Основні елементарні функції, їх властивості та графіки. Ступінна функція, її властивості та графік Приклад використання степеневої функції

Ступінна функція задається формулою виду.

Розглянемо вид графіків статечної функції та властивості статечної функції залежно від значення показника ступеня.

Почнемо зі статечної функції з цілим показником a. У цьому випадку вид графіків статечних функцій та властивості функцій залежать від парності чи непарності показника ступеня, а також його знака. Тому спочатку розглянемо статечні функції при непарних позитивних значеннях показника a, далі - при парних позитивних, далі - при непарних негативних показниках ступеня, і, нарешті, при парних негативних a.

Властивості статечних функцій з дробовими та ірраціональними показниками (як і вид графіків таких статечних функцій) залежать від значення показника a. Їх розглядатимемо, по-перше, при aвід нуля до одиниці, по-друге, при aвеликих одиниці, по-третє, при aвід мінус одиниці до нуля, по-четверте, при aменших мінус одиниці.

Наприкінці цього пункту для повноти картини опишемо статечну функцію з нульовим показником.

Ступінна функція з непарним позитивним показником.

Розглянемо статечну функцію при непарному позитивному показнику ступеня, тобто при а = 1,3,5, ....

На малюнку нижче наведено графіки статечних фнукцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія, – зелена лінія. При а=1маємо лінійну функцію y=x.

Властивості статечної функції з непарним позитивним показником.

Ступінна функція з парним позитивним показником.

Розглянемо статечну функцію з парним позитивним показником ступеня, тобто при а = 2,4,6, ....

Як приклад наведемо графіки статечних функцій – чорна лінія, – синя лінія, – червона лінія. При а=2маємо квадратичну функцію, графіком якої є квадратична парабола.

Властивості статечної функції з парним позитивним показником.

Ступінна функція з непарним негативним показником.

Подивіться на графіки статечної функції при непарних негативних значеннях показника ступеня, тобто при а=-1,-3,-5,….

Ступінна функція - це функція виду y = x pде p - задане дійсне число.

Властивості статечної функції

1. Якщо показник p = 2n- парне натуральне число:
   • область визначення - всі дійсні числа, тобто множина R;
   • множина значень - невід'ємні числа, тобто y ≥ 0;
   • функція парна;
   • функція є спадною на проміжку x ≤ 0 і зростаючою на проміжку x ≥ 0.
   Приклад функції з показником p = 2n: y = x 4.


2. Якщо показник p = 2n - 1- непарне натуральне число:
   • область визначення - множина R;
   • безліч значень - множина R;
   • функція непарна;
   • функція є зростаючою на всій дійсній осі.
   Приклад функції з показником p = 2n – 1: y = x 5.


3. Якщо показник p = -2n, де n- натуральне число:
   • множина значень - позитивні числа y > 0;
   • функція парна;
   • функція зростає на проміжку x 0.
   Приклад функції з показником p = -2n: y = 1/x 2.


4. Якщо показник p = -(2n - 1), де n- натуральне число:
   • область визначення - множина R, крім x = 0;
   • безліч значень - множина R, крім y = 0;
   • функція непарна;
   • функція є меншою на проміжках x 0.
   Приклад функції з показником p = -(2n - 1): y = 1/x 3.


5. Якщо показник p- Позитивне дійсне неціле число:
   • область визначення – невід'ємні числа x ≥ 0;
   • множина значень - невід'ємні числа y ≥ 0;
   • функція зростає на проміжку x ≥ 0.
   Приклад функції з показником p де p - позитивне дійсне неціле число: y = x 4/3.


6. Якщо показник p- Негативне дійсне неціле число:
   • область визначення – позитивні числа x > 0;
   • множина значень - позитивні числа y > 0;
   • функція є спадною на проміжку x > 0.
   Приклад функції з показником p де p - негативне дійсне неціле число: y = x -1/3.

Нагадаємо властивості та графіки статечних функцій з цілим негативним показником.

При парних n, :

Приклад функції:

Усі графіки таких функцій проходять через дві фіксовані точки: (1; 1), (-1; 1). Особливість функцій цього виду - їх парність, графіки симетричні щодо осі ОУ.

Мал. 1. Графік функції

При непарних n, :

Приклад функції:

Усі графіки таких функцій проходять через дві фіксовані точки: (1; 1), (-1; -1). Особливість функцій цього виду - їх непарність, графіки симетричні щодо початку координат.

