Оператор перенесення для рівняння гіперболічного типу. Чисельні методи розв'язання рівнянь в приватних похідних гіперболічного типу (на прикладі рівняння переносу)

Розглянемо задачу Коші для рівняння виду

в якій швидкість перенесення v може бути функцією х. Для рівняння (6.1) можна запропонувати безліч різницевих схем, що розрізняються порядком апроксимації, способом представлення похідних і т.д. Зупинимося спочатку на явних різницевих схемах, в яких кожне рівняння системи містить лише одну невідому величин) ", що дозволяє послідовно обчислити значення рішення на новому часовому шарі.

Відомо, що найважливішим властивістю, яким повинні володіти явні різницеві схеми, є стійкість здатність схеми не накопичувати обчислювальні обурення. Стійкість схеми необхідна вимога для забезпечення збіжності різницевого рішення до точному. Для гіперболічного рівняння зазвичай проводиться аналіз стійкості за початковими даними на основі спектра власних чисел оператора переходу до нового тимчасового шару, виходячи з якого вибираються прийнятні для розрахунків різницеві схеми. Так, симетрична різницева схема

має дуже жорстку умову стійкості (т 2 vh) і нс використовується для практичних алгоритмів. різницеві схеми

є умовно стійкими. Для забезпечення їх стійкості необхідно, по-перше, виконання умови Куранта Фрідріхса - Леві (КФЛ):

а по-друге, використання різниць назустріч потоку, тобто застосування схеми (6.3) при V \u003e 0 і (6.4) при v 0.

Явна схема з дивовижними речами назустріч потоку. Якщо ми будемо вибірково застосовувати дві попередні схеми, а саме, при v\u003e\u003e 0 схему (6.3), а при v

буде байдужа до напрямку швидкості і стійка за умови v / h ^ 1. Неважко помітити, що односторонні різниці в цій схемі беруться назустріч потоку (кажуть, що схема має властивість mpanenopmuenoemu). Схем) "такого виду називають протипотоковому або схемою з дивовижними речами назустріч потоку.

У разі рівняння з постійним значенням швидкості перенесення проблем з конструюванням протипотоковому різницевої схеми немає. Вибирається відповідна знаку швидкості перенесення різниця, яка використовується в усіх вузлах розрахункової області. Умова (6.5) накладає обмеження на співвідношення кроків розрахункової сітки. Зазвичай при заданому кроці по простору зі співвідношення (6.5) визначають допустимий часовий крок т h / v.

Але якщо швидкість перенесення є функцією координати (або часу), то вибір виду разностной апроксимації необхідно здійснювати на основі аналізу знака швидкості перенесення, наприклад застосовуючи умовний оператор. Крім гот, при змінної швидкості перенесення v \u003d v (x) умова стійкості потрібно перевірити для всіх вузлів сітки і з цієї множини значень тимчасового кроку вибрати мінімальний: т min ,; h / vj.

В роботі Куранта з співавторами (1952) був запропонований цікавий метод конструювання протипотоковому схеми, в якому не використовувався умовний оператор. Важливо відзначити, що це не просто формальний прийом, а підхід, що містить глибокі ідеї, на основі яких можна зіставляти і знаходити відповідність між протипотоковому (несиметричними) і симетричними різницевими схемами. До цього близька ідея розщеплення операторів різницевих схем.

Уявімо швидкість перенесення у вигляді суми її позитивною і негативною складових:

Це дозволить представити оператор перенесення у вигляді суми двох операторів:

Тепер кожен з операторів має знакопостоянного коефіцієнт, що дозволяє застосувати до нього протипотоковому разностную апроксимацію. Відзначимо, що різницева схема назустріч потоку для апроксимації конвективних членів широко використовується в різних завданнях обчислювальної гідродинаміки. Часто застосовується такий запис обчислювального алгоритму за схемою (6.6):

Якщо ми тепер в правій частині (6.7) проведемо елементарні перетворення і виділимо симетричну разностную похідну, то ця схема представиться у вигляді

Можна зробити висновок, що нротівопоточная різницева схема (6.7) еквівалентна симетричною (6.2), в яку введена диссипативная добавка, що забезпечує умовну стійкість схеми.

Схема Лакса. Ця схема була введена в практику обчислень на зорі розвитку обчислювальної газодинаміки. II хоча згадки про схему такого типу зустрічалися в роботах різних авторів, громадська думка пов'язує її з ім'ям американського математика Лакса (Lax, P.D.), що опублікував в 50-і роки серію робіт з різних аспектів теорії різницевих схем. Стосовно до рівняння переносу (6.1) ця схема має вигляд

Особливість схеми полягає в тому, що для забезпечення її стійкості в апроксимації похідної але часу значення сіткової функції у вузлі (г, п) замінюється на полусумму значень в сусідніх вузлах того ж тимчасового шару. Ця операція забезпечує при центральній апроксимації просторової похідної умовну стійкість різницевої схеми (при виконанні умови Куранта - Фрідріхса - Леві v / h ^ 1).

Хоча тут похідна по х представлена \u200b\u200bз другим порядком апроксимації, схема через специфічний уявлення вре- меннбй похідною має значну диссипацией. Це добре видно з першого диференціального наближення:

Коефіцієнт, що стоїть в правій частині перед другою похідною, можна трактувати як коефіцієнт схемної в'язкості. Після простих перетворень цю величину можна представити як

де через а позначено число Куранта. З диференціального наближення можна визначити багато властивостей цієї схеми:

• - схема стає недіссіпатівной при числі Куранта, що дорівнює одиниці;
• - схема не чутлива до напрямку потоку;

при числі Куранта, меншому одиниці, схемна в'язкість надає стабілізуючий вплив (позитивний коефіцієнт дифузії), при числі Куранта, більшому одиниці, коефіцієнт схемної в'язкості стає негативним, що призводить до загострення процесу дифузії і, в кінцевому рахунку, до втрати обчислювальної стійкості схеми;

При зменшенні кроку по часу дисипативні властивості схеми зростають.

У числі перерахованих особливостей є і такі, які суттєво знижують гідності схеми. Однак простота алгоритму часто є підставою для її використання на початкових (налагоджувальних) кроках побудови розрахункових програм. Крім цього, схема Лакса, як ми побачимо далі, є складовою частиною ефективних багатокрокових алгоритмів, в яких з її допомогою виконується попередній крок (крок прогнозу).

Схеми другого порядку. Різницеві схеми, розглянуті раніше, були схемами першого порядку (по просторової або тимчасової змінної). При побудові схем другого порядку необхідно забезпечити підвищений порядок апроксимації як по просторової, гак і але тимчасовою зміною. Розглянемо кілька схем такого типу.

Схема «чехарда». Схема другого порядку як по просторової змінної, так і за часом найпростішого типу може бути представлена \u200b\u200bу вигляді

Цю схему називають схемою з переступанням, але більше вона відома під назвою «Чехарда» (Leap-frog scheme). Схема є трехслойіой і будує рішення по двох попередніх тимчасовим верствам. Тому при її застосуванні виникають проблеми з початком обчислень, яке повинно здійснюватися будь-яким іншим методом.

Схема Лакса - Вендроффа. Однією з найбільш відомих схем такого типу є центральна схема, яка називається по імені її авторів, схемою Лакса - Вендроффа. Вона зайняла певну нішу в теорії різницевих схем для гіперболічних рівнянь, з нею пов'язано багато вельми продуктивних ідей, але основне її перевага полягає в тому, що вона легко узагальнюється і переноситься на випадок більш складних завдань - задач течії стискання газу, що описуються системами квазілінійних рівнянь, де вона досить довгий час була одним з основних обчислювальних інструментів.

Корисно вивчити особливості цієї схеми на прикладі застосування її до рівняння переносу виду (6.1). Для побудови схеми другого порядку випишемо формулу Тейлора:

яку будемо розглядати спільно з вихідним рівнянням (6.1) Це рівняння будемо використовувати для того, щоб замінити в розкладанні тимчасові похідні просторовими. Це можливо, так як перша похідна але часу виражається безпосередньо з (6.1): du / dt \u003d -vdu / dx. Друга похідна також легко знаходиться з наступного ланцюжка співвідношень:

Зауважимо, що це уявлення є точним лише при постійній швидкості перенесення: v \u003d const. В іншому випадку воно носить наближений характер, проте, якщо швидкість перенесення v (x) досить гладка функція, Його можна використовувати для перетворень різницевих співвідношень, які носять локальний характер.

Підставляючи отримані за допомогою вихідного диференціального рівняння вирази для похідних в наведену вище формулу Тейлора, отримаємо співвідношення

а замінюючи похідні по простору конечноразностного співвідношеннями другого порядку, одержимо (після деяких простих перетворень) разностную схему

звану схемою Лакса Вендроффа. Ця схема була введена в практику обчислень разом з рядом інших в серії робіт, опублікованих Лакса і Всндроффом в 1960-1964 рр.

Двокроковий варіант схеми Лакса - Вендроффа. Пізніше Ріхт- майер запропонував оригінальний двохкроковий варіант схеми, який через зручності в реалізації довгий час був одним з основних обчислювальних алгоритмів газодинаміки. Наведемо цей варіант.

На першому півкроку обчислимо проміжне значення рішення за простою схемою Лакса першого порядку. Цьому проміжному значенню пріпішем верхній індекс п + 1/2 і будемо мати на увазі, що використовується також половинний крок за часом. Застосовуючи цю схему, отримаємо значення рішення на проміжному часовому шарі: t \u003d t n + l / 2. При цьому відзначимо, що через застосування схеми Лакса, в якій на нижньому шарі відсутній центральний вузол, рішення відтворюється на проміжному шарі також в системі напівцілий точок.

Наведемо запис різницевих співвідношень для двох сусідніх проміжків:

Другий напівкрок складається в обчисленні рішення на новому часовому шарі п + 1 на основі схеми з центральними різницями як по простору, так і за часом - схеми «хрест». Для обчислення просторових похідних використовуються значення рішення на проміжному шарі в системі напівцілий точок, саме рішення відновлюється в тій же самій системі точок, в якій воно було визначено до початку тимчасового кроку:

Співвідношення (6.12) і (6.13) разом визначають двокрокового схему Лакса - Веідроффа. На першому її етапі забезпечується виконання умов стійкості. Цей етап називають іноді предиктором. Другий етап забезпечує виконання необхідної точності, і його називають коректором. Методи предиктор-коректора часто використовуються в обчислювальної математики, При цьому етап коректора може включати в себе ітераційний блок.

Можна легко показати, що, виключаючи з (6.13) проміжні значення, за допомогою співвідношень (6.12) ми приходимо до основного - одіошаговому - варіанту схеми. У сенсі порядку апроксимації і стійкості обидва варіанти еквівалентні, але двохкроковий більш зручний при проведенні обчислень, тому саме з ним пов'язується звичайно найменування цієї різницевої схеми. Двокроковий варіант особливо зручно використовувати при побудові різницевих схем для більш складних завдань, зокрема для систем квазілінійних рівнянь нестаціонарної газодинаміки.

