обчислення похідної - одна з найважливіших операцій в диференціальному обчисленні. Нижче наводиться таблиця знаходження похідних простих функцій. Більш складні правила диференціювання дивіться в інших уроках:

• Таблиця похідних експоненційних і логарифмічних функцій

Наведені формули використовуйте як довідкові значення. Вони допоможуть у вирішенні диференціальних рівнянь і задач. На зображенні, в таблиці похідних простих функцій, приведена "шпаргалка" основних випадків знаходження похідної в зрозумілому для застосування вигляді, поруч з ним дано пояснення для кожного випадку.

Похідні простих функцій

1. Похідна від числа дорівнює нулю
с'\u003d 0
приклад:
5'\u003d 0

пояснення:
Похідна показує швидкість зміни значення функції при зміні аргументу. Оскільки число не змінюється ні за яких умов - швидкість його зміни завжди дорівнює нулю.

2. похідна змінної дорівнює одиниці
x'\u003d 1

пояснення:
При кожному збільшенні аргументу (х) на одиницю значення функції (результату обчислень) збільшується на цю ж саму величину. Таким чином, швидкість зміни значення функції y \u003d x точно дорівнює швидкості зміни значення аргументу.

3. Похідна змінної і множника дорівнює цьому множнику
сx' \u003d з
приклад:
(3x) '\u003d 3
(2x) '\u003d 2
пояснення:
В даному випадку, при кожній зміні аргументу функції ( х) Її значення (y) зростає в з раз. Таким чином, швидкість зміни значення функції по відношенню до швидкості зміни аргументу точно дорівнює величині з.

Звідки випливає, що
(Cx + b) "\u003d c
тобто диференціал лінійної функції y \u003d kx + b дорівнює кутовому коефіцієнту нахилу прямої (k).

4. Похідна змінної по модулю дорівнює приватному цієї змінної до її модулю
| X | "\u003d X / | x | за умови, що х ≠ 0
пояснення:
Оскільки похідна змінної (див. Формулу 2) дорівнює одиниці, то похідна модуля відрізняється лише тим, що значення швидкості зміни функції змінюється на протилежне при перетині точки початку координат (спробуйте намалювати графік функції y \u003d | x | і переконайтеся в цьому самі. Саме таке значення і повертає вираз x / | x |. Коли x< 0 оно равно (-1), а когда x > 0 - одиниці. Тобто при негативних значеннях змінної х при кожному збільшенні зміні аргументу значення функції зменшується на точно таке ж значення, а при позитивних - навпаки, зростає, але точно на таке ж значення.

5. Похідна змінної в ступеня дорівнює добутку числа цього ступеня і змінної в ступеня, зменшеної на одиницю
(X c) "\u003d cx c-1, За умови, що x c і СX c-1, визначені а з ≠ 0
приклад:
(X 2) "\u003d 2x
(X 3) "\u003d 3x 2
Для запам'ятовування формули:
Знесіть ступінь змінної "вниз" як множник, а потім зменшіть саму ступінь на одиницю. Наприклад, для x 2 - двійка виявилася попереду ікси, а потім зменшена ступінь (2-1 \u003d 1) просто дала нам 2х. Те ж саме відбулося для x 3 - трійку "спускаємо вниз", зменшуємо її на одиницю і замість куба маємо квадрат, тобто 3x 2. Трохи »не науково", але дуже просто запам'ятати.

6. похідна дроби 1 / х
(1 / х) "\u003d - 1 / x 2
приклад:
Оскільки дріб можна представити як зведення в негативну ступінь
(1 / x) "\u003d (x -1)", тоді можна застосувати формулу з правила 5 таблиці похідних
(X -1) "\u003d -1x -2 \u003d - 1 / х 2

7. похідна дроби зі змінною довільного ступеня в знаменнику
(1 / x c) "\u003d - c / x c + 1
приклад:
(1 / x 2) "\u003d - 2 / x 3

8. похідна кореня (Похідна змінної під квадратним коренем)
(√x) "\u003d 1 / (2√x) або 1/2 х -1/2
приклад:
(√x) "\u003d (х 1/2)" означає можна застосувати формулу з правила 5
(Х 1/2) "\u003d 1/2 х -1/2 \u003d 1 / (2√х)

9. Похідна змінної під коренем довільного ступеня
(N √x) "\u003d 1 / (n n √x n-1)

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті рішення задач про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій по визначенню похідною як межі відношення приросту до приросту аргументу з'явилися таблиця похідних і точно певні правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних потрудилися Ісаак Ньютон (1643-1727) і Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згаданий вище границя відношення приросту функції до приросту аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних і правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.

Щоб знайти похідну, Треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функції і визначити, якими діями (Твір, сума, приватне) пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо в таблиці похідних, а формули похідних твори, суми і приватного - в правилах диференціювання. Таблиця похідних і правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

Приклад 1. Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, т. Е.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікси" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косинусу. Підставляємо ці значення в суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

Приклад 2. Знайти похідну функції

Рішення. Диференціюючи як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:

Якщо поки виникають питання, звідки що береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних і найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо прямо зараз.

Таблиця похідних простих функцій

1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є в вираженні функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, так як потрібно дуже часто
2. Похідна незалежної змінної. Найчастіше "ікси". Завжди дорівнює одиниці. Це теж важливо запам'ятати надовго
3. Похідна ступеня. В ступінь при вирішенні задач потрібно перетворювати неквадратні коріння.
4. Похідна змінної в ступені -1
5. Похідна квадратного кореня
6. Похідна синуса
7. Похідна косинуса
8. Похідна тангенса
9. Похідна котангенс
10. Похідна арксинуса
11. Похідна арккосинуса
12. Похідна арктангенса
13. Похідна арккотангенса
14. Похідна натурального логарифма
15. Похідна логарифмічної функції
16. Похідна експоненти
17. Похідна показовою функції

Правила диференціювання

1. Похідна суми або різниці
2. Похідна твори
2a. Похідна вираження, помноженого на постійний множник
3. Похідна приватного
4. Похідна складної функції

Правило 1. якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в тій же точці мають похідні і функції

причому

тобто похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій.

Слідство. Якщо дві диференціюються відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, Тобто

Правило 2.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в той же точці дифференцируемого і їх твір

причому

тобто похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший.

Слідство 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Слідство 2. Похідна твори кількох диференціюються дорівнює сумі творів похідною кожного із співмножників на всі інші.

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці і , то в цій точці дифференцируемого і їхня приватнаu / v, причому

тобто похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної добутку і частки в реальних задачах завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - в статті"Похідна добутку і частки функцій".

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто, число) як доданок в сумі і як постійний множник! У разі доданка її похідна дорівнює нулю, а в разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. Це типова помилка, яка зустрічається на початковому етапі вивчення похідних, але в міру рішення вже декількох одно- двоскладові прикладів середній студент цієї помилки вже не робить.

А якщо при диференціюванні твори або приватного у вас з'явилося доданок u"v , в якому u - число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа буде дорівнює нулю і, отже, все доданок дорівнюватиме нулю (такий випадок розібраний в прикладі 10).

Інша часта помилка - механічне рішення похідною складної функції як похідною простої функції. Тому похідною складної функції присвячена окрема стаття. Але спочатку будемо вчитися знаходити похідні простих функцій.

По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити в нових вікнах посібники Дії зі ступенями і корінням і Дії з дробами .

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями і корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , То йдіть на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням".

Якщо ж перед Вами завдання на зразок , То Вам на заняття "Похідні простих тригонометричних функцій".

