Чому дорівнює натуральний логарифм 10. Логарифм

Отже, перед нами ступеня двійки. Якщо взяти число з нижньої рядки, то можна легко знайти ступінь, в яку доведеться звести двійку, щоб вийшло це число. Наприклад, щоб отримати 16, треба два звести в четверту ступінь. А щоб отримати 64, треба два звести в шостий ступінь. Це видно з таблиці.

А тепер - власне, визначення логарифма:

Логарифм по підставі a від аргументу x - це ступінь, в яку треба звести число a, щоб отримати число x.

Позначення: log a x \u003d b, де a - підстава, x - аргумент, b - власне, чому дорівнює логарифм.

Наприклад, 2 3 \u003d 8 ⇒ log 2 8 \u003d 3 (логарифм за основою 2 від числа 8 дорівнює трьом, оскільки 2 3 \u003d 8). З тим же успіхом log 2 64 \u003d 6, оскільки 2 6 \u003d 64.

Операцію знаходження логарифма числа по заданому підставі називають логарифмування. Отже, доповнимо нашу таблицю новим рядком:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 + 2 \u003d 1	log 2 4 \u003d 2	log 2 8 \u003d 3	log 2 16 \u003d 4	log 2 32 \u003d 5	log 2 64 \u003d 6

На жаль, далеко не всі логарифми вважаються так легко. Наприклад, спробуйте знайти log 2 5. Числа 5 немає в таблиці, але логіка підказує, що логарифм буде лежати десь на відрізку. Тому що 2 + 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такі числа називаються ірраціональними: цифри після коми можна писати до безкінечності, і вони ніколи не повторюються. Якщо логарифм виходить ірраціональним, його краще так і залишити: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важливо розуміти, що логарифм - це вираз з двома змінними (підстава і аргумент). Багато на перших порах плутають, де знаходиться підставу, а де - аргумент. Щоб уникнути прикрих непорозумінь, просто погляньте на картинку:

Перед нами - не що інше як визначення логарифма. Згадайте: логарифм - це ступінь, В яку треба звести підстава, щоб отримати аргумент. Саме підставу зводиться до степеня - на зображенні воно виділено червоним. Виходить, що підстава завжди знаходиться внизу! Це чудове правило я розповідаю своїм учням на першому ж занятті - і ніякої плутанини не виникає.

З визначенням розібралися - залишилося навчитися рахувати логарифми, тобто позбавлятися від знака «log». Для початку зазначимо, що з визначення випливає два важливих факти:

Аргумент і підстава завжди повинні бути більше нуля. Це випливає з визначення ступеня раціональним показником, до якого зводиться визначення логарифма.
Основа повинна бути відмінним від одиниці, оскільки одиниця в будь-якого ступеня все одно залишається одиницею. Через це питання «в який ступінь треба звести одиницю, щоб отримати двійку» позбавлений сенсу. Немає такої міри!

Такі обмеження називаються областю допустимих значень (ОПЗ). Виходить, що ОДЗ логарифма виглядає так: log a x \u003d b ⇒ x\u003e 0, a\u003e 0, a ≠ 1.

Зауважте, що ніяких обмежень на число b (значення логарифма) не накладалися. Наприклад, логарифм цілком може бути негативним: log 2 0,5 \u003d -1, тому що 0,5 \u003d 2 -1.

Втім, зараз ми розглядаємо лише числові вирази, де знати ОДЗ логарифма не потрібно. Всі обмеження вже враховані укладачами завдань. Але коли підуть логарифмічні рівняння і нерівності, вимоги ОДЗ стануть обов'язковими. Адже в основі і аргументі можуть стояти дуже неслабкі конструкції, які зовсім необов'язково відповідають наведеним вище обмеженням.

тепер розглянемо загальну схему обчислення логарифмів. Вона складається з трьох кроків:

Уявити підставу a і аргумент x у вигляді ступеня з мінімально можливою підставою, великим одиниці. Попутно краще позбутися десяткових дробів;
Вирішити щодо змінної b рівняння: x \u003d a b;
Отримане число b буде відповіддю.

