- 88,50 KB.

Agenția forestieră federală a Federației Ruse

FBou Spo "Divnogorsky Leschoz - Școala Tehnică"

Cabinet Matematică

RAPORT

Pe numărul de lucru al cercetării

Pe tema "Fracții continue"

Efectuat:

Student 1 Cursul c. 11b-l. Kardapoltsev a.o.

Verificat:

Profesor: Konovalova de ex.

Evaluare:

Introducere - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 3

Fracțiune continuă - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Descompunerea în fracțiunea lanțului - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Apropierea numărului real rațional - - 6

Referința istorică - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Concluzie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Lista bibliografică - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 9

Introducere

Scopul meu muncă de cercetare Este studiul teoriei fracției în lanț. În aceasta, voi încerca să dezvăluie proprietățile fracțiilor adecvate, caracteristicile descompunerii numerelor reale în fracțiunea greșită, erorile care apar ca urmare a acestei descompuneri și utilizarea teoriei fracției de lanț pentru rezolvarea unui număr de algebrici Probleme.

Fracțiunile de lanț au fost introduse în 1572 de matematicianul italian bombally. Desemnarea modernă a fracțiilor continue se găsește la Matematica italiană Kataldi în 1613. Cel mai mare matematician al secolului al XVIII-lea, Leonardo Euler a subliniat mai întâi teoria fracțiilor cu lanț, a ridicat problema utilizării lor pentru a rezolva ecuațiile diferențiale, le-a aplicat pentru a descompune funcțiile, reprezentând lucrări nesfârșite, a oferit o generalizare importantă.

Lucrările lui Euler pe teoria fracției în lanț au fost continuate de M. Sofronov (1729-1760), academicianul V.M. Viscovat (1779-1819), D. Bernoulli (1700-1782) și alții. Multe rezultate importante ale acestei teorii aparțin Lagrange-ului francez de matematică, care a găsit o metodă de soluționare aproximativă utilizând fracțiuni de lanț de ecuații diferențiale.

Fracțiunea continuă

Fracția lanțului(sau fracțiunea continuă) - aceasta este o expresie matematică

unde a. 0 Există un număr întreg și restul a. n. Numere naturale (adică, întregul număr negativ). Orice număr real poate fi reprezentat ca o fracțiune de lanț (finală sau infinită). Numărul este reprezentat de rata finală a lanțului dacă și numai dacă este rațională. Numărul este reprezentat de o rată a lanțului periodic dacă și numai dacă este o irațiune patratic.

Descompunerea lanțului

Orice număr realx. pot fi reprezentate (în cele din urmă infinite) fracțiune de lanț în cazul în care

În cazul în care denotă partea întregă a număruluix. .

Pentru un număr raționalx. această descompunere se va întoarce pentru a obține zerox. n. Pentru unii n.. În acest caz x. pare a fi fracțiunea finală a lanțului

Pentru iraționalx. Toate valorile x. n. va fi non-zero și procesul de descompunere poate fi continuat infinit. În acest cazx. se pare că o fracțiune de lanț infinit

Apropierea numărului real rațional

Fracțiunile de lanț fac posibilă găsirea eficientă a aproximărilor raționale bune ale numerelor reale. Și anume, dacă un număr realx. expedierea într-o fracțiune de lanț, atunci fracțiunile sale adecvate vor satisface inegalitatea:

De aici, în special, rezultă:

1) o fracțiune adecvatăeste cea mai bună aproximare

pentru x. dintre toate fracțiunile, numitorul nu depășeșteq. n. ;

2) Măsura iraționalității oricărui număr irațional nu este mai mică de 2.

Exemple

1) descompune numărulπ \u003d 3,14159265 ... într-o fracțiune continuă și calculează fracțiunile sale adecvate: 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ...

A doua fracție (22/7) este celebrul apropiat arhimedean. Al patrulea (355/113) a fost obținut pentru prima dată în China antică.

2) În teoria muzicii, este necesar să se găsească o aproximare rațională pentru

A treia fracție adecvată: 7/12 vă permite să fundamentați diviziunea clasică a octavei pe 12 halffon.

Referință istorică

Matematicienii antic au reușit să reprezinte relația dintre valorile incomensurabile sub forma unui lanț de relații adecvate consecutive, primind acest lanț utilizând algoritmul Euclidea. Aparent, a fost așa, Archimedes a primit o abordare:

Aceasta este a 12-a fracțiune adecvată pentru

Sau de la cea de-a 4-a fracțiune adecvată pentru.

În secolul V, matematica indiană a lui Ariarabhat a aplicat o "metodă de măcinare" similară pentru a rezolva ecuațiile nedeterminate din primul și al doilea grad. Cu ajutorul aceleiași tehnici, probabil a obținut o aproximare cunoscută a număruluiπ (355/113). În secolul al XVI-lea, Raphael a îndepărtat rădăcinile pătrate cu fracțiuni de lanț (vezi algoritmul său).