Покрокові приклади - як знайти похідну

Приклад 3. Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: все вираз являє твір, а його співмножники - суми, в другій з яких одна з складових містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твори: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється в одиницю, а мінус 5 - в нуль. У другому вираженні "ікс" помножений на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікси". Отримуємо наступні значення похідних:

Підставляємо знайдені похідні в суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

Приклад 4. Знайти похідну функції

Рішення. Від нас вимагається знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання приватного: похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. отримуємо:

Похідну сомножителей в чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником в чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:

Якщо Ви шукаєте рішення таких задач, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів і ступенів, як, наприклад, , То ласкаво просимо на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням" .

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синусів, косинусів, тангенсів і інших тригонометричних функцій, тобто, коли функція має вигляд начебто , То Вам на урок "Похідні простих тригонометричних функцій" .

Приклад 5. Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь з незалежною змінною, з похідною якого ми ознайомилися в таблиці похідних. За правилом диференціювання твори і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Приклад 6. Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь з незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Щоб позбутися від дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на.

Початковий рівень

Похідна функції. вичерпне керівництво (2019)

Уявімо собі пряму дорогу, що проходить по горбистій місцевості. Тобто вона йде то вгору, то вниз, але вправо або ліворуч не повертає. Якщо вісь направити уздовж дороги горизонтально, а - вертикально, то лінія дороги буде дуже схожа на графік якийсь безперервної функції:

Ось - це якийсь рівень нульової висоти, в житті ми використовуємо в якості нього рівень моря.

Рухаючись вперед по такій дорозі, ми також рухаємося вгору або вниз. Також можемо сказати: при зміні аргументу (просування уздовж осі абсцис) змінюється значення функції (рух уздовж осі ординат). А тепер давай подумаємо, як визначити «крутизну» нашої дороги? Що це може бути за величина? Дуже просто: на скільки зміниться висота при досягненні ними прогресу на певну відстань. Адже на різних ділянках дороги, просуваючись вперед (уздовж осі абсцис) на один кілометр, ми піднімемося або опустимося на різну кількість метрів щодо рівня моря (уздовж осі ординат).

Просування вперед позначимо (читається «дельта ікс»).

Грецьку букву (дельта) в математиці зазвичай використовують як приставку, яка б означала «зміна». Тобто - це зміна величини, - зміна; тоді що таке? Правильно, зміна величини.

Важливо: вираз - це єдине ціле, одна змінна. Ніколи не можна відривати «дельту» від «ікси» або будь-який інший літери! Тобто, наприклад,.

Отже, ми просунулися вперед, по горизонталі, на. Якщо лінію дороги ми порівнюємо з графіком функції, то як ми позначимо підйом? Звісно, \u200b\u200b. Тобто, при досягненні ними прогресу на ми піднімаємося вище на.

Величину порахувати легко: якщо на початку ми перебували на висоті, а після переміщення виявилися на висоті, то. Якщо кінцева точка виявилася нижче початкової, буде негативною - це означає, що ми не піднімаємося, а спускаємося.

Повернемося до «крутизні»: це величина, яка показує, наскільки сильно (круто) збільшується висота при переміщенні вперед на одиницю відстані:

Припустимо, що на якійсь ділянці шляху при просуванні на км дорога піднімається вгору на км. Тоді крутизна в цьому місці рівна. А якщо дорога при просуванні на м опустилася на км? Тоді крутизна дорівнює.

А тепер розглянемо вершину якогось пагорба. Якщо взяти початок ділянки за півкілометра до вершини, а кінець - через півкілометра після нього, видно, що висота практично однакова.

Тобто, по нашій логіці виходить, що крутизна тут майже дорівнює нулю, що явно не відповідає дійсності. Просто на відстані в км може дуже багато чого змінитися. Потрібно розглядати більш дрібні ділянки для більш адекватної і точної оцінки крутизни. Наприклад, якщо вимірювати зміна висоти при переміщенні на один метр, результат буде набагато точніше. Але і цієї точності нам може бути недостатньо - адже якщо посеред дороги стоїть стовп, ми його можемо просто проскочити. Яка відстань тоді виберемо? Сантиметр? Міліметр? Чим менше тим краще!

В реальному житті вимірювати відстань з точністю до міліметра - більш ніж достатньо. Але математики завжди прагнуть до досконалості. Тому було придумано поняття нескінченно малого, Тобто величина по модулю менше будь-якого числа, яке тільки можемо назвати. Наприклад, ти скажеш: одна трильйонна! Куди вже менше? А ти поділи це число на - і буде ще менше. І так далі. Якщо хочемо написати, що величина нескінченно мала, пишемо так: (читаємо «ікс прагне до нуля»). Дуже важливо розуміти, що це число не дорівнює нулю! Але дуже близько до нього. Це означає, що на нього можна ділити.

Поняття, протилежне нескінченно малому - нескінченно велика (). Ти вже напевно сnалківался з ним, коли займався нерівностями: це число по модулю більше будь-якого числа, яке тільки можеш придумати. Якщо ти придумав найбільше з можливих чисел, просто Додай його на два, і вийде ще більше. А нескінченність ще більше того, що вийде. Фактично нескінченно велике і нескінченно мале назад один одному, тобто при, і навпаки: при.

Тепер повернемося до нашої дорозі. Ідеально порахована крутизна - це куртізна, обчислена для нескінченно малого відрізка шляху, тобто:

Зауважу, що при нескінченно малому переміщенні зміна висоти теж буде нескінченно мало. Але нагадаю, нескінченно мале - не означає рівне нулю. Якщо поділити один на одного нескінченно малі числа, може вийти цілком звичайне число, наприклад,. Тобто одна мала величина може бути рівно в рази більша за іншу.

До чого все це? Дорога, крутизна ... Ми ж не в автопробіг вирушаємо, а математику вчимо. А в математиці все точно так же, тільки називається по-іншому.

поняття похідної

Похідна функції це відношення приросту функції до приросту аргументу при нескінченно малому приріст аргументу.

збільшенням в математиці називають зміну. Те, наскільки змінився аргумент () при просуванні уздовж осі, називається приростом аргументу і позначається Те, наскільки змінилася функція (висота) при просуванні вперед уздовж осі на відстань, називається приростом функції і позначається.

Отже, похідна функції - це відношення до прі. Позначаємо похідну тієї ж буквою, що і функцію, тільки зі штрихом зверху справа: чи просто. Отже, запишемо формулу похідної, використовуючи ці позначення:

Як і в аналогії з дорогою тут при зростанні функції похідна позитивна, а при убуванні - негативна.

А чи буває похідна дорівнює нулю? Звісно. Наприклад, якщо ми їдемо по рівній горизонтальній дорозі, крутизна дорівнює нулю. І правда, висота ж не зовсім змінюється. Так і з похідною: похідна постійної функції (константи) дорівнює нулю:

так як приріст такої функції дорівнює нулю при будь-якому.

Давай згадаємо приклад з вершиною пагорба. Там виходило, що можна так розташувати кінці відрізка по різні боки від вершини, що висота на кінцях виявляється однаковою, тобто відрізок розташовується паралельно осі:

Але великі відрізки - ознака неточного вимірювання. Будемо піднімати наш відрізок вгору паралельно самому собі, тоді його довжина буде зменшуватися.

Зрештою, коли ми будемо нескінченно близько до вершини, довжина відрізка стане нескінченно малої. Але при цьому він залишився паралельний осі, тобто різниця висот на його кінцях дорівнює нулю (не прагне, а саме дорівнює). Значить, похідна

Зрозуміти це можна так: коли ми стоїмо на самій вершині, дрібненько зміщення вліво або вправо змінює нашу висоту мізерно мало.

Є і чисто алгебраїчне пояснення: лівіше вершини функція зростає, а правіше - убуває. Як ми вже з'ясували раніше, при зростанні функції похідна позитивна, а при убуванні - негативна. Але змінюється вона плавно, без стрибків (тому що дорога ніде не змінює нахил різко). Тому між негативними і позитивними значеннями обов'язково повинен бути. Він і буде там, де функція ні зростає, ні убуває - в точці вершини.

