Приріст визначення. Курс лекцій
Нехай дана функція. Візьмемо два значення аргументу: початкова 
і змінений, яке прийнято позначати 
, де 
- величина на яку змінюється аргумент при переході від першого значення до другого, воно називається приростом аргументу.
Значення аргументу і відповідають певним значенням функції: початкова 
і змінений 
, величину 
, На яку змінюється значення функції при зміні аргументу на величину, називається приростом функції.
2. поняття границі функції в точці.
число 
називається межею функції 
при, що прагне до 
, Якщо для будь-якого числа 
знайдеться таке число 
, Що при всіх 
, Що задовольняють нерівності 
, Буде виконуватися нерівність 
.
Друге визначення: Число називається границею функції при, що прагне до, якщо для будь-якого числа існує така околиця точки, що для будь-якого з цієї околиці. позначається 
.
3. нескінченно великі і нескінченно малі функції в точці. Нескінченно мала функція в точці - функція, межа якої, коли вона прагне до даної точці дорівнює нулю. Нескінченно велика функція в точці - функція межа якої коли вона прагне до до цієї точки дорівнює нескінченності.
4. основні теореми про границі і наслідки з них (без доведення).
наслідок: постійний множник можна винести за знак межі: 
Якщо послідовності і 
сходяться і межа послідовності відмінний від нуля, то
наслідок: постійний множник можна винести за знак межі.
11. якщо при існують межі функцій 
і 
і межа функції відмінний від нуля,
то існують також і межа їх відносини, рівний відношенню меж функцій і:
.
12. якщо 
, то 
, Справедлива і зворотна.
13. теорема про межі проміжної послідовності. якщо послідовності 
сходяться, і 
і 
то 
5. межа функції на нескінченності.
Число а називається межею функції на нескінченності, (при х прагне до нескінченності) якщо для будь-якій послідовності прагне до нескінченності 
відповідає послідовність значень прагнуть до числа а.
6. gредели числової послідовності.
число а називається межею числової послідовності, якщо для будь-якого позитивного числа 
знайдеться натуральне число N, таке, що при всіх n>
N виконується нерівність 
.
Символічно це визначається так: 
справедливо.
Той факт, що число а є межею послідовності, позначається наступним чином:
.
7.чісло «е». натуральні логарифми.
число «Е»
є межа числової послідовності, n-
й член якої 
, Т. Е.
.
Натуральний логарифм - логарифм з основою е.
натуральні логарифми позначаються 
без вказівки підстави. 
число 
дозволяє переходити від десяткового логарифма до натурального і назад.
, Його називають модулем переходу від натуральних логарифмів до десятковим.
8. чудові межі 
,
.
Перший чудовий межа:
таким чином при 
по теоремі про межі проміжної послідовності
другий чудовий межа:
.
Для доказу існування межі 
використовують лемму: для будь-якого дійсного числа 
і 
справедливо нерівність 
(2) (при 
або 
нерівність звертається в рівність.)
Послідовність (1) можна записати так:
.
Тепер розглянемо допоміжну послідовність із загальним членом 
переконаємося, що вона убуває і обмежена знизу: 
якщо 
, То послідовність убуває. якщо 
, То послідовність обмежена знизу. Покажемо це:
в силу рівності (2)
т. е. 
або 
. Т. е. Послідовність убуває, а т. К. То послідовність обмежена знизу. Якщо послідовність убуває і обмежена знизу, то вона має межу. тоді
має межу і послідовність (1), т. к. 
і 
.
Л. Ейлер назвав цю межу 
.
9. односторонні межі, розрив функції.
число А лівий межа, якщо для будь-якій послідовності виконується наступне:.
число А правий межа, якщо для будь-якій послідовності виконується наступне:.
Якщо в точці а що належить області визначення функції або її кордоні, порушується умова безперервності функції, то точка а називається точкою розриву або розривом функціі.еслі при прагненні точки
12. сума членів нескінченної спадної геометричній прогресії.
Геометрична прогресія - послідовність, в якій відношення між наступним і попереднім членами залишається незмінним, це відношення називається знаменником прогресії. сума перших n членів геометричної прогресії виражається формулою 
дану формулу зручно використовувати для спадної геометричної прогресії - прогресії у якій абсолютна величина її знаменника менше нуля. 
- перший член; 
- знаменник прогресії; 
- номер взятого члена послідовності. Сума нескінченної спадної прогресії - число, до якого необмежена наближається сума перших членів спадної прогресії при необмеженій зростанням числа. 
