Suma primelor 13 numere de progresie aritmetică. Progresie aritmetică și geometrică

Conceptul de secvență numerică implică corespondența fiecărui număr natural de o valoare validă. Un astfel de număr de numere pot fi atât arbitrare, cât și posedă anumite proprietăți - progresie. ÎN ultimul caz Fiecare element ulterior (membru) al secvenței poate fi calculat folosind cel precedent.

Progresie aritmetică - Secvența valorilor numerice în care elementele sale învecinate diferă unul în același număr (toate elementele seriei, începând cu a doua) posedă proprietatea. Acest număr este diferența dintre membrul anterior și ulterior - în mod constant și se numește diferența în progresie.

Diferența de progresie: Definiție

Luați în considerare o secvență constând din valorile J A \u003d A (1), A (2), A (3), A (4) ... A (J), J aparține la set numere naturale N. Progresia aritmetică, conform definiției sale, este o secvență în care A (3) - A (2) \u003d A (4) - A (3) \u003d A (5) - A (4) \u003d ... \u003d a (J) - a (j-1) \u003d d. Valoarea lui D este diferența dorită în această progresie.

d \u003d a (j) - a (J-1).

Aloca:

Creșterea progresiei, în acest caz d\u003e 0. Exemplu: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Scăderea progresiei, apoi d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Diferența de progresie și elementele sale arbitrare

Dacă există 2 membri arbitrari de progresie (I-Th, KH), atunci diferența pentru această secvență se poate baza pe relația:

a (I) \u003d a (k) + (i - K) * D, înseamnă D \u003d (A (I) - a (k)) / (i - k).

Diferența de progresie și primul său membru

Această expresie va ajuta la determinarea valorii necunoscute numai în cazurile în care numărul elementului de secvență este cunoscut.

Diferența de progresie și suma sa

Cantitatea de progresie este suma membrilor săi. Pentru a calcula valoarea totală a primelor elemente J, utilizați formula corespunzătoare:

S (j) \u003d ((a (1) + a (j)) / 2) * j, dar pentru că a (j) \u003d a (1) + d (j - 1), apoi s (j) \u003d ((a (1) + a (1) + d (j - 1)) / 2) * j \u003d ((( 2a (1) + d (- 1)) / 2) * j.

Da, da: progresia aritmetică nu este jucăriile :)

Ei bine, prieteni, dacă citiți acest text, atunci capacul interior evident îmi spune că încă nu știți ce progresie aritmetică este, dar foarte (nu, ca aceasta: oooooo!) Vrei să știi. Prin urmare, nu vă voi chinui o lungă aderare și nu veți merge imediat la acest caz.

Pentru că a început câteva exemple. Luați în considerare mai multe seturi de numere:

1; 2; 3; 4; ...
15; 20; 25; 30; ...
$ \\ Sqrt (2); \\ sqrt (2); \\ 3 \\ sqrt (2); ... $

Ce este comun tuturor acestor seturi? La prima vedere - nimic. Dar de fapt este ceva. Și anume: fiecare element următor diferă de cel precedent și de același număr..

Judecă pentru tine. Primul set este pur și simplu într-un rând al numărului, fiecare altul este mai mare decât cel precedent. În al doilea caz, diferența dintre numerele din apropiere este deja egală cu cinci, dar această diferență este încă constantă. În al treilea caz, în general rădăcini. Cu toate acestea, $ 2 \\ sqrt (2) \u003d \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, și $ 3 \\ sqrt (2) \u003d 2 \\ sqrt (2) + \\ sqrt (2) $, adică Și în acest caz, fiecare element următor crește pur și simplu $ \\ sqrt (2) $ (și să nu sperie că acest număr este irațional).

Deci: toate astfel de secvențe sunt numite doar progrese aritmetice. Să dăm o definiție strictă:

Definiție. Secvența numerelor în care fiecare caracteristici viitoare diferă de cea anterioară și aceeași valoare se numește progresia aritmetică. Dimensiunea numărului este diferită, se numește diferența în progresie și cel mai adesea indicată de scrisoarea $ d $.

Desemnarea: $ \\ Stânga ((a) _ (n)) \\ dreapta) $ - progresia în sine, $ d $ este diferența sa.

Și imediat câteva comentarii importante. În primul rând, progresul este considerat numai ordonat Secvența numerelor: li se permite să citească strict în ordinea în care sunt înregistrate - și în vreun fel. Este imposibil să rearanjați și să modificați numărul de numere.

În al doilea rând, secvența în sine poate fi atât finită, cât și fără sfârșit. De exemplu, setul (1; 2; 3) este, evident, progresia aritmetică finală. Dar dacă scrieți ceva în Duhul (1; 2; 3; 4; ...) - Aceasta este o progresie infinită. După al patrulea, după al patrulea, așa cum era, se indică, atunci există încă câteva numere. Infinit foarte mult, de exemplu. :)

Aș dori, de asemenea, să menționez că progresia este în creștere și în scădere. Am văzut deja creșterea - același set (1; 2; 3; 4; ...). Dar exemple de progresie descendentă:

49; 41; 33; 25; 17; ...
17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
$ \\ Sqrt (5); \\ sqrt (5) -1; \\ sqrt (5) -2; \\ sqrt (5) -3; $

BINE BINE: ultimul exemplu Poate părea prea complicată. Dar restul, cred că sunteți de înțeles. Prin urmare, introducem noi definiții:

Definiție. Progresul aritmetic este numit:

creșterea dacă fiecare element următor este mai mare decât cel precedent;

descendent, dacă, dimpotrivă, fiecare element ulterior este mai mic decât cel precedent.

În plus, există așa-numitele secvențe "staționare" - ele constau din același număr recurent. De exemplu, (3; 3; 3; ...).

Există o singură întrebare: cum să distingeți o progresie tot mai mare de scădere? Din fericire, totul depinde de ceea ce este semnul numărului $ d $, adică Diferența de progresie:

Dacă $ d \\ gt 0 $, atunci progresia crește;
Dacă $ d \\ lt 0 $, atunci progresia este în mod evident în scădere;
În cele din urmă, există un caz de $ d \u003d 0 $ - în acest caz, întreaga progresie este redusă la secvența staționară a acelorași numere: (1; 1; 1; 1; ...), etc.

Să încercăm să calculăm diferența de $ d $ pentru trei progresuri descrescătoare date mai sus. Pentru a face acest lucru, este suficient să luați toate elementele adiacente (de exemplu, primul și al doilea) și să scăpați din partea dreaptă, a numărului de articole. Va arăta astfel:

41−49=−8;
12−17,5=−5,5;
$ \\ Sqrt (5) -1- \\ sqrt (5) \u003d - 1 $.

După cum puteți vedea, în toate cele trei cazuri, diferența sa dovedit a fi negativă. Și acum, când ne-am dat seama mai mult sau mai puțin definiții, este timpul să se ocupe de modul în care este descrisă progresia și ce proprietăți au.

Progresie și formula recurentă

Deoarece elementele secvențelor noastre nu pot fi schimbate în locuri, ele pot fi numerotate:

\\ [\\ stânga ((a) _ (n)) \\ dreapta) \u003d \\ stânga \\ ((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \\ DREAPTA \\) \\]

Elementele separate ale acestui set sunt numite membri de progresie. Ele indică-le cu ajutorul numărului: primul pula, al doilea termen etc.