Те ж саме справедливо і для западини (область, де функція зліва убуває, а праворуч - зростає):

Трохи докладніше про збільшеннях.

Отже, ми змінюємо аргумент на величину. Міняємо від якого значення? Яким він (аргумент) тепер став? Чи можемо вибрати будь-яку точку, і зараз будемо від неї танцювати.

Розглянемо точку з координатою. Значення функції в ній так само. Потім робимо те саме прирощення: збільшуємо координату на. Чому тепер дорівнює аргумент? Дуже легко: . А чому тепер дорівнює значення функції? Куди аргумент, туди і функція:. А що зі збільшенням функції? Нічого нового: це як і раніше величина, на яку змінилася функція:

Потренуйся знаходити збільшення:

1. Знайди приріст функції в точці при збільшенні аргументу, що дорівнює.
2. Те ж саме для функції в точці.

рішення:

У різних точках при одному і тому ж збільшенні аргументу приріст функції буде різним. Значить, і похідна в кожній точці своя (це ми обговорювали в самому початку - крутизна дороги в різних точках різна). Тому коли пишемо похідну, треба вказувати, в якій точці:

Степенева функція.

Статечної називають функцію, де аргумент в якійсь мірі (логічно, так?).

Причому - в будь-якого ступеня:.

Найпростіший випадок - це коли показник ступеня:

Знайдемо її похідну в точці. Згадуємо визначення похідної:

Отже, аргумент змінюється з до. Яке приріст функції?

Приріст - це. Але функція в будь-якій точці дорівнює своєму аргументу. Тому:

Похідна дорівнює:

Похідна від дорівнює:

b) Тепер розглянемо квадратичную функцію (): .

А тепер згадаємо, що. Це означає, що значенням приросту можна знехтувати, так як воно нескінченно мало, і тому трохи на тлі іншого доданка:

Отже, у нас народилося чергове правило:

c) Продовжуємо логічний ряд:.

Цей вислів можна спростити по-різному: розкрити першу дужку за формулою скороченого множення куб суми, або ж розкласти все вираз на множники за формулою різниці кубів. Спробуй зробити це сам будь-яким із запропонованих способів.

Отже, у мене вийшло наступне:

І знову згадаємо, що. Це означає, що можна знехтувати всіма складовими, що містять:

Отримуємо:.

d) Аналогічні правила можна отримати і для великих ступенів:

e) Виявляється, це правило можна узагальнити для статечної функції з довільним показником, навіть не цілим:

(2)

Можна сформулювати правило словами: «ступінь виноситься вперед як коефіцієнт, а потім зменшується на».

Доведемо це правило пізніше (майже в самому кінці). А зараз розглянемо кілька прикладів. Знайди похідну функцій:

1. (Двома способами: за формулою і використовуючи визначення похідної - порахувавши приріст функції);

1. . Не повіриш, але це статечна функція. Якщо у тебе виникли питання типу «Як це? А де ж ступінь? », Згадуй тему« »!
   Так-так, корінь - це теж ступінь, тільки дрібна:.
   Значить, наш квадратний корінь - це всього лише ступінь з показником:
   .
   Похідну шукаємо по недавно вивченої формулою:

   Якщо в цьому місці знову стало незрозуміло, повторюй тему «» !!! (Про ступінь з негативним показником)

2. . Тепер показник ступеня:

   А тепер через визначення (не забув ще?):
   ;
   .
   Тепер, як зазвичай, нехтуємо складовою, що містить:
   .

3. . Комбінація попередніх випадків:.

Тригонометричні функції.

Тут будемо використовувати один факт з вищої математики:

При вираз.

Доказ ти дізнаєшся на першому курсі інституту (а щоб там опинитися, треба добре здати ЄДІ). Зараз тільки покажу це графічно:

Бачимо, що при функція не існує - точка на графіку виколоти. Але чим ближче до значення, тим ближче функція к. Це і є те саме «прагне».

Додатково можеш перевірити це правило за допомогою калькулятора. Так-так, не соромся, бери калькулятор, ми ж не на ЄДІ ще.

Отже, пробуємо:;

Не забудь перевести калькулятор в режим «Радіани»!

і т.д. Бачимо, що чим менше, тим ближче значення відносини к.

a) Розглянемо функцію. Як завжди, знайдемо її приріст:

Перетворимо різниця синусів в твір. Для цього використовуємо формулу (згадуємо тему «»):.

Тепер похідна:

Зробимо заміну:. Тоді при нескінченно малому також нескінченно мало:. Вираз для набуває вигляду:

А тепер згадуємо, що при вираз. А також, що якщо нескінченно малою величиною можна знехтувати в сумі (тобто при).

Отже, отримуємо наступне правило: похідна синуса дорівнює косинусу:

Це базові ( «табличні») похідні. Ось вони одним списком:

Пізніше ми до них додамо ще кілька, але ці - найважливіші, так як використовуються найчастіше.

потренуйся:

1. Знайди похідну функції в точці;
2. Знайди похідну функції.

рішення:

1. Спершу знайдемо похідну в загальному вигляді, а потім підставимо замість його значення:
   ;
   .
2. Тут у нас щось схоже на ступеневу функцію. Спробуємо привести її до
   нормального вигляду:
   .
   Дуже добре, тепер можна використовувати формулу:
   .
   .
3. . Ееееее ... .. Що це ????

Гаразд, ти маєш рацію, такі похідні знаходити ми ще не вміємо. Тут у нас комбінація декількох типів функцій. Щоб працювати з ними, потрібно вивчити ще кілька правил:

Експонента і натуральний логарифм.

Є в математиці така функція, похідна якої при будь-якому дорівнює значенню самої функції при цьому ж. Називається вона «експонента», і є показовою функцією

Підстава цієї функції - константа - це нескінченна десятковий дріб, Тобто число ірраціональне (таке як). Його називають «число Ейлера», тому і позначають буквою.

Отже, правило:

Запам'ятати дуже легко.

Ну і не будемо далеко ходити, відразу ж розглянемо зворотну функцію. Яка функція є зворотною для показової функції? логарифм:

У нашому випадку підставою служить число:

Такий логарифм (тобто логарифм з основою) називається «натуральним», і для нього використовуємо особливу позначення: замість пишемо.

Чому дорівнює? Звичайно ж, .

Похідна від натурального логарифма теж дуже проста:

приклади:

1. Знайди похідну функції.
2. Чому дорівнює похідна функції?

відповіді: експонента і натуральний логарифм - функції унікально прості з точки зору похідною. Показові і логарифмічні функції з будь-яким іншим підставою матимуть іншу похідну, яку ми з тобою розберемо пізніше, після того як пройдемо правила диференціювання.

Правила диференціювання

Правила чого? Знову новий термін, знову?! ...

диференціювання - це процес знаходження похідної.

Тільки і всього. А як ще назвати цей процес одним словом? Чи не проізводнованіе ж ... Диференціалом математики називають те саме приріст функції при. Відбувається цей термін від латинського differentia - різниця. Ось.

При виведенні всіх цих правил будемо використовувати дві функції, наприклад, і. Нам знадобляться також формули їх збільшень:

Всього є 5 правил.

Константа виноситься за знак похідної.

Якщо - якесь постійне число (константа), тоді.

Очевидно, це правило працює і для різниці:.

Доведемо. Нехай, або простіше.

Приклади.

Знайдіть похідні функцій:

1. в точці;
2. в точці;
3. в точці;
4. в точці.

