Calculați media aritmetică. Valoarea medie aritmetică a formulei

În matematică, valoarea aritmetică a numerelor (sau pur și simplu înseamnă) este suma tuturor numerelor din acest set, împărțită la numărul lor. Acesta este conceptul cel mai generalizat și comun. dimensiunea mijlocie. După cum ați înțeles deja, pentru a găsi valoarea medie, trebuie să rezumați toate datele către dvs. și rezultatul este împărțit în numărul de componente.

Care este media aritmetică?

Să luăm în considerare un exemplu.

Exemplul 1.. Există numere: 6, 7, 11. Este necesar să se găsească valoarea lor medie.

Decizie.

Pentru a începe, găsim suma tuturor acestor numere.

Acum împărțim suma rezultată cu numărul de componente. Deoarece avem termenii trei, respectiv, vom împărți trei.

În consecință, valoarea medie a numerelor 6, 7 și 11 este 8. De ce exact 8? Da, deoarece suma de 6, 7 și 11 va fi aceeași cu cele trei opt. Acest lucru este perfect vizibil pe ilustrație.

Valoarea medie a ceva seamănă cu "alinierea" unui număr de numere. După cum puteți vedea, o mână de creioane au devenit un nivel.

Luați în considerare un alt exemplu pentru a consolida cunoștințele dobândite.

Exemplul 2. Există numere: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Este necesar să se găsească semnificația lor aritmetică.

Decizie.

Noi găsim suma.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Împărțim numărul de componente (în acest caz - 15).

În consecință, valoarea medie a acestui număr de numere este de 22.

Acum luați în considerare numerele negative. Amintiți cum să le rezumăm. De exemplu, aveți două numere 1 și -4. Ne găsim suma.

1 + (-4) = 1 – 4 = -3

Știind acest lucru, ia în considerare un alt exemplu.

Exemplul 3. Găsiți valoarea medie a unui număr de numere: 3, -7, 5, 13, -2.

Decizie.

Găsim suma numerelor.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

De la termenii 5, împărțim suma rezultată cu 5.

În consecință, valoarea aritmetică medie a numerelor 3, -7, 5, 13, -2 este 2,4.

În zilele noastre, progresul tehnologic este mult mai convenabil de utilizat pentru a găsi valoarea medie. programe de calculator. Microsoft Office Excel este unul dintre ei. Căutați media în Excel rapid și simplu. Mai mult, acest program intră în pachetul Software Microsoft Office. Luați în considerare o scurtă instrucțiune cum să găsiți valoarea aritmetică medie utilizând acest program.

Pentru a calcula numărul mediu de numere, trebuie să utilizați funcția medie. Sintaxă pentru această caracteristică:
\u003d Medie (argument1, argument2, ... argument255)
În cazul în care argumentul1, argumentul2, ... argumentul255 este fie numere, fie referințe la celule (sub celule au fost implicate intervale și matrice).

Pentru a face mai clar, încercați cunoștințele dobândite.

Introduceți numerele 11, 12, 13, 14, 15, 16 în celula C1 - C6.
Evidențiați celula C7 făcând clic pe ea. În această celulă, vom avea valoarea medie.
Faceți clic pe fila Formula.
Selectați mai multe funcții\u003e Statistic pentru a deschide lista derulantă.
Selectați media. După aceea, trebuie deschisă o casetă de dialog.
Evidențiați și trageți celula C1-C6 acolo pentru a seta intervalul din caseta de dialog.
Confirmați-vă acțiunile cu tasta "OK".
Dacă sunteți jucat corect, în celula C7 ar trebui să aveți un răspuns - 13.7. Când faceți clic pe funcția celulei C7 (\u003d media (C1: C6)) va fi afișată în rândul formulei.

Este foarte convenabil să utilizați această funcție pentru păstrarea contabilității, facturilor sau atunci când trebuie doar să găsiți valoarea medie de la un număr foarte lung de numere. Prin urmare, este adesea folosit în birouri și companii mari. Acest lucru vă permite să mențineți ordinea în înregistrări și face posibilă calcularea rapidă a ceva (de exemplu, venitul mediu pe lună). De asemenea, folosind Excel, puteți găsi valoarea medie a funcției.

In medie

Acest termen are alte valori, a se vedea valoarea medie.

In medie (în matematică și statistici) de multe numere - suma tuturor numerelor împărțite la numărul lor. Este una dintre cele mai frecvente măsuri ale tendinței centrale.

Se propune (împreună cu o armonică medie geometrică și medie) încă cu pithagoreni.

În anumite cazuri de aritmetică de dimensiuni medii sunt media (agregatul general) și media selectivă (eșantionare).

Introducere

Denotă o mulțime de date X. = (x. 1 , x. 2 , …, x. n.), atunci media selectivă este indicată de obicei printr-o linie orizontală deasupra variabilei (X (\\ DisplayStyle (\\ Bar (x))), pronunțată " x. cu o caracteristică ").

Pentru a desemna aritmetica medie toată combinația dintre literele grecești μ. Pentru o variabilă aleatorie pentru care este definită valoarea medie, μ este media probabilistică sau așteptarea matematică a unei variabile aleatorie. Dacă setul X. este o combinație de numere aleatoare cu medii medii probabiliste, apoi pentru orice eșantion x. i. Din această totalitate μ \u003d e ( x. i. ) Există o așteptare matematică a acestui eșantion.

În practică, diferența dintre μ și x ¯ (\\ DisplayStyle (\\ bara (x))) este că μ este o variabilă tipică, deoarece este posibilă vederea probei mai degrabă și nu întreaga actualitate generală. Prin urmare, dacă eșantionul este reprezentat în mod aleatoriu (în termeni de teorie a probabilității), atunci x ¯ (\\ bara (x)) (dar nu μ) poate fi interpretat ca o variabilă aleatorie având o distribuție a probabilității pe eșantion (probabilistic distribuție medie).

Ambele valori sunt calculate în același mod:

X ¯ \u003d 1 N σ i \u003d 1 N x i \u003d 1 N (x 1 + ⋯ + x n). (\\ DisplayStyle (\\ bara (x)) \u003d (\\ frac (1) (n)) \\ suma _ (i \u003d 1) ^ (n) x_ (i) \u003d (\\ frac (1) (n)) (x_ (1) + \\ CDOTS + X_ (N)).)

În cazul în care un X. - variabilă aleatorie, apoi așteptări matematice X. pot fi considerate ca valori aritmetice medii în măsurători repetitive ale mărimii X.. Aceasta este o manifestare a legii numărului mare. Prin urmare, media selectivă este utilizată pentru a evalua așteptările matematice necunoscute.

În algebra elementară, se dovedește că media n. + 1 numere mai mult media n. Numere și numai dacă numărul nou este mai mare decât media veche, mai puțin și numai dacă numărul nou este mai mic decât media și nu se schimbă dacă și numai dacă numărul nou este egal cu media. Cel mai mare n.Cu atât este mai mică diferența dintre valorile medii noi și vechi.

Rețineți că există mai multe valori "medii", inclusiv puterea medie, secundar kolmogorov, media armonică, media aritmetică-geometrică și diferite valori ponderate (de exemplu, aritmetic-ponderat, mediu geometric suspendat, ponderat armonic mediu).

Exemple

Pentru trei numere, este necesar să le adăugați și împărțiți la 3:

x 1 + x 2 + x 3 3. (\\ DisplayStyle (\\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)

Pentru patru numere, este necesar să le adăugați și împărțiți la 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\\ DisplayStyle (\\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)

Sau mai ușoară 5 + 5 \u003d 10, 10: 2. Pentru că am pliat 2 numere, ceea ce înseamnă numărul de numere pe care le adăugăm, atât de mult și împărțiți.

Suma continuă a aleatorilor

Pentru o valoare distribuită continuu f (x) (\\ displaystyle f (x)), media aritmetică pe segmentul [A; b] (\\ showsystyle) este definit printr-un anumit integral:

F (x) ¯ [a; b] \u003d 1 B - A ∫ abf (x) dx (\\ displaystyle (\\ supraline (F (x))) _ () \u003d (1) (ba)) \\ int _ (a) ^ (b) F (x) dx)

Unele probleme de aplicare a mediului

Fără robustețe

Articolul principal: Robustețea în statistici

Deși media aritmetică este adesea folosită ca valori medii sau tendințe centrale, acest concept nu se aplică statisticilor robuste, ceea ce înseamnă că media aritmetică este supusă influenței puternice a "deviațiilor mari". Este demn de remarcat faptul că pentru distribuțiile cu un coeficient de asimetrie mare, media aritmetică nu poate corespunde conceptului de "mediu", iar semnificația statisticilor robuste (de exemplu, o mediană) poate descrie mai bine tendința centrală.

Un exemplu clasic este calculul venitului mediu. Media aritmetică poate fi interpretată incorect ca o mediană, motiv pentru care se poate concluziona că persoanele cu venituri mari mai mult decât de fapt. Venitul "mediu" este interpretat în așa fel încât veniturile majorității persoanelor să fie aproape de acest număr. Acest "mediu" (în sensul aritmeticii medii) este mai mare decât venitul majorității persoanelor, deoarece venitul ridicat cu o mare abatere de la media face o mijlocire puternică a aritmeticii medii (spre deosebire de acest lucru, media Venitul pe median "rezistă" la o astfel de distorsiune). Cu toate acestea, acest venit "mediu" nu spune nimic despre numărul de persoane apropiate de veniturile medii (și nimic despre numărul de persoane din apropierea veniturilor modale). Cu toate acestea, dacă este ușor luată la conceptele "Media" și "Majoritatea oamenilor", atunci este posibil să se facă o concluzie incompletă că majoritatea oamenilor au venit mai mare decât sunt într-adevăr. De exemplu, un raport privind venitul net "mediu" în Medina, Washington, calculat ca medie aritmetică a tuturor veniturilor nete anuale ale rezidenților, va oferi surprinzător un număr mare datorită Gates Bill. Luați în considerare eșantionul (1, 2, 2, 2, 3, 9). Media aritmetică este de 3,17, dar cinci valori de șase sub această medie.