În plus, după cum știm deja, membrii vecini ai progresiei sunt legate de formula:

\\ [((a) _ (N)) - ((a) _ (n - 1)) \u003d d \\ dreapta ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + d \\]

Pe scurt, pentru a găsi un membru de $ N $ -d al progresiei, trebuie să știți membru $ N-1 $ și diferența $ d $. O astfel de formulă este numită recurentă, deoarece poate fi folosită pentru a găsi orice număr, cunoscând doar cel precedent (și, de fapt, toate cele anterioare). Este foarte incomod, prin urmare, există o formulă mai vicleană care reduce orice calcul al primului membru și diferența:

\\ [((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (n-1 \\ dreapta) d \\]

Cu siguranță ați întâlnit deja această formulă. Ea iubește să dea în toate directoarele și la reschebnikh. Da, și în orice manual explicativ despre matematică, ea merge una dintre primele.

Cu toate acestea, propun o mică presiune.

Numărul de sarcină 1. Asigurați-vă primii trei membri ai progresiei aritmetice de $ \\ stânga ((a) _ (n)) \\ dreapta) $, dacă $ ((a) _ (1)) \u003d 8, d \u003d -5 $.

Decizie. Deci, știm primul termen $ ((a) _ (1)) \u003d $ 8 și diferența în progresia de $ d \u003d -5 $. Folosim doar formula rezultată și înlocuim $ n \u003d 1 $, $ n \u003d $ 2 și $ n \u003d $ 3:

\\ [\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (n-1 \\ dreapta) d; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (1-1 _ dreapta) d \u003d ((a) _ (1)) \u003d 8; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (2-1 \\ dreapta) d \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 8-5 \u003d 3; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (3-1 \\ dreapta) d \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d 8-10 \u003d -2. \\\\\\ end (align) \\]

Răspuns: (8; 3; -2)

Asta e tot! Vă rugăm să rețineți: progresia noastră este descendentă.

Desigur, $ n \u003d 1 $ nu a putut fi înlocuit - primul membru despre care suntem, de asemenea, cunoscuți. Cu toate acestea, substituirea unității, am fost convinși că chiar și pentru primul membru, Formula noastră funcționează. În alte cazuri, totul a fost adus la aritmetică banală.

Numărul de sarcină 2. Scrieți primii trei membri ai progresiei aritmetice dacă este al șaptelea membru este -40, iar al șaptesprezecelea membru este -50.

Decizie. Scriem starea sarcinii în termenii obișnuiți:

\\ [((a) _ (7)) \u003d - 40; quad ((a) _ (17)) \u003d - 50. \\]

\\ [\\ stânga \\ (\\ începe (align) & ((a) _ (7)) \u003d ((a) _ (1)) + 6d \\\\ & ((a) _ (17)) \u003d ((a) _ (1)) + 16d \\\\\\ capătul (aliniere) \\ dreapta. \\]

\\ [\\ stânga \\ (\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40 \\\\ \\ ((a) _ (1)) + 16d \u003d -50 \\\\ capătul (aliniere) \\ Dreapta. \\]

Am setat semnul de sistem, deoarece aceste cerințe trebuie efectuate simultan. Și acum, notăm, dacă primul care a deduce prima ecuație (avem dreptul să o facem, pentru că avem un sistem), obținem acest lucru:

\\ [\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (1)) + 16d- \\ stânga ((a) _ (1)) + 6d \\ dreapta) \u003d - 50- \\ stânga (-40 \\ dreapta); \\\\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d \u003d -50 + 40; \\\\ & 10D \u003d -10; \\\\ & D \u003d -1. \\\\\\ end (align) \\]

Asta e atât de simplu că am găsit diferența de progresie! Rămâne să înlocuiți numărul găsit la oricare dintre ecuațiile sistemului. De exemplu, în primul:

\\ [\\ începe (matrice) ((a) _ (1)) + 6d \u003d -40; quad d \u003d -1 \\\\ \\ uwanarrow \\\\ ((a) _ (1)) - 6 \u003d -40; \\\\ ((a) _ (1)) \u003d - 40 + 6 \u003d -34. \\\\\\ end (matrice) \\]

Acum, cunoașterea primului membru și diferența, rămâne să găsiți a doua și a treia pula:

\\ [\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d -34-1 \u003d -35; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d ((a) _ (1)) + 2d \u003d -34-2 \u003d -36. \\\\\\ end (align) \\]

Gata! Sarcina este rezolvată.

Răspuns: (-34; -35; -36)

Fiți atenți la proprietatea curioasă a progresului pe care am găsit-o: Dacă luați membrii N $ și $ M $ -y și le scăpați unul de celălalt, atunci vom obține diferența în progresul înmulțit cu $ N-M $

\\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) \u003d d \\ cdot \\ stânga (n-m \\ dreapta) \\]

Simplu, dar foarte proprietate utilăCă trebuie să știți - cu ea, puteți accelera în mod semnificativ soluția multor probleme legate de progres. Iată un exemplu luminos:

Numărul de sarcină 3. Cea de-a cincea mandat a progresiei aritmetice este de 8,4, iar cel de-al zecelea membru este de 14,4. Găsiți un al cincisprezecelea membru al acestei progresii.

Decizie. Deoarece $ ((a) _ (5)) \u003d $ 8.4, $ ((a) _ (10)) \u003d 14.4 dolari și trebuie să găsești $ ((a) _ (15)) $, apoi notați următoarele:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) \u003d 5d; \\\\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 5d. \\\\\\ end (align) \\]

Dar cu condiția $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) \u003d 14.4-8.4 \u003d $ 6, prin urmare 5D $ \u003d 6 dolari, de unde avem:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (15)) - 14,4 \u003d 6; \\\\ & ((a) _ (15)) \u003d 6 + 14,4 \u003d 20,4. \\\\\\ end (align) \\]

Răspuns: 20.4.

Asta e tot! Nu trebuia să fim un fel de sisteme de ecuații și să luăm în considerare primul membru și diferența - totul a decis literalmente în câteva linii.

Acum, luați în considerare un alt tip de sarcină - pentru a găsi membri negativi și pozitivi ai progresiei. Nu este un secret că, dacă progresia crește, cu primul său membru al ei negativ, atunci mai devreme sau mai târziu vor fi membri pozitivi. Aproape: membrii progresiei în scădere mai devreme sau mai târziu vor deveni negative.

În același timp, nu este întotdeauna posibilă adăugarea acestui moment "în frunte", transformând secvențial elementele. Adesea, sarcinile sunt concepute astfel încât să existe mai multe coli fără să știe formulele - am adormit, în timp ce au găsit răspunsul. Prin urmare, să încercăm să rezolvăm aceste sarcini într-un mod mai rapid.

Numărul de sarcină 4. Câți membri negativi în progresia aritmetică este -38,5; -35,8; ...?

Decizie. Deci $ ((a) _ (1)) \u003d - $ 38,5, $ ((a) _ (2)) \u003d - 35,8 dolari, unde găsim imediat o diferență:

Rețineți că diferența este pozitivă, prin urmare, progresia crește. Primul membru este negativ, deci într-adevăr la un moment dat vom împiedica numerele pozitive. Singura întrebare este când se întâmplă.

Să încercăm să aflăm: cât timp (adică, la ce fel de număr natural $ n $), negativitatea membrilor este păstrată:

\\ [\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (n)) \\ lt 0 \\ dreapta ((a) _ (1)) + \\ stânga (n-1 \\ dreapta) d \\ lt 0; \\\\ & -38,5+ \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ cdot 2.7 \\ lt 0; \\ quad \\ stânga | \\ CDOT 10 \\ dreapta. \\\\ & -385 + 27 \\ cdot \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ lt 0; \\\\ & -385 + 27N-27 \\ lt 0; \\\\ & 27N \\ lt 412; \\\\ & n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) \\ dreapta ((n) _ (\\ max)) \u003d 15. \\\\\\ end (align) \\]

Ultima linie necesită explicații. Deci, știm că $ n \\ lt 15 \\ frac (7) (27) $. Pe de altă parte, vom simula numai valorile întregi ale numărului (mai mult de: $ n \\ în \\ Mathkb (N) $), astfel încât cel mai mare număr admis este exact $ n \u003d $ 15 și în nici un caz 16.