т. о. Сума членів нескінченно спадної геометричної прогресії дорівнює 
.
Нехай x - довільна точка, Леда в деякому околі фіксованої точки x 0. різницю x - x 0 прийнято називати приріст незалежної змінної (або збільшенням аргументу) в точці x 0 і позначається Δx. Таким чином,
Δx \u003d x -x 0,
звідки випливає, що
Приріст функції -різницю між двома значеннями функції.
Нехай задана функція у = f (x), Определ енная при значенні аргумента͵ рівному х 0. Дамо аргументу приріст D х, ᴛ.ᴇ. розглянемо значення аргумента͵ рівне x 0 + D х. Припустимо, що це значення аргументу також входить в область определ ення даної функції. Тоді різниця D y = f (x 0 + D х) – f (x 0) прийнято називати збільшенням функції. приріст функції f(x) В точці x - функція зазвичай позначається Δ x f від нової змінної Δ x обумовлена \u200b\u200bяк
Δ x f(Δ x) = f(x + Δ x) − f(x).
Знайти приріст аргументу і приріст функції в точці х 0, якщо
Приклад 2. Знайти приріст функції f (x) \u003d x 2, якщо х \u003d 1, Δх \u003d 0,1
Рішення: f (х) \u003d х 2, f (х + Δх) \u003d (х + Δх) 2
Знайдемо приріст функції Δf \u003d f (x + Δx) - f (x) \u003d (x + Δx) 2x 2 \u003d x 2 + 2x * Δx + Δx 2x 2 \u003d 2x * Δx + Δx 2 /
Підставимо значення х \u003d 1 і Δх \u003d 0,1, отримаємо Δf \u003d 2 * 1 * 0,1 + (0,1) 2 \u003d 0,2 + 0,01 \u003d 0,21
Знайти приріст аргументу і приріст функції в точки х 0
2.f (x) \u003d 2x 3. x 0 \u003d 3 x \u003d 2,4
3. f (x) \u003d 2x 2 +2 x 0 \u003d 1 x \u003d 0,8
4. f (x) \u003d 3x + 4 x 0 \u003d 4 x \u003d 3,8
Визнач ення: Похідній функції в точці прийнято називати межа (якщо він існує і кінцевий) відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що останнім прагне до нуля.
Найбільш споживані наступні позначення похідної:
Таким чином,
Знаходження похідної прийнято називати дифференцированием . вводиться определ ение диференціюється: Функція f, що має похідну в кожній точці деякого проміжку, прийнято називати дифференцируемой на даному проміжку.
Нехай в деякій окрестностіточкіопредел ена функціяПроізводной функції прийнято називати таке число, що функцію в околиці U(x 0) можна представити у вигляді
f(x 0 + h) = f(x 0) + Ah + o(h)
якщо існує.
Визнач ення похідної функції в точці.
нехай функція f (x) определ ена на проміжку (A; b), І - точки цього проміжку.
Визнач ення. похідної функції f (x) в точці прийнято називати границя відношення приросту функції до приросту аргументу при. Позначається.
Коли остання межа приймає конкретне кінцеве значення, то говорять про існування кінцевої похідною в точці. У разі якщо межа нескінченний, то кажуть, що похідна нескінченна в даній точці. У разі якщо ж межа не існує, то і похідна функції в цій точці не існує.
функцію f (x) називають диференційованою в точці, коли вона має в ній кінцеву похідну.
У разі якщо функція f (x) диференційована в кожній точці деякого проміжку (A; b), То функцію називають дифференцируемой на цьому проміжку. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, будь-якій точці x з проміжку (A; b) можна поставити у відповідність значення похідної функції в цій точці, тобто, ми маємо можливість визначити нову функцію, яку називають похідною функції f (x) на інтервалі (A; b).
Операція знаходження похідної прийнято називати дифференцированием.
з медичної та біологічної фізики
Лекція №1
ПОХІДНА І ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ.
ПРИВАТНІ похідні.
1. Поняття похідної, її механічний і геометричний зміст.
а ) Приріст аргументу і функції.
Нехай дана функція y \u003d f (х), де х значення аргументу з області визначення функції. Якщо вибрати два значення аргументу х про і х з певного інтервалу області визначення функції, то різниця між двома значеннями аргументу називається приростом аргументу: х - х о \u003d Δх.
Значення аргументу x можна визначити через x 0 і його приріст: х \u003d х про + Δх.