Procentaj complex

Articolul principal: Investiții de plată

Dacă numerele multiplica, dar nu a plia, Este necesar să se utilizeze media geometrică medie și nu media aritmetică. Cel mai adesea, acest incident se întâmplă atunci când se calculează returnarea investițiilor în finanțe.

De exemplu, dacă acțiunile au scăzut cu 10% în primul an, iar în al doilea an a crescut cu 30%, apoi calculează incorect creșterea "medie" a acestor doi ani ca aritmetică medie (-10% + 30%) / 2 \u003d 10%; Media corectă în acest caz este ratele totale de creștere anuale, conform căreia creșterea anuală este obținută doar aproximativ 8.16653826392% ≈ 8,2%.

Motivul pentru aceasta este că procentele au un nou punct de plecare de fiecare dată: 30% este de 30% de la mai mic decât prețul la începutul primului an, numărul: Dacă acțiunile de la început costă 30 de dolari și au scăzut cu 10%, ei la începutul celui de-al doilea an sunt de 27 de dolari. Dacă stocurile au crescut cu 30%, acestea la sfârșitul celui de-al doilea an sunt de 35.1 USD. Media aritmetică a acestei creșteri este de 10%, dar deoarece stocurile au crescut de peste 2 ani doar $ 5.1, inaltime medie 8,2% dă rezultat final $35.1:

[$ 30 (1 - 0,1) (1 + 0,3) \u003d $ 30 (1 + 0,082) (1 + 0,082) \u003d $ 35.1]. Dacă se utilizează în același mod o valoare aritmetică medie de 10%, nu primim valoarea reală: [$ 30 (1 + 0,1) (1 + 0,1) \u003d $ 36.3].

Procentajul complex la sfârșitul a 2 ani: 90% * 130% \u003d 117%, adică creșterea generală de 17%, iar procentul mediu anual complex de 117% ≈ 108,2% (\\ SQRT (117 \\% )) \\ Aproximativ 108.2 \\%), adică o creștere medie anuală de 8,2%.

Directii

Articolul principal: Direcții Statistici

La calcularea valorilor aritmetice medii ale unei variabile variază ciclic (de exemplu, faza sau unghi), trebuie să se precizeze o precauție specială. De exemplu, numerele medii de la 1 ° și 359 ° vor fi 1 ∘ + 359 ∘ 2 \u003d (\\ DisplayStyle (\\ Frac (1 ^ (\\ (\\ Circ) +359 ^ (\\ CIRC)) (2)) \u003d) 180 °. Acest număr este incorect din două motive.

În primul rând, măsurile unghiulare sunt definite doar pentru intervalul de la 0 ° la 360 ° (sau de la 0 la 2π când sunt măsurate în radiani). Astfel, aceeași pereche de numere ar putea fi scrisă ca (1 ° și -1 °) sau ambele (1 ° C și 719 °). Valorile medii ale fiecăruia dintre perechi vor fi diferite: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 \u003d 0 ∘ (\\ displaystyle (\\ frac (1 ^ (\\ Circ) + (- 1 ^ (\\ Circ))) (2)) \u003d 0 ^ (\\ (\\ CIRC) (\\ CIRC)).
În al doilea rând, în acest caz, valoarea de 0 ° (echivalent cu 360 °) va fi valorile medii mai bune din punct de vedere geometric, deoarece numerele sunt deviate de la 0 ° mai puțin decât de orice altă valoare (în valoare de 0 ° cea mai mică dispersie). Comparaţie:
- numărul 1 ° se abate de la 0 ° la numai 1 °;
- numărul de 1 ° se abate de la mediul calculat egal cu 180 °, 179 °.

Valoarea medie pentru variabila ciclică calculată în funcție de formula de mai sus va fi schimbată artificial față de media actuală până la mijlocul intervalului numeric. Din acest motiv, media este calculată într-un alt mod, și anume, numărul cu cea mai mică dispersie (punctul central) este selectată ca o valoare medie. De asemenea, în loc de scădere, se utilizează o distanță modulară (adică distanța în jurul circumferinței). De exemplu, distanța modulară între 1 ° și 359 ° este de 2 ° și nu 358 ° (pe cercul între 359 ° și 360 ° \u003d\u003d 0 ° - un grad, între 0 ° și 1 ° - și 1 °, în suma - 2 °).

Media ponderată - ce este și cum să o calculați?

În procesul de studiere a matematicii, elevii se familiarizează cu conceptul de aritmetică medie. În viitor, în statistici și alte științe, elevii se confruntă cu calculul altor valori medii. Ce pot fi și ce diferă unul de celălalt?

Valori medii: Semnificație și diferențe

Nu întotdeauna indicatorii exacți dau o înțelegere a situației. Pentru a evalua acest lucru sau acel mediu, este uneori necesar să se analizeze un număr mare de numere. Și apoi valorile medii vin la salvare. Sunt cei care ne permit să evaluăm situația în general.

Din momentele școlare, mulți adulți își amintesc existența unui aritmetică medie. Este foarte ușor de calculat - suma secvenței de la N Membrii este împărțită în n. Aceasta este, dacă trebuie să calculați media aritmetică în secvența de valori 27, 22, 34 și 37, este necesar să se rezolve expresia (27 + 22 + 34 + 37) / 4, deoarece 4 valori sunt utilizate în calcule. În acest caz, valoarea dorită va fi egală cu 30.

Adesea înăuntru Școală. Aflați și medii geometrice. Calculul acestei valori se bazează pe extragerea rădăcinii unui grad N-NEO din produsul N-Members. Dacă luați aceleași numere: 27, 22, 34 și 37, rezultatul calculelor va fi egal cu 29,4.

Armonicul mediu B. Școală gimnazială De obicei, nu este un subiect de studiu. Cu toate acestea, este folosit destul de des. Această valoare este inversă la aritmetica medie și calculată ca fiind privată de la N - numărul de valori și sume 1 / A 1 + 1 / A 2 + ... + 1 / A n. Dacă luați din nou același număr de numere pentru a calcula, atunci armonicul va fi de 29,6.

Media ponderată: Caracteristici

Cu toate acestea, toate valorile de mai sus pot fi folosite de pretutindeni. De exemplu, în statistici în calculul unor valori medii, un rol important are "greutatea" fiecărui număr utilizat în calcule. Rezultatele sunt mai precise și corecte deoarece iau în considerare mai multe informații. Acest grup de valori este denumirea comună "medie ponderată". Ele nu sunt ținute la școală, deci ar trebui să fie parte mai mult.

În primul rând, merită să spunem ceea ce se înțelege prin "greutatea" uneia sau a unei alte valori. Cea mai ușoară modalitate de ao explica pe un exemplu specific. De două ori pe zi în spital, apare temperatura corpului fiecărui pacient. Dintre cei 100 de pacienți din diferite departamente ale spitalului, 44 vor avea o temperatură normală - 36,6 grade. 30 mai mult vor fi mărite - 37.2, la 14 - 38, în 7 - 38,5, în 3-39, iar în cele două rămase - 40. Și dacă luați media aritmetică, atunci această valoare va fi în general spitalul va fi Mai mult de 38 de grade! Dar aproape jumătate dintre pacienți sunt temperaturi complet normale. Și aici va fi corect să folosiți media ponderată, iar "greutatea" fiecărei valori va fi numărul de persoane. În acest caz, rezultatul calculului va fi de 37,25 grade. Diferența este evidentă.

În cazul calculelor medii ponderate pentru "greutate", numărul de transporturi, numărul de persoane care lucrează într-o anumită zi, în general, orice, care poate fi măsurată și afectată de rezultatul final.

Soiuri

Media ponderată corelată cu aritmetica medie, discutată la începutul articolului. Cu toate acestea, prima magnitudine, așa cum am menționat deja, ia în considerare și greutatea fiecărui număr utilizat în calcule. În plus, există, de asemenea, semnificații geometrice și armonice ponderate medii.

Există un alt soi interesant folosit în rândurile numerelor. Vorbim despre o valoare medie suspendată. Se bazează pe tendințele sale de bază. În plus față de valorile înseși și greutatea lor, periodicitatea este de asemenea folosită acolo. Și atunci când se calculează valoarea medie la un moment dat, valorile pentru segmentele de timp anterior sunt, de asemenea, luate în considerare.

Calculul tuturor acestor valori nu este atât de complicat, dar în practică este de obicei utilizat numai media ponderată obișnuită.

Metode de calcul

În epoca computerului de gătit, nu este nevoie să se calculeze media ponderată manuală. Cu toate acestea, va fi necesar să cunoașteți formula de calcul, astfel încât să puteți verifica și corecta rezultatele obținute dacă este necesar.

Cea mai ușoară modalitate de a lua în considerare calculul pe un exemplu specific.

Este necesar să se știe care este remunerația medie a forței de muncă la această întreprindere, luând în considerare numărul lucrătorilor care primesc unul sau altă câștig.