Începutul teoriei fracțiunii moderne a pus în 1613 Pietro Antonio Kataldi. El a remarcat principala proprietate (situația dintre fracțiunile corespunzătoare) și a introdus desemnarea care seamănă cu modern. Mai târziu, teoria sa a fost extinsă de John Valis, care a sugerat termenul "Fracțiunea continuă". Termen echivalent " fracția lanțului"A apărut la sfârșitul secolului al XVIII-lea.

Aceste fracțiuni au fost utilizate în principal pentru apropierea rațională a numerelor reale; De exemplu, creștinii Huygens le-au folosit pentru a crea roți blânde de planetariu. Guygeni știa deja că fracțiile adecvate sunt întotdeauna dezmembrate și că reprezintă cea mai bună armonizare rațională.

În secolul al XVIII-lea, Leonard Euler și Joseph Lagranng au fost finalizate în secolul al XVIII-lea.

Concluzie

Această lucrare de cercetare arată valoarea fracțiilor în lanț în matematică.

Acestea pot fi aplicate cu succes la soluția de ecuații incerte ale speciilor

aX + BY \u003d C.

Dificultatea de bază a soluționării unor astfel de ecuații este de a găsi o parte din soluția sa privată. Deci, cu ajutorul fracțiilor cu lanț, puteți specifica algoritmul pentru a localiza o astfel de soluție privată.

Fracțiunile de lanț pot fi aplicate, de asemenea, pentru rezolvarea unor ecuații nedefinite mai complexe, de exemplu, așa-numita ecuație PLL:

().

Fracțiunile infinite ale lanțului pot fi utilizate pentru a rezolva ecuațiile algebrice și transcendentale, pentru a calcula rapid valorile funcțiilor individuale.

În prezent, fracțiunile de lanț sunt utilizate din ce în ce mai mult în tehnologie de calculPentru aceasta vă permite să construiți algoritmi eficienți pentru a rezolva un număr de sarcini pe computer.

Lista bibliografică:

http://ru.wikipedia.org.

1. Algebră și teoria numerelor. Editat de n.ya. Vilenkin, M, "Iluminare", 84.
2. LOR. Vinogradov. Fundamente ale teoriei numerelor. M, "știință", 72.
3. A.A. Kochieva. Atelierul de sarcini pe algebră și teoria numerelor. M, "iluminare", 84.
4. L.Ya. Kulikov, A.I. Moskalenko, A.A. Fomin. Colectarea sarcinilor pe algebră și teoria numerelor. M, "iluminare", 93.

E.s. Lyapin, a.e. Evseev. Algebră și teoria numerelor. M, "iluminare",

Descrierea muncii

Scopul lucrărilor mele de cercetare este studierea teoriei fracțiilor cu lanț. În ea, voi încerca să dezvăluie proprietățile fracțiilor adecvate, caracteristici ale expansiunii numerelor reale în fracții incorecte, erorile care apar ca urmare a acestei descompuneri și utilizarea teoriei fracțiunii în lanț pentru rezolvarea unui număr de probleme algebrice.

Fracțiune continuă - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 4

Descompunerea în fracțiunea lanțului - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5

Apropierea numărului real rațional - - 6

Referința istorică - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 7

Concluzie - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 8

Bibliografie - - - - - - - - - - - - - - - -

Fracțiuni continue

Secvența, fiecare membru al căruia este fracțiunea obișnuită, generează o fracție continuă (sau lanț) dacă cel de-al doilea element este adăugat la prima și fiecare fracțiune, începând cu al treilea, se adaugă numitorului fracțiunii anterioare. De exemplu, o secvență 1, 1/2, 2/3, 3/4, N / (N + 1), ... generează o fracțiune continuă

În cazul în care punctele de la final indică faptul că procesul continuă pe o perioadă nedeterminată. La rândul său, fracțiunea continuă generează o altă secvență de fracțiuni, numită potrivită. În exemplul nostru, prima, a doua, a treia și a patra fracțiune adecvată sunt egale

