Метод кінцевих обсягів. Метод кінцевих обсягів Метод кінцевих обсягів на нерегулярній сітці

чисельне рішення задач математичної фізики є одним з основних методів дослідження реальних явищ. Спільне використання обчислювального і фізичного експериментів при аналізі будь-якого явища дозволяє, з одного боку, зменшити кількість дорогих експериментальних вимірювань, а з іншого боку - провести верифікацію і вдосконалення математичних моделей.

Зі збільшенням швидкодії обчислювальних систем все нові вимоги пред'являються до чисельних методів розв'язання задач математичної фізики. Розробка та удосконалення сучасних методів дискретизації законів збереження, що надають можливість моделювання все нових класів задач і отримання істотно кращих результатів при вирішенні відомих, є важливим напрямком досліджень.

Сучасні обчислювальні алгоритми повинні надавати можливість найбільш точного опису областей зі складною геометрією. Це можливо з використанням неортогональних і неструктурованих сіток. У порівнянні з довільними неортогональної сітками для неструктурованих симпліціального сіток (тріангуляція в двовимірному випадку і розбиття на тетраедри в тривимірному) легше реалізуються локальні згущення (наприклад, за зворотним уступом, в зоні раптового звуження, в околиці точки приєднання), а також, якщо це необхідно , адаптація розрахункової сітки в залежності від поведінки рішення. Таким чином, навіть при дискретизації законів збереження в геометрично простих областях, які можуть бути точно представлені сукупністю прямокутних елементів, неструктуровані симпліціального сітки мають ряд переваг. Незважаючи на очевидні переваги неструктурованих сіток при апроксимації довільних областей і можливості автоматичного побудови симпліціального розбиття, вони практично не використовувалися в обчислювальної гідродинаміки, і лише в останні 15 років набувають все більшої популярності. Згідно зі свідченням Б. Стоуффлетга і ін., Причиною тому є різко зростаюча при переході до неструктурованих підходам час розрахунків. Справа в тому, що положення ненульових елементів в матрицях дискретних аналогів залежить від суміжності вузлів сітки і довільно, матриці зберігаються з використанням універсальних форматів і структур даних. Набагато більш «дорогими» стають операції множення розрідженій матриці на вектор і неповної факторизації. У той же самий час системи рівнянь обчислювальної гідродинаміки - взаємопов'язані нелінійні системи рівнянь, неявні схеми вирішення яких мають багаторівневий ітераційний характер, так що на кожній з «глобальних» ітерацій необхідно вирішити кілька систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Саме з появою потужних обчислювальних систем, а також завдяки розвитку адаптивних і многосеточних методів стало можливе використання неструктурованих сіток і відповідних схем просторової дискретизації для моделювання гідрогазодинамічних процесів.

Найбільш поширеним методом дискретизації в неструктурованому випадку є метод скінченних елементів (МСЕ). Відзначимо такі переваги методу, як збереження симетричною природи самосопряженних частини диференціальних операторів в їх дискретних аналогах (це досягається спеціальним вибором простору тестових функцій збігається з простором пробних функцій), можливість підвищення точності апроксимації за рахунок підвищення ступеня інтерполяційних поліномів локального подання рішення (т. Зв. р і h-p версії МСЕ,), природний облік граничних умов другого і третього роду. Метод кінцевих елементів має сталу технологічну основу, зокрема

Способи апроксимації внутрішніх творів в припущенні про кусочно-поліноміальному поданні рішення і параметрів крайової задачі, а саме: використання розкладання по базису відповідного конечноелементного простору, класи інтегральних формул, що дозволяють точно інтегрувати довільні твори базисних функцій за елементами розбиття і ребрах (гранях) елементів,

Стандартний апарат інтерполяції.

Технології методу дозволяють просто і одноманітно будувати дискретні аналоги початково-крайових задач, з різними типами граничних умов в припущенні про певний ступінь гладкості рішення і кусочно-поліноміальному поведінці коефіцієнтів рівнянь і крайових умов,.

У ряді програм, таких, як моделювання надзвукових і трансзвукових течій газів, розрахунки з використанням моделей мілкої води, дуже важлива локальна консервативність схем, які використовуються для дискретизації законів збереження. Метод кінцевих елементів не дозволяє з задовільною точністю відстежити особливості виникають розривних рішень, і традиційним підходом до вирішення таких завдань є метод кінцевих обсягів. При дискретизації системи законів збереження методом кінцевих обсягів розрахункова область апроксимується безліччю відкритих кінцевих обсягів, потім дослідник робить «крок назад», переходячи до інтегральної формі вихідної системи рівнянь; з використанням формули Остроградського-Гаусса від інтегрування за обсягом переходять до інтеграла по межі, так що спосіб апроксимації потоків через межі кінцевих обсягів повністю визначає обчислювальну схему. Згідно монографії С. Патанкар, "для більшості дослідників, що працюють в області гідродинаміки і теплообміну, звичайно-елементний метод все ще здається огорнутим покровом таємничості. Варіаційна формулювання і навіть метод Гальоркіна не піддаються простій фізичної інтерпретації". У той же самий час конечнооб'емние схеми мають певний фізичний зміст балансу потоків і джерельних членів в кожному з кінцевих обсягів, аппроксимирующих розрахункову область, що робить метод кінцевих обсягів більш привабливим. «Простота» МКО є однією з причин відсутності загальної технологічної основи методу.