Deci, calculul valorii medii ponderate se face folosind o astfel de formulă:

x \u003d (A 1 * W 1 + A 2 * W2 + ... + A N * W N) / (W 1 + W 2 + ... + WN)

De exemplu, calculul va fi astfel:

x \u003d (32 * 20 + 33 * 35 + 34 * 14 + 40 * 6) / (20 + 35 + 14 + 6) \u003d (640 + 1155 + 476 + 240) / 75 \u003d 33,48

Evident, nu există dificultăți speciale pentru a calcula manual media ponderată. Formula pentru calcularea acestei valori într-una dintre cele mai populare aplicații cu formule - Excel arată ca o funcție a summagei (număr de numere; un număr de scale) / sume (gamă de greutăți).

Cum să găsiți valoarea medie în Excel?

cum să găsiți aritmetica medie în Excel?

Vladimir09854.

La fel de ușor ca plăcintă. Pentru a găsi valoarea medie în Excel, veți avea nevoie doar de 3 celule. În primul, vom bea un număr, în al doilea - celălalt. Și în cea de-a treia celulă vom înscrie formula că vom da valoarea medie între aceste două numere din prima și a doua celulă. Dacă numărul celular 1 este numit A1, numărul celular 2 este numit B1, apoi în celulă cu formula trebuie să scrieți acest lucru:

Această formulă este calculată de media aritmetică a două numere.

Pentru frumusețea județelor noastre, puteți selecta celulele cu linii, ca placă.

Există încă o funcție de determinare a valorii medii în cel mai excelent, dar folosesc metoda DEDOV și introduc formula de care am nevoie. Deci, sunt sigur că Excel consideră exact așa cum am nevoie, și nu mă voi gândi la un fel de rotunjire.

M3sergey.

Este foarte simplu dacă datele sunt deja introduse în celule. Dacă sunteți pur și simplu interesat de numărul, este suficient să evidențiați intervalul / intervalele dorite și în partea de jos a dreptului din bara de stare, va apărea valoarea acestor numere, media aritmetică și cantitatea lor.

Puteți selecta o celulă goală, faceți clic pe triunghiuri (lista derulantă) "AVOSUMN" și alegeți "Media" acolo, după care va fi de acord cu intervalul propus pentru calcul sau alegeți propriul său.

În cele din urmă, puteți utiliza direct formulele - faceți clic pe "Introduceți o funcție" de lângă șirul de formulare și adresa celulară. Funcția Srvnov se află în categoria "statistică" și are ca argumente atât numărul cât și referințele la celule etc. Poate fi aleasă și pentru a alege opțiuni mai complexe, de exemplu, este posibil să se calculeze media pentru condiție.

Găsiți media în Excel Este o sarcină destul de simplă. Aici trebuie să înțelegeți - indiferent dacă doriți să utilizați această medie în unele formule sau nu.

Dacă aveți nevoie să obțineți doar o valoare, este suficient să evidențiați intervalul necesar de numere, după care Excel va calcula automat valoarea medie - acesta va fi afișat în bara de stare, antetul "mediu".

În cazul în care doriți să utilizați rezultatul în formule, puteți face acest lucru:

1) Rezumați celulele folosind suma sumelor și împărțiți toate acestea cu numărul de numere.

2) O opțiune mai corectă este utilizarea unei funcții speciale numită Crnvold. Argumentele acestei funcții pot fi numerele specificate în serie sau în gama de numere.

Vladimir Tikhonov.

conduceți valorile care vor fi implicate în calcul, faceți clic pe fila "Formule", veți vedea acolo din stânga există o "autossună" și lângă acesta, un triunghi îndreptat în jos. În apropierea acestui triunghi și alegeți "Media". Voila, gata) în partea de jos a coloanei va vedea valoarea medie :)

Ekaterina Mutalapova.

Să începem mai întâi și în ordine. Ce înseamnă semnificația medie?

Valoarea medie este o valoare care este o valoare aritmetică medie, adică. Se calculează prin adăugarea unui set de numere cu divizarea ulterioară a întregii cantități de numere pe numărul acestora. De exemplu, pentru numerele 2, 3, 6, 7, 2 vor fi 4 (cantitatea de numere 20 împărțite la numărul 5)

În tabelul Excel, personal, cel mai simplu mod a fost acela de a folosi formula \u003d srnvov. Pentru a calcula valoarea medie, trebuie să introduceți datele din tabel, în coloana de date, scrieți o funcție \u003d CPNPH () și în paranteze indică intervalul de numere din celule, evidențiind coloana cu datele. După aceea, apăsați intrarea sau faceți clic pe butonul stâng al mouse-ului din orice celulă. Rezultatul va fi afișat în celulă sub coloană. Nu pare clar, ci de fapt - un caz de minut.

Adventure Finder 2000.

Programul ECXEL este diversificat, prin urmare, există mai multe opțiuni care vă vor permite să găsiți valoarea medie:

Prima opțiune. Pur și simplu rezumați toate celulele și împărțiți-le;

A doua opțiune. Profitați de o echipă specială, scrieți în formula de celule dorite "\u003d SRVNAH (și aici specificați gama de celule)";

A treia opțiune. Dacă selectați intervalul dorit, vă rugăm să rețineți că valoarea medie din aceste celule este, de asemenea, afișată pe pagină din partea de jos.

Astfel, modalitățile de a găsi valoarea medie este foarte mult, trebuie doar să alegeți cele mai bune pentru dvs. și să o utilizați în mod constant.

În Excel, o simplitate aritmetică poate fi calculată utilizând funcția SRVNAF. Pentru a face acest lucru, trebuie să conduceți o serie de valori. Apăsați egalitatea și alegeți în categoria statistică, printre care aleg funcția CPN

De asemenea, cu ajutorul formulelor statistice, este posibil să se calculeze aritmetica ponderată aritmetică, considerată mai precisă. Pentru ao calcula, avem nevoie de valorile indicatorului și frecvenței.

Cum să găsiți valoarea medie în Excel?

Această situație. Există un tabel următor:

În coloanele vopsite în roșu conține valori numerice de estimări asupra subiecților. În coloana " Scorul de mijloc"Este necesar să se calculeze valoarea medie.
Problema este aceasta: toate elementele 60-70 și unele dintre ele pe o altă foaie.
M-am uitat într-un alt document deja calculat media, iar în celulă există o formulă de tip
\u003d "Numele listei"! | E12
Dar a făcut un fel de programator care a fost concediat.
Spune-mi, te rog, cine înțelege.

Hector.

În rândul inserției FCC din funcțiile propuse de "Srvnak" și alegeți în cazul în care acestea ar trebui calculate (B6: N6) pentru Ivanov, de exemplu. Nu știu despre foile vecine, dar sigur că este conținut în certificatul standard Windows

Spune-mi cum să calculez valoarea medie în cuvânt

Vă rog să-mi spuneți cum să calculați valoarea medie în cuvânt. Anume, valoarea medie a estimărilor și nu numărul de persoane care au primit estimări.

Julia Pavlova.

Cuvântul poate fi mult cu macrocomenzi. Faceți clic pe Alt + F11 și scrieți un program macro ..
În plus, un obiect de inserție ... vă va permite să utilizați alte programe, cel puțin Excel, pentru a crea o foaie cu un tabel în cadrul documentului Word.
Dar, în acest caz, trebuie să vă înregistrați numerele în coloana de masă și în celula inferioară a aceleiași coloane pentru a pune media, dreapta?
Pentru a face acest lucru, introduceți câmpul în partea de jos a celulei.
Câmp de inserție ... -Formula
Conținutul câmpului
[\u003d Medie (de mai sus)]
Oferă media sumei deasupra celulelor mincinoase.
Dacă câmpul este evidențiat și apăsați butonul din dreapta al mouse-ului, acesta poate fi actualizat dacă numerele s-au schimbat,
Vizualizați codul sau valoarea câmpului, modificați codul direct în câmp.
Dacă ceva se deteriorează, ștergeți întregul câmp din celulă și creați din nou.
Media înseamnă medie, deasupra - aproximativ, adică un număr deasupra celulelor mincinoase.
Toate acestea nu m-am cunoscut, dar a fost ușor de găsit în ajutor, desigur, o mică gândire.

Variabilele militare au o mulțime de distribuție în statistici. Valorile medii caracterizează indicatorii de înaltă calitate ai activităților comerciale: costurile circulației, profiturile, rentabilitatea etc.

In medie - Aceasta este una dintre tehnicile comune. Înțelegerea corectă a esenței medii determină semnificația sa specială în condițiile unei economii de piață, când media printr-un singur și accidental vă permite să identificați generalul și necesar, să identificați tendința de modele dezvoltare economică.

valoarea medie - Acesta este generalizarea indicatorilor în care exprimarea acțiunii condițiilor generale, sunt studiate modelele fenomenelor.

Mediile statistice sunt calculate pe baza datelor de masă organizate în mod corespunzător statistic de supraveghere în masă (solidă și selectivă). Cu toate acestea, media statistică va fi obiectivă și tipică dacă este calculată prin date în masă pentru o totalitate calitativă omogenă (fenomene de masă). De exemplu, dacă calculați salariul mediu în cooperative și în întreprinderile de stat, și rezultatul este distribuit întregului set, apoi media fictivă, deoarece este concepută pentru agregat neogene, și o astfel de medie pierde orice înțeles.

Cu ajutorul mediului, se întâmplă ca și cum ar fi netezirea diferențelor în valoarea semnului, care apar din unul sau altul din unitățile individuale de observare.

De exemplu, producția medie a vânzătorului depinde de multe motive: calificări, experiență, vârstă, formulare de servicii, sănătate etc.