Acestea pot fi construite de-a lungul unei reguli simple din secvența incompletă de 1, 1/2, 2/3, 3/4, .... În primul rând, vom scrie prima și a doua fracțiune adecvată 1/1 și 3/2. Cea de-a treia fracție adecvată este egală cu (2? 1 + 3/3) / (2? 1 + 3/3) sau 11/8, numitorul său este egal cu cantitatea de produse de numere ale primei și celei de-a doua fracțiuni robuste, Înmulțit de numărător și de numitor al celui de-al treilea incomplet privat, iar numitorul este egal cu cantitatea de lucrări ale primului și al doilea incomplet privat, înmulțit de numărator și numitor al celui de-al treilea incomplet privat. A patra fracțiune adecvată este similară cu cea de-a patra incompletă 3/4 și a doua și a treia fracțiune adecvată: (3/3 + 11) / (3? 2 + 4/8) sau 53/38. În urma acestei reguli, găsim primele șapte șapte fracțiuni adecvate: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 și 16687/11986. Le scriem în formă fracțiuni zecimale (Șase caractere după punctul zecimal): 1.000000; 1.500000; 1.375000; 1.397368; 1.391892; 1.392247 și 1.392208. Valoarea fracțiunii noastre continue va fi numărul X, primele cifre ale căror 13922. Fracțiunile adecvate sunt cea mai bună aproximare a numărului X. Mai mult, ei se dovedesc alternativ pentru a fi mai puțin, apoi numărul X (ciudat - mai mult x, și chiar - mai puțin).

Pentru a prezenta raportul dintre două numere întregi pozitive sub forma fracției finale continue, trebuie să utilizați metoda de găsire a celui mai mare divizor comun. De exemplu, ia raportul dintre 50/11. De la 50 \u003d 4? 11 + 6 sau 11/50 \u003d 1 / (4 + 6/11) și, în mod similar, 6/11 \u003d 1 / (1 + 5/6) sau 5/6 \u003d 1 / (1 + 1/5), primim:

Fracțiunile continue sunt folosite pentru a aproxima numerele iraționale raționale. Să presupunem că X este un număr irațional (adică, imprevizibil sub forma unei relații de două numere întregi). Apoi, dacă N0 este cel mai mare număr întreg care este mai mic de x, x \u003d N0 + (x - N0), unde X este N0 este un număr pozitiv mai mic de 1, prin urmare numărul invers X1 este mai mare de 1 și x \u003d N0 + 1 / x1. Dacă N1 este cel mai mare număr întreg mai mic de x1, apoi X1 \u003d N1 + (X1 - N1), unde X1 - N1 este un număr pozitiv mai mic de 1, prin urmare numărul invers X2 este mai mare de 1 și x1 \u003d N1 + 1 / x2. Dacă N2 este cel mai mare număr întreg care este mai mic de x2, apoi x2 \u003d N2 + 1 / x3, unde X3 este mai mare de 1, etc. Ca rezultat, avem un pas pas cu pas găsim secvența de fracțiuni private de N0, 1 / N1, 1 / N2, ... fracții continue care sunt aproximări x.

Să explicăm exemplul de exemplu. Să presupunem că atunci

Primele 6 fracții adecvate sunt egale cu 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Au înregistrat sub formă de fragmente zecimale, ele dau următoarele valori aproximative: 1.000; 1.500; 1.400; 1,417; 1.4137; 1.41428. Fracțiunea continuă pentru persoane incomplete 1, 1/1, 1/2, 1/1, 1/2, 1/1, .... Numărul irațional este rădăcina ecuație pătrată. Cu coeficienți întregi în acest sens și numai dacă descompunerile private incomplete într-o fracțiune continuă sunt periodice.

Fracțiunile continue sunt strâns legate de multe secțiuni de matematică, de exemplu, cu teoria funcțiilor, rânduri divergente, problema momentelor, ecuațiile diferențiale și matrice nesfârșite. Dacă X - Măsura Radian colț acut, atunci tangentul unghiului X este egal cu valoarea fracției continue cu incomplet privat 0, x / 1 ,? x2 / 3 ,? x2 / 7 ,? x2 / 9, ... și dacă x este a Numărul pozitiv, atunci logaritmul natural De la 1 + x este egal cu fracțiunea continuă cu incompletă privată 0, x / 1, 12x / 2, 12x / 3, 22x / 4, 22x / 5, 32x / 6, .... Soluția formală a ecuației diferențiale x2dy / dx + y \u003d 1 + x sub forma unui rând de alimentare este seria de putere 1 + x - 1! X2 + 2! X3 - 3! X4 + .... Această serie de energie poate fi transformată într-o fracțiune continuă cu incompletă 1, x / 1, x / 1, 2x / 1, 2x / 1, 3x / 1, 3x / 1, și la rândul său utilizat pentru a obține a Soluție Ecuație diferențială X2DY / DX + Y \u003d 1 + X.

