Складні похідні. Логарифмічна похідна.
Похідна статечно-показовою функції

Продовжуємо підвищувати свою техніку диференціювання. На даному уроці ми закріпимо пройдений матеріал, розглянемо більш складні похідні, а також познайомимося з новими прийомами і хитрощами знаходження похідної, зокрема, з логарифмічною похідною.

Тим читачам, у кого низький рівень підготовки, слід звернутися до статті Як знайти похідну? приклади рішень, Яка дозволить підняти свої навички практично з нуля. Далі необхідно уважно вивчити сторінку Похідна складної функції, Зрозуміти і прорешать всінаведені мною приклади. Даний урок логічно третій за рахунком, і після його освоєння Ви будете впевнено диференціювати досить складні функції. Небажано дотримуватися позиції «Куди ще? Та й так вистачить! », Оскільки всі приклади і прийоми рішення взяті з реальних контрольних робіті часто зустрічаються на практиці.

Почнемо з повторення. На уроці Похідна складної функціїми розглянули ряд прикладів з докладними коментарями. В ході вивчення диференціального обчислення і інших розділів математичного аналізу - диференціювати доведеться дуже часто, і не завжди буває зручно (та й не завжди потрібно) розписувати приклади дуже докладно. Тому ми потренуємося в усному знаходженні похідних. Самим придатними «кандидатами» для цього є похідні найпростіших зі складних функцій, наприклад:

За правилом диференціювання складної функції :

При вивченні інших тем мату в майбутньому така докладна запис найчастіше не потрібно, передбачається, що студент вміє знаходити подібні похідні на автопілоті автоматі. Уявімо, що о 3 годині ночі пролунав телефонний дзвінок, і приємний голос запитав: «Чому дорівнює похідна тангенса двох ікс?». На це повинен послідувати майже миттєвий і ввічливий відповідь: .

Перший приклад буде одразу призначений для самостійного рішення.

приклад 1

Знайти такі похідні усно, в одну дію, наприклад:. Для виконання завдання потрібно використовувати тільки таблицю похідних елементарних функцій(Якщо вона ще не запам'яталася). Якщо виникнуть труднощі, рекомендую перечитати урок Похідна складної функції.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Відповіді в кінці уроку

складні похідні

Після попередньої артпідготовки будуть менш страшні приклади, з 3-4-5 вкладеннями функцій. Можливо, такі два приклади здадуться деяким складними, але якщо їх зрозуміти (хтось і помучиться), то майже все інше в диференціальному обчисленні буде здаватися дитячої жартом.

приклад 2

Знайти похідну функції

Як вже зазначалося, при знаходженні похідної складної функції, перш за все, необхідно правильноРОЗІБРАТИСЯ у вкладеннях. У тих випадках, коли є сумніви, нагадую корисний прийом: беремо піддослідна значення «ікс», наприклад, і пробуємо (подумки або на чернетці) підставити дане значенняв «страшне вираз».

1) Спочатку нам потрібно обчислити вираз, значить, сума - найглибше вкладення.

2) Потім необхідно обчислити логарифм:

4) Потім косинус звести в куб:

5) На п'ятому кроці різниця:

6) І, нарешті, сама зовнішня функція - це квадратний корінь:

Формула диференціювання складної функції застосуються в зворотному порядку, від самої зовнішньої функції, до самої внутрішньої. вирішуємо:

Начебто без помилок ....

(1) Беремо похідну від квадратного кореня.

(2) Беремо похідну від різниці, використовуючи правило

(3) Похідна трійки дорівнює нулю. У другому доданку беремо похідну від ступеня (куба).

(4) Беремо похідну від косинуса.

(5) Беремо похідну від логарифма.

(6) І, нарешті, беремо похідну від найглибшого вкладення.

Може здатися занадто важко, але це ще не самий звірячий приклад. Візьміть, наприклад, збірник Кузнєцова і ви оціните всю красу і простоту розібраної похідною. Я помітив, що схожу штуку люблять давати на іспиті, щоб перевірити, розуміє студент, як знаходити похідну складеної функції, або не розуміє.

Наступний приклад для самостійного рішення.

приклад 3

Знайти похідну функції

Підказка: Спочатку застосовуємо правила лінійності і правило диференціювання твори

Повне рішення і відповідь в кінці уроку.

Настав час перейти до чого-небудь більш компактному і симпатичному.
Чи не рідкісна ситуація, коли в прикладі дано твір не двох, а трьох функцій. Як знайти похідну від твору трьох множників?

приклад 4

Знайти похідну функції

Спочатку дивимося, а чи не можна твір трьох функцій перетворити на витвір двох функцій? Наприклад, якби у нас в творі було два многочлена, то можна було б розкрити дужки. Але в розглянутому прикладі всі функції різні: ступінь, експонента і логарифм.

У таких випадках необхідно послідовнозастосувати правило диференціювання твори два рази

Фокус полягає в тому, що за «у» ми позначимо твір двох функцій:, а за «ве» - логарифм:. Чому так можна зробити? А хіба - це не твір двох множників і правило не працює ?! Нічого складного немає:

Тепер залишилося вдруге застосувати правило до дужки:

Можна ще поізвращаться і винести що-небудь за дужки, але в даному випадкувідповідь краще залишити саме в такому вигляді - легше буде перевіряти.

Розглянутий приклад можна вирішити другим способом:

Обидва способи вирішення абсолютно рівноцінні.

приклад 5

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення, в зразку воно вирішено першим способом.

Розглянемо аналогічні приклади з дробом.

приклад 6

Знайти похідну функції

Тут можна піти декількома шляхами:

Або так:

Але рішення запишеться більш компактно, якщо в першу чергу керуватися правилом диференціювання приватного , Прийнявши за весь чисельник:

В принципі, приклад вирішене, і якщо його залишити в такому вигляді, то це не буде помилкою. Але при наявності часу завжди бажано перевірити на чернетці, а чи не можна відповідь спростити? Наведемо вираз чисельника до спільного знаменникаі позбудемося триповерховий дроби:

Мінус додаткових спрощень полягає в тому, що є ризик припуститися помилки вже не при знаходженні похідної, а при банальних шкільних перетвореннях. З іншого боку, викладачі нерідко бракують завдання і просять «довести до розуму» похідну.