рішення:

1. (Похідна однакова у всіх точках, так як це лінійна функція, Пам'ятаєш?);

похідна твори

Тут все аналогічно: введемо нову функцію і знайдемо її приріст:

похідна:

приклади:

1. Знайдіть похідні функцій і;
2. Знайдіть похідну функції в точці.

рішення:

Похідна показовою функції

Тепер твоїх знань досить, щоб навчитися знаходити похідну будь-показовою функції, а не тільки експоненти (не забув ще, що це таке?).

Отже, де - це якесь число.

Ми вже знаємо похідну функції, тому давай спробуємо привести нашу функцію до нового основи:

Для цього скористаємося простим правилом:. тоді:

Ну ось, вийшло. Тепер спробуй знайти похідну, і не забудь, що ця функція - складна.

Вийшло?

Ось, перевір себе:

Формула вийшла дуже схожа на похідну експоненти: як було, так і залишилося, з'явився тільки множник, який є просто числом, але не змінною.

приклади:
Знайди похідні функцій:

відповіді:

Це просто число, яке неможливо порахувати без калькулятора, то існує не записати в більш простому вигляді. Тому у відповіді його в такому вигляді і залишаємо.

Похідна логарифмічної функції

Тут аналогічно: ти вже знаєш похідну від натурального логарифма:

Тому, щоб знайти довільну від логарифма з іншою підставою, наприклад,:

Потрібно привести цей логарифм до основи. А як поміняти підставу логарифма? Сподіваюся, ти пам'ятаєш цю формулу:

Тільки тепер замість писатимемо:

У знаменнику вийшла просто константа (постійне число, без змінної). Похідна виходить дуже просто:

Похідні показовою і логарифмічноїфункцій майже не зустрічаються в ЄДІ, але не буде зайвим знати їх.

Похідна складної функції.

Що таке «складна функція»? Ні, це не логарифм, і не арктангенс. Дані функції може бути складні для розуміння (хоча, якщо логарифм тобі здається складним, прочитай тему «Логарифми» і все пройде), але з точки зору математики слово «складна» не означає «важка».

Уяви собі маленький конвеєр: сидять двоє людей і проробляють якісь дії з якимись предметами. Наприклад, перший загортає шоколадку в обгортку, а другий обв'язує її стрічкою. Виходить такий складений об'єкт: шоколадка, загорнута і обв'язана стрічкою. Щоб з'їсти шоколадку, тобі потрібно виконати зворотні дії в зворотньому напрямку.

Давай створимо подібний математичний конвеєр: спершу будемо знаходити косинус числа, а потім отримане число зводити в квадрат. Отже, нам дають число (шоколадка), я знаходжу його косинус (обгортка), а ти потім зводиш те, що у мене вийшло, в квадрат (обв'язують стрічкою). Що вийшло? Функція. Це і є приклад складної функції: коли для знаходження її значення ми проробляємо перша дія безпосередньо зі змінною, а потім ще друга дія з тим, що вийшло в результаті першого.

Ми цілком можемо проробляти ті ж дії і в зворотному порядку: спочатку ти зводиш в квадрат, а я потім шукаю косинус отриманого числа:. Нескладно здогадатися, що результат буде майже завжди різний. важлива особливість складних функцій: при зміні порядку дій функція змінюється.

Іншими словами, складна функція - це функція, аргументом якої є інша функція: .

Для першого прикладу,.

Другий приклад: (те ж саме). .

Дія, яке робимо останнім будемо називати «Зовнішньої» функцією, А дія, що здійснюється першим - відповідно «Внутрішньої» функцією (Це неформальні назви, я їх вживаю тільки для того, щоб пояснити матеріал простою мовою).

Спробуй визначити сам, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньої:

відповіді:Поділ внутрішньої і зовнішньої функцій дуже схоже на заміну змінних: наприклад, в функції

1. Першим будемо виконувати яку дію? Спершу порахуємо синус, а тільки потім зведемо в куб. Значить, внутрішня функція, а зовнішня.
   А початкова функція є їх композицією:.
2. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.
3. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.
4. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.
5. Внутрішня:; зовнішня:.
   Перевірка:.

виробляємо заміну змінних і отримуємо функцію.

Ну що ж, тепер будемо отримувати нашу шоколадку - шукати похідну. Порядок дій завжди зворотний: спочатку шукаємо похідну зовнішньої функції, потім множимо результат на похідну внутрішньої функції. Стосовно вихідного наприклад це виглядає так:

Інший приклад:

Отже, сформулюємо, нарешті, офіційне правило:

Алгоритм знаходження похідної складної функції:

Начебто все просто, так?

Перевіримо на прикладах:

рішення:

1) Внутрішня:;

Зовнішня:;

2) Внутрішня:;

(Тільки не думай тепер скоротити на! З під косинуса нічого не виноситься, пам'ятаєш?)

3) Внутрішня:;

Зовнішня:;

Відразу видно, що тут трирівнева складна функція: адже - це вже сама по собі складна функція, а з неї ще витягаємо корінь, тобто виконуємо третя дія (шоколадку в обгортці і з стрічкою кладемо в портфель). Але лякатися нема причин: все-одно «розпаковувати» цю функцію будемо в тому ж порядку, що і завжди: з кінця.

Тобто спершу продифференцируем корінь, потім косинус, і тільки потім вираз в дужках. А потім все це перемножимо.

У таких випадках зручно пронумерувати дії. Тобто, уявімо, що нам відомий. У якому порядку будемо здійснювати дії, щоб обчислити значення цього виразу? Розберемо на прикладі:

Чим пізніше відбувається дія, тим більше «зовнішньої» буде відповідна функція. Послідовність дій - як і раніше:

Тут вкладеність взагалі 4-рівнева. Давай визначимо порядок дій.

1. подкоренного вираз. .

2. Корінь. .

3. Синус. .

4. Квадрат. .

5. Збираємо все в купу:

ПОХІДНА. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ

Похідна функції - відношення приросту функції до приросту аргументу при нескінченно малому збільшенні аргументу:

Базові похідні:

Правила диференціювання:

Константа виноситься за знак похідної:

Похідна суми:

Похідна твори:

Похідна приватного:

Похідна складної функції:

Алгоритм знаходження похідної від складної функції:

1. Визначаємо «внутрішню» функцію, знаходимо її похідну.
2. Визначаємо «зовнішню» функцію, знаходимо її похідну.
3. Множимо результати першого і другого пунктів.

Цим відео я починаю довгу серію уроків, присвячену похідним. Цей урок складається з декількох частин.

В першу чергу, я розповім вам, що взагалі таке похідні і як їх рахувати, але не хитромудрим академічною мовою, а так, як я сам це розумію і як пояснюю своїм учням. По-друге, ми розглянемо найпростіше правило для вирішення завдань, в яких будемо шукати похідні суми, похідні різниці і похідні статечної функції.

Ми розглянемо більш складні комбіновані приклади, з яких ви, зокрема, дізнаєтеся, що подібні завдання, що містять корені і навіть дроби, можуть бути вирішені при використанні формули похідної степеневої функції. Крім того, звичайно, буде безліч завдань і прикладів рішень самого різного рівня складності.

Взагалі, спочатку я збирався записати коротенький 5-хвилинний ролик, але самі бачите, що з цього вийшло. Тому вистачить лірики - приступаємо до справи.

Що таке похідна?

Отже, почнемо здалеку. Багато років тому, коли дерева були зеленішою, а життя було веселіше, математики задумалися ось над чим: розглянемо просту функцію, задану своїм графіком, назвемо її $ y \u003d f \\ left (x \\ right) $. Зрозуміло, графік існує не сам по собі, тому потрібно провести осі $ x $, а також вісь $ y $. А тепер давайте виберемо будь-яку точку на цьому графіку, абсолютно будь-яку. Абсциссу назвемо $ ((x) _ (1)) $, ордината, як не важко здогадатися, буде $ f \\ left (((x) _ (1)) \\ right) $.