Монотонність рішення в схемах другого порядку. Останній член в правій частині (6.11) має вигляд, відмінний від виду дисипативних членів схем першого порядку (6.8) і (6.10). В даному випадку він забезпечує придушення помилки, пов'язаної з першим порядком апроксимації похідної за часом. Таким чином, дана схема є схемою другого порядку як але часу, гак і але просторової змінної. Її перше диференціальне наближення вже не буде містити дисипативний член, але в ньому буде присутній дисперсійна складова з третьої похідної, яка є причиною фазових помилок схеми. Можна очікувати, що дана схема буде слабо розмазувати рішення, але в області його різкої зміни можуть з'являтися нефізичні осциляції, викликані дисперсією.

Різницева схема, яка переводить рішення, що має вигляд монотонної функції поздовжньої координати, в монотонне ж рішення, називається монотонної разностной схемою. Згідно з цим визначенням, схема Лакса - Веідроффа є немонотонної.

С.К. Годуновим була встановлена \u200b\u200bтеорема про монотонності, що займає одне з центральних місць в теорії різницевих схем. Відповідно до цієї теореми, для лінійного рівняння виду (6.1) не існує монотонних схем з порядком вище першого.

Втрата монотонності різницевої схеми характерна в тій чи іншій мірі для всіх схем підвищеного порядку апроксимації. Для подолання немонотонності чисельного рішення схем високого порядку використовують так звані гібридні різницеві схеми. Вони відносяться до класу нелінійних, в них, на основі аналізу поведінки рішення, проводиться перемикання на монотонні схеми першого порядку в зонах, де фазові помилки виявляються особливо сильно, і повернення до схем високого порядку в областях гладкого зміни рішення.

Схема Мак-Кормака. Це також двокрокова схема другого порядку, байдужа до напрямку потоку. Її зручніше продемонструвати на консервативної формі рівняння переносу:

Схема складається з двох послідовно виконуваних кроків:

На першому етапі (6.15) знаходять попереднє значення рішення щ в вузлах сітки на основі односторонньої різницевої схеми. По знайденому таким чином рішенням обчислюють попередні значення потоків / м Далі, на основі односторонніх схем, що мають протилежний зміст (6.16), визначається рішення на наступному часовому шарі.

Цей алгоритм допускає різні модифікації, він добре адаптується до вирішення як квазілінійних систем, так і багатовимірних гіперболічних задач. У 1970-ті роки ця схема була однією з основних різницевих схем зарубіжних (в основному американських) обчислювачів, але в даний час вона витіснена більш сучасними, заснованими на ідеях гібридизації.

Розглянемо тепер найпростіші різницеві схеми для рівняння Хопфа.

Узагальнення на випадок рівняння Хопфа схеми П.Лакса має вигляд

Тут, очевидно, використовується дивергентний вид рівняння (3.6).

вправи. Розглянемо схему Лакса - Вендроффа для рівняння Хопфа. Нехай початкові умови для задачі Коші поставлені в такий спосіб: u (x, 0) \u003d ch - 2 (x). Тоді рівняння Хопфа має перший інтеграл: . Перевірити, що наведена вище схема є консервативної, Тобто в ній на сітковому рівні автоматично виконується той же закон збереження.

Побудувати аналогічну схему з використанням характеристичної форми записи рівняння Хопфа (3.9). Чи буде вона консервативної?

Схема умовно стійка при виконанні умови Куранта (точніше, узагальнення умови Куранта)

Тут і нижче, як і раніше в (3.7), f \u003d 0, 5u 2. При цьому передбачається, що протягом досить гладке, момент градиентной катастрофи ще не настав, в рішенні немає ударних хвиль і інших розривів.

Схема Куранта - Ізаксон - Ріса. Узагальнення схем КИР на квазілінійний випадок (при використанні дивергентной форми записи рівнянь) очевидно.

Схема стійка при виконанні умови Куранта

узагальнення схеми Лакса - Вендроффа (Схема предиктор - коректор). Для квазілінійних рівнянь (а також лінійних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, неоднорідних рівнянь і т.п.) схема Лакса - Вендроффа стає складнішою. Для її побудови необхідно ввести так звані напівцілий точки (точки з дробовими індексами). На першому етапі (предиктор) значення в напівцілий точках обчислюються з поступовим зниженням дози - узагальнення на квазілінійний випадок схеми Лакса:

на другому етапі (коректор) використовується схема "чехарда" (тришарова схема на хрестоподібно шаблоні, яка не входить в сімейство (3.8)):

Схема Лакса - Вендроффа належить до так званим центральним схемами. Її шаблон симетричний. На першому етапі розраховуються значення сіткової функції в напівцілий точках шаблону на проміжному шарі (tm - 1/2, xm - 1/2), (tn + 1/2, xm + 1/2), на другому етапі обчислюється рішення на верхньому шарі в точці (tn + 1, xm). Схема стійка при виконанні умови Куранта.

Аналогічно будуються схеми Лакса - Вендроффа для лінійних неоднорідних рівнянь.

Нецентральних схема Мак - Кормака (Предиктор - коректор).

Як і наведена вище схема Лакса - Вендроффа, схема МакКормака складається з двох етапів. Розглянемо побудову схеми МакКормака для однорідного рівняння (3.7). Перший етап (предиктор) має вигляд

тобто використовується схема "явний правий куточок". Другий етап - коректор:

Таким чином, розрахунок на першому етапі за схемою "правий куточок", на другому - "лівий куточок".

Інша схема Мак - Кормака має вигляд

Такі різницеві схеми називають нецентральних. До їх переваг відносять відсутність напівцілим індексом, більш просту постановку граничних умов. У лінійному випадку схеми Мак - Кормака збігаються зі схемою Лакса - Вендроффа. Схеми мають другий порядок апроксимації по обидва змінним, схеми стійкі при виконанні умови Куранта.

схема Русанова (Центральна схема третього порядку точності).

Для побудови схеми Русанова вводяться не тільки напівцілий точки, але і два шари проміжних точок з дробовими індексами. Перший етап схеми Русанова (перехід до шару 1/3) має вигляд

її другий етап є схема "чехарда"

а третій етап

На першому етапі проводиться розрахунок за схемою Лакса, на другому - за схемою "хрест" ( "чехарда"). Останній доданок третього етапу вводиться для забезпечення стійкості схеми (член, пропорційний разностной апроксимації 4 - й похідною).

Схема є умовно стійкою при виконанні умови Куранта і умови.

нецентральних схема Уормінга - Кутлера - Ломакса 3 - ї порядку точності.

Перший етап:

Другий етап:

Третій етап:

Останній член додається для стійкості схеми, яка є умовно стійкою при виконанні умов Куранта.

Розмір: px

Починати показ зі сторінки:

транскрипт

2 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РФ Новосибірський державний університет Механіко-математичний факультет Кафедра математичного моделювання Г. С. Хакімзянов Ігор Євгенович, С. Г. Чорний МЕТОДИ ОБЧИСЛЕНЬ Частина 4. Чисельні методи розв'язання задач для рівнянь гіперболічного типу Навчальний посібник Новосибірськ 014

3 ББК В.193 УДК Х 16 Рецензент канд. фіз.-мат. наук А. С. Лебедєв Видання підготовлено в рамках реалізації Програми розвитку державної освітньої установи вищої професійної освіти «Новосибірський державний університет» на роки. Х 16 Хакімзянов Ігор Євгенович, Г. С. Методи обчислень: У 4 ч.: Навч. посібник / Г. С. Хакімзянов Ігор Євгенович, С. Г. Чорний; Новосиб. держ. ун-т. Новосибірськ: РІЦ НГУ, 014. Ч. 4: Чисельні методи розв'язання задач для рівнянь гіперболічного типу. 07 с. ISBN Навчальний посібник відповідає програмі курсу лекцій «Методи обчислень», який читається на механіко-математичному факультеті НГУ. У його четвертої частини викладаються основи чисельних методів розв'язання початково-крайових задач для рівнянь гіперболічного типу, формулюються задачі для семінарських занять, наводяться зразки контрольних робіт і завдань для практичних занять на ЕОМ. Посібник призначений для студентів і викладачів математичних спеціальностей вищих учбових закладів. ISBN ББК В.193 УДК c Новосибірський державний університет, 014 c Г. С. Хакімзянов Ігор Євгенович, С. Г. Чорний, 014

4 ЗМІСТ Передмова Схеми для лінійного рівняння переносу Властивість монотонності різницевих схем Побудова монотонних схем на основі методу диференціального наближення Схеми для нелінійного рівняння переносу Схеми на адаптивної сітці для рівняння переносу Різницеві схеми для рівняння коливань струни Різницеві схеми для гіперболічної системи рівнянь з постійними коефіцієнтами Різницеві схеми для системи нелінійних рівнянь мілкої води Різницеві схеми для задач газової динаміки Контрольна робота по темі «Дослідження різницевих схем для рівняння переносу» Завдання для лабораторної роботи Відповіді, вказівки, рішення Бібліографічний список

5 Передмова У четвертій частині посібника викладені основи чисельних методів розв'язання початково-крайових задач для рівнянь гіперболічного типу, сформульовані завдання по цій темі для семінарських занять, наведені завдання для практичних занять на ЕОМ і приклад контрольної роботи. Теоретичні питання викладені досить коротко. Для більш глибокого вивчення питань, що розглядаються ми рекомендуємо звернутися до підручника С. К. Годунова і В. С. Рябенького, а також до книг Г. І. Марчука, А. А. Самарського, А. А. Самарського і А. В. Гулина , А. А. Самарського і Е. С. Миколаєва, Б. Л. Різдвяного і Н. Н. Яненко і навчальними посібниками, виданими в НГУ. На лекціях розглядаються теоретичні питання, пов'язані з дослідженням тільки кінцево-різницевих схем. Як приклади розглянуті схеми для лінійного рівняння переносу, нелінійного скалярного рівняння першого порядку, рівняння другого порядку, що описує коливання струни, лінійної системи рівнянь першого порядку, системи нелінійних рівнянь мілкої води та рівнянь газової динаміки. Кожен параграф супроводжується завданнями, які необхідно вирішити на семінарських заняттях. Багато задач забезпечені вказівками і докладними рішеннями. Додаткові матеріали для семінарських занять можна знайти в задачниках. У посібнику наведено приклади завдань для практичних занять в комп'ютерних класах, надано рекомендації щодо виконання завдань, обговорюються питання, пов'язані з розробкою програм і представленням результатів. Додаткові завдання можна взяти з методичних посібників . Четверта частина посібника має самостійну наскрізну нумерацію параграфів і малюнків і самостійний бібліографічний список. Усередині параграфів для формул і тверджень (лем і теорем) використана двухіндексная нумерація, наприклад 4 .. Посилання на формули, леми, теореми з попередніх трьох частин посібника даються додаванням спереду до їх номеру цифри 1, або 3. Наприклад, замість «по формулі ( 4.) з посібника »ми пишемо« по формулі (1.4.) », замість« по теоремі 8.3 з допомоги »« по теореме.8.3 ». Автори висловлюють глибоку вдячність рецензента Олександру Степановичу Лебедєву за цінні поради і критичні зауваження, Які сприяли поліпшенню цього навчального посібника. 4