Numărul de sarcină 5. În progresia aritmetică a $ ((5)) \u003d - 150, (() _ (6)) \u003d - $ 147. Găsiți primul membru pozitiv al acestei progresii.

Ar fi exact aceeași sarcină ca cea anterioară, cu toate acestea, nu știm $ ((a) _ (1)) $. Dar membrii vecini sunt cunoscuți: $ ((a) _ (5)) $ și $ ((a) _ (6)) $, deci vom găsi cu ușurință diferența de progresie:

În plus, să încercăm să exprimăm cea de-a cincea pula prin prima și diferență conform formulei standard:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (n)) \u003d ((a) _ (1)) + \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ cdot d; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d ((a) _ (1)) + 4d; \\\\ & -150 \u003d ((a) _ (1)) + 4 \\ cdot 3; \\\\ & ((a) _ (1)) \u003d - 150-12 \u003d -162. \\\\\\ end (align) \\]

Acum facem prin analogie cu sarcina anterioară. Noi aflăm la ce punct din secvența noastră va avea numere pozitive:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (n)) \u003d - 162+ \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ cdot 3 \\ gt 0; \\\\ & -162 + 3N-3 \\ GT 0; \\\\ & 3N \\ gt 165; \\\\ & n \\ gt 55 \\ dreapta ((n) _ (\\ min)) \u003d 56. \\\\\\ end (align) \\]

Soluția minimă întregă a acestei inegalitate este numărul 56.

Vă rugăm să rețineți: În ultima sarcină, totul a fost luminat de inegalitatea strictă, astfel încât opțiunea $ n \u003d $ 55 nu ne va potrivi.

Acum, când am învățat cum să rezolvăm sarcini simple, ne întoarcem la mai complexe. Dar, în primul rând, să studiem o altă proprietate foarte utilă a progresilor aritmetice, care, în viitor, ne va salva o grămadă de timp și celule inegale. :)

Media aritmetică și indicii egale

Luați în considerare câțiva membri consecutivi ai creșterii progresiei aritmetice de $ \\ stânga ((a) _ (n)) \\ dreapta) $. Să încercăm să le marcați pe o dreaptă numerică:

Membrii progresiei aritmetice pe o direcție numerică

Am remarcat în mod specific membrii arbitrari $ ((a) _ (n-3)), ((a) _ (n + 3)) $, și nu unele $ ((a) _ (1)), \\ ((a) _ (2)), \\ ((a) _ (3)) $, etc. Deoarece regula pe care o voi spune acum, funcționează în mod egal pentru orice "segmente".

Iar regula este foarte simplă. Să ne amintim formula de recurență și să o scriu tuturor membrilor marcați:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n-3)) + d; \\\\ & ((a) _ (N-1)) \u003d ((a) _ (n-2)) + d; \\\\ & ((a) _ (N)) \u003d ((a) _ (n - 1)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n + 1)) + d; \\\\\\ end (align) \\]

Cu toate acestea, aceste egalități pot fi rescrise în mod diferit:

\\ [\\ începe (ALIGN) & ((a) _ (N-1)) \u003d ((a) _ (n)) - d; \\\\ & ((a) _ (n-2)) \u003d ((a) _ (n)) - 2d; \\\\ & ((a) _ (n-3)) \u003d ((a) _ (n)) - 3D; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (n + 3)) \u003d ((a) _ (n)) + 3D; \\\\\\ end (align) \\]

Ei bine, deci ce? Și faptul că membrii $ ((a) _ (n - 1)) $ și $ ((a) _ (n + 1)) $ se află la aceeași distanță de $ ((a) _ (n)) $. Și această distanță este $ d $. Același lucru se poate spune despre membrii de $ ((a) _ (N-2)) $ și $ ((a) _ (n + 2)) $ - sunt, de asemenea, eliminate de la $ ((a) _ (n )) $ La aceeași distanță, egală cu $ 2D $. Puteți continua până la infinit, dar punctul este bine ilustrat de imagine

Membrii progresiei se află la aceeași distanță de centru

Ce înseamnă asta pentru noi? Aceasta înseamnă că puteți găsi $ ((a) _ (n)) $, dacă vecinii sunt cunoscuți:

\\ [((a) _ (n)) \u003d \\ frac ((a) _ (n - 1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \\]

Am adus o mare aprobare: fiecare membru al progresiei aritmetice este egal cu membrii medii aritmetici adiacenți! Mai mult: ne putem retrage de la $ ((a) _ (n)) $ (((a) _ (n) $ nu la un pas, iar pe pașii de $ K $ - și totuși formula va fi corectă:

\\ [((a) _ (n)) \u003d \\ frac ((a) _ (n - k)) + ((a) _ (n + k)) (2) \\]

Acestea. Putem găsi în siguranță un dolar ((a) _ (150)) $, dacă știm $ ((a) _ (100)) $ și $ ((a) _ (200)) $, pentru că $ ((a) _ (150)) \u003d \\ frac ((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. La prima vedere, poate părea că acest fapt nu ne dă nimic util. Cu toate acestea, în practică, multe sarcini sunt în mod specific "ascuțite" pentru a utiliza aritmetica medie. Uitați-vă:

Numărul de sarcină 6. Găsiți toate valorile $ x $, la care numerele $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ și $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ sunt membri consecvenți ai progresiei aritmetice (în specificat).

Decizie. Deoarece aceste numere sunt membri ai progresiei, starea aritmetică medie este efectuată pentru ei: elementul central $ x + 1 $ poate fi exprimat prin elemente adiacente:

\\ [\\ începe (align) & x + 1 \u003d \\ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d \\ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\\\ & x + 1 \u003d 7 - ((x) ^ (2)); \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-6 \u003d 0. \\\\\\ end (align) \\]

Sa dovedit clasic ecuația patrată. Rădăcinile lui: $ x \u003d $ 2 și $ x \u003d -3 $ - acesta este răspunsurile.

Răspuns: -3; 2.

Numărul de sarcină 7. Găsiți valoarea $$, la care numere $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ constituie o progresie aritmetică (în ordinea specificată).

Decizie. Din nou, exprimăm membrul mediu prin media aritmetică a membrilor vecini:

\\ [\\ începe (ALIGN) & 4x-3 \u003d \\ frac (X - 1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\\\ & 4x-3 \u003d \\ frac ((x) ^ (2)) + x) (2); quad \\ stânga | \\ Cdot 2 \\ dreapta.; \\\\ & 8x-6 \u003d ((x) ^ (2)) + x; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 \u003d 0. \\\\\\ end (align) \\]

Din nou ecuația pătrată. Și din nou două rădăcini: $ x \u003d $ 6 și $ x \u003d 1 $.

Raspunsul 1; 6.

Dacă în procesul de rezolvare a problemei aveți niște numere brutale sau nu sunteți pe deplin încrezători în corectitudinea răspunsurilor găsite, adică o tehnică minunată, permițându-vă să verificați: Am rezolvat sarcina?