Різниця між двома значеннями функції називається приростом функції: Δy \u003d Δf \u003d f (х про + Δх) - f (х о).
Приріст аргументаі функції можна представити графічно (рис.1). Приріст аргументу і приріст функції може бути як позитивним, так і негативним. Як випливає з рис.1 геометрично приріст аргументу Δх зображується збільшенням абсциси, а приріст функції Δу - збільшенням ординати. Обчислення приросту функції слід проводити в наступному порядку:
даємо аргументу приріст Δх і отримуємо значення - x + Δx;
2) знаходимо значення функції для значення аргументу (х + Δх) - f (х + Δх);
3) знаходимо приріст функції Δf \u003d f (х + Δх) - f (х).
приклад:Визначити приріст функції y \u003d х 2, якщо аргумент змінився від х о \u003d 1 до х \u003d 3. Для точки х про значення функції f (х о) \u003d х² про; для точки (х про + Δх) значення функції f (х про + Δх) \u003d (х про + Δх) 2 \u003d х² про +2 х про Δх + Δх 2, звідки Δf \u003d f (х про + Δх) -f (х о) \u003d (х про + Δх) 2 -х² про \u003d х² про +2 х про Δх + Δх 2 -х² про \u003d 2х про Δх + Δх 2; Δf \u003d 2х про Δх + Δх 2; Δх \u003d 3-1 \u003d 2; Δf \u003d 2 · 1 · 2 + 4 \u003d 8.
б)Завдання, що призводять до поняття похідної. Визначення похідної, її фізичний зміст.
Поняття приросту аргументу і функції необхідні для введення поняття похідної, яке історично виникло виходячи з необхідності визначення швидкості тих чи інших процесів.
Розглянемо, яким чином можна визначити швидкість прямолінійного руху. Нехай тіло рухається прямолінійно за законом: ΔЅ \u003d · Δt. Дляравномерного руху: \u003d ΔЅ / Δt.
Для змінного руху значення ΔЅ / Δtопределяет значеніе пор. , Т.е. пор. \u003d ΔЅ / Δt.Но середня швидкість не дає можливості відобразити особливості руху тіла і дати уявлення про справжню швидкості в момент часу t. При зменшенні проміжку часу, тобто при Δt → 0 середня скоростьстремітся до своєї межі - миттєвої швидкості:
МГН. \u003d 
пор. \u003d 
ΔЅ / Δt.
Таким же чином визначається і миттєва швидкість хімічної реакції:
МГН. \u003d 
пор. \u003d 
Δх / Δt,
де х - кількість речовини, що утворилася при хімічної реакції за час t. Подібні завдання по визначенню швидкості різних процесів привели до введення в математиці поняття похідної функції.
Нехай дана безперервна функція f (х), певна на інтервалі] а, в [ІЕЕ приріст Δf \u003d f (х + Δх) -f (х) Відносинам 
є функцією Δх і висловлює середню швидкість зміни функції.
границя відношення 
, Коли Δх → 0, за умови, що ця межа існує, називається похідною функції :
y "x \u003d 
.
Похідна позначається: 
- (ігрек штрих по ікс); f "
(Х) - (еф штрих по ікс) ;
y "- (ігрек штрих); dy / d х –
(Де ігрек по де ікс);
- (ігрек з точкою).
Виходячи з визначення похідної, можна сказати, що миттєва швидкість прямолінійного руху є похідна від шляху за часом:
МГН. \u003d S "t \u003d f " (T).
Таким чином, можна зробити висновок, що похідна функції по аргументу х є миттєва швидкість зміни функції f (х):
у "x \u003d f " (Х) \u003d МГН.
В цьому і полягає фізичний зміст похідної. Процес знаходження похідної називається диференціюванням, тому вираз «продифференцировать функцію» рівносильно висловом «знайти похідну функції».
в)Геометричний зміст похідної.
П 
роізводная функції у \u003d f (х) має простий геометричний зміст, пов'язаний з поняттям дотичної до кривої лінії в деякій точкеM. При цьому, дотичну, тобто пряму лінію аналітично висловлюють у вигляді у \u003d кх \u003d tg · х, где
–
кут нахилу дотичної (прямої) до осі Х. Уявімо безперервну криву як функцію у \u003d f (х), візьмемо на кривій точкуMі близьку до неї точку М 1 і наведемо через них січну. Її кутовий коефіцієнт до сек \u003d tg β \u003d 
.Якщо наближати точку М 1 до M, то приріст аргументу Δх
буде прагнути до нуля, а січна при β \u003d α займе положення дотичної. З рис.2 випливає: tgα \u003d 
tgβ \u003d 
\u003d У "x. Але tgαравен кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції:
к \u003d tgα \u003d 
\u003d У "x \u003d f "
(Х). Отже, кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в даній точці дорівнює значенню її похідної в точці дотику. В цьому і полягає геометричний зміст похідної.