Мал. 2. Графік функції

Нагадаємо основне визначення.

Ступенем невід'ємного числа з раціональним позитивним показником називається число .

Ступенем позитивного числа з раціональним негативним показником називається число .

Для виконується рівність:

Наприклад: ; - Вираз не існує за визначенням ступеня з негативним раціональним показником; існує, тому що показник ступеня цілий,

Перейдемо до розгляду статечних функцій із раціональним негативним показником.

Наприклад:

Для побудови графіка цієї функції можна скласти таблицю. Ми зробимо інакше: спочатку побудуємо та вивчимо графік знаменника – він нам відомий (рисунок 3).

Мал. 3. Графік функції

Графік функції знаменника проходить через фіксовану точку (1; 1). При побудові графіка вихідної функції ця точка залишається, при корінь також прагне нулю, функція прагне нескінченності. І, навпаки, при прагненні х до нескінченності функція прагне нуля (рисунок 4).

Мал. 4. Графік функції

Розглянемо ще одну функцію із сімейства досліджуваних функцій.

Важливо, що за визначенням

Розглянемо графік функції, що стоїть у знаменнику: , графік цієї функції нам відомий, вона зростає у своїй області визначення і проходить через точку (1;1) (рисунок 5).

Мал. 5. Графік функції

При побудові графіка вихідної функції точка (1;1) залишається, при корінь також прагне нулю, функція прагне нескінченності. І, навпаки, при прагненні х до нескінченності функція прагне нуля (рисунок 6).

Мал. 6. Графік функції

Розглянуті приклади допомагають зрозуміти, яким чином проходить графік і які властивості функції, що вивчається - функції з негативним раціональним показником.

Графіки функцій даного сімейства проходять через точку (1;1), функція зменшується по всій області визначення.

Область визначення функції:

Функція не обмежена згори, але знизу. Функція немає ні найбільшого, ні найменшого значення.

Функція безперервна, набуває всіх позитивних значень від нуля до плюс нескінченності.

Функція опукла вниз (рисунок 15.7)

На кривій взяті точки А і В, через них проведений відрізок, вся крива знаходиться нижче відрізка, дана умова виконується для довільних двох точок на кривій, отже опукла функція вниз. Мал. 7.

Мал. 7. Випуклість функції

Важливо зрозуміти, що функції даного сімейства обмежені знизу банкрутом, але найменшого значення немає.

Приклад 1 - знайти максимум і мінімум функції на інтервалі \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty) x^(2n)\ )=+\infty \]

Графік (рис. 2).

Малюнок 2. Графік функції $f\left(x\right)=x^(2n)$

Властивості статечної функції з натуральним непарним показником

Область визначення - всі дійсні числа.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- функція непарна.

$f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

Область значення - всі дійсні числа.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Функція зростає по всій області визначення.

$f\left(x\right)0$, при $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \left(2n-1\right)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Функція увігнута, за $x\in (-\infty ,0)$ і опукла, за $x\in (0,+\infty)$.

Графік (рис. 3).

Малюнок 3. Графік функції $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Ступінна функція з цілим показником

Спочатку введемо поняття ступеня з цілим показником.

Визначення 3

Ступінь дійсного числа $a$ з цілим показником $n$ визначається формулою:

Малюнок 4.

Розглянемо тепер статечну функцію з цілим показником, її властивості та графік.

Визначення 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ називається статечною функцією з цілим показником.

Якщо ступінь більший за нуль, то ми приходимо до випадку статечної функції з натуральним показником. Його ми вже розглянули вище. При $n=0$ ми отримаємо лінійну функцію$ y = 1 $. Її розгляд залишимо читачеві. Залишилося розглянути властивості статечної функції із негативним цілим показником

Властивості статечної функції із негативним цілим показником

Область визначення - $ \ left (- \ infty, 0 \ right) (0, + \ infty) $.

Якщо показник парний, то функція парна, якщо непарна, то функція непарна.

$f(x)$ - безперервна по всій області визначення.

Область значення:

Якщо показник парний, то $(0,+\infty)$, якщо непарний, то $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

При непарному показнику функція зменшується, за $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. При парному показнику функція зменшується за $x\in (0,+\infty)$. і зростає, за $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ на всій області визначення