Să presupunem că în sarcina numărul 6 am primit răspunsuri -3 și 2. Cum să verificăm că aceste răspunsuri sunt corecte? Să le înlocuim în starea inițială și să vedem ce se întâmplă. Permiteți-mi să vă reamintesc că avem trei numere ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ și $ 14 + (() ^ (2)) $), care ar trebui să fie o progresie aritmetică. Înlocuiți $ x \u003d -3 $:

\\ [\\ începe (align) & x \u003d -3 \\ dreapta \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 54; \\\\ & x + 1 \u003d -2; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 50. \\ Capăt (aliniere) \\]

Numerele primite -54; -2; 50, care diferă la 52 - fără îndoială, aceasta este o progresie aritmetică. Același lucru se întâmplă la $ x \u003d 2 $:

\\ [\\ începe (align) & x \u003d 2 \\ dreapta \\\\ & -6 ((x) ^ (2)) \u003d - 24; \\\\ & x + 1 \u003d 3; \\\\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) \u003d 30. \\ Capăt (aliniere) \\]

Din nou progresia, dar cu o diferență 27. Astfel, sarcina este rezolvată adevărată. Cei care doresc să poată verifica a doua sarcină pe cont propriu, dar voi spune imediat: totul este adevărat acolo.

În general, rezolvarea celor mai recente sarcini, am venit peste altul fapt interesantcare trebuie, de asemenea, să-și amintească:

Dacă cele trei numere sunt astfel încât a doua este aritmetica de mijloc prima și ultima, atunci aceste numere formează o progresie aritmetică.

În viitor, înțelegerea acestei declarații ne va permite să "proiectăm" literalmente evoluțiile necesare, pe baza stării problemei. Dar înainte de a ne confrunta cu un astfel de "design", ar trebui să acordați atenție unui alt fapt care rezultă direct din partea deja luată în considerare.

Gruparea și cantitatea de elemente

Să revenim la axa numerică. Observăm mai mulți membri ai progresiei, între care, eventual. Există o mulțime de alți membri:

6 elemente sunt marcate pe numerice drepte

Să încercăm să exprimăm "coada stângă" prin $ ((a) _ (n)) $ și $ d $, și "coada dreaptă" prin $ ((a) _ (k) $ și $ d $. Este foarte simplu:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (n + 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2d; \\\\ & ((a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (k)) - d; \\\\ & ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (k)) - 2d. \\\\\\ end (align) \\]

Și acum observăm că următoarele cantități sunt egale:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) \u003d s; \\\\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k - 1)) \u003d ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d \u003d S; \\\\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k-2)) \u003d ((a) _ (n)) + 2D + ((a) _ (k)) - 2d \u003d S. \\ Capăt (aliniere) \\]

Pur și simplu puneți, dacă luăm în considerare cele două elemente de progresie ca un început, care în cantitate sunt egale cu orice număr de $ s $, și apoi începeți să mergeți din aceste elemente în laturile opuse (spre celălalt sau viceversa pentru ștergere), atunci cantitățile de elemente pe care le vom poticni vor fi, de asemenea, egale $ S $. Cel mai clar poate fi reprezentat grafic:

Aceleași linii dau cantități egale.

Înţelegere din acest fapt Permiteți-ne să rezolvăm mai mult problemele nivel inalt dificultăți decât cele pe care le-am considerat mai sus. De exemplu, astfel:

Numărul de sarcină 8. Determinați diferența de progresie aritmetică, în care primul mandat este de 66, iar lucrarea celor doi și a douăsprezecea membri este cel mai mic posibil.

Decizie. Scriem tot ce știm:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (1)) \u003d 66; \\\\ & d \u003d? \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ min. \\ Capăt (aliniere) \\]

Deci, suntem necunoscuți diferența în progresia de $ d $. De fapt, în jurul diferenței și vor fi construite toată soluția, deoarece produsul este $ ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) $ poate rescrie după cum urmează:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (2)) \u003d ((a) _ (1)) + d \u003d 66 + d; \\\\ & ((a) _ (12)) \u003d ((a) _ (1)) + 11d \u003d 66 + 11d; \\\\ & ((a) _ (2)) \\ cdot ((a) _ (12)) \u003d \\ stânga (66 + d \\ dreapta) \\ cdot \\ stânga (66 + 11d \\ dreapta) \u003d \\\\ & \u003d 11 \\ Cdot \\ stânga (d + 66 \\ dreapta) \\ cdot \\ stânga (D + 6 \\ dreapta). \\ Capăt (aliniere) \\]

Pentru cei care sunt în rezervor: am efectuat un multiplicator general de 11 din al doilea suport. Astfel, produsul dorit este o funcție patrată în raport cu variabila $ D $. Prin urmare, considerăm că funcția $ f \\ stânga (D \\ dreapta) \u003d 11 \\ stânga (D + 66 \\ dreapta) \\ Stânga (D + 6 \\ dreapta) $ - Programul său va fi ramurile Parabola sus, pentru că Dacă dezvăluiți parantezele, atunci vom obține:

\\ [\\ începe (ALRING) & F \\ stânga (D \\ dreapta) \u003d 11 \\ Stânga (((D) ^ (2)) + 66D + 6D + 66 \\ CDOT 6 \\ dreapta) \u003d \\\\ \u003d 11 (( d) ^ (2)) + 11 \\ CDOT 72D + 11 \\ CDOT 66 \\ CDOT 6 \\ capătul (aliniere) \\]

După cum putem vedea, coeficientul cu termenii de vârf este egal cu 11 - acesta este un număr pozitiv, deci este într-adevăr să se ocupe de ramurile parabolice în sus:

programa funcția patrată - Parabola.
Vă rugăm să rețineți: Valoarea minimă a acestei parabolei ia în vârful său cu Abscisa $ ((d) _ (0)) $. Desigur, putem calcula această abscisă în conformitate cu schema standard (există o formulă $ ((d) _ (0)) \u003d (- b) / (2a) \\; $), dar multe minunate vor observa că doriți Topul se află pe axa simetria parabolei, prin urmare punctul $ ((d) _ (0)) $ este egal cu rădăcinile ecuației $ F \\ stânga (D \\ dreapta) \u003d 0 $:

\\ [\\ începe (align) & f \\ stânga (D \\ dreapta) \u003d 0; \\\\ & 11 \\ cdot \\ stânga (D + 66 \\ dreapta) \\ CDOT \\ stânga (D + 6 \\ dreapta) \u003d 0; \\\\ & ((d) _ (1)) \u003d - 66; quad ((d) _ (2)) \u003d - 6. \\\\\\ end (align) \\]

De aceea nu m-am grăbit să dezvăluie parantezele: în forma originală, rădăcinile au fost foarte și foarte simple. În consecință, abscisa este egală cu media numere aritmetice -66 și -6:

\\ [((d) _ (0)) \u003d \\ frac (-66-6) (2) \u003d - 36 \\]

Ce ne dă un număr detectat? Cu aceasta, munca necesară ia cea mai mică valoare (noi, apropo, nu am considerat $ ((y) _ (\\ min)) $ - nu este necesar pentru noi). În același timp, acest număr este diferența de progresie inițială, adică. Am găsit răspunsul. :)

Răspuns: -36.

Numărul de sarcină 9. Între numere $ - \\ frac (1) (2) $ și $ - \\ frac (1) (6) $ Introduceți trei numere, astfel încât acestea să le facă progresie aritmetică împreună cu aceste numere.