Отже, до переваг класичного варіанту МКО (методу скінченних об'ємів / кінцевих різниць, FVDM) відносять локальну консервативність дискретних схем, велику простоту і наочність, можливість природного обліку граничних умов другого роду. Крім того, в разі вирішення завдань з переважанням конвекції, спрощується реалізація протівопотокових схем, оскільки потоки через межі кінцевих обсягів є одночасно і аналізуються, і апроксимується величинами.

Спроби систематизації конечнооб'емних аппроксимаций привели до часткового з'єднанню технологій МСЕ і принципу інтегрування по кінцевим обсягами; найдавніші з них сягають роботам Б. Р. Балігі, К. Пракаша і С. Патанкар і відомі як методи CVFEM (control-volume-based finite element methods), далі - методи кінцевих обсягів / кінцевих елементів (МКО / КЕ). Автори методу мали на меті побудови консервативних схем методу скінченних об'ємів, які використовують одне з основних переваг МСЕ - можливість апроксимації складних геометрій з використанням неструктурованих сіток. Функції профілю в даному класі методів "носять допоміжний характер", приналежність рішення конечноелементним простір не підкреслюється. Як двоїстого розбиття використовуються барицентрична безлічі.

Вперше проблема відсутності універсальних технологічних принципів методу скінченних об'ємів / кінцевих різниць (МКО / КР, FVDM), обговорюється в роботі 3. Кая "Про метод кінцевих обсягів / елементів". Автор звертає увагу читача на "безсистемність методу скінченних об'ємів / кінцевих різниць"; при апроксимації систем законів збереження методом кінцевих обсягів / кінцевих різниць в рамках однієї роботи можуть використовуватися апроксимації різних класів, що істотно ускладнює аналіз збіжності подібних схем. Пропонується рішення даної проблеми -спільне використання ідей методу скінченних елементів (пошук рішення в деякому конечноелементном просторі і використання кусочно-полиномиального поведінки рішення для обчислення потоків) і інтегральної форми законів збереження. Таким чином, методи кінцевих обсягів / елементів (МКО / Е, "бокс-методи", FVE) виникли при спробі створення "більш систематизованих конечнооб'емних технологій". Відсутність загальних технологічних принципів методів кінцевих обсягів / кінцевих різниць відзначається також в роботах Я. JI. Гурьевой і В. П. Ільїна.

Методи кінцевих обсягів / елементів (FVE) і методи кінцевих обсягів / кінцевих елементів (CVFEM) використовують узгоджені конечноелементние простору лінійних на симплекс функцій і належать класу методів кінцевих обсягів з розрахунком змінних в вузлах (cell-vertex finite volume schemes), рис. 1, a.

Ряд схем обчислювальної гідродинаміки (моделювання в'язких нестискуваних течій) використовує неузгоджені конеч ноелементние простору, зокрема, простір Крузея-Равьяра лінійних на елементах, безперервних в центрах ребер пробних функцій. Методи скінченних об'ємів, що використовують неузгоджені конечноелементние простору, були запропоновані С. Чоем і Д. Квак, досліджені в ряді робіт інших авторів (т. Н. Методи подоб'емов, covolume method) і є схемами з розрахунком невідомих в центрах ребер (

Найбільш поширеними при вирішенні задач газової динаміки і моделюванні антропогенних катастроф з використанням рівнянь мілкої води є схеми з розрахунком невідомих в центрах осередків (cell-centered finite volume schemes), рис. 1, е. Їх популярність обумовлена \u200b\u200bтим, що в разі розрахунку невідомих в центр ваги більшість схем газової динаміки (схеми С. К. Годунова, TVD-схеми) можуть бути перенесені на неструктуровані сітки без принципових технологічних змін. про а в

Рис.1. Розташування розрахункових точок по відношенню до вузлів сітки КЕ.

У даній роботі переважно розглядаються класи методів кінцевих обсягів з розрахунком невідомих в вузлах тріангуляції (МКО / Е, МКО / КЕ) і центрах ребер (методи подоб'емов), в подальшому будемо також говорити "методи кінцевих обсягів, що використовують конечноелементние простору". Дані класи методів, згідно з рядом досліджень (,), для задач конвекції-дифузії дають кращі наближення до вирішення, ніж методи з розрахунком невідомих в центрах осередків. Одна з основних причин полягає в тому, що для перелічених вище методів зберігається безперервність перших похідних пробних функцій на елементах двоїстої сітки.

Ефективним підходом до вирішення завдань з переважанням конвекції є використання методу Гальоркіна з симетричними тестовими функціями для самосопряженних частини диференціальних операторів і проти-вопотокових схем МКО - для несиметричною їх частини, т. Н. змішаних методів кінцевих елементів / обсягів (МСЕ / О, MEV, mixed element / volume method).

Дисертацію присвячено, зокрема, удосконалення технологій методу скінченних об'ємів для зазначених класів методів (МКО / Е, МКО / КЕ, МСЕ / О, методи подоб'емов). На даний момент дані методи не мають усталеними технологіями обліку кусочно-полиномиального полиномиального поведінки рішення, джерельних членів і коефіцієнтів переносу. Можна перерахувати наступні причини недосконалості апарату точного інтегрування полиномов в методах скінченних об'ємів, що використовують конечноелементние простору:

1. На відміну від методу скінченних елементів, метод скінченних об'ємів не має р-версії, оскільки з введенням додаткових вузлів і декількох типів подвійних сіток порушується локальна консервативність ряду змінних системи законів збереження по відношенню до "чужим" кінцевим обсягами. Таким чином, апроксимації обмежені звичайно-елементними просторами молодших порядків.

