Рішення задач C4 з ЄДІ з математики (початок). IV

Часу до іспиту залишається все менше, пробні ЄДІ проводяться все частіше, нерви у школярів і їх вчителів натягуються все сильніше. Напередодні відкриття сезону «інтенсивної підготовки» до випускних і вступних іспитів пропоную вам потренуватися у вирішенні завдань C4 з посібника, розробленого МІОО для підготовки школярів до ЄДІ з математики. Завдання наведені з рішеннями, однак, корисно було б вирішити їх спершу самостійно.

Варіант 3. трикутник ABC вписаний в коло радіуса 12. Відомо, що AB \u003d 6 і BC \u003d 4. Знайдіть AC.

Рішення:

З теореми синусів для трикутника ABC маємо:

з основного тригонометричного тотожності знаходимо, що:

Тоді по теоремі косинусів для трикутника ABC маємо для обох випадків:

відповідь: √35 ± √15.

Варіант 5. У трикутнику ABCпроведені висоти BMі CN, O- центр вписаного кола. Відомо що BC \u003d24 , MN \u003d12. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника BOC.

Рішення:

Два можливі випадки: ∠A - гострий і ∠A - тупий

Можливі два випадки:

1) Нехай ∠ A - гострий (лівий малюнок). Доведемо, що трикутники AMN і ABC подібні. Дійсно, точки B, N, M і C лежать на окружності з діаметром BC, Отже, ∠ NMB = ∠NCB, З прямокутних трикутників BAM і BNC:
∠AMN = 90 0 — ∠NMB,∠B \u003d90 0 — ∠NCB, З чого, очевидно, випливає висновок, що ∠ AMN= ∠B, Крім того ∠ A- загальний для обох трикутників, отже, вони подібні за двома кутами.

з прямокутного трикутника AMB: cos∠ A = AM/AB ANC: cos∠ A = AN/AC.Ці ж відносини є, очевидно, співвідношеннями сторін в подібних трикутниках AMN і ABC, З чого випливає, що cos∠ A \u003d NM/BC \u003d1/2, а значить ∠ A \u003d60 0, Оскільки сума кутів в трикутнику дорівнює 180 0, ∠ B +∠C \u003d 120 0. Центр вписаною в трикутник кола лежить, як відомо, в точці перетину його биссектрис. З цього робимо висновок, що:
∠OBC +∠O CB \u003d 1/2 · (∠ B +∠C) \u003d 60 0, а значить ∠ BOC \u003d120 0. По теоремі синусів для трикутника BOC маємо: BC/ sin∠ BOC = 2R, де R R = 8√3.

2) Нехай тепер ∠ A - тупий (правий малюнок). З прямокутного трикутника ABM знаходимо, що cos∠ BAM = AM/AB, З прямокутного трикутника CAN знаходимо, що cos∠ CAN \u003d AN/AC. ∠BAM \u003d∠C AN , Так як вони вертикальні, значить AM/AB = AN/AC \u003d cos∠ BAM \u003d cos∠ BAС , Так як два останніх кута суміжні. значить трикутники ABC і ANM подібні за кутом і двом пропорційним сторонам. Коефіцієнт подібності дорівнює cos∠ BAС \u003d MN /BC \u003d -1/2, а сам кут ∠ BAС \u003d 120 0 .

Подальші міркування аналогічні. Оскільки сума кутів в трикутнику дорівнює 180 0, ∠ B +∠C \u003d 60 0. Центр вписаною в трикутник кола лежить в точці перетину його биссектрис, тому:
∠OBC +∠O CB \u003d 1/2 · (∠ B +∠C) \u003d 30 0, а значить ∠ BOC \u003d150 0. По теоремі синусів для трикутника BOC маємо: BC/ sin∠ BOC = 2R, де R- шуканий радіус описаного навколо трикутника кола. Звідси: R = 24.

відповідь: 8√3 або 24.