Decizie. În esență, trebuie să facem o secvență de cinci numere, iar primul și ultimul număr este deja cunoscut. Denotați numărul lipsă de variabile $ x $, $ y $ și $ z $:

\\ [Left ((a) _ (n)) \\ dreapta) \u003d \\ stânga \\ (- \\ frac (1) (2); x; y; z; - \\ frac (1) (6) \\ dreapta \\ ) \\]

Trebuie remarcat faptul că numărul $ y este un "mijloc" al secvenței noastre - este echidistant și de la numere $ x $ și $ z $ și de la numere $ - \\ frac (1) (2) $ și $ - $ - \\ Frac (1) (6) $. Și dacă de la numere $ x $ și $ z $ suntem în acest moment Nu putem obține $ y, apoi cu capetele progresiei, situația este diferită. Ne amintim despre media aritmetică:

Acum, știind $ y, vom găsi numerele rămase. Rețineți că $ x $ se află între numerele $ - \\ frac (1) (2) $ și $ y \u003d - \\ frac (1) (3) $ se găsește. prin urmare

În mod similar, argumentând, găsim numărul rămas:

Gata! Am găsit toate cele trei numere. Le scriem ca răspuns în ordinea în care trebuie introduse între numerele inițiale.

Răspuns: $ - \\ frac (5) (12); \\ - \\ frac (1) (3); \\ - \\ frac (1) (4) $

Numărul de sarcină 10. Între numerele 2 și 42, introduceți mai multe numere, care, împreună cu aceste numere, formează o progresie aritmetică, dacă se știe că suma primului, a doua și ultima dintre numerele introduse este de 56.

Decizie. O sarcină și mai dificilă, care, totuși, este rezolvată de aceeași schemă ca cea anterioară - prin media aritmetică. Problema este că nu suntem cunoscuți câte numere specifice ar trebui introduse. Prin urmare, am stabilit pentru definiția că, după introducerea, va exista exact numere $ N $, iar primul este 2, iar ultimul - 42. În acest caz, căutarea progresiei aritmetice este prezentată în forma:

\\ [\\ stânga ((a) _ (n)) \\ dreapta) \u003d \\ stânga \\ (2; (a) _ (2)); ((a) _ (3)); (((3)); a) _ (n - 1)); 42 \\ dreapta \\) \\]

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56 \\]

Notă, cu toate acestea, că numerele $ ((a) _ (2)) $ și $ ((a) _ (n - 1)) $ sunt obținute de la marginile numerelor 2 și 42 cu un pas unul spre celălalt, adică. . La centrul de secvențe. Și asta înseamnă asta

\\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (N-1)) \u003d 2 + 42 \u003d 44 \\]

Dar atunci expresia înregistrată mai sus poate fi rescrisă astfel:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n - 1)) \u003d 56; \\\\ stânga ((a) _ (2)) + ((a) _ (n - 1)) \\ dreapta) + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & 44 + ((a) _ (3)) \u003d 56; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 56-44 \u003d 12. \\\\\\ end (align) \\]

Știind $ ((a) _ (3)) $ și $ ((a) _ (1)) $, vom găsi cu ușurință diferența de progresie:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d 12-2 \u003d 10; \\\\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) \u003d \\ stânga (3-1 \\ dreapta) \\ cdot d \u003d 2d; \\\\ & 2D \u003d 10 \\ dreaptarrow d \u003d 5. \\\\\\ end (align) \\]

Rămâne numai pentru a găsi alți membri:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (1)) \u003d 2; \\\\ & ((a) _ (2)) \u003d 2 + 5 \u003d 7; \\\\ & ((a) _ (3)) \u003d 12; \\\\ & ((a) _ (4)) \u003d 2 + 3 \\ cdot 5 \u003d 17; \\\\ & ((a) _ (5)) \u003d 2 + 4 \\ cdot 5 \u003d 22; \\\\ & ((a) _ (6)) \u003d 2 + 5 \\ cdot 5 \u003d 27; \\\\ & ((a) _ (7)) \u003d 2 + 6 \\ cdot 5 \u003d 32; \\\\ & ((a) _ (8)) \u003d 2 + 7 \\ cdot 5 \u003d 37; \\\\ & ((a) _ (9)) \u003d 2 + 8 \\ cdot 5 \u003d 42; \\\\\\ end (align) \\]

Astfel, deja la etapa a IX-a vom ajunge la capătul stâng al secvenței - numărul 42. Este necesar să se introducă numai 7 numere: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Răspuns: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

Sarcini de text cu progresie

În concluzie, aș dori să iau în considerare un cuplu relativ sarcini simple. Ei bine, la fel de simplu: pentru majoritatea studenților care explorează matematica la școală și nu au citit ceea ce este scris mai sus, aceste sarcini pot părea ca un staniu. Cu toate acestea, tocmai aceste sarcini să vină peste Oge și Ege în matematică, așa că vă recomand să vă familiarizați cu ei.

Numărul de sarcină 11. Brigada a fabricat în ianuarie 62 părți, iar în fiecare lună viitoare a făcut mai mult de 14 părți decât în \u200b\u200bcea precedentă. Câte detalii au făcut o brigadă în noiembrie?

Decizie. Evident, numărul de detalii, pictat de luni, va fi o progresie aritmetică în creștere. Și:

\\ [\\ începe (align) & ((a) _ (1)) \u003d 62; \\ quad d \u003d 14; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 62+ \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ cdot 14. \\\\ end (align) \\]

Noiembrie este a 11-a lună pe an, așa că trebuie să găsim $ ((a) _ (11)) $:

\\ [((a) _ (11)) \u003d 62 + 10 \\ cdot 14 \u003d 202 \\]

Prin urmare, 202 vor fi fabricate în noiembrie.

Numărul de sarcină 12. Un atelier obligatoriu se suprapun în ianuarie 216 cărți, iar în fiecare lună a intrat între 4 cărți mai mult decât în \u200b\u200bcea precedentă. Câte cărți au copleșit atelierul în decembrie?

Decizie. Toate la fel:

$ \\ începe (align) & ((a) _ (1)) \u003d 216; \\ quad d \u003d 4; \\\\ & ((a) _ (n)) \u003d 216+ \\ stânga (n-1 \\ dreapta) \\ cdot 4. \\\\ capătul (aliniere) $

Decembrie este ultima, a 12-a lună pe an, așa că căutăm $ ((a) _ (12)) $:

\\ [((a) _ (12)) \u003d 216 + 11 \\ CDOT 4 \u003d 260 \\]

Acesta este răspunsul - 260 de cărți vor fi interconectate în decembrie.

Ei bine, dacă o citiți aici, mă grăbesc să vă felicit: "Cursul unui tânăr luptător" cu privire la progresurile aritmetice ați trecut cu succes. Puteți trece în siguranță la următoarea lecție, unde studiem formula sumei de progres, precum și consecințe importante și foarte utile ale acesteia.

Progresie aritmetică Apelați secvența numerelor (membrii progresiei)

În care fiecare membru ulterior diferă de cea precedentă la termenul supus, ceea ce se numește și diferență de pitch sau progresie.

Astfel, solicitând un pas de progresie și primul său membru, puteți găsi orice element în funcție de formula

Proprietățile progresiei aritmetice

1) Fiecare membru al progresiei aritmetice, pornind de la cel de-al doilea număr este aritmetica medie din partea anterioară și următoarea evoluție a progresiei

Declarația inversă este, de asemenea, adevărată. În cazul în care membrii aritmetici aritmetici adiacenți (chiar) ai progresiei este egală cu un membru care stă între ele, atunci această secvență de numere este progresia aritmetică. Conform acestei declarații, este foarte ușor să verificați orice secvență.

De asemenea, în funcție de proprietatea progresiei aritmetice, formula de mai sus poate fi generalizată până la următorul

Acest lucru este ușor de asigurat dacă scrieți componentele în dreapta semnului de egalitate

Este adesea folosit în practică pentru a simplifica calcularea sarcinilor.

2) Suma primilor membri ai progresiei aritmetice este calculată prin formula

Amintiți-vă formula sumei progresiei aritmetice, este indispensabilă la calcularea și este adesea găsită în situații de viață simple.