Розглянемо на тому ж графіку ще одну точку. Не важливо, яку, головне, щоб вона відрізнялася від початкової. У неї, знову ж таки, є абсциса, назвемо її $ ((x) _ (2)) $, а також ордината - $ f \\ left (((x) _ (2)) \\ right) $.

Отже, ми отримали дві точки: у них різні абсциси і, отже, різні значення функції, хоча останнє - не обов'язково. А ось що дійсно важливо, так це що, що з курсу планіметрії нам відомо: через дві точки можна провести пряму і, причому, тільки одну. Ось давайте її і проведемо.

А тепер проведемо через найпершу з них пряму, паралельну осі абсцис. отримаємо прямокутний трикутник. Давайте його позначимо $ ABC $, прямий кут $ C $. У цього трикутника виникає одне дуже цікаве властивість: справа в тому, що кут $ \\ alpha $, насправді, дорівнює куту, під яким перетинається пряма $ AB $ з продовженням осі абсцис. Судіть самі:

1. пряма $ AC $ паралельна осі $ Ox $ з побудови,
2. пряма $ AB $ перетинає $ AC $ під $ \\ alpha $,
3. отже, $ AB $ перетинає $ Ox $ під тим же самим $ \\ alpha $.

Що ми можемо сказати про $ \\ text () \\! \\! \\ Alpha \\! \\! \\ Text () $? Нічого конкретного, хіба що в трикутнику $ ABC $ відношення катета $ BC $ до катету $ AC $ одно тангенсу цього самого кута. Так і запишемо:

Зрозуміло, $ AC $ в даному випадку легко вважається:

Точно також і $ BC $:

Іншими словами, ми можемо записати наступне:

\\ [\\ Operatorname (tg) \\ text () \\! \\! \\ Alpha \\! \\! \\ Text () \u003d \\ frac (f \\ left (((x) _ (2)) \\ right) -f \\ left ( ((x) _ (1)) \\ right)) (((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \\]

Тепер, коли ми все це з'ясували, давайте повернемося до нашого графіку і розглянемо нову точку $ B $. Зітремо старі значення і візьмемо і візьмемо $ B $ десь ближче до $ ((x) _ (1)) $. Знову позначимо її абсциссу за $ ((x) _ (2)) $, а ординату - $ f \\ left (((x) _ (2)) \\ right) $.

Знову розглянемо наш маленький трикутник $ ABC $ і $ \\ text () \\! \\! \\ Alpha \\! \\! \\ Text () $ всередині нього. Цілком очевидно, що це буде вже зовсім інший кут, тангенс буде також іншим тому, що довжини відрізків $ AC $ і $ BC $ істотно змінилися, а формула для тангенса кута анітрохи не змінилася - це як і раніше співвідношення між зміною функції і зміною аргументу .

Нарешті, продовжуємо рухати $ B $ все ближче до початкової точки $ A $, в результаті трикутник ще зменшиться, а пряма, що містить відрізок $ AB $, все більше буде походити на дотичну до графіка функції.

У підсумку, якщо продовжувати зближення точок, т. Е., Зменшувати відстань до нуля, то пряма $ AB $, дійсно, перетвориться в дотичну до графіка в даній точці, а $ \\ text () \\! \\! \\ Alpha \\! \\ І ось тут ми плавно переходимо до визначення $ f $, а саме, похідної функції в точці $ ((x) _ (1)) $ називається тангенс кута $ \\ alpha $ між дотичної до графіка в точці $ ((x) _ ( 1)) $ і позитивним напрямом осі $ Ox $:

\\ [(F) "\\ left (((x) _ (1)) \\ right) \u003d \\ operatorname (tg) \\ text () \\! \\! \\ Alpha \\! \\! \\ Text () \\]

Повертаючись до нашого графіку, слід зазначити, що в якості $ ((x) _ (1)) $ можна вибрати будь-яку точку на графіку. Наприклад, з тим же успіхом ми могли зняти штрих в точці, показаної на малюнку.

{!LANG-b64adda4c6e0547fbf5befb876a0f5ac!}

Кут між дотичною і позитивним напрямом осі назвемо $ \\ beta $. Відповідно, $ f $ в $ ((x) _ (2)) $ дорівнюватиме тангенсу цього кута $ \\ beta $.

\\ [(F) "\\ left (((x) _ (2)) \\ right) \u003d tg \\ text () \\! \\! \\ Beta \\! \\! \\ Text () \\]

У кожній точці графіка буде своя дотична, а, отже, своє значення функції. У кожному з цих випадків крім точки, в якій ми шукаємо похідну різниці або суми, або похідну статечної функції, необхідно взяти іншу точку, що знаходиться на деякій відстані від неї, а потім спрямувати цю точку до вихідної і, зрозуміло, з'ясувати, як в процесі такого руху буде змінюватися тангенс кута нахилу.

Похідна статечної функції

На жаль, подібне визначення нас скоєно не влаштовує. Всі ці формули, картинки, кути не дають нам ні найменшого уявлення про те, як вважати реальну похідну в реальних задачах. Тому давайте трохи відійдемо від формального визначення і розглянемо більш дієві формули і прийоми, за допомогою яких вже можна вирішувати справжні завдання.

Почнемо з найпростіших конструкцій, а саме, функцій виду $ y \u003d ((x) ^ (n)) $, тобто статечних функцій. У цьому випадку ми можемо записати наступне: $ (y) "\u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1)) $. Іншими словами, ступінь, яка стояла в показнику, показується в множителе спереду, а сам показник зменшується на одиницю. Наприклад:

\\ [\\ Begin (align) & y \u003d ((x) ^ (2)) \\\\ & (y) "\u003d 2 \\ cdot ((x) ^ (2-1)) \u003d 2x \\\\\\ end (align) \\]

А ось інший варіант:

\\ [\\ Begin (align) & y \u003d ((x) ^ (1)) \\\\ & (y) "\u003d ((\\ left (x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 1 \\ cdot ((x ) ^ (0)) \u003d 1 \\ cdot 1 \u003d 1 \\\\ & ((\\ left (x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 1 \\\\\\ end (align) \\]

Користуючись цими простими правилами, давайте спробуємо зняти штрих наступних прикладів:

Отже, ми отримуємо:

\\ [((\\ Left (((x) ^ (6)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 6 \\ cdot ((x) ^ (5)) \u003d 6 ((x) ^ (5)) \\]

Тепер вирішимо другий вираз:

\\ [\\ Begin (align) & f \\ left (x \\ right) \u003d ((x) ^ (100)) \\\\ & ((\\ left (((x) ^ (100)) \\ right)) ^ (\\ Зрозуміло, це були дуже

прості завдання . Однакреальні завдання складніші і вони не обмежуються одними лише ступенями функції. Отже, правило № 1 - якщо функція представлена \u200b\u200bу вигляді інших двох, то похідна цієї суми дорівнює сумі похідних:

\\ [((\\ Left (f + g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "+ (g)" \\]

Аналогічно, похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних:

\\ [((\\ Left (f-g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "- (g)" \\]

\\ [((\\ Left (((x) ^ (2)) + x \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\

{!LANG-4fbe65adc62a5aa7381ab072872a2d9f!}

Крім того, є ще одне важливе правило: якщо перед деякої $ f $ варто константа $ c $, на яку ця функція множиться, то $ f $ всієї цієї конструкції вважається так:

\\ [((\\ Left (c \\ cdot f \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d c \\ cdot (f) "\\]