6 1. Схеми для лінійного рівняння переносу 1.1. Деякі відомості з теорії гіперболічних систем. Розглянемо задачу Коші для лінійної системи диференціальних рівнянь першого порядку u t + A u \u003d f (x, t),< x <, 0 < t T, x u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.1) Здесь u = (u 1,..., u m) T m-мерная вектор-функция переменных x, t, A вещественная m m матрица с элементами a i (x, t). Определение. Систему уравнений (1.1) будем называть гиперболической в некоторой области переменных (x, t), если в каждой точке этой области собственные значения λ 1, λ,..., λ m матрицы A вещественны и различны. Определение. Интегральная кривая x = x k (t) обыкновенного дифференциального уравнения dx dt = λ k(x, t) (1.) называется k-ой характеристикой системы уравнений (1.1). Предполагается, что элементы матрицы A обладают гладкостью, достаточной для того, чтобы через каждую точку плоскости (x, t) проходила единственная характеристика, отвечающая собственному значению λ k. Характеристики, проведенные через точку (x, t) (t > 0) в сторону зменшення часу t, перетнуть вісь Ox в m різних точках. Впорядкуємо власні значення гіперболічної системи (1.1) (λ 1 (x, t)< λ (x, t) <... < λ m (x, t)) и через обозначим отрезок оси Ox, ограниченный точками пересечения этой оси с m-ой и первой характеристиками. Определение. Областью зависимости точки (x, t) для системы уравнений (1.1) называется множество точек верхней полуплоскости, ограниченное крайними характеристиками x = x m (t), x = x 1 (t) и отрезком . Область зависимости точки (x, t) изображена на рис. 1, а. Решение u системы (1.1) в точке (x, t) будет зависеть только от значений u 0 (x) на 5

7 відрізку. Отже, якщо початкові дані поза відрізка поміняти на інші, то рішення в точці (x, t) не зміниться. Визначення. Областю впливу точки (x 0, 0) називається безліч точок (x, t) верхній півплощині, обмежене крайніми характеристиками системи (1.1), що виходять з (x 0, 0), т. Е. Характеристиками, відповідними власним значенням λ 1 і λ m. Область впливу точки (x 0, 0) показана на рис. 1, б. Якщо початкові дані змінити лише в точці (x 0, 0), то рішення гіперболічної системи зміниться тільки в точках (x, t), що належать області впливу точки (x 0, 0). Припустимо тепер, що нам замість задачі Коші (1.1) потрібно вирішити початково-крайову задачу на відрізку. Тоді на додаток до початкових умов необхідно задати крайові умови. Кількість крайових умов на кожній з меж визначається кількістю вхідних всередину області характеристик. Наприклад, якщо через ліву кордон x \u003d 0 всередину області входить m 0 характеристик, т. Е. M 0 власних значень λ k позитивні при x \u003d 0, то на цьому кордоні треба задати m 0 крайових умов. Якщо на кордоні x \u003d l кількість негативних власних значень дорівнює m l і, отже, рівно m l характеристик входить в область через праву межу, то на цьому кордоні необхідно задати m l крайових умов. Оскільки власні значення залежать від часу, то кількість крайових умов на кожній з меж може змінюватися з часом. t dx dt \u003d m λ m (x, t) dx dt \u003d λ 1 t dx dt \u003d λ 1 dx dt \u003d m λ x l а x r x (x 0,0) б x Рис. 1. Характеристики системи рівнянь (1.1), що обмежують області залежності точки (x, t) (а) та впливу точки (x 0, 0) (б) 6

8 Розглянемо тепер однорідну гіперболічного систему рівнянь (1.1) з постійними коефіцієнтами. Для постійної матриці A її власні вектори і власні значення є постійними, т. Е. Залежать від x і t. Нехай l k k-й лівий власний вектор матриці A, що відповідає її власним значенням λ k: l k A \u003d λ k l k (k \u003d 1, ..., m). Помножимо систему (1.1) зліва на вектор lk: або де lkut + l ka ux \u003d 0. Це рівняння можна записати в наступному вигляді: lkut + λ klkuxskt + λ skkx \u003d 0, \u003d 0, (1.3) sk \u003d lku, k \u003d 1, ... m. (1.4) Рішення sk (x, t) рівняння (1.3) переноситься уздовж характеристики без зміни і тому обчислюється при t\u003e 0 по початкового значення sk в точці перетину k-ой характеристики з віссю Ox: sk (x, t) \u003d sk ( x λ kt, 0). (1.5) Функції s k називаються інваріантами Рімана. 1 .. Лінійна модель дрібної води. Найпростішою математичною моделлю, в рамках якої можна описувати рух рідини з поверхневими хвилями, є лінійна модель дрібної води: η t + u 0 \u003d 0, (1.6) xut + g η \u003d 0, (1.7) x η (x, 0) \u003d η 0 (x), u (x, 0) \u003d u 0 (x), (1.8) де η (x, t) піднесення поверхні рідини над необуреним рівнем (див. рис.), u (x, t) швидкість рідини , η 0 (x) і u 0 (x) піднесення і швидкість в початковий момент часу t \u003d 0, 0 \u003d const глибина басейну, g \u003d const прискорення вільного падіння. 7

9 Систему рівнянь (1.6), (1.7) можна записати у вигляді однорідної системи (1.1) з матрицею A і вектором рішення u: A \u003d (0 0 g 0) (η, u \u003d u). (1.9) Матриця A має два різних дійсних власних значення λ 1 \u003d c 0, λ \u003d c 0 \u003d g 0, (1.10) тому система рівнянь (1.6), (1.7) має гіперболічний тип. Рівняння характеристик (1.) приймають такий вигляд: dx dt \u003d c 0, dx dt \u003d c 0, (1.11) тому характеристики є прямими лініями. Характеристики, що проходять через точку (x, t), t\u003e 0, перетинають вісь Ox в точках x l і x r, де x l \u003d x c 0 t, x r \u003d x + c 0 t. (1.1) Ліві власні вектори матриці A, відповідні власним значенням (1.10), задаються формулами l 1 \u003d (c 0, 0), l \u003d (c 0, 0). (1.13) y 0 η y \u003d (x, t) lxy \u003d - 0 Рис .. Позначення в завданню про поширення і трансформації хвиль в басейні з вертикальними стінками Згідно (1.4) зв'язок між інваріантами Рімана r \u003d s 1, s \u003d s і вихідними залежними змінними задається формулами r \u003d c 0 η 0 u, s \u003d c 0 η + 0 u, (1.14) 8

10 звідки η \u003d r + sc 0, u \u003d sr 0. (1.15) З формули (1.5) з урахуванням рівності (1.14) отримуємо формули для розв'язання задачі Коші в инвариантах r (x, t) \u003d r (x λ 1 t, 0) \u003d r (x + c 0 t, 0) \u003d c 0 η 0 (xr) 0 u 0 (xr), (1.16) s (x, t) \u003d s (x λ t, 0) \u003d s (xc 0 t, 0) \u003d c 0 η 0 (xl) + 0 u 0 (xl). (1.17) І нарешті, використовуючи співвідношення (1.15), отримуємо точне рішення задачі Коші (1.6), (1.7), (1.8) η (x, t) \u003d η 0 (xl) + η 0 (xr) + 0 u0 ( xl) u 0 (xr), c 0 u (x, t) \u003d u 0 (xl) + u 0 (xr) + c 0 η0 (xl) η 0 (xr). 0 (1.18) При вирішенні даної початково-крайової задачі необхідно поставити по одній умові на кожному з кінців відрізка. Будемо, наприклад, вважати, що стінки басейну є непроникними для рідини, що означає рівність нулю швидкості рідини на цих стінах: u (0, t) \u003d u (l, t) \u003d 0. (1.19) Наведемо в остаточному вигляді математичну формулювання завдання про рух рідини з поверхневими хвилями в обмеженому басейні: знайти безперервне в замкнутій області D \u003d рішення η (x, t), u (x, t) наступної початково-крайової задачі η t + u 0 x \u003d 0, ut + g η \u003d 0, 0< x < l, 0 < t T, x u(0, t) = u(l, t) = 0, 0 t T, η(x, 0) = η 0 (x), u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.0) 1.3. Линейное уравнение переноса. Итак, если матрица A однородной гиперболической системы уравнений (1.1) постоянна, то такую систему можно свести к системе уравнений в инвариантах Римана, 9

11 при цьому рівняння для інваріантів Рімана не залежать одне від одного і кожне з них має вигляд u t + au x \u003d 0, a \u003d const. (1.1) Це рівняння є найпростішим гіперболічним рівнянням і називається лінійним рівнянням переносу. На цьому рівнянні можна вивчати властивості різницевих схем, що застосовуються для вирішення гіперболічних систем рівнянь. Розглянемо для лінійного рівняння переносу (1.1) завдання Коші u t + au x \u003d 0,< x <, 0 < t T, u(x, 0) = u 0 (x), < x <. (1.) Характеристика x = x(t) уравнения (1.1) определяется уравнением dx dt = a, (1.3) т. е. является прямой с наклоном a к оси Ot. Следовательно, точное решение задачи Коши определяется по формуле u(x, t) = u 0 (x at). (1.4) График точного решения в момент времени t получается переносом графика начальной функции на величину at (в положительном направлении оси Ox, если a > 0 і навпаки). Для рівняння переносу з постійним коефіцієнтом a легко виписати точне рішення і для початково-крайової задачі. Нехай, наприклад, a \u003d const\u003e 0. Тоді коректної буде наступна начальнокраевая завдання u t + au x \u003d 0, 0< x l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) = µ 0 (0). (1.5) Легко проверить, что если u 0 (x) и µ 0 (t) дифференцируемые функции, то решение задачи (1.5) определяется формулой u(x, t) = { u0 (x at) при t x/a, µ 0 (t x/a) при t x/a. (1.6) 1.4. Явная противопоточная схема. Перейдем теперь к изучению конечно-разностных схем решения линейного уравнения переноса. 10

12 Почнемо з явною схеми з спрямованими проти потоку різницями (протипотоковому схема) для початково-крайової задачі u t + au x \u003d f (x, t), 0< x l, 0 < t T, a = const > 0, u (0, t) \u003d μ 0 (t), 0 t T, u (x, 0) \u003d u 0 (x), 0 x l, u 0 (0) \u003d μ 0 (0). (1.7) Усюди далі будемо розглядати тільки рівномірні сітки, що покривають замкнуту область D \u003d. Побудуємо наступну різницеву схему un + a un un 1 \u003d fn, \u003d 1, ..., N, un 0 \u003d μ n 0, n \u003d 0, ..., M, u 0 \u003d u 0 (x), \u003d 0 , ..., N, (1.8) аппроксимирующую завдання (1.7) з порядком O (+). Як і раніше, цю схему можна записати на операційному вигляді L u \u003d f. Назва протипотоковому схема пов'язано з тим, що якщо ми розглядаємо рівняння переносу як модельне рівняння для системи рівнянь, що описують рух рідини або газу, і ототожнюємо коефіцієнт a зі швидкістю рідини, то при позитивній швидкості, т. Е. При a\u003e 0, в схемі беруться ліві різницеві похідні, що використовують вузол x 1, розташований проти «потоку» (розташований вгору по потоку). Введемо рівномірні норми в просторі сіткових функцій U і просторі правих частин F: де f F (\u003d max u U max nun C \u003d max 0 N un, \u003d max n un C, (1.9)) μn 0, (u 0) C, max fnn C, (1.30) fn C \u003d max 1 N fn рівномірні норми на шарі t \u003d t n. За допомогою принципу максимуму можна довести наступне твердження. Теорема 1.1. Виконання умови a 1 (1.31) 11