г)Загальне правило знаходження похідної.
Виходячи з визначення похідної, процес диференціювання функції можна представити в такий спосіб:
f (х + Δх) \u003d f (х) + Δf;
знаходять приріст функції: Δf \u003d f (х + Δх) - f (х);
складають відношення приросту функції до приросту аргументу:
;
приклад:f (х) \u003d х 2; f " (Х) \u003d ?.
Однак, як видно навіть з цього простого прикладу, застосування зазначеної послідовності при взятті похідних - процес трудомісткий і складний. Тому для різних функцій вводяться загальні формули диференціювання, які представлені у вигляді таблиці «Основних формул диференціювання функцій».
Не завжди в житті нас цікавлять точні значення будь-яких величин. Іноді цікаво дізнатися зміна цієї величини, наприклад, середня швидкість автобуса, відношення величини переміщення до проміжку часу і т.д. Для порівняння значення функції в деякій точці зі значеннями цієї ж функції в інших точках, зручно використовувати такі поняття, як «прирощення функції» і «приріст аргументу».
Поняття "приріст функції" і "приріст аргументу"
Припустимо, х - деяка довільна точка, яка лежить в будь-якої околиці точки х0. Приростом аргументу в точці х0 називається різниця х-х0. Позначається приріст наступним чином: Δх.
- Δх \u003d х-х0.
Іноді цю величину ще називають приростом незалежної змінної в точці х0. З формули випливає: х \u003d х0 + Δх. У таких випадках кажуть, що початкове значення незалежної змінної х0, отримало приріст Δх.
Якщо ми змінюємо аргумент, то і значення функції теж буде змінюватися.
- f (x) - f (x0) \u003d f (x0 + Δх) - f (x0).
Приростом функції f в точці x0, відповідним приросту Δх називається різниця f (x0 + Δх) - f (x0). Приріст функції позначається наступним чином Δf. Таким чином отримуємо, за визначенням:
- Δf \u003d f (x0 + Δx) - f (x0).
Іноді, Δf ще називають приростом залежною змінною і для позначення використовують Δу, якщо функція була, наприклад, у \u003d f (x).
Геометричний сенс збільшення
Подивіться на наступний малюнок.
Як бачите, приріст показує зміну ординати і абсциси точки. А відношення приросту функції до приросту аргументу визначає кут нахилу січної, що проходить через початковий і кінцевий стан точки.
Розглянемо приклади приросту функції і аргументу
Приклад 1. Знайти приріст аргументу Δх і приріст функції Δf в точці х0, якщо f (х) \u003d х 2, x0 \u003d 2 a) x \u003d 1.9 b) x \u003d 2.1
Скористаємося формулами, наведеними вище:
a) Δх \u003d х-х0 \u003d 1.9 - 2 \u003d -0.1;
- Δf \u003d f (1.9) - f (2) \u003d 1.9 2 - 2 2 \u003d -0.39;
b) Δx \u003d x-x0 \u003d 2.1-2 \u003d 0.1;
- Δf \u003d f (2.1) - f (2) \u003d 2.1 2 - 2 2 \u003d 0.41.
Приклад 2. Обчислити приріст Δf для функції f (x) \u003d 1 / x в точці х0, якщо приріст аргументу дорівнює Δх.
Знову ж, скористаємося формулами, отриманими вище.
- Δf \u003d f (x0 + Δx) - f (x0) \u003d 1 / (x0-Δx) - 1 / x0 \u003d (x0 - (x0 + Δx)) / (x0 * (x0 + Δx)) \u003d - Δx / ((x0 * (x0 + Δx)).
визначення 1
Якщо для кожної пари $ (x, y) $ значень двох незалежних змінних з деякої області ставиться у відповідність певне значення $ z $, то кажуть, що $ z $ є функцією двох змінних $ (x, y) $. Позначення: $ z \u003d f (x, y) $.
Що стосується функції $ z \u003d f (x, y) $ розглянемо поняття загального (повного) і приватного збільшень функції.