От і все! Якщо логарифм виявиться ірраціональним, це буде видно вже на першому кроці. Вимога, щоб підстава була більше одиниці, досить актуально: це знижує ймовірність помилки і значно спрощує викладки. аналогічно з десятковими дробами: Якщо відразу перевести їх у звичайні, помилок буде в рази менше.

Подивимося, як працює ця схема на конкретних прикладах:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 5 25

Уявімо підставу і аргумент як ступінь п'ятірки: 5 \u003d 5 1, 25 \u003d 5 2,

Складемо і вирішимо рівняння:
log 5 25 \u003d b ⇒ (5 1) b \u003d 5 2 ⇒ 5 b \u003d 5 2 ⇒ b \u003d 2;

Отримали відповідь: 2.

Завдання. Обчисліть логарифм:

Завдання. Обчисліть логарифм: log 4 64

Уявімо підставу і аргумент як ступінь двійки: 4 \u003d 2 + 2; 64 \u003d 2 6;
Складемо і вирішимо рівняння:
log 4 64 \u003d b ⇒ (2 2) b \u003d 2 6 ⇒ 2 2b \u003d 2 6 ⇒ 2b \u003d 6 ⇒ b \u003d 3;
Отримали відповідь: 3.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 16 1

Уявімо підставу і аргумент як ступінь двійки: 16 \u003d 2 4, 1 \u003d 2 0;
Складемо і вирішимо рівняння:
log 16 +1 \u003d b ⇒ (2 4) b \u003d 2 0 ⇒ 2 4b \u003d 2 0 ⇒ 4b \u003d 0 ⇒ b \u003d 0;
Отримали відповідь: 0.

Завдання. Обчисліть логарифм: log 7 14

Уявімо підставу і аргумент як ступінь сімки: 7 \u003d 7 1, 14 у вигляді ступеня сімки не представляється, оскільки 7 1< 14 < 7 2 ;
З попереднього пункту випливає, що логарифм не рахується;
Відповідь - без змін: log 7 14.

Невелике зауваження до останньому наприклад. Як переконатися, що число не є точною ступенем іншого числа? Дуже просто - достатньо розкласти його на прості множники. Якщо в розкладанні є хоча б два різних множника, число не є точною ступенем.

Завдання. З'ясуйте, чи є точними ступенями числа: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 · 2 · 2 \u003d 2 3 - точна ступінь, тому що множник всього один;
48 \u003d 6 · 8 \u003d 3 · 2 · 2 · 2 · 2 \u003d 3 · 2 4 - не є точною ступенем, оскільки є два множники: 3 і 2;
81 \u003d 9 · 9 \u003d 3 · 3 · 3 · 3 \u003d 3 4 - точна ступінь;
35 \u003d 7 · 5 - знову не є точною ступенем;
14 \u003d 7 · 2 - знову не точна ступінь;

Зауважимо також, що самі прості числа завжди є точними ступенями самих себе.

десятковий логарифм

Деякі логарифми зустрічаються настільки часто, що мають спеціальну назву і позначення.

Десятковий логарифм від аргументу x - це логарифм по підставі 10, тобто ступінь, в яку треба звести число 10, щоб отримати число x. Позначення: lg x.

Наприклад, lg 10 \u003d 1; lg 100 \u003d 2; lg 1000 \u003d 3 - І т.д.

Відтепер, коли в підручнику зустрічається фраза типу «Знайдіть lg 0,01», знайте: це не помилка. Це десятковий логарифм. Втім, якщо вам незвично таке позначення, його завжди можна переписати:
lg x \u003d log 10 x

Все, що вірно для звичайних логарифмів, вірно і для десяткових.

натуральний логарифм

Існує ще один логарифм, який має власне позначення. У певному сенсі, він навіть важливіший, ніж десятковий. Мова йде про натуральний логарифм.