Більш простий приклад для самостійного рішення:

приклад 7

Знайти похідну функції

Продовжуємо освоювати прийоми знаходження похідної, і зараз ми розглянемо типовий випадок, коли для диференціювання запропонований «страшний» логарифм

приклад 8

Знайти похідну функції

Тут можна піти довгим шляхом, використовуючи правило диференціювання складної функції:

Але перший же крок відразу засмучує - належить узяти неприємну похідну від дробу ступеня, а потім ще й від дробу.

Тому перед тимяк брати похідну від «крутого» логарифма, його попередньо спрощують, використовуючи відомі шкільні властивості:

! Якщо під рукою є зошит з практикою, перепишіть ці формули прямо туди. Якщо зошити немає, перемалюють їх на листочок, оскільки залишилися приклади уроку буду обертатися навколо цих формул.

Саме рішення можна оформити приблизно так:

Перетворимо функцію:

Знаходимо похідну:

Попереднє перетворення самої функції значно спростило рішення. Таким чином, коли для диференціювання запропонований подібний логарифм, то його завжди доцільно «розвалити».

А зараз пара нескладних прикладів для самостійного рішення:

приклад 9

Знайти похідну функції

приклад 10

Знайти похідну функції

Всі перетворення і відповіді в кінці уроку.

логарифмічна похідна

Якщо похідна від логарифмів - це така солодка музика, то виникає питання, а чи не можна в деяких випадках організувати логарифм штучно? Можна, можливо! І навіть потрібно.

приклад 11

Знайти похідну функції

Схожі приклади ми недавно розглянули. Що робити? Можна послідовно застосувати правило диференціювання приватного, а потім правило диференціювання твори. Недолік методу полягає в тому, що вийде величезна триповерхова дріб, з якої зовсім не хочеться мати справи.

Але в теорії і практиці є така чудова річ, як логарифмічна похідна. Логарифми можна організувати штучно, «навісивши» їх на обидві частини:

Тепер потрібно максимально «розвалити» логарифм правій частині (формули перед очима?). Я розпишу цей процес дуже докладно:

Власне приступаємо до диференціювання.
Укладаємо під штрих обидві частини:

Похідна правій частині досить проста, її я коментувати не буду, оскільки якщо ви читаєте цей текст, то повинні впевнено впоратися з цим завданням.

Як бути з лівою частиною?

У лівій частині у нас складна функція. Передбачаю запитання: «Чому, там же одна буква« ігрек »під логарифмом?».

Справа в тому, що ця «одна буква ігрек» - САМА ПО СОБІ Є ФУНКЦІЄЮ(Якщо не дуже зрозуміло, зверніться до статті Похідна від функції, заданої неявно). Тому логарифм - це зовнішня функція, а «ігрек» - внутрішня функція. І ми використовуємо правило диференціювання складної функції :

У лівій частині як за помахом чарівної паличкиу нас «намалювалася» похідна. Далі за правилом пропорції перекидаємо «ігрек» з знаменника лівій частині наверх правій частині:

А тепер згадуємо, про який такий «ігрек» -функції ми міркували при диференціюванні? Дивимося на умова:

Остаточна відповідь:

приклад 12

Знайти похідну функції

Це приклад для самостійного рішення. Зразок оформлення прикладу даного типу в кінці уроку.

За допомогою логарифмічною похідною можна було вирішити будь-яке із прикладів №№4-7, інша справа, що там функції простіше, і, може бути, використання логарифмічною похідною не дуже-то і виправдано.

Похідна статечно-показовою функції

Дану функцію ми ще не розглядали. Статечно-показова функція - це функція, у якій і ступінь і підстава залежать від «ікс». класичний приклад, Який вам приведуть в будь-якому підручнику або на будь-який лекції:

Як знайти похідну від статечно-показовою функції?

Необхідно використовувати тільки що розглянутий прийом - логарифмічну похідну. Навішуємо логарифми на обидві частини:

Як правило, в правій частині з-під логарифма виноситься ступінь:

В результаті в правій частині у нас вийшло твір двох функцій, яке буде диференціюватися за стандартною формулою .

Знаходимо похідну, для цього робимо висновок обидві частини під штрихи:

Подальші дії нескладні:

остаточно:

Якщо якесь перетворення не зовсім зрозуміло, будь ласка, уважно перечитайте пояснення Прімера №11.

У практичних завданнях статечно-показова функція завжди буде складніше, ніж розглянутий лекційний приклад.

приклад 13

Знайти похідну функції

Використовуємо логарифмічну похідну.

У правій частині у нас константа і твір двох множників - «ікси» і «логарифма логарифма ікс» (під логарифм вкладений ще один логарифм). При диференціюванні константу, як ми пам'ятаємо, краще відразу винести за знак похідної, щоб вона не заважала під ногами; і, звичайно, застосовуємо знайоме правило :

Як бачите, алгоритм застосування логарифмічною похідною не містить в собі якихось особливих хитрощів або вивертів, і знаходження похідної статечно-показовою функції зазвичай не пов'язане з «муками».

Висновок формули похідної статечної функції(X в ступені a). Розглянуто похідні від коренів з x. Формула похідної степеневої функції вищого порядку. Приклади обчислення похідних.

Похідна від x в ступені a дорівнює a, помноженому на x в ступені a мінус один:
(1) .

Похідна від кореня ступеня n з x в ступені m дорівнює:
(2) .

Висновок формули похідної степеневої функції

Випадок x> 0

Розглянемо ступеневу функцію від змінної x з показником ступеня a:
(3) .
Тут a є довільним дійсним числом. Спочатку розглянемо випадок.

Щоб знайти похідну функції (3), скористаємося властивостями статечної функції і перетворимо її до наступного вигляду:
.

Тепер знаходимо похідну, застосовуючи:
;
.
Тут.

