На малюнку зображено графіки y kx b. Лінійна функція

Завдання на властивості та графіки квадратичної функціївикликають, як свідчить практика, серйозні труднощі. Це досить дивно, бо квадратичну функцію проходять у 8 класі, а потім усю першу чверть 9-го класу "вимучують" властивості параболи та будують її графіки для різних параметрів.

Це з тим, що змушуючи учнів будувати параболи, мало приділяють часу на " читання " графіків, тобто практикують осмислення інформації, отриманої з картинки. Очевидно, передбачається, що, побудувавши зо два десятки графіків, кмітливий школяр сам виявить і сформулює зв'язок коефіцієнтів у формулі і зовнішній вигляд графіка. На практиці так не виходить. Для такого узагальнення необхідний серйозний досвід математичних міні досліджень, яким більшість дев'ятикласників, звичайно, не має. А тим часом, у ДПА пропонують саме за графіком визначити знаки коефіцієнтів.

Не вимагатимемо від школярів неможливого і просто запропонуємо один із алгоритмів вирішення подібних завдань.

Отже, функція виду y = ax 2 + bx + cназивається квадратичною, графіком її є парабола. Як випливає з назви, головним доданком є ax 2. Тобто ане повинно дорівнювати нулю, інші коефіцієнти ( bі з) нулю дорівнювати можуть.

Подивимося, як впливають зовнішній вигляд параболи знаки її коефіцієнтів.

Найпростіша залежність для коефіцієнта а. Більшість школярів впевнено відповідає: а> 0, то гілки параболи спрямовані вгору, і якщо а < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой а > 0.

y = 0,5x 2 - 3x + 1

У даному випадку а = 0,5

А тепер для а < 0:

y = - 0,5x2 - 3x + 1

В даному випадку а = - 0,5

Вплив коефіцієнта зтеж досить легко простежити. Уявімо, що ми хочемо знайти значення функції у точці х= 0. Підставимо нуль у формулу:

y = a 0 2 + b 0 + c = c. Виходить що у = с. Тобто з- це ордината точки перетину параболи з віссю. Як правило, цю точку легко знайти на графіку. І визначити вище за нуль вона лежить або нижче. Тобто з> 0 або з < 0.

з > 0:

y = x 2 + 4x + 3

з < 0

y = x 2 + 4x - 3

Відповідно, якщо з= 0, то парабола обов'язково проходитиме через початок координат:

y = x 2 + 4x

Складніше з параметром b. Точка, за якою ми його знаходитимемо, залежить не тільки від bале й від а. Це вершина параболи. Її абсцисса (координата з осі х) знаходиться за формулою х в = - b/(2а). Таким чином, b = - 2ах. Тобто, діємо наступним чином: на графіку знаходимо вершину параболи, визначаємо знак її абсциси, тобто дивимося правіше за нуль ( х в> 0) або лівіше ( х в < 0) она лежит.

Однак, це не все. Потрібно ще звернути увагу на знак коефіцієнта а. Тобто подивитися, куди спрямовані гілки параболи. І лише після цього за формулою b = - 2ахвизначити знак b.

Розглянемо приклад:

Гілки спрямовані вгору, отже а> 0, парабола перетинає вісь унижче за нуль, значить з < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, х в> 0. Значить b = - 2ах = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: а > 0, b < 0, з < 0.

Лінійною функцієюназивається функція виду y = kx + b, Задана на безлічі всіх дійсних чисел. Тут k- Кутовий коефіцієнт (дійсне число), b – вільний член (дійсне число), x- Незалежна змінна.

В окремому випадку, якщо k = 0, отримаємо постійну функцію y = bграфік якої є пряма, паралельна осі Ox, що проходить через точку з координатами (0; b).

Якщо b = 0, то отримаємо функцію y = kx, Яка є прямою пропорційністю.

b – довжина відрізка, Який відсікає пряма по осі Oy, рахуючи від початку координат.

Геометричний зміст коефіцієнта k – кут нахилупрямий до позитивного напрямку осі Ox вважається проти годинникової стрілки.

Властивості лінійної функції:

1) Область визначення лінійної функції є вся речова вісь;

2) Якщо k ≠ 0, то область значень лінійної функції є вся речова вісь. Якщо k = 0, то область значень лінійної функції складається з числа b;

3) Парність та непарність лінійної функції залежать від значень коефіцієнтів kі b.

a) b ≠ 0, k = 0,отже, y = b – парна;

b) b = 0, k ≠ 0,отже y = kx - непарна;

c) b ≠ 0, k ≠ 0,отже y = kx + b – функція загального виду;

d) b = 0, k = 0,отже y = 0 – як парна, і непарна функція.