\\ [((\\ Left (3 ((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 3 ((\\ left (((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ Нарешті, ще одне дуже важливе правило: в задачах часто зустрічається окреме доданок, яке взагалі не містить $ x $. Наприклад, ми можемо спостерігати це в наших сьогоднішніх висловах. Похідна константи, т. Е., Числа, ніяк не залежить від $ x $, завжди дорівнює нулю, причому абсолютно неважливо, чому дорівнює константа $ c $:

\\ [((\\ Left (c \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 \\]

Приклад рішення:

\\ [((\\ Left (1 001 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (\\ frac (1) (1000) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 \\]

Ще раз ключові моменти:

Похідна суми двох функцій завжди дорівнює сумі похідних: $ ((\\ left (f + g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "+ (g)" $;

1. З аналогічних причин похідна різниці двох функцій дорівнює різниці двох похідних: $ ((\\ left (f-g \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d (f) "- (g)" $;
2. Якщо у функції присутній множник константа, то цю константу можна виносити за знак похідної: $ ((\\ left (c \\ cdot f \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d c \\ cdot (f) "$;
3. Якщо вся функція являє собою константу, то її похідна завжди нуль: $ ((\\ left (c \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 0 $.
4. Давайте подивимося, як все це працює на реальних прикладах. Отже:

записуємо:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (5)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - ((\\ left (3 ((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) + (7) "\u003d \\\\ & \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((\\ left (((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) + 0 \u003d 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\\\\\ end (align) \\]

У цьому прикладі ми бачимо і похідну суми, і похідну різниці. Разом, похідна дорівнює $ 5 ((x) ^ (4)) - 6x $.

Переходимо до другої функції:

Записуємо рішення:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (3 ((x) ^ ( 2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - ((\\ left (2x \\ right)) ^ (\\ prime)) + (2) "\u003d \\\\ & \u003d 3 ((\\ left (((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - 2 (x) "+ 0 \u003d 3 \\ cdot 2x-2 \\ cdot 1 \u003d 6x-2 \\\\\\ end (align) \\]

Ось ми і знайшли відповідь.

Переходимо до третьої функції - вона вже серйозніше:

{!LANG-ac0cc8b611153baac9c7c1ecdef4b31e!}

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + \\ frac (1) (2) x-5 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (2 ((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - ((\\ left (3 ((x) ^ (2)) \\ right )) ^ (\\ prime)) + ((\\ left (\\ frac (1) (2) x \\ right)) ^ (\\ prime)) - (5) "\u003d \\\\ & \u003d 2 ((\\ left (( (x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - 3 ((\\ left (((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) + \\ frac (1) (2) \\ cdot (x) "\u003d 2 \\ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \\ cdot 2x + \\ frac (1) (2) \\ cdot 1 \u003d 6 ((x) ^ (2)) -6x + \\ frac (1) (2) \\\\\\ end (align) \\]

Відповідь ми знайшли.

Переходимо до останнього висловом - найскладнішого і найдовшому:

Отже, вважаємо:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (6 ((x) ^ (7)) - 14 ((x) ^ (3)) + 4x + 5 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ( (\\ left (6 ((x) ^ (7)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - ((\\ left (14 ((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) + ((\\ left (4x \\ right)) ^ (\\ prime)) + (5) "\u003d \\\\ & \u003d 6 \\ cdot 7 \\ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \\ cdot 3 ((x ) ^ (2)) + 4 \\ cdot 1 + 0 \u003d 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\\\\ end (align) \\]

Але на цьому рішення не закінчується, тому що нас просять не просто зняти штрих, а порахувати її значення в конкретній точці, тому підставляємо у вираз -1 замість $ x $:

\\ [(Y) "\\ left (-1 \\ right) \u003d 42 \\ cdot 1-42 \\ cdot 1 + 4 \u003d 4 \\]

Йдемо далі і переходимо до ще більш складним і цікавим прикладів. Справа в тому, що формула вирішення статечної похідною $ ((\\ left (((x) ^ (n)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1)) $ має ще більш широку сферу застосування, ніж зазвичай прийнято вважати. З її допомогою можна вирішувати приклади з дробом, корінням і т. Д. Саме цим ми зараз і займемося.

Для початку ще раз запишемо формулу, яка допоможе нам знайти похідну статечної функції:

А тепер увага: до сих пір ми розглядали в якості $ n $ лише натуральні числа, Однак нічого не заважаємо розглянути дроби і навіть негативні числа. Наприклад, ми можемо записати наступне:

\\ [\\ Begin (align) & \\ sqrt (x) \u003d ((x) ^ (\\ frac (1) (2))) \\\\ & ((\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (2) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt (x)) \u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (x)) \\\\\\ end (align) \\]

Нічого складного, тому подивимося, як ця формула допоможе нам при вирішенні більш складних завдань. Отже, приклад:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (3 ((x) ^ ( 2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - ((\\ left (2x \\ right)) ^ (\\ prime)) + (2) "\u003d \\\\ & \u003d 3 ((\\ left (((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - 2 (x) "+ 0 \u003d 3 \\ cdot 2x-2 \\ cdot 1 \u003d 6x-2 \\\\\\ end (align) \\]

\\ [\\ Begin (align) & \\ left (\\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) + \\ sqrt (x) \\ right) \u003d ((\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime )) + ((\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) + ((\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \\\\ & ((\\ \\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (\\ frac (1) (3))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot ((x ) ^ (- \\ frac (2) (3))) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\\\ & (( \\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (\\ frac (1) (4))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (4) ((x) ^ (- \\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (1) (4) \\ cdot \\ frac (1) (\\ sqrt (((x) ^ (3)))) \\\\\\ end (align) \\]

Повертаємося до нашого прикладу і записуємо:

\\ [(Y) "\u003d \\ frac (1) (2 \\ sqrt (x)) + \\ frac (1) (3 \\ sqrt (((x) ^ (2)))) + \\ frac (1) (4 \\ sqrt (((x) ^ (3)))) \\]

Ось таке складне рішення.

Переходимо до другого прикладу - тут всього два доданків, але кожне з них містить як класичну ступінь, так і коріння.

Зараз ми дізнаємося, як знайти похідну статечної функції, яка, крім того, містить і корінь:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (((x) ^ (3)) \\ sqrt (((x) ^ (2))) + ((x) ^ (7)) \\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (3)) \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (2))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (3)) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (2) (3))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\\\ & \u003d (( \\ left (((x) ^ (3 + \\ frac (2) (3))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (\\ frac (11) (3 ))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (11) (3) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (8) (3))) \u003d \\ frac (11) (3) \\ ))) \\\\ & ((\\ left (((x) ^ (7)) \\ cdot \\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (7 )) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (1) (3))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (7 \\ frac (1) (3 ))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 7 \\ frac (1) (3) \\ cdot ((x) ^ (6 \\ frac (1) (3))) \u003d \\ frac (22) (3 ) \\ cdot ((x) ^ (6)) \\ cdot \\ sqrt (x) \\\\\\ end (align) \\]

Обидва доданків пораховані, залишилося записати остаточну відповідь:

\\ [(Y) "\u003d \\ frac (11) (3) \\ cdot ((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (2))) + \\ frac (22) (3) \\ cdot ((x) ^ (6)) \\ cdot \\ sqrt (x) \\]

Ми знайшли відповідь.

Похідна дробу через ступеневу функцію

Але і на цьому можливості формули для вирішення похідною статечної функції не закінчуються. Справа в тому, що з її допомогою можна вважати не тільки приклади з корінням, але також і з дробом. Це як раз це рідкісна можливість, яка значно спрощує вирішення таких прикладів, але при цьому часто ігнорується не тільки учнями, а й учителями.