13 досить для стійкості протипотоковому схеми (1.8) у рівномірній нормі. Доведення. Нехай x вузол сітки з номером 1 N. Перепишемо різницеве \u200b\u200bрівняння схеми в цьому вузлі \u003d (1 r) u n + ru n 1 + f n, де r \u003d a /. З умови теореми випливає, що 1 r 0, тому буде справедливою наступна оцінка (1 r) un + run 1 + fn (1 r) un C + run C + fn C un C + max mfm C. У граничному вузлі маємо наступну оцінку 0 \u003d μ n + 1 0 max m μm 0. Отже, максимальне з лівих частин цих нерівностей не може перевершити максимального з двох чисел в правих частинах цих нерівностей: (C max max m) μm 0, un C + max fmm C, а це і є принцип максимуму. Отримали, що за умови (1.31) схема (1.8) задовольняє принципу максимуму. Тому (див. Теорему 3.1.1) вона буде стійкою в рівномірної нормі за початковими даними, крайовим умовам і по правій частині. Це ж умова (1.31) є і необхідною умовою стійкості схеми (1.8), що випливає з спектрального ознаки стійкості Неймана. Доведемо це. Візьмемо гармоніку u n \u003d λ n e iφ (1.3) і підставимо її в однорідне різницеве \u200b\u200bрівняння. В результаті для множника переходу отримаємо рівняння Отже, λ \u003d 1 r (1 e iφ) \u003d 1 r (1 cos φ) ir sin φ. λ \u003d 1 r (1 cos φ) + r (1 cos φ) + r sin φ \u003d 1

14 \u003d 1 r (1 cos φ) [r (1 cos φ) r (1 + cos φ)] \u003d 1 r (1 cos φ) (1 r). Нехай в схемі (1.8) кроки і пов'язані законом граничного переходу r \u003d a \u003d const. (1.33) Тоді власні числа λ (φ) не залежить від, тому необхідна умова стійкості Неймана зводиться до вимоги або λ (φ) 1, φ R. (1.34) r (1 cos φ) (1 r) 0, φ R. (1.35) Очевидно, що ця нерівність еквівалентно при a\u003e 0 умові (1.31). Отже, умова (1.31) при a\u003e 0 є необхідною і достатньою умовою стійкості протипотоковому схеми в рівномірної нормі. Відзначимо, що при a< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива, поскольку в этом случае нарушается неравенство (1.34) (см. задачу 1.1). Какую же схему следует использовать при a < 0, когда поток распространяется справа налево? Отметим, что в этом случае корректной будет такая начально-краевая задача u t + au x = f(x, t), 0 x < l, 0 < t T, a = const < 0, u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l, u 0 (l) = µ l (l). (1.36) Для этой задачи возьмем следующую противопоточную схему u n + a un +1 un = f n, = 0,..., N 1, u n N = µn l, n = 0,..., M, u 0 = u 0(x), = 0,..., N, (1.37) которая аппроксимирует дифференциальную задачу (1.36) с порядком O(+). Используя принцип максимума и спектральный признак Неймана, можно показать, что схема (1.37) при a < 0 будет устойчива при выполнении условия a 1. С другой стороны, при a > 0 схема (1.37) буде абсолютно нестійкою (див. Задачу 1.). 13

15 Таким чином, ми побудували дві умовно стійкі явні схеми з спрямованими проти потоку різницями для рівняння переносу з постійним коефіцієнтом aunun + a un un 1 + a un +1 un Вони стійкі при виконанні нерівності \u003d fn, якщо a\u003e 0, \u003d fn, якщо a< 0. (1.38) a 1. (1.39) Во внутренних узлах сетки противопоточную схему (1.38) можно записать в виде одного уравнения u n + a + a u n un 1 + a a u n +1 un = f n. (1.40) Аналогично выглядит явная противопоточная схема и в случае знакопеременного коэффициента a(x, t). Например, если на границах отрезка выполнены условия a(0, t) > 0, a (l, t)< 0, 0 t T, то получим такую противопоточную схему где u n + a + un un 1 + a un +1 un = f n, = 1,..., N 1, u n 0 = µ n 0, u n N = µ n l, n = 0,..., M, (1.41) u 0 = u 0 (x), = 0,..., N, a + = an + a n, a = an a n, (1.4) которая аппроксимирует с порядком O(+) начально-краевую задачу u t + a(x, t)u x = f(x, t), 0 < x < l, 0 < t T, u(0, t) = µ 0 (t), u(l, t) = µ l (t), 0 t T, u(x, 0) = u 0 (x), 0 x l. (1.43) 14

16 За допомогою принципу максимуму можна довести (див. Задачу 1.10), що для стійкості протипотоковому схеми (1.41) зі змінним коефіцієнтом a (x, t) досить виконання умови max a (x, t) 1. (1.44) x, t 1.5 . Схема Лакса. Далі для простоти викладу будемо розглядати початково-крайову задачу (1.7) з однорідним рівнянням переносу ut + au x \u003d 0. (1.45) У схемі Лакса різницеве \u200b\u200bрівняння, апроксимує рівняння переносу (1.45), записується так 0, 5 (un +1 + ) un 1 + a un +1 un 1 \u003d 0, \u003d 1, ..., N 1. (1.46) Для локальної похибки апроксимації маємо вираз ψ n, \u003d u tt u xx + ..., тому при \u003d O ( ) схема Лакса НЕ буде апроксимувати рівняння переносу, а при законі граничного переходу r \u003d a \u003d const (1.47) буде апроксимувати з порядком O (+). Таким чином, апроксимація має місце лише при певному зв'язку між кроками і, т. Е. Схема Лакса належить до класу умовно аппроксимирующих схем. Для множника переходу отримуємо формулу λ (φ) \u003d cos φ ir sin φ. Отже, при законі граничного переходу (1.47) необхідна умова стійкості схеми Лакса полягає у виконанні нерівності r 1, т. Е. A 1. (1.48) 15

17 1.6. Схема Лакса Вендроффа. Різницеві рівняння цієї схеми виглядають так u + 1/0, 5 (un +1 +) un + a un +1 un \u003d 0, / un + au + 1 / (1.49) u 1 / \u003d 0. Схема Лакса Вендроффа відноситься до сімейства двокрокового схем. У цій схемі спочатку в напівцілий вузлах x + 1 / \u003d x + / за схемою Лакса обчислюються допоміжні величини u + 1 /, що відносяться до моменту часу t n + /. Потім, на другому етапі, обчислюються значення шуканої сіткової функції на (n + 1) -м шарі за часом. Для дослідження апроксимації і стійкості двокрокового схем попередньо проводиться виключення зі схеми допоміжних величин u. В результаті виключення отримаємо однокрокову схему Лакса Вендроффа u n + a un +1 un 1 \u003d a un +1 un + un 1, (1.50) яка, як легко перевірити, аппроксимирует рівняння переносу (1.45) з другим порядком з футболу. Для множника переходу маємо такий вираз λ \u003d 1 ir sin φ r sin φ. Тому необхідна умова стійкості λ 1 буде рівносильно виконання нерівності (1 r sin φ) + r sin φ 1, або 1 4r sin φ + 4r4 sin 4 φ + 4r sin φ (1 sin φ) 1. Остання нерівність рівносильно умові r 1. Таким чином, необхідна умова стійкості схеми Лакса Вендроффа збігається з необхідною умовою (1.48) стійкості схеми Лакса Диссіпація і дисперсія. Поряд з рівнянням переносу u t + au x \u003d 0, a \u003d const (1.51) 16

18 розглянемо ще два рівняння u t + au x \u003d μu xx, μ \u003d const\u003e 0, (1.5) u t + au x + νu xxx \u003d 0, ν \u003d const. (1.53) Нехай початкова функція в завданню Коші для цих рівнянь представляється у вигляді ряду Фур'є u (x, 0) \u003d m b m e imx. (1.54) Будемо шукати рішення кожного з цих рівнянь методом поділу змінних u (x, t) \u003d bm λ te imx \u003d bmum (x, t), (1.55) mm де um (x, t) гармоніка з хвильовим числом mum (x , t) \u003d λ te imx, (1.56) λ підлягає визначенню. Дійсна і уявна частина гармоніки є m-хвилі, довжина l яких пов'язана з хвильовим числом формулою l \u003d π m. (1.57) Так як рівняння (1.51) (1.53) лінійні, то поведінка кожної з гармонік можна розглядати незалежно. Підставляючи гармоніку з хвильовим числом m в рівняння переносу (1.51), отримуємо або ln (λ) + aim \u003d 0 λ \u003d e aim. Отже, якщо гармоніка (1.56) є рішенням рівняння переносу, то вона має вигляд Позначаючи ξ \u003d x at, отримуємо u m (x, t) \u003d e im (x at). (1.58) u m (x, t) \u003d e imξ \u003d u m (ξ, 0). (1.59) 17

19 Таким чином, в будь-який момент часу t\u003e 0 гармоніка u m виходить зрушенням початковій гармоніки на величину at. Отже, рівняння переносу описує рух m-хвиль, які незалежно від їх довжини поширюються з постійною швидкістю v m \u003d a без спотворення своєї форми. Легко перевірити, що гармоніка (1.56) буде рішенням другого рівняння (1.5), якщо ln (λ) + aim \u003d μm або λ \u003d e aim e μm, т. Е. Гармоніка в цьому випадку має вигляд um (x, t) \u003d e μmt e im (x at). Отже, для всіх гармонік відбувається загасання амплітуди хвиль (диссипация хвиль). Оскільки m \u003d π / l, то короткі хвилі затухають швидше довгих. Швидкість v m поширення хвиль не залежить від довжини хвиль і дорівнює як і раніше a. За дисипації хвиль відповідає член μu xx з другою похідною від рішення. Нарешті, підстановка гармоніки в рівняння (1.53) дає ln (λ) + aim + ν (im) 3 \u003d 0 або звідки отримуємо, що λ \u003d e im (a νm), um (x, t) \u003d e im (x ( a νm) t). Таким чином, третє рівняння описує рух хвилі без зміни її амплітуди (без дисипації). Але швидкість її поширення залежить від довжини хвилі v m \u003d a νm. (1.60) З цієї формули видно, що хвилі різної довжини поширюються з різними швидкостями (хвилі диспергируют). Більш значним змінам піддається швидкість поширення короткохвильових збурень (великі m). За дисперсію хвиль відповідає член νu xxx з третьої похідної від рішення. 18