Натуральний логарифм від аргументу x - це логарифм по підставі e, тобто ступінь, в яку треба звести число e, щоб отримати число x. Позначення: ln x.

Багато запитають: що ще за число e? Це ірраціональне число, його точне значення знайти і записати неможливо. Наведу лише перші його цифри:
e \u003d +2,718281828459 ...

Не будемо заглиблюватися, що це за число і навіщо потрібно. Просто пам'ятайте, що e - основа натурального логарифма:
ln x \u003d log e x

Таким чином, ln e \u003d 1; ln e 2 \u003d 2; ln e 16 \u003d 16 - і т.д. З іншого боку, ln 2 - ірраціональне число. Взагалі, натуральний логарифм будь-якого раціонального числа ірраціональний. Крім, зрозуміло, одиниці: ln 1 \u003d 0.

Для натуральних логарифмів справедливі всі правила, які вірні для звичайних логарифмів.

натуральний логарифм

Графік функції натурального логарифма. Функція повільно наближається до позитивної нескінченності при збільшенні x і швидко наближається до негативної нескінченності, коли x прагне до 0 ( «повільно» і «швидко» в порівнянні з будь-ступеневою функцією від x).

натуральний логарифм - це логарифм по підставі , де e - ірраціональна константа, рівна приблизно 2,718281 828. Натуральний логарифм зазвичай позначають як ln ( x), Log e (x) Або іноді просто log ( x), Якщо підстава e мається на увазі.

Натуральний логарифм числа x (Записується як ln (x)) - це показник ступеня, в яку потрібно звести число e, Щоб отримати x. наприклад, ln (7,389 ...) дорівнює 2, тому що e 2 =7,389... . Натуральний логарифм самого числа e (ln (e)) Дорівнює 1, тому що e 1 = e, А натуральний логарифм 1 ( ln (1)) Дорівнює 0, оскільки e 0 = 1.

Натуральний логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного дійсного числа a як площа під кривою y = 1/x від 1 до a. Простота цього визначення, яке узгоджується з багатьма іншими формулами, в яких застосовується натуральний логарифм, привела до появи назви «натуральний». Це визначення можна розширити на комплексні числа, про що буде сказано нижче.

Якщо розглядати натуральний логарифм як речову функцію дійсної змінної, то вона є зворотною функцією до експоненційної функції, що призводить до тотожностям:

Подібно до всіх логарифмам, натуральний логарифм відображає множення в складання:

Таким чином, логарифмічна функція являє собою ізоморфізм групи позитивних дійсних чисел відносно множення на групу дійсних чисел по складанню, який можна представити у вигляді функції:

Логарифм може бути визначений для будь-якого позитивного підстави, відмінного від 1, а не тільки для e, Але логарифми для інших підстав відрізняються від натурального логарифма тільки постійним множником, і, як правило, визначаються в термінах натурального логарифма. Логарифми корисні для вирішення рівнянь, в яких невідомі присутні в якості показника ступеня. Наприклад, логарифми використовуються для знаходження постійної розпаду для відомого періоду напіврозпаду, або для знаходження часу розпаду в рішенні проблем радіоактивності. Вони грають важливу роль в багатьох областях математики і прикладних наук, застосовуються в сфері фінансів для вирішення багатьох завдань, включаючи перебування складних відсотків.

Історія

Перша згадка натурального логарифма зробив Ніколас Меркатор в роботі Logarithmotechnia, Опублікованій в 1668 році, хоча вчитель математики Джон Спайделл ще в 1619 році склав таблицю натуральних логарифмів. Раніше його називали гіперболічним логарифмом, оскільки він відповідає площі під гіперболою. Іноді його називають логарифмом Непера, хоча первісний зміст цього терміна був дещо інший.

Конвенції про позначеннях

Натуральний логарифм прийнято позначати через «ln ( x) », Логарифм за основою 10 - через« lg ( x) », А інші підстави прийнято вказувати явно при символі« log ».