2. У порівнянні з методом кінцевих елементів, для методів кінцевих обсягів характерна велика свобода у виборі просторів тестових функцій, які в цьому випадку виявляються пов'язаними з розташуванням точок розрахунку невідомих по відношенню до вузлів дискретизації (схеми з розташуванням невідомих в вузлах, серединах ребер, центр ваги симплексів) і способом побудови двоїстої сітки (використання барицентричних, ортоцентрического, ціркумцентріческіх множин). У поєднанні з можливістю використання суміщених (collocated) або рознесених (staggered) сіток це дає все різноманіття існуючих схем МКО в кожному з додатків.

Для МКО-методів дискретизації законів збереження, що використовують конеч-ноелементние простору, ретельний вибір цих просторів для вирішення, коефіцієнтів рівнянь і джерельних членів частково втрачає сенс, якщо метод не має розвинені засоби обліку кусочно-поліноміальних уявлень, зокрема, апаратом точного інтегрування полиномов по елементам двоїстої сітки, підобласті елементів і відрізках прикордонних ребер. Як наслідок, результати розрахунків по побудованим схемами повинні розглядатися з точки зору ефектів чисельного інтегрування, з урахуванням різних способів їх реалізації; істотно ускладнюється порівняння результатів досліджень з роботами інших авторів і т.д.

Отже, справжня робота присвячена перегляду існуючих МКО / МСЕ-технологій побудови дискретних аналогів завдань конвективно-дифузійного типу.

Технологія обліку кусочно-полиномиального подання рішення, коефіцієнтів рівняння і входять в граничні умови, а також джерельних членів в методах скінченних об'ємів, що використовують конечноелементние простору, повинна відповідати таким вимогам:

1) допускати довільні поєднання поліноміальних уявлень коефіцієнтів і рішення на елементах розбиття, а також підвищення ступеня інтерполяційних поліномів локального подання рішення;

2) використовувати єдині принципи апроксимації при розрахунку внесків елементів, що відповідають різним членам рівняння (дифузійних, конвективних, реакційних доданків, джерельних членів), а також вкладів від ребер, аппроксимирующих частини кордонів із заданими на них різного типу граничними умовами;

3) допускати однорідне узагальнення на тривимірний випадок;

4) враховувати досвід добре розроблених конечноелементних технологій, зокрема, використання розкладання по базису конечноелементних просторів і переваги точного інтегрування кусково-поліноміальних уявлень рішення і коефіцієнтів переносу;

5) доставляти єдину технологічну основу змішаним апроксимації МСЕ / О, що використовують два безлічі тестових функцій - конечнооб'-приймальних і конечноелементних - для апроксимації одного рівняння;

6) принципи технології повинні залишатися незмінними при переході від використання узгоджених конечноелементних просторів (методи кінцевих обсягів / кінцевих елементів з розрахунком невідомих в вузлах) до використання неузгоджених кінцевих елементів (методи з розрахунком невідомих в центрах ребер тріангуляції);

7) технологія може бути використана при апроксимації різних класів фізичних задач.

З існуючих технологій методів кінцевих обсягів, що використовують ко-нечноелементние простору (методи кінцевих обсягів / елементів (FVE), методи кінцевих обсягів / кінцевих елементів (CVFEM), методи подоб'емов (covolume methods), змішані методи обсягів / елементів (MEV)), ні одна не задовольняє перерахованим вище вимогам. Таким чином, створення нових технологій для даних класів методів, які використовують сімпліціаль-ні розбиття і барицентрична безлічі як двоїстих, представляється актуальною темою дослідження.

У разі істотного переважання конвекції, порівняння різних схем МКО-дискретизації, а також порівняння розрахунків за методом кінцевих елементів і методу скінченних об'ємів фактично зводиться до порівняння відповідних протівопотокових схем.

Найбільш дослідженими і часто вживаними в неструктурованому випадку є протівопотоковие схеми класу методів кінцевих обсягів з розрахунком змінних в центрах осередків. Незважаючи на те, що межі елементів розбиття не паралельні більш координатним осях, дані схеми в більшості випадків мають одновимірну природу, оскільки зводяться до вирішення завдання про розпад розриву на лініях, що з'єднують центроїди симплексів. Розрахунки по подібним схема не відтворюють багатовимірну структуру потоку і мають надмірну чисельної дифузією. Для побудови протівопотокових схем другого порядку апроксимації необхідно істотне розширення шаблону, що в неструктурованому випадку призводить до значного ускладнення відповідних структур даних.

Протівопотоковие схеми для схем з розрахунком невідомих в вузлах тріангуляції і серединах її ребер зараз нечисленні (див.). У ряді випадків протівопотоковий принцип апроксимації зводиться до використання одного значення скалярної субстанції - в вузлі симплекса, що лежить проти потоку, або двох зважених значень - на кінцях ребра симплекса, що лежить проти потоку. Лише одна з відомих схем - схема, що враховує напрямок потоку (FLO, Flow Oriented Upwind Scheme), розроблена К. Пракашем і С. Патанкар, - використовує перевагу розрахунку невідомих в вузлах - можливість побудови асиметричних функцій профілю. Але розрахунки за даною схемою визнані незадовільними, оскільки схема не має властивість позитивності, і ітераційні процеси часто розходяться.