20 Розглянувши поведінку окремих гармонік, ми тепер зможемо передбачити якісне поведінку рішення (1.55) задачі Коші для цих рівнянь. Нехай, наприклад, початкова функція u (x, 0) має вигляд сходинки (1, x 0, u (x, 0) \u003d (1.61) 0, x\u003e 0 і a\u003e 0. Розкладання такої функції в ряд Фур'є (1.54) буде містити весь набір гармонік. Рішення задачі Коші для рівняння переносу (1.51) представляється в такому вигляді u (x, t) \u003d mbme im (x at) \u003d mbme imξ \u003d u (ξ, 0), (1.6) т. е. рішенням завдання буде рухається зі швидкістю a початковий профіль. Рішення u (x, t) \u003d mbme μmt e im (x at) \u003d mbme μmt e imξ (1.63) задачі Коші для рівняння (1.5) з дисипативним членом, в якому короткі хвилі сильно загасають, матиме вигляд розмазаний сходинки. Нарешті, рішення u (x, t) \u003d mbme im (x (a νm) t) (1.64) задачі Коші для рівняння (1.53), в якому хвилі різної довжини рухаються з різними швидкостями, має немонотонний, осциллирующий характер. Відповідно до формули (1.60) при ν\u003e 0 хвилі малої довжини матимуть швидкість м еньшую, ніж хвилі великої довжини, а при ν< 0 наоборот. Поэтому осцилляции будут отставать от основного решения (описываемого первыми гармониками) при ν > 0 і, відповідно, переміщатися попереду при ν< Дифференциальное приближение разностной схемы. Вернемся к численному решению задачи Коши для уравнения переноса (1.51). В качестве начального профиля возьмем ступеньку { 1, x x0, u(x, 0) = (1.65) 0, x > x 0 19

21 і проведемо розрахунок по явною протипотоковому схемою un + a un un 1 \u003d 0, a \u003d const\u003e 0 (1.66) У результаті отримаємо рішення у вигляді розмазаний сходинки (рис. 3), т. Е. Рішення буде якісно таким же як і рішення рівняння (1.5) з дисипативним членом. В чому справа? Адже ми хотіли вирішити рівняння переносу, в якому диссипативного члена немає. Справа в тому, що ми шукали чисельно рішення не рівняння переносу, а рішення різницевої схеми. Таким чином, властивості рішень апроксимується диференціального рівняння і аппроксимирующего різницевого рівняння можуть не збігатися. Як же в такому випадку передбачити властивості рішення різницевого рівняння? y x 30 Рис. 3. Графіки точного рішення (штрихові лінії) і чисельного рішення (суцільні лінії), отриманого за допомогою протипотоковому схеми (1.66) в моменти часу t \u003d 1 (1); t \u003d 8 (); t \u003d 15 (3). a \u003d 1; x 0 \u003d 10; a / \u003d 0, 5 Це можна зробити за допомогою методу диференціального наближення, з яким ми зараз коротко познайомимося. Суть цього методу полягає в заміні вихідного різницевого рівняння спеціальним диференціальним рівнянням, яке має всі властивості досліджуваного різницевого рівняння. Тому замість дослідження різницевого рівняння досліджують це диференціальне рівняння, що в багатьох випадках зробити набагато простіше. Отримання диференціального рівняння, відповідного різницевого рівняння, починається із запису цього різницевого рівняння у вигляді так званої теоретичної різницевої схеми, в якій різницеві оператори діють в тому ж функціональному просторі, що і апроксимується ними диференціальні оператори. Наприклад, різницеве \u200b\u200bрівняння (1.66) записується у вигляді такої теоретичної разностной 0

22 схеми u (x, t +) u (x, t) u (x, t) u (x, t) + a \u003d 0. (1.67) Рішенням такої схеми є функція u (x, t) безперервних аргументів x і t в той час, як рішенням рівняння (1.66) є сіткова функція u, певна тільки в вузлах сітки. Нехай досить гладка функція u (x, t) є рішенням теоретичної різницевої схеми (1.67). Підставами її в цю схему і висловимо u (x, t +) і u (x, t) через значення функції і її похідних в точці (x, t) за формулою Тейлора. В результаті отримаємо диференціальне рівняння, еквівалентне разностной схемою (1.67) u t + au x + u tt + 6 u ttt a u xx + a 6 u xxx + ... \u003d 0. (1.68) Визначення. Диференціальне рівняння нескінченного порядку (1.68), отримане після розкладання по формулі Тейлора рішення u (x, t) теоретичної різницевої схеми (1.67), називається диференціальним поданням різницевої схеми (1.66). Деякі властивості різницевої схеми можна досліджувати вже за допомогою цього диференціального уявлення, але для наших цілей буде зручніше використовувати іншу форму диференціального уявлення, що виходить в результаті виключення з (1.68) всіх похідних за часом крім тієї, яка входить в апроксимується рівняння (1.51), т . е. крім u t. Покажемо, наприклад, як виключити похідні за часом в членах порядку і. Для цього перепишемо рівняння (1.68) з урахуванням доданків до порядку O () і O () ut + au x + u tt + 6 u ttt au xx + a 6 u xxx \u003d O () (1.69) і знайдемо за допомогою отриманого рівняння похідну ut: ut \u003d au xu tt 6 u ttt + au xx a 6 u xxx + O () (1.70) Цю похідну підставимо в доданки рівняння (1.69), що містять похідні (ut) t і (ut) tt. З огляду на порядок малості коефіцієнтів при другій і третій похідних за часом, отримуємо, що в (u t) t 1

23 досить підставити похідну (1.70), обчислену з точністю O (+): ut \u003d au xu tt + au xx + O (+), (1.71) а в (ut) tt з точністю O (+): ut \u003d au x + O (+). (1.7) У результаті такої підстановки рівняння (1.69) прийме наступний вигляд: ut + au x + (au xu tt + a) u xx + t 6 (au x) tt \u003d \u003d au xx a 6 u xxx + O (), або ut + au xau tx 4 u ttt + a 4 u txx a 6 u ttx \u003d \u003d au xx a 6 u xxx + O (). (1.73) Виконавши підстановки в рівняння (1.69), далі аналогічні дії робимо з рівнянням (1.73). Тепер треба підставити похідну ut, певну з рівняння (1.73), в чотири складових цього ж рівняння: ut + au xa (au x + au tx + au xx) x 4 (au x) tt + + a 4 (au x) xx a 6 (au x) tx \u003d au xx a 6 u xxx + O (). Після приведення подібних отримаємо рівняння ut + au xa 1 u txx + a 4 u ttx \u003d \u003d a (a) (1 r) u xx + au xxx + O (), 6 (1.74) в якому, на відміну від (1.69) , немає других похідних за часом. Що залишилися в (1.74) змішані похідні u txx і u ttx обчислимо на основі рівності (1.7): u txx \u003d au xxx + O (+), u ttx \u003d a u xxx + O (+). (1.75)

24 Отже, диференціальне уявлення (1.74) набуде вигляду u t + au x \u003d a (1 r) u xx a 6 (r 3r + 1) u xxx + O (). (1.76) Таким чином, ми позбулися похідних за часом при ступенях і. Але похідні по t поки залишилися при більш старших ступенях в правій частині O (). Якщо продовжити описану процедуру далі, то в поданні (1.68) можна прибрати похідні за часом до як завгодно високого порядку. В результаті отримаємо диференціальне уявлення схеми у вигляді або ut + au x \u003d a (1 r) u xx + a 6 (1 r) (r 1) u xxx + ... (1.77) ut + au x \u003d k \u003d ckkux k . (1.78) Визначення. Рівняння нескінченного порядку (1.78) називається П-формою диференціального уявлення різницевої схеми. Нехай різницева схема має порядки апроксимації γ 1 і γ по і відповідно. Визначення. Диференціальне рівняння, отримане з П-форми диференціального уявлення відкиданням членів порядку O (γ1 + 1, γ + 1) і більш високого, називається першим диференціальним наближенням (п. Д. П.) Різницевої схеми. Для протипотоковому схеми (1.66) п. Д. П. Є диференціальним рівнянням другого порядку ut + au x \u003d μu xx, μ \u003d a (1 r), (1.79) яке, як бачимо, збігається з рівнянням (1.5) з дисипативним членом . Таким чином, при r 1 наша схема неявно вводить в апроксимується рівняння переносу в'язкість (дисипації), яку називають апроксимаційної або схемної в'язкістю. Наявність апроксимаційної в'язкості і призводить до розмазування початкової сходинки. Визначення. Властивість різницевої схеми, обумовлене наявністю в її п. Д. П. Похідних парного порядку, називається чисельної диссипацией. 3

25 П-форма диференціального уявлення різницевої схеми Лакса Вендроффа має вигляд ut + au x \u003d a 6 (1 r) u xxx a3 8 r (1 r) u xxxx + ..., а п. Д. П. Ut + au x + νu xxx \u003d 0, ν \u003d a 6 (1 r) (1.80) збігається з рівнянням (1.53) з дисперсійним членом. Отже, при r 1 схема Лакса Вендроффа неявно вводить в апроксимується рівняння переносу дисперсію, тому рішення різницевої схеми може осциллировать (рис. 4). y Рис. 4. Графіки точного рішення (штрихові лінії) і чисельного рішення (суцільні лінії), отриманого за допомогою схеми Лакса Вендроффа в моменти часу t \u003d 1 (1); t \u003d 8 (); t \u003d 15 (3). a \u003d 1; x 0 \u003d 10; a / \u003d 0, 5 Визначення. Властивість різницевої схеми, обумовлене наявністю в її п. Д. П. Похідних непарного порядку, називається чисельної дисперсією. Підіб'ємо підсумок наших міркувань. Для завдань з плавно мінливих рішенням, внесок в яке високочастотних гармонік невеликий, точність схеми Лакса Вендроффа вище точності протипотоковому схеми. Якщо ми вирішуємо чисельно завдання, в якій рішення має різкі зміни монотонний профіль, то застосування протипотоковому схеми першого порядку дасть монотонний неосціллірующій профіль, але сильно згладжений. Це результат дії чисельної диссипации. Схема Лакса Вендроффа, що володіє чисельної дисперсією, може дати немонотонні профілі чисельного рішення в околиці розриву або різкої зміни рішення, спотворені нефізічнимі осцилляциями. x 4

26 З А Д А Ч І 1.1. Показати, що при a< 0 схема (1.8) абсолютно неустойчива. 1.. С помощью спектрального метода Неймана показать, что явная схема для уравнения (1.1) u n + a un +1 un = 0, n = 0,..., M 1, = 0, ±1, ±,... (1.81) при a > 0 абсолютно нестійка За допомогою спектрального методу Неймана вивести необхідна умова стійкості тришарової схеми «leap-frog» (схема з переступанням, схема «чехарда») для рівняння (1.1) un 1 + a un +1 un 1 \u003d 0, n \u003d 1, ..., M 1, \u003d 0, ± 1, ±, ..., (1.8) якщо закон граничного переходу заданий у вигляді (1.33) Визначити порядок апроксимації явної схеми з центральною різницею un + a un +1 un 1 \u003d 0 , (1.83) побудованої для рівняння переносу (1.1). За допомогою спектрального методу Неймана досліджувати стійкість цієї схеми, якщо закон граничного переходу заданий у вигляді a \u003d const. (1.84) 1.5. Визначити порядок апроксимації мажорантності схеми u n + a un +1 un 1 \u003d a un +1 un + un 1, (1.85) побудованої для рівняння переносу (1.1). За допомогою спектрального методу Неймана досліджувати стійкість цієї схеми, якщо закон граничного переходу заданий у вигляді (1.84). 5

