Найбільше значення похідної 2.1.1 2. Похідна функції

У задачі B9 дається графік функції або похідної, яким потрібно визначити одну з наступних величин:

1. Значення похідної в деякій точці x 0
2. Точки максимуму або мінімуму (точки екстремуму),
3. Інтервали зростання та зменшення функції (інтервали монотонності).

Функції та похідні, представлені у цій задачі, завжди безперервні, що значно спрощує рішення. Незважаючи на те, що завдання відноситься до розділу математичного аналізу, вона цілком під силу навіть найслабшим учням, оскільки ніяких глибоких теоретичних знань тут не потрібно.

Для знаходження значення похідної, точок екстремуму та інтервалів монотонності існують прості та універсальні алгоритми – всі вони будуть розглянуті нижче.

Уважно читайте умову завдання B9, щоб не допускати дурних помилок: іноді трапляються досить об'ємні тексти, але важливих умов, які впливають на перебіг рішення, там небагато.

Обчислення значення похідної. Метод двох точок

Якщо в задачі дано графік функції f(x), що стосується цього графіка в деякій точці x 0 і потрібно знайти значення похідної в цій точці, застосовується наступний алгоритм:

1. Знайти на графіку дотичної дві «адекватні» точки: їх координати мають бути цілими. Позначимо ці точки A (x 1 ; y 1) і B (x 2 ; y 2). Правильно виписуйте координати - це ключовий момент рішення, і будь-яка помилка тут призводить до неправильної відповіді.
2. Знаючи координати, легко обчислити збільшення аргументу Δx = x 2 − x 1 і збільшення функції Δy = y 2 − y 1 .
3. Зрештою, знаходимо значення похідної D = Δy/Δx. Іншими словами, треба розділити збільшення функції на збільшення аргументу — і це буде відповідь.

Ще раз зазначимо: точки A і B треба шукати саме на дотичній, а не графіку функції f(x), як це часто трапляється. Стосовно обов'язково міститиме хоча б дві такі точки — інакше завдання складено некоректно.

Розглянемо точки A (−3; 2) та B (−1; 6) і знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Знайдемо значення похідної: D = y/Δx = 4/2 = 2.

Завдання. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та дотична до нього в точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 .

Розглянемо точки A (0; 3) та B (3; 0), знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Тепер знаходимо значення похідної: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Завдання. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та дотична до нього в точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x 0 .

Розглянемо точки A (0; 2) і B (5; 2) і знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Залишилося знайти значення похідної: D = y/Δx = 0/5 = 0.

З останнього прикладу можна сформулювати правило: якщо дотична паралельна до осі OX, похідна функції в точці дотику дорівнює нулю. У цьому випадку навіть не треба нічого рахувати — достатньо поглянути на графік.

Обчислення точок максимуму та мінімуму

Іноді замість графіка функції завдання B9 дається графік похідної і потрібно знайти точку максимуму чи мінімуму функції. При такому розкладі метод двох точок марний, але існує інший, ще більш простий алгоритм. Спочатку визначимося з термінологією:

1. Точка x 0 називається точкою максимуму функції f(x), якщо в околиці цієї точки виконується нерівність: f(x 0) ≥ f(x).
2. Точка x 0 називається точкою мінімуму функції f(x), якщо в околиці цієї точки виконується нерівність: f(x 0) ≤ f(x).

Для того щоб знайти точки максимуму та мінімуму за графіком похідної, достатньо виконати такі кроки:

1. Перекреслити графік похідної, забравши всю зайву інформацію. Як показує практика, зайві дані лише заважають рішенню. Тому наголошуємо на координатній осі нулі похідної — і все.
2. З'ясувати похідні знаки на проміжках між нулями. Якщо для деякої точки x 0 відомо, що f'(x 0) ≠ 0, то можливі лише два варіанти: f'(x 0) ≥ 0 або f'(x 0) ≤ 0. Знак похідної легко визначити за вихідним кресленням: якщо графік похідної лежить вище за осю OX, значить f'(x) ≥ 0. І навпаки, якщо графік похідної проходить під віссю OX, то f'(x) ≤ 0.
3. Знову перевіряємо нулі та знаки похідної. Там, де знак змінюється з мінусу на плюс, точка мінімуму. І навпаки, якщо знак похідної змінюється із плюсу на мінус, це точка максимуму. Відлік завжди ведеться зліва направо.