Оцінювання чисельної дифузії, вноситься використанням протівопотокових схем на симпліціального сітках, являє собою самостійну проблему. Існуючі роботи в даному напрямку, що надають теоретичні оцінки характеристик збіжності, обмежені безліччю схем розрахунком змінних в центрах осередків. Тому оцінювання швидкості збіжності протівопотокових схем МКО / КЕ з використанням серій чисельних експериментів набуває особливого значення.

Отже, побудова та порівняльний аналіз протівопотокових схем МКО / КЕ на неструктурованих сітках є актуальну тему досліджень.

Метою роботи є розробка обчислювальних технологій методів кінцевих обсягів, що використовують конечноелементние простору, для апроксимації задач конвективно-дифузійного типу. Для досягнення поставленої мети були сформульовані наступні завдання дослідження:

1) удосконалення технологій дискретизації систем законів збереження методом кінцевих обсягів / кінцевих елементів на симпліціального сітках, які використовують барицентрична розбиття як двоїстих;

2) розробка технологій апроксимації задач конвективно-дифузійного типу з істотними першими похідними; побудова, реалізація та порівняльний аналіз протівопотокових схем на неструктурованих сітках, зокрема, проведення обчислювальних експериментів для оцінки порядку апроксимації пропонованих і найбільш точних відомих схем, а також порівняння характеристик протівопотокових схем на базі МКО / КЕ і МСЕ;

3) створення на основі розроблених технологій комплексів програм, що дозволяють адекватно моделювати в'язкі нестискувані течії рідин і газів в геометрично складних областях, в стаціонарному і нестаціонарному випадках.

Методи дослідження. Методи обчислювальної математики. Порівняльний аналіз технологій точного інтегрування полиномов в методах скінченних елементів, кінцевих обсягів / елементів, розподілених невязок. Експериментальне оцінювання швидкості збіжності протівопотокових схем для задач, що мають аналітичне рішення. Розрахунки на безлічі згущаються конечноелементних розбиття, з подальшим аналізом збіжності до експериментальних даних.

Наукова новизна роботи полягає в наступному:

1. Пропонується нова технологія обліку кусочно-полиномиального подання рішення, коефіцієнтів переносу та джерельних членів при дискретизації початково-крайових задач методами кінцевих обсягів / елементів, кінцевих обсягів / кінцевих елементів і подоб'емов. Технологія заснована на використанні розкладання по базису конечноеле-цементних просторів в термінах барицентричних симпліціального координат, з подальшим точним інтеграцією їх одночленним. Для схем МКО / КЕ, МКО / Е з розрахунком змінних в вузлах тріангуляцій запропоновані три класи формул точного інтегрування одночленним барицентричних координат: по відрізках двоїстої сітки в елементі, по барицентрична підобласті і відрізках граничних ребер. Для методів подоб'емов, що використовують неузгоджені конечноелементние простору, пропонується використовувати принцип точного інтегрування базисних функцій і отримані відповідні інтегральні формули.

2. Запропоновано спосіб побудови протівопотокових схем МКО / КЕ на симпліціального сітках, заснований на роздільній апроксимації потоків маси і значень скалярною субстанції на відрізках двоїстої сітки. Введено поняття локальної матриці вагових коефіцієнтів протипожежні-струмового схеми, внутрішніх по відношенню до елементів схем, локальної позитивності схем. Запропоновано протівопотоковая схема експоненціального класу, побудований її аналог для МКО з розрахунком невідомих в барицентра симплексів.

3. Отримані експериментальні оцінки швидкості збіжності протівопото-кової схеми зі зважуванням потоків мас і пропонованої схеми експоненціального класу. На рішеннях погранслойного типу проведено аналіз стійкості побудованих схем і їх порівняння з протівопотоковимі схемами МСЕ.

4. З використанням запропонованих технологій аппроксимаций завдань конвективно-дифузійного типу створений комплекс програм для моделювання в'язких нестискуваних течій в природних змінних швидкість-тиск і проведено ряд обчислювальних експериментів, що підтверджують ефективність побудованих схем.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків, списку використаних джерел, додатки і містить 173 сторінок, включаючи 10 таблиць і 51 рисунок. Список літератури містить 117 найменувань.

висновок

Справжня робота присвячена розробці обчислювальних технологій методів кінцевих обсягів на симпліціального сітках, що використовують конечноеле-цементних простору і барицентрична розбиття як двоїстих, для апроксимації задач конвективно-дифузійного типу! В роботі отримані наступні основною результати, що виносяться на захист:

1. Запропоновано нову технологію обліку кусочно-полиномиального подання рішення, коефіцієнтів переносу та джерельних членів при дискретизації початково-крайових задач методами кінцевих обсягів / елементів, кінцевих обсягів / кінцевих елементів і подоб'емов. Технологія заснована на використанні розкладання по базису конечноелементних просторів в термінах барицентричних симпліціального координат, з подальшим точним інтеграцією їх одночленним. Для схем МКО / КЕ, МКО / Е з розрахунком змінних в вузлах тріангуляцій запропоновані три класи формул точного інтегрування одночленним барицентричних координат: по відрізках двоїстої сітки в елементі, по барицентрична підобласті і відрізках граничних ребер. Для методів подоб'емов, що використовують неузгоджені ко-нечноелементние простору, пропонується використовувати принцип точного інтегрування базисних функцій і отримані відповідні інтегральні формули.