Colter. Dicționar color. 2012

A se vedea, de asemenea, interpretări, sinonime, semnificațiile cuvântului și ceea ce este o fracțiune continuă în limba rusă în dicționare, enciclopedii și cărți de referință:

• FRACȚIUNE
  Dacă un număr întreg este împărțit într-un alt număr întreg B, adică numărul X este căutat, satisfăcător condiția BX \u003d A, apoi ...
• Insula Kauai. În manualul minunilor, fenomene neobișnuite, OZN-uri și alte lucruri:
  cel mai brut loc de pe Pământ, situat în arhipelagul hawaii din Oceanul Pacific, unde se duc ploile ploioase aproape continue. Media anuală ...
• Stalker (film) în Wiki Cotat.
• Rusia, secțiunea. MATEMATICĂ Într-o scurtă enciclopedie biografică:
  Monumentele filos ale filmelor vor lua utilizarea unui sistem de numere zecimale în termen de 1 - 10.000 (întuneric) și fracții ale sistemului binar ...
• FRACȚIUNE În dicționarul enciclopedic mare:
  
• Jacobian
  determinant funcțional --aik-1n cu elemente în cazul în care Yi Fi (x1, ..., xn), l £ i £ ...
• Analiza funcțională (matematică) în mare enciclopedia sovietică, BVB:
  analiza, parte a matematicii moderne, a cărei sarcină principală este de a studia spațiile infinite-dimensionale și mapăriile acestora. Cele mai studiate spații liniare și liniare ...
• Ecuații funcționale În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  ecuații, o clasă foarte comună de ecuații în care se dorește o anumită funcție. La F. Y. Ecuații în esență diferențiale, ...
• Niveluri de energie În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  energie, posibile valori ale energiei sistemelor cuantice, adică sisteme constând din microparticule (electroni, protoni etc. Particule elementare, nuclee atomice, ...
• TOPOLOGIE În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  (din greacă. TPO este un loc și logic) - o parte a geometriei dedicată studiului fenomenului de continuitate (exprimat, de exemplu, în concept ...
• Termodinamica proceselor de nonehilibrium În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  procese non-echilibru, teoria generală a descrierii macroscopice a proceselor de nonehilibrium. Se numește, de asemenea, termodinamică non-echilibrată sau termodinamică procese ireversibile. Termodinamica clasică ...
• Cuptor termic. În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  cuptor, cuptor industrial pentru diferite operațiuni de procesare termică termică sau chimică a produselor metalice. T. P. Clasificat prin metoda de funcționare: Periodic ...
• URSS. Știința tehnică. În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  science Aviation Science și Tehnologie În Rusia pre-revoluționară, au fost construite un număr de aeronave ale designului original. Avioanele sale create (1909-1914) J. M. ...
• Functie rationala În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  funcția, funcția rezultată dintr-un număr finit de operații aritmetice (adăugare, multiplicare și divizare) peste variabile x și numere arbitrare. R. ...
• Stație de rulare În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  totuși, mașină de prelucrare a presiunii metalice etc. Materiale între rulouri rotative, adică pentru procesul de rulare, în ...
• Polimeri În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  (din greacă. Polymeres - constând din mai multe părți, diverse), compuși chimici Cu o greutate moleculară mare (de la câteva mii la mulți ...
• Fracția periodică În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  fracția, o fracție zecimală infinită, în care, începând de la un anumit loc, este doar un grup de numere definite periodic repetate. De exemplu, 1.3181818 ...; Pe scurt ...
• Fracțiunea continuă În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  fracțiunea, fracția de lanț, una dintre cele mai importante modalități de a reprezenta numere și funcții. N. d. Există o expresie a speciei în care un 0 - ...
• Grupul continuu În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  grup, conceptul matematic, precum și conceptul unui grup obișnuit care apare atunci când iau în considerare transformările. Fie ca să fiu un set de elemente de orice ...
• MAROC În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  Regatul Marocului (Arab. - Al-Mama Al-Magrybia sau Maghreb Al-Aksha, literalmente - Occidentul). I. General M. - Statul pe ...
• Linia (geometrich. Concept) În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  (de la Lat. Linea), conceptul geometric, exact și în același timp suficient definiție generală. care este dificultăți considerabile și se desfășoară ...
• CANTITATE În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  categoria care exprimă relația externă, formală de articole sau piesele lor, precum și proprietățile, legăturile: valoarea lor, numărul, gradul de manifestare a acestui lucru sau ...