У багатьох роботах з дискретної математики, кібернетики, інформатики автори використовують позначення «log ( x) »Для логарифмів за основою 2, але ця угода не є загальноприйнятим і вимагає роз'яснення або в списку використаних позначень, або (при відсутності такого списку) виноскою або коментарем при першому використанні.

Дужки навколо аргументу логарифмів (якщо це не призводить до помилкового читання формули) зазвичай опускають, а при зведенні логарифма в ступінь показник приписують безпосередньо до знаку логарифма: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Англо-американська система

Математики, статистики та частина інженерів зазвичай використовують для позначення натурального логарифма або «log ( x) », Або« ln ( x) », А для позначення логарифма за основою 10 -« log 10 ( x)».

Деякі інженери, біологи та інші фахівці завжди пишуть «ln ( x) »(Або зрідка« log e ( x) »), Коли вони мають на увазі натуральний логарифм, а запис« log ( x) »У них означає log 10 ( x).

log e є «натуральним» логарифмом, оскільки він виникає автоматично і з'являється в математиці дуже часто. Наприклад, розглянемо проблему похідною логарифмічною функції:

якщо основа b одно e, То похідна дорівнює просто 1 / x, А при x \u003d 1 ця похідна дорівнює 1. Іншим обгрунтуванням, за яким підставу e логарифма є найбільш натуральним, є те, що він може бути досить просто визначений в термінах простого інтеграла або ряду Тейлора, чого не можна сказати про інших логарифмах.

Подальші обґрунтування натуральності не пов'язані зі численням. Так, наприклад, є кілька простих рядів з натуральними логарифмами. П'єтро Менголі і Микола Меркатор називали їх логаріфмус Натураліс кілька десятиліть до того часу, поки Ньютон і Лейбніц що не розробили диференціальне та інтегральне числення.

визначення

Формально ln ( a) Може бути визначений як площа під кривою графіка 1 / x від 1 до a, Т. Е. Як інтеграл:

Це дійсно логарифм, оскільки він задовольняє фундаментальному властивості логарифма:

Це можна продемонструвати, допускаючи таким чином:

чисельне значення

Для розрахунку чисельного значення натурального логарифма числа можна використовувати розкладання його в ряд Тейлора в вигляді:

Щоб отримати кращу швидкість збіжності, можна скористатися наступним тотожністю:

за умови, що y = (x−1)/(x+1) і x > 0.

Для ln ( x), Де x \u003e 1, чим ближче значення x до 1, тим швидше швидкість збіжності. Тотожності, пов'язані з логарифмом, можна використовувати для досягнення мети:

Ці методи застосовувалися ще до появи калькуляторів, для чого використовувалися числові таблиці і виконувалися маніпуляції, аналогічні вищеописаним.

Висока точність

Для обчислення натурального логарифма з великою кількістю цифр точності ряд Тейлора не є ефективним, оскільки його збіжність повільна. Альтернативою є використання методу Ньютона, щоб інвертувати в експонентну функцію, ряд якій сходиться швидше.

Альтернативою для дуже високої точності розрахунку є формула:

де M позначає арифметико-геометричне середнє 1 і 4 / s, і

m вибрано так, що p знаків точності досягається. (У більшості випадків значення 8 для m цілком достатньо.) Справді, якщо використовується цей метод, може бути застосована інверсія Ньютона натурального логарифма для ефективного обчислення експоненціальної функції. (Константи ln 2 і пі можуть бути попередньо обчислені до бажаної точності, використовуючи будь-який з відомих швидко сходяться рядів.)

обчислювальна складність

Обчислювальна складність натуральних логарифмів (за допомогою арифметико-геометричного середнього) дорівнює O ( M(n) ln n). тут n - число цифр точності, для якої натуральний логарифм повинен бути оцінений, а M(n) - обчислювальна складність множення двох n-значний чисел.