2. Запропоновано спосіб побудови протівопотокових схем МКО / КЕ на симпліціального сітках, заснований на роздільній апроксимації потоків маси і значень скалярною субстанції на відрізках двоїстої сітки. Введено поняття локальної матриці вагових коефіцієнтів протівопотоковой схеми, внутрішніх по відношенню до елементів схем, локальної позитивності схем. Запропоновано протівопотоковая схема експоненціального класу, побудований її аналог для МКО з розрахунком невідомих в барицентра симплексів.

3. Отримані експериментальні оцінки швидкості збіжності протипотіком-вої схеми зі зважуванням потоків мас і пропонованої схеми експоненціального класу. На рішеннях погранслойного типу проведено аналіз стійкості побудованих схем і їх порівняння з протівопотоковимі схемами МСЕ. Показано, що добудовані схеми МКО / КЕ дозволяють значно більш точно відстежити особливості погранслойних рішень, ніж схеми методу Петрова-Гальоркіна з асиметричними базисними функціями (поліноми Лежандра), конечноелементние схеми Райса і Шнипко, а також комбіновані конечноелементние схеми підвищеного порядку апроксимації, розроблених Т. ШЕУ, С. Вангом і С. Цаем.

4. З використанням запропонованих схем апроксимації задач конвективно-дифузійного типу створений комплекс програм для моделювання в'язких нестискуваних течій в природних змінних швидкість-тиск, на суміщених сітках, з використанням інтерполяційних поліномів тиску і швидкості одного порядку; проведено ряд обчислювальних експериментів, що підтверджують ефективність побудованих схем.

5. Для еталонного течії в каналі за зворотним уступом вперше показано взаємодію вхідного ефекту і ефекту використання протівопотокових аппроксимаций.

Отже, пропонована в роботі технологія дискретизації початково-крайових задач методом кінцевих елементів / кінцевих обсягів на симпліціального сітках є ефективним способом апроксимації систем законів збереження, розроблені протівопотоковие схеми мають хороші характеристики збіжності, а використання методів дискретизації системи рівнянь Нав'є-Сто-кса з однаковим порядком інтерполяції для компонент вектора швидкості-тиску дозволяє отримати результати, добре узгоджуються з експериментальними даними. Класи методів кінцевих обсягів / кінцевих елементів на симпліціального сітках, технологічною основою яких є точне інтегрування одночленним барицентричних координат, є ефективними методами моделювання в'язких нестискуваних течій в областях зі складною геометрією кордонів.

1. Білоцерківський О.М., Чисельне моделювання в механіці суцільних середовищ. М .: Наука. Глав. ред. фіз-мат. літератури, 1984.

2. А. С. Болдарев, В. А- Гасилов. О. Г. Ольховська, До вирішення гіперболічних рівнянь на неструктурованих сітках // Математичне моделювання. 1996. Т. 8, №3. С. 51-78.

3. П. А. Войнович, Д. М. Шаров, Моделювання розривних течій газу на неструктурованих сітках // Математичне моделювання. 1993. Т. 5. № 7, С.86-114.

4. Я. J1. Гур'єва, Обчислювальна технологія методу скінченних об'ємів // Дис. на здобуття наукового ступеня канд. ф.-м. наук. Новосибірськ. 1997. - 115с.

5. Жуков М. Ф., Солоненко О. П., Високотемпературні запилені струменя в процесах обробки порошкових матеріалів. Новосибірськ. ІТ СО РАН. 1990.

6. В. П. Ільїн, Балансні різницеві схеми підвищеної точності на нерівномірних прямокутних сітках. Новосибірськ. 1994. - 31 с-(Препринт / ВЦ СО РАН № 1031).

7. Ільїн В. П., Туракулов А. А., Про інтегро-балансних апроксимації тривимірних крайових задач. Новосибірськ, 1993. - 24 с. - (Препринт / ВЦ СО РАН :. № 986).

8. В. М. Ковеня, Н. Н. Яненко, Метод розщеплення в задачах газової динаміки. Новосибірськ, Наука. Одна тисячі дев'ятсот вісімдесят дев'ять.

9. А. Ладиженська, Математичні питання динаміки в'язкої нестисливої \u200b\u200bрідини. М .: Tqc. вид-во ф.-м. літ.- 1961.

10. Д. Оден, Конечни ^ елементи в нелінійної механіки суцільних середовищ. М .: Мир, 1976.

11. Патанкар С., Чисельні методи розв'язання задач теплообміну і динаміки рідини. -М.:. Вища школа, 1984.

12. Н.Піссанецкі С. Технологія розріджених матриць. М .: Мир. 1988.

13. Препарату Ф. Шеймос М. Обчислювальна геометрія; Вступ. М. "Світ, 1984.

14. А. А. Самарський, Введення в теорію різницевих схем. М .: Наука, 1971.

15. Л Сегерлінд, Застосування методу кінцевих елементів М .: Мир. 1 979

16. Н. К. Суканек, Р. П. Родес, Формулювання умови на осі симетрії при чисельному розрахунку симетричних течій // Ракетна техніка та космонавтика, 1978. Т. 16. № 10). С. 96-98.

17. Р. Темам, Рівняння Нав'є-Стокса, Теорія і чисельний аналіз // М .: Мир. Тисяча дев'ятсот вісімдесят одна.