• CIBERNETICĂ În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  (din Grecia. Kybernetike este arta managementului, de la Kybernao - Drive dreapta, Gestionați), știința informațiilor de management, comunicare și prelucrare. ...
• Aliaje de aur. În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  aliaje, aliaje, cea mai importantă componentă din care este aur (AU). Fuziunea AU cu alte metale (ligaturi) își propune să crească rezistența ...
• Probrovaya Stan. În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  moara, moara de rulare, destinată roletelor de facturi sau lingouri într-un semifabricat de o secțiune transversală pătrată sau rotundă în scopul procesării lor ulterioare ...
• Bea de foraj În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  foraj, tip de foraj rotativ cu utilizarea fracțiilor ca material abraziv. Propus în Statele Unite în 1899 pentru băuturi în ...
• Număr valid În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  numărul, numărul real, orice număr pozitiv, numărul negativ sau zero. D. Orele sunt împărțite în raționale și iraționale. Primul reprezintă cum ...
• GEOMETRIE În enciclopedia mare sovietică, BVB:
  (Grecia, Geometria, de la GE - Pământ și Metreo - măsură), secțiunea matematică, studierea relațiilor și formele spațiale, precum și ceilalți ...
• FRÂNĂ
• Manual de foc de arme În dicționarul enciclopedic al Brockhaus și Euphron:
  se caracterizează prin faptul că necesită utilizarea de combatere a efortului unei persoane. Primise (XIII, secolul al XIV-lea) - Bombardul manual (Bomba ...
• RUSIA. Știința Rusă: Matematică În dicționarul enciclopedic al Brockhaus și Euphron:
  Epoca monumentelor scrise este forțată în Rusia utilizarea unui sistem de numere zecimale în perioada 1-10000 (întuneric) și fracțiunile sistemului binar împreună cu ...
• Soluții În dicționarul enciclopedic al Brockhaus și Euphron.
• Împușcat de o pușcă de vânătoare În dicționarul enciclopedic al Brockhaus și Euphron:
  are o sarcină ca un studiu al bătăliei de la ea și definiția frontierelor de mâncare, claritate și gamă de luptă prin diferite numere de fracțiuni. Lupta fiecare ...
• Mișcarea organelor de plante În dicționarul enciclopedic al Brockhaus și Euphron.
• MATEMATICĂ În dicționarul enciclopedic al Brockhaus și Euphron:
  Cuvântul "Matematică" vine de la greacă ?????? (Știință, învățare), la rândul său, ce se întâmplă, împreună cu sensul cu el într-un cuvânt ...
• OASE În dicționarul enciclopedic al Brockhaus și Euphron:
  solidele al căror compus este un cablu de caroserie sau un cablu vertebrate și care sunt caracterizate printr-o duritate mare, un conținut semnificativ de minerale și ...
• Fravel pentru fotografiere În dicționarul enciclopedic al Brockhaus și Euphron.
• Digital în dicționarul enciclopedic maritim:
  Televiziune digitală, sistem de emisie de televiziune, în TV continuu K-Roy în timp. Semnalele de transfer sunt transformate în discrete și transmise ...
• FRÂNĂ*
• Manual de foc de arme *
  ? Se caracterizează prin faptul că necesită utilizarea de combatere a efortului unei persoane. Primozyme (XIII, secolul al XIV-lea)? Manual Bombard ...
• Soluții * În enciclopedia din Brockhaus și Efron.
• Împușcat de o pușcă de vânătoare În enciclopedia din Brockhaus și Efron:
  ? Are o sarcină ca un studiu al bătăliei de la ea și definiția frontierelor de mâncare, claritate și gamă de luptă prin diferite numere de fracțiuni. Bătălia …
• Mișcarea organelor de plante * În enciclopedia din Brockhaus și Efron.
• Producția mukomol * În enciclopedia din Brockhaus și Efron.
• MATEMATICĂ În enciclopedia din Brockhaus și Efron:
  ? Cuvântul "Matematică" vine de la greacă ?????? (Știință, predare), la rândul său, ceea ce se întâmplă, împreună cu o valoare cu ea ...
• OASE În enciclopedia din Brockhaus și Efron:
  ? Solide al căror compus este un schelet sau un cablu vertebral și care sunt caracterizate printr-o duritate mare, un conținut semnificativ de substanțe minerale ...
• Numere și numere Sisteme: Denumiri de numere În dicționarul de culoare:
  La numerele de articole și sistemele numerice Egiptul antic. Decriptarea sistemului numeric creat în Egipt în timpul primei dinastia (aproximativ 2850 ...
• Teoria funcțiilor: funcții ale AC AC În dicționarul de culoare:
  La articol cu \u200b\u200bcaracteristici Teoria funcțiilor utilizate în analiza elementară sunt date prin formule. Diagramele lor pot fi de obicei desenate, fără a rupe un creion de la ...
• Copac: părțile principale ale copacului În dicționarul de culoare:
  La copaci de arbore, cu excepția ferigiilor de copaci, - plante de semințe constând din rădăcini, tulpini, frunze și organe de reproducere (sex), ...