Нехай дана функція $ z \u003d f (x, y) $ двох незалежних змінних $ (x, y) $.
зауваження 1
Так як змінні $ (x, y) $ є незалежними, то одна з них може змінюватися, а інша при цьому зберігати постійне значення.
Дамо змінної $ x $ приріст $ \\ Delta x $, при цьому збережемо значення змінної $ y $ незмінним.
Тоді функція $ z \u003d f (x, y) $ одержить збільшення, яке буде називатися приватним збільшенням функції $ z \u003d f (x, y) $ по змінної $ x $. позначення:
Аналогічно дамо змінної $ y $ приріст $ \\ Delta y $, при цьому збережемо значення змінної $ x $ незмінним.
Тоді функція $ z \u003d f (x, y) $ одержить збільшення, яке буде називатися приватним збільшенням функції $ z \u003d f (x, y) $ по змінної $ y $. позначення:
Якщо ж аргументу $ x $ дати приріст $ \\ Delta x $, а аргументу $ y $ - приріст $ \\ Delta y $, то виходить повний приріст заданої функції $ z \u003d f (x, y) $. позначення:
Таким чином, маємо:
$ \\ Delta _ (x) z \u003d f (x + \\ Delta x, y) -f (x, y) $ - приватна приріст функції $ z \u003d f (x, y) $ по $ x $;
$ \\ Delta _ (y) z \u003d f (x, y + \\ Delta y) -f (x, y) $ - приватна приріст функції $ z \u003d f (x, y) $ по $ y $;
$ \\ Delta z \u003d f (x + \\ Delta x, y + \\ Delta y) -f (x, y) $ - повний приріст функції $ z \u003d f (x, y) $.
приклад 1
Рішення:
$ \\ Delta _ (x) z \u003d x + \\ Delta x + y $ - приватна приріст функції $ z \u003d f (x, y) $ по $ x $;
$ \\ Delta _ (y) z \u003d x + y + \\ Delta y $ - приватна приріст функції $ z \u003d f (x, y) $ по $ y $.
$ \\ Delta z \u003d x + \\ Delta x + y + \\ Delta y $ - повний приріст функції $ z \u003d f (x, y) $.
приклад 2
Обчислити приватні і повний приріст функції $ z \u003d xy $ в точці $ (1, 2) $ при $ \\ Delta x \u003d 0,1; \\, \\, \\ Delta y \u003d 0,1 $.
Рішення:
За визначенням приватного збільшення знайдемо:
$ \\ Delta _ (x) z \u003d (x + \\ Delta x) \\ cdot y $ - приватна приріст функції $ z \u003d f (x, y) $ по $ x $
$ \\ Delta _ (y) z \u003d x \\ cdot (y + \\ Delta y) $ - приватна приріст функції $ z \u003d f (x, y) $ по $ y $;
За визначенням повного збільшення знайдемо:
$ \\ Delta z \u003d (x + \\ Delta x) \\ cdot (y + \\ Delta y) $ - повний приріст функції $ z \u003d f (x, y) $.
отже,
\\ [\\ Delta _ (x) z \u003d (1 + 0,1) \\ cdot 2 \u003d 2,2 \\] \\ [\\ Delta _ (y) z \u003d 1 \\ cdot (2 + 0,1) \u003d 2,1 \\] \\ [\\ Delta z \u003d (1 + 0,1) \\ cdot (2 + 0,1) \u003d 1,1 \\ cdot 2,1 \u003d 2,31. \\]
зауваження 2
Повний приріст заданої функції $ z \u003d f (x, y) $ не дорівнює сумі її приватних збільшень $ \\ Delta _ (x) z $ і $ \\ Delta _ (y) z $. Математична запис: $ \\ Delta z \\ ne \\ Delta _ (x) z + \\ Delta _ (y) z $.
приклад 3
Перевірити твердження зауваження для функції
Рішення:
$ \\ Delta _ (x) z \u003d x + \\ Delta x + y $; $ \\ Delta _ (y) z \u003d x + y + \\ Delta y $; $ \\ Delta z \u003d x + \\ Delta x + y + \\ Delta y $ (отримані в прикладі 1)
Знайдемо суму приватних збільшень заданої функції $ z \u003d f (x, y) $
\\ [\\ Delta _ (x) z + \\ Delta _ (y) z \u003d x + \\ Delta x + y + (x + y + \\ Delta y) \u003d 2 \\ cdot (x + y) + \\ Delta x + \\ Delta y. \\]
\\ [\\ Delta _ (x) z + \\ Delta _ (y) z \\ ne \\ Delta z. \\]
визначення 2
Якщо для кожної трійки $ (x, y, z) $ значень трьох незалежних змінних з деякої області ставиться у відповідність певне значення $ w $, то кажуть, що $ w $ є функцією трьох змінних $ (x, y, z) $ в даній галузі.