Dezvoltarea medie reflectă proprietatea generală a întregii totalități.

Valoarea medie este o reflectare a valorilor atributului studiat, prin urmare, este măsurată în aceeași dimensiune ca această caracteristică.

Fiecare valoare medie caracterizează totalitatea studiată pe orice semn unic. Pentru a obține o idee completă și cuprinzătoare despre agregatul comun pentru o serie de caracteristici esențiale, în general, este necesar să existe un sistem de valori medii care să descrie fenomenul din diferite părți.

Există diferite medii:

aritmetică medie;

mediu geometric;

armonică medie;

mediu pavatic;

mediu cronologic.

Luați în considerare câteva tipuri de medii care sunt utilizate în mod obișnuit în statistici.

Aritmeticul de mijloc

Aritmeticul mediu simplu (nedezvoltat) este egal cu suma valorilor individuale ale caracteristicilor împărțite la numărul acestor valori.

Valorile separate ale caracteristicilor sunt numite opțiuni și denotă de x (); Numărul de unități de agregat este notat de n, valoarea medie a semnului este prin . În consecință, aritmetica medie este simplă egală cu:

Conform unei serii discrete de distribuție, se poate observa că aceleași caracteristici ale caracteristicilor (opțiuni) sunt repetate de mai multe ori. Deci, opțiunea X este numărată împreună de 2 ori, iar opțiunea X-16 ori, etc.

Numărul de valori identice ale caracteristicilor din rândurile de distribuție se numește frecvență sau greutate și este indicat de simbolul N.

Calculăm salariul mediu al unui lucrător În ruble:

Fondul de salarizare pentru fiecare grup de lucrători este egal cu opțiunile de lucru pentru frecvență, iar suma acestor lucrări oferă un fond comun salarial al tuturor lucrătorilor.

În conformitate cu aceasta, calculele pot fi reprezentate în formă generală:

Formula rezultată se numește o medie aritmetică medie.

Materialul statistic ca rezultat al prelucrării poate fi reprezentat nu numai sub formă de rânduri discrete de distribuție, ci și sub formă de variatari de interval cu intervale închise sau deschise.

Calculul mediu conform datelor grupate se face prin formula aritmeticii de mijloc ponderate:

În practica statisticilor economice, uneori este necesar să se calculeze media media în grup sau de părțile medii individuale ale agregatului (media privată). În astfel de cazuri, mediile de grup sau private sunt acceptate pentru opțiuni (x), pe baza căreia media totală este calculată ca fiind aritmetică medie obișnuită.

Principalele proprietăți ale aritmeticii de mijloc .

Aritmetica medie are o serie de proprietăți:

1. De la scăderea sau creșterea frecvențelor fiecărei valori ale caracterului, valoarea aritmeticii medii nu se va schimba.

Dacă toate frecvențele sunt împărțite sau multiplicate cu orice număr, atunci valoarea medie nu se va schimba.

2. Factorul general al semnelor individuale ale caracteristicilor poate fi redat pentru semnul mediu:

3. Suma medie (diferența) a două sau mai multe valori este egală cu suma (diferența) a mediei lor:

4. Dacă X \u003d C, unde C este o valoare constantă, atunci
.

5. Suma abaterilor valorilor semnului X din aritmetica mijlocie X este egală cu zero:

Armonică mijlocie.

Caracteristicile seriei variaționale, împreună cu media, sunt modă și mediană.

Modă - Aceasta este valoarea semnului (opțional), cel mai adesea repetat în agregatul comun. Pentru rândurile discrete de distribuție de modă va fi valoarea opțiunii cu cea mai mare frecvență.

Pentru intervalele de distribuție cu intervale egale ale modei se determină prin formula:

unde
- valoarea inițială a intervalului care conține moda;

- amploarea intervalului modal;

- frecvența intervalului modal;

- frecvența intervalului care precede modalul;

- frecvența intervalului următor modal.

Median - Aceasta este o opțiune situată în mijlocul seriei Variational. Dacă intervalul de distribuție este discret și are numar impar Membrii, atunci mediana va fi o opțiune în mijlocul unei serii comandate (serii comandate - acesta este aranjamentul unităților agregate într-o ordine în creștere sau descendentă).

Care este media aritmetică

Mediile medii aritmetice reprezintă raportul dintre suma acestor valori la numărul lor.

Media aritmetică a unui anumit număr de numere este numită suma tuturor acestor numere, împărțită la numărul de componente. Astfel, media aritmetică este valoarea medie a seriei numerice.

Care este media medie aritmetică a mai multor numere? De asemenea, ele sunt suma acestor numere, care este împărțită la numărul de componente din această sumă.

Cum să găsiți un număr aritmetic mijlociu

În calcul sau găsirea unui număr aritmetic de dimensiuni medii, nu este nimic complicat, este suficient să adăugați toate numerele reprezentate, iar cantitatea obținută este împărțită la numărul de componente. Rezultatul obținut și va fi aritmetica medie a acestor numere.

Luați în considerare acest proces în detaliu. Ceea ce trebuie să facem pentru a calcula aritmeticul mediu și pentru a obține rezultatul final al acestui număr.

În primul rând, pentru a calcula, trebuie să determinați setul de numere sau numărul acestora. Acest set poate include numere mari și mici, iar numărul acestora poate fi orice.

În al doilea rând, toate aceste numere trebuie să fie pliate și obținerea sumei lor. Firește, dacă numerele sunt simple și cantitatea lor mică, atunci calculele pot fi făcute prin scrierea de la mână. Și dacă setul de numere este impresionant, este mai bine să utilizați un calculator sau o foaie de calcul.

Și, al patrulea, suma primită de la adăugare trebuie împărțită în numărul de numere. Ca rezultat, obținem rezultatul, care va fi numărul mediu aritmetic al acestei serii.

Ceea ce este nevoie de media aritmetică

Media aritmetică poate fi utilă nu numai pentru rezolvarea exemplelor și a sarcinilor în lecțiile matematice, ci în alte scopuri necesare în viata de zi cu zi om. Astfel de obiective pot fi calculul aritmeticii medii pentru a calcula cursul mediu pe lună sau pentru a număra timpul pe care îl cheltuiți pe șosea, de asemenea, pentru a învăța participarea, performanța, viteza, productivitatea și multe altele.

Deci, de exemplu, să încercăm să calculăm cât timp petreceți pe drumul spre școală. Mergând la școală sau întoarcerea acasă pe care o cheltuiți pe drum de fiecare dată timp diferitDe când vă grăbiți, atunci mergeți mai repede și, prin urmare, drumul durează mai puțin timp. Dar, revenind, puteți să vă întoarceți acasă, comunicând cu colegii de clasă, admirați natura și, prin urmare, va dura ceva timp pe drum.

Prin urmare, pentru a determina cu exactitate timpul petrecut pe șosea, nu lucrați, dar datorită aritmeticii medii, puteți aproxima timpul pe care îl cheltuiți pe drum.

Să scriem că în prima zi după weekend, ați petrecut pe drum de la domiciliu la școală, cincisprezece minute, în a doua zi calea ta a durat douăzeci de minute, miercuri ați trecut distanța în douăzeci și cinci de minute, în același timp Ți-a făcut drumul joi și vineri, nu te-ai grăbit nicăieri și sa întors în întreaga jumătate de oră.

Să găsim media aritmetică, adăugând timp, pentru toate cele cinci zile. Asa de,

15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115

Acum împărțim această sumă în numărul de zile

Datorită acestui mod, ați aflat că drumul de la domiciliu la școală pe care îl petreceți aproximativ douăzeci și trei de minute de timp.

Teme pentru acasă

1. Găsiți computere non-grele. Găsiți media numărul aritmetic. Participarea studenților de clasă în săptămână.

2. Găsiți media aritmetică:

3. Decideți sarcina:

Acest termen are alte valori, a se vedea valoarea medie.

In medie (în matematică și statistici) de multe numere - suma tuturor numerelor împărțite la numărul lor. Este una dintre cele mai frecvente măsuri ale tendinței centrale.

Se propune (împreună cu o armonică medie geometrică și medie) încă cu pithagoreni.

În anumite cazuri de aritmetică de dimensiuni medii sunt media (agregatul general) și media selectivă (eșantionare).

Introducere

Ambele valori sunt calculate în același mod:

Exemple

Pentru trei numere, este necesar să le adăugați și împărțiți la 3:

x 1 + x 2 + x 3 3. (\\ DisplayStyle (\\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3)) (3)).)

Pentru patru numere, este necesar să le adăugați și împărțiți la 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4. (\\ DisplayStyle (\\ frac (x_ (1) + x_ (2) + x_ (3) + x_ (4)) (4)).)

Sau mai ușoară 5 + 5 \u003d 10, 10: 2. Pentru că am pliat 2 numere, ceea ce înseamnă numărul de numere pe care le adăugăm, atât de mult și împărțiți.