fracțiunea "TelEe, Fracțiune" Telnaya, Fracțiunea "Telny, Fracțiunea" Telny, Fracțiunea "Telnaya, Fracțiunea" Telny, Fracțiunea "Telny, Fracțiunea" Telny, Fracțiunea "Telny, Fracțiunea" Telny, Fracțiunea "Teeloe, fracțiuni" Telnaya, Fracțiunea "Telnița, Fracțiunile" Telny, Fracțiunea "Telnaya, Fracțiunea" Telnoe, Fracțiuni "fără fir, ...
• Pellet. În paradigma completă accentuată pe link:
  fructe "NCA, Fracțiunea" NKI, Fraratul "NKI, Fracțiunea" NOK, Fracțiunea "NCC, Fracțiunea" NCU, Fraray "NKI, Fraray" NKU, Fracțiunea "NKO, Fraray" Nki, Fraray "NCA, .
• Drobina. În paradigma completă accentuată pe link:
  fracțiunile "On, Fracțiunea" SUA, fracțiunile "H, fracțiunea" nu, fracțiunea ", fracțiile" Ei bine, fracțiunea "noi, fracțiunea" Noe, fracțiunea "Noe, fracțiunea" Noi, Fracțiunea "Nu, ...
• Concasor În paradigma completă accentuată pe link:
  fraot "Flash, Fracțiunea" defecte, fracțiuni "defecte, fracțiuni" defecte, fracțiuni "frunze, fracție" defecte, fracțiuni "frunze, fracție" defecte, fracțiuni "frunze, fracție" frunze "frunze" frunze, ...
• Strivire În paradigma completă accentuată pe link:
  fruct "in, fracție" de in, fracție "in, fracție" de in, fracție "de in, fracție" de in, fracție "de in, fracție" de in, fracție "de in, fracție" de in, fracție "Fraray "FLAX, FRACȚIA" FLAX, FRARATEA ", FRACȚIA" Fla'ry, Fracțiunea "Flax, Fraray", ...
• Crusal. În paradigma completă accentuată pe link:
  fracțiunile "Lo, Fracțiunea" LA, Fracțiunea "LA, Fracțiunea" L, Fracțiunea "Lam, Fracțiunea" Lo, Fracțiunea "LA, Fracțiunea" Rest, Fracțiunea "Lami, Fraray" Le, ...
• Concasor În paradigma completă accentuată pe link:
  fructe "Lka, Fracțiuni" LCI, Fracțiunea "LCI, Fracțiunea" Blocare, Fracție "LCA, Fracțiunea" LCA, Fracțiunea "LCA, Fraray" Lki, Fraray, Fraray "Lko, Fraray" Lki, Fraray "LCI, .
• FRACȚIUNE În dicționarul explicativ modern, BVB:
  În aritmetică - un număr compus dintr-un număr întreg de unități. Fracțiunea este exprimată prin raportul dintre două numere întregi m / n, unde n - ...
• CONTINUU în Dicționar explicativ Limba rusă Ushakov:
  continuu, continuu; Continuu, continuu, continuu. 1. Nu au întreruperi, dimensiuni, întinderea solidă în apropierea, linia. Lanț continuu. Rândul continuu. Flux continuu. ...

Fracțiuni continue.Secvența, fiecare membru al căruia este fracțiunea obișnuită, generează o fracție continuă (sau lanț) dacă cel de-al doilea element este adăugat la prima și fiecare fracțiune, începând cu al treilea, se adaugă numitorului fracțiunii anterioare.

De exemplu, secvența 1, 1/2, 2/3, 3/4, ... n./(n. + 1), ... Răsuciți o fracțiune continuă

În cazul în care punctele de la final indică faptul că procesul continuă pe o perioadă nedeterminată. La rândul său, fracțiunea continuă generează o altă secvență de fracțiuni, numită potrivită. În exemplul nostru, prima, a doua, a treia și a patra fracțiune adecvată sunt egale

Acestea pot fi construite de-a lungul unei reguli simple din secvența incompletă 1, 1/2, 2/3, 3/4, .... În primul rând, vom conduce prima și a doua fracțiune adecvată 1/1 și 3 / 2. A treia fracție adecvată este egală cu (2H1 + 3H3) / (2H1 + 3H2) sau 11/8, numitorul său este egal cu cantitatea de produse din prima și a doua fracțiune adecvată, înmulțită cu numerotatorul și Numitor al celui de-al treilea incomplet privat, iar numitorul este egal cu suma lucrărilor denominerii din primul și al doilea incomplet privat, înmulțit în funcție de numărător și de numitorul celui de-al treilea incomplet privat. A patra fracțiune adecvată este similară cu cea de-a patra incompletă 3/4 și cea de-a doua și a treia fracțiune adecvată: (3H3 + 4H11) / (3H2 + 4H8) sau 53/38. În urma acestei reguli, găsim primele șapte șapte fracțiuni adecvate: 1/1, 3/2, 11/8, 53/38, 309/222, 2119/1522 și 16687/11986. Le scriem sub formă de fracțiuni zecimale (cu șase semne zecimale): 1.000000; 1.500000; 1.375000; 1.397368; 1.391892; 1.392247 și 1.392208. Semnificația fracțiunii noastre continue va fi numărul x., primele numere fiind 1.3922. Fracțiunile adecvate sunt cea mai bună aproximare a numărului. x.. Și ei se dovedesc alternativ să fie mai puțin, atunci mai mult x. (ciudat - mai mult x., Și chiar - mai puțin).