Варіант 8. Периметр рівнобедреної трапеції дорівнює 52. Відомо, що в цю трапецію можна вписати коло, причому бічна сторона ділиться точкою дотику щодо 4: 9. Пряма, що проходить через центр кола і вершину трапеції, відсікає від трапеції трикутник. Знайдіть відношення площі цього трикутника до площі трапеції.

Рішення:

Малюнок до вирішення завдання C4 з трапецією

По теоремі про відрізки дотичних KB = BP = PC = CQ = 4x, QD = DL = LA = AK = 9x, Тоді периметр трапеції дорівнює 4 · (9 x + 4x) \u003d 52, звідки x \u003d 1. Звідси обчислюємо бічні сторони AB = CD \u003d 13 і підстави BC = 8, AD \u003d 18. Тоді AH = (AD — BC) / 2 \u003d 5. З прямокутного трикутника BHA по теоремі Піфагора знаходимо висоту трапеції BH \u003d 12, sin∠ A \u003d sin∠ D \u003d 12/13. Площа трапеції тоді дорівнює S = (BC + AD) · BH/2 = 156.

Залежно від того, про який прямий йдеться в умові завдання, можливі два випадки:

1) Нехай дана пряма проходить через вершину, яка містить менше підставу трапеції (на малюнку пряма BM). Центр вписаною в кут окружності лежить на його бісектрисі, тобто ∠ ABM = ∠MBC, ∠MBC = ∠AMB (Як навхрест лежачі при паралельних прямих BC, AD і січною BM), Значить ∠ ABM = ∠AMB і трикутник ABM - рівнобедрений, AM = AB \u003d 13. Тоді площа трикутника ABM \u003d 0.5 · AB · AM · sin∠ A \u003d 0.5 · 13 · 13 · 12/13 \u003d 78, а шукане відношення дорівнює 78/156 \u003d 1/2.

2) Нехай тепер пряма, про яку йдеться в умові, проходить через вершину, яка містить менше підставу трапеції (на малюнку пряма AN). Виконаємо додаткове побудова: продовжимо підставу BC і пряму AN до перетину в точці Y. Аналогічно доводимо, що трикутник ABY - рівнобедрений, AB = BY = 13, CY = BY — BC \u003d 5. Трикутники CNY і AND подібні за двома кутами (∠ AND = ∠CNY як вертикальні, ∠ CYA = ∠YAD як навхрест лежачі при паралельних прямих BC, AD і січною AY), Значить DN : NC = AD : CY \u003d 18: 5, значить DN = 18/23 CD = 18/23 AB \u003d 234/23. Тоді площа трикутника ADN \u003d 0.5 · AD · DN · sin∠ D \u003d 0.5 · 18 · 234/23 · 12/13 \u003d 1944/23, а шукане відношення дорівнює 162/299.

відповідь: 1/2 або 162/299.

Сергій Валерійович

розділи: Математика

На підсумкових уроках з геометрії часу на те, щоб прорешать завдання по всьому курсу в цілому практично не залишається. А в Кіми ЄДІ традиційно включаються завдання, вирішення яких вимагає знань планіметрії по темі «Вписані і описані окружності». Тому запропонований матеріал допоможе не тільки згадати цю тему, але і систематизувати раніше отримані знання за рішенням планиметрических завдань на вписані і описані окружності, а також підготуватися до вирішення подібних завдань в ЄДІ. При цьому передбачається, що учень хоча б на мінімальному рівні володіє всім курсом шкільної геометрії (планіметрії).

Першим і найважливішим етапом рішення геометричній завдання є побудова креслення. Не можна навчитися вирішувати досить змістовні завдання, що не виробивши міцних навичок з виготовлення «хороших» креслень, які не виробивши звички (навіть рефлексу) - не починати вирішувати задачу, поки не зроблений «великий і красивий» креслення. В якості основного методу рішення геометричних завдань висувається алгебраїчний метод зі складанням подальшого алгоритму. Ставлячи на перше місце алгебраїчний метод, необхідно застерегти від надмірного захоплення алгеброю і рахунком, не забувати про те, що мова йде все ж про геометричні завдання, а тому, працюючи над завданням, слід шукати геометричні особливості, вчитися дивитися і бачити геометрію. Виділивши два доданків, що визначають уміння вирішувати геометричні завдання, - креслення плюс метод, додамо сюди третє - володіння певними аксіомами і опорними завданнями, відомими геометричними фактами.