Suma continuă a aleatorilor

Pentru o valoare distribuită continuu f (x) (\\ displaystyle f (x)), media aritmetică pe segmentul [A; b] (\\ showsystyle) este definit printr-un anumit integral:

F (x) ¯ [a; b] \u003d 1 B - A ∫ abf (x) dx (\\ displaystyle (\\ supraline (F (x))) _ () \u003d (1) (ba)) \\ int _ (a) ^ (b) F (x) dx)

Unele probleme de aplicare a mediului

Fără robustețe

Articolul principal: Robustețea în statistici

Procentaj complex

Articolul principal: Investiții de plată

Motivul pentru aceasta este că procentele au un nou punct de plecare de fiecare dată: 30% este de 30% de la mai mic decât prețul la începutul primului an, numărul: Dacă acțiunile de la început costă 30 de dolari și au scăzut cu 10%, ei la începutul celui de-al doilea an sunt de 27 de dolari. Dacă stocurile au crescut cu 30%, acestea la sfârșitul celui de-al doilea an sunt de 35.1 USD. Media aritmetică a acestei creșteri este de 10%, dar deoarece stocurile au crescut de peste 2 ani doar 5.1 dolari, o creștere medie a 8.2% oferă rezultatul final de 35.1 dolari:

Directii

Articolul principal: Direcții Statistici

În primul rând, măsurile unghiulare sunt definite doar pentru intervalul de la 0 ° la 360 ° (sau de la 0 la 2π când sunt măsurate în radiani). Astfel, aceeași pereche de numere ar putea fi scrisă ca (1 ° și -1 °) sau ambele (1 ° C și 719 °). Valorile medii ale fiecăruia dintre perechi vor fi diferite: 1 ∘ + (- 1 ∘) 2 \u003d 0 ∘ (\\ displaystyle (\\ frac (1 ^ (\\ Circ) + (- 1 ^ (\\ Circ))) (2)) \u003d 0 ^ (\\ (\\ CIRC) (\\ CIRC)).
În al doilea rând, în acest caz, valoarea de 0 ° (echivalent cu 360 °) va fi valorile medii mai bune din punct de vedere geometric, deoarece numerele sunt deviate de la 0 ° mai puțin decât de orice altă valoare (în valoare de 0 ° cea mai mică dispersie). Comparaţie:
- numărul 1 ° se abate de la 0 ° la numai 1 °;
- numărul de 1 ° se abate de la mediul calculat egal cu 180 °, 179 °.

4.3. Valorile medii. Esența și valoarea valorilor medii

Valoarea medie. În statistici, un indicator generalizat este numit un nivel tipic de fenomen în condiții specifice ale locului și timp care reflectă valoarea variației calculului pe unitate a unui set calitativ omogen. În practica economică, se utilizează o gamă largă de indicatori calculați sub formă de dimensiuni medii.

De exemplu, un indicator generalizator al veniturilor societății pe acțiuni de lucru (AO) este venitul mediu al unui lucrător, determinat de raportul dintre Fondul salarial și plățile sociale pentru perioada analizată (an, trimestru, lună) la numărul de lucrători ai SA.

Calcul mediu - una dintre metodele comune de generalizare; Media reflectă faptul că, în general, care este tipic (tipic) pentru toate unitățile agregate comune, în același timp ignoră diferențele dintre unitățile individuale. În fiecare fenomen și dezvoltarea sa are loc o combinație accident și nevoie. La calcularea mediei, în virtutea acțiunii legii unui număr mare de accidente, acestea sunt completate reciproc, sunt echilibrate, astfel încât să puteți rezuma de la caracteristicile nesemnificative ale fenomenului, de la semne cantitative ale caracteristica din fiecare caz particular. În capacitatea de a rezuma din șansele de valori individuale, oscilații și valoarea științifică a mediei ca generalizarea Caracteristicile agregatei.

În cazul în care apare nevoia de generalizare, calculul unor astfel de caracteristici duce la înlocuirea multor valori individuale diferite mijloc Un indicator care caracterizează întregul set de fenomene, ceea ce face posibilă identificarea modelelor inerente fenomenelor publice de masă, invizibilă în fenomene unice.

Media reflectă nivelul caracteristic, tipic, real al fenomenelor studiate, caracterizează aceste niveluri și schimbările lor în timp și în spațiu.

Media este o caracteristică sumară a tiparelor procesului în condițiile în care curge.

4.4. Tipuri de mediu și metode de calcul

Alegerea formei medii este determinată de conținutul economic al unui anumit indicator și al datelor sursă. În fiecare caz, se aplică una dintre valorile medii: aritmetică, GAR.monic, Geometric, Quadratic, Cubic etc. Mediile enumerate sunt clasificate putere mediu.

În plus față de mediul de putere în practica statistică, se folosesc structurale medii, ca modă și median sunt luate în considerare.

Să trăim mai detaliat pe mediul de putere.

Aritmeticul de mijloc

Cel mai frecvent tip de mediu este in medie aritmetic. Se aplică în cazurile în care volumul caracteristica variabilă pentru întreaga totalitate este suma valorilor semnelor unităților individuale. Pentru fenomenele publice, aditivitatea (total) a volumului de caracteristică variabilă se caracterizează, aceasta determină domeniul de aplicare al aritmeticii medii și a prevalenței sale ca indicator generalism, de exemplu, fondul total al salariului este valoarea salariilor tuturor lucrătorilor, Recolta brută - cantitatea de produse produse din toată piața de însămânțare.

Pentru a calcula aritmetica medie, aveți nevoie de suma tuturor semnelor de semne de împărțire prin numărul lor.

Aritmeticul mediu este utilizat în formă mediu simplu mediu și suspendat. Forma inițială, determinantă servește ca o medie simplă.

Media aritmetică simplă egală cu cantitatea simplă de valori individuale ale caracteristicilor medii împărțite de numărul total Aceste valori (se aplică în cazurile în care există valori caracteristice individuale nelegate):

unde
- valorile individuale ale variației (opțiuni); m. - numărul de unități de agregate.

Apoi, limitele de sumare în formulele nu vor fi indicate. De exemplu, este necesar să găsiți producția medie a unui lucrător (lăcătuș), dacă se știe câte părți au făcut fiecare dintre cei 15 lucrători, adică. DAN O serie de semne individuale ale caracteristicilor, PC-uri:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Aritmetica medie este simplă calculată cu formula (4.1), 1 buc:

Opțiunile medii care repetă numărul diferit de ori, sau, așa cum spun ei, au o greutate diferită, numită ponderat. Ca greutăți, numărul de unități din diferite grupuri de agregate (grupul combină aceleași opțiuni).

Aritmetica de mijloc aritmetica - Valorile medii grupate - se calculează prin formula:

, (4.2)

unde
- greutatea (frecvența repetării semnelor identice);

- Valoarea produselor semnelor de frecvență;

- numărul total unități de agregate.

Tehnica de calcul a ponderii medii aritmetice va ilustra exemplul de mai sus. Pentru a face acest lucru, grupați datele sursă și puneți-le în tabel. 4.1.

Tabelul 4.1.

Distribuirea lucrătorilor pentru a lucra părți

Prin formula (4.2), aritmeticul mediu ponderat egal, PCS:

În unele cazuri, greutățile nu pot fi reprezentate de valori absolute, ci relativă (în procente sau fracțiuni de unități). Apoi formula aritmetică mijlocie se va uita la:

unde
- Confidențialitate, adică Ponderea fiecărei frecvențe în suma totală a tuturor

Dacă frecvențele sunt calculate în fracțiuni (coeficienți), atunci
\u003d 1, și formula aspectului ponderat la mijlocul aritmeticii:

Calculând aritmetica medie ponderată din media grupului efectuate prin formula:

unde f. -Named unități în fiecare grup.

Rezultatele calculării aritmeticului mediu al mediului de grup sunt prezentate în tabel. 4.2.

Tabelul 4.2.

Distribuirea lucrătorilor cu experiență medie de muncă

În acest exemplu, opțiunile nu sunt date individuale privind activitatea lucrătorilor individuali și media pentru fiecare atelier. Cântărește f.sunt numărul de lucrători din ateliere. De aici, experiența medie de lucru a lucrătorilor din întreaga întreprindere va fi, ani:

Calculul aritmeticii medii în rândurile distribuției

Dacă valorile caracteristicilor medii sunt specificate sub formă de intervale ("de la - la"), adică. Seria de distribuție a intervalului, atunci la calcularea valorii aritmetice medii, semnificațiile acestor intervale sunt luate ca semne de semne în grupuri, rezultând într-o serie discretă. Luați în considerare următorul exemplu (Tabelul 4.3).

Din rândul intervalului, ne întoarcem la modul discret prin înlocuirea valorilor interval ale valorilor medii / (media simplă

Tabelul 4.3.

Distribuirea lucrătorilor de SA în termeni de remunerare lunară

Grupuri de lucrători în	Numărul de lucrători	Interval de mijloc
plătiți, frecați.	persoană. f.	freca., h.





900 sau mai mult.

valorile intervalelor deschise (în primul rând și ultima) sunt convențional egale cu intervalele adiacente (a doua și penultimă).

Cu acest calcul, este permisă unele inexactități, deoarece se presupune că distribuția uniformă a unităților de caracteristică este în interiorul grupului. Cu toate acestea, eroarea va fi cea mai mică decât intervalul și mai multe unități din interval.

După ce se găsesc intervalele medii, calculele sunt făcute în același mod ca în rândul discret - opțiunile se înmulțesc pe frecvențe (greutăți), iar cantitatea de lucrări sunt împărțite în cantitatea de frecvențe (greutăți), mii de ruble:

Asa de, nivel mediu Remunerarea lucrătorilor AO este de 729 de ruble. pe luna.

Calculul aritmeticii de dimensiuni medii este adesea asociat cu timp mare și timp de muncă. Cu toate acestea, în unele cazuri, procedura de calcul al media poate fi simplificată și facilitată prin utilizarea proprietăților sale. Să dăm (fără dovadă) unele dintre proprietățile de bază ale aritmeticii medii.

Proprietate 1. Dacă toate semnele individuale (adică toate opțiunile) Reduceți sau creșteți i.ori, apoi media o nouă caracteristică va scădea în mod corespunzător sau va crește i.timp.

