 0,2 \)		Astfel, trebuie să adăugăm primele elemente \ (65 \).
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19.3) + (65-1) 0.3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) \ (S_ (65) = \) \ ((- 38,6 + 19,2) (2) \) \ (\ cdot 65 = -630,5 \)		Răspunsul este gata.

Răspuns: \ (S_ (65) = - 630,5 \).

Exemplu (OGE). Progresia aritmetică este specificată de condițiile: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Găsiți suma de la \ (26 \) th la \ (42 \) element inclusiv.
Soluţie:

\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \)	În această problemă, trebuie să găsiți și suma elementelor, dar pornind nu de la primul, ci de la \ (26 \) - th. Pentru un astfel de caz, nu avem nicio formulă. Cum să decid? Ușor - pentru a obține suma de la \ (26 \) th la \ (42 \) - oh, trebuie mai întâi să găsiți suma de la \ (1 \) - th la \ (42 \) - oh și apoi scădeți suma de la acesta mai întâi la \ (25 \) - th (vezi poza).
	Pentru progresia noastră \ (a_1 = -33 \) și diferența \ (d = 4 \) (la urma urmei, sunt cele patru pe care le adăugăm elementului anterior pentru a-l găsi pe următorul). Știind acest lucru, găsim suma primelor elemente \ (42 \) - yh.
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 164) (2) \) \ (\ cdot 42 = 2058 \)	Acum suma primelor elemente \ (25 \) - ty.
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) \ (= \) \ (\ frac (-66 + 96) (2) \) \ (\ cdot 25 = 375 \)	În cele din urmă, calculăm răspunsul.
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \)

Răspuns: \ (S = 1683 \).

Pentru progresia aritmetică, există mai multe formule pe care nu le-am luat în considerare în acest articol datorită utilității lor practice reduse. Cu toate acestea, le puteți găsi cu ușurință.

Când studiați algebra într-o școală cuprinzătoare (clasa a 9-a), unul dintre subiectele importante este studiul secvențe numerice, care includ progresii - geometrice și aritmetice. În acest articol, vom lua în considerare progresia aritmetică și exemple cu soluții.

Ce este o progresie aritmetică?

Pentru a înțelege acest lucru, este necesar să se dea o definiție a progresiei luate în considerare, precum și să se furnizeze formulele de bază care vor fi utilizate în continuare în rezolvarea problemelor.

Aritmetica sau este un ansamblu de numere raționale ordonate, al căror termen diferă de cel anterior printr-o anumită valoare constantă. Această valoare se numește diferență. Adică, cunoscând orice membru al seriei ordonate de numere și diferența, puteți restabili întreaga progresie aritmetică.

Să dăm un exemplu. Următoarea secvență de numere va fi o progresie aritmetică: 4, 8, 12, 16, ..., deoarece diferența în acest caz este 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Dar setul de numere 3, 5, 8, 12, 17 nu mai poate fi atribuit tipului de progres considerat, deoarece diferența pentru aceasta nu este o valoare constantă (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Formule importante

Să oferim acum formulele de bază care vor fi necesare pentru rezolvarea problemelor folosind o progresie aritmetică. Să notăm cu a n al n-lea termen al secvenței, unde n este un număr întreg. Diferența este notată de litera latină d. Atunci sunt valabile următoarele expresii:

Pentru a determina valoarea celui de-al n-lea termen, este potrivită următoarea formulă: a n = (n-1) * d + a 1.
Pentru a determina suma primilor n termeni: S n = (a n + a 1) * n / 2.

Pentru a înțelege orice exemple de progresie aritmetică cu o soluție în gradul 9, este suficient să ne amintim aceste două formule, deoarece orice problemă de tipul luat în considerare se bazează pe utilizarea lor. De asemenea, trebuie să vă amintiți că diferența de progresie este determinată de formula: d = a n - a n-1.

Exemplul 1: găsirea unui membru necunoscut

Să dăm un exemplu simplu de progresie aritmetică și formule care trebuie utilizate pentru a rezolva.

Să se dea secvența 10, 8, 6, 4, ..., este necesar să se găsească cinci termeni în ea.