I. Необхідні теореми і опорні завдання для кола, вписаного в трикутник і чотирикутник, і кола, описаного навколо трикутника і чотирикутника. ( Додаток 1 )

II. Рішення задач за готовими кресленнями (зручно скористатися кодоскоп).

При цьому учні усно пояснюють хід вирішення завдань, формулюють теореми і опорні задачі, що застосовуються при вирішенні завдань за готовими кресленнями.

готовий креслення	дано знайти	Рішення відповідь
	AB \u003d BC	Відрізки дотичних рівні: BM \u003d BK \u003d 5 AB \u003d BC \u003d 12 MC \u003d CN \u003d 7, AC \u003d 14, AK \u003d AN \u003d 7, PABC \u003d 12 + 12 + 14 \u003d 38 Відповідь: P ABC \u003d 38
	AB \u003d 6, АТ \u003d	Відрізки дотичних рівні: АВ \u003d ВС 1) , 2) АВ \u003d ВС,, тому що ВО - бісектриса 3) АВС - рівносторонній, PABC \u003d 6 3 \u003d 18 Відповідь: P ABC \u003d 18
	AD - діаметр окружності, АВ \u003d 3, ВД \u003d 4 1. Довести: NM AD 2. R \u003d?	1. Оскільки AD - діаметр, то DB AN і AC DN, тобто AC і DB - висоти Аnd, тоді NK - висота, тому що вони перетинаються в одній точці. Значить NM AD. 2. AD \u003d \u003d 5, R \u003d Відповідь: R \u003d 2,5
	R \u003d?	AC - діаметр окружності і гіпотенуза прямокутного АВС, R \u003d \u003d 1,5 Відповідь: R \u003d 1,5
	AB \u003d 24, ОК \u003d 5	Про - точка перетину серединних перпендикулярів до сторін. BKO - прямокутний, ВК \u003d AK \u003d 12, КО \u003d 5, ВО \u003d \u003d 13 \u003d R Відповідь: R \u003d 13

III. Розв'язання задач.

1. Знайти периметр прямокутного трикутника, якщо радіус вписаного кола 2 см, а гіпотенуза 13 см.

Нехай AM \u003d AN \u003d x, тоді AC \u003d x + 2, CB \u003d 2 + 13 - x \u003d 15 - x (X + 2) 2 + (15 - x) 2 \u003d 169 x 2 - 13x + 30 \u003d 0 x 1 \u003d 10, x 2 \u003d 3; AC \u003d 6, CB \u003d 12; P \u003d 30 см Відповідь: P \u003d 30 см.

2. Радіус вписаного в прямокутний трикутник кола 3 см, О - центр вписаного кола,,. Знайти площу трикутника.

АТ - бісектриса, AKO - прямокутний, sin \u003d sin 30 о \u003d , АТ \u003d 6, AN \u003d AK \u003d \u003d 3, AC \u003d 3 + 3, tg 60 о \u003d, CB \u003d S ABC \u003d = Відповідь: S \u003d см2.

3. Периметр трикутника 84. Точка дотику вписаного кола ділить одну зі сторін на відрізки 12 і 14. Знайти радіус вписаного кола і площа АВС, якщо ОВ \u003d 18, О - центр вписаного кола.

4. У трикутник відстань від центру вписаного кола до вершини не рівного кута 5 см. Велика сторона 10 см. Знайти радіус вписаного кола.

OB \u003d 5, , OM \u003d OB . = , BH \u003d 5 + r, AH \u003d 2r, AHB - прямокутний, 4r 2 \u003d 100 - (5 + r) 2, r 2 + 2r - 15 \u003d 0, r 1 \u003d - 5, r 2 \u003d 3 Відповідь: r \u003d 3 см.