Pentru a prezenta raportul dintre două numere întregi pozitive sub forma fracției finale continue, trebuie să utilizați metoda de găsire a celui mai mare divizor comun. De exemplu, ia raportul dintre 50/11. De la 50 \u003d 4H11 + 6 sau 11/50 \u003d 1 / (4 + 6/11) și, în mod similar, 6/11 \u003d 1 / (1 + 5/6) sau 5/6 \u003d 1 / (1 + 1 / 5), primim:

Fracțiunile continue sunt folosite pentru a aproxima numerele iraționale raționale. Să presupunem asta x. - Numărul irațional (adică, imprevizibil sub forma unei relații de două numere întregi). Apoi, dacă n. 0 - Cel mai mare număr întreg care este mai mic x.T. x. = n. 0 + (x. – n. 0) Unde x. – n. 0 este un număr pozitiv mai mic de 1, deci numărul opus x. 1 mai mult de 1 și x. = n. 0 + 1/x. unu . În cazul în care un n. 1 - cel mai mare număr întreg care este mai mic x. 1, T. x. 1 = n. 1 + (x. 1 – n. 1) unde x. 1 – n. 1 este un număr pozitiv care este mai mic de 1, deci numărul opus x. 2 mai mult de 1 și x. 1 = n. 1 + 1/x. 2. În cazul în care un n. 2 - Cel mai mare număr întreg care este mai mic x. 2, T. x. 2 = n. 2 + 1/x. 3, unde x. 3 mai mult 1, etc. Ca rezultat, avem un pas pas cu pas găsim secvența incompletă privată n. 0 , 1/n. 1 , 1/n. 2, fracțiuni continue care sunt aproximări x..

Să explicăm exemplul de exemplu. Să presupunem că, atunci

Primele 6 fracții adecvate sunt egale cu 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70. Au înregistrat sub formă de fragmente zecimale, ele dau următoarele valori aproximative: 1.000; 1.500; 1.400; 1,417; 1.4137; 1.41428. Fracțiunea continuă pentru a fi incompletă 1/1, 1/1, 1/1, 1/2, 1/1, ... un număr irațional este rădăcina unei ecuații pătrate cu coeficienți întregi în acel și numai Dacă descompunerile private incomplete în fracțiunea continuă sunt periodice.

Fracțiunile continue sunt strâns legate de multe secțiuni de matematică, de exemplu, cu teoria funcțiilor, rânduri divergente, problema momentelor, ecuațiile diferențiale și matrice nesfârșite. În cazul în care un x. - Măsura radianică a unghiului acut, apoi unghiul tangent x. x./1, - x. 2 /3, - x. 2 /7, - x. 2/9, ... și dacă x. - număr pozitiv, apoi logaritmul natural de la 1 + x. egală cu sensul fracției continue cu incomplet privat 0, x./1, 1 2 x./2, 1 2 x./3, 2 2 x./4, 2 2 x./5, 3 2 x./ 6, .... Soluția formală a ecuației diferențiale x. 2 dY./dx + y. = 1 + x. Sub forma unei serii de putere este o serie de energie consistentă 1 + x. – 1!x. 2 + 2!x. 3 – 3!x. 4 + ... Această serie de putere poate fi transformată într-o fracțiune continuă cu incomplet 1, x./1, x./1, 2x./1, 2x./1, 3x./1, 3x./ 1, ... și, la rândul său, utilizat pentru a obține o soluție de ecuație diferențială x. 2 dY./dx. + y. = 1 + x..

Reducerea cu ajutorul descompunerii într-o fracțiune continuă

Fracțiuni adecvate. Abordarea numerelor reale

Literatură: 1. Vinogradov i.m. Elemente de matematică mai mare.

Parte a celui de-al treilea. Fundamente ale teoriei numerelor. Manual pentru universități.

M.: Mai mare. SHK. 1999. - Cu. 335 - 340.

Gribanov V.U. Colecția de exerciții pe teoria numerelor.

- M.: Iluminare, 1964.

Schneperman l.b. Colectarea sarcinilor pe algebră și teorie

numere: Tutorial. - SPB.: ED. "LAN", 2008.- 224С.

Informatie scurta Din teoria

În cazul în care un - o fracțiune obișnuită de dezrădăcinare, corectă sau incorectă, apoi cu ajutorul unui algoritm Euclidea, puteți trimite această fracțiune sub formă de:

a \u003d BQ 0 + A 1,

b \u003d A 1 Q 1 + A 2,

a 1 \u003d A 2 Q 2 + A 3,

…………….

un N-2 \u003d un N-1 Q N-1 + A N,

a N - 1 \u003d A n Q N.