18. К. Флетчер, Чисельні методи на підставі методу Гальоркіна II М .: Мир, 1991

19. Д. Ши, Чисельні методи в задачах теплообміну. М .; Світ, 1988.

20. Г. Шлихтинг, Теорія прикордонного шару. М .: Изд-во іноз. лит. 1956.

21. Е. П. Шуріна, Т. В. Войтович, Аналіз алгоритмів методів кінцевих елементів і кінцевого обсягу на неструктурованих сітках при вирішенні рівнянь Нав'є-Стокса // Обчислювальні технології. 1997. Т. 2. № 4. С. 84104.

22. Е. П. Шуріна, О. П. Солоненко, Т. В. Войтович, Нова технологія методу скінченних об'ємів на симпліціального сітках для задач конвективно-дифузійного типу. Новосибірськ. 1999. -51 е.- (Препринт / ІТПМ СО РАН; № 8-99).

23. І. Ю. Чумаков, Використання різних умов для тиску на вихідний кордоні при розрахунку складних внутрішніх течій нестисливої \u200b\u200bрідини на суміщених сітках // Укр. мовляв. вчених. Сер. Прикладна математика та механіка. 1997. Т 1. С. 55-62.

24. Н. Н. Яненко, Метод дрібних кроків вирішення багатовимірних задач математичної фізики. Новосибірськ: Наука, 1967.

25. A Finite Element Primer. National Agency for Finite Element Methods & Standarts // NEL. Glasgow, 1986.

26. К. Ajmani, W- F Ng. M-S. Lion, Preconditioned conjugate gradient methods for the Navier-Stokes Equations // J. Comput. Phys. 1994. Vol. 1 10. P. 68-81.

27. F. Angrand, A Dervieux, Some explicit triangular finite element schemes for the Euler equations // Int. J. forNumer. Methods in Fluids. 1984. Vol. 4. P. 749-764.

28. P. Arminjon, A. Dervieux, Construction of TVD-Hke Artificial Viscosities on Two-Dimensional Arbitrary FEM Grids // J. Comput. Phys., 1993. Vol. 106. P. 176-198.

29. B. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, B. Schoenung, Experimental and theoretical investigation of backward-facing step flow // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 127. 473496.

30. F. Babuska, Error bounds for finite element methods // Numer. Math. Тисяча дев'ятсот сімдесят один Vol.16. P. 322-333.

31. Babuska, B. A. Szabo, I. N. Katz, The p-version of the finite element method // SIAM J. Numer. Anal. 1981. Vol. 18. P. 516-544.

32. P. Balland, E. Suli, Analysis of the cell-vertex finite volume method for hyperbolic problems with variable coefficients // SIAM J. Numer. Anal. 1997. Vol. 34. P. 1127-1151.

33. R. E. Bank, B. D. Welfert, A posteriori error estimates for the Stokes problem // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. P. 591-623.

34. T. J. Barth, D. C. Jespersen, The design and application of upwind schemes on unstructured meshes // AIAA paper 89-0336.

35. E. Barton, A numerical study of flow over a confined backward-facing step // Int. J. ForNumer. Methods in Fluids. 1995. Vol. 21. P. 653-665.

36. E. Barton, The entrance effect of laminar flow over a backward-facing step geometry // Int. J. forNumer. Methods in Fluids. 1995. Vol. 25. P. 633-644.

37. S. Benharbit, A. Chalabi, J. P Vila, Numerical viscosity and convergence of finite volume methods for conservation laws with boundary conditions // SIAM J. Nu-mer. Anal. 1995. Vol. 32. P 775-796.

38. Z. Cai, On the finite volume element method // Numer. Math. +1991 Vol. 58 P. 713 735.

39. Z. Cai, S. McCormick, On the accuracy of the finite volume element method for diffusion equations on composite grids // SIAM J. Numer. Anal. 1990. Vol. 27. P. 636-655.

40. Z. Cai, J. Mandel, S. McCormick, The finite volume element method for diffusion equations on general triangulations // SIAM J. Numer. Anal. Тисячу дев'ятсот дев'яносто один Vol 28. P. 392 402.

41. M. C. Ciccoli, Adaptive Domain Decomposition Algorithms and Finite Volume / Finite Element Approximation for Advection-Diffusion Equations // Journal of Scientific Computing. 1996. Vol 11. P 299-341.

42. P. Chatzipantelidis, A finite volume method based on the Crouzeix-Raviart element for elliptic PDE "s in two dimensions // Numer. Math. 1999 року, Vol. 82. P. 409-432.

43. К. H. Chen, R H. Pletcher, Primitive variable- strongly implicit calculation procedure for viscous flows at all speeds // AIAA J. 1991. Vol. 29. P1241-1249.

44. S. Chou, D. Kwak, P. S. Vassilevski, Mixed Covolume methods for elliptic problems on triangular grids // SIAM J. Numer. Anal. 1998. Vol. 35. P. 1850-1861.

45. Christie, D. F. Griffiths, A. R. Mitchell and О. C. Zienkiewicz, Finite element methods for second order differential equations with significant first derivatives // Int. J. Numer. Methods Eng. 1976. Vol. 10. 1389-1396.

46. \u200b\u200bJ.-P. Croisille, Finite Volume Box Schemes // Proc. of Second Intern. Symp. on Finite Volumes for Complex Applications, 19-22 July., 1999, Duisburg, Germany. HERMES Science Publications, Paris, 1999..