Din afirmația problemei rezultă deja că primii 4 termeni sunt cunoscuți. Al cincilea poate fi definit în două moduri:

Să calculăm mai întâi diferența. Avem: d = 8 - 10 = -2. La fel, s-ar putea lua alți doi membri care stau unul lângă celălalt. De exemplu, d = 4 - 6 = -2. Deoarece se știe că d = a n - a n-1, atunci d = a 5 - a 4, de unde obținem: a 5 = a 4 + d. Înlocuiți valorile cunoscute: a 5 = 4 + (-2) = 2.
A doua metodă necesită, de asemenea, cunoașterea diferenței progresiei luate în considerare, deci mai întâi trebuie să o determinați așa cum se arată mai sus (d = -2). Știind că primul termen a 1 = 10, folosim formula pentru n numărul secvenței. Avem: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Înlocuind n = 5 în ultima expresie, obținem: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

După cum puteți vedea, ambele metode de soluție au condus la același rezultat. Rețineți că în acest exemplu, diferența d a progresiei este negativă. Astfel de secvențe sunt numite descrescătoare, deoarece fiecare termen următor este mai mic decât cel anterior.

Exemplul # 2: Diferența de progresie

Acum, să complicăm puțin sarcina, vom da un exemplu despre cum să găsim diferența unei progresii aritmetice.

Se știe că în unele progresii algebrice primul termen este egal cu 6, iar cel de-al 7-lea termen este egal cu 18. Este necesar să se găsească diferența și să se restabilească această secvență la cel de-al 7-lea termen.

Să folosim formula pentru a determina termenul necunoscut: a n = (n - 1) * d + a 1. Înlocuim în ea datele cunoscute din condiție, adică numerele a 1 și a 7, avem: 18 = 6 + 6 * d. Din această expresie, puteți calcula cu ușurință diferența: d = (18 - 6) / 6 = 2. Astfel, am răspuns la prima parte a problemei.

Pentru a restabili secvența la 7 termeni, ar trebui să utilizați definiția progresie algebrică, adică a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d și așa mai departe. Ca urmare, restabilim întreaga secvență: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Exemplul # 3: realizarea unei progresii

Să complicăm și mai mult starea problemei. Acum este necesar să răspundem la întrebarea cum să găsim progresia aritmetică. Puteți da următorul exemplu: dat două numere, de exemplu - 4 și 5. Este necesar să se facă o progresie algebrică, astfel încât să se încadreze încă trei termeni între acestea.

Înainte de a începe rezolvarea acestei probleme, este necesar să înțelegem ce loc vor ocupa numerele date în viitoarea progresie. Deoarece vor exista încă trei termeni între ei, atunci un 1 = -4 și un 5 = 5. După ce am stabilit acest lucru, trecem la problema, care este similară cu cea anterioară. Din nou, pentru al n-lea termen, folosim formula, obținem: a 5 = a 1 + 4 * d. De unde: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Aici nu am primit o valoare întreagă a diferenței, dar este un număr rațional, astfel încât formulele pentru progresia algebrică rămân aceleași.

Acum adăugați diferența găsită la un 1 și restaurați membrii lipsă ai progresiei. Obținem: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, care au coincis cu starea problemei.

Exemplul # 4: primul termen al progresiei

Să continuăm să oferim exemple de progresie aritmetică cu o soluție. În toate problemele anterioare, a fost cunoscut primul număr al progresiei algebrice. Acum luați în considerare o problemă de alt tip: să se dea două numere, unde a 15 = 50 și a 43 = 37. Este necesar să se găsească numărul de la care începe această secvență.

Formulele utilizate până acum presupun cunoașterea unui 1 și d. Nu se știe nimic despre aceste numere în enunțul problemei. Cu toate acestea, scriem expresii pentru fiecare membru despre care există informații: a 15 = a 1 + 14 * d și a 43 = a 1 + 42 * d. Am primit două ecuații în care 2 cantități necunoscute (a 1 și d). Aceasta înseamnă că problema se reduce la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare.

Cel mai simplu mod de a rezolva acest sistem este să exprimăm 1 în fiecare ecuație și apoi să comparăm expresiile rezultate. Prima ecuație: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; a doua ecuație: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Echivalând aceste expresii, obținem: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, de unde diferența d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (sunt date doar 3 zecimale).