3) Dacă trebuie să nu găsiți suma totală, dar o parte a secvenței de la K-IT a membrului său, atunci veți utiliza următoarea formulă de sumare

4) Interesul practic este constatarea cantității de membri n ai progresiei aritmetice de la numărul K. Pentru a face acest lucru, utilizați formula

Acest material teoretic se încheie și se va rezolva sarcinile comune în practică.

Exemplul 1. Găsiți un membru al a 40 de membri ai progresiei aritmetice 4; 7;

Decizie:

Conform condiției

Definim un pas de progresie

Conform faimosului formula, găsim un patru membri ai progresiei

Exemplu2. Progresul aritmetic este întrebat al treilea și al șaptelea membru. Găsiți primul mandat al progresiei și a cantității de zece.

Decizie:

Tăiați elementele de progres specificate prin formule

De la a doua ecuație, voi trimite primul, ca rezultat vom găsi un pas de progres

Valoarea găsită este substituită în oricare dintre ecuațiile pentru găsirea primului membru al progresiei aritmetice

Calculați valoarea primelor zece progresive

Fără aplicarea calculelor complexe, au găsit toate valorile dorite.

Exemplul 3. Progresia aritmetică este stabilită de numitor și unul dintre membrii săi. Găsiți primul mandat de progresie, suma de 50 dintre membrii săi din 50 și suma de 100 de ani.

Decizie:

Scriem formula elementului de sute de progresie

și găsiți primul

Bazat pe primul care a găsit 50 de membri ai progresiei

Găsim suma progresiei

și suma primelor 100

Cantitatea de progresie este de 250.

Exemplul 4.

Găsiți numărul de membri ai progresiei aritmetice dacă:

a3-A1 \u003d 8, A2 + A4 \u003d 14, SN \u003d 111.

Decizie:

Scriem ecuațiile prin primul membru și pasul progresiei și le definim

Valorile obținute înlocuiesc suma sumei pentru a determina numărul de membri în sumă

Noi efectuăm simplificări

și rezolvați ecuația pătrată

Din cele două valori găsite, starea sarcinii este potrivită numai numărul 8. Astfel, suma primilor opt membri ai progresiei este de 111.

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația

1 + 3 + 5 + ... + X \u003d 307.

Soluție: Această ecuație este suma progresiei aritmetice. Vom scrie prima ei pula și vom găsi diferența de progresie

Sarcinile în progresia aritmetică au existat deja în antichitate. Au apărut și au cerut o soluție deoarece au avut o necesitate practică.

Deci, într-unul din papirusul Egiptului antic, care are un conținut matematic, - Rinda Papyrus (secolul al XIX-lea î.Hr.) - conține o astfel de sarcină: împărtășim cele zece mese pentru zece persoane, cu condiția ca diferența dintre fiecare dintre ele să fie una a opta acțiune. "

Și în lucrările matematice ale grecilor antice există teoreme elegante legate de progresia aritmetică. Deci, hipsumul Alexandrian (secolul al II-lea, care a fost o mulțime de sarcini interesante și a adăugat cartea a paisprezecea la "începutul" Euclid, a formulat gândul: "Într-o progresie aritmetică, care are un număr și de membri, cuantumul de membri Membrii a 2-a jumătate mai mare decât primii membri 1/2 număr de membri ".

Denotă secvența un. Numerele de secvențe se numesc membrii săi și sunt, de obicei, denumiți prin litere cu indici care indică numărul de secvență al acestui membru (A1, A2, A3 ... Citește: "A 1-O", "A al doilea", "A 3- PIN "și așa mai departe).

Secvența poate fi infinită sau finită.

Și ce este progresia aritmetică? Sub aceasta, înțeleg adăugarea membrilor anteriori (n) obținută cu același număr D, care este diferența de progresie.

Dacă D.<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, această progresie este considerată în creștere.

Progresul aritmetic este numit ultimul dacă sunt luați în considerare doar câțiva dintre primii săi membri. Cu un număr foarte mare de membri, aceasta este o progresie nesfârșită.

Orice progresie aritmetică este definită prin următoarea formulă:

aN \u003d KN + B, în timp ce B și K sunt numere.

Este absolut adevărat o declarație inversă: dacă secvența este dată de o formulă similară, atunci aceasta este exact o progresie aritmetică care are proprietăți:

Fiecare membru al progresiei este media aritmetică a membrului anterior și a ulterior.
Reverse: Dacă, începând cu al doilea, fiecare membru este media aritmetică a membrului anterior și ulterior, adică Dacă o condiție este satisfăcută, această secvență este progresia aritmetică. Această egalitate este simultan un semn de progresie, deci este de obicei numit proprietatea caracteristică a progresiei.
În mod similar, teorema care reflectă această proprietate este: o secvență - progresie aritmetică numai dacă această egalitate este adevărată pentru oricare dintre membrii secvenței, începând cu a doua.

Proprietatea caracteristică pentru patru numere de progresie aritmetică poate fi exprimată prin formula A + AM \u003d AK + AL dacă n + m \u003d k + l (m, n, k este numărul de progresie).

În progresia aritmetică, orice membru necesar (n-th) poate fi găsit prin aplicarea următoarei formule:

De exemplu: primul termen (A1) în progresia aritmetică este setat și egal cu trei, iar diferența (D) este egală cu patru. Găsirea de care aveți nevoie de patruzeci și al cincilea membru al acestei progresii. A45 \u003d 1 + 4 (45-1) \u003d 177

AN \u003d formula AK + D (N-K) vă permite să determinați membru al n- Progresia aritmetică prin oricare dintre elementele sale plătite K, cu condiția ca aceasta să fie cunoscută.

Suma membrilor progresiei aritmetice (implică cel de-al 1-lea membru al progresiei finale) se calculează după cum urmează:

SN \u003d (A1 + AN) N / 2.

Dacă este cunoscut și primul membru, atunci o altă formulă este convenabilă pentru calcul:

Sn \u003d ((2a1 + d (n (n- 1)) / 2) * n.

Cantitatea de progresie aritmetică, care conține N membri, se calculează în acest mod:

Alegerea formulelor pentru calcule depinde de condițiile de sarcini și de datele sursă.

Seria naturală de orice numere, cum ar fi 1,2,3, ..., N, ... - Cel mai simplu exemplu de progresie aritmetică.

În plus față de progresia aritmetică, există și o geometrie, care posedă proprietățile și caracteristicile acestuia.

Primul nivel

Progresie aritmetică. Teoria detaliată Exemple (2019)

Numărul de secvențe de numere

Deci, stai jos și începe să scrie orice numere. De exemplu:
Puteți scrie orice numere și pot fi oricum (în cazul nostru). Câte numere pe care nu le-am scris, putem spune întotdeauna care dintre ele este a doua și așa mai departe până la ultimul, adică putem să le amorțiți. Acesta este un exemplu al unei secvențe numerice:

Numărul de secvențe de numere
De exemplu, pentru secvența noastră:

Numărul atribuit este caracteristic numai pentru un număr de secvențe. Cu alte cuvinte, nu există numere de trei al doilea în secvență. Cel de-al doilea număr (ca număr) este întotdeauna unul.
Numărul cu numărul este numit membru al secvenței.

De obicei, numim toată secvența (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru :.

În cazul nostru:

Să presupunem că avem numărul de secvențe de numereîn care diferența dintre numerele vecine este aceeași și egală.
De exemplu:

etc.
O astfel de secvență numerică se numește progres aritmetică.
Termenul "progresie" a fost introdus de autorul roman al lui Boeziem în secolul al VI-lea și a fost înțeles într-un sens mai larg ca o secvență numerică infinită. Denumirea "aritmetică" a fost transferată din teoria proporțiilor continue, care au fost angajați în vechii greci.