Формула (1) доведена.

Висновок формули похідною від кореня ступеня n з x в ступені m

Тепер розглянемо функцію, яка є коренем наступного виду:
(4) .

Щоб знайти похідну, перетворимо корінь до статечної функції:
.
Порівнюючи з формулою (3) ми бачимо, що
.
тоді
.

За формулою (1) знаходимо похідну:
(1) ;
;
(2) .

На практиці немає необхідності запам'ятовувати формулу (2). Набагато зручніше спочатку перетворити коріння до статечним функцій, а потім знаходити їх похідні, застосовуючи формулу (1) (див. Приклади в кінці сторінки).

Випадок x = 0

Якщо, то статечна функція визначена і при значенні змінної x = 0 . Знайдемо похідну функції (3) при x = 0 . Для цього скористаємося визначенням похідної:
.

Підставами x = 0 :
.
При цьому під похідною ми розуміємо правобічний межа, для якого.

Отже, ми знайшли:
.
Звідси видно, що при,.
При,.
При,.
Цей результат виходить і за формулою (1):
(1) .
Тому формула (1) справедлива і при x = 0 .

випадок x< 0

Знову розглянемо функцію (3):
(3) .
При деяких значеннях постійної a, вона визначена і при негативних значеннях змінної x. А саме, нехай a буде раціональним числом. Тоді його можна представити у вигляді нескоротного дробу:
,
де m і n - цілі числа, які не мають загального дільника.

Якщо n непарне, то статечна функція визначена і при негативних значеннях змінної x. Наприклад, при n = 3 і m = 1 ми маємо кубічний корінь з x:
.
Він визначений і при негативних значеннях змінної x.

Знайдемо похідну статечної функції (3) при і при раціональних значеннях постійної a, для яких вона визначена. Для цього представимо x в наступному вигляді:
.
тоді,
.
Знаходимо похідну, виносячи постійну за знак похідної та застосовуючи правило диференціювання складної функції:

.
Тут. але
.
Оскільки, то
.
тоді
.
Тобто формула (1) справедлива і при:
(1) .

Похідні вищих порядків

Тепер знайдемо похідні вищих порядків від статечної функції
(3) .
Похідну першого порядку ми вже знайшли:
.

Виносячи постійну a за знак похідної, знаходимо похідну другого порядку:
.
Аналогічним чином знаходимо похідні третього і четвертого порядків:
;

.

Звідси видно, що похідна довільного n-го порядкумає наступний вигляд:
.

Зауважимо, що якщо a є натуральним числом,, То n -а похідна є постійною:
.
Тоді всі наступні похідні дорівнюють нулю:
,
при.

Приклади обчислення похідних

приклад

Знайдіть похідну функції:
.

Рішення

Перетворимо коріння до ступенями:
;
.
Тоді вихідна функція набуває вигляду:
.

Знаходимо похідні ступенів:
;
.
Похідна постійної дорівнює нулю:
.

Цим відео я починаю довгу серію уроків, присвячену похідним. Цей урок складається з декількох частин.

В першу чергу, я розповім вам, що взагалі таке похідні і як їх рахувати, але не хитромудрим академічною мовою, а так, як я сам це розумію і як пояснюю своїм учням. По-друге, ми розглянемо найпростіше правило для вирішення завдань, в яких будемо шукати похідні суми, похідні різниці і похідні статечної функції.

Ми розглянемо більш складні комбіновані приклади, з яких ви, зокрема, дізнаєтеся, що подібні завдання, що містять корені і навіть дроби, можуть бути вирішені при використанні формули похідної степеневої функції. Крім того, звичайно, буде безліч завдань і прикладів рішень самого різного рівня складності.

Взагалі, спочатку я збирався записати коротенький 5-хвилинний ролик, але самі бачите, що з цього вийшло. Тому вистачить лірики - приступаємо до справи.

Що таке похідна?

Отже, почнемо здалеку. Багато років тому, коли дерева були зеленішою, а життя було веселіше, математики задумалися ось над чим: розглянемо просту функцію, задану своїм графіком, назвемо її $ y = f \ left (x \ right) $. Зрозуміло, графік існує не сам по собі, тому потрібно провести осі $ x $, а також вісь $ y $. А тепер давайте виберемо будь-яку точку на цьому графіку, абсолютно будь-яку. Абсциссу назвемо $ ((x) _ (1)) $, ордината, як не важко здогадатися, буде $ f \ left (((x) _ (1)) \ right) $.

Розглянемо на тому ж графіку ще одну точку. Не важливо, яку, головне, щоб вона відрізнялася від початкової. У неї, знову ж таки, є абсциса, назвемо її $ ((x) _ (2)) $, а також ордината - $ f \ left (((x) _ (2)) \ right) $.

Отже, ми отримали дві точки: у них різні абсциси і, отже, різні значенняфункції, хоча останнє - не обов'язково. А ось що дійсно важливо, так це що, що з курсу планіметрії нам відомо: через дві точки можна провести пряму і, причому, тільки одну. Ось давайте її і проведемо.

А тепер проведемо через найпершу з них пряму, паралельну осі абсцис. отримаємо прямокутний трикутник. Давайте його позначимо $ ABC $, прямий кут $ C $. У цього трикутника виникає одне дуже цікаве властивість: справа в тому, що кут $ \ alpha $, насправді, дорівнює куту, під яким перетинається пряма $ AB $ з продовженням осі абсцис. Судіть самі:

1. пряма $ AC $ паралельна осі $ Ox $ з побудови,
2. пряма $ AB $ перетинає $ AC $ під $ \ alpha $,
3. отже, $ AB $ перетинає $ Ox $ під тим же самим $ \ alpha $.