Отже, зараз ми спробуємо поєднати одразу дві формули. З одного боку, класична похідна статечної функції

\\ [((\\ Left (((x) ^ (n)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d n \\ cdot ((x) ^ (n-1)) \\]

З іншого боку ми знаємо, що вираз виду $ \\ frac (1) (((x) ^ (n))) $ представимо у вигляді $ ((x) ^ (- n)) $. отже,

\\ [\\ Left (\\ frac (1) (((x) ^ (n))) \\ right) "\u003d ((\\ left (((x) ^ (- n)) \\ right)) ^ (\\ prime) ) \u003d - n \\ cdot ((x) ^ (- n-1)) \u003d - \\ frac (n) (((x) ^ (n + 1))) \\]

\\ [((\\ Left (\\ frac (1) (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ left (((x) ^ (- 1)) \\ right) \u003d - 1 \\ cdot ((x ) ^ (- 2)) \u003d - \\ frac (1) (((x) ^ (2))) \\]

Таким чином, похідні простих дробів, де в чисельнику стоїть константа, а в знаменнику - ступінь, також вважаються за допомогою класичної формули. Подивимося, як це працює на практиці.

Отже, перша функція:

\\ [((\\ Left (\\ frac (1) (((x) ^ (2))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (- 2)) \\ Перший приклад вирішене, переходимо до другого:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (\\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) - \\ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) + \\ \\ & \u003d ((\\ left (\\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \\ right)) ^ (\\ prime)) - ((\\ left (\\ frac (2) (3 (( x) ^ (3))) \\ right)) ^ (\\ prime)) + ((\\ left (2 ((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - ((\\ left ( 3 ((x) ^ (4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \\\\ & ((\\ left (\\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (7) (4) ((\\ left (\\ frac (1) (((x) ^ (4))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (7 ) (4) \\ cdot ((\\ left (((x) ^ (- 4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (7) (4) \\ cdot \\ left (-4 \\ right) \\ cdot ((x) ^ (- 5)) \u003d \\ frac (-7) (((x) ^ (5))) \\\\ & ((\\ left (\\ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (2) (3) \\ cdot ((\\ left (\\ frac (1) (((x) ^ (3))) \\ right) ) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (2) (3) \\ cdot ((\\ left (((x) ^ (- 3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (2) ( 3) \\ cdot \\ left (-3 \\ right) \\ cdot ((x) ^ (- 4)) \u003d \\ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\\\ & ((\\ left ( \\ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (5) (2) \\ cdot 2x \u003d 5x \\\\ & ((\\ left (2 ((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 2 \\ cdot 3 ((x) ^ (2)) \u003d 6 ((x) ^ (2)) \\\\ & ((\\ (3)) \u003d 12 ((x) ^ (3)) \\\\\\ end (align) \\] ...

Тепер збираємо всі ці складові в єдину формулу:

\\ [(Y) "\u003d - \\ frac (7) (((x) ^ (5))) + \\ frac (2) (((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \\]

Ми отримали відповідь.

Однак перш ніж рухатися далі, хотів би звернути вашу увагу на форму запису самих вихідних виразів: в першому вираженні ми записали $ f \\ left (x \\ right) \u003d ... $, в другому: $ y \u003d ... $ Багато учнів губляться, коли бачать різні форми запису. Чим відрізняються $ f \\ left (x \\ right) $ і $ y $? Насправді, нічим. Це просто різні записи з одним і тим же змістом. Просто коли ми говоримо $ f \\ left (x \\ right) $, то

мова йде {!LANG-1b6f014b549c8d9d0f13225452a7e4f0!}, Перш за все, про функції, а коли мова йде про $ y $, то найчастіше мається на увазі графік функції. В іншому ж це одне і те ж, т. Е., Похідна в обох випадках вважається однаково.

Складні завдання з похідними

На закінчення хотілося б розглянути пару складних комбінованих завдань, в яких використовується відразу все те, що ми сьогодні розглянули. У них нас чекають і коріння, і дробу, і суми. Однак складними ці приклади будуть лише в рамках сьогоднішнього видеоурока, тому що по-справжньому складні функції похідних чекатимуть вас попереду.

Отже, заключна частина сьогоднішнього видеоурока, що складається з двох комбінованих завдань. Почнемо з першої з них:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (((x) ^ (3)) - \\ frac (1) (((x) ^ (3))) + \\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime)) - ((\\ left (\\ frac (1) (((x) ^ (3) )) \\ right)) ^ (\\ prime)) + \\ left (\\ sqrt (x) \\ right) \\\\ & ((\\ left (((x) ^ (3)) \\ right)) ^ (\\ prime) ) \u003d 3 ((x) ^ (2)) \\\\ & ((\\ left (\\ frac (1) (((x) ^ (3))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ (4))) \\\\ & ((\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (\\ frac (1) (3))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (3) \\ cdot \\ frac (1) (((x) ^ (\\ frac (2) (3)))) \u003d \\ frac (1) (3 \\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\\\\\ end (align) \\]

Похідна функції дорівнює:

\\ [(Y) "\u003d 3 ((x) ^ (2)) - \\ frac (3) (((x) ^ (4))) + \\ frac (1) (3 \\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\]

Перший приклад вирішене. Розглянемо другу задачу:

У другому прикладі діємо аналогічно:

\\ [((\\ Left (- \\ frac (2) (((x) ^ (4))) + \\ sqrt (x) + \\ frac (4) (x \\ sqrt (((x) ^ (3)) )) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (- \\ frac (2) (((x) ^ (4))) \\ right)) ^ (\\ prime)) + ((\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) + ((\\ left (\\ frac (4) (x \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (3)))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \\]

Порахуємо кожний доданок окремо:

\\ [\\ Begin (align) & ((\\ left (- \\ frac (2) (((x) ^ (4))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d - 2 \\ cdot ((\\ left ( ((x) ^ (- 4)) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d - 2 \\ cdot \\ left (-4 \\ right) \\ cdot ((x) ^ (- 5)) \u003d \\ frac (8 ) (((x) ^ (5))) \\\\ & ((\\ left (\\ sqrt (x) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (((x) ^ (\\ frac ( 1) (4))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d \\ frac (1) (4) \\ cdot ((x) ^ (- \\ frac (3) (4))) \u003d \\ frac (1 ) (4 \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (3) (4)))) \u003d \\ frac (1) (4 \\ sqrt (((x) ^ (3)))) \\\\ & ((\\ ((x) ^ (\\ frac (3) (4)))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d ((\\ left (\\ frac (4) (((x) ^ (1 \\ frac (3 ) (4)))) \\ right)) ^ (\\ prime)) \u003d 4 \\ cdot ((\\ left (((x) ^ (- 1 \\ frac (3) (4))) \\ right)) ^ ( \\ prime)) \u003d \\\\ & \u003d 4 \\ cdot \\ left (-1 \\ frac (3) (4) \\ right) \\ cdot ((x) ^ (- 2 \\ frac (3) (4))) \u003d 4 \\ cdot \\ left (- \\ frac (7) (4) \\ right) \\ cdot \\ frac (1) (((x) ^ (2 \\ frac (3) (4)))) \u003d \\ frac (-7) (((x) ^ (2)) \\ cdot ((x) ^ (\\ frac (3) (4)))) \u003d - \\ frac (7) (((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (3)))) \\\\\\ end (align) \\]

Всі складові пораховані. Тепер повертаємося до вихідної формулою і складаємо разом всі три доданків. Отримуємо, що остаточну відповідь буде таким:

\\ [(Y) "\u003d \\ frac (8) (((x) ^ (5))) + \\ frac (1) (4 \\ sqrt (((x) ^ (3)))) - \\ frac (7 ) (((x) ^ (2)) \\ cdot \\ sqrt (((x) ^ (3)))) \\]

І на цьому все. Це був перший наш урок. У наступних уроках ми розглянемо більш складні конструкції, а також з'ясуємо, навіщо взагалі потрібні похідні.