Proprietate 2. Dacă toate variantele caracteristicilor medii scadecoaseți sau creșteți numărul A, apoi aritmetica medieacesta va reduce sau crește același număr A.

Proprietate 3. Dacă cântărește toate opțiunile medii pentru a reduce sau crește B. la odată, aritmetica medie nu se va schimba.

Ca greutăți, media în loc de indicatori absoluți poate utiliza gravitatea specifică în general (acțiuni sau procente). Simplificând astfel calculele medii.

Pentru a simplifica calculele, media merge de-a lungul modului de reducere a valorilor opțiunilor și frecvențelor. Cea mai mare simplificare este realizată atunci când DAR Valoarea uneia dintre vitele centrale care posedă cea mai mare frecvență este selectată, deoarece / este dimensiunea intervalului (pentru seria cu aceleași intervale). Valoarea l se numește începutul referinței, astfel încât această metodă de calculare a mediului se numește "metoda de referință din zero condițională" sau "Metoda momentelor".

Să presupunem toate opțiunile h. mai întâi redus la același număr A și apoi redus în i.timp. Avem o nouă serie variațională de distribuție a noilor opțiuni .

Atunci opțiuni noi va fi exprimată:

și noul lor aritmetică medie , -punct de ordin -Formulă:

Este egal cu mijlocul opțiunilor inițiale, redus mai întâi pe DAR, Și apoi B. i.timp.

Pentru a obține un mediu valid, este necesar pentru momentul primului ordin m. 1 , înmulțit cu i.si adauga DAR:

Aceasta metoda Calculele aritmeticii de mijloc din numărul de variație numit "Metoda momentelor". Această metodă este utilizată în rânduri cu intervale egale.

Calculul aritmeticii de mijloc conform metodei momentelor este ilustrat de tabelul de date. 4.4.

Tabelul 4.4.

Distribuția întreprinderilor mici în regiune la costul principalului instalații de producție (OPF) în 2000

Grupuri de întreprinderi la costul OPF, mii de ruble.	Numărul de întreprinderi f.	Intervale medii, x.
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Găsim momentul primului ordin

Apoi, luând a \u003d 19 și știind asta i.= 2, calculați x, mii de ruble:

Tipuri de valori și metode medii pentru calculul acestora

În stadiul prelucrării statistice, poate fi livrată o mare varietate de sarcini de cercetare, pentru a rezolva că este necesar să se aleagă media corespunzătoare. În același timp, este necesar să se condude de următoarea regulă: valorile care sunt numitorul și numitorul mediu trebuie să fie interconectate logic.

media de putere;
mijlociu structural.

Introducem următoarele convenții:

Valorile pentru care se calculează media;

Media, în cazul în care trăsătura de mai sus indică faptul că există o medie de valori individuale;

Frecvență (repetabilitate a valorilor caracterului individual).

Diverse medii sunt derivate din formula generală Mediu de putere:

(5.1)

la k \u003d 1 - aritmetica medie; k \u003d -1 - armonică medie; k \u003d 0 - Geometric mediu; k \u003d -2 - patrat mediu.

Valorile medii sunt simple și ponderate. Medii ponderate Numit valorile care iau în considerare faptul că unele opțiuni pentru semne pot avea numere diferite, prin urmare, fiecare opțiune trebuie să multiplice acest număr. Cu alte cuvinte, "greutățile" sunt numărul de unități de agregate în diferite grupuri, adică. Fiecare opțiune este "cântărită" la frecvența sa. Frecvența f este numită greutate statistică sau greutatea medie.

Aritmeticul de mijloc - cel mai frecvent tip de mediu. Se utilizează atunci când calculul se efectuează în conformitate cu datele statistice care nu sunt îngropate, în cazul în care este necesar să se obțină termenii medii. Aritmetica medie este o medie a valorii caracteristice, la primirea volumului total al trăsăturii în agregat este conservat.

Formula aritmetică mijlocie ( simplu) Se pare

unde n este numărul de agregat.

De exemplu, salariul mediu al angajaților întreprinderii este calculat ca aritmetică medie:

Determinarea indicatorilor Iată salariul fiecărui angajat și numărul de angajați ai întreprinderii. La calcularea cantității medii salariale totale a rămas aceeași, dar distribuită ca și cum ar fi între toți angajații egali. De exemplu, este necesar să se calculeze salariul mediu al angajaților unei companii mici, unde 8 persoane sunt ocupate:

La calcularea valorilor medii, valorile individuale ale caracteristicilor care sunt medii pot fi repetate, astfel încât calculul valorii medii este realizat în funcție de datele grupate. În acest caz vorbim Despre noi aritmetica de mijloc suspendatăcare are o viziune

(5.3)

Deci, trebuie să calculăm cursul mediu al acțiunilor unor societăți pe acțiuni la tranzacționarea Bursei de Valori. Se știe că tranzacțiile au fost efectuate în termen de 5 zile (5 tranzacții), numărul de acțiuni vândute la rata de vânzări a fost distribuit după cum urmează:

1 - 800 AK. - 1010 RUB.

2 - 650 AK. - 990 de ruble.

3 - 700 AK. - 1015 RUB.

4 - 550 AK. - 900 de ruble.

5 - 850 AK. - 1150 de ruble.

Relația inițială de a determina cursul mediu de schimb este raportul dintre suma totală a tranzacțiilor (OSS) la numărul de acțiuni vândute (KPA).

Prin disciplină: statistici

Opțiunea 2.

Valorile medii utilizate în statistici

Introducere ................................................. ....................................3.

Sarcina teoretică

Valoarea medie în statistici, esența și condițiile de aplicare.

1.1. Esența dimensiunii medii și a condițiilor de aplicare ............ .4

1.2. Tipuri de valori medii ............................................ ....... 8.

Sarcină practică

Sarcina 1,2,3 ............................................ ..................................... 14.

Concluzie ................................................. ................................................ 21.

Lista referințelor utilizate .............................................. ..... ... 23.

Introducere

Acest test Se compune din două părți - teoretice și practice. În partea teoretică, o astfel de categorie statistică importantă ca valoare medie pentru a-și identifica esența și condițiile de aplicare, precum și alocarea speciilor de mediu și metode pentru calculul acestora.

Statistici, după cum știți, studiază fenomene socio-economice în masă. Fiecare dintre aceste fenomene poate avea o expresie cantitativă diferită a aceleiași caracteristici. De exemplu, salariul aceleiași profesii de lucrători sau prețuri de pe piață pentru același produs etc. Valorile medii caracterizează indicatorii de înaltă calitate ai activităților comerciale: costurile circulației, profiturile, rentabilitatea etc.

Pentru a explora orice combinație de diferite (schimbarea cantitativă), statisticile utilizează valori medii.

Esența dimensiunii medii

Valoarea medie este o caracteristică cantitativă generalizată a setului de fenomene de tip printr-o singură caracteristică variabilă. În practica economică, se utilizează o gamă largă de indicatori calculați sub formă de dimensiuni medii.

Cea mai importantă proprietate a mărimii medii constă în faptul că reprezintă semnificația unei anumite caracteristici în întreaga combinație de un număr, în ciuda diferențelor cantitative din unitățile sale individuale ale agregatului și exprimă faptul că, în comun, ceea ce este inerent în toate unitățile agregate comune. Astfel, prin caracteristica unei unități a unei totalități, aceasta caracterizează întreaga totalitate în general.

Valorile medii sunt asociate cu legea numărului mare. Esența acestei conexiuni este că, în medie, deviații aleatorii ale valorilor individuale, datorită acțiunii legii numărului mare, principala tendință de dezvoltare, necesitate, modelul este dezvăluit în medie. Valorile medii permit compararea indicatorilor legați de agregatele cu numere diferite de unități.

În condiții moderne, dezvoltarea relațiilor de piață în economie este mediul în instrumentul de studiere a modelelor obiective ale fenomenelor socio-economice. Cu toate acestea, în analiza economică, este imposibil să se limiteze doar de indicatorii medii, deoarece deficiențele mari grave în activitățile entităților economice individuale pot fi, de asemenea, ascunse pentru medii generale favorabile în activitățile entităților individuale de afaceri și a varierii din nou progresiv. De exemplu, distribuția populației în venit vă permite să identificați formarea de noi grupuri sociale. Prin urmare, împreună cu datele statistice medii, este necesar să se țină seama de caracteristicile unităților individuale de agregate.

Valoarea medie este diferit factori care afectează fenomenul studiat. Aceasta este, atunci când se calculează cantitățile medii, efectul factorilor aleatorii (perturbaționali, individuali) și, astfel, este posibil să se definească modelele inerente fenomenului studiat. Adolf Benet a subliniat că semnificația valorilor medii constă în posibilitatea trecerii de la una la una obișnuită, de la întâmplare la natural, iar existența valorilor medii este categoria realității obiective.

Statisticile studiază fenomene de masă și procese. Fiecare dintre aceste fenomene posedă atât în \u200b\u200bcomun pentru întreaga totalitate, cât și pentru proprietățile speciale, individuale. Diferența dintre fenomenele individuale se numește variație. O altă proprietate a fenomenelor de masă este proximitatea caracteristicilor fenomenelor individuale. Astfel, interacțiunea elementelor agregate conduce la o limitare a variației cel puțin a proprietăților lor. Această tendință există obiectiv. Este în obiectivitate că motivul pentru cea mai largă utilizare a valorilor medii în practică și în teorie este încheiată.

Valoarea medie în statistică este un indicator generalism care caracterizează un nivel tipic de fenomen în condiții specifice ale locului și timp care reflectă valoarea variației calculului de către unul dintre setul calitativ omogen.