Aici q 0, Q 1, Q 2, Q 3, ..., q n - incomplet privat;

a 1, A 2, A 3, ...., A n- rămâne.

Partea dreaptă a acestei descompuneri poate fi reprezentată ca:

\u003d Q 0 +

…………

+ ,

Expresia scrisă în partea dreaptă se numește fracțiunea finală continuă sau lanț.

Pe scurt, egalitatea scrisă poate fi scrisă ca:

\u003d (Q 0, Q 1, Q 2, Q 3, ..., Q N)

Drobi. = , \u003d Q 0 + , \u003d Q 0 + , ...... numit potrivit. Numărul și numitorul acestor fragmente pot fi calculate prin formule recurente:

P -2 \u003d 0; Q -2 \u003d 1: P -1 \u003d 1; Q -1 \u003d 0;

la k≥0; P k \u003d q k p k -1 + p k -2; Q k \u003d q k k k -1 + Q K -2. (unu)

Prin definiție p n \u003d a, q n \u003d b.

Procesul de calcul este convenabil de eliberare sub formă de tabel:

K.	-2	-1				……	N-1.	N.
Q K.			Q 0.	Q 1.	Q 2.	……	Q n-1	Q N.
P k.			P 0.	P 1.	P 2.	……	P n-1	P n.
Q K.			Q 0.	Q 1.	Q 2.	……	Q n-1	Q N.

Între fracțiunile corespunzătoare și Fravia în sine, raportul este:

< < < ….. < < …… < < <

Pentru a evalua eroarea la înlocuirea fracțiunii fracțiune adecvată Vom aplica următoarea formulă:

‌‌‌ - .

Exemplu. Înlocuiți fracția = Potrivit cu eroare 0,001.

Răspândiți fracțiunea utilizând algoritmul Euclid:

Dacă luăm o fracțiune pentru înlocuire, eroarea de înlocuire va fi

0,006, care este mai administrat 0,001, astfel încât fracția nu se potrivește.

Luați fracțiunea pentru care eroarea este de 0,0003< 0,001.

Exemplu. Conform acestei fracțiuni continue finale, găsiți fracțiunea obișnuită corespunzătoare. Lasa = (2; 1; 1; 3; 1; 2).

Decizie. Conform valorilor corespunzătoare q K., folosind formule recurente, definim valorile corespunzătoare ale numărătorului și numitorului de fracțiuni adecvate P k, q k . La k \u003d n ajungem P n \u003d a, q n \u003d b .

K.	-2	-1
Q K.
P k.								A \u003d 64.
Q K.								B \u003d 25.

k \u003d 0; P 0 \u003d Q 0 P -1 + P -2 \u003d 2 × 1 + 0 \u003d 2; Q 0 \u003d Q 0 Q -1 + Q -2 \u003d 2 × 0 + 1 \u003d 1;

k \u003d 1; P 1 \u003d Q 1 P 0 + P -1 \u003d 1 × 2 + 1 \u003d 3; Q 1 \u003d Q 1 Q 0 + Q -1 \u003d 1 × 1 + 0 \u003d 1;

k \u003d 2; P 2 \u003d Q2P 1 + P 0 \u003d 1 × 3 + 2 \u003d 5; Q 2 \u003d Q 2 Q 1 + Q 0 \u003d 1 × 1 + 1 \u003d 2;

k \u003d 3; P 3 \u003d Q 3 P2 + P 1 \u003d 3 × 5 + 3 \u003d 18; Q 3 \u003d Q 3 Q 2 + Q 1 \u003d 3 × 2 + 1 \u003d 7;

k \u003d 4; P 4 \u003d Q 4P3 + P 2 \u003d 1 × 18 + 5 \u003d 23; Q 4 \u003d Q 4 Q 3 + Q2 \u003d 1 × 7 + 2 \u003d 9;

k \u003d 5; P 5 \u003d Q5P4 + P3 \u003d 2 × 23 + 18 \u003d 64; Q 5 \u003d Q 5 Q 4 + Q 3 \u003d 2 × 9 + 7 \u003d 25.

Răspuns: = .

Exemplu. Lăsați fracția să fie dată . Folosind algoritmul Euclidian de descompunere într-o fracțiune continuă, reduceți această fracțiune.

				Q 0 \u003d 2
			Q 1 \u003d 3
		Q 2 \u003d 1
	Q 3 \u003d 2

Primit 525 \u003d 231 2 +63;

231 = 63 + 42;

63 = 42 1 + 21;

42 \u003d 21 2. Avem noduri (525; 231) \u003d 21.

Descompunerea rezultată vă permite să faceți o intrare redusă

\u003d (2; 3; 1; 2). Vom găsi fracțiuni adecvate pentru această descompunere utilizând formule (1).