Ця схема працює тільки для безперервних функцій — інших задач B9 не зустрічається.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [-5; 5]. Знайдіть точку мінімуму функції f(x) у цьому відрізку.

Позбавимося зайвої інформації - залишимо тільки межі [-5; 5] і нулі похідної x = −3 та x = 2,5. Також відзначимо знаки:

Очевидно, у точці x = −3 знак похідної змінюється з мінусу на плюс. Це і є точка мінімуму.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−3; 7]. Знайдіть точку максимуму функції f(x) у цьому відрізку.

Перекреслимо графік, залишивши на координатній осі лише межі [−3; 7] і нулі похідної x = −1,7 та x = 5. Зазначимо на отриманому графіку знаки похідної. Маємо:

Очевидно, у точці x = 5 знак похідної змінюється з плюсу на мінус – точка максимуму.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [-6; 4]. Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x), що належать відрізку [−4; 3].

З умови завдання слід, що досить розглянути лише частину графіка, обмежену відрізком [-4; 3]. Тому будуємо новий графік, у якому відзначаємо лише межі [−4; 3] та нулі похідної всередині нього. А саме точки x = −3,5 і x = 2. Отримуємо:

На цьому графіку є лише одна точка максимуму x=2. Саме в ній знак похідної змінюється з плюсу на мінус.

Невелике зауваження щодо точок з нецілочисельними координатами. Наприклад, в останній задачі було розглянуто точку x = −3,5, але з тим самим успіхом можна взяти x = −3,4. Якщо завдання складено коректно, такі зміни не повинні впливати на відповідь, оскільки точки без певного місця проживання не беруть безпосередньої участі у вирішенні завдання. Зрозуміло, з цілими точками такий фокус не пройде.

Знаходження інтервалів зростання та зменшення функції

У такій задачі, подібно до точок максимуму і мінімуму, пропонується за графіком похідної відшукати області, в яких сама функція зростає або зменшується. Для початку визначимо, що таке зростання та спадання:

1. Функція f(x) називається зростаючою на відрізку якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка правильне твердження: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Іншими словами, що більше значення аргументу, то більше значення функції.
2. Функція f(x) називається спадною на відрізку якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка правильне твердження: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Тобто. більшого значення аргументу відповідає менше значення функції.

Сформулюємо достатні умови зростання та спадання:

1. Щоб безперервна функція f(x) зростала на відрізку , достатньо, щоб її похідна всередині відрізка була позитивна, тобто. f'(x) ≥ 0.
2. Щоб безперервна функція f(x) убувала на відрізку , достатньо, щоб її похідна всередині відрізка була негативна, тобто. f'(x) ≤ 0.

Приймемо ці твердження без доказів. Таким чином, отримуємо схему для знаходження інтервалів зростання та спадання, яка багато в чому схожа на алгоритм обчислення точок екстремуму:

1. Забрати всю зайву інформацію. На вихідному графіку похідної нас цікавлять насамперед нулі функції, тому залишимо лише їх.
2. Позначити похідні знаки на інтервалах між нулями. Там, де f'(x) ≥ 0, функція зростає, а де f'(x) ≤ 0 – зменшується. Якщо завдання встановлено обмеження на змінну x, додатково позначаємо їх у новому графіці.
3. Тепер, коли нам відома поведінка функції та обмеження, залишається обчислити необхідну в завданні величину.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−3; 7,5]. Знайдіть проміжки зменшення функції f(x). У відповіді вкажіть суму цілих чисел, що входять до цих проміжків.

Як завжди, перекреслимо графік та відзначимо межі [−3; 7,5], а також нулі похідної x = −1,5 та x = 5,3. Потім відзначимо похідні знаки. Маємо:

Оскільки на інтервалі (− 1,5) похідна негативна, це і є інтервал зменшення функції. Залишилося підсумувати всі цілі числа, що знаходяться всередині цього інтервалу:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−10; 4]. Знайдіть проміжки зростання функції f(x). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

Позбавимося зайвої інформації. Залишимо лише межі [−10; 4] і нулі похідної, яких цього разу виявилося чотири: x = −8, x = −6, x = −3 та x = 2. Зазначимо знаки похідної та отримаємо наступну картинку:

Нас цікавлять періоди зростання функції, тобто. такі, де f'(x) ≥ 0. На графіку таких проміжків два: (−8; −6) та (−3; 2). Обчислимо їх довжини:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Оскільки потрібно знайти довжину найбільшого інтервалу, у відповідь записуємо значення l 2 = 5.