27 1.6. Визначити порядок апроксимації схеми Мак-Кормака u un + a un +1 un \u003d 0, 0, 5 (u +) un / + a u u 1 \u003d 0, (1.86) побудованої для рівняння переносу (1.1). За допомогою спектрального методу Неймана досліджувати стійкість цієї схеми, якщо закон граничного переходу заданий у вигляді (1.84) Визначити порядок апроксимації протипотоковому схеми з вагами un + σa un (1 σ) a un un 1 \u003d 0, (1.87) побудованої для рівняння переносу ( 1.1) з коефіцієнтом a\u003e 0. за допомогою спектрального методу Неймана вивести необхідна умова стійкості схеми (1.87), якщо закон граничного переходу заданий у вигляді (1.84) Використовуючи принцип максимуму, досліджувати стійкість в рівномірної нормі неявній протипотоковому схеми un + a un + 1 1 \u003d f n + 1, \u003d 1, ..., N, un 0 \u003d μ n 0, n \u003d 0, ..., M, u 0 \u003d u 0 (x), \u003d 0, ..., N , (1.88) побудованої для завдання (1.7) Використовуючи принцип максимуму, знайти достатня умова стійкості в рівномірної нормі протипотоковому схеми з вагами un + σa un (1 σ) a un un 1 \u003d f n + 1 /, un 0 \u003d μ n 0 , n \u003d 0, ..., M, u 0 \u003d u 0 (x), \u003d 0, ..., N, (1.89) побудованої для завдання (1.7). Тут 0 σ 1. 6

28 1.10. Використовуючи принцип максимуму, довести, що виконання умови (1.44) досить для стійкості протипотоковому схеми (1.41) зі змінним коефіцієнтом a (x, t) Отримати п. Д. П. (1.80) схеми Лакса Вендроффа Знайти п. Д. П. Неявній схеми un + a un + 1 + 1 \u003d 0, (1.90) побудованої для рівняння переносу (1.1) з коефіцієнтом a\u003e 0. Дати якісне пояснення поведінки рішення різницевої схеми при t\u003e 0, якщо в початковий момент часу t \u003d 0 задана сходинка ( 1.61) .. Властивість монотонності різницевих схем.1. Одне з основних вимог, що пред'являються до різницевих схем, полягає в тому, що рішення різницевого рівняння має передавати особливості поведінки рішення апроксимується диференціального рівняння. Розглянемо, наприклад, задачу Коші для лінійного рівняння переносу u t + au x \u003d 0, a \u003d const\u003e 0,< x <, t > 0, (.1) u (x, 0) \u003d u 0 (x). (.) Якщо u 0 (x) неубутна (незростаюча) функція змінної x, то при будь-якому фіксованому t\u003e 0 рішення u (x, t) завдання (.1), (.) Також буде неубивающей (незростаюча) функцією змінної x. Це випливає з того, що в будь-який момент часу рішення задається формулою u (x, t) \u003d u 0 (x at). (.3) Природно зажадати, щоб і рішення різницевої схеми, апроксимуючої завдання (.1), (.), Теж мало аналогічним властивістю. Але виявляється, що багато різницеві схеми порушують монотонність чисельного рішення: замість очікуваних монотонних профілів виходять рішення, що містять нефізічние осциляції (рис. 4). Причиною їх виникнення є чисельна дисперсія різницевих 7

29 схем, розглянута в попередньому параграфі. У цьому параграфі ми наведемо умови, при виконанні яких різницева схема буде зберігати монотонність чисельного рішення. Розглянемо довільну явну різницеву схему \u003d α b α u n + α, (.4) де α ціле число, α \u003d α 1, α 1 + 1, ..., α, вузли x + α визначають шаблон схеми. Визначення. Різницева схема (.4) називається схемою, що зберігає монотонність чисельного рішення (монотонної схемою), якщо вона будь-яку монотонну функцію u n переводить в монотонну на (n + 1) -м временн му шарі функцію, причому з тим же напрямком росту. Прімер.1. Апроксимуємо рівняння (.1) на рівномірній сітці протипотоковому схемою u n + a un un 1 \u003d 0. (.5) Ця схема має перший порядок апроксимації з футболу. Нехай сіткова функція u n на n-му временн му шарі є монотонною, наприклад, монотонно зростаючою функцією, т. Е. U n un 1 для довільного. В цьому випадку при виконанні умови стійкості схеми, що має вигляд aæ 1, де æ \u003d /, отримаємо 1 \u003d (un aæ (unun 1)) (un 1 aæ (un 1 un)) \u003d \u003d (1 aæ) (unun 1) + aæ (un 1 un) 0. Отже, рішення монотонно зростає і на (n + 1) -му шарі. Таким чином, протипотоковому схема (володіє диссипацией при aæ< 1) является схемой, сохраняющей монотонность. Пример.. Покажем, что схема Лакса Вендроффа (1.49) (не обладающая диссипацией при aæ < 1) не сохраняет монотонность численного решения. Пусть начальная функция для уравнения (.1) имеет вид (1.61) { 1, при x 0, u 0 (x) = 0, при x > 0. 8

30 Отже, початкова сіткова функція (u 0 1, при 0, \u003d u 0 (x) \u003d 0, при\u003e 0 є монотонно спадною. Перепишемо розглянуту схему у вигляді однокрокової схеми (1.50), а потім у вигляді схеми (.4) з коефіцієнтами b 1 \u003d a æ + aæ, b 0 \u003d 1 a æ, b 1 \u003d a æ aæ. (.6) Тоді неважко переконатися, що на першому шарі за часом має місце рівність 1, при 1, u 1 b \u003d 1 + b 0, при \u003d 0, b 1, при \u003d 1, 0, при. при aæ< 1 схема устойчива, но b 1 + b 0 > 1, т. Е. Сіткова функція u 1 не є монотонно спадною. Монотонність схем для рівнянь з постійними коефіцієнтами можна досліджувати, користуючись наступною теоремою. Теорема.1. Для того щоб різницева схема (.4) з постійними коефіцієнтами b α зберігала монотонність, необхідно і достатньо виконання при всіх α умов b α 0. (.7) Д о к а з а т е л ь с т в о. Необхідність. Припустимо, що схема (.4) зберігає монотонність, однак існує негативний коефіцієнт b α0< 0. Возьмем монотонно возрастающую функцию u n = { 0, < α0, 1, α 0. (.8) Тогда u0 n+1 1 = b α u n α b α u n 1+α = α α = b α b α = b α0 < 0, α α 0 α α

31 т. Е. Функція не є монотонно зростаючою, і, отже, схема (.4) не зберігається монотонність, що суперечить вихідному припущенню. Отримане протиріччя доводить, що всі коефіцієнти b α невід'ємні. Достатність. Нехай b α 0 і u n монотонна функція, наприклад, монотонно зростаюча функція. Тоді 1 \u003d α b α u n + α α b α u n 1 + α \u003d \u003d α b α (u n + α u n 1 + α) 0, т. Е. Також монотонно зростаюча функція. Таким чином, схема (.4) зберігає монотонність. Повернемося знову до прімерам.1 і., Причому тепер не будемо припускати, що a\u003e 0. протипотоковому схема для рівняння (.1) при довільному знаку коефіцієнта a виглядає так: де un Перепишемо її у вигляді (.4) + a + un un 1 a + \u003d a + a + a un +1 un, a \u003d a a. \u003d 0, (.9) де \u003d b 1 u n 1 + b 0 u n + b 1 u n +1, (.10) b 1 \u003d æa +, b 0 \u003d 1 æ a, b 1 \u003d æa. При виконанні умови стійкості a æ 1 (.11) всі ці коефіцієнти невід'ємні. Крім того, вони є постійними, тому, згідно теореме.1, протипотоковому схема (.9) зберігає монотонність рішення за умови (.11). Схема Лакса Вендроффа стійка при тому ж умови (.11), що і протипотоковому схема, і її можна записати у вигляді (.10) з коефіцієнтами (.6), звідки видно, що за умови a æ< 1 один из 30

32 коефіцієнтів b 1 або b 1 від'ємний. Згідно теореме.1, це означає, що схема Лакса Вендроффа, що має другий порядок апроксимації по і, не зберігає монотонність чисельного рішення. Але, можливо, існують інші схеми другого порядку апроксимації, які мають властивість монотонності. Виявляється, що таких схем немає. В роботі показано, що для лінійного рівняння переносу (.1) неможливо побудувати монотонну схему з постійними коефіцієнтами другого порядку апроксимації ... Розглянемо тепер схему (.4) зі змінними коефіцієнтами b α. Чи буде для таких схем умова (.7) невід'ємності коефіцієнтів достатнім для збереження монотонності чисельного рішення? Виявляється, немає. Наведемо характерний приклад. Прімер.3. Нехай вирішується завдання Коші для рівняння u t + a (x) u x \u003d 0, (.1) де a (x) строго зростаюча позитивна обмежена функція: 0< a(x) < 1 и a > 0. Візьмемо для вирішення цього завдання схему зі змінними коефіцієнтами 0, 5 (u n +1 +) un 1 + a u n +1 un 1 \u003d 0, (.13) де a \u003d a (x), x вузол рівномірної сітки. Виписана схема є аналогом схеми Лакса (1.46), яка зберігає монотонність чисельного рішення (див. Задачу.1). Будемо вважати, що для будь-якого виконана умова æa< 1, (.14) гарантирующее устойчивость схемы (.13) в равномерной норме по начальным данным: C u 0 C. (.15) Запишем схему (.13) в виде (.4): = b 1, u n 1 + b 1, u n +1, (.16) где b 1, = 1 + æa, b 1, = 1 æa, 31

33 при цьому коефіцієнти b α забезпечені додатковим індексом, оскільки вони є змінними коефіцієнтами і змінюються при переході від одного вузла до іншого. В силу умови (.14) обидва коефіцієнта позитивні, проте схема (.13) не зберігається монотонність чисельного рішення. Справді, взявши монотонно зростаючу функцію (u n 0,< 0, = 1, 0, убеждаемся, что на (n + 1)-м слое по времени имеет место равенство = 0, при < 1, b 1, 1, при = 1, b 1,0, при = 0, 1, при 1. Но b 1, 1 > b 1,0, тому сіткова функція зростаючій. не є монотонно Наведений приклад показує, що для схем зі змінними коефіцієнтами повинні використовуватися інші ознаки монотонності, ніж ознака (.7), зазначений в теореме.1. Теорема .. Нехай коефіцієнти різницевої схеми \u003d b 1, un 1 + b 0, un + b 1, un +1 (.17) задовольняють в кожному вузлі x умові Тоді виконання при всіх умов b 1, + b 0, + b 1 , \u003d 1. (.18) b ± 1, 0, b 1, + b 1, 1 1 (.19) необхідно і достатньо для того, щоб схема (.17) зі змінними коефіцієнтами зберігала монотонність чисельного рішення. Доведення. Запишемо схему (.17) зі змінними коефіцієнтами, що задовольняють умові (.18), в наступному вигляді: \u003d u n b 1, (u n u n 1) + b1, (u n +1 u n). (.0) 3