47. В. Cockburn, F. Coquel. P. G. Lefloch, Convergence of the finite volume method for multidimensional conservation laws // SIAM J. Numer. Anal. 1995. Vol. 32. 687-705.

48. L. Davidson, A pressure correction method for unstructured meshes with arbitrary control volumes // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1998. Vol. 22. P. 265-281.

49. C. Debiez, A. Dervieux, К. Мег, B. Nkonga, Computation of unsteady flows with mixed finite volump / finite element upwind methods // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1998. Vol. 27. P. 193-206.

50. M. Delanaye, J. A. Essers, Quadratic-reconstruction Finite volume scheme for Compressible flows on unstructured adaptive grids // AIAA Journal. 1997. Vol. 35. P. 631-639.

51. Dervieux A., Steady Euler simulation using unstuctured meshes // VKI Lectures series. 1985. № 1884-04.

52. Eisenberg M. A., Malvern L. E., On finite element integration in natural coordinates // Int. J. Numer. Methods Eng. 1973. Vol. 7. 574-575.

53. A. Fezoui, Class of implicite upwind schemes for Euler simulations with unstructured meshes // J. Співр. Phys. 1989. Vol. 84. P. 174-206.

54. C. Gallo, G. Manzini, A mixed finite element / finite volume approach for solving biodegradation transport in groundwater // Int. J. for Numer. Methods in Fluids.1998. Vol. 26. P. 533-556.

55. Т. Gallouet, J. P. Vila, Finite volume schemes for conservation laws of mixed type // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. P. 1548-1573.

56. P. M. Gresho, S. T. Chan, R. L. Lee, G. D. Upson, A modified finite element method for solving the time-dependent. Incompressible Navier-Stokes equations. Part 2: Applications // Int. J. for Numer. Methods in Fluids, 1984. Vol. 4. P. 619 640.

57. A. Grundmann, H. M. Moller, Invariant integration formulas for я-simplex by combinatonal methods // SIAM J. Numer. Anal 1978 Vol. 15, P. 282-290.

58. W. Hackbusch, On first and second order box schemes // Computing. 1989. Vol. 41. P. 277-296.

59. L. P. Hackman, G. D. Raithby, A. B. Strong. Numerical predictions of flows over backward-facing steps // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1984. Vol. 4. P. 71 1-724.

60. L. Hallo, C. Ribault, M. Buffat, An implicit mixed finite volume-finite-element method for solving 3D turbulent compressible flows // Int. J. for Numer Methods in Fluids, 1997. Vol. 25. P. 1241-1261.

61. F. H. Harlow, J. E. Welch, Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Fluids. 1965. Vol. 8. P. 21822189.

62. F. Ilinca, D. Pelletier, A. Garon, An adaptive finite element method for a two-equation turbulence model in wall-bounded flows // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1997. Vol. 124. P 101-120.

63. E. Issman, G. Degrez, H. Deconinck, Implicit Upwind Residual-Distribution Euler and Navier-Stokes Solver on Unstructured Meshes // AIAA Journal, 1996. Vol. 34. P. 2021-2028.

64. J. P. Jessee, W. A. \u200b\u200bFiveland, A cell-vertex algorithm for the incompressible Navier-Stokes equations on non-ortogonal grids // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1996. Vol. 23. P. 271-293.

65. Jianguo H., Shitong X., On the finite volume element method for general self-adjoint elliptic problems // SIAM .J Numer. Anal. 1998. Vol. 35. P. 1762-1774.

66. M. Lallemand, H. Steve, A. Dervieux, Unstructured Multigridding by volume agglomeration: current status // Computers Fluids, 1992 Vol. 21. P. 397-433.

67. Y. Liu, M. Vinokur, Exact integration of polynomials and symmetric quadrature formulas over arbitrary polyhedral grids // J. Comput. Phys. 1998. Vol. 140. P. 122-147.

68. D. Marcum, Turbulence models for unstructured finite element calculations // Int. J. ForNumer. Methods in Fluids. 1995 року, Vol. 20. P. 803-817.

69. C. Masson, H. I. Saabas, B. R. Baliga, Co-located equal-order control-volume finite element method for two-dimensional axisymmetric incompressible fluid flow // Int J. For Numer. Methods in Fluids. 1994. Vol. 18. P. 1-26.

70. С. Mattiussi, An Analysis of Finite Volume. Finite Element and Finite Difference Methods Using Some Concepts from Algebraic Topology // J. Comput. Phys. 1997. Vol. 133. P. 289-309.

71. D. Mavriplis, Multigrid solution of two-dimensional Euler equations on unstructured triangular meshes // AIAA Journal, 1988. Vol 26. P. 824-831.

72. P. R. McHugh, D. A. Knoll, Fully coupled finite volume solutions of the incompressible Navier-Stpkes and energy equations using an inexact Newton method // Int. J. For Numer. Methods in Fluids. 1994. Vol. 19. P. 439-455.

73. Y. Murthy, S. Mathur, Periodic flow and heat transfer using ustructured meshes // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1997. Vol. 25. P. 659-677.

74. S. Muzaferija, D. Gosman, Finite-Volume CFD Procedure and Adaptive Error Control Strategy fof Grids of Arbitrary Topology // J. Comput. Phys., 1997, Vol. 138. P. 766-787

75. P. Nithiarasu, О. C. Zienkiewlcz, В. V. K. Satya Sai, K. Morgan, R. Codina, M. Vazquez, Shock capturing viscosities for the general fluid mechanics algorithm // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1998. Vol. 28. P. 1325-1353.