4) Властивістю періодичності лінійна функція не має;

5) Точки перетину з осями координат:

Ox: y = kx + b = 0, x = -b/k, отже (-b/k; 0)- Точка перетину з віссю абсцис.

Ой: y = 0k + b = b, отже (0; b)- Точка перетину з віссю ординат.

Зауваження.Якщо b = 0і k = 0, то функція y = 0звертається в нуль за будь-якого значення змінної х. Якщо b ≠ 0і k = 0, то функція y = bне звертається в нуль за жодних значень змінної х.

6) Проміжки знаковості залежать від коефіцієнта k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- Позитивна при xз (-b/k; +∞),

y = kx + b- Від'ємна при xз (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- Позитивна при xз (-∞; -b/k),

y = kx + b- Від'ємна при xз (-b/k; +∞).

c) k = 0, b> 0; y = kx + bпозитивна по всій області визначення,

k = 0, b< 0; y = kx + b негативна по всій області визначення.

7) Проміжки монотонності лінійної функції залежить від коефіцієнта k.

k > 0, отже y = kx + bзростає по всій області визначення,

k< 0 , отже y = kx + bзменшується по всій області визначення.

8) Графік лінійної функції є пряма. Для побудови прямої достатньо знати дві точки. Положення прямої на координатній площині залежить від значень коефіцієнтів kі b. Нижче наведено таблицю, яка наочно це ілюструє.

Лінійною функцією називається функція виду y=kx+b, де x-незалежна змінна, k та b-будь-які числа.
Графік лінійної функції є пряма.

1. Щоб постояти графік функції, нам потрібні координати двох точок, що належать графіку функції. Щоб їх знайти, потрібно взяти два значення х, підставити їх у рівняння функції, і з них обчислити відповідні значення y.

Наприклад, щоб побудувати графік функції y=x+2, зручно взяти x=0 та x=3, тоді ординати цих точок дорівнюватимуть y=2 та y=3. Отримаємо точки А(0;2) та В(3;3). З'єднаємо їх та отримаємо графік функції y=x+2:

2. У формулі y=kx+b число k називається коефіцієнтом пропорційності:
якщо k>0, то функція y=kx+b зростає
якщо k
Коефіцієнт b показує усунення графіка функції вздовж осі OY:
якщо b>0, то графік функції y=kx+b виходить із графіка функціїy=kx зрушенням на b одиниць вгору вздовж осі OY
якщо b
На малюнку нижче зображено графіки функцій y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Зауважимо, що у всіх цих функціях коефіцієнт k більше нуля,та функції є зростаючими.Причому чим більше значення k, тим більше кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі OX.

У всіх функціях b=3 – і бачимо, що це графіки перетинають вісь OY у точці (0;3)

Тепер розглянемо графіки функцій y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На цей раз у всіх функціях коефіцієнт k менше нуля,та функції спадають.Коефіцієнт b=3, і графіки як у попередньому випадку перетинають вісь OY в точці (0;3)

Розглянемо графіки функцій y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Тепер у всіх рівняннях функцій коефіцієнти k дорівнюють 2. І ми отримали три паралельні прямі.

Але коефіцієнти b різні, і ці графіки перетинають вісь OY у різних точках:
Графік функції y=2x+3 (b=3) перетинає вісь OY у точці (0;3)
Графік функції y=2x (b=0) перетинає вісь OY у точці (0;0) – початку координат.
Графік функції y=2x-3 (b=-3) перетинає вісь OY у точці (0;-3)

Отже, якщо знаємо знаки коефіцієнтів k і b, можемо відразу уявити, як виглядає графік функції y=kx+b.
Якщо k 0

Якщо k>0 та b>0, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k>0 та b, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k, то графік функції y=kx+b має вигляд:

Якщо k=0, то функція y=kx+b перетворюється на функцію y=b та її графік має вигляд:

Ординати всіх точок графіка функції y=b дорівнюють b Якщо b=0, То графік функції y = kx (пряма пропорційність) проходить через початок координат:

3. Окремо відзначимо графік рівняння x = a.Графік цього рівняння є пряму лінію, паралельну осі OY всі точки якої мають абсцису x=a.

Наприклад, графік рівняння x=3 виглядає так:
Увага!Рівняння x=a не є функцією, тому одному значенню аргументу відповідають різні значенняфункції, що відповідає визначенню функції.

4. Умова паралельності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 паралельний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 =k 2

5. Умова перепендикулярності двох прямих:

Графік функції y=k 1 x+b 1 перепендикулярний графіку функції y=k 2 x+b 2 якщо k 1 *k 2 =-1 або k 1 =-1/k 2

6. Точки перетину графіка функції y=kx+b із осями координат.

З віссю ОY. Абсцис будь-якої точки, що належить осі ОY дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОY потрібно в рівняння функції замість х підставити нуль. Отримаємо y=b. Тобто точка перетину з віссю OY має координати (0; b).

