Корінь із x. Функція y = корінь квадратний з x, її властивості та графік

Урок та презентація на тему: "Степінні функції. Корінь кубічний. Властивості кореня кубічного"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання! Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 9 класу
Освітній комплекс 1C: "Алгебраїчні завдання з параметрами, 9-11 класи" Програмне середовище "1С: Математичний конструктор 6.0"

Визначення статечної функції - кубічного кореня

Хлопці, ми продовжуємо вивчати статечні функції. Сьогодні ми поговоримо про функцію "Корінь кубічний з х".
А що таке корінь кубічний?
Число y називається коренем кубічним із x (коренем третього ступеня), якщо виконується рівність $y^3=x$.
Позначають, як $ sqrt (x) $, де х - підкорене число, 3 - показник ступеня.
$ \ sqrt (27) = 3 $; $ 3 ^ 3 = 27 $.
$ \ sqrt ((-8)) = -2 $; $(-2)^3=-8$.
Як бачимо, корінь кубічний можна витягувати і з негативних чисел. Виходить, що наш корінь існує для всіх чисел.
Корінь третього ступеня з від'ємного числа дорівнює від'ємному числу. При зведенні в непарний ступінь знак зберігається, третій ступінь є непарним.

Перевіримо рівність: $ \ sqrt ((-x)) $ = - $ \ sqrt (x) $.
Нехай $sqrt((-x))=a$ і $sqrt(x)=b$. Зведемо обидва вирази на третій ступінь. $-x=a^3$ і $x=b^3$. Тоді $a^3=-b^3$ або $a=-b$. У позначеннях коріння отримуємо шукане тотожність.

Властивості коренів кубічних

а) $ \ sqrt (a * b) = \ sqrt (a) * \ sqrt (6) $.
б) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Давайте доведемо другу властивість. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Отримали, що число $\sqrt(\frac(a)(b))$ в кубі дорівнює $\frac(a)(b)$ і тоді дорівнює $\sqrt(\frac(a)(b))$, що і потрібно було довести.

Діти, давайте побудуємо графік нашої функції.
1) Область визначення множини дійсних чисел.
2) Функція непарна, тому що $ \ sqrt ((-x)) $ = - $ \ sqrt (x) $. Далі розглянемо нашу функцію при $х≥0$, потім відобразимо графік щодо початку координат.
3) Функція зростає при $х≥0$. Для нашої функції, більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, що означає зростання.
4) Функція не обмежена згори. Насправді з будь-якого великого числа можна обчислити корінь третього ступеня, і ми можемо рухатися до нескінченності вгору, знаходячи все більші значення аргументу.
5) При $х≥0$ найменше значення дорівнює 0. Ця властивість очевидна.
Побудуємо графік функції за точками при х≥0.

Побудуємо наш графік функції по всій області визначення. Пам'ятаємо, що наша функція непарна.

Властивості функції:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Непарна функція.
3) Зростає на (-∞; +∞).
4) Необмежена.
5) Найменшого та найбільшого значення немає.

7) Е(у)= (-∞;+∞).
8) Випукла вниз на (-∞; 0), опукла вгору на (0; + ∞).

Приклади вирішення статечних функцій

Приклади
1. Вирішити рівняння $ sqrt (x) = x $.
Рішення. Побудуємо два графіки на одній координатній площині $ y = sqrt (x) $ і $ y = x $.

Як бачимо, наші графіки перетинаються в трьох точках.
Відповідь: (-1; -1), (0; 0), (1; 1).

2. Побудувати графік функції. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Рішення. Графік нашої виходить з графіка функції $ y = \ sqrt (x) $, паралельним перенесенням на дві одиниці вправо і три одиниці вниз.

3. Побудувати графік функції та прочитати його. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Рішення. Збудуємо два графіки функцій на одній координатній площині з урахуванням наших умов. При $х≥-1$ будуємо графік кореня кубічного, при $х≤-1$ графік лінійної функції.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Функція не є ні парною, ні непарною.
3) Зменшується на (-∞;-1), зростає на (-1;+∞).
4) Необмежена зверху, обмежена знизу.
5) Найбільшого значення немає. Найменше значення одно мінус один.
6) Функція безперервна на всій числовій прямій.
7) Е(у)= (-1;+∞).

Завдання для самостійного вирішення

1. Вирішити рівняння $ sqrt (x) = 2-x $.
2. Побудувати графік функції $y=\sqrt((x+1))+1$.
3.Побудувати графік функції та прочитати його. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.

Ви шукали x корінь з x так само? . Докладне рішення з описом та поясненнями допоможе вам розібратися навіть із найскладнішим завданням і x корінь із y, не виняток. Ми допоможемо вам підготуватися до домашніх робіт, контрольних, олімпіад, а також до вступу до вузу. І який би приклад, якого б запиту з математики ви не ввели - у нас вже є рішення. Наприклад, "x корінь з x одно".