34 Тоді +1 \u003d un +1 b 1, + 1 (u n +1 u n) + b1, + 1 (u n + u n +1). Отже, +1 un + 1 \u003d (un +1 un) (1 b 1, + 1 b 1,) + (+ b 1, + 1 un + un (+1) + b 1, unun) (.1) 1. Необхідність. Нехай схема (.17) монотонна. Доведемо, що її коефіцієнти задовольняють нерівності (.19). Припустимо, що це не так і якісь з умов (.19) не виконуються в деякому вузлі x 0, наприклад b 1,0< 0. Положим Из (.1) тогда следует u n = { 0, если < 0, 1, если un+1 0 = b 1,0 < 0, т. е. функция не является монотонно возрастающей, что противоречит исходному предположению о монотонности схемы (.17). Аналогично проверяются и остальные неравенства в (.19). Достаточность. Пусть в каждом узле x коэффициенты схемы (.17) удовлетворяют неравенствам (.19) и функция u n является монотонной, например монотонно возрастающей. Тогда из равенства (.1) следует, что функция также будет монотонно возрастающей функцией. Теорема доказана. Нетрудно проверить, что коэффициенты схемы (.16) не удовлетворяют второму из условий (.19) теоремы.3, поэтому эта схема не является схемой, сохраняющей монотонность численного решения. Дадим другую формулировку теоремы.. Теорема.3. Для того чтобы конечно-разностная схема u n + C 1/ un x, 1/ C+ +1/ un x,+1/ = 0, (.) сохраняла монотонность численного решения, необходимо и достаточно выполнение при всех условий где æ = /, u n x,+1/ = un +1 un C ± +1/ 0, C +1/ + C+ +1/ 1 æ, (.3). 33

35 Д о к а з а т е л ь с т в о. Схему (.) Можна переписати у вигляді (.17), при цьому b 1, \u003d æc 1 /, b 1, \u003d æc + + 1 /, b 0, \u003d 1 æc 1 / æc + + 1 /. Тоді для коефіцієнтів b α виконується рівність (.18), а умови (.19) еквівалентні умовам (.3). Зауваження. У роботі доведено, що виконання нерівностей (.3) досить для того, щоб схема (.) Була TVD-схемою (Total Variation Diminising Sceme), т. Е. Схемою, рішення un якої при будь-якому n 0 задовольняє умові незростання повної варіації TV () TV (un), (.4) де під повною варіацією сіткової функції un розуміється величина TV (un) \u003d \u003d un +1 u n. (.5) В даний час TVD-схеми і їх різноманітні модифікації застосовуються при вирішенні багатьох завдань з розривними рішеннями. Причина настільки великої популярності цих методів полягає в тому, що вони дають неосціллірующіе профілі рішення, високу можливість розв'язання в області розривів і зберігають високу точність в областях гладкості рішення. Сучасні TVD-схеми високого порядку апроксимації засновані на тих чи інших способах відновлення (реконструкції) значень функцій на межі комірок за їх значенням в центрах сусідніх осередків. При цьому шаблон схеми є змінним і залежить від поведінки чисельного рішення. Алгоритми реконструкції грунтуються на використанні спеціальних обмежувачів потоків, які будуються так, щоб схема з обмежувачами володіла TVDсвойством (.4) .. 3. Монотонізація схеми Лакса Вендроффа. Якщо початкова функція при t \u003d 0 задана у вигляді сходинки, то на наступних шарах за часом ми будемо отримувати по схемі Лакса Вендроффа сходинку, спотворену осцилляциями (див. Рис. 4). Але виявляється, що схему Лакса Вендроффа можна модифікувати так, щоб вона стала володіти 34

36 TVD-властивістю (.4), а отже, відповідно до теореме.3, стала б схемою, що зберігає монотонність чисельного рішення. Однак коефіцієнти модифікованої схеми вже не будуть постійними, вони можуть залежати від рішення на n-м шарі, Т. Е. Модифікована схема буде нелінійної. Розглянемо рівняння переносу (.1) в разі a \u003d const\u003e 0 Схема Лакса Вендроффа (1.50) може бути переписана так чи un + a un x, + 1 / + un x, 1 / a () unx, + 1 / un x, 1 / \u003d 0, (.6) або un + au nx, 1 / + a (1 aæ) un x, + 1 / un x, 1 / un \u003d 0, (.7) + au nx, \u003d a (1 aæ) un xx ,. (.8) П. д. П. (1.79) протипотоковому схеми містить в правій частині дисипативний член 0, 5a (1 aæ) u xx, а в поданні (.8) такий же дисипативний член в разностной формі має протилежний знак. Таким чином, схема Лакса Вендроффа представляється у вигляді монотонної схеми з спрямованої проти потоку різницею, доповненої так званим антидифузійним членом, який усуває дисипативний член в п. Д. П. Протипотоковому схеми, перетворюючи її в схему Лакса Вендроффа. Зменшуючи Антидифузійний член в місцях можливої \u200b\u200bпояви осциляцій, можна спробувати запобігти їх. Регулювати Антидифузійний член в схемі Лакса Вендроффа (.7) будемо з допомогою функції-обмежувача Φ (ξ) деякого аргументу ξ: un + au nx, 1 / + a (1 aæ) ((Φu nx) + 1 / (Φu nx) 1 /) \u003d 0. (.9) Якщо Φ 0, то маємо монотонну протипотоковому схему першого порядку апроксимації. Якщо ж Φ 1, то отримуємо схему Лакса Вендроффа другого порядку апроксимації на гладких рішеннях, але осцилюють на розривних рішеннях. 35

37 В разностной схемою (.9) Φ + 1 / \u003d Φ (ξ + 1 /). Як дискретного аргументу ξ + 1 / виберемо величину unx, 1 / ξ + 1 / \u003d un при unx, + 1/0, x, + 1 / (.30) 1 при unx, + 1 / \u003d 0. На осцилюють вирішенні ставлення unx, 1 / / un x, + 1 / стає негативним, тому при ξ + 1 /< 0 полагаем, что Φ +1/ = 0. Далее будем считать, что функция Φ = Φ(ξ) непрерывного аргумента ξ также принимает нулевые значения при ξ < 0. Более того, предполагая, что функция-ограничитель является непрерывной, полагаем, что Φ(ξ) 0 при всех ξ 0. Далее рассмотрим случай, когда ξ +1/ > 0. Будемо підбирати функцію-обмежувач таким чином, щоб схема задовольняла TVDусловію (.3) і зберігала другий порядок апроксимації на гладких рішеннях. Для цього перетворимо модифіковану схему Лакса Вендроффа (.9) до виду (.): Або un + au nx, 1 / + a (1 aæ) ((Φ ξ un [+ a aæ ((Φ) ξ) + 1 / + 1 / Φ 1 /) unx, 1 / \u003d 0, Φ 1 /)] unx, 1 / \u003d 0. Таким чином, коефіцієнти схеми (.9), записаної у вигляді (.), визначаються за формулами [C + +1 / \u003d 0, C 1 / \u003d a aæ ((Φ))] ξ Φ 1 /. + 1 / Згідно теореме.3, умова 0 C 1/1 æ (.31) буде гарантувати, що схема Лакса Вендроффа з введеної в неї функцією-обмежувачем буде зберігати монотонність чисельного рішення. Далі ми припускаємо, що умова стійкості схеми Лак- 36

38 са Вендроффа виконано, т. Е. Aæ 1. Тоді для того щоб нерівності (.31) були справедливими для всіх aæ 1, необхідно і достатньо виконання нерівностей (Φ) ξ + 1 / Φ 1 /, а для цього достатньо вимагати виконання для всіх наступних нерівностей: (Φ) 0, 0 Φ + 1 /. ξ + 1 / Область в площині змінних Φ і ξ, в якій виконуються ці нерівності, зображена на рис. 5, а. Якщо графік функції Φ \u003d Φ (ξ) лежить в цій області, то модифікована схема (.9) буде зберігати монотонність чисельного рішення. Φ Φ \u003d Φ Φ \u003d Φ \u003d ξ Φ \u003d ξ Φ \u003d ξ 1 + 1 Φ \u003d а ξ б ξ Рис. 5. а в заштрихованої області модифікована схема Лакса Вендроффа (.9) є TVD-схемою; б в області з подвійним штрихуванням модифікована схема Лакса Вендроффа є TVD-схемою другого порядку апроксимації Отже, далі будемо вважати, що Φ (ξ) \u003d 0 при ξ 0, 0 Φ (ξ) min (, ξ) при ξ\u003e 0. ( .3) Досліджуємо тепер порядок апроксимації модифікованої схеми, припускаючи, що безперервна функція Φ \u003d Φ (ξ) задовольняє 37

39 наступним додатковим обмеженням: Φ (ξ 1) Φ (ξ) L ξ 1 ξ, ξ 1, ξ, (.33) Φ (1) \u003d 1, (.34) т. Е. Вимагатимемо, щоб функція Φ \u003d Φ (ξ) задовольняла умові Ліпшиця з деякою постійною L\u003e 0 і графік цієї функції проходив через точку (1, 1). Перепишемо модифіковану схему Лакса Вендроффа (.9) у вигляді вихідної схеми Лакса Вендроффа (.7) з додатковим членом де un + au nx, 1 / + a (1 aæ) (unx, + 1 / un x, 1 /) + + a (1 aæ) Rn \u003d 0, (.35) R n \u003d (Φ + 1/1) unx, + 1 / (Φ 1/1) unx, 1 /. (.36) Нехай u \u003d u (x, t) досить гладке рішення задачі Коші (.1), (.). Підставами це рішення в вираз (.36), зберігши в ньому всі перші позначення, але з огляду на, що тепер u n x, + 1 / \u003d u (x +1, t n) u (x, t n). (.37) Очевидно, що якщо на n-м шарі за часом функція u (x, tn) є лінійною, u (x, tn) \u003d Bx + C, то R n 0. Використовуючи умови (.33), (. 34), неважко перевірити, що для квадратичної функції u (x, t n) \u003d Ax + Bx + C (A 0) рівність R n \u003d O () має місце для всіх вузлів довільного числового проміжку (α, β), що не містить точку екстремуму x \u003d B / A. У загальному випадку справедливо наступне твердження. Лемма.1. Нехай виконані умови (.33), (.34) і досить гладке рішення задачі Коші (.1), (.) Задовольняє на деякому числовому відрізку [α, β] умові ux (x, tn) 0 x [α, β] . (.38) Тоді R n \u003d O () x (α, β). (.39) 38

Різницеві схеми для нелінійних задач. Квазілінійну рівняння переносу. Для чисельного рішення нелінійних задач в різних ситуаціях використовують як лінійні, так і нелінійні схеми. стійкість відповідних

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ Новосибірський державний університет Механіко-математичний факультет Г. С. Хакімзянов Ігор Євгенович, С. Г. Чорний МЕТОДИ ОБЧИСЛЕНЬ Частина 3. Чисельні методи розв'язання задач

Теорія стійкості різницевих схем 1 Стійкість рішення задачі Коші за початковими даними і правій частині Нехай B Банахів (тобто повне нормоване) простір функцій, заданих в деякій області

Основні поняття теорії різницевих схем. Приклади побудови різницевих схем для початково-крайових задач. Велика кількість завдань фізики і техніки призводить до крайовим або начальнокраевим завданням для лінійних