5. Підстава рівнобедреного трикутника, вписаного в коло радіуса 5 см, дорівнює 6 см. Знайти периметр трикутника.

AHO - прямокутний: OH \u003d 4, BH \u003d 4 + 5 \u003d 9, AB \u003d BC \u003d \u003d P \u003d Відповідь: P \u003d см.

6. Периметр трикутника АВС дорівнює 72 см. AB \u003d BC, AB: AC \u003d 13:10. Знайти радіус описаного навколо трикутника кола.

AB + BC + AC \u003d 72, , AC \u003d 20, AB \u003d BC \u003d \u003d 26, BH \u003d \u003d 24 BN \u003d NA \u003d 13, , R \u003d Відповідь: R \u003d см.

7. Підстава тупоугольного рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см, а радіус описаного кола 13 см. Знайти бічну сторону трикутника.

8. Коло, діаметром якої служить АС трикутника АВС, проходить через точку перетину медіан цього трикутника. Знайти відношення довжини сторони АС до довжини проведеної до неї медіани.

AO \u003d OC \u003d R \u003d OM, BM \u003d 2R, BO \u003d 3R, Відповідь:.

9. Знайдіть площу рівнобедреної трапеції, описаної близько окружності з радіусом 4, якщо відомо, що бічна сторона трапеції дорівнює 10.

S ABCD \u003d Оскільки окружність вписана, то AB + CD \u003d AD + BC \u003d 20 h \u003d 2r \u003d 8, , S ABCD \u003d 10 8 \u003d 80 Відповідь: 80.

10. Дан ромб ABCD. Коло, описане навколо трикутника ABD, перетинає велику діагональ ромба AC в точці E. Знайдіть CE, якщо AB \u003d, BD \u003d 16.

IV. завдання для самостійного рішення.

1. Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює 2 см, а радіус описаного кола дорівнює 5 см. Знайдіть більший катет трикутника.

Відповідь: (6; 8).

2. Близько рівнобедреного трикутника з основою АС і кутом при підставі 75Про описана окружність з центром О. Знайдіть її радіус, якщо площа трикутника ВОС дорівнює 16.

Відповідь: (8).

3. Знайдіть радіус кола, вписаного в гострокутний трикутник АВС, якщо висота BH дорівнює 12 і відомо, що,.

Відповідь: (4).

4. Один з катетів прямокутного трикутника дорівнює 15, а проекція другого катета на гіпотенузу дорівнює 16. Знайдіть діаметр кола, описаного навколо цього трикутника.

Відповідь: (25).

5. У трикутник АВС вписане коло. Паралельно його основи АС проведена дотична до кола, перетинає бічні сторони в точках D і E. Знайдіть радіус кола, якщо DE \u003d 8, AC \u003d 18.

Відповідь: (6).

6. Близько трикутника ABC описана окружність. Медіана трикутника AM продовжена до перетину з колом в точці K. Знайдіть сторону AC, якщо AM \u003d 18, MK \u003d 8, BK \u003d 10.

Відповідь: (15).

7. Коло, вписане в трикутник, стосується його бічних сторін в точках K і A. Точка K ділить сторону цього трикутника на відрізки 15 і 10, рахуючи від підстави. Знайдіть довжину відрізка KA.

Відповідь: (12).

8. Кут В трикутника АВС дорівнює 60 о, радіус кола, описаного навколо АВС, дорівнює 2. Знайти радіус кола, що проходить через точки А і С і центр кола, вписаного в АВС.

Відповідь: (2).

9. Сторони трикутника дорівнюють 5, 6 і 7. Знайти відношення відрізків, на які бісектриса більшого кута цього трикутника розділена центром кола, вписаного в трикутник.

Відповідь: (11: 7).

10. Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник, дорівнює полуразность його катетів. Знайти відношення більшого катета до меншого.

,. Знайдіть гіпотенузу і радіус кола, описаного навколо трикутника.