Cunoscând d, puteți utiliza oricare dintre cele 2 expresii de mai sus pentru un 1. De exemplu, primul: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Dacă aveți îndoieli cu privire la rezultat, îl puteți verifica, de exemplu, pentru a determina termenul de progresie 43, care este specificat în condiție. Obținem: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. O mică eroare se datorează faptului că calculele au folosit rotunjirea la miimi.

Exemplul # 5: suma

Să vedem acum câteva exemple cu soluții pentru suma unei progresii aritmetice.

Să se dea o progresie numerică de următoarea formă: 1, 2, 3, 4, ...,. Cum calculați suma acestor 100 de numere?

Datorită dezvoltării tehnologiei computerului, este posibil să se rezolve această problemă, adică să adune toate numerele secvențial, lucru pe care computerul îl va face imediat ce o persoană apasă tasta Enter. Cu toate acestea, problema poate fi rezolvată în minte, dacă acordăm atenție faptului că seria de numere prezentată este o progresie algebrică, iar diferența sa este 1. Aplicând formula pentru sumă, obținem: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Este curios să observăm că această problemă se numește „gaussiană”, deoarece la începutul secolului al XVIII-lea faimosul german, deși avea doar 10 ani, a reușit să o rezolve în cap în câteva secunde. Băiatul nu știa formula pentru suma unei progresii algebrice, dar a observat că, dacă adăugați în perechi numerele de pe marginile secvenței, obțineți întotdeauna un rezultat, adică 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ... și, deoarece aceste sume vor fi exact 50 (100/2), atunci pentru a obține răspunsul corect, este suficient să înmulțiți 50 cu 101.

Exemplul # 6: suma membrilor de la n la m

Un alt exemplu tipic suma progresiei aritmetice este după cum urmează: având în vedere un număr de numere: 3, 7, 11, 15, ..., trebuie să aflați ce va reprezenta suma membrilor săi de la 8 la 14.

Problema este rezolvată în două moduri. Primul dintre ele implică găsirea termenilor necunoscuți de la 8 la 14 și apoi adăugarea lor secvențială. Deoarece există puțini termeni, această metodă nu este suficient de laborioasă. Cu toate acestea, se propune rezolvarea acestei probleme prin a doua metodă, care este mai universală.

Ideea este de a obține o formulă pentru suma progresiei algebrice dintre termenii m și n, unde n> m sunt numere întregi. Să scriem două expresii pentru suma pentru ambele cazuri:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Deoarece n> m, este evident că suma 2 include prima. Ultima concluzie înseamnă că, dacă luăm diferența dintre aceste sume și adăugăm termenul a m (în cazul luării diferenței, se scade din suma S n), atunci obținem răspunsul necesar la problemă. Avem: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). În această expresie este necesar să se substituie formulele cu a n și a m. Apoi obținem: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Formula rezultată este oarecum greoaie; totuși, suma lui S mn depinde doar de n, m, a 1 și d. În cazul nostru, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Înlocuind aceste numere, obținem: S mn = 301.

După cum se poate vedea din soluțiile date, toate problemele se bazează pe cunoașterea expresiei pentru al n-lea termen și formula pentru suma setului primilor termeni. Înainte de a continua cu soluționarea oricăreia dintre aceste probleme, se recomandă să citiți cu atenție starea, să înțelegeți clar ce trebuie găsit și abia apoi să treceți la soluție.

Un alt sfat este să căutați simplitatea, adică dacă puteți răspunde la o întrebare fără a utiliza calcule matematice complexe, atunci trebuie să faceți exact acest lucru, deoarece în acest caz probabilitatea de a face o greșeală este mai mică. De exemplu, în exemplul unei progresii aritmetice cu soluția # 6, s-ar putea opri la formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, și împărțit sarcină comunăîn subtaskuri separate (în acest caz, găsiți mai întâi termenii a n și a m).

Dacă există îndoieli cu privire la rezultatul obținut, se recomandă verificarea acestuia, așa cum s-a făcut în unele dintre exemplele date. Am descoperit cum să găsim progresia aritmetică. Dacă vă dați seama, nu este atât de dificil.