Aceasta este o secvență numerică, fiecare membru al căruia este egal cu cel precedent, pliat cu același număr. Acest număr este numit diferența în progresia aritmetică și este indicată.

Încercați să determinați ce secvențe numerice sunt progresul aritmetic și care nu sunt:

a)
b)
c)
d)

A dat seama? Comparați răspunsurile noastre:
Este an Progresul aritmetic - B, c.
Nu este Progresie aritmetică - a, d.

Să ne întoarcem la o anumită progresie () și să încercăm să găsim sensul lui - un membru. Există două Cum să o găsiți.

1. Metoda

Putem adăuga la valoarea anterioară a numărului de progresie, până când facem înainte de progresia progresiei. Este bine că trebuie să rezumăm puțin la stânga - doar trei sensuri:

Deci, un membru al progresiei aritmetice descrise este egal.

2. Metoda

Și dacă trebuie să găsim sensul unui membru al progresiei? Summația ar lua cu noi nu o oră și nu de faptul că nu ne-am fi confundat atunci când adăugăm numere.
Desigur, matematica a venit cu o metodă în care nu este nevoie să adăugați diferența în progresia aritmetică la valoarea anterioară. Uită-te cu atenție la desenul tras ... cu siguranță ați observat deja o anumită regularitate, și anume:

De exemplu, să vedem care este valoarea unui membru al acestei progresii aritmetici:

Cu alte cuvinte:

Încercați să găsiți importanța unui membru al acestei progresii aritmetice în acest fel.

Calculat? Comparați înregistrările cu răspunsul:

Rețineți că aveți exact același număr ca în metoda anterioară, când am fost adăugați în mod constant la valoarea anterioară a membrilor progresiei aritmetice.
Să încercăm să "detectăm" această formulă - o dăm forma generală si ia:

Ecuația progresiei aritmetice.

Progresul aritmetic este în creștere și există în scădere.

Crescând - Progresuri în care fiecare valoare ulterioară a membrilor este mai mare decât cea anterioară.
De exemplu:

Descendentă - Progresuri în care fiecare valoare ulterioară a membrilor este mai mică decât cea precedentă.
De exemplu:

Formula derivată este aplicată în calculul membrilor atât în \u200b\u200bcreșterea, cât și în scăderea membrilor progresiei aritmetice.
Verificați-o în practică.
Vom prezenta o progresie aritmetică, constând din următoarele numere: verificați dacă numărul acestei progresii aritmetice, dacă utilizați formula noastră la calcularea acesteia:

De atunci:

Astfel, am asigurat că formula acționează atât în \u200b\u200bprogresia aritmetică descendentă, cât și în creșterea vitezei.
Încercați să găsiți propriile mele membri ai acestei progresii aritmetice.

Comparați rezultatele obținute:

Proprietatea progresiei aritmetice

Finalizați sarcina - retrageți proprietatea progresiei aritmetice.
Să presupunem că ni se oferă o astfel de condiție:
- Progresie aritmetică, găsiți o valoare.
Ușor, veți spune, și veți începe să luați în considerare formula deja cunoscută:

Și apoi:

Absolut corect. Se pare că găsim mai întâi, apoi adăugăm la primul număr și obțineți dorit. Dacă progresia este reprezentată de valori mici, nu este nimic complicat în acest lucru și dacă numărul ni se dat? Sunt de acord, există o șansă de a face o greșeală în calcule.
Și acum gândiți-vă că este posibil să rezolvăm această problemă într-o singură acțiune folosind orice formulă? Desigur, da, și este că vom încerca să o aducem chiar acum.

Noi denotăm membrul dorit al progresiei aritmetice ca, formula pentru locația sa este cunoscută - aceasta este chiar formula derivată de noi la început:
, atunci:

precizia termenului anterior este:
membru ulterior al progresiei este:

Rezumează membrii anteriori și ulteriori ai progresiei:

Se pare că suma membrilor anteriori și ulteriori ai progresiei este valoarea dublă a unui membru al progresiei care este între ele. Cu alte cuvinte, pentru a găsi valoarea unui membru al progresiei cu bine-cunoscute valori anterioare și consecutive, este necesar să le adăugați și împărțiți la.

Așa este, avem același număr. Fixați materialul. Calculați valoarea pentru progresul dvs., deoarece este destul de simplă.

Bine făcut! Știi aproape totul despre progresie! A rămas să afle doar o singură formulă, care pe legendele fără dificultate a condus unul dintre cei mai mari matematicieni din toate timpurile "Regele matematicienilor" - Karl Gauss ...

Când Carl Gaussu avea 9 ani, un profesor ocupat de verificare lucrări de către studenții altor clase, a întrebat următoarea sarcină la lecție: "Numărați suma tuturor numerelor naturale de la (de către alte surse la) inclusiv". Care a fost surpriza profesorului, când unul dintre studenții săi (acesta a fost Karl Gauss) într-un minut a dat răspunsul corect la setul de sarcini, în timp ce majoritatea colegilor Mozelchka după un calcul lung au primit rezultatul greșit ...

Young Karl Gauss a observat o anumită regularitate, pe care o puteți observa cu ușurință.
Să presupunem că avem o progresie aritmetică, constând dintr-un membru: trebuie să găsim cantitatea acestor membri ai progresiei aritmetice. Desigur, putem rezuma manual toate valorile, dar ce să facem dacă în sarcină va fi necesar să găsim suma membrilor ei, cum a fost căutând Gauss?

Voi descrie progresul acordat. Uită-te cu atenție la numerele dedicate și să încerci să produci diferite acțiuni matematice cu ei.

Încercat? Ce ai observat? Dreapta! Sumele lor sunt egale

Și acum răspundeți, cât de mult sunt astfel de perechi în progresul ne-a fost dat? Desigur, exact jumătate din toate numerele, adică.
Pe baza faptului că suma a doi membri ai progresiei aritmetice este egală cu, și astfel de perechi egale, obținem că suma totală este:
.
Astfel, formula pentru suma primilor membri ai oricărei progresii aritmetici va fi ca aceasta:

În unele sarcini, suntem necunoscuți, dar este cunoscută diferența de progresie. Încercați să înlocuiți formula rezumatului, o formulă de membru.
Ce-ai făcut?

Bine făcut! Acum vom reveni la sarcina că Karl Gauss a fost stabilit: numără în mod independent, care este egală cu cantitatea de numere, pornind de la -go, iar cantitatea de numere variind de la -Go.

Cât ai făcut?
Gauss sa dovedit că cantitatea de membri este egală și cantitatea de membri. Ai rezolvat?

De fapt, formula sumei membrilor progresiei aritmetice a fost dovedită de Diophanta antică din Grecia din secolul al III-lea, iar de-a lungul acestui timp, oamenii vrăjută s-au folosit cu proprietățile progresiei aritmetice.
De exemplu, imaginați-vă Egiptul antic Și cea mai mare construcție a timpului - construcția piramidei ... Figura arată o parte.

Unde îmi spune progresul? Uită-te cu atenție și găsește un model în numărul de blocuri de nisip în fiecare rând de perete al piramidei.

Care nu este o progresie aritmetică? Calculați cât de multe blocuri sunt necesare pentru construirea unui perete, dacă cărămizile de bloc sunt plasate în bază. Sper că nu veți conta, conduceți degetul peste monitor, vă amintiți ultima formulă și tot ceea ce am vorbit despre progresia aritmetică?