Якщо всі сторони багатокутника стосуються окружності, то коло називається вписаною в багатокутник, А багатокутник - описаним біля цієї окружності. На малюнку 231 чотирикутник EFMN описаний близько окружності з центром О, а чотирикутник DKMN не є описаним близько цієї окружності, так як сторона DK не стосується окружності.

Мал. 231

На малюнку 232 трикутник АВС описаний близько окружності з центром О.

Мал. 232

Доведемо теорему про кола, вписаного в трикутник.

теорема

Доведення

Розглянемо довільний трикутник АВС і позначимо літерою Про точку перетину його биссектрис. Проведемо з точки Про перпендикуляри OK, OL і ОМ відповідно до сторін АВ, ВС і СА (див. Рис. 232). Так як точка Про рівновіддалена від сторін трикутника АВС, то OK \u003d OL \u003d ОМ. Тому коло з центром О радіуса ОК проходить через точки K, L і М. Сторони трикутника АВС стосуються цієї окружності в точках K, L, М, так як вони перпендикулярні до радіусів OK, OL і ОМ. Значить, коло з центром О радіуса ОК є вписаною в трикутник АВС. Теорема доведена.

зауваження 1

Відзначимо, що в трикутник можна вписати тільки одне коло.

Справді, припустимо, що в трикутник можна вписати дві окружності. Тоді центр кожного кола рівновіддалений від сторін трикутника і, отже, збігається з точкою О перетину биссектрис трикутника, а радіус дорівнює відстані від точки О до сторін трикутника. Отже, ці кола співпадають.

зауваження 2

Звернемося до малюнка 232. Ми бачимо, що трикутник АВС складений з трьох трикутників: ABO, ВСО та САО. Якщо в кожному з цих трикутників прийняти за основу сторону трикутника АВС, то висотою виявиться радіус r кола, вписаного в трикутник АВС. Тому площа S трикутника АВС виражається формулою

Таким чином,

зауваження 3

На відміну від трикутника не у всякий чотирикутник можна вписати коло.

Розглянемо, наприклад, прямокутник, у якого суміжні сторони не рівні, т. Е. Прямокутник, який не є квадратом. Ясно, що в такій прямокутник можна «помістити» коло, що стосується трьох його сторін (рис. 233, а), але не можна «помістити» окружність так, щоб вона стосувалася всіх чотирьох його сторін, т. Е. Не можна вписати коло. Якщо ж в чотирикутник можна вписати коло, то його боку, мають таку дивовижну властивість:

Мал. 233

Це властивість легко встановити, використовуючи малюнок 233, б, на якому одними і тими ж буквами позначені рівні відрізки дотичних. Справді, АВ + CD \u003d а + b + с + d, ВС + AD-a + b + c + d, тому АВ + CD \u003d ВС + AD. Виявляється, вірно і зворотне твердження:

описана окружність

Якщо все вершини багатокутника лежать на окружності, то коло називається описаної близько багатокутника, а багатокутник - вписаним в цю окружність. На малюнку 234 чотирикутник ABCD вписаний в коло з центром О, а чотирикутник AECD не є вписаним в це коло, так як вершина Е не лежить на колі.

Мал. 234

Трикутник АВС на малюнку 235 є вписаною в коло з центром О.

Мал. 235

Доведемо теорему про кола, описаного навколо трикутника.

теорема

Доведення

Розглянемо довільний трикутник АВС. Позначимо буквою Про точку перетину серединних перпендикулярів до його сторонам і проведемо відрізки ОА, ОВ і ОС (рис. 235). Так як точка Про рівновіддалена від вершин трикутника АВС, то Про А \u003d ОВ \u003d ОС. Тому коло з центром О радіуса ОА проходить через всі три вершини трикутника і, отже, є описаного навколо трикутника АВС. Теорема доведена.

зауваження 1

Відмітимо, що близько трикутника можна описати тільки одне коло.

Справді, припустимо, що близько трикутника можна описати дві окружності. Тоді центр кожної з них рівновіддалений від його вершин і тому збігається з точкою О перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника, а радіус дорівнює відстані від точки О до вершин трикутника. Отже, ці кола співпадають.