76. K. Ohmori, T. Ushijima, A technique of upstream type applied to a linear nonconforming finite element approximation of convective diffusion equations // R.A.I.R.O. Anal. Numer.

77. D. Pan, J. C. Cheng, Upwind finite volume Navier-Stokes Computations on Uns-ructured Triangular Meshes // AIAA Journal, 1993. Vol. 31. P. 1618-1625.

78. S. V. Potapov, A mixed FE FV algorithm in non-linear solid dynamics // Proc. of Second Intern. Symp. on Finite Volumes for Complex Applications. 19-22 July, 1999. Duisburg, Germany. - HERMES Science Publications. Paris. 1999. P. 271278.

79. C. Prakash, S. V. Patankar, A control volume-based finite-element method for solving the Navier-Stokes equations using equal-order velocity-pressure interpolation // Numer. Heat Transfer. 1985. Vol. 8. P. 259-280.

80. S. Ramadhyani, S. V. Patankar, Solution of the Poisson equation: comparison of the Galerkin and control-volume methods // Int. J. Numer. Methods Eng. 1980. Vol. 15.1395-1418.

81. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M., A staggered control volume scheme for unstructured triangular grids // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1995. Vol. 25. P. 697-717.

82. P. L. Roe, Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes //! Співр. Phys. 1981. Vol. 43. P. 357-372.

83. C. Rohde, Upwind Finite volume schemes for weakly coupled hyperbolic systems of conservation laws in 2D // Numer. Math. 1998. Vol. 81. P. 85-123.

84. Tony W. H. Sheu, S. K. Wang, S. F. Tsai, Development of a high-resolution scheme for a multi-dimensional advection-diffusion equation // J. зітри. Phys. 1998. Vol. 144. P. 1-16.

85. Saad Y., Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PSW Publishing Co., Boston, MA, 1995.

86. В. V. K. S. Sai, О. C. Zienkiewicz, M. T. Manzari, P. R. M. Lyra, K. Morgan, General purpose versus special algorithms for high-speed flows with shocks // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1998. Vol. 27. P. 57-80.

87. J. L. Sohn, Evaluation of FIDAP on some classical laminar and turbulent benchmarks // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1988. Vol. 8. P. 1469-1490.

88. У Stoufflet, Investigation of generalized flux vector splitting for compressible flows on triangular meshes // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1995. Vol. 20. P. 1047-1059.

89. B. Stoufflet. J. Periaux, F. Fezoui, A. Dervieux, Numerical simulation of 3-D hypersonic Euler flows around space vehicles using adapted finite elements // AIAA Paper 87-0560.

90. C. Taylor, P. Hood, A numerical solution of the Navier-Stokes equations using the finite element technique // Computers and Fluids. 1973. Vol. 1. P. 73-100.

91. Thomadakis M, Leschziner M., A pressure-correction method for the solution of incompressible viscous flows on unstructured grids // Int .J. for Numer Methods in Fluids. -1996. Vol. 22 P 581-601.

92. A. K. Verma, V. Eswaran, Overlapping control volume approach for convection-diffusion problems // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1996. Vol. 23. P. 865-882.

93. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, On a compact mixed-order finite element for solving the three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations // Int. J. for Numer. Methods in Fluids. 1997. Vol. 25. P. 513-522.

94. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, Implementation of a free boundary condition to Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Methods Heat and Fluid Flow, 1997. Vol.7. P. 95-111.

95. D. Winterscheidt, K. S. Surana, p-Version least squares finite element formulation for two-dimensional, incompressible fluid flow // Int. J. Numer. Meth. Fluids, 1994. Vol. 18. P. 43-69.

96. A. M. Winslow, Numerical solution of the quasilinear Poisson equation in a nonuniform triangle mesh // J. Comput. Phys. 1967. Vol. 2. 149-172.

97. A. Younes, R. Mose. P. Ackerer. G. Chavent, A new formulation of the mixed finite element method for solving elliptic and parabolic PDE with triangular elements // J. Comput. Phys., 1999. Vol. 149. P. 148-167.

98. P.J. Zwart, G. D. Raithby, M. J. Raw, The integrated space-time finite volume method and its application to moving boundary problems // J. Comput. Phys. 1999. Vol. 154. P. 497-519.

99. О. C. Zienkiewicz, The Finite Element Method in Engineering Science // McGraw-Hill London. 1971.

100. O.C. Zienkiewicz, R. Codina, A general algorithm for compressible and incompressible flow. Part 1: The split, characteristic based scheme // Int. J. Numer. Meth. Fluids. 1995. Vol. 20. P. 869-885.

101. С. M. Rhie and W. L. Chow, A numerical study of the turbulent flow past an isolated aerofoil with trailing edge separation // AIAA Paper No. 82-0998. 1982.

102. R. I. Issa, Solution of the implicitly discretized fluid flow equations by operator-splitting // J. Comput. Phys. Vol. 62. P. 40-65.1985.

103. J. Kim, S. J. Kline, J. P. Johnston, Investigation of a Reattaching Turbulent Shear Layer: Flow Over a Backward-Facing Step // Journal of Fluids Eng., Vol. 102, P. 302-308.117. http // www.ict.nsc.ru / linpar