безперервні дробу

Хоча для подання логарифма відсутні прості безперервні дроби, але можна використовувати кілька узагальнених безперервних дробів, в тому числі:

комплексні логарифми

Експоненціальна функція може бути розширена до функції, яка дає комплексне число виду e x для будь-якого довільного комплексного числа x, При цьому використовується нескінченний ряд з комплексним x. ця показова функція може бути інвертована з утворенням комплексного логарифма, який буде володіти більшою частиною властивостей звичайних логарифмів. Є, однак, дві проблеми: не існує x, для котрого e x \u003d 0, і виявляється, що e 2πi = 1 = e 0. Оскільки властивість мультипликативности дійсно для комплексної експоненційної функції, то e z = e z+2nπi для всіх комплексних z і цілих n.

Логарифм не може бути визначений на всій комплексній площині, і навіть при цьому він є багатозначним - будь-який комплексний логарифм може бути замінений на «еквівалентний» логарифм, додавши будь-яке ціле число, кратне 2 πi. Комплексний логарифм може бути однозначним тільки на зрізі комплексної площині. Наприклад, ln i = 1/2 πi або 5/2 πi або -3/2 πi, І т.д., і хоча i 4 \u003d 1, 4 log i може бути визначена як 2 πi, Або 10 πi або -6 πi, і так далі.

Див. також

Джон Непер - винахідник логарифмів

Примітки

Mathematics for physical chemistry. - 3rd. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5 , Extract of page 9
J J O "Connor and E F Robertson The number e. The MacTutor History of Mathematics archive (вересень 2001). Читальний зал
Cajori Florian A History of Mathematics, 5th ed. - AMS Bookstore, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Estimating Integrals using Polynomials. Процитовано 12 лютого 2012.

натуральний логарифм - це логарифм по підставі , де e (\\ displaystyle e) - ірраціональна константа, рівна приблизно 2,72. Він позначається як ln \u2061 x (\\ displaystyle \\ ln x), log e \u2061 x (\\ displaystyle \\ log _ (e) x) або іноді просто log \u2061 x (\\ displaystyle \\ log x), Якщо підстава e (\\ displaystyle e) мається на увазі. Іншими словами, натуральний логарифм числа x - це показник ступеня, в яку потрібно звести число e, Щоб отримати x. Це визначення можна розширити і на комплексні числа.

ln \u2061 e \u003d 1 (\\ displaystyle \\ ln e \u003d 1), тому що e 1 \u003d e (\\ displaystyle e ^ (1) \u003d e); ln \u2061 1 \u003d 0 (\\ displaystyle \\ ln 1 \u003d 0), тому що e 0 \u003d 1 (\\ displaystyle e ^ (0) \u003d 1).

Натуральний логарифм може бути також визначений геометрично для будь-якого позитивного дійсного числа a як площа під кривою y \u003d 1 x (\\ displaystyle y \u003d (\\ frac (1) (x))) на проміжку [1; a] (\\ displaystyle). Простота цього визначення, яке узгоджується з багатьма іншими формулами, в яких застосовується даний логарифм, пояснює походження назви «натуральний».

e ln \u2061 a \u003d a (a\u003e 0); (\\ Displaystyle e ^ (\\ ln a) \u003d a \\ quad (a\u003e 0);) ln \u2061 e a \u003d a (a\u003e 0). (\\ Displaystyle \\ ln e ^ (a) \u003d a \\ quad (a\u003e 0).)

Подібно до всіх логарифмам, натуральний логарифм відображає множення в складання:

ln \u2061 x y \u003d ln \u2061 x + ln \u2061 y. (\\ Displaystyle \\ ln xy \u003d \\ ln x + \\ ln y.)

Логарифмом позитивного числа b по підставі a (a\u003e 0, a не дорівнює 1) називають таке число с, що a c \u003d b: log a b \u003d c ⇔ a c \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Зверніть увагу: логарифм від непозитивним числа не визначений. Крім того, в основі логарифма повинно бути позитивне число, не рівне 1. Наприклад, якщо ми зведемо -2 в квадрат, отримаємо число 4, але це не означає, що логарифм за основою -2 від 4 дорівнює 2.