У проміжку ( а,b), а х- є випадково обраною точкою цього проміжку. Дамо аргументу х прирістΔх (позитивне чи негативне).

Функція у =f(x) отримає збільшення Δу рівне:

Δy = f(x + Δx)-f(x).

При нескінченно малому Δх прирістΔу теж нескінченно мало.

Наприклад:

Розглянемо рішення похідної функції з прикладу вільного падіння тіла.

Оскільки t 2 = t l + Δt, то

.

Обчисливши межу, знайдемо:

Позначення t 1 вводиться для підкреслення сталості t при обчисленні межі функції. Оскільки t 1 є довільним значенням часу, індекс 1 можна відкинути; тоді отримуємо:

Видно, що швидкість v,як і шлях s, є функціячасу. Вид функції vЦілком залежить від виду функції s, так що функція sяк би «виробляє» функцію v. Звідси назва « похідна функція».

Розглянь ще один приклад.

Знайти значення похідної функції:

у = х 2при х = 7.

Рішення. При х = 7маємо у = 7 2 = 49. Дамо аргументу хприріст Δ х. Аргумент стане рівним 7 + Δ х, а функція отримає значення (7 + Δ х) 2.

Дорогі друзі! До групи завдань, пов'язаних з похідною, входять завдання — в умові дано графік функції, кілька точок на цьому графіку і стоїть питання:

У якій точці значення похідної найбільше (найменше)?

Коротко повторимо:

Похідна в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної проходить черезцю точку графіка.

Уголовний коефіцієнт дотичної у свою чергу дорівнює тангенсу кута нахилу цієї дотичної.

*Мається на увазі кут між дотичною та віссю абсцис.

1. На інтервалах зростання функції похідна має позитивне значення.

2. На інтервалах її спадання похідна має негативне значення.

Розглянемо наступний ескіз:

У точках 1,2,4 похідна функції має негативне значення, оскільки ці точки належать інтервалам спадання.

У точках 3,5,6 похідна функції має позитивне значення, оскільки ці точки належать інтервалам зростання.

Як бачимо, зі значенням похідної все ясно, тобто визначити який вона має знак (позитивний чи негативний) у певній точці графіка зовсім нескладно.

При чому, якщо ми подумки побудуємо дотичні в цих точках, то побачимо, що прямі кути, що проходять через точки 3, 5 і 6 утворюють з віссю оХ, що лежать в межах від 0 до 90 про, а прямі проходять через точки 1, 2 і 4 утворюють з віссю оХ кути в межах від 90 до 180 о.

*Взаємозв'язок зрозумілий: дотичні проходять через точки належать інтервалам зростання функції утворюють з віссю оХ гострі кути, дотичні проходять через точки належать інтервалам зменшення функції утворюють з віссю оХ тупі кути.

Тепер важливе питання!

А як змінюється значення похідної? Адже дотична у різних точках графіка безперервної функції утворює різні кути, залежно від цього, через яку точку графіка вона проходить.

*Або, кажучи простою мовою, дотична розташована як би «горизонтальніше» або «вертикальніше». Подивіться:

Прямі утворюють з віссю оХ кути в межах від 0 до 90 о

Прямі утворюють з віссю оХ кути в межах від 90 до 180 о

Тому, якщо стоятимуть питання:

— в якій із точок графіка значення похідної має найменше значення?

— у якій із точок графіка значення похідної має найбільше значення?

то для відповіді необхідно розуміти, як змінюється значення тангенсу кута дотичної в межах від 0 до 180 о.

*Як уже сказано, значення похідної функції в точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до осі оХ.

Значення тангенсу змінюється так:

При зміні кута нахилу прямої від 0 до 90 про значення тангенса, а значить і похідної, змінюється відповідно від 0 до +∞;

При зміні кута нахилу прямий від 90 до 180 значення тангенса, а значить і похідної, змінюється відповідно –∞ до 0.