З віссю ОХ: Ордината будь-якої точки, що належить осі ОХ, дорівнює нулю. Тому, щоб знайти точку перетину з віссю ОХ, потрібно в рівняння функції замість y підставити нуль. Отримаємо 0=kx+b. Звідси x=-b/k. Тобто точка перетину з віссю OX має координати (-b/k; 0):

5. Одночленомназивається добуток числових і буквених множників. Коефіцієнтомназивається числовий множник одночлена.

6. Щоб одночлен записати у стандартному вигляді, треба: 1) Перемножити числові множники та їх добуток поставити на перше місце; 2) Перемножити ступені з однаковими основами та отриманий твір поставити після числового множника.

7. Багаточленом називаєтьсяалгебраїчна сума кількох одночленів.

8. Щоб помножити одночлен на багаточлен,треба одночлен помножити на кожен член багаточлена та отримані твори скласти.

9. Щоб помножити багаточлен на багаточлен,треба кожен член одного многочлена помножити на кожен член іншого багаточлена та отримані твори скласти.

10. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж лише одну.

11. Дві прямі або мають лише одну загальну точку або не мають спільних точок.

12. Дві геометричні фігури називаються рівними, якщо можна поєднати накладенням.

13. Точка відрізка, що ділить його навпіл, тобто на два рівні відрізки, називається серединою відрізка.

14. Промінь, що виходить з вершини кута і ділить його на два рівні кути, називається бісектрисою кута.

15. Розгорнутий кут дорівнює 180 °.

16. Кут називається прямим, якщо він дорівнює 90 °.

17. Кут називається гострим, якщо він менший за 90°, тобто менше прямого кута.

18. Кут називається тупим, якщо він більше 90 °, але менше 180 °, тобто більше прямого, але менше розгорнутого кута.

19. Два кути, у яких одна сторона спільна, а дві інші є продовженнями одна одною, називаються суміжними.

20. Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.

21. Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є продовження сторін іншого.

22. Вертикальні кути рівні.

23. Дві прямі, що перетинаються, називаються перпендикулярними (або взаємно

перпендикулярними), якщо вони утворюють чотири прямі кути.

24. Дві прямі, перпендикулярні до третього, не перетинаються.

25. Розкласти багаточлен на множники- означає уявити його у вигляді твору кількох одночленів та багаточленів.

26. Способи розкладання багаточлена на множники:

а) винесення за дужки загального множника,

б) використання формул скороченого множення,

в) спосіб угруповання.

27. Щоб розкласти багаточлен на множники способом винесення загального множника за дужки, треба:

а) знайти цей спільний множник,

б) винести його за дужки,

в) кожен доданок многочлена розділити цей множник і отримані результати скласти.

Ознаки рівності трикутників

1) Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам та куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

2) Якщо сторона і два кути одного трикутника, що до неї прилягають, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

3) Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Освітній мінімум

1. Розкладання на множники за формулами скороченого множення:

a 2 – b 2 = (а – b) (а + b)

а 3 - b 3 = (а - b) (а 2 + ab + b 2)

а 3 + b 3 = (а + b) (а 2 - а b + b 2)

2. Формули скороченого множення:

(а + b) 2 = а 2 + 2аb + b 2

(а - b) 2 = а 2 - 2аb + b 2

(а + b) 3 = а 3 + 3а 2 b + 3аb 2 + b 3

(а – b) 3 = а 3 – 3а 2 b + 3аb 2 – b 3

3. Відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони, називається медіаноютрикутник.

4. Перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону, називається заввишкитрикутник.

5. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

6. У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною та висотою.

7. Коломназивається геометрична фігура, що складається зі всіх точок площини, розташованих на заданій відстані від цієї точки.

8. Відрізок, що з'єднує центр з якоюсь точкою кола називається радіусомкола .

9. Відрізок, що з'єднує дві точки кола, називається її хордий.

Хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром

10. Прямою пропорційністю у = кх , де х - незалежна змінна, до - Не рівне нулю число ( до - Коефіцієнт пропорційності).

11. Графік прямої пропорційності- Це пряма, що проходить через початок координат.

12. Лінійною функцієюназивається функція, яку можна задати формулою у = кх + b , де х - незалежна змінна, до і b - Деякі числа.

13. Графік лінійної функції- Це пряма.

14 х - аргумент функції (незалежна змінна)

у – значення функції (залежна змінна)

15. При b=0функція набуває вигляду y=kx, її графік проходить через початок координат.

При k=0функція набуває вигляду y=b, її графік - горизонтальна пряма, що проходить через точку ( 0; b).

Відповідність між графіками лінійної функції та знаками коефіцієнтів k та b

1.Дві прямі на площині називаються паралельними,якщо вони не перетинаються.