Основна логарифмічна тотожність

a log a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1) (2)

Важливо, що області визначення правої і лівої частин цієї формули відрізняються. Ліва частина визначена тільки при b\u003e 0, a\u003e 0 і a ≠ 1. Права частина визначена при будь-якому b, а від a взагалі не залежить. Таким чином, застосування основного логарифмічного "тотожності" при вирішенні рівнянь і нерівностей може привести до зміни ОДЗ.

Два очевидних слідства визначення логарифма

log a a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 \u003d 0 (a\u003e 0, a ≠ 1) (4)

Дійсно, при зведенні числа a в першу ступінь ми отримаємо те ж саме число, а при зведенні в нульову ступінь - одиницю.

Логарифм твори і логарифм приватного

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (5)

Log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0) (6)

Хотілося б застерегти школярів від бездумного застосування даних формул при вирішенні логарифмічних рівнянь і нерівностей. При їх використанні "зліва направо" відбувається звуження ОДЗ, а при переході від суми або різниці логарифмів до логарифму твору або приватного - розширення ОДЗ.

Дійсно, вираз log a (f (x) g (x)) визначено в двох випадках: коли обидві функції строго позитивні або коли f (x) і g (x) обидві менше нуля.

Перетворюючи цей вислів в суму log a f (x) + log a g (x), ми змушені обмежуватися тільки випадком, коли f (x)\u003e 0 і g (x)\u003e 0. У наявності звуження області допустимих значень, а це категорично неприпустимо, т. К. Може призвести до втрати рішень. Аналогічна проблема існує і для формули (6).

Ступінь можна виносити за знак логарифма

log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0) (7)

І знову хотілося б закликати до акуратності. Розглянемо наступний приклад:

Log a (f (x) 2 \u003d 2 log a f (x)

Ліва частина рівності визначена, очевидно, при всіх значеннях f (х), крім нуля. Права частина - тільки при f (x)\u003e 0! Виносячи ступінь з логарифма, ми знову звужує ОДЗ. Зворотна процедура призводить до розширення області допустимих значень. Всі ці зауваження стосуються не тільки ступеня 2, але і до будь-якої парного степеня.

Формула переходу до нового основи

log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1) (8)

Той рідкісний випадок, коли ОДЗ не змінюється при перетворенні. Якщо ви розумно вибрали підставу з (позитивне і не рівне 1), формула переходу до нового підставі є абсолютно безпечною.

Якщо в якості нового підстави з вибрати число b, отримаємо важливий окремий випадок формули (8):

Log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1) (9)

Кілька простих прикладів з логарифмами

Приклад 1. Обчисліть: lg2 + lg50.
Рішення. lg2 + lg50 \u003d lg100 \u003d 2. Ми скористалися формулою суми логарифмів (5) і визначенням десяткового логарифма.

Приклад 2. Обчисліть: lg125 / lg5.
Рішення. lg125 / lg5 \u003d log 5 125 \u003d 3. Ми використовували формулу переходу до нового основи (8).

Таблиця формул, пов'язаних з логарифмами

a log a b \u003d b (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a a \u003d 1 (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a 1 \u003d 0 (a\u003e 0, a ≠ 1)

log a (b c) \u003d log a b + log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

log a b c \u003d log a b - log a c (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0)

log a b p \u003d p log a b (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0)

log a b \u003d log c b log c a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, c\u003e 0, c ≠ 1)

log a b \u003d 1 log b a (a\u003e 0, a ≠ 1, b\u003e 0, b ≠ 1)

Дотримання Вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності і повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір і використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім'я, номер телефону, адреса електронної пошти тощо

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

Зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інших заходах і найближчі події.
Час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних і різних досліджень з метою поліпшення послуг, що надаються нами і надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
Якщо ви берете участь в розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

винятки:

У разі якщо необхідно - відповідно до закону, у судовому порядку, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно в цілях безпеки, підтримання правопорядку, чи інших суспільно важливих випадках.
У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі - правонаступнику.

Захист особистих даних

Ми вживаємо заходів обережності - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності і безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.