Що ми можемо сказати про $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $? Нічого конкретного, хіба що в трикутнику $ ABC $ відношення катета $ BC $ до катету $ AC $ одно тангенсу цього самого кута. Так і запишемо:

Зрозуміло, $ AC $ в даному випадку легко вважається:

Точно також і $ BC $:

Іншими словами, ми можемо записати наступне:

\ [\ Operatorname (tg) \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () = \ frac (f \ left (((x) _ (2)) \ right) -f \ left ( ((x) _ (1)) \ right)) (((x) _ (2)) - ((x) _ (1))) \]

Тепер, коли ми все це з'ясували, давайте повернемося до нашого графіку і розглянемо нову точку $ B $. Зітремо старі значення і візьмемо і візьмемо $ B $ десь ближче до $ ((x) _ (1)) $. Знову позначимо її абсциссу за $ ((x) _ (2)) $, а ординату - $ f \ left (((x) _ (2)) \ right) $.

Знову розглянемо наш маленький трикутник $ ABC $ і $ \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () $ всередині нього. Цілком очевидно, що це буде вже зовсім інший кут, тангенс буде також іншим тому, що довжини відрізків $ AC $ і $ BC $ істотно змінилися, а формула для тангенса кута анітрохи не змінилася - це як і раніше співвідношення між зміною функції і зміною аргументу .

Нарешті, продовжуємо рухати $ B $ все ближче до початкової точки $ A $, в результаті трикутник ще зменшиться, а пряма, що містить відрізок $ AB $, все більше буде походити на дотичну до графіка функції.

У підсумку, якщо продовжувати зближення точок, т. Е., Зменшувати відстань до нуля, то пряма $ AB $, дійсно, перетвориться в дотичну до графіка в даній точці, а $ \ text () \! \! \ Alpha \! \ ! \ text () $ перетвориться зі звичайного елемента трикутника в кут між дотичній до графіка і позитивним напрямом осі $ Ox $.

І ось тут ми плавно переходимо до визначення $ f $, а саме, похідної функції в точці $ ((x) _ (1)) $ називається тангенс кута $ \ alpha $ між дотичної до графіка в точці $ ((x) _ ( 1)) $ і позитивним напрямом осі $ Ox $:

\ [(F) "\ left (((x) _ (1)) \ right) = \ operatorname (tg) \ text () \! \! \ Alpha \! \! \ Text () \]

Повертаючись до нашого графіку, слід зазначити, що в якості $ ((x) _ (1)) $ можна вибрати будь-яку точку на графіку. Наприклад, з тим же успіхом ми могли зняти штрих в точці, показаної на малюнку.

Кут між дотичною і позитивним напрямом осі назвемо $ \ beta $. Відповідно, $ f $ в $ ((x) _ (2)) $ дорівнюватиме тангенсу цього кута $ \ beta $.

\ [(F) "\ left (((x) _ (2)) \ right) = tg \ text () \! \! \ Beta \! \! \ Text () \]

У кожній точці графіка буде своя дотична, а, отже, своє значення функції. У кожному з цих випадків крім точки, в якій ми шукаємо похідну різниці або суми, або похідну статечної функції, необхідно взяти іншу точку, що знаходиться на деякій відстані від неї, а потім спрямувати цю точку до вихідної і, зрозуміло, з'ясувати, як в процесі такого руху буде змінюватися тангенс кута нахилу.

Похідна статечної функції

На жаль, подібне визначення нас скоєно не влаштовує. Всі ці формули, картинки, кути не дають нам ні найменшого уявлення про те, як вважати реальну похідну в реальних задачах. Тому давайте трохи відійдемо від формального визначення і розглянемо більш дієві формули і прийоми, за допомогою яких вже можна вирішувати справжні завдання.

Почнемо з найпростіших конструкцій, а саме, функцій виду $ y = ((x) ^ (n)) $, тобто статечних функцій. У цьому випадку ми можемо записати наступне: $ (y) "= n \ cdot ((x) ^ (n-1)) $. Іншими словами, ступінь, яка стояла в показнику, показується в множителе спереду, а сам показник зменшується на одиницю. Наприклад:

\ [\ Begin (align) & y = ((x) ^ (2)) \\ & (y) "= 2 \ cdot ((x) ^ (2-1)) = 2x \\\ end (align) \]

А ось інший варіант:

\ [\ Begin (align) & y = ((x) ^ (1)) \\ & (y) "= ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 1 \ cdot ((x ) ^ (0)) = 1 \ cdot 1 = 1 \\ & ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 1 \\\ end (align) \]

Користуючись цими простими правилами, давайте спробуємо зняти штрих наступних прикладів:

Отже, ми отримуємо:

\ [((\ Left (((x) ^ (6)) \ right)) ^ (\ prime)) = 6 \ cdot ((x) ^ (5)) = 6 ((x) ^ (5)) \]

Тепер вирішимо другий вираз:

\ [\ Begin (align) & f \ left (x \ right) = ((x) ^ (100)) \\ & ((\ left (((x) ^ (100)) \ right)) ^ (\ prime)) = 100 \ cdot ((x) ^ (99)) = 100 ((x) ^ (99)) \\\ end (align) \]

Зрозуміло, це були дуже прості завдання. Однак реальні завдання більш складні і вони не обмежуються одними лише ступенями функції.

Отже, правило № 1 - якщо функція представлена ​​у вигляді інших двох, то похідна цієї суми дорівнює сумі похідних:

\ [((\ Left (f + g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "+ (g)" \]

Аналогічно, похідна різниці двох функцій дорівнює різниці похідних:

\ [((\ Left (f-g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "- (g)" \]

\ [((\ Left (((x) ^ (2)) + x \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (x \ right)) ^ (\ prime)) = 2x + 1 \]

Крім того, є ще одне важливе правило: якщо перед деякої $ f $ варто константа $ c $, на яку ця функція множиться, то $ f $ всієї цієї конструкції вважається так:

\ [((\ Left (c \ cdot f \ right)) ^ (\ prime)) = c \ cdot (f) "\]

\ [((\ Left (3 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 9 ((x) ^ (2)) \]

Нарешті, ще одне дуже важливе правило: в задачах часто зустрічається окреме доданок, яке взагалі не містить $ x $. Наприклад, ми можемо спостерігати це в наших сьогоднішніх висловах. Похідна константи, т. Е., Числа, ніяк не залежить від $ x $, завжди дорівнює нулю, причому абсолютно неважливо, чому дорівнює константа $ c $:

\ [((\ Left (c \ right)) ^ (\ prime)) = 0 \]

Приклад рішення:

\ [((\ Left (+1001 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (1) (1000) \ right)) ^ (\ prime)) = 0 \]

Ще раз ключові моменти:

1. Похідна суми двох функцій завжди дорівнює сумі похідних: $ ((\ left (f + g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "+ (g)" $;
2. З аналогічних причин похідна різниці двох функцій дорівнює різниці двох похідних: $ ((\ left (f-g \ right)) ^ (\ prime)) = (f) "- (g)" $;
3. Якщо у функції присутній множник константа, то цю константу можна виносити за знак похідної: $ ((\ left (c \ cdot f \ right)) ^ (\ prime)) = c \ cdot (f) "$;
4. Якщо вся функція являє собою константу, то її похідна завжди нуль: $ ((\ left (c \ right)) ^ (\ prime)) = 0 $.

Давайте подивимося, як все це працює на реальних прикладах. Отже:

записуємо:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (((x) ^ (5)) - 3 ((x) ^ (2)) + 7 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (5)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + (7) "= \\ & = 5 ((x) ^ (4)) - 3 ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + 0 = 5 ((x) ^ (4)) - 6x \\\ end (align) \]

У цьому прикладі ми бачимо і похідну суми, і похідну різниці. Разом, похідна дорівнює $ 5 ((x) ^ (4)) - 6x $.

Переходимо до другої функції:

Записуємо рішення:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (3 ((x) ^ (2)) - 2x + 2 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (3 ((x) ^ ( 2)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (2x \ right)) ^ (\ prime)) + (2) "= \\ & = 3 ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) - 2 (x) "+ 0 = 3 \ cdot 2x-2 \ cdot 1 = 6x-2 \\\ end (align) \]

Ось ми і знайшли відповідь.

Переходимо до третьої функції - вона вже серйозніше:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + \ frac (1) (2) x-5 \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (3 ((x) ^ (2)) \ right )) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ frac (1) (2) x \ right)) ^ (\ prime)) - (5) "= \\ & = 2 ((\ left (( (x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - 3 ((\ left (((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) + \ frac (1) (2) \ cdot (x) "= 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) - 3 \ cdot 2x + \ frac (1) (2) \ cdot 1 = 6 ((x) ^ (2)) -6x + \ frac (1) (2) \\\ end (align) \]

Відповідь ми знайшли.

Переходимо до останнього висловом - найскладнішого і найдовшому:

Отже, вважаємо:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (6 ((x) ^ (7)) - 14 ((x) ^ (3)) + 4x + 5 \ right)) ^ (\ prime)) = ( (\ left (6 ((x) ^ (7)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (14 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (4x \ right)) ^ (\ prime)) + (5) "= \\ & = 6 \ cdot 7 \ cdot ((x) ^ (6)) - 14 \ cdot 3 ((x ) ^ (2)) + 4 \ cdot 1 + 0 = 42 ((x) ^ (6)) - 42 ((x) ^ (2)) + 4 \\\ end (align) \]

Але на цьому рішення не закінчується, тому що нас просять не просто зняти штрих, а порахувати її значення в конкретній точці, тому підставляємо у вираз -1 замість $ x $:

\ [(Y) "\ left (-1 \ right) = 42 \ cdot 1-42 \ cdot 1 + 4 = 4 \]

Йдемо далі і переходимо до ще більш складним і цікавим прикладів. Справа в тому, що формула вирішення статечної похідною $ ((\ left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) $ має ще більш широку сферу застосування, ніж зазвичай прийнято вважати. З її допомогою можна вирішувати приклади з дробом, корінням і т. Д. Саме цим ми зараз і займемося.

Для початку ще раз запишемо формулу, яка допоможе нам знайти похідну статечної функції:

А тепер увага: до сих пір ми розглядали в якості $ n $ лише натуральні числа, Однак нічого не заважаємо розглянути дроби і навіть негативні числа. Наприклад, ми можемо записати наступне:

\ [\ Begin (align) & \ sqrt (x) = ((x) ^ (\ frac (1) (2))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (2) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (1) (2))) = \ frac (1) (2) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (x)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\\ end (align) \]

Нічого складного, тому подивимося, як ця формула допоможе нам при вирішенні більш складних завдань. Отже, приклад:

Записуємо рішення:

\ [\ Begin (align) & \ left (\ sqrt (x) + \ sqrt (x) + \ sqrt (x) \ right) = ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime )) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ ( \ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (3) \ cdot ((x ) ^ (- \ frac (2) (3))) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x) ^ (2)))) \\ & (( \ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (4) ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1) (4) \ cdot \ frac (1) (\ sqrt (((x) ^ (3)))) \\\ end (align) \]

Повертаємося до нашого прикладу і записуємо:

\ [(Y) "= \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) + \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) \]

Ось таке складне рішення.

Переходимо до другого прикладу - тут всього два доданків, але кожне з них містить як класичну ступінь, так і коріння.

Зараз ми дізнаємося, як знайти похідну статечної функції, яка, крім того, містить і корінь:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (((x) ^ (3)) \ sqrt (((x) ^ (2))) + ((x) ^ (7)) \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (2) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \\ & = (( \ left (((x) ^ (3 + \ frac (2) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (11) (3 ))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (\ frac (8) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2 \ frac (2) (3))) = \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2 ))) \\ & ((\ left (((x) ^ (7)) \ cdot \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (7 )) \ cdot ((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (7 \ frac (1) (3 ))) \ right)) ^ (\ prime)) = 7 \ frac (1) (3) \ cdot ((x) ^ (6 \ frac (1) (3))) = \ frac (22) (3 ) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \\\ end (align) \]

Обидва доданків пораховані, залишилося записати остаточну відповідь:

\ [(Y) "= \ frac (11) (3) \ cdot ((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (2))) + \ frac (22) (3) \ cdot ((x) ^ (6)) \ cdot \ sqrt (x) \]

Ми знайшли відповідь.