Позначення: $ w \u003d f (x, y, z) $.
визначення 3
Якщо для кожної сукупності $ (x, y, z, ..., t) $ значень незалежних змінних з деякої області ставиться у відповідність певне значення $ w $, то кажуть, що $ w $ є функцією змінних $ (x, y, z, ..., t) $ в даній області.
Позначення: $ w \u003d f (x, y, z, ..., t) $.
Для функції від трьох і більше змінних, аналогічно як для функції двох змінних визначаються приватні збільшення по кожній із змінних:
$ \\ Delta _ (z) w \u003d f (x, y, z + \\ Delta z) -f (x, y, z) $ - приватна приріст функції $ w \u003d f (x, y, z, ..., t ) $ по $ z $;
$ \\ Delta _ (t) w \u003d f (x, y, z, ..., t + \\ Delta t) -f (x, y, z, ..., t) $ - приватна приріст функції $ w \u003d f (x, y, z, ..., t) $ по $ t $.
приклад 4
Записати приватні і повний приріст функції
Рішення:
За визначенням приватного збільшення знайдемо:
$ \\ Delta _ (x) w \u003d ((x + \\ Delta x) + y) \\ cdot z $ - приватна приріст функції $ w \u003d f (x, y, z) $ по $ x $
$ \\ Delta _ (y) w \u003d (x + (y + \\ Delta y)) \\ cdot z $ - приватна приріст функції $ w \u003d f (x, y, z) $ по $ y $;
$ \\ Delta _ (z) w \u003d (x + y) \\ cdot (z + \\ Delta z) $ - приватна приріст функції $ w \u003d f (x, y, z) $ по $ z $;
За визначенням повного збільшення знайдемо:
$ \\ Delta w \u003d ((x + \\ Delta x) + (y + \\ Delta y)) \\ cdot (z + \\ Delta z) $ - повний приріст функції $ w \u003d f (x, y, z) $.
приклад 5
Обчислити приватні і повний приріст функції $ w \u003d xyz $ в точці $ (1; 2; 1) $ при $ \\ Delta x \u003d 0,1; \\, \\, \\ Delta y \u003d 0,1; \\, \\, \\ Delta z \u003d 0,1 $.
Рішення:
За визначенням приватного збільшення знайдемо:
$ \\ Delta _ (x) w \u003d (x + \\ Delta x) \\ cdot y \\ cdot z $ - приватна приріст функції $ w \u003d f (x, y, z) $ по $ x $
$ \\ Delta _ (y) w \u003d x \\ cdot (y + \\ Delta y) \\ cdot z $ - приватна приріст функції $ w \u003d f (x, y, z) $ по $ y $;
$ \\ Delta _ (z) w \u003d x \\ cdot y \\ cdot (z + \\ Delta z) $ - приватна приріст функції $ w \u003d f (x, y, z) $ по $ z $;
За визначенням повного збільшення знайдемо:
$ \\ Delta w \u003d (x + \\ Delta x) \\ cdot (y + \\ Delta y) \\ cdot (z + \\ Delta z) $ - повний приріст функції $ w \u003d f (x, y, z) $.
отже,
\\ [\\ Delta _ (x) w \u003d (1 + 0,1) \\ cdot 2 \\ cdot 1 \u003d 2,2 \\] \\ [\\ Delta _ (y) w \u003d 1 \\ cdot (2 + 0,1) \\ \\ cdot (2 + 0,1) \\ cdot (1 + 0,1) \u003d 1,1 \\ cdot 2,1 \\ cdot 1,1 \u003d 2,541. \\]
З геометричної точки зору повний приріст функції $ z \u003d f (x, y) $ (за визначенням $ \\ Delta z \u003d f (x + \\ Delta x, y + \\ Delta y) -f (x, y) $) дорівнює збільшенню аппликати графіка функції $ z \u003d f (x, y) $ при переході від точки $ M (x, y) $ до точки $ M_ (1) (x + \\ Delta x, y + \\ Delta y) $ (рис. 1).
Малюнок 1.