Диференційне рівняння. 1999. Т.35. 6. С.784-792. УДК 517.957 однозначно вирішується КРАЙОВИХ ЗАВДАНЬ ДЛЯ еліптичних рівнянь з нелінійним Ю. В. Жерновий 1. Введення. Постановка задачі. найбільш

Разностная апроксимація початково-крайової задачі для рівняння коливань. Явна (схема «хрест») і неявна різницеві схеми. Розглянемо кілька варіантів разностной апроксимації лінійного рівняння коливань:

Глава IV. Перші інтеграли систем ОДУ 1. Перші інтеграли автономних систем звичайних диференціальних рівнянь В цьому параграфі будемо розглядати автономні системи виду f x \u003d f 1 x, f n x C 1

Разностная апроксимація початково-крайової задачі для рівняння теплопровідності. Поняття явною і неявній схеми. 1 Разностная апроксимація рівняння теплопровідності Розглянемо різні варіанти разностной

Теорія стійкості різницевих схем 1 операторної-різницеві схеми 1.1 Введення Нехай B Банахів (тобто повне нормоване) простір функцій, заданих в деякій області G R m, і нехай u (t) абстрактна

Рівняння переносу. Схеми «біжить» рахунки Розглянемо ряд найбільш часто використовуваних різницевих схем, що апроксимують початково-крайові задачі для лінійного рівняння переносу: u t + c (x, t) u x \u003d f (x,

Скалько Юрій Іванович Цибулін Іван Шевченко Олександр Хвильовий рівняння другого порядку Хвильовий рівняння в формі рівняння другого порядку запісаивается як 2 u t 2 \u003d c2 2 u x 2 + f Доповнимо рівняння

МЕТОДИ ОБЧИСЛЕНЬ Лектори: проф. Б. І. Квасов, проф. Г. С. Хакімзянов Ігор Євгенович 5 6 семестри 1. математичні моделі і обчислювальний експеримент. Класифікація рівнянь математичної фізики. приклади коректних

Різницеві схеми для рівняння коливань в багатовимірному випадку Для багатовимірних рівнянь коливань можна скласти аналог схеми «хрест» і неявної схеми. При цьому явна схема «хрест» так само, як і в одновимірному

Основні способи просторової дискретизації Метод кінцевих різниць. Шукані величини значення змінних в деяких точках, вузлах конечноразностной сітки. Помилка зменшується як N, де крок сітки

Рівняння В алгебрі розглядають два види рівності тотожності і рівняння Тотожність це рівність яке виконується при всіх допустимих) значеннях вхідних в нього букв Для тотожності використовують знаки

Найпростіші способи дослідження різницевих схем на стійкість Нагадаємо, що різницева схема L h y h \u003d φ h (x), x ω h, l h y h \u003d χ h (x), x γ h, апроксимуюча крайову або початково-крайову задачу Lu

ГЛАВА СТІЙКІСТЬ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ В цьому розділі досліджується стійкість самого простого класу диференціальних систем лінійних систем Зокрема, встановлюється, що для лінійних систем з постійними

Сибірський математичний журнал січня лютого, 2001. Том 42, 1 УДК 517.929 МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ СТІЙКОСТІ СИСТЕМ З ЛІНІЙНИМ запізнювання Б. Г. Гребенщиков Анотація: Викладено методи дослідження асимптотичної

Глава 1 Диференціальні рівняння 1.1 Поняття про диференціальному рівнянні 1.1.1 Завдання, що призводять до диференціальних рівнянь. У класичній фізиці кожної фізичної величиною ставиться у відповідність

ЛЕКЦІЇ 8 9 Теорема Хіллі Іосіда S 3. Визначення та елементарні властивості максимальних монотонних операторів Усюди протягом цих двох лекцій символом H позначено гільбертовому просторі зі скалярним

Федеральне агентство з освіти Федеральне державне освітній заклад вищої професійної освіти ПІВДЕННИЙ федеральний університет Р. М. Гаврилова, Г. С. Костецька Методичні

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. Êðèùåíêî

Модуль Тема Функціональні послідовності і ряди Властивості рівномірної збіжності послідовностей і рядів Статечні ряди Лекція Визначення функціональних послідовностей і рядів Рівномірно

Диференціальні рівняння першого порядку дозволені щодо похідної Теорема існування та єдиності розв'язку У загальному випадку диференціальне рівняння першого порядку має вигляд F ()

ГЛАВА: Метод кінцевих різниць. Лекція 5: Стійкість різницевих схем (10 слайдів, 6 малюнків) Слайд 1: Класифікація РС за типами стійкості. За типами стійкості виділяють наступні РС: абсолютно

МОСКОВСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ цивільної авіації В.М. Любимов, Е.А. Жукова, В.А. Ухова, Ю.А. Шуринов М А Т Е М А Т И К А Р Я Д И ПОСІБНИК з вивчення дисципліни та контрольні завдання

Лекція 9 Лінеаризація діффе6ренціальних рівнянь Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків Однорідні рівняння властивості їх рішень Властивості рішень неоднорідних рівнянь Визначення 9 Лінійним

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ МОСКОВСЬКИЙ державний технічний університет Інститут Фундаментального Освіти Факультет Загальнонауковий Кафедр - ФОК Коливання нескінченної струни. Формула Даламбера.

Лекція 3 Теорема існування і єдиності рішення скалярного рівняння Постановка завдання Основний результат Розглянемо задачу Коші d f () d \u003d, () \u003d Функція f (,) задана в області G площині (,

Методи побудови різницевих схем Однорідні схеми для рівняння другого порядку зі змінними коефіцієнтами Під однорідними різницевими схемами розуміються різницеві схеми, вид яких не залежить ні

ВАРІАЦІЯ І екстремум функціонал А. Н. М'який Інтегральні рівняння та варіаційне числення Лекція Нехай заданий функціонал V \u003d V, y (x) M E. Зафіксуємо функцію y (x) M. Тоді будь-яку іншу функцію

Економічні різницеві схеми для багатовимірних задач математичної фізики. Схема змінних напрямків для початково-крайової задачі для рівняння теплопровідності в прямокутнику. Як уже було показано

ПОНЯТТЯ ПОХІДНОЇ ФУНКЦІЇ Нехай маємо функцію певну на безлічі X і нехай точка X - внутрішня точка ті точка для якої існує околиця X Візьмемо будь-яку точку і позначимо через називається

Рівняння гіперболічного типу. Коливання нескінченної і полубесконечной струни. Метод Фур'є метод Фур'є Стоячі хвилі 4 Лекція 4.1 Рівняння гіперболічного типу. Коливання нескінченної і полубесконечной

Попередні дані теорії різницевих схем 1 Формули підсумовування по частинах і різницеві формули Гріна для сіткових функцій Отримаємо ряд співвідношень, які в подальшому будемо використовувати при дослідженні

Лекція 8 4 Завдання Штурма-Ліувілля Розглянемо початково-крайову задачу для диференціального рівняння в приватних похідних другого порядку описує малі поперечні коливання струни Струна розглядається

II ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ Диференціальні рівняння першого порядку Визначення Співвідношення, в яких невідомі змінні і їх функції перебувають під знаком похідної або диференціала, називаються

Лекція 5 5 Теорема існування та єдиності розв'язку задачі Коші для нормальної системи ОДУ Постановка завдання Завдання Коші для нормальної системи ОДУ x \u003d f (, x), () полягає у знаходженні рішення x \u003d

Укладач ВПБелкін 1 Лекція 1 Функція декількох змінних 1 Основні поняття Залежність \u003d f (1, n) змінної від змінних 1, n називається функцією n аргументів 1, n Надалі будемо розглядати

Глава 4. ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ ТА ЇХ СИСТЕМ В цьому розділі розглядаються основні чисельні методи розв'язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь

Методи рішення сіткових рівнянь 1 Прямі та ітераційні методи В результаті разностной апроксимації крайових задач математичної фізики виходять СЛАР, матриці яких мають такі властивості:

Опис обчислювальних моделейequatio Capter Sectio .. Різницеві схеми для рівнянь параболічного типу Розглянемо спочатку найпростіше рівняння теплопровідності: u, t uxx cost (.) Рис .. Введемо в області

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Державна освітня установа вищої професійної освіти «НАЦІОНАЛЬНИЙ ДОСЛІДНИЙ МІНІСТЕРСТВО ПОЛІТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ»

Завдання Коші для хвильового рівняння. Формула Даламбера 37, 438, I, II, 385, 439, 445, 37, III, IV, 37, 446 .. 37 Знайти загальне рішення рівняння u tt a u xx ..) Крок. Знаходимо заміну змінних Спосіб через

Методичні вказівки до розрахункового завдання з курсу ВИЩОЇ МАТЕМАТИКИ «ЗВИЧАЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ ЛАВИ ПОДВІЙНЕ інтеграли» ЧАСТИНА Ш ТЕМА ЛАВИ Зміст Ряди Числові ряди Збіжність і розбіжність

Кафедра математики та інформатики Елементи вищої математики Навчально-методичний комплекс для студентів СПО, що навчаються із застосуванням дистанційних технологій Модуль Диференціальне числення Укладач:

ГЛАВА. СТІЙКІСТЬ ЛІНІЙНИХ СИСТЕМ 8 ступінь зі знаком +, з отриманого слід, що () π зростає від до π. Отже, складові φ i () і k () +, т. Е. Вектор (i) φ монотонно φ монотонно зростають при

ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ ÌÃÒÓ Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Факультет «Фундаментальні науки» Кафедра «Математичне моделювання» À.Í. Êàíàòíèêîâ,

Глава 6 Основи теорії стійкості Лекція Постановка завдання Основні поняття Раніше було показано, що рішення задачі Коші для нормальної системи ОДУ \u003d f, () у безперервний спосіб залежить від початкових умов при

Глава 9. Чисельні методи. Лекція 4. Різницевий метод Ейлера розв'язування задачі Коші для диференціальних рівнянь .. Диференціальна і різницева завдання Ейлера. Визначення. Диференціальної завданням Ейлера

ДИФЕРЕНЦІЙНЕ РІВНЯННЯ загальні поняття Диференціальні рівняння мають численні і найрізноманітніші додатки в механіці фізики астрономії техніці і в інших розділах вищої математики (наприклад

Лінійні і нелінійні рівняння фізики Рівняння Лапласа в полярній системі координат. Старший викладач кафедри ВММФ Левченко Євген Анатолійович 518 Глава 5. Рівняння еліптичного типу 25.2. поділ

Лекція 3 Стійкість рівноваги і руху системи При розгляді сталих рухів рівняння обуреного руху запишемо у вигляді d dt A Y де вектор-стовпець квадратна матриця постійних коефіцієнтів

Числові ряди Числова послідовність Опр числовою послідовністю називають числову ф-цію, визначену на множині натуральних чисел х - загальний член послідовності х \u003d, х \u003d, х \u003d, х \u003d,

5 Статечні ряди 5 Статечні ряди: визначення, область збіжності Функціональний ряд виду (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) де, a, a, K, a, k деякі числа, називають статечним рядом числа

Міністерство освіти Російської Федерації МАТИ - Російський державний технологічний університет ім До Е ЦІОЛКОВСЬКОГО Кафедра Вища математика В В Горбацевич До Ю Осипенко Рівняння з приватними