На якому ми розібрали найпростіші похідні, а також познайомилися з правилами диференціювання і деякими технічними прийомами знаходження похідних. Таким чином, якщо з похідними функцій у Вас не дуже або якісь моменти даної статті будуть не зовсім зрозумілі, то спочатку ознайомтеся з вищевказаним уроком. Будь ласка, налаштуйтеся на серйозний лад - матеріал не з простих, але я все-таки спробую викласти його просто і доступно.

На практиці з похідною складної функції доводиться стикатися дуже часто, я б навіть сказав, майже завжди, коли Вам дано завдання на знаходження похідних.

Дивимося в таблицю на правило (№5) диференціювання складної функції:

Розбираємося. Перш за все, звернемо увагу на запис. Тут у нас дві функції - і, причому функція, образно кажучи, вкладена в функцію. Функція такого виду (коли одна функція вкладена в іншу) і називається складною функцією.

Функцію я буду називати зовнішньої функцією, А функцію - внутрішньої (або вкладеної) функцією.

! Дані визначення не є теоретичними і не повинні фігурувати в чистовому оформленні завдань. Я застосовую неформальні вирази «зовнішня функція», «внутрішня» функція тільки для того, щоб Вам легше було зрозуміти матеріал.

Для того, щоб прояснити ситуацію, розглянемо:

приклад 1

Знайти похідну функції

Під синусом у нас знаходиться не просто буква «ікс», а ціле вираз, тому знайти похідну відразу по таблиці не вийде. Також ми помічаємо, що тут неможливо застосувати перші чотири правила, начебто є різниця, але справа в тому, що «розривати на частини» синус не можна:

В даному прикладі вже з моїх пояснень інтуїтивно зрозуміло, що функція - це складна функція, причому многочлен є внутрішньою функцією (вкладенням), а - зовнішньої функцією.

Перший крок, Який потрібно виконати при знаходженні похідної складної функції полягає в тому, щоб розібратися, яка функція є внутрішньою, а яка - зовнішньої.

У разі простих прикладів начебто зрозуміло, що під синус вкладений многочлен. А як же бути, якщо все не очевидно? Як точно визначити, яка функція є зовнішньою, а яка внутрішньої? Для цього я пропоную використовувати наступний прийом, який можна проводити в думках або на чернетці.

Уявімо, що нам потрібно обчислити на калькуляторі значення виразу при (замість одиниці може бути будь-яке число).

Що ми обчислимо в першу чергу? В першу чергу потрібно буде виконати наступну дію:, тому многочлен і буде внутрішньою функцією:

У другу чергу потрібно буде знайти, тому синус - буде зовнішньої функцією:

Після того, як ми РОЗІБРАЛИСЯ з внутрішньої і зовнішньої функціями саме час застосувати правило диференціювання складної функції .

Починаємо вирішувати. з уроку Як знайти похідну? ми пам'ятаємо, що оформлення рішення будь-якої похідної завжди починається так - робимо висновок вираз в дужки і ставимо справа вгорі штрих:

спочатку знаходимо похідну зовнішньої функції (синуса), дивимося на таблицю похідних елементарних функцій і помічаємо, що. Всі табличні формули застосовні і в тому, випадку, якщо «ікс» замінити складним виразом, в даному випадку:

Зверніть увагу, що внутрішня функція не змінилася, її ми не чіпаємо.

Ну і зовсім очевидно, що

Результат застосування формули в чистовому оформленні виглядає так:

Постійний множник зазвичай виносять в початок вирази:

Якщо залишилося якесь непорозуміння, перепишіть рішення на папір і ще раз прочитайте пояснення.

приклад 2

Знайти похідну функції

приклад 3

Знайти похідну функції

Як завжди записуємо:

Розбираємося, де у нас зовнішня функція, а де внутрішня. Для цього пробуємо (подумки або на чернетці) обчислити значення виразу при. Що потрібно виконати в першу чергу? В першу чергу потрібно порахувати чому дорівнює підставу:, значить, многочлен - і є внутрішня функція:

І, тільки потім виконується зведення в ступінь, отже, статечна функція - це зовнішня функція:

Відповідно до формули , Спочатку потрібно знайти похідну від зовнішньої функції, в даному випадку, від ступеня. Розшукуємо в таблиці потрібну формулу:. Повторюємо ще раз: будь-яка табличная формула справедлива не тільки для «ікс», а й для складного виразу. Таким чином, результат застосування правила диференціювання складної функції наступний:

Знову наголошую, що коли ми беремо похідну від зовнішньої функції, внутрішня функція у нас не змінюється:

Тепер залишилося знайти зовсім просту похідну від внутрішньої функції і трохи «причесати» результат:

приклад 4

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (Відповідь в кінці уроку).

Для закріплення розуміння похідною складної функції приведу приклад без коментарів, спробуйте самостійно розібратися, поміркувати, де зовнішня і де внутрішня функція, чому завдання вирішені саме так?

приклад 5

а) Знайти похідну функції

б) Знайти похідну функції

приклад 6

Знайти похідну функції

Тут у нас корінь, а для того, щоб продифференцировать корінь, його потрібно представити у вигляді ступеня. Таким чином, спочатку наводимо функцію в належний для диференціювання вид:

Аналізуючи функцію, приходимо до висновку, що сума трьох доданків - це внутрішня функція, а спорудження до рівня - зовнішня функція. Застосовуємо правило диференціювання складної функції :

Ступінь знову представляємо у вигляді радикала (кореня), а для похідної внутрішньої функції застосовуємо просте правило диференціювання суми:

Готово. Можна ще в дужках привести вираз до спільного знаменника і записати все однієї дробом. Красиво, звичайно, але коли виходять громіздкі довгі похідні - краще цього не робити (легко заплутатися, допустити непотрібну помилку, та й викладачеві буде незручно перевіряти).

приклад 7

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь в кінці уроку).

Цікаво відзначити, що іноді замість правила диференціювання складної функції можна використовувати правило диференціювання приватного , Але таке рішення буде виглядати як перекручення незвично. Ось характерний приклад:

приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна використовувати правило диференціювання приватного , Але набагато вигідніше знайти похідну через правило диференціювання складної функції:

Готуємо функцію для диференціювання - виносимо мінус за знак похідної, а косинус піднімаємо в чисельник:

Косинус - внутрішня функція, зведення в ступінь - зовнішня функція.
Використовуємо наше правило :

Знаходимо похідну внутрішньої функції, косинус скидаємо назад вниз:

Готово. У розглянутому прикладі важливо не заплутатися в знаках. До речі, спробуйте вирішити його за допомогою правила , Відповіді повинні співпасти.

приклад 9

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення (відповідь в кінці уроку).

До сих пір ми розглядали випадки, коли у нас в складній функції було тільки одне вкладення. У практичних же завданнях часто можна зустріти похідні, де, як матрьошки, одна в іншу, вкладені відразу 3, а то і 4-5 функцій.

приклад 10

Знайти похідну функції

Розбираємося у вкладеннях цієї функції. Пробуємо обчислити вираз за допомогою піддослідного значення. Як би ми вважали на калькуляторі?

Спочатку потрібно знайти, значить, арксинус - найглибше вкладення:

Потім цей арксинус одиниці слід звести в квадрат:

І, нарешті, сімку зводимо в ступінь:

Тобто, в даному прикладі у нас три різні функції і два вкладення, при цьому, самої внутрішньою функцією є арксинус, а самої зовнішньої функцією - показова функція.

починаємо вирішувати

згідно з правилом спочатку потрібно взяти похідну від зовнішньої функції. Дивимося в таблицю похідних і знаходимо похідну показовою функції: Єдина відмінність - замість «ікс» у нас складний вираз, що не скасовує справедливість цієї формули. Отже, результат застосування правила диференціювання складної функції Наступного.