зауваження 2

На відміну від трикутника близько чотирикутника не завжди можна описати коло.

Наприклад, не можна описати коло близько ромба, яка не є квадратом (поясніть чому). Якщо ж близько чотирикутника можна описати коло, то його кути мають наступну чудову властивість:

Це властивість легко встановити, якщо звернутися до малюнка 236 і скористатися теоремою про вписаний. Справді,

звідки слід

Мал. 236

Виявляється, вірно і зворотне:

завдання

689. У трикутник основа дорівнює 10 см, а бічна сторона дорівнює 13 см. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей трикутник.

690. Знайдіть основу рівнобедреного трикутника, якщо центр вписаного в нього кола ділить висоту, проведену до основи, щодо 12: 5, рахуючи від вершини, а бічна сторона дорівнює 60 см.

691. Точка дотику кола, вписаного в трикутник, ділить одну з бічних сторін на відрізки, рівні 3 см і 4 см, рахуючи від підстави. Знайдіть периметр трикутника.

692. В трикутник АВС вписане коло, яка стосується сторін АВ, ВС і СА в точках Р, Q і R. Знайдіть АР, РВ, BQ, QC, СВ, RA, якщо АВ \u003d 10 см, ВС \u003d 12 см, СА \u003d 5 см.

693. В прямокутний трикутник вписане коло радіуса р Знайдіть периметр трикутника, якщо: а) гіпотенуза дорівнює 26 см, r \u003d 4 см; б) точка дотику ділить гіпотенузу на відрізки, рівні 5 см і 12 см.

694. Знайдіть діаметр кола, вписаного в прямокутний трикутник, якщо гіпотенуза трикутника дорівнює с, а сума катетів дорівнює m.

695. Сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнює 15 см. Знайдіть периметр цього чотирикутника.

696. Доведіть, що якщо в паралелограм можна вписати коло, то цей паралелограм - ромб.

697. Доведіть, що площа описаного багатокутника дорівнює половині твори його периметра на радіус вписаного кола.

698. Сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнює 12 см, а радіус вписаного в нього кола дорівнює 5 см. Знайдіть площу чотирикутника.

699. Сума двох протилежних сторін описаного чотирикутника дорівнює 10 см, а його площа - 12 см 2. Знайдіть радіус кола, вписаного в цей чотирикутник.

700. Доведіть, що в будь-який ромб можна вписати коло.

701. Накресліть три трикутника: гострокутний, прямокутний і тупокутний. У кожен з них впишіть окружність.

702. В коло вписаний трикутник АВС так, що АВ - діаметр окружності. Знайдіть кути трикутника, якщо: а) BC \u003d 134 °; б) АС \u003d 70 °.

703. В коло вписаний трикутник АВС з основою ВС. Знайдіть кути трикутника, якщо ВС \u003d 102 °.

704. Коло з центром Про описана близько прямокутного трикутника. а) Доведіть, що точка О - середина гіпотенузи. б) Знайдіть сторони трикутника, якщо діаметр кола дорівнює d, а один з гострих кутів трикутника дорівнює α.

705. Близько прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С описана окружність. Знайдіть радіус цього кола, якщо: а) АС \u003d 8 см, ВС \u003d 6 см; б) АС \u003d 18 см, ∠B \u003d 30 °.

706. Знайдіть сторону рівностороннього трикутника, якщо радіус описаного навколо нього кола дорівнює 10 см.

707. Кут, протилежний основи рівнобедреного трикутника, дорівнює 120 °, бічна сторона трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть діаметр кола, описаного навколо цього трикутника.

708. Доведіть, що можна описати коло: а) близько будь-якого прямокутника; б) близько будь рівнобедреної трапеції.

709. Доведіть, що якщо близько паралелограма можна описати коло, то цей паралелограм - прямокутник.

710. Доведіть, що якщо близько трапеції можна описати коло, то ця трапеція рівнобедрена.

711. Накресліть три трикутника: тупоугольние, прямокутний і рівносторонній. Для кожного з них побудуйте описану окружність.