Застосування різних математичних завдань, калькуляторів, рівнянь та функцій широко поширене у нашому житті. Вони використовуються в багатьох розрахунках, будівництві споруд та навіть спорті. Математику людина використовувала ще в давнину і відтоді їх застосування лише зростає. Однак зараз наука не стоїть на місці і ми можемо насолоджуватися плодами її діяльності, такими, наприклад, як онлайн-калькулятор, який може вирішити завдання, такі, як x корінь з x рівно, x корінь з y, корінь з x, корінь з х дорівнює х, корінь з х дорівнює х, корінь х дорівнює х, функція y корінь з мінус x, функція y мінус корінь з x, х корінь y, х корінь з х дорівнює. На цій сторінці ви знайдете калькулятор, який допоможе вирішити будь-яке питання, у тому числі і x корінь з x. (наприклад, корінь із x).

Де можна вирішити будь-яке завдання з математики, а також x корінь з x дорівнює Онлайн?

Вирішити завдання x корінь з x одно ви можете на нашому сайті. Безкоштовний онлайн вирішувач дозволить вирішити онлайн завдання будь-якої складності за лічені секунди. Все, що вам необхідно зробити – це просто ввести свої дані у вирішувачі. Також ви можете переглянути відео інструкцію та дізнатися, як правильно ввести ваше завдання на нашому сайті. А якщо у вас залишилися питання, ви можете задати їх у чаті знизу зліва на сторінці калькулятора.

Головні цілі:

1) сформувати уявлення про доцільність узагальненого дослідження залежностей реальних величин на прикладі величин, пов'язаних ставленням у=

2) формувати здатність до побудови графіка у = та його властивості;

3) повторити та закріпити прийоми усних та письмових обчислень, зведення у квадрат, вилучення квадратного кореня.

Устаткування демонстраційний матеріал: роздатковий матеріал.

1. Алгоритм:

2. Зразок для виконання завдання у групах:

3. Зразок для самоперевірки самостійної роботи:

4. Картка для етапу рефлексії:

1) Я зрозумів, як побудувати графік функції у =.

2) Я можу за графіком перерахувати його властивості.

3) Я не припустився помилок у самостійній роботі.

4) Я припустився помилок у самостійній роботі (перерахувати ці помилки та вказати їх причину).

Хід уроку

1. Самовизначення до навчальної діяльності

Мета етапу:

1) включити учнів до навчальної діяльності;

2) визначити змістовні рамки уроку: продовжуємо працювати з дійсними числами.

Організація навчального процесу на етапі 1:

– Що ми вивчали на минулому уроці? (Ми вивчали безліч дійсних чисел, дії з ними, побудували алгоритм для опису властивостей функції, повторювали функції, вивчені в 7 класі).

– Сьогодні ми продовжимо працювати з безліччю дійсних чисел, функцією.

2. Актуалізація знань та фіксація труднощів у діяльності

Мета етапу:

1) актуалізувати навчальний зміст, необхідний та достатній для сприйняття нового матеріалу: функція, незалежна змінна, залежна змінна, графіки

y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2 , y = - x 2

2) актуалізувати розумові операції, необхідні та достатні для сприйняття нового матеріалу: порівняння, аналіз, узагальнення;

3) зафіксувати всі повторювані поняття та алгоритми у вигляді схем та символів;

4) зафіксувати індивідуальне складне становище у діяльності, демонструє на особистісно значному рівні недостатність наявних знаний.

Організація навчального процесу на етапі 2:

1. Давайте пригадаємо, як можна задати залежності між величинами? (за допомогою тексту, формули, таблиці, графіка)

2. Що називається функцією? (Залежність між двома величинами, де кожному значенню однієї змінної відповідає єдине значення іншої змінної y = f(x)).

Як називається х? (Незалежна змінна – аргумент)

Як називається у? (Залежна змінна).

3. У 7-му класі ми вивчили функції? (y = kx + m, y = kx, y = c, y = x 2, y = - x 2,).

Індивідуальне завдання:

Що є графіком функцій y = kx + m, y = x 2, y =?

3. Виявлення причин труднощів та постановка мети діяльності

Мета етапу:

1) організувати комунікативну взаємодію, під час якої виявляється і фіксується відмінна властивість завдання, що спричинило складне становище у навчальній діяльності;

2) узгодити мету та тему уроку.

Організація навчального процесу на етапі 3:

– Що особливого у цьому завданні? (Залежність задана формулою y = з якою ми ще зустрічалися).