Practica economică utilizează o gamă largă de indicatori calculați sub formă de valori medii.

Folosind valorile medii ale statisticilor rezolvă multe sarcini.

Valoarea principală a mediului constă în funcția lor de generalizare, adică înlocuirea multor valori diferite ale semnului valorii medii care caracterizează întregul set de fenomene.

Dacă valoarea medie rezumă valorile calitative omogene ale caracteristica, este o caracteristică tipică a caracteristica într-o anumită populație.

Cu toate acestea, reducerea incorect a rolului valorilor medii numai la caracteristicile semnelor tipice de semne omogene pe această bază a agregatelor. În practică, statisticile moderne utilizează valorile medii care generalizează fenomene omogene explicit.

Numărul mediu de venituri naționale pe cap de locuitor, randamentul mediu al culturilor de cereale din întreaga țară, consumul mediu de alimente diferite este caracteristicile statului ca sistem unificat Popular, acestea sunt așa-numitul mediu de sistem.

Mediile sistemice pot caracteriza ambele sisteme spațiale sau de obiecte care există simultan (stat, industrie, regiune, planetă pământ etc.) și sisteme dinamice extinse în timp (an, deceniu, sezon etc.).

Cea mai importantă proprietate a mărimii medii constă în faptul că reflectă faptul că în comun, care este inerentă tuturor unităților de combustie de testare. Valorile caracteristicilor unităților individuale ale setului fluctuează într-o singură direcție sau alta sub influența unei multitudini de factori, printre care pot fi atât de bază, cât și aleatorie. De exemplu, cursul acțiunilor corporației în ansamblu este determinat de poziția sa financiară. În același timp, în anumite zile și pe stocuri separate, aceste acțiuni datorate circumstanțelor pot fi vândute la un curs mai mare sau subevaluat. Esența medie și constă în faptul că există abateri reciproce cu privire la valorile semnului unităților individuale de agregate datorită acțiunii factorilor aleatorii, iar schimbările cauzate de factorii actuali sunt luați în considerare. Acest lucru permite medii să reflecte nivelul tipic al caracteristica și abstract de la caracteristicile individuale inerente unităților individuale.

Calcul mediu - una dintre tehnicile comune de generalizare; Media reflectă faptul că, în general, care este tipic (tipic) pentru toate unitățile agregate comune, în același timp ignoră diferențele dintre unitățile individuale. În fiecare fenomen și dezvoltarea acesteia, există o combinație de șansă și necesitate.

Media este o caracteristică sumară a tiparelor procesului în condițiile în care curge.

Fiecare medie caracterizează setul studiat pe o singură caracteristică, dar pentru caracteristicile oricărei combinații, descrierea caracteristicilor sale tipice și a caracteristicilor calitative este necesară de către un sistem de dimensiuni medii. Prin urmare, în practica statisticilor interne pentru studierea fenomenelor socio-economice, de regulă, se calculează un sistem de medii. De exemplu, indicatorul mediu salarial este evaluat împreună cu indicatorii producției medii, a autostrăzilor și a transportului de energie al forței de muncă, gradul de mecanizare și automatizarea muncii etc.

Media trebuie calculată ținând cont de conținutul economic al indicatorului studiat. Prin urmare, pentru un indicator specific utilizat în analiza socio-economică, este posibilă calcularea unei singure valori reale a mediului pe baza metodei științifice de calcul.

Valoarea medie este unul dintre cei mai importanți indicatori statistici generalizați, care caracterizează setul de fenomene de tip în funcție de orice caracteristică variabilă cantitativă. Media în statistică este generalizarea indicatorilor, numere care exprimă dimensiuni caracteristice tipice ale fenomenelor publice pentru un semn variabil cantitativ.

Vizionări ale dimensiunilor medii

Tipurile de valori medii diferă în primul rând cu proprietatea, care parametrul masei de variație originale a valorilor individuale ale caracteristica trebuie salvat neschimbat.

Aritmeticul de mijloc

Valoarea medie aritmetică este numită o astfel de medie a valorii caracteristice, atunci când se calculează că volumul total al caracteristica din agregat rămâne neschimbat. În caz contrar, se poate spune că valoarea medie aritmetică este media este alegoria. La calcularea acesteia, volumul total al semnului distribuit mental în mod egal între toate unitățile totalității.

Aritmeticul mediu este utilizat dacă valorile caracteristicilor medii (x) și numărul de unități ale setului cu o anumită valoare a caracteristica (f) sunt cunoscute.

Aritmetica medie este simplă și ponderată.

Media aritmetică simplă

Este ușor utilizat dacă fiecare valoare caracteristică apare o dată, adică. Pentru fiecare valoare x a caracteristica F \u003d 1 sau dacă datele inițiale nu sunt comandate și nu sunt cunoscute, câte unități au anumite valori ale caracteristicilor.

Formula aritmetică mijlocie are forma:

unde este valoarea medie; X - Semnificația unei caracteristici de stat (opțiune) este numărul de unități ale agregatului comun.

Aritmetica de mijloc aritmetica

Spre deosebire de o simplă medie aritmetică aritmetică aplicată dacă fiecare valoare a caracteristicilor X se găsește de mai multe ori, adică Pentru fiecare valoare a caracteristica f ≠ 1. Această medie este utilizată pe scară largă la calcularea medie pe baza unei game discrete de distribuție:

unde este numărul de grupuri, x - valoarea caracteristicilor medii, greutatea valorii caracterului (frecvența, dacă f este numărul de unități ale setului; frecvență, dacă fracțiunea de unități cu opțiunea x în total cantitatea de totalitate).

Armonică medie

Împreună cu aritmetica medie, valoarea armonică medie este utilizată în statistici, inversează aritmetica de mijloc a valorilor de feedback. Ca și aritmetica medie, poate fi simplă și suspendată. Se utilizează atunci când greutățile necesare (F I) în datele sursă nu sunt specificate direct și fabrica într-unul din indicatorii disponibili (adică atunci când număratorul raportului inițial al media, dar este necunoscut de numitorul său) .

Armonică mijlocie suspendată

Produsul XF oferă volumul semnului mediu X pentru combinația de unități și este notată de W. Dacă în datele sursă există valori ale caracteristica medie și volumul semnei medii W, ponderatul armonic este utilizat pentru a calcula media:

unde x este semnificația semnei X (opțiunea); W - Opțiuni de greutate x, volumul semnei medii.

Media armonică ne-suspendată (simplă)

Această formă a medii folosită mult mai puțin are următoarea formă:

unde x este sensul semnului mediu; N - numărul de valori x.

Acestea. Aceasta este magnitudinea inversă a aritmeticii medii simple din valorile din spate ale caracteristica.

În practică, simplul armonic mediu se aplică rar, în cazurile în care valorile W pentru unitățile de agregate sunt egale.

Mediu Cubic Quadratic și Mediu

În unele cazuri, în practica economică, are nevoie de calcularea caracteristica medie a unui semn exprimat în unități pătrate sau cubice de măsurare. Apoi, patratul mediu este utilizat (de exemplu, pentru a calcula dimensiunea medie a secțiunilor laterale și pătrate, diametrele medii ale țevilor, trunchiurilor etc.) și cubul mediu (de exemplu, atunci când determină partea medie și cuburile).

Dacă, atunci când înlocuiți valorile individuale ale unui semn pe o valoare medie, este necesar să se păstreze suma neschimbată a pătratelor valorilor inițiale, atunci media va fi un mediu patrat, simplu sau ponderat.

Mediu pavatic simplu

Ușor este folosit dacă fiecare valoare a semnului x apare o dată, în general, se pare că:

unde este pătratul valorilor semnului mediu; - numărul de unități de agregate.

Mediu pavatic quadratic

Se folosește o ponderată medie patrată dacă fiecare valoare a caracteristicilor medii x se găsește fime:

unde F - Opțiuni de greutate x.

Mediu cubic simplu și ponderat

Cubicul mediu este simplu este o rădăcină cubică de a împărți cantitatea de cuburi de semne individuale pentru numărul lor:

unde - valorile caracteristicilor, N - numărul acestora.

Mediu cubic ponderat:

unde variantele de greutate F x.

Mediu quadratic și cubic au o utilizare limitată în practica statisticilor. Statisticile patratului mediu, dar nu din opțiunile însele , Și de la abaterile lor de la media atunci când se calculează indicatorii de variație.

Media nu poate fi calculată pentru toți, ci pentru orice parte a unităților agregate. Un exemplu de o astfel de medie poate fi media progresivă ca una dintre mediul privat, calculată nu pentru toți, ci numai pentru "cel mai bun" (de exemplu, pentru indicatori de mai sus sau sub media individuală).

Medium Geometric.

Dacă valorile atributului mediu se abonează semnificativ unul de celălalt sau sunt stabilite de coeficienți (rate de creștere, indicatori de preț), atunci geometricul mediu este utilizat pentru a calcula.

Geometricul mediu se calculează prin îndepărtarea gradului de rădăcină și de lucrările de valori individuale - opțiuni de caracteristică x:

unde n este numărul de opțiuni; P - semn de muncă.

Cea mai largă utilizare a geometrului mediu primit pentru a determina ratele medii de schimbare în rândurile dinamicii, precum și în rândurile distribuției.