Похідна дробу через ступеневу функцію

Але і на цьому можливості формули для вирішення похідною статечної функції не закінчуються. Справа в тому, що з її допомогою можна вважати не тільки приклади з корінням, але також і з дробом. Це як раз це рідкісна можливість, яка значно спрощує вирішення таких прикладів, але при цьому часто ігнорується не тільки учнями, а й учителями.

Отже, зараз ми спробуємо поєднати одразу дві формули. З одного боку, класична похідна статечної функції

\ [((\ Left (((x) ^ (n)) \ right)) ^ (\ prime)) = n \ cdot ((x) ^ (n-1)) \]

З іншого боку ми знаємо, що вираз виду $ \ frac (1) (((x) ^ (n))) $ представимо у вигляді $ ((x) ^ (- n)) $. отже,

\ [\ Left (\ frac (1) (((x) ^ (n))) \ right) "= ((\ left (((x) ^ (- n)) \ right)) ^ (\ prime) ) = - n \ cdot ((x) ^ (- n-1)) = - \ frac (n) (((x) ^ (n + 1))) \]

\ [((\ Left (\ frac (1) (x) \ right)) ^ (\ prime)) = \ left (((x) ^ (- 1)) \ right) = - 1 \ cdot ((x ) ^ (- 2)) = - \ frac (1) (((x) ^ (2))) \]

Таким чином, похідні простих дробів, де в чисельнику стоїть константа, а в знаменнику - ступінь, також вважаються за допомогою класичної формули. Подивимося, як це працює на практиці.

Отже, перша функція:

\ [((\ Left (\ frac (1) (((x) ^ (2))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (- 2)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot ((x) ^ (- 3)) = - \ frac (2) (((x) ^ (3))) \]

Перший приклад вирішене, переходимо до другого:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) - \ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) + \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) + 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ \ & = ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (\ frac (2) (3 (( x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left ( 3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) \\ & ((\ left (\ frac (7) (4 ((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7) (4) ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7 ) (4) \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 4)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (7) (4) \ cdot \ left (-4 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (-7) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ left (\ frac (2) (3 ((x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ right) ) ^ (\ prime)) = \ frac (2) (3) \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 3)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (2) ( 3) \ cdot \ left (-3 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 4)) = \ frac (-2) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ left ( \ frac (5) (2) ((x) ^ (2)) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (5) (2) \ cdot 2x = 5x \\ & ((\ left (2 ((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) = 2 \ cdot 3 ((x) ^ (2)) = 6 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ left (3 ((x) ^ (4)) \ right)) ^ (\ prime)) = 3 \ cdot 4 ((x) ^ (3)) = 12 ((x) ^ (3)) \\\ end (align) \] ...

Тепер збираємо всі ці складові в єдину формулу:

\ [(Y) "= - \ frac (7) (((x) ^ (5))) + \ frac (2) (((x) ^ (4))) + 5x + 6 ((x) ^ (2)) - 12 ((x) ^ (3)) \]

Ми отримали відповідь.

Однак перш ніж рухатися далі, хотів би звернути вашу увагу на форму запису самих вихідних виразів: в першому вираженні ми записали $ f \ left (x \ right) = ... $, в другому: $ y = ... $ Багато учнів губляться, коли бачать різні форми запису. Чим відрізняються $ f \ left (x \ right) $ і $ y $? Насправді, нічим. Це просто різні записи з одним і тим же змістом. Просто коли ми говоримо $ f \ left (x \ right) $, то мова йде, Перш за все, про функції, а коли мова йде про $ y $, то найчастіше мається на увазі графік функції. В іншому ж це одне і те ж, т. Е., Похідна в обох випадках вважається однаково.

Складні завдання з похідними

На закінчення хотілося б розглянути пару складних комбінованих завдань, в яких використовується відразу все те, що ми сьогодні розглянули. У них нас чекають і коріння, і дробу, і суми. Однак складними ці приклади будуть лише в рамках сьогоднішнього видеоурока, тому що по-справжньому складні функції похідних чекатимуть вас попереду.

Отже, заключна частина сьогоднішнього видеоурока, що складається з двох комбінованих завдань. Почнемо з першої з них:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (((x) ^ (3)) - \ frac (1) (((x) ^ (3))) + \ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime)) - ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3) )) \ right)) ^ (\ prime)) + \ left (\ sqrt (x) \ right) \\ & ((\ left (((x) ^ (3)) \ right)) ^ (\ prime) ) = 3 ((x) ^ (2)) \\ & ((\ left (\ frac (1) (((x) ^ (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (- 3)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 3 \ cdot ((x) ^ (- 4)) = - \ frac (3) (((x) ^ (4))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac (1) (3))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (3) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (\ frac (2) (3)))) = \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \\\ end (align) \]

Похідна функції дорівнює:

\ [(Y) "= 3 ((x) ^ (2)) - \ frac (3) (((x) ^ (4))) + \ frac (1) (3 \ sqrt (((x) ^ (2)))) \]

Перший приклад вирішене. Розглянемо другу задачу:

У другому прикладі діємо аналогічно:

\ [((\ Left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) + \ sqrt (x) + \ frac (4) (x \ sqrt (((x) ^ (3)) )) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) + ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ right)) ^ (\ prime)) \]

Порахуємо кожний доданок окремо:

\ [\ Begin (align) & ((\ left (- \ frac (2) (((x) ^ (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot ((\ left ( ((x) ^ (- 4)) \ right)) ^ (\ prime)) = - 2 \ cdot \ left (-4 \ right) \ cdot ((x) ^ (- 5)) = \ frac (8 ) (((x) ^ (5))) \\ & ((\ left (\ sqrt (x) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (((x) ^ (\ frac ( 1) (4))) \ right)) ^ (\ prime)) = \ frac (1) (4) \ cdot ((x) ^ (- \ frac (3) (4))) = \ frac (1 ) (4 \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\ & ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (4) (x \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) \ right)) ^ (\ prime)) = ((\ left (\ frac (4) (((x) ^ (1 \ frac (3 ) (4)))) \ right)) ^ (\ prime)) = 4 \ cdot ((\ left (((x) ^ (- 1 \ frac (3) (4))) \ right)) ^ ( \ prime)) = \\ & = 4 \ cdot \ left (-1 \ frac (3) (4) \ right) \ cdot ((x) ^ (- 2 \ frac (3) (4))) = 4 \ cdot \ left (- \ frac (7) (4) \ right) \ cdot \ frac (1) (((x) ^ (2 \ frac (3) (4)))) = \ frac (-7) (((x) ^ (2)) \ cdot ((x) ^ (\ frac (3) (4)))) = - \ frac (7) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \\\ end (align) \]

Всі складові пораховані. Тепер повертаємося до вихідної формулою і складаємо разом всі три доданків. Отримуємо, що остаточну відповідь буде таким:

\ [(Y) "= \ frac (8) (((x) ^ (5))) + \ frac (1) (4 \ sqrt (((x) ^ (3)))) - \ frac (7 ) (((x) ^ (2)) \ cdot \ sqrt (((x) ^ (3)))) \]

І на цьому все. Це був перший наш урок. У наступних уроках ми розглянемо більш складні конструкції, а також з'ясуємо, навіщо взагалі потрібні похідні.

Доказ і висновок формул похідною експоненти (e в ступені x) і показовою функції (a у ступені x). Приклади обчислення похідних від e ^ 2x, e ^ 3x і e ^ nx. Формули похідних вищих порядків.

Похідна експоненти дорівнює самій експоненті (похідна e в ступені x дорівнює e в ступені x):
(1) (E x) '= e x.

Похідна показовою функції з повним правом ступеня a дорівнює самій функції, помноженої на натуральний логарифмвід a:
(2) .

Висновок формули похідної експоненти, e в ступені x

Експонента - це показова функція, у якій підстава ступеня дорівнює числу e, яке є наступним межею:
.
Тут може бути як натуральним, так і дійсним числом. Далі ми виводимо формулу (1) похідною експоненти.

Висновок формули похідної експоненти

Розглянемо експоненту, e в ступені x:
y = e x.
Ця функція визначена для всіх. Знайдемо її похідну по змінній x. За визначенням, похідна є наступним межею:
(3) .

Перетворимо цей вираз, щоб звести його до відомим математичним властивостям і правилам. Для цього нам знадобляться наступні факти:
А)Властивість експоненти:
(4) ;
Б)Властивість логарифма:
(5) ;
В)Безперервність логарифма і властивість меж для неперервної функції:
(6) .
Тут - деяка функція, у якій існує межа і ця межа позитивний.
Г)Значення другого чудового краю:
(7) .

Застосовуємо ці факти до нашого межі (3). Використовуємо властивість (4):
;
.

Зробимо підстановку. тоді; .
В силу безперервності експоненти,
.
Тому при,. В результаті отримуємо:
.

Зробимо підстановку. Тоді. При,. І ми маємо:
.

Застосуємо властивість логарифма (5):
. тоді
.

Застосуємо властивість (6). Оскільки існує позитивний межа і логарифм безперервний, то:
.
Тут ми також скористалися другим чудовим межею (7). тоді
.

Тим самим ми отримали формулу (1) похідною експоненти.

Висновок формули похідної показовою функції

Тепер виведемо формулу (2) похідною показовою функції з повним правом ступеня a. Ми вважаємо, що і. Тоді показова функція
(8)
Визначено для всіх.

Перетворимо формулу (8). Для цього скористаємося властивостями показовою функціїі логарифма.
;
.
Отже, ми перетворили формулу (8) до наступного вигляду:
.

Похідні вищих порядків від e в ступені x

Тепер знайдемо похідні вищих порядків. Спочатку розглянемо експоненту:
(14) .
(1) .

Ми бачимо, що похідна від функції (14) дорівнює самій функції (14). Диференціюючи (1), отримуємо похідні другого і третього порядку:
;
.

Звідси видно, що похідна n-го порядку також дорівнює вихідної функції:
.

Похідні вищих порядків показовою функції

Тепер розглянемо показову функцію з основою ступеня a:
.
Ми знайшли її похідну першого порядку:
(15) .

Диференціюючи (15), отримуємо похідні другого і третього порядку:
;
.

Ми бачимо, що кожне диференціювання приводить до множення вихідної функції на. Тому похідна n-го порядку має наступний вигляд:
.

Операція відшукання похідної називається диференціюванням.

В результаті рішення задач про відшукання похідних у найпростіших (і не дуже простих) функцій по визначенню похідною як межі відношення приросту до приросту аргументу з'явилися таблиця похідних і точно певні правила диференціювання. Першими на ниві знаходження похідних потрудилися Ісаак Ньютон (1643-1727) і Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716).

Тому в наш час, щоб знайти похідну будь-якої функції, не треба обчислювати згаданий вище границя відношення приросту функції до приросту аргументу, а потрібно лише скористатися таблицею похідних і правилами диференціювання. Для знаходження похідної підходить наступний алгоритм.

Щоб знайти похідну, Треба вираз під знаком штриха розібрати на складові прості функціїі визначити, якими діями (Твір, сума, приватне)пов'язані ці функції. Далі похідні елементарних функцій знаходимо в таблиці похідних, а формули похідних твори, суми і приватного - в правилах диференціювання. Таблиця похідних і правила диференціювання дані після перших двох прикладів.

Приклад 1.Знайти похідну функції

Рішення. З правил диференціювання з'ясовуємо, що похідна суми функцій є сума похідних функцій, т. Е.

З таблиці похідних з'ясовуємо, що похідна "ікси" дорівнює одиниці, а похідна синуса - косинусу. Підставляємо ці значення в суму похідних і знаходимо необхідну умовою завдання похідну:

Приклад 2.Знайти похідну функції

Рішення. Диференціюючи як похідну суми, в якій другий доданок з постійним множником, його можна винести за знак похідної:

Якщо поки виникають питання, звідки що береться, вони, як правило, прояснюються після ознайомлення з таблицею похідних і найпростішими правилами диференціювання. До них ми і переходимо прямо зараз.

Таблиця похідних простих функцій

1. Похідна константи (числа). Будь-якого числа (1, 2, 5, 200 ...), яке є в вираженні функції. Завжди дорівнює нулю. Це дуже важливо пам'ятати, так як потрібно дуже часто
2. Похідна незалежної змінної. Найчастіше "ікси". Завжди дорівнює одиниці. Це теж важливо запам'ятати надовго
3. Похідна ступеня. В ступінь при вирішенні задач потрібно перетворювати неквадратні коріння.
4. Похідна змінної в ступені -1
5. Похідна квадратного кореня
6. Похідна синуса
7. Похідна косинуса
8. Похідна тангенса
9. Похідна котангенс
10. Похідна арксинуса
11. Похідна арккосинуса
12. Похідна арктангенса
13. Похідна арккотангенса
14. Похідна натурального логарифма
15. Похідна логарифмічної функції
16. Похідна експоненти
17. Похідна показовою функції

Правила диференціювання

1. Похідна суми або різниці
2. Похідна твори
2a. Похідна вираження, помноженого на постійний множник
3. Похідна приватного
4. Похідна складної функції

Правило 1.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в тій же точці мають похідні і функції

причому

тобто похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій.

Слідство. Якщо дві диференціюються відрізняються на постійний доданок, то їх похідні рівні, Тобто

Правило 2.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці, то в той же точці дифференцируемого і їх твір

причому

тобто похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший.

Слідство 1. Постійний множник можна виносити за знак похідної:

Слідство 2. Похідна твори кількох диференціюються дорівнює сумі творів похідною кожного із співмножників на всі інші.

Наприклад, для трьох множників:

Правило 3.якщо функції

діфференцируєми в деякій точці і , то в цій точці дифференцируемого і їхня приватнаu / v, причому

тобто похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника.

Де що шукати на інших сторінках

При знаходженні похідної добутку і частки в реальних задачах завжди потрібно застосовувати відразу кілька правил диференціювання, тому більше прикладів на ці похідні - в статті"Похідна добутку і частки функцій".

Зауваження.Слід не плутати константу (тобто, число) як доданок в сумі і як постійний множник! У разі доданка її похідна дорівнює нулю, а в разі постійного множника вона виноситься за знак похідних. це типова помилка, Яка зустрічається на початковому етапівивчення похідних, але в міру рішення вже декількох одно- двоскладові прикладів середній студентцієї помилки вже не робить.

А якщо при диференціюванні твори або приватного у вас з'явилося доданок u"v, в котрому u- число, наприклад, 2 або 5, тобто константа, то похідна цього числа буде дорівнює нулю і, отже, все доданок дорівнюватиме нулю (такий випадок розібраний в прикладі 10).

Інша часта помилка - механічне рішення похідною складної функції як похідною простої функції. Тому похідною складної функціїприсвячена окрема стаття. Але спочатку будемо вчитися знаходити похідні простих функцій.

По ходу не обійтися без перетворень виразів. Для цього може знадобитися відкрити в нових вікнах посібники Дії зі ступенями і коріннямі Дії з дробами .

Якщо Ви шукаєте рішення похідних дробів зі ступенями і корінням, тобто, коли функція має вигляд начебто , То йдіть на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням".

Якщо ж перед Вами завдання на зразок , То Вам на заняття "Похідні простих тригонометричних функцій".

Покрокові приклади - як знайти похідну

Приклад 3.Знайти похідну функції

Рішення. Визначаємо частини виразу функції: все вираз являє твір, а його співмножники - суми, в другій з яких одна з складових містить постійний множник. Застосовуємо правило диференціювання твори: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі творів кожної з цих функцій на похідну інший:

Далі застосовуємо правило диференціювання суми: похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій. У нашому випадку в кожній сумі другий доданок зі знаком мінус. У кожній сумі бачимо і незалежну змінну, похідна якої дорівнює одиниці, і константу (число), похідна якої дорівнює нулю. Отже, "ікс" у нас перетворюється в одиницю, а мінус 5 - в нуль. У другому вираженні "ікс" помножений на 2, так що двійку множимо на ту ж одиницю як похідну "ікси". Отримуємо наступні значення похідних:

Підставляємо знайдені похідні в суму творів і отримуємо необхідну умовою завдання похідну всієї функції:

Приклад 4.Знайти похідну функції

Рішення. Від нас вимагається знайти похідну приватного. Застосовуємо формулу диференціювання приватного: похідна приватного двох функцій дорівнює дробу, чисельник якого є різниця творів знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадрат колишнього чисельника. отримуємо:

Похідну сомножителей в чисельнику ми вже знайшли в прикладі 2. Не забудемо також, що твір, що є другим співмножником в чисельнику в поточному прикладі береться зі знаком мінус:

Якщо Ви шукаєте рішення таких задач, в яких треба знайти похідну функції, де суцільне нагромадження коренів і ступенів, як, наприклад, , То ласкаво просимо на заняття "Похідна суми дробів зі ступенями і корінням" .

Якщо ж Вам потрібно дізнатися більше про похідні синусів, косинусів, тангенсів і інших тригонометричних функцій, тобто, коли функція має вигляд начебто , То Вам на урок "Похідні простих тригонометричних функцій" .

Приклад 5.Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо твір, один із співмножників яких - квадратний корінь з незалежною змінною, з похідною якого ми ознайомилися в таблиці похідних. За правилом диференціювання твори і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Приклад 6.Знайти похідну функції

Рішення. У даній функції бачимо приватне, ділене якого - квадратний корінь з незалежної змінної. За правилом диференціювання приватного, яке ми повторили і застосували в прикладі 4, і табличному значенню похідної квадратного кореня отримуємо:

Щоб позбутися від дробу в чисельнику, множимо чисельник і знаменник на.