- Яка мета уроку? (Познайомитися з функцією y = , її властивостями та графіком. Функцією у таблиці визначати вид залежності, будувати формулу та графік.)

– Чи можна сформулювати тему уроку? (Функція у=, її властивості та графік).

– Запишіть тему у зошиті.

4. Побудова проекту виходу із скрути

Мета етапу:

1) організувати комунікативну взаємодію для побудови нового способу дії, що усуває причину виявленої скрути;

2) зафіксувати новий спосіб дії у знаковій, вербальній формі та за допомогою еталона.

Організація навчального процесу на етапі 4:

Роботу на етапі можна організувати за групами, запропонувавши групам побудувати графік y = , потім проаналізувати результати. Також групам можна запропонувати алгоритмом описати властивості цієї функції.

5. Первинне закріплення у зовнішній мові

Мета етапу: зафіксувати вивчений навчальний зміст у зовнішній мові.

Організація навчального процесу на етапі 5:

Побудуйте графік у = - та опишіть його властивості.

Властивості у = -.

1.Область визначення функції.

2.Область значень функції.

3. y = 0, y> 0, y<0.

y = 0, якщо x = 0.

y<0, если х(0;+)

4.Зростання, зменшення функції.

Функція зменшується при х.

Побудуємо графік у =.

Виділимо його частину на відрізку. Зауважимо, що у найм. = 1 при х = 1, а в найб. =3 при x = 9.

Відповідь: у найм. = 1, у найб. =3

6. Самостійна робота із самоперевіркою за зразком

Мета етапу: перевірити своє вміння застосовувати новий навчальний зміст у типових умовах на основі зіставлення свого рішення з еталоном для самоперевірки.

Організація навчального процесу на етапі 6:

Учні виконують завдання самостійно, проводять самоперевірку за зразком, аналізують, виправляють помилки.

Побудуємо графік у =.

За допомогою графіка знайдіть найменше та найбільше значення функції на відрізку.

7. Включення в систему знань та повторення

Мета етапу: тренувати навички використання нового змісту разом із раніше вивченим: 2) повторити навчальний зміст, який буде потрібно наступних уроках.

Організація навчального процесу на етапі 7:

Розв'яжіть графічно рівняння: = х – 6.

Один учень біля дошки решта у зошитах.

8. Рефлексія діяльності

Мета етапу:

1) зафіксувати новий зміст, вивчений на уроці;

2) оцінити свою діяльність на уроці;

3) подякувати однокласникам, які допомогли отримати результат уроку;

4) зафіксувати невирішені труднощі як напрями майбутньої навчальної діяльності;

5) обговорити та записати домашнє завдання.

Організація навчального процесу на етапі 8:

- Хлопці, яка ціль стояла сьогодні перед нами? (Вивчити функцію у=, її властивості та графік).

– Які знання нам допомогли досягти мети? (Уміння шукати закономірності, вміння читати графіки.)

– Проаналізуйте свою діяльність на уроці. (Картки з рефлексією)

Домашнє завдання

п. 13 (приклад 2) № 13.3, 13.4

Розв'яжіть графічно рівняння.

Урок та презентація на тему: "Графік функції квадратного кореня. Область визначення та побудова графіка"

Додаткові матеріали
Шановні користувачі, не забувайте залишати свої коментарі, відгуки, побажання. Усі матеріали перевірені антивірусною програмою.

Навчальні посібники та тренажери в інтернет-магазині "Інтеграл" для 8 класу
Електронний навчальний посібник до підручника Мордковича О.Г.
Електронний робочий зошит з алгебри для 8 класу

Графік функції квадратного кореня

Діти, з побудовою графіків функцій ми з вами вже зустрічалися, і не раз. Ми будували безліч лінійних функцій і парабол. Загалом будь-яку функцію зручно записати, як $y=f(x)$. Це рівняння з двома змінними – для кожного значення x ми отримуємо y. Виконавши деяку задану операцію f, ми відображаємо безліч можливих x на безліч y. Як функцію f ми можемо записувати практично будь-яку математичну операцію.

Зазвичай при побудові графіків функцій ми користуємося таблицею, де записуємо значення х і у. Наприклад, для функції $y=5x^2$ зручно використовувати таку таблицю: Відзначимо отримані точки на декартовій системі координат і акуратно з'єднаємо їх гладкою кривою. Наша функція не обмежена. Тільки цими точками ми можемо підставити будь-яке значення х із заданої області визначення, тобто тих х, у яких вираз має сенс.

На одному з минулих уроків ми вивчили нову операцію вилучення кореня квадратного. Виникає питання, а чи можемо ми, використовуючи цю операцію, поставити якусь функцію та побудувати її графік? Скористаємося загальним виглядом функції $y=f(x)$. y їх залишимо на своєму місці, а замість f введемо операцію кореня квадратного: $y=\sqrt(x)$.
Знаючи математичну операцію, ми змогли встановити функцію.