Valorile medii sunt generalizate indicatori în care se găsesc expresiile condițiilor generale, modelul fenomenului studiat. Mediile statistice sunt calculate pe baza datelor de masă în mod corespunzător organizate în mod corespunzător supravegherea în masă (solidă sau selectivă). Cu toate acestea, media statistică va fi obiectivă și tipică dacă este calculată prin date în masă pentru o totalitate calitativă omogenă (fenomene de masă). Utilizarea medie ar trebui să procedeze de la o înțelegere dialectică a categoriilor comune și individuale, de masă și unică.

Combinația de medii comune cu media grupului face posibilă limitarea agregatului calitativ omogen. Calculul masei de obiecte care alcătuiesc un fenomen complex, pe grupuri omogene, dar calitative, caracterizând fiecare dintre grupurile din media acestuia, poate deschide rezervele procesului de a emeria o nouă calitate. De exemplu, distribuția populației în venit vă permite să identificați formarea de noi grupuri sociale. În partea analitică, am analizat un exemplu privat de utilizare a valorii medii. Rezumarea se poate spune că domeniul de aplicare și utilizarea valorilor medii în statistici sunt destul de largi.

Sarcină practică

Numărul de sarcină 1.

Identificați rata medie de achiziție și rata medie de vânzări a unuia și US $

Curs de achiziție de mijloc

Curs mediu de vânzări

Numărul de sarcină 2.

Dinamica volumului produselor de catering social Regiunea Chelyabinsk. Pentru perioada 1996-2004, prezentat în tabel în prețuri comparabile (milioane de ruble)

Ștergeți seria A și B. Pentru a analiza o serie de dinamică a producției de produse finite, calculați:

1. Câștigul absolut, ratele de creștere și ratele de creștere și de bază

2. Producția medie anuală a produselor finite

3. Rata medie de creștere anuală și creșterea produselor companiei

4. Faceți alinierea analitică a unui număr de difuzoare și calculați prognoza pentru 2005

5. Palatul grafic un număr de difuzoare

6. Faceți o concluzie pe baza rezultatelor vorbitorului

1) UI B \u003d UI-U1 UI C \u003d UI-U1

y2 b \u003d 2,175 - 2,04 y2 c \u003d 2,175 - 2, 04 \u003d 0,135

y3B \u003d 2,505 - 2,04 Y3 C \u003d 2, 505 - 2,175 \u003d 0,33

y4 B \u003d 2,73 - 2,04 Y4 C \u003d 2, 73 - 2.505 \u003d 0,225

y5 b \u003d 1,5 - 2.04 y5 c \u003d 1, 5 - 2.73 \u003d 1,23

y6 B \u003d 3,34 - 2,04 Y6 C \u003d 3, 34 - 1,5 \u003d 1,84

y7 B \u003d 3,6 3 - 2,04 Y7 C \u003d 3, 6 3 - 3.34 \u003d 0,29

y8 B \u003d 3,96 - 2,04 Y8 C \u003d 3, 96 - 3.63 \u003d 0,33

y9 B \u003d 4,41-2,04 Y9 C \u003d 4, 41 - 3.96 \u003d 0,45

TR B2. Tr c2.

TR B3. TR Ch3.

Tr b4. Tr c4.

TR B5. Tr ts5.

TR B6. Tr c6.

TR B7. Tr ts7.

TR B8. Tr c8.

TR B9. Tr c9.

TR B \u003d (TPRB * 100%) - 100%

TR B2 \u003d (1,066 * 100%) - 100% \u003d 6,6%

TD C3 \u003d (1,151 * 100%) - 100% \u003d 15,1%

2) y. milioane de ruble. - Performanța medie a produsului

2,921 + 0,294*(-4) = 2,921-1,176 = 1,745

2,921 + 0,294*(-3) = 2,921-0,882 = 2,039

(YT-Y) \u003d (1,745-2,04) \u003d 0,087

(YT-YT) \u003d (1.745-2.921) \u003d 1,382

(Y-YT) \u003d (2.04-2.921) \u003d 0,776

TP.

DE.

y2005 \u003d 2.921 + 1,496 * 4 \u003d 2,921 + 5,984 \u003d 8,905

8,905+2,306*1,496=12,354

8,905-2,306*1,496=5,456

5,456 2005 12,354

Numărul de sarcină 3.

Statisticile aprovizionării cu ridicata ale zonei de lanțuri alimentare și nealimentare și de vânzare cu amănuntul în 2003 și 2004 sunt prezentate în diagramele relevante.

Conform Tabelului 1 și 2 Necesar

1. Găsiți un indice general de aprovizionare cu ridicata a produselor alimentare în prețuri reale;

2. Găsiți un indice general al furnizării efective de produse alimentare;

3. Comparați indicele generali și efectuați ieșirea corespunzătoare;

4. Găsiți un indice general de livrare a produselor nealimentare în prețuri reale;

5. Găsiți un indice general al volumului fizic de livrare a produselor nealimentare;

6. Comparați indexurile obținute și încheiați în produse nealimentare;

7. Găsiți indicii generali consolidați de furnizare a întregii mase de mașini în prețuri reale;

8. Găsiți un indice general consolidat al volumului fizic (pe întreaga greutate a produsului);

9. Comparați indicele rezumși primiți și efectuați ieșirea corespunzătoare.

Perioada de bază		Perioada de raportare (2004)	Livrările perioadei de raportare la prețurile perioadei de bază




	1,291-0,681=0,61= - 39 Concluzie În concluzie, rezumați. Valorile medii sunt generalizate indicatori în care se găsesc expresiile condițiilor generale, modelul fenomenului studiat. Mediile statistice sunt calculate pe baza datelor de masă în mod corespunzător organizate în mod corespunzător supravegherea în masă (solidă sau selectivă). Cu toate acestea, media statistică va fi obiectivă și tipică dacă este calculată prin date în masă pentru o totalitate calitativă omogenă (fenomene de masă). Utilizarea medie ar trebui să procedeze de la o înțelegere dialectică a categoriilor comune și individuale, de masă și unică. Media reflectă faptul că generalul este format în fiecare individ, un singur obiect datorită acestei medii devine mare importanță Pentru a identifica modelele inerente fenomenelor sociale în masă și invizibile în fenomene unice. Abaterea individuală din manifestarea generală a procesului de dezvoltare. În anumite cazuri izolate, elementele celei noi, avansate pot fi așezate. În acest caz, este un factor deosebit de concret, luată pe fondul valorilor medii, caracterizează procesul de dezvoltare. Prin urmare, în mijloc și reflectă nivelul caracteristic, tipic, real al fenomenelor studiate. Caracteristicile acestor niveluri și schimbările lor în timp și în spațiu sunt una dintre principalele sarcini ale valorilor medii. Deci, prin media se manifestă, de exemplu, inerente întreprinderilor o anumită etapă dezvoltare economică; Schimbarea bunăstării populației se reflectă în indicatorii salariilor medii, veniturile familiale în general și pentru grupurile sociale individuale, nivelul de consum de produse, bunuri și servicii. Indicatorul mediu este valoarea tipică (normală, normală, stabilită în ansamblu), dar este în conformitate cu ceea ce se formează în condiții normale, naturale ale existenței unui anumit fenomen de masă considerat ca un întreg. Media afișează proprietatea obiectivă a fenomenului. De fapt, există adesea doar fenomene deviatoare, iar media ca fenomenele nu există, deși conceptul de tipic al fenomenului este împrumutat de la realitate. Valoarea medie este reflectarea valorii atributului studiat și, prin urmare, este măsurată în aceeași dimensiune a acestei caracteristici. Cu toate acestea, există diferite modalități de determinare aproximativă a nivelului de distribuire a numărului pentru compararea semnelor consolidate care nu sunt direct comparabile între ele, de exemplu, populația medie în raport cu teritoriul (densitatea medie a populației). În funcție de faptul că factorul trebuie să eliminați, conținutul mediu va fi. Combinația de medii comune cu media grupului face posibilă limitarea agregatului calitativ omogen. Calculul masei de obiecte care alcătuiesc un fenomen complex, pe grupuri omogene, dar calitative, caracterizând fiecare dintre grupurile din media acestuia, poate deschide rezervele procesului de a emeria o nouă calitate. De exemplu, distribuția populației în venit vă permite să identificați formarea de noi grupuri sociale. În partea analitică, am analizat un exemplu privat de utilizare a valorii medii. Rezumarea se poate spune că domeniul de aplicare și utilizarea valorilor medii în statistici sunt destul de mari Bibliografie 1. Gusarov, V.M. Teoria statisticilor Calitate [Text]: Studii. Manual / V.M. Alocația Gusarov pentru universități. - M., 1998 2. Edrokova, N.N. Teoria statisticilor generale [Text]: Tutorial / Ed. N.N. EROCHOVA - M: Finanțe și statistici 2001 - 648 p. 3. Eliseeva i.i., Yuzbashev M.M. Teoria statisticilor generale [Text]: Tutorial / Ed. CHL-CORR. Ras I.I. Lesheeva. - A 4-a Ed., Pererab. si adauga. - M.: Finanțe și statistici, 1999. - 480C.: Il. 4. EFIMOVA M.R., Petrova E.V., Rumyantsev V.N. Teoria statisticilor generale: [Text]: Tutorial. - M.: INFRA-M, 1996. - 416C. 5. Ryowova, N.N. Teoria statisticilor generale [Text]: Tutorial / Ed. N.N. Rowowza - M.: Finanțe și statistici, 1984. Gusarov V.M. Teoria statisticilor: educație. Manual pentru universități. - M., 1998.-P.60. Eliseeva i.i., Yuzbashev M.M. Teoria statisticilor generale. - M., 1999.-P.76. Gusarov V.M. Teoria statisticilor: educație. Manual pentru universități. -M., 1998.-p.61.