În acest caz, progresia este după cum urmează :.
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul membrilor progresiei aritmetice.
Înlocuim datele noastre în ultimele formule (calculează numărul de blocuri în 2 moduri).

Metoda 1.

Metoda 2.

Și acum este posibil să se calculeze pe monitor: comparați valorile obținute cu numărul de blocuri care sunt în piramida noastră. Cache? Bine facut, ai stăpânit suma progresiei aritmetice aritmetice.
Desigur, de la blocurile de la partea de jos a piramidei nu se va construi, dar de la? Încercați să calculați câte cărămizi de nisip sunt necesare pentru a construi un perete cu o astfel de afecțiune.
Face față?
Răspunsul potrivit - Blocuri:

A face exerciții fizice

Sarcini:

Masha vine în formă de vară. În fiecare zi crește numărul de squats. De câte ori va fi cusută Masha după săptămâni, dacă a făcut squats în prima sesiune de antrenament.
Care este suma tuturor numerelor impare conținute în.
Lumberboards Atunci când depozitați jurnalele sunt stivuite în așa fel încât fiecare strat superior să conțină un jurnal mai mic decât cel precedent. Câte bușteni sunt într-o singură zidărie, dacă baza zidăriei servește jurnale.

Răspunsuri:

Definim parametrii progresiei aritmetice. În acest caz
(săptămâni \u003d zile).
Răspuns:Două săptămâni, Masha trebuie să ghemuia o dată pe zi.
Primul numar impar, ultimul număr.
Diferența de progresie aritmetică.
Numărul de numere impare în jumătate, totuși, va verifica acest fapt folosind formula de interes membru al progresiei aritmetice:
Numerele conțin într-adevăr numere impare.
Datele disponibile pentru înlocuirea în formula:
Răspuns:Suma tuturor numerelor impare conținute este egală.
Amintiți-vă sarcina despre piramida. Pentru cazul nostru, A, deoarece fiecare strat superior scade pe un jurnal, apoi într-o grămadă de straturi, adică.
Înlocuiți datele în formula:
Răspuns:În zidărie este jurnalele.

Să ne rezumăm

- Secvența numerică în care diferența dintre numerele adiacente este aceeași și egală. Se întâmplă să crească și să scadă.
Formula sejur "Un membru al progresiei aritmetice este înregistrat cu formula - unde - numărul de numere în progresie.
Proprietatea membrilor progresiei aritmetice - - Unde - numărul de numere în progresie.
Suma membrilor progresiei aritmetice Pot fi găsite în două moduri:

unde - numărul de valori.

Progresie aritmetică. NIVEL MEDIU

Numărul de secvențe de numere

Să ne așezăm și să începem să scriem numere. De exemplu:

Puteți scrie orice numere și pot fi oriunde. Dar puteți spune întotdeauna care dintre ele, care este a doua și așa mai departe, adică putem veni să le amorțiți. Acesta este un exemplu al unei secvențe numerice.

Numărul de secvențe de numere - Aceasta este o mulțime de numere, fiecare dintre acestea poate fi atribuit un număr unic.

Cu alte cuvinte, fiecare număr poate fi pus în conformitate cu un anumit număr natural și singurul. Și acest număr nu vom corespunde altui număr de la acest set.

Numărul cu numărul este numit membru al secvenței.

De obicei, numim toată secvența (de exemplu,) și fiecare membru al acestei secvențe este aceeași literă cu un indice egal cu numărul acestui membru :.

Foarte convenabil, dacă un membru al secvenței poate fi solicitat pentru o formulă. De exemplu, formula

specifică secvența:

Iar formula este o astfel de secvență:

De exemplu, progresia aritmetică este secvența (primul termen aici este egal și diferența). Sau (diferență).

Formula N-TH

Noi numim o astfel de formulă în care trebuie să cunoașteți precedentul sau mai mult cunoscut anterior:

Pentru a găsi o astfel de formulă, de exemplu, un membru al progresiei, va trebui să calculăm ultimele nouă. De exemplu, lăsați-o. Atunci:

Ei bine, ce este clar acum ce formulă?

În fiecare rând, adăugăm înmulțit cu un număr. Ce? Foarte simplu: acesta este numărul de membru actual minus:

Acum mult mai convenabil, nu? Verifica:

Distribuiți-mă:

În progresia aritmetică, găsiți formula membrului N-TH și găsiți un sute de membri.

Decizie:

Primul membru este egal. Și care este diferența? Dar ce:

(Se datorează faptului că se numește o diferență care este egală cu diferența dintre membrii succesivi ai progresiei).

Deci, formula:

Apoi, un membru al sutului este:

Care este suma tuturor numerelor naturale de la la?

Potrivit legendei, Marele matematician Karl Gauss, fiind un băiat de 9 ani, a considerat această sumă în câteva minute. El a menționat că suma primului și a ultimului număr este egală cu suma celui de-al doilea și penultimă - și suma a treia și a treia de la sfârșit este, de asemenea, și așa mai departe. Cât de mult sunt astfel de perechi? Așa este, exact jumătate din numărul de toate numerele, adică. Asa de,

Formula generală pentru suma primilor membri ai oricărei progresii aritmetici va fi ca aceasta:

Exemplu:
Găsiți suma tuturor numerelor din două cifre, multiple.

Decizie:

Primul astfel de număr este. Fiecare următorul se obține prin adăugarea la numărul anterior. Astfel, numerele care vă interesează formează o progresie aritmetică cu primul membru și diferență.

Formula -Bo membru pentru această progresie:

Câți membri în progresie, dacă toți ar trebui să fie dublu cifră?

Foarte usor: .

Ultimul membru al progresiei va fi egal. Apoi suma:

Răspuns:.

Acum voi decide:

În fiecare zi, un sportiv se desfășoară mai mult decât în \u200b\u200bziua precedentă. Câți kilometri întregi se desfășoară o săptămână, dacă în prima zi a fugit km m m?
Ciclistul conduce în fiecare zi la km mai mult decât în \u200b\u200bcea precedentă. În prima zi, el a condus km. Câte zile trebuie să meargă să depășească km? Câți kilometri vor trece în ultima zi a drumului?
Prețul frigiderului din magazin scade anual la aceeași cantitate. Determinați cât de mult a scăzut prețul frigiderului în fiecare an, dacă, expus la vânzarea de ruble, au fost vândute șase ani pentru ruble.

Răspunsuri:

Aici este cel mai important lucru este să recunoaștem progresia aritmetică și să determinați parametrii săi. În acest caz, (săptămâni \u003d zile). Este necesar să se determine cantitatea primilor membri ai acestei progrese:
.
Răspuns:
Aici este dat:, trebuie să găsiți.
Evident, trebuie să utilizați aceeași formulă rezumată ca în sarcina anterioară:
.
Înlocuim valorile:
Rădăcina este, evident, nu este potrivită, înseamnă că răspunsul.
Calculați calea trecută în ultima zi cu ajutorul unui membru al unui membru:
(km).
Răspuns:
DANO: A găsi: .
Nu se întâmplă:
(freca).
Răspuns:

Progresie aritmetică. Pe scurt despre principalul lucru

Aceasta este o secvență numerică în care diferența dintre numerele vecine este aceeași și egală.

Progresia aritmetică crește () și scăderea ().

De exemplu:

Formula de găsire a unui membru N-Bous al progresiei aritmetice

este scris cu formula, unde - numărul de numere în progresie.

Proprietatea membrilor progresiei aritmetice

Ea face ușor găsirea unui membru al progresului, dacă membrii săi vecini sunt cunoscuți - unde - numărul de numere în progresie.

Cantitatea de membri ai progresiei aritmetice

Există două modalități de a găsi suma:

Unde - numărul de valori.