Побудова графіка функції квадратного кореня

Давайте побудуємо графік цієї функції. Виходячи з визначення квадратного кореня, ми можемо обчислювати його тільки з невід'ємних чисел, тобто $x≥0$.
Складемо таблицю:
Зазначимо наші точки на координатній площині.

Нам залишилося акуратно поєднати отримані точки.

Діти, зверніть увагу: якщо графік нашої функції повернути на бік, то вийде ліва гілка параболи. Насправді, якщо рядки в таблиці значень поміняти місцями (верхній рядок з нижньою), то у нас виходити значення якраз для параболи.

Область визначення функції $y=\sqrt(x)$

Використовуючи графік функції, властивості описати досить просто.
1. Область визначення: $$.
б) $$.

Рішення.
Ми можемо вирішити наш приклад двома способами. У кожній букві опишемо різні способи.

А) Повернемося до графіка функції, побудованого вище, і відзначимо потрібні точки відрізка. Добре видно, що з $х=9$ функція більше від інших значень. Значить і найбільше значення вона досягає у цій точці. При $х=4$ значення функції нижче від інших точок, отже, тут і є найменше значення.

$y_(найб)=\sqrt(9)=3$, $y_(найм)=\sqrt(4)=2$.

Б) Ми знаємо, що наша функція зростає. Значить кожному більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Найбільше та найменше значення досягаються на кінцях відрізка:

$y_(найб)=\sqrt(11)$, $y_(найм)=\sqrt(2)$.

приклад 2.
Вирішити рівняння:

$ \ sqrt (x) = 12-x $.

Рішення.
Найпростіше побудувати два графіки функції та знайти їх точку перетину.
На графіку добре видно точку перетину з координатами $ (9; 3) $. Отже, $х=9$ - рішення нашого рівняння.
Відповідь: $ х = 9 $.

Хлопці, а чи можемо ми бути впевнені, що більше рішень цей приклад не має? Одна з функцій зростає, інша – зменшується. У загальному випадку вони або не мають спільних точок або перетинаються тільки в одній.

приклад 3.

Побудувати та прочитати графік функції:

$\begin (cases) -x, x 9. \end (cases)$

Нам потрібно побудувати три приватні графіки функції, кожен на своєму проміжку.

Опишемо властивості нашої функції:
1. Область визначення: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ при $х=0$ і $х=12$; $у>0$ при $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Функція зменшується на відрізках $(-∞;0)U(9;+∞)$. Функція зростає на відрізку $ (0; 9) $.
4. Функція безперервна по всій області визначення.
5. Найбільшого та найменшого значення немає.
6. Область значень: $(-∞;+∞)$.

Завдання для самостійного вирішення

1. Знайти найбільше та найменше значення функції кореня квадратного на відрізку:
а) $$;
б) $$.
2. Розв'язати рівняння: $ sqrt (x) = 30-x $.
3. Побудувати та прочитати графік функції: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Побудувати та прочитати графік функції: $y=\sqrt(-x)$.

Квадратне коріння як елементарна функція.

Квадратний корінь- це елементарна функція та окремий випадок статечної функції при . Арифметичний квадратний корінь є гладким при , а нулі він безперервний праворуч, але не диференціюється.

Як функція комплексний змінний корінь – двозначна функція, у якої листи сходяться на нулі.

Побудова графіка функції квадратного кореня.

1. Заповнюємо таблицю даних:

х
у

2. Наносимо точки, які ми отримали координатну площину.

3. З'єднуємо ці точки та отримуємо графік функції квадратного кореня:

Перетворення графіка функції квадратного кореня.

Визначимо, які перетворення функції необхідно зробити, щоб побудувати графіки функций. Визначимо види перетворень.

	Вид перетворення	Перетворення
		Перенесення функції по осі OYна 4 од. вгору.
	внутрішнє	Перенесення функції по осі OXна 1 од. праворуч.
	внутрішнє	Графік наближається до осі OYвтричі і стискається по осі OХ.
		Графік віддаляється від осі OX OY.
	внутрішнє	Графік віддаляється від осі OYвдвічі і розтягується по осі OХ.

Найчастіше перетворення функцій виявляються комбінованими.

Наприклад, потрібно побудувати графік функції . Це графік квадратного кореня, який потрібно перенести на одну одиницю вниз по осі OYі на одиницю праворуч по осі ОХі одночасно розтягнувши в 3 рази його по осі OY.

Буває безпосередньо перед побудовою графіка функції, необхідні попередні тотожні перетворення чи спрощення функций.