Наочно це видно за графіком функції тангенсу:

Говорячи простою мовою:

При куті нахилу дотичної від 0 до 90 про

Чим він ближче до 0о, тим більше значення похідної буде близько до нуля (з позитивного боку).

Чим кут ближче до 90о, тим більше значення похідної буде збільшуватися до +∞.

При куті нахилу дотичної від 90 до 180 про

Чим він ближчий до 90 про, тим більше значення похідної зменшуватиметься до –∞.

Чим кут буде ближче до 180 про, тим більше значення похідної буде близько до нуля (з негативного боку).

317543. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та відзначені точки–2, –1, 1, 2. У якій із цих точок значення похідної найбільше? У відповіді вкажіть цю точку.

Маємо чотири точки: дві з них належать інтервалам на яких функція зменшується (це точки -1 і 1) і два інтервалам на яких функція зростає (це точки -2 і 2).

Можемо відразу зробити висновок у тому, що у точках –1 і 1 похідна має негативне значення, у точках –2 і 2 вона має позитивне значення. Отже в даному випадку необхідно проаналізувати точки -2 і 2 і визначити в якому значення буде найбільшим. Побудуємо дотичні, що проходять через зазначені точки:

Значення тангенсу кута між прямою a і віссю абсцис буде більшим за значення тангенса кута між прямою b і цією віссю. Це означає, що значення похідної у точці –2 буде найбільшим.

Відповімо на таке запитання: у якій із точок –2, –1, 1 чи 2 значення похідної є найбільшим негативним? У відповіді вкажіть цю точку.

Похідна матиме негативне значення в точках, що належать інтервалам спадання, тому розглянемо точки -2 і 1. Побудуємо дотичні проходять через них:

Бачимо, що тупий кут між прямою b і віссю оХ знаходиться «ближче» до 180про , Тому його тангенс буде більше тангенса кута, утвореного прямою а і віссю ОХ.

Таким чином, у точці х = 1 значення похідної буде найбільшим негативним.

317544. На малюнку зображено графік функції y = f(x) та відзначені точки–2, –1, 1, 4. У якій із цих точок значення похідної найменше? У відповіді вкажіть цю точку.

Маємо чотири точки: дві з них належать інтервалам, на яких функція зменшується (це точки –1 та 4) та дві інтервалам, на яких функція зростає (це точки –2 та 1).

Можемо відразу зробити висновок у тому, що у точках –1 і 4 похідна має негативне значення, у точках –2 і 1 вона має позитивне значення. Отже, у разі необхідно проаналізувати точки –1 і 4 і визначити – у якому їх значенні буде найменшим. Побудуємо дотичні, що проходять через зазначені точки:

Значення тангенсу кута між прямою a і віссю абсцис буде більшим за значення тангенса кута між прямою b і цією віссю. Це означає, що значення похідної у точці х = 4 буде найменшим.

Відповідь: 4

Сподіваюся, що «не перенавантажив» вас кількістю написаного. Насправді все дуже просто, варто тільки зрозуміти властивості похідної, її геометричний зміст і як змінюється значення тангенса кута від 0 до 180 о.

1. Спочатку визначте знаки похідної в даних точках (+ або -) та оберіть необхідні точки (залежно від поставленого питання).

2. Побудуйте дотичні у цих точках.

3. Користуючись графіком тангесоїди, схематично позначте кути та відобразітьА Олександр.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Вітаю! Вдаримо по ЄДІ, що наближається, якісною систематичною підготовкою, і завзятістю в подрібненні граніту науки! УНаприкінці посту є конкурсне завдання, будьте першим! В одній із статей даної рубрики ми з вами, в яких був дано графік функції, і ставилися різні питання, що стосуються екстремумів, проміжків зростання (зменшення) та інші.

У цій статті розглянемо завдання, що входять до ЄДІ з математики, в яких дано графік похідної функції, і ставляться такі питання:

1. У якій точці заданого відрізка функція набуває найбільшого (або найменшого) значення.

2. Знайти кількість точок максимуму (або мінімуму) функції, що належать заданому відрізку.

3. Знайти кількість точок екстремуму функції, що належать заданому відрізку.

4. Знайти точку екстремуму функції, що належить заданому відрізку.

5. Знайти проміжки зростання (або зменшення) функції й у відповіді вказати суму цілих точок, які входять у ці проміжки.

6. Знайти проміжки зростання (або зменшення) функції. У відповіді вказати довжину найбільшого із цих проміжків.

7. Знайти кількість точок, у яких дотична до графіка функції паралельна до прямого виду у = kx + b або збігається з нею.

8. Знайти абсцис точки, в якій дотична до графіка функції паралельна осі абсцис або збігається з нею.

Можуть стояти й інші питання, але вони не викликають у вас труднощів, якщо ви зрозуміли і (посилання вказані на статті, в яких представлена ​​необхідна для вирішення інформація, рекомендую повторити).

Основна інформація (коротко):

1. Похідна на інтервалах зростання має позитивний знак.

Якщо похідна певній точці з деякого інтервалу має позитивне значення, то графік функції цьому інтервалі зростає.

2. На інтервалах спадання похідна має негативний знак.

Якщо похідна певній точці з деякого інтервалу має негативне значення, то графік функції цьому інтервалі зменшується.

3. Похідна в точці х дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної до графіка функції у цій точці.

4. У точках екстремуму (максимуму-мінімуму) функції похідна дорівнює нулю. Стосовна графіку функції у цій точці паралельна осі ох.

Це потрібно чітко усвідомити та пам'ятати!!!

Багатьох графік похідної «бентежить». Дехто з неуважності приймає його за графік самої функції. Тому в таких будинках, де бачите, що дано графік, відразу ж акцентуйте свою увагу в умові того, що дано: графік функції або графік похідної функції?

Якщо це графік похідної функції, то ставтеся до нього як би до «віддзеркалення» самої функції, яке дає вам інформацію про цю функцію.

Розглянемо завдання:

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-2; 21).

Відповімо на такі питання:

1. У якій точці відрізка функція f(х)набуває найбільшого значення.

На заданому відрізку похідна функції негативна, отже функція цьому відрізку зменшується (вона зменшується від лівої межі інтервалу до правої). Отже, найбільше значення функції досягається лівій межі відрізка, т. е. у точці 7.

Відповідь: 7

2. У якій точці відрізка функція f(х)

За цим графіком похідної можемо сказати таке. На заданому відрізку похідна функції позитивна, отже функція цьому відрізку зростає (вона зростає від лівої межі інтервалу до правої). Таким чином, найменше значення функції досягається на лівій межі відрізка, тобто у точці х = 3.

Відповідь: 3

3. Знайдіть кількість точок максимуму функції f(х)

Точки максимуму відповідають точкам зміни похідної знака з позитивного на негативний. Розглянемо, де в такий спосіб змінюється знак.

На відрізку (3; 6) похідна позитивна, на відрізку (6; 16) негативна.

На відрізку (16; 18) похідна позитивна, на відрізку (18; 20) негативна.

Таким чином, на заданому відрізку функція має дві точки максимуму х = 6 та х = 18.

Відповідь: 2

4. Знайдіть кількість точок мінімуму функції f(х), що належать до відрізку .

Точки мінімуму відповідають точкам зміни знака похідної з негативного на позитивний. У нас на інтервалі (0; 3) похідна негативна, на інтервалі (3; 4) позитивна.

Таким чином, на відрізку функція має одну точку мінімуму х = 3.

*Будьте уважні при записі відповіді – записується кількість точок, а не значення х, таку помилку можна припустити через неуважність.

Відповідь: 1

5. Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(х), що належать до відрізку .

Зверніть увагу, що необхідно знайти кількістьточок екстремуму (це і точки максимуму та точки мінімуму).

Крапки екстремуму відповідають точкам зміни знака похідної (з позитивного на негативний чи навпаки). На цьому за умови графіку це нулі функції. Похідна перетворюється на нуль у точках 3, 6, 16, 18.

Таким чином, на відрізку функція має 4 точки екстремуму.

Відповідь: 4

6. Знайдіть проміжки зростання функції f(х)

Проміжки зростання цієї функції f(х)відповідають проміжкам, на яких її похідна позитивна, тобто інтервалам (3; 6) та (16; 18). Зверніть увагу, що межі інтервалу не входять до нього (круглі дужки – межі не включені до інтервалу, квадратні – включені). Дані інтервали містять цілі точки 4, 5, 17. Їхня сума дорівнює: 4 + 5 + 17 = 26

Відповідь: 26

7. Знайдіть проміжки зменшення функції f(х)на заданому інтервалі. У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

Проміжки зменшення функції f(х)відповідають проміжкам, у яких похідна функції негативна. У цьому завдання це інтервали (–2;3), (6;16), (18;21).

Дані інтервали містять такі цілі точки: -1, 0, 1, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 19, 20. Їх сума дорівнює:

(–1) + 0 + 1 + 2 + 7 + 8 + 9 + 10 +

11 + 12 + 13 + 14 + 15 + 19 + 20 = 140

Відповідь: 140

*Звертайте увагу в умови: чи включені межі в інтервал чи ні. Якщо кордони будуть включені, то і в інтервалах, що розглядаються в процесі вирішення, ці кордони також необхідно враховувати.

8. Знайдіть проміжки зростання функції f(х)

Проміжки зростання функції f(х)відповідають проміжкам, у яких похідна функції позитивна. Ми вже вказували їх: (3; 6) та (16; 18). Найбільшим є інтервал (3;6), його довжина дорівнює 3.

Відповідь: 3

9. Знайдіть проміжки зменшення функції f(х). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

Проміжки зменшення функції f(х)відповідають проміжкам, у яких похідна функції негативна. Ми вже вказували їх, це інтервали (-2; 3), (6; 16), (18; 21), їх довжини відповідно дорівнюють 5, 10, 3.

Довжина найбільшого дорівнює 10.

Відповідь: 10

10. Знайдіть кількість точок, у яких стосується графіка функції f(х)паралельна прямий у = 2х + 3 чи збігається з нею.

Значення похідної у точці дотику дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної. Так як дотична паралельна прямий у = 2х + 3 або збігається з нею, то їх кутові коефіцієнти дорівнюють 2. Значить, необхідно знайти кількість точок, в яких у х (х 0) = 2. Геометрично це відповідає кількості точок перетину графіка похідної з прямою у = 2. На цьому інтервалі таких точок 4.

Відповідь: 4

11. Знайдіть точку екстремуму функції f(х), що належить відрізку.

Точка екстремуму функції це така точка, в якій її похідна дорівнює нулю, причому в околиці цієї точки похідна змінює знак (з позитивного на негативний або навпаки). На відрізку графік похідної перетинає вісь абсцис, похідна змінює знак із негативного на позитивний. Отже, точка х = 3 є точкою екстремуму.

Відповідь: 3

12. Знайдіть абсциси точок, у яких дотичні до графіка у = f(x) паралельні осі абсцис або збігаються з нею. У відповіді наведіть найбільшу з них.

Дотична до графіка у = f(x) може бути паралельна осі абсцис або збігатися з нею, тільки в точках, де похідна дорівнює нулю (це можуть бути точки екстремуму або стаціонарні точки, в околицях яких похідна свій знак не змінює). За цим графіком видно, що похідна дорівнює нулю в точках 3, 6, 16,18. Найбільша дорівнює 18.

Можна побудувати міркування таким чином:

Значення похідної у точці дотику дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної. Оскільки дотична паралельна осі абсцис або збігається з нею, її кутовий коефіцієнт дорівнює 0 (дійсно тангенс кута в нуль градусів дорівнює нулю). Отже, ми шукаємо точку, в якій кутовий коефіцієнт дорівнює нулю, а значить, і похідна дорівнює нулю. Похідна дорівнює нулю у тій точці, у якій її графік перетинає вісь абсцис, але це точки 3, 6, 16,18.

Відповідь: 18

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-8; 4). У якій точці відрізка [-7; -3] функція f(х)набуває найменшого значення.

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-7; 14). Знайдіть кількість точок максимуму функції f(х), Що належать відрізку [-6; 9].

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-18; 6). Знайдіть кількість точок мінімуму функції f(х), Що належать відрізку [-13; 1].

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-11; -11). Знайдіть кількість точок екстремуму функції f(х), Що належать відрізку [-10; -10].

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-7; 4). Знайдіть проміжки зростання функції f(х). У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-5; 7). Знайдіть проміжки зменшення функції f(х). У відповіді вкажіть суму цілих точок, що входять до цих проміжків.

На малюнку зображено графік у =f′(х)- похідної функції f(х), визначеної на інтервалі (-11; 3). Знайдіть проміжки зростання функції f(х). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

F На малюнку зображено графік

Умова завдання те саме (яку ми розглядали). Знайдіть суму трьох чисел:

1. Сума квадратів екстремумів функції f(х).

2. Різниця квадратів суми точок максимуму та суми точок мінімуму функції f(х).

3. Кількість дотичних до f(х), паралельних до прямої у = –3х + 5.

Перший, хто дасть правильну відповідь, отримає заохочувальний приз – 150 рублів. Відповіді пишіть у коментарях. Якщо це ваш перший коментар на блозі, то відразу він не з'явиться трохи пізніше (не турбуйтеся, час написання коментаря реєструється).

Успіху вам!

З повагою Олександр Крутицих.

PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.

Сергій Никифоров

Якщо похідна функції знакопостійна на інтервалі, а сама функція безперервна з його межах, то граничні точки приєднуються як до проміжків зростання, і до проміжків спадання, що цілком відповідає визначенню зростаючих і спадних функцій.

Фаріт Ямаєв 26.10.2016 18:50

Вітаю. Як (на якому підставі) можна стверджувати, що у точці, де похідна дорівнює нулю, функція зростає. Наведіть аргументи. Інакше, це просто чийсь каприз. За якою теоремою? А також доказ. Дякую.

Служба підтримки

Значення похідної у точці немає прямого відношення до зростання функції на проміжку. Розгляньте, наприклад, функції – всі вони зростають на відрізку

Владлен Писарєв 02.11.2016 22:21

Якщо функція зростає на інтервалі (а;b) і визначена і безперервна в точках а та b, вона зростає на відрізку . Тобто. точка x=2 входить у цей проміжок.

Хоча, зазвичай зростання і спадання розглядається не так на відрізку, але в інтервалі.

Але в самій точці x = 2 функція має локальний мінімум. І як пояснювати дітям, що коли вони шукають точки зростання (зменшення), то точки локального екстремуму не вважаємо, а в проміжки зростання (зменшення) – входять.

Враховуючи, що перша частина ЄДІ для "середньої групи дитсадка", то напевно такі нюанси-перебір.

Окремо, дякую за "Вирішу ЄДІ" всім співробітникам-відмінний посібник.

Сергій Никифоров

Просте пояснення можна отримати, якщо відштовхуватися від визначення зростаючої/зменшувальної функції. Нагадаю, що звучить воно так: функція називається зростаючою/зменшується на проміжку, якщо більшому аргументу функції відповідає більше/менше значення функції. Таке визначення ніяк не використовує поняття похідної, тому питань про точки, де похідна звертається в нуль, виникнути не може.

Ірина Ішмакова 20.11.2017 11:46

Добридень. Тут у коментарях я бачу переконання, що кордони треба включати. Допустимо, я з цим погоджуся. Але подивіться, будь ласка, ваше рішення до задачі 7089. Там за вказівкою проміжків зростання кордону не включаються. І це впливає відповідь. Тобто. вирішення завдань 6429 та 7089 суперечать один одному. Проясніть, будь ласка, цю ситуацію.

Олександр Іванов

У завданнях 6429 і 7089 різні питання.

В одному проміжку зростання, а в іншому проміжку з позитивною похідною.

Суперечності немає.

Екстремуми входять у проміжки зростання і спадання, але точки, у яких похідна дорівнює нулю, не входять у проміжки, у яких похідна позитивна.

A Z 28.01.2019 19:09

Колеги є поняття зростання в точці

(див. Фіхтенгольц наприклад)

і ваше розуміння зростання в точці x = 2 суперечить класичному визначенню.

Зростання і спад це процес і хотілося б дотримуватися цього принципу.

У будь-якому інтервалі, який містить точку x=2, функція не є зростаючою. Тому включення даної точки x = 2 процес особливий.

Зазвичай, щоб уникнути плутанини про включення кінців інтервалів, говорять окремо.

Олександр Іванов

Функція y=f(x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу з цього проміжку відповідає більше значення функції.

У точці х=2 функція диференційована, але в інтервалі (2; 6) похідна позитивна, отже, на проміжку )