Номінок чисел - найбільший загальний дільник і найменше загальне кратне кількох чисел. Нод і нок трьох і більше чисел Над визначення приклади

Визначення.Найбільше натуральне число, яке діляться без залишку числа а і b, називають найбільшим спільним дільником (НДД)цих чисел.

Знайдемо найбільший спільний дільник чисел 24 та 35.
Дільниками 24 будуть числа 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а дільниками 35 будуть числа 1, 5, 7, 35.
Бачимо, що числа 24 і 35 мають лише один спільний дільник – число 1. Такі числа називають взаємно простими.

Визначення.Натуральні числа називають взаємно простимиякщо їх найбільший спільний дільник (НОД) дорівнює 1.

Найбільший спільний дільник (НДД)можна знайти, не виписуючи всіх дільників цих чисел.

Розкладемо на множники числа 48 і 36, отримаємо:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
З множників, що входять до розкладання першого з цих чисел, викреслимо ті, які не входять до розкладання другого числа (тобто дві двійки).
Залишаються множники 2 * 2 * 3. Їх добуток дорівнює 12. Це число і є найбільшим спільним дільником чисел 48 і 36. Також знаходять найбільший спільний дільник трьох і більше чисел.

Щоб знайти найбільший спільний дільник

2) з множників, що входять до розкладання одного з цих чисел, викреслити ті, які не входять до розкладання інших чисел;
3) знайти виробництво множників, що залишилися.

Якщо всі дані числа діляться одне з них, це число і є найбільшим спільним дільникомданих чисел.
Наприклад, найбільшим загальним дільником чисел 15, 45, 75 і 180 буде число 15, тому що на нього діляться всі інші числа: 45, 75 та 180.

Найменше загальне кратне (НОК)

Визначення. Найменшим загальним кратним (НОК)натуральних чисел а та b називають найменше натуральне число, яке кратне і a та b. Найменше загальне кратне (НОК) чисел 75 і 60 можна знайти і не виписуючи кратні поспіль цих чисел. Для цього розкладемо 75 і 60 на прості множники: 75 = 3*5*5, а 60 = 2*2*3*5.
Випишемо множники, що входять у розкладання першого з цих чисел, і додамо до них множники 2 і 2, що відсутні, з розкладання другого числа (тобто об'єднуємо множники).
Отримуємо п'ять множників 2*2*3*5*5, добуток яких дорівнює 300. Це число є найменшим загальним кратним чисел 75 та 60.

Також знаходять найменше загальне кратне для трьох і більше чисел.

Щоб знайти найменше загальне кратнекількох натуральних чисел, треба:
1) розкласти їх у прості множники;
2) виписати множники, що входять до розкладання одного з чисел;
3) додати до них множники, що відсутні, з розкладів інших чисел;
4) знайти добуток множників, що вийшли.

Зауважимо, що й одне з даних чисел ділиться попри всі інші числа, це число і є найменшим загальним кратним даних чисел.
Наприклад, найменшим загальним кратним чисел 12, 15, 20 і 60 буде число 60, оскільки воно поділяється на всі ці числа.

Піфагор (VI ст. до н. е.) та його учні вивчали питання про подільність чисел. Число, що дорівнює сумі всіх його дільників (без самого числа), вони називали досконалим числом. Наприклад, числа 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) вчинені. Наступні досконалі числа - 496, 8128, 33550336. Піфагорійці знали тільки перші три досконалих числа. Четверте – 8128 – стало відомо в I ст. н. е. П'яте - 33550336 - було знайдено в XV ст. До 1983 було відомо вже 27 досконалих чисел. Але досі вчені не знають, чи є непарні досконалі числа, чи є найбільше досконале число.
Інтерес древніх математиків до простим числам пов'язані з тим, що будь-яке число або просте, чи то, можливо представлено як твори простих чисел, т. е. прості числа - це хіба що цеглинки, у тому числі будуються інші натуральні числа.
Ви, напевно, звернули увагу, що прості числа у ряді натуральних чисел зустрічаються нерівномірно – в одних частинах ряду їх більше, в інших – менше. Але що далі ми просуваємося по числовому ряду, то рідше зустрічаються прості числа. Виникає питання: чи існує останнє (найбільше) просте число? Давньогрецький математик Евклід (III ст. до н. е.) у своїй книзі «початку», яка була протягом двох тисяч років основним підручником математики, довів, що простих чисел нескінченно багато, тобто за кожним простим числом є ще більше просте число.
Для віднайдення простих чисел інший грецький математик того ж часу Ератосфен придумав такий спосіб. Він записував усі числа від 1 до якогось числа, а потім викреслював одиницю, яка не є ні простим, ні складовим числом, потім викреслював через одне усі числа, що йдуть після 2 (числа, кратні 2, тобто 4, 6 , 8 і т. д.). Першим числом, що залишилося після 2 було 3. Далі викреслювалися через два всі числа, що йдуть після 3 (числа, кратні 3, тобто 6, 9, 12 і т. д.). зрештою залишалися невикресленими лише прості числа.

Для знаходження НОД (найбільшого спільного дільника) двох чисел необхідно:

2. Знайти (підкреслити) всі загальні прості множники отриманих розкладаннях.

3. Знайти добуток загальних простих множників.

Для знаходження НОК (найменшого загального кратного) двох чисел необхідно:

1. Розкласти ці числа на прості множники.

2. Розкладання одного з них доповнити тими множниками розкладання іншого числа, яких немає у розкладанні першого.

3. Обчислити добуток отриманих множників.

Знаходження НІД

НОД – це найбільший спільний дільник.

Щоб знайти найбільший спільний дільник кількох чисел необхідно:

• визначити множники, загальні обох чисел;
• знайти добуток загальних множників.

Приклад знаходження НОД:

Знайдемо НОД чисел 315 та 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Випишемо множники, спільні для обох чисел:

3. Знайдемо твір спільних множників:

НОД(315; 245) = 5 * 7 = 35.

Відповідь: НОД(315; 245) = 35.

Знаходження НОК

НОК – це найменше загальне кратне.

Щоб знайти найменше загальне кратне кількох чисел необхідно:

• розкласти числа на прості множники;
• виписати множники, що входять до розкладання одного з чисел;
• допишемо до них множники, що бракують, з розкладання другого числа;
• знайти твір множників, що вийшли.

Приклад знаходження НОК:

Знайдемо НОК чисел 236 та 328:

1. Розкладемо числа на прості множники:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Випишемо множники, що входять до розкладання одного з чисел і допишемо до них множники, що не вистачають з розкладання другого числа:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Знайдемо твір множників, що вийшли:

НОК(236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Відповідь: НОК(236; 328) = 19352.

Найбільший спільний дільник – це ще один показник, що дозволяє спростити роботу з дробами. Дуже часто в результаті обчислень виходять дроби з дуже великими значеннями чисельника та знаменника. Скорочувати поетапно такі числа можна, але це дуже довго, тому простіше одразу знайти НОД та скоротити на нього. Розберемося у темі докладніше.

Що таке НОД?

Найбільший спільний дільник (НОД) ряду чисел - це найбільше число, на яке можна розділити кожне з чисел ряду.

Як знайти НОД?

Для того, щоб знайти НОД, необхідно кожне з чисел розкласти на прості множники і виділити загальну частину.

Спеціальної формули для цього не вигадали, зате є алгоритм обчислення.

Наведемо приклад знаходження найбільшого загального дільника двох натуральних чисел: 540 та 252. Розкладемо 640 на прості множники. Послідовність дій така:

• Ділимо число на найменший із можливих простих чисел. Тобто, якщо число можна поділити на 2, 3 чи 5, то спочатку потрібно ділити на 5. Просто, щоб не заплутатися.
• Результат, що вийшов, ділимо на найменше з можливих простих чисел.
• Повторюємо поділ кожного отриманого результату, доки отримаємо просте число.

Тепер проведемо ту саму процедуру на практиці.

• 540: 2=270
• 270:2=135
• 135: 3 =45
• 45: 3=15
• 15: 5 = 3

Запишемо результат як рівності 540=2*2*3*3*3*5. Для того, щоб записати результат, потрібно останнє число помножити на всі дільники.

Аналогічно надійдемо з числом 252:

• 252: 2=126
• 126: 2=63
• 63: 3=21
• 21: 3 = 7

Запишемо результат: 252 = 2 * 2 * 3 * 3 * 7.

У кожному розкладанні є однакові числа. Знайдемо їх, це два числа 2 та два числа 3. Відрізняються лише 7 та 3*5.

Щоб знайти НОД потрібно перемножити загальні множники. Тобто у творі буде дві двійки та дві трійки.

НОД = 2 * 2 * 3 * 3 = 36

Як це можна використовувати?

Завдання: скоротити дріб $$252\over540$$.

НОД для цих двох чисел ми вже знаходили, тепер просто скористаємося вже порахованим значенням.

Скоротимо чисельник і знаменник дробу на 36 і отримаємо відповідь.

$$(252\over540) =(7\over15)$$ - щоб швидко скоротити, достатньо подивитися на розкладання чисел.

Якщо 540=2*2*3*3*3*5, а НОД=36=2*2*3*3, то 540 = 36*3*5. І якщо поділимо 540 на 36, то отримаємо 3*5=15.

Без НОД нам довелося б в один довгий рядок писати скорочення. До того ж, трапляються випадки, коли незрозуміло, чи можна скоротити дріб взагалі. Для таких ситуацій у математиці і придумали розкладання чисел на прості множники та НОД.

Що ми дізналися?

Ми дізналися, що таке найбільший спільний дільник кількох чисел, розібралися, як можна використовувати показник на практиці, вирішили завдання на знаходження НОД та застосування НОД для скорочення дробів. Зрозуміли, що з використанням НОД можна простіше і швидше скоротити громіздкі дроби, знайшовши НОД для чисельника та знаменника.

Тест на тему

Оцінка статті

Середня оцінка: 4.3. Усього отримано оцінок: 204.

Одним із завдань, що викликають проблему у сучасних школярів, які звикли до місця і не доречно використовувати калькулятори, вбудовані в гаджети, є знаходження найбільшого загального дільника (НДД) двох і більше чисел.

Неможливо вирішити жодне математичне завдання, якщо невідомо, про що власне запитують. Для цього потрібно знати, що означає той чи інший вираз, що використовується в математиці.

Загальні поняття та визначення

Необхідно знати:

1. Якщо певне число можна використовуватиме підрахунку різних предметів, наприклад, дев'ять стовпів, шістнадцять будинків, воно є натуральним. Найменшим із них буде одиниця.
2. Коли натуральне число ділиться на інше натуральне число, то кажуть, що менше - це дільник більшого.
3. Якщо два і більше різних числа діляться на деяке число без залишку, то кажуть, що останнє буде їхнім спільним дільником (ОД).
4. Найбільший з ОД називається максимальним загальним дільником (НОД).
5. У такому разі, коли у числа є лише два натуральні дільники (воно саме і одиниця), воно називається простим. Найменше серед них - двійка, до того ж вона і єдине парне в їхньому ряду.
6. Якщо у двох чисел максимальним спільним дільником є ​​одиниця, вони будуть взаємно простими.
7. Число, у якого більше ніж два дільники, називається складовим.
8. Процес коли знаходяться всі прості множники, які при множенні між собою дадуть у творі початкове значення математики називають розкладанням на прості множники. Причому однакові множники у розкладанні можуть неодноразово зустрічатися.

У математиці прийнято такі записи:

1. Дільники Д (45) = (1; 3; 5; 9; 45).
2. ОД (8; 18) = (1; 2).
3. НОД (8; 18) = 2.

Різні способи знайти НОД

Найпростіше відповісти на запитання як знайти НОДу тому випадку, коли менша кількість є дільником більшого. Воно і буде в такому разі найбільшим спільним дільником.

Наприклад, НОД (15; 45) = 15, НОД (48; 24) = 24.

Але такі випадки в математиці є дуже рідкісними, тому для того, щоб знаходити НОД використовуються складніші прийоми, хоча перевіряти цей варіант перед початком роботи все ж таки рекомендується.

Спосіб розкладання на прості співмножники

Якщо необхідно знайти НОД двох чи більше різних чисел, достатньо розкласти кожне з них на прості співмножники, а потім зробити процес множення тих, які є в кожному з чисел.

Приклад 1

Розглянемо, як знаходити НОД 36 і 90:

1. 36 = 1*2*2*3*3;
2. 90 = 1*2*3*3*5;

НОД (36; 90) = 1 * 2 * 3 * 3 = 18.

Тепер подивимося як знаходити те саме у разі трьох чисел, Візьмемо для прикладу 54; 162; 42.

Як розкласти 36 ми вже знаємо, розберемося з рештою:

1. 162 = 1*2*3*3*3*3;
2. 42 = 1*2*3*7;

Таким чином, НОД (36; 162; 42) = 1 * 2 * 3 = 6.

Слід зазначити, що одиницю у розкладанні писати необов'язково.

Розглянемо спосіб, як просто розкладати на прості множникиДля цього ліворуч запишемо необхідну нам цифру, а праворуч будемо писати прості дільники.

Розділяти колонки можна як знаком розподілу, так і простою вертикальною рисою.

1. 36/2 продовжимо наш процес поділу;
2. 18/2 далі;
3. 9/3 і ще раз;
4. 3 / 3 сьогодні дуже просто;
5. 1 – результат готовий.

Шукане 36 = 2 * 2 * 3 * 3.

Евклідів спосіб

Цей варіант відомий людству ще з часів давньогрецької цивілізації, він багато в чому простіший, і приписується великому математику Евкліду, хоча вельми схожі алгоритми застосовувалися і раніше. Цей спосіб полягає у використанні наступного алгоритму, ми ділимо більше з залишком на менше. Потім наш дільник ділимо на залишок і продовжуємо так діяти по колу, поки не відбудеться поділ націло. Останнє значення і виявиться найбільшим спільним дільником.

Наведемо приклад використання даного алгоритму:

спробуємо з'ясувати який НОД у 816 і 252:

1. 816/252 = 3 і залишок 60. Зараз 252 розділимо на 60;
2. 252/60 = 4 у залишку цього разу виявиться 12. Продовжимо наш круговий процес, розділимо шістдесят на дванадцять;
3. 60 / 12 = 5. Оскільки цього разу жодного залишку ми не отримали, то у нас готовий результат, дванадцять буде знаходженням для нас значенням.

Отже, після завершення нашого процесу ми отримали НОД (816;252) = 12.

Дії при необхідності визначення НОД якщо задано більше двох значень

Ми вже розібралися, що робити у випадку, коли є два різні числа, тепер навчимося діяти, якщо їх є 3 і більше.

За всієї складності, дане завдання проблем у нас вже не викличе. Зараз ми вибираємо два будь-які числа та визначаємо шукане для них значення. Наступним кроком відшукуємо НОД у отриманого результату та третього із заданих значень. Потім знову діємо за вже відомим нам принципом для четвертого п'ятого і так далі.

Висновок

Отже, при великій складності поставленої перед нами спочатку завдання, насправді все просто, головне вміти виконувати безпомилково процес поділіві дотримуватися будь-якого з описаних вище алгоритмів.

Хоча обидва способи і є цілком прийнятними, у загальноосвітній школі набагато частіше застосовується перший спосіб. Це з тим, що розкладання на прості множники знадобиться щодо наступної навчальної теми - визначення найбільшого загального кратного (НОК). Але все ж таки варто ще раз помітити - застосування алгоритму Евкліда жодною мірою не може вважатися помилковим.

Відео

За допомогою відео ви зможете дізнатись, як знайти найбільший спільний дільник.

Розглянемо два основних методи знаходження НОД двома основними способами: з використанням алгоритму Евкліда та шляхом розкладання на прості множники. Застосуємо обидва методи для двох, трьох та більшої кількості чисел.

Алгоритм Евкліда для знаходження НОД

Алгоритм Евкліда дозволяє легко вирахувати найбільший спільний дільник для двох позитивних чисел. Формулювання та доказ алгоритму Евкліда ми навели у розділі «Найбільший спільний дільник: визначник, приклади».

Суть алгоритму полягає в тому, щоб послідовно проводити розподіл із залишком, у ході якого виходить ряд рівностей виду:

a = b · q 1 + r 1, 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1

Ми можемо закінчити поділ тоді, коли r k + 1 = 0, при цьому r k = НОД (a, b).

Приклад 1

64 і 48 .

Рішення

Введемо позначення: a = 64 , b = 48 .

На основі алгоритму Евкліда проведемо поділ 64 на 48 .

Отримаємо 1 і залишок 16 . Виходить, що q 1 = 1 r 1 = 16 .

Другим кроком розділимо 48 на 16 отримаємо 3 . Тобто q 2 = 3, а r 2 = 0.Таким чином, число 16 – це найбільший спільний дільник для чисел з умови.

Відповідь:НОД (64, 48) = 16 .

Приклад 2

Чому дорівнює НОД чисел 111 і 432 ?

Рішення

Ділимо 432 на 111 . Відповідно до алгоритму Евкліда отримуємо ланцюжок рівностей 432 = 111 · 3 + 99, 111 = 99 · 1 + 12, 99 = 12 · 8 + 3, 12 = 3 · 4.

Таким чином, найбільший спільний дільник чисел 111 і 432 - Це 3 .

Відповідь:НОД (111, 432) = 3 .

Приклад 3

Знайдіть найбільший спільний дільник чисел 661 та 113 .

Рішення

Проведемо послідовно розподіл чисел і отримаємо НОД (661 , 113) = 1 . Це означає, що 661 та 113 – це взаємно прості числа. Ми могли б з'ясувати це до початку обчислень, якби звернулися до таблиці простих чисел.

Відповідь:НОД (661, 113) = 1 .

Знаходження НОД за допомогою розкладання чисел на прості множники

Для того, щоб знайти найбільший спільний дільник двох чисел методом розкладання на множники, необхідно перемножити всі прості множники, які виходять при розкладанні цих двох чисел і є спільними для них.

Приклад 4

Якщо ми розкладемо числа 220 і 600 на прості множники, то отримаємо два твори: 220 = 2 · 2 · 5 · 11і 600 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5. Спільними у цих двох творах будуть множники 2, 2 та 5. Це означає, що НОД (220, 600) = 2 · 2 · 5 = 20.

Приклад 5

Знайдіть найбільший спільний дільник чисел 72 і 96 .

Рішення

Знайдемо всі прості множники чисел 72 і 96 :

72 36 18 9 3 1 2 2 2 3 3

96 48 24 12 6 3 1 2 2 2 2 2 3

Спільними для двох чисел прості множники: 2, 2, 2 та 3. Це означає, що НОД (72, 96) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24.

Відповідь:НОД (72, 96) = 24 .

Правило знаходження найбільшого загального дільника двох чисел ґрунтується на властивостях найбільшого загального дільника, згідно з яким НОД (m · a 1 , m · b 1) = m · НОД (a 1 , b 1) , де m – будь-яке ціле позитивне число.

Знаходження НОД трьох та більшої кількості чисел

Незалежно від кількості чисел, для яких нам потрібно знайти НОД, ми будемо діяти по тому самому алгоритму, який полягає в послідовному знаходженні НОД двох чисел. Засновано цей алгоритм на застосуванні наступної теореми: НОД кількох чисел a 1 , a 2 , … , a kдорівнює числу d k, яке знаходиться при послідовному обчисленні НОД (a 1 , a 2) = d 2, НОД (d 2 , a 3) = d 3 , НОД (d 3 , a 4) = d 4 , … , НОД (d k - 1 , a k) = d k .

Приклад 6

Знайдіть найбільший спільний дільник чотирьох чисел 78, 294, 570 і 36 .

Рішення

Введемо позначення: a 1 = 78 , a 2 = 294 , a 3 = 570 , a 4 = 36 .

Почнемо з того, що знайдемо НОД чисел 78 та 294: d 2 =НІД (78 , 294) = 6 .

Тепер приступимо до знаходження d 3 = НОД (d 2, a 3) = НОД (6, 570). Згідно з алгоритмом Евкліда 570 = 6 · 95 .Це означає що d 3 =НІД (6 , 570) = 6 .

Знайдемо d 4 = НОД (d 3, a 4) = НОД (6, 36). 36 ділиться на 6 без залишку. Це дозволяє нам отримати d 4 =НІД (6 , 36) = 6 .

d 4 = 6тобто НОД (78 , 294 , 570 , 36) = 6 .

Відповідь:

А тепер давайте розглянемо ще один спосіб обчислення НОД для тих та більшої кількості чисел. Ми можемо знайти НОД, перемноживши всі загальні прості множники чисел.

Приклад 7

Обчисліть НОД чисел 78, 294, 570 та 36 .

Рішення

Зробимо розкладання даних чисел на прості множники: 78 = 2 · 3 · 13, 294 = 2 · 3 · 7 · 7, 570 = 2 · 3 · 5 · 19, 36 = 2 · 2 · 3 · 3 .

Для всіх чотирьох чисел загальними простими множниками будуть числа 2 та 3.

Виходить, що НОД (78, 294, 570, 36) = 2 · 3 = 6.

Відповідь:НОД (78, 294, 570, 36) = 6 .

Знаходження НІД негативних чисел

Якщо нам доводиться мати справу з негативними числами, то знаходження найбільшого спільного дільника ми можемо скористатися модулями цих чисел. Ми можемо так вчинити, знаючи властивість чисел із протилежними знаками: числа nі - nмають однакові дільники.

Приклад 8

Знайдіть НОД негативних цілих чисел − 231 і − 140 .

Рішення

На виконання обчислень візьмемо модулі чисел, даних за умови. Це будуть числа 231 та 140 . Запишемо це коротко: НОД (− 231 , − 140) = НОД (231, 140). Тепер застосуємо алгоритм Евкліда для знаходження простих множників двох чисел: 231 = 140 · 1 + 91; 140 = 91 · 1 + 49; 91 = 49 · 1 + 42; 49 = 42 · 1 + 7 та 42 = 7 · 6. Отримуємо, що НОД (231, 140) = 7 .

А тому що НІД (− 231 , − 140) = НІД (231 , 140) , то НОД чисел − 231 і − 140 дорівнює 7 .

Відповідь:НОД (− 231 , − 140) = 7 .

Приклад 9

Визначте НОД трьох чисел − 585 , 81 та − 189 .

Рішення

Замінимо негативні числа у наведеному переліку на їх абсолютні величини, отримаємо НОД (− 585 , 81 , − 189) = НІД (585 , 81 , 189) . Потім розкладемо всі дані числа на прості множники: 585 = 3 · 3 · 5 · 13, 81 = 3 · 3 · 3 · 3 і 189 = 3 · 3 · 3 · 7. Загальними для трьох чисел є прості множники 3 та 3 . Виходить, що НОД (585 , 81 , 189) = НОД (− 585 , 81 , − 189) = 9 .

Відповідь:НОД (− 585 , 